Fundamentos de Fisica III

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FUNDAMENTOS DE FÍSICA III 
 
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Wagner Corradi Rodrigo Dias Társia 
Leonardo Fonseca Maria Carolina Nemes 
Wanderson Silva de Oliveira Karla Balzuweit 
FUNDAMENTOS DE FÍSICA III 
Belo Horizonte 
Editora UFMG 
2011 
© Todos os direitos reservados. Departamento de Física - UFMG Página 2 
 
© 2011, Wagner Corradi; Rodrigo Dias Társia; Leonardo Fonseca; Maria Carolina Nemes; Wanderson Silva 
de Oliveira; Karla Balzuweit 
© 2011, Editora UFMG 
Este livro ou parte dele não pode ser reproduzido por qualquer meio sem a autorização escrita do Editor. 
Fundamentos de Física I / Wagner Corradi ...[et al.] 
 - Belo Horizonte ; Editora UFMG, 2011 
 
 p. – Il (Educação a Distância) 
 Inclui referências. 
 ISBN: 
 
 1. Física. 2. Eletricidade. 3. Eletromagnetismo 
 I. Corradi, Wagner II. Série. 
 CDD: 
 CDU: 
 
Elaborada pela DITTI – Setor de Tratamento da Informação 
Biblioteca Universitária da UFMG 
Este livro recebeu o apoio financeiro da Secretaria de Educação a Distância do MEC. 
ASSISTÊNCIA EDITORIAL Eliane Sousa e Euclídia Macedo 
EDITORAÇÃO DE TEXTO Maria do Carmo Leite Ribeiro 
PREPARAÇÃO DE TEXTO Michel Gannam 
REVISÃO DE PROVAS 
FORMATAÇÃO 
PROJETO GRÁFICO E CAPA Eduardo Ferreira 
PRODUÇÃO GRÁFICA Warren Marilac 
EDITORA UFMG 
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Sumário 
 INFORMAÇÕES GERAIS 
 
1. FUNDAMENTOS DE FÍSICA III NA MODALIDADE DE ENSINO A DISTÂNCIA 11 
 
 
 UNIDADE 1 – CARGAS ELÉTRICAS E LEI DE COULOMB 13 
 
 AULA 1 – CARGAS ELÉTRICAS 
 
A1.1 ELETRIZAÇÃO POR ATRITO 15 
A1.2 CARGAS ELÉTRICAS 18 
A1.3 ISOLANTES, CONDUTORES E A LOCALIZAÇÃO DA CARGA ELÉTRICA 22 
A1.4 ELETRIZAÇÃO POR INDUÇÃO E POLARIZAÇÃO 26 
A1.5 ELETROSCÓPIOS 28 
A1.6 APLICAÇÃO TECNOLÓGICA DO FENÔMENO ELETRIZAÇÃO 32 
 PENSE E RESPONDA 36 
 
 AULA 2 – LEI DE COULOMB 38 
 
A2.1 LEI DE COULOMB 38 
A2.2 FORÇA DE UM CONJUNTO DE CARGAS 43 
A2.3 A LEI DE COULOMB EM UM DIELÉTRICO 47 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E PROBLEMAS DA UNIDADE 52 
 
 
 UNIDADE 2 – CAMPO ELÉTRICO 54 
 
 AULA 3 – CAMPO ELÉTRICO 
 
A3.1 DEFINIÇÃO E DISCUSSÃO FÍSICA DO CAMPO ELETROSTÁTICO 56 
A3.2 DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS ELÉTRICAS 59 
A3.3 O DIPOLO ELÉTRICO 61 
A3.4 LINHAS DE FORÇÁ 64 
A3.5 CARGAS ELÉTRICAS EM UM CAMPO ELÉTRICO UNIFORME 66 
 PENSE E RESPONDA E EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 72 
 
 AULA 4 – CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO PARA DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS 
DE CARGA EM UMA DIMENSÃO 
74 
 
A4.1 COLOCAÇÃO DO PROBLEMA GERAL 74 
A4.2 CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO EM DISTRIBUIÇÕES UNIDIMENSIONAIS DE CARGA 77 
 PENSE E RESPONDA 87 
 
 AULA 5 – CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO PARA DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS 
DE CARGA EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES 
88 
 
A5.1 ELEMENTOS DE SUPERFÍCIE E DE VOLUME 88 
A5.2 CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO PARA DISTRIBUIÇÕES DE CARGA EM DUAS 
DIMENSÕES 
89 
A5.3 CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO PARA DISTRIBUIÇÕES DE CARGA EM TRÊS DIMENSÕES 95 
 PROBLEMAS DA UNIDADE 104 
 
 
 UNIDADE 3 – LEI DE GAUSS E SUAS APLICAÇÕES 106 
 
 AULA 6 – LEI DE GAUSS 108 
 
A6.1 FLUXO DO CAMPO ELÉTRICO 108 
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A6.2 A LEI DE GAUSS 113 
A6.3 FERRAMENTAS MATEMÁTICAS: CÁLCULO DA INTEGRAL DE SUPERFÍCIE NA LEI DE 
GAUSS 
114 
 PENSE E RESPONDA 119 
 
 AULA 7 – APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS 120 
 
A7.1 COMO USAR A LEI DE GAUSS 120 
A7.2 APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS 123 
A7.3 CARGAS E CAMPO ELÉTRICOS NA SUPERFÍCIE DE CONDUTORES 135 
 PENSE E RESPONDA 143 
 
 AULA 8 – APLICAÇÕES DA ELETROSTÁTICA 144 
 
A8.1 ATIVIDADES COM APLICAÇÕES DA ELETROSTÁTICA 144 
 
 
 UNIDADE 4 – ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA E POTENCIAL ELÉTRICO 154 
 
 AULA 9 – TRABALHO, ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA E POTENCIAL ELÉTRICO 156 
 
A9.1 TRABALHO E ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA 156 
A9.2 ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA DE DUAS CARGAS PONTUAIS 161 
A9.3 DIPOLO ELÉTRICO EM UM CAMPO ELÉTRICO 164 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 168 
 
 AULA 10 – POTENCIAL ELÉTRICO 170 
 
A10.1 O POTENCIAL ELÉTRICO 170 
A10.2 POTENCIAL ELÉTRICO DE UMA CARGA PUNTIFORME 171 
A10.3 POTENCIAL ELÉTRICO DE VÁRIAS CARGAS 171 
A10.4 SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS 176 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 180 
 
 AULA 11 – POTENCIAL ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA 
ELÉTRICA 
181 
 
A11.1 POTENCIAL ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA 181 
A11.2 POTENCIAL ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES LINEARES DE CARGA 182 
A11.3 POTENCIAL ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES SUPERFICIAIS DE CARGA 186 
A11.4 POTENCIAL ELÉTRICO DE DISTRIBUIÇÕES VOLUMÉTRICAS DE CARGA 188 
 PENSE E RESPONDA, EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 194 
 
 AULA 12 – RELAÇÃO ENTRE CAMPO E POTENCIAL ELÉTRICO 196 
 
A12.1 OBTENDO O POTENCIAL A PARTIR DO CAMPO ELÉTRICO 196 
A12.2 OBTENDO O CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DO POTENCIAL 199 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 207 
 
 
 UNIDADE 5 – CAPACITORES 208 
 
 AULA 13 – CAPACITORES 210 
 
A13.1 CAPACITÂNCIA 210 
A13.2 CAPACITORES 210 
A13.3 ENERGIA EM UM CAPACITOR 217 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 221 
 
 AULA 14 – ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES 222 
 
A14.1 ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE DE CAPACITORES 222 
A14.2 ASSOCIAÇÃO EM PARALELO DE CAPACITORES 224 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 232 
 
 AULA 15 – CAPACITORES COM DIELÉTRICOS 233 
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A15.1 INFLUÊNCIA DO DIELÉTRICO 233 
A15.2 RIGIDEZ DIELÉTRICA 238 
A15.3 A LEI DE GAUSS E OS DIELÉTRICOS 239 
 PENSE E RESPONDA, EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 247 
 
 AULA 16 – VETORES DESLOCAMENTO ELÉTRICO E POLARIZAÇÃO ELÉTRICA 249 
 
A16.1 OS VETORES POLARIZAÇÃO E DESLOCAMENTO ELÉTRICO 249 
 PENSE E RESPONDA 254 
 
 AULA 17 – TRABALHO E ENERGIA DE DISTRIBUIÇÕES DE CARGA 255 
 
A17.1 TRABALHO E ENERGIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE CARGAS 255 
A17.2 TRABALHO E ENERGIA DE UMA DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE CARGAS 259 
A17.3 DENSIDADE DE ENERGIA 261 
A17.4 UMA APARENTE INCONSISTÊNCIA NA DESCRIÇÃO DA ENERGIA 263 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E PROBLEMAS DA UNIDADE 266 
 
 
 UNIDADE 6 – FORÇA ELETROMOTRIZ, CORRENTE E RESISTÊNCIA 270 
 
 
 AULA 18 – FORÇA ELETROMOTRIZ, CORRENTE E DENSIDADE DE CORRENTE 272 
 
A18.1 FORÇA ELETROMOTRIZ 272 
A18.2 GERADORES DE CORRENTE E FORÇA ELETROMOTRIZ 274 
A18.3 CORRENTE ELÉTRICA 279 
A18.4 DENSIDADE DE CORRENTE ELÉTRICA 284 
 PENSE E RESPONDA E EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 289 
 
 AULA 19 – RESISTÊNCIA ELÉTRICA E RESISTIVIDADE E LEI DE OHM 290 
 
A19.1 RESISTÊNCIA ELÉTRICA 290 
A19.2 LEI DE OHM 291 
A19.3 RESISTIVIDADE E CONDUTIVIDADE 295 
 PENSE E RESPONDA E EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 297 
 
 
 AULA 20 –RESISTIVIDADE DOS MATERIAIS E POTÊNCIA ELÉTRICA 300 
 
A20.1 RESISTIVIDADE E EFEITO DA TEMPERATURA 300 
A20.2 POTÊNCIA EM CIRCUITOS ELÉTRICOS 302 
 PENSE E RESPONDA E EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 307 
 
 AULA 21 – CONDUTORES, DIELÉTRICOS E SEMICONDUTORES 308 
 
A21.1 VISÃO MICROSCÓPICA DA CONDUÇÃOELÉTRICA 308 
 PENSE E RESPONDA E PROBLEMAS DA UNIDADE 312 
 
 
 UNIDADE 7 – CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA 314 
 
 AULA 22 – LEIS DE KIRCHOFF 316 
 
A22.1 LEI DAS MALHAS 316 
A22.2 LEI DOS NÓS 319 
 PENSE E RESPONDA E EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 330 
 
 AULA 23 –CIRCUITOS DE MAIS DE UMA MALHA 332 
 
A23.1 CIRCUITOS ELÉTRICOS 332 
 PENSE E RESPONDA E EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 338 
 
 
 
 
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 AULA 24 –APARELHOS DE MEDIDA I 340 
 
A24.1 GALVANÔMETRO 340 
A24.2 AMPERÍMETRO 343 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 345 
 
 AULA 25 – APARELHOS DE MEDIDA II 347 
 
A25.1 VOLTÍMETRO 347 
A25.2 OHMÍMETRO 348 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 352 
 
 AULA 26 – CIRCUITO RC 353 
 
A26.1 ANÁLISE DE UM CIRCUITO RC 353 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E PROBLEMAS DA UNIDADE 363 
 
 
 UNIDADE 8 – CAMPO MAGNÉTICO 366 
 
 AULA 27 CAMPO MAGNÉTICO E FORÇA MAGNÉTICA 368 
 
A27.1 UM POUCO DE HISTÓRIA 368 
A27.2 CAMPO MAGNÉTICO 369 
A27.3 INDUÇÃO MAGNÉTICA E FORÇA MAGNÉTICA 370 
A27.4 CONFINAMENTO DE PARTÍCULAS USANDO O CAMPO MAGNÉTICO 377 
A27.5 APLICAÇÕES TECNOLÓGICAS DO USO DE UM CAMPO MAGNÉTICO 379 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 379 
 
 AULA 28 FORÇA MAGNÉTICA SOBRE CORRENTE ELÉTRICA 389 
 
A28.1 FORÇA MAGNÉTICA SOBRE UM FIO CONDUZINDO CORRENTE ELÉTRICA 390 
A28.2 O EFEITO HALL 397 
A28.3 TORQUE EM CIRCUITOS ELÉTRICOS 400 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E PROBLEMAS DA UNIDADE 407 
 
 
 UNIDADE 9 – FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO E A LEI DE AMPÈRE 409 
 
 AULA 29 A LEI DE BIOT-SAVART 411 
 
A29.1 A LEI DE BIOT-SAVART 411 
A29.2 FORÇA ENTRE FIOS PARALELOS 418 
A29.3 CAMPO MAGNÉTICO GERADO POR CARGA EM MOVIMENTO 419 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 424 
 
 AULA 30 CAMPO MAGNÉTICO EM SOLENÓIDES 426 
 
A30.1 CAMPO MAGNÉTICO GERADO POR UMA ESPIRA 426 
A30.2 DESCRIÇÃO DO CAMPO MAGNÉTICO GERADO POR UM SOLENÓIDE 436 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E PROBLEMAS DA UNIDADE 440 
 
 AULA 31 LEI DE AMPÈRE 442 
 
A31.1 A LEI DE AMPÈRE 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E PROBLEMAS DA UNIDADE 457 
 
 
 UNIDADE 10 – LEIS DE FARADAY E DE LENZ E A INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA 458 
 
 AULA 32 LEI DE FARADAY E LEI DE LENZ 460 
 
A32.1 O FLUXO DA INDUÇÃO MAGNÉTICA 460 
A32.2 A LEI DE FARADAY 461 
A32.3 A LEI DE LENZ 464 
A32.4 ESTUDO QUANTITATIVO DA LEI DE FARADAY 
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A32.5 FORÇA ELETROMOTRIZ E CORRENTE INDUZIDA 478 
A32.6 GERADORES E MOTORES 481 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 486 
 
 AULA 33 CAMPO ELÉTRICO VARIÁVEL COM O TEMPO 488 
 
A33.1 O CAMPO ELÉTRICO INDUZIDO 488 
A33.2 CORRENTES DE FOUCAULT 495 
A33.3 A INDUÇÃO E O MOVIMENTO RELATIVO 496 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E PROBLEMAS DA UNIDADE 503 
 
 
 UNIDADE 11 – INDUTÂNCIA 506 
 
 AULA 34 INDUTORES E INDUTÂNCIA 508 
 
A34.1 INDUTORES E INDUTÂNCIA 508 
A34.2 DIFERENÇAS DE POTENCIAL E ENERGIA EM INDUTORES E DENSIDADE DE ENERGIA NO 
CAMPO MAGNÉTICO 
512 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 515 
 
 AULA 35 ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES, AUTO INDUTÂNCIA E INDUTÂNCIA 
MÚTUA 
516 
 
A35.1 ASSOCIAÇÕES DE INDUTORES 516 
A35.2 CIRCUITO RL 518 
A35.3 AUTO INDUTÂNCIA E INDUTÂNCIA MÚTUA 522 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E PROBLEMAS DA UNIDADE 531 
 
 
 UNIDADE 12 – OSCILAÇÕES ELETROMAGNÉTICAS E CIRCUITOS DE CORRENTE 
ALTERNADA 
534 
 
 AULA 36 OSCILAÇÕES EM CIRCUITOS ELÉTRICOS I 536 
 
A36.1 O CIRCUITO LC 536 
A36.2 ENERGIA NO CIRCUITO LC 544 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 550 
 
 
 AULA 37 OSCILAÇÕES EM CIRCUITOS ELÉTRICOS II 553 
 
A37.1 CIRCUITO RLC 553 
A37.2 ANALOGIA COM AS OSCILAÇÕES MECÂNICAS 560 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 563 
 
 AULA 38 CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA 565 
 
A38.1 FORÇA ELETROMOTRIZ E CORRENTES ALTERNADAS 565 
A38.2 OS MAIS SIMPLES CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA 566 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 574 
 
 
 AULA 39 CIRCUITO RLC COM GERADOR 576 
 
A39.1 O CIRCUITO RLC 576 
A39.2 FASORES 582 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 587 
 
 
 AULA 40 VALOR EFICAZ E TRANSFORMADORES 589 
 
A40.1 VALOR EFICAZ E FATOR DE POTÊNCIA 589 
A40.2 O TRANSFORMADOR 592 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E PROBLEMAS DA UNIDADE 603 
 
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 UNIDADE 13 – EQUAÇÕES DE MAXWELL 606 
 
 AULA 41 PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DA MATÉRIA 608 
 
A41.1 MOMENTOS MAGNÉTICOS ATÔMICOS 608 
A41.2 VETORES MAGNETIZAÇÃO E INTENSIDADE DO CAMPO MAGNÉTICO 611 
A41.3 MATERIAIS MAGNÉTICOS 613 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 623 
 
 
 AULA 42 EQUAÇÕES DE MAXWELL 624 
 
A42.1 CONSERVAÇÃO DA CARGA ELÉTRICA 626 
A42.2 LEI DE AMPÈRE-MAXWELL 627 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
 
 AULA 43 FORMA DIFERENCIAL DAS EQUAÇÕES DE MAXWELL 634 
 
A43.1 FLUXO E DIVERGÊNCIA DE UM VETOR 634 
A43.2 ROTACIONAL E CIRCULAÇÃO DE UM VETOR 638 
A43.3 AS EQUAÇÕES DE MAXWELL NA FORMA DIFERENCIAL 640 
A43.4 DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE GAUSS E DO TEOREMA DE STOKES 643 
 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO E PROBLEMAS DA UNIDADE 649 
 
 
 APÊNDICES 650 
 
A DEFINIÇÕES DO SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES 651 
B CONSTANTES NUMÉRICAS 653 
C FATORES DE CONVERSÃO DE UNIDADES 655 
D RELAÇÕES MATEMÁTICAS 656 
E TABELA PERIÓDICA 660 
 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 661 
 
 
 
 
 
 
 
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Prefácio 
A elaboração deste livro nasceu da necessidade de se produzir um material 
didático adequado ao Ensino a Distância (EAD) das disciplinas de Física Básica na 
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG). Ele foi construído a partir de um 
conjunto de textos que vêm sendo utilizados e aprimorados durante vários anos no 
projeto-piloto de EAD do Departamento de Física da UFMG. 
Acreditamos que para se fazer EAD não basta disponibilizar o material na 
internet, em um sítio muito colorido e com várias animações. É preciso que se tenha 
um material impresso de boa qualidade, com uma organização adequada, 
concatenação e seqüência lógica das idéias, numa linguagem coerente e acessível ao 
estudante. Sem isso, é quase impossível aprender física estudando de maneira 
autônoma. 
Há ainda a necessidade de se fornecer acesso ao material didático independente 
da disponibilidade de um computador, já que nem sempre o acesso aos recursos 
computacionais é possível. Mesmo quando há essa disponibilidade, é difícil aprender 
física na frente do computador apenas lendo os textos durante horas e clicando nos 
links disponíveis. 
A utilização de um livro voltado para o ensino presencial requer um professor 
que pondere a linguagem do material, acrescente toda a sua experiência, e modere o 
ritmo de estudo em sala de aula. Sem essa intervenção você não teria como saber, de 
antemão, qual ritmo de estudos deveria seguir em cada capítulo ou seção do livro. Já 
no EAD, o livro deve suprir a falta do professor, agindo como um roteiro de estudo. 
Para tanto, ele deve ser dividido em aulas, que contenham uma maior sub-divisão do 
conteúdo. No fundo, uma tentativa de se colocar no papel o que o professor faria na 
sala de aula. 
Mas, lembre-se: esse livro não deve ser a sua única referência bibliográfica. O 
material já consagrado no ensino presencial é uma fonte imprescindível para o 
completo aprendizado de física básica, mesmo porque, é inegável a forte influência 
destes textos na estrutura e organização desta obra. 
Os tópicos aqui apresentados seguem a forma histórica. A física moderna é 
introduzida ao longo do texto sempre que possível ou conveniente. O nível matemático 
leva em conta que o aluno já fez ou está fazendo um curso introdutório de cálculo. 
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Durante o desenvolvimento dasequações básicas todos os passos são mostrados, e a 
matemática é introduzida à medida que se faz necessária. 
O trabalho de elaboração, adequação e preparação dos manuscritos e figuras 
que deram origem a este livro é de responsabilidade dos autores da presente obra. 
Grande parte deste esforço contou com a colaboração imprescindível dos estudantes 
de Graduação e Pós-Graduação do DF/UFMG, em particular Ulisses Moreira, Alexandre 
Ferreira de Freitas Lages e Gustavo Henrique Reis de Araújo Lima. Um agradecimento 
especial para Hugo José da Silva Barbosa que desenhou várias figuras do livro. 
Agradecemos ainda o suporte de nossos familiares, dos vários colegas do DF/UFMG e 
da Editora UFMG. 
Os Autores 
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Informações Gerais 
1. FUNDAMENTOS DE FÍSICA III NA MODALIDADE DE ENSINO A 
DISTÂNCIA 
Nesta disciplina as atividades são propostas em várias unidades, divididas em 
aulas, conforme mostra a tabela abaixo. No início de toda aula você encontrará os 
objetivos. Eles querem dizer: “Ao final desta aula você deverá ser capaz de...”. 
Certifique-se de ter atingido todos eles antes de passar para a próxima aula. 
 
 
As atividades ao longo do livro devem ser resolvidas no espaço em branco 
disponível ao lado do texto. As soluções de quase todas as atividades propostas estão 
no final de cada aula. Evite pular diretamente para as soluções, ou estará fadado ao 
insucesso. Há também um conjunto de questões teóricas, uma lista de exercícios de 
fixação e uma lista de problemas. 
Os exercícios de fixação são considerados apenas a primeira parte do 
aprendizado, pois, você deve entender bem os conceitos e princípios básicos antes de 
passar para a resolução dos problemas. Para obter sucesso nas avaliações é 
UNIDADES 
1. Cargas Elétricas e Lei de Coulomb 8. Campo Magnético 
2. Campo Elétrico 9. Campo Magnético devido à 
correntes e a Lei de Ampère 
3. Lei de Gauss e suas aplicações 10. Lei de Faraday e Lei de Lenz e 
a Indução Eletromagnética 
4. Energia Potencial Elétrica e 
Potencial Elétrico 
11. Indutância 
5. Capacitores 12. Oscilações Eletromagnéticas e 
Circuitos de Corrente Alternada 
6. Força Eletromotriz, Corrente e 
Resistência 
13. Equações de Maxwell 
7. Circuitos de Corrente Contínua 
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importante resolver os problemas propostos. Neles você aplicará o que aprendeu em 
situações mais elaboradas que exigirão uma estratégia adequada para sua solução. Os 
itens “Pense e Responda”, propositalmente, não tem resposta. Eles têm a intenção de 
fazer você pensar um pouco mais sobre o assunto. 
Lembre-se que o estudo autônomo exige maior perseverança e tanta dedicação 
quanto em um curso presencial. Siga o cronograma da forma mais fiel possível, para 
evitar atropelos. Não ler as aulas e não fazer as atividades propostas é enganar a si 
mesmo. 
Descubra seu ritmo de estudo e faça apenas o número de disciplinas que lhe 
permita ter bom rendimento. Lembre-se que a Universidade permite um tempo de 
integralização curricular bem maior que os tradicionais quatro anos, caso seja 
necessário. 
Ao longo dos vários anos de prática de ensino, curiosamente, chegamos à três 
ensinamentos que sintetizam bem as situações vividas pela maioria dos professores e 
estudantes de física. São eles: 
1. Ninguém ensina o que não sabe; 
2. Só se aprende o que se quer; 
3. Roda de carro apertada é que canta. 
 
Sem saber o conteúdo não é possível ensinar a ninguém, no máximo, repassar 
o conhecimento. Depois, de nada adianta ter um ótimo professor se não houver 
interesse e vontade de aprender por parte do estudante. Por último, mas não menos 
importante, cada um sabe de seus problemas e de suas dificuldades, mas não há 
conquistas sem esforço. 
Sucesso!!! 
 
 
13 
 
UNIDADE 1 
 
CARGA ELÉTRICA E LEI DE COULOMB 
 
Nossa sociedade não vive hoje sem utilizar a energia elétrica e todos os 
dispositivos eletro-eletrônicos à sua disposição. É, portanto, crucial entender os 
fenômenos do eletromagnetismo em sua plenitude. Para atingir esse objetivo 
começaremos revisando os aspectos históricos e os primeiros experimentos que 
levaram à descoberta das cargas elétricas. Em particular, nesta primeira aula, 
serão discutidos os fenômenos de eletrização por atrito, contato e polarização e 
suas aplicações tecnológicas. Na segunda aula é discutida a Lei de Coulomb, que 
expressa a relação de força fundamental entre cargas elétricas. Pense nessa 
curiosidade para motivá-lo em seu estudo do eletromagnetismo que aqui se inicia: 
Se o espaço entre os átomos é essencialmente vazio porque então você não afunda 
através do chão? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
AULA 1 : CARGAS ELÉTRICAS 
OBJETIVOS 
• DISCUTIR A NATUREZA DOS FENOMENOS ELÉTRICOS 
• DESCREVER OS VÁRIOS ASPECTOS DA CARGA ELÉTRICA, INCLUINDO SEU CARÁTER 
DISCRETO E QUANTIZADO 
• DESCREVER O FENÔMENO DE ELETRIZAÇÃO POR ATRITO, INDUÇÃO E POLARIZAÇÃO 
• RECONHECER A DIFERENÇA ENTRE ISOLANTES E CONDUTORES 
 
 
1.1 ELETRIZAÇÃO POR ATRITO 
Os primeiros registros dos quais se tem notícia, relacionados com 
fenômenos elétricos, foram feitos pelos gregos. O filósofo e matemático Thales de 
Mileto (séc. VI a.C.) observou que um pedaço de âmbar (pedra amarelada gerada 
pela fossilização de folhas e seiva de árvores ao longo do tempo), após atritada 
com a pele de um animal, adquiria a propriedade de atrair corpos leves como 
pedaços de palha e sementes de grama. 
Cerca de 2000 anos mais tarde o médico inglês William Gilbert (1544 -- 
1603) fez observações sistemáticas de alguns fenômenos elétricos, que resultaram 
nas seguintes constatações: 
 
 (a) vários outros corpos, ao serem atritados por contato com outros corpos, 
comportavam-se como o âmbar; 
 
 (b) a atração exercida por eles se manifestava sobre qualquer outro corpo. 
 
Gilbert introduziu os termos "eletrizado", "eletrização" e "eletricidade", 
nomes derivados da palavra grega para âmbar: elektron, visando descrever tais 
fenômenos. 
 
1.1.1 QUAL A NATUREZA DA ELETRICIDADE? 
 
O cientista francês François du Fay (1698--1739) procurou dar uma 
explicação à esse fenômeno da eletrização. Observando que um corpo era repelido 
após entrar em contato com um outro corpo eletrizado, concluiu que dois corpos 
eletrizados sempre se repelem. Entretanto esta idéia teve de ser modificada devido 
à novas observações experimentais que a contradiziam. O próprio du Fay observou 
16 
 
que um pedaço de vidro atritado com seda atraía um pedaço de âmbar que tivesse 
sido previamente atritado com pele; isto é, a experiência mostrou que dois corpos 
eletrizados poderiam se atrair. 
Baseando-se num grande número de experiências, lançou, então, em 1733, 
as bases de uma nova hipótese que teve grande aceitação durante todo o século 
XVIII. Segundo ele, existiam dois tipos de eletricidade: eletricidade vítrea 
(aquela que aparece no vidro após ele ser atritado com seda) e eletricidade 
resinosa (aquela que aparece no âmbar atritado com pele). Todos os corpos que 
possuíssem eletricidade de mesmo nome (vítrea ou resinosa) repeliriam-se uns aos 
outros. Por outro lado, corpos com eletricidade de nomes contrários, atrairiam-se 
mutuamente. 
Sua teoria ficou conhecida como a teoria dos dois fluidos elétricos (o 
vítreo e o resinoso), a ideia sendo que em um corpo normal esses fluidos se 
apresentariam na mesma quantidade. Portanto, de acordocom essas ideias, a 
eletricidade não era criada quando um corpo era atritado, os fluidos elétricos já 
existiam nos corpos e o que acontecia após os corpos serem atritados era uma 
redistribuição destes fluidos. 
 
ATIVIDADE 1.1 
Você pode verificar as primeiras observações dos fenômenos elétricos com um 
pequeno e simples experimento. Corte pequenos pedaços de linha de costura, por 
exemplo, com aproximadamente 2 cm de comprimento. Alternativamente você 
Você pode também cortar um pedaço de papel em vários pedacinhos. Atrite bem a 
extremidade de uma caneta com um pedaço de flanela ou pano de algodão ou 
ainda outro material sintético como, por exemplo, o poliéster. Aproxime a 
extremidade que foi atritada da caneta desses pedacinhos de linha (ou de papel). 
Descreva o que ocorre. 
 
Como frequentemente acontece em Física, apareceu uma outra explicação 
com base nos mesmos fenômenos. Vamos à segunda teoria: o cientista americano 
Benjamin Franklin (1701--1790), interessado no assunto, também realizou um 
grande número de experimentos que contribuiram de forma decisiva para a 
compreensão da natureza da eletricidade. 
Foram duas as suas contribuições fundamentais: primeiro formulou a 
hipótese de um fluido único. De acordo com sua teoria os corpos não eletrizados 
17 
 
possuem uma quantidade natural de um certo fluido elétrico. Quando um corpo é 
atritado com outro, um deles perde parte do seu fluido, essa parte sendo 
transferida ao outro corpo. Franklin dizia que um corpo --- como o vidro --- que 
recebia o fluido elétrico ficava eletrizado positivamente e o que o perdia --- 
como o âmbar ---, ficava eletrizado negativamente. Essa terminologia é usada 
até hoje e corresponde aos termos eletricidade vítrea e resinosa de du Fay. 
A segunda grande contribuição de Franklin foi a hipótese de que o fluido 
elétrico é conservado: ele já existe nos corpos e se redistribui quando os corpos são 
atritados. 
 
ATIVIDADE 1.2 
 Duas folhas de um mesmo tipo de papel são atritadas entre si. Elas ficarão 
eletrizadas? Por quê? 
 
Saiba Mais 
Você consegue perceber como funcionou o "método científico" proposto por Galileu 
com relação a este fenômeno? 
O método é baseado na experiência. A partir dela é que se fazem hipóteses para 
explicar a experiência. O atrito entre dois corpos de materiais diferentes mostrou a 
existência de um fenômeno (o da eletrização) e o comportamento de materiais 
diferentes (atração e repulsão, de acordo com a natureza deles) com relação à 
eletrização. Além disso, a experiência mostra em quais condições físicas ocorre o 
fenômeno estudado, o que nos permite saber mais sobre a natureza dele. 
 
Como decidir entre as duas teorias? Essa é também uma situação muito 
frequente na Física. Na época, com os dados disponíveis não era possível distinguir 
entre as duas. Qual foi então o ingrediente novo que resolveu a dúvida? Foi o 
estabelecimento da teoria atômica da matéria, em bases razoavelmente firmes, no 
primeiro quarto do século XX. 
A teoria atômica trouxe uma nova perspectiva para explicar os fenômenos 
de eletrização. De acordo com ela, todos os corpos (sejam eles sólidos, líquidos ou 
gasosos) são formados por átomos. Estes, por sua vez, são constituídos por três 
partículas elementares: os prótons, os nêutrons e os elétrons. Os prótons e os 
18 
 
nêutrons situam-se no núcleo dos átomos, enquanto que os elétrons, ocupam uma 
região em torno deste núcleo. 
A massa do elétron é 1836 vezes menor que a do próton, cuja massa é 
muito próxima da massa do nêutron, conforme mostra a Tabela 1.1. 
 
Tabela 1.1: Massa e carga elétrica do elétron, próton e nêutron. 
Partícula Massa (kg) Carga elétrica 
Elétron 3110109,9 −× - e 
Próton 2710672,1 −× + e 
Nêutron 2710675,1 −× 0 
 
Os prótons e os elétrons apresentam propriedades elétricas e a essas 
propriedades associamos uma grandeza fundamental, que denominamos carga 
elétrica. A cargas das partículas está indicada na Tabela 1.1. 
1.2 CARGAS ELÉTRICAS 
O conceito de carga elétrica é, na realidade, um conceito tão básico e 
fundamental que, no atual nível de nosso conhecimento, não pode ser reduzido a 
nenhum outro conceito mais simples e mais elementar. 
A carga elétrica é a grandeza física que determina a intensidade das 
interações eletromagnéticas, da mesma forma que a massa determina a 
intensidade das forças gravitacionais. 
 
1.2.1 ASPECTOS FENOMENOLÓGICOS E ORDENS DE GRANDEZA 
 
O estudo dos fenômenos elétricos levou a algumas leis empíricas que os 
resumiam: 
 
1) Existem dois tipos de cargas elétricas: positivas e negativas. As 
cargas elétricas de mesmo sinal se repelem, as de sinais contrários se 
atraem. 
 
Atribuímos à carga do elétron o nome de carga negativa e a representamos 
por e− . Já a carga do próton é denominada carga positiva, sendo descrita por 
e+ , ver Tabela 1.1. O nome positivo ou negativo é apenas uma convenção para 
19 
 
indicar o comportamento do corpo ao ser eletrizado, como foi sugerido por 
Benjamin Franklin. 
 O núcleo do átomo tem carga positiva e representa o número de prótons 
nele existente. Em um átomo neutro, a quantidade de prótons e elétrons são 
iguais. Da igualdade numérica entre prótons e elétrons, decorre que a carga 
elétrica total do átomo em seu estado natural é nula (o átomo em seu estado 
natural é neutro). 
A transferência de elétrons de um corpo para outro explica o aparecimento 
de carga elétrica em corpos depois de serem atritados. Quando dois corpos são 
atritados, um deles perde elétrons para o outro; o primeiro torna-se, então, 
eletricamente positivo, enquanto que o outro, torna-se eletricamente negativo. A 
experiência mostra que a capacidade de ganhar ou de perder elétrons depende da 
natureza dos materiais. 
2) Carga elementar : existe uma carga mínima. Até hoje nunca foi 
observado experimentalmente um corpo que tenha carga elétrica menor 
que a do elétron, representada por e . Somente foram observados corpos 
com cargas que são múltiplos inteiros de e . 
 
O caráter discreto da carga elétrica se manifesta principalmente em 
sistemas cuja carga total corresponde a poucas unidades da carga elementar. O 
fato de nenhum experimento ter revelado a existência de um corpo que tenha 
carga elétrica menor que a de um elétron, permite dizer que a carga elétrica é 
quantizada, isto é, existe em quanta (quantum, em grego, significa pedaço). 
Por isso, no eletromagnetismo clássico, é difícil perceber este aspecto da carga 
elementar. Mas é fácil entender porque. A resposta tem a ver com outro aspecto 
fundamental da compreensão dos fenômenos físicos: as ordens de grandeza. 
Se um corpo está carregado eletricamente, positiva ou negativamente, o 
valor de sua carga Q será um múltiplo inteiro da carga de um elétron 
,enQ = ...3,2,1,0 ±±±=n 
Por isso faz sentido tratar distribuições de cargas macroscópicas como se fossem 
contínuas, como faremos nas aulas seguintes. Vamos firmar esse idéia com um 
exemplo. 
No Sistema Internacional (SI) a unidade de carga eletrica é 1 
Coulomb. Quando essa unidade foi definida, no século XVIII, não se conhecia a 
20 
 
existência do elétron. Somente no século XX, com a descoberta dessa partícula 
elementar e a medida de sua carga, é que foi possível calcular a equivalência entre 
a carga do elétron e e o Coulomb, C . 
Um Coulomb corresponde a 181025,6 × elétrons em excesso (se a carga for 
negativa) ou em falta (se for positiva). Na eletrostática geralmente lidamos com 
cargas elétricas muito menores do que um Coulomb. Vamos ver com frequência as 
unidades milicoulomb -- )(10 3CmC − -- ou o microcoulomb -- )(10 6CC −µ . Mesmo 
assimelas ainda representam um número enorme de cargas elementares. A carga 
do elétron, medida em Coulomb, é: 
 
 Ce 19101,60= −× . 
 
EXEMPLO 1.1 
Quantos elétrons há em uma gota de água de massa 0,03g? 
Solução: 
Uma molécula de água 0)( 2H tem uma massa 23103= −×om g e contém 10 
elétrons. Uma gota de água contém ommn /= moléculas, ou: 
 moléculas
m
m
n
o
2110==
 
Logo, a gota terá 2210 elétrons. 
 
 
1.2.2 CONSERVAÇÃO E QUANTIZAÇÃO DA CARGA ELÉTRICA 
 
Os átomos que constituem os corpos são normalmente neutros, ou seja, o 
número de cargas positivas é igual ao número de cargas negativas. Entretanto, por 
algum processo, os corpos podem adquirir ou perder carga elétrica, como por 
exemplo, atritando um bastão de plástico com um pedaço de flanela. Entretanto, 
quando ocorre uma interação elétrica entre dois corpos, a carga total deles se 
mantém constante. Além disso, em todos os casos, a carga elétrica de um 
sistema isolado é sempre constante. 
Se o bastão ficar carregado positivamente é porque ele perdeu elétrons. 
Para que isso ocorra, a flanela deve ter recebido os elétrons do bastão. Observe 
21 
 
então que houve apenas uma transferência de cargas elétricas de um corpo para o 
outro. Nenhuma carga foi criada ou destruída. Esse fato é conhecido como o 
Principio da Conservação da Carga Elétrica. 
 
Com a teoria atômica, a eletrização por contato pôde ser explicada como 
será discutido nas próximas aulas. Entretanto, uma descrição teórica precisa da 
eletrização por atrito em termos microscópicos é muito difícil. Costuma-se 
colecionar os resultados experimentais e compilá-los em tabelas. Por exemplo, 
podemos colocar corpos em uma lista tal que atritando um corpo com outro da 
lista, fica carregado positivamente aquele que aparece antes nessa lista. Uma lista 
desse tipo ficaria: 
- Pêlo de gato, vidro, marfim, seda, cristal de rocha, mão, madeira, enxofre, 
flanela, algodão, gomalaca, borracha, resinas, metais... 
 
ATIVIDADE 1.3 
Quando se atrita enxofre com algodão, que carga terá cada material? 
 
Além da eletrização por atrito existem diversos métodos para eletrizar 
corpos materiais: por incidência de luz em metais, por bombardeamento de 
substâncias, por radiação nuclear e outros 
Saiba Mais 
Os prótons e os nêutrons são fortemente ligados entre si por uma força 
denominada força nuclear forte, que é muito intensa mas que age apenas em uma 
região do espaço da ordem do tamanho do núcleo. Ela não afeta os elétrons, que se 
mantêm presos ao átomo devido à uma força denominada força elétrica. 
Os prótons e nêutrons são compostos por partículas ainda menores, 
denominadas quarks. Os quarks foram previstos pelo físico teórico Murray Gell-
Mann em 1963 e detectados mais tarde (em 1973) por bombardeamento do núcleo 
de átomos com feixes de elétrons altamente energéticos. 
Tanto prótons quanto nêutrons são formados por três quarks de dois tipos: 
up e down. Um próton é formado por dois quarks do tipo up e um do tipo down. 
Um nêutron é formado por um quark do tipo up e dois do tipo down. Vale a pena 
ressaltar que nenhum quark livre ‘foi observado até hoje. 
22 
 
Corpos líquidos e gasosos também podem ser eletrizados por atrito: a 
eletrização das nuvens de chuva se dá pelo atrito entre as gotículas do ar e da 
água, na nuvem. 
 
1.3 ISOLANTES, CONDUTORES E A LOCALIZAÇÃO DA CARGA 
ELÉTRICA 
Na Natureza encontramos dois de tipos de material que se comportam de 
modo diferente com relação à eletricidade: os condutores e os isolantes. 
A principal questão envolvida na definição do que é um material condutor ou 
isolante tem muito a ver com a estrutura microscópica do material. No caso dos 
condutores metálicos, por exemplo, os materiais são formados por uma estrutura 
mais ou menos rígida de íons positivos, embebido num gás de elétrons, como 
ilustra a figura 1.1. Esses elétrons, por não estarem presos a átomos determinados, 
têm liberdade de movimento, e o transporte deles dentro de um metal ocorre com 
relativa facilidade. 
 
Figura 1.1: Representação esquemática de um condutor. 
 
Ao contrário dos condutores, existem sólidos nos quais os eletrons estão 
firmemente ligados aos respectivos átomos e os elétrons não são livres, isto é, não 
têm mobilidade, como no caso dos condutores. A figura 1.2 representa um esboço 
de um isolante. Nestes materiais, chamados de dielétricos ou isolantes, não será 
possível o deslocamento da carga elétrica. Exemplos importantes de isolantes são: 
a borracha, o vidro, a madeira, o plástico, o papel. 
 
Figura 1.2: Representação esquemática de um isolante. 
23 
 
 
As condições ambientais também podem influir na capacidade de uma 
substância conduzir ou isolar eletricidade. De maneira geral, em climas úmidos, um 
corpo eletrizado, mesmo apoiado por isolantes, acaba se descarregando depois de 
um certo tempo. Embora o ar atmosférico seja isolante, a presença de umidade faz 
com que ele se torne condutor. Além disto, temos também a influência da 
temperatura. O aumento da temperatura de um corpo metálico corresponde ao 
aumento da velocidade média dos íons e elétrons que os constituem, tornando mais 
difícil o movimento de elétrons no seu interior. 
Com relação aos isolantes, a umidade e condições de "pureza" de sua 
superfície (se existem corpúsculos estranhos ao material que aderiram a ela) são 
fatores importantes. A razão disto é que a umidade pode dissolver sais existentes 
na superfície do corpo recobrindo-o com uma solução salina, boa condutora de 
eletricidade. 
 
ATIVIDADE 1.4 
Metais como o alumínio e o cobre, de modo geral, são bons condutores de 
eletricidade e também são bons condutores de calor. Você acha que existe alguma 
relação entre as condutividades elétricas e térmicas desses materiais? Por quê? 
 
EXEMPLO 1.2 
A figura 1.3 mostra um aparato simples que pode ser reproduzido em casa. 
 
Materiais Utilizados: 
• Latinha de refrigerante 
• Pequenos pedaços (de 5 a 10 centímetros 
aproximadamente) de linha de costura ou 
similar 
• Um tubo de caneta de plástico. 
• Pano de algodão ou de material sintético 
como o poliéster (preferível) 
• Fita adesiva 
 
 
Figura 1.3a Latinha com 
linhas de costura 
 
Fixe os pedaços de linha, com fita adesiva, nas superfícies interna e externa da 
24 
 
lata. As linhas devem estar em contato com a lata. Coloque a lata sobre um tecido 
ou um pedaço de isopor. Atrite o tubo da caneta de plástico com o pano e toque a 
superfície da lata. 
a) Descreva o que foi observado com as linhas que estão nas superfícies 
interna e externa da lata quando você a toca com o tubo eletrizado. 
b) Crie hipóteses para explicar o que ocorre e discuta com os seus colegas. 
c) O comportamento observado depende do sinal da carga da caneta? 
 
Resolução 
a) Quando a caneta é atritada com o pano ela fica carregada eletricamente. A 
caneta recebe ou cede elétrons para o pano. Colocando-a em contato com a 
lata apenas as linhas que estão na superfície externa se elevam. Nada 
acontece com as linhas que estão no interior da lata. 
b) A lata de refrigerante é feita com alumínio que é um material de boa 
condutividade elétrica. Quando você toca a sua superfície com a caneta 
carregada haverá movimento de elétrons da lata para a caneta ou da caneta 
para a lata, dependendo do sinal da carga elétrica do tubo da caneta. Isso 
significa que a lata também ficará carregada eletricamente, ou seja, ela 
ficará com falta (ou excesso) de elétrons. As cargas em excesso se 
movimentam sobre toda a lata. As linhas que estão em contato com a lata 
também recebem parte dessa carga elétrica em excesso epor isso se 
repelem (Figura 1.3b). O fato que apenas linhas que estão na superfície 
externa se repelem evidencia que a carga elétrica em excesso de um 
condutor se distribui apenas sobre a sua superfície externa. Não há cargas 
elétricas em excesso no interior de um condutor. 
 
Figura 1.3b Linhas de costuram se repelem 
 
c) As linhas que estão na superfície externa da lata irão se repelir 
independente do sinal da carga da caneta. Se o tubo da caneta estiver 
carregado positivamente, elétrons da lata (inicialmente neutra) migrarão 
para a caneta de modo que a lata ficará carregada positivamente. Caso a 
caneta esteja carregada negativamente, quando ela toca a lata, parte de 
25 
 
seus elétrons em excesso migrarão para a lata deixando-a carregada 
negativamente. Também, nesse caso, as linhas que estão na superfície 
externa da lata irão se repelir. 
 
ATIVIDADE EXPERIMENTAL 
Tente reproduzir em casa o exemplo discutido acima. Deu certo? Se não, faça 
hipóteses para explicar o que pode estar ocorrendo e discuta com seus colegas. 
 
1.3.1 DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS ELÉTRICAS ADICIONADAS A ISOLANTES 
OU CONDUTORES 
É um fato experimental que quando adicionamos carga a um 
condutor, ela se distribui integralmente sobre a sua superfície externa. A 
razão disto é que cargas de mesmo sinal se repelem e cada carga tende a 
ficar o mais longe possível das outras. Então, mesmo que as cargas sejam 
colocadas dentro de um condutor maciço ou oco, elas tenderão a migrar 
para a superfície externa. 
 
ATIVIDADE 1.5 
a) Suponha que uma esfera metálica esteja inicialmente neutra e você a toque 
com uma régua carregada negativamente em determinado ponto. Dê 
argumentos para explicar por que, depois de certo tempo, a carga elétrica 
se distribuirá uniformemente sobre a superfície da esfera. 
b) Considere um material condutor que tenha uma superfície pontiaguda como, 
por exemplo, um para-raio. Em um material desse tipo a carga elétrica se 
distribuirá de maneira uniforme? Crie hipóteses e discuta com seus colegas. 
 
Outro fato experimental é que a quantidade de carga por unidade de 
área na superfície de um condutor em equilíbrio eletrostático não é, em 
geral, uniforme. Verifica-se que, onde o raio de curvatura do condutor é 
menor, ou seja, onde ele é mais pontudo, há maior concentração de 
cargas. Em contrapartida, quanto maior o raio de curvatura, menor a 
concentração de cargas. 
 
ATIVIDADE 1.6 
26 
 
Atrite bem uma caneta com um pano e aproxime-o de um filete estreito de 
água da torneira. A água é eletricamente neutra. 
a) Explique o fenômeno observado. 
b) O que foi observado depende do sinal da carga da caneta? Explique. 
 
No caso dos dielétricos, cargas podem existir em qualquer ponto do 
material, tanto no interior como na superfície. A concentração de cargas em um 
dielétrico é mais difícil de ser medida, e pode ser inferida a partir de certas técnicas 
que serão vistas mais adiante. 
 
ATIVIDADE 1.7 
Retire 4 pedaços de fita adesiva (2 pedaços de cada vez) e em seguida junte dois 
pedaços (de aproximadamente 10 cm) lado a lado da seguinte maneira: 
a) lado com cola/lado sem cola. b) lado com cola/lado com cola. 
Depois de juntos, separe-os, aproxime-os e observe o que ocorre. Peça a ajuda de 
um colega se tiver dificuldades para unir ou separar os pedaços. Explique o que foi 
observado. 
 
1.4 ELETRIZAÇÃO POR INDUÇÃO E POLARIZAÇÃO 
 
Quando aproximamos um bastão de vidro, atritado com seda, de um 
condutor neutro, provoca-se uma separação das cargas do corpo, embora o 
condutor como um todo continue eletricamente neutro, como mostra a figura 1.4a. 
Esta separação de cargas é denominada indução eletrostática. 
 
Figura 1.4: (a) corpo carregado próximo a um condutor, (b) condutor ligado à 
Terra e (c) condutor eletrizado. 
27 
 
 
Ao contrário da eletrização por atrito, a eletrização por indução ocorre sem 
haver contato entre os corpos, por isso, é uma ação a (curta) distância. 
É possível eletrizar um material condutor por indução: basta conectar o 
condutor na figura 1.4b (em presença do bastão), por meio de um fio metálico, à 
Terra. Essa ligação fará com que os elétrons livres passem do condutor à Terra, 
deixando o condutor carregado. 
Se o bastão for mantido próximo ao condutor, a distribuição de cargas é 
como na figura 1.4b. Se for retirado, as cargas se redistribuem mais 
uniformemente, de maneira a minimizar a repulsão entre elas, como ilustra a figura 
1.4c. 
Nos isolantes, observamos uma separação de cargas análoga à dos 
condutores, embora não seja possível carregá-los pelo mecanismo acima. 
Os dielétricos são constituídos por moléculas cuja distribuição interna de 
cargas pode ser de dois tipos: o centro das cargas positivas e negativas 
coincidem (moléculas apolares) ou não (moléculas polares). A água é um 
exemplo bem conhecido deste último tipo. Se um dielétrico polar não estiver 
eletrizado, as moléculas estarão distribuídas ao acaso como mostra a figura 1.5. 
 
 
Figura 1.5: Dielétrico não polarizado. 
 
Ao aproximarmos desse dielétrico um corpo carregado, ocorrerá um 
alinhamento nas moléculas do isolante, como ilustrado na figura 1.6. 
 
 
28 
 
 Figura 1.6: Dielétrico polarizado. 
Esse efeito é denominado polarização. Ele faz aparecer cargas elétricas de 
sinais contrários nas extremidades do dielétrico, como no caso mostrado na figura 
1.7. 
 
 
Figura 1.7: Cargas contrárias nas extremidades do dielétrico. 
 
Se as moléculas forem apolares, elas inicialmente polarizar-se-ão de 
maneira análoga àquela em que houvesse indução eletrostática enquanto o corpo 
carregado estiver próximo do dielétrico. Quando o corpo for afastado, o dielétrico 
voltará a ser neutro. 
 
1.5 ELETROSCÓPIOS 
 
Um eletroscópio é um dispositivo que nos permite verificar se um corpo está 
eletrizado. Um tipo comum de eletroscópio é o eletroscópio de folhas. Ele consiste 
em uma haste condutora tendo em sua extremidade superior uma esfera metálica e 
na extremidade inferior, duas folhas metálicas leves, sustentadas de modo que 
possam se abrir e se fechar livremente, como pode ser visto na figura 1.8. 
 
 
Figura 1.8: Eletroscópio de folhas. 
 
Se um corpo eletrizado positivamente for aproximado do eletroscópio (sem 
tocá-lo), vai haver indução eletrostática e os elétrons livres serão atraídos para a 
29 
 
esfera. Dado que a carga total é conservada, um excesso de cargas positivas vai 
aparecer nas folhas, que tenderão a se repelir. Por isso, as duas folhas tenderão a 
se separar. 
O que aconteceria se o corpo que se aproxima do eletroscópio estivesse 
eletrizado negativamente? É fácil chegar à conclusão de que aconteceria 
exatamente a mesma coisa, porém as cargas negativas se localizariam nas folhas e 
as cargas positivas na esfera. 
Um resultado importante desses fatos é que em ambos os casos ocorre a 
abertura das folhas. Então não é possível determinar o sinal da carga do corpo 
carregado que se aproximou, apenas se ele está ou não carregado. 
 
Suponhamos um eletroscópio carregado positivamente, como na figura 1.9. 
Se aproximarmos um corpo eletrizado desse sistema, observamos que as folhas do 
eletroscópio, que estavam abertas, se aproximam ou se afastam. De fato, se o 
objeto estiver carregado negativamente, elétrons livres da esfera serão repelidos e 
se deslocarão para as folhas. Esses elétrons neutralizarão parte da carga positiva aí 
existente e por isso o afastamento entre as folhas diminui. Analogamente, podemos 
concluir que, se o afastamentodas folhas for aumentado pela aproximação do 
corpo, o sinal da carga nesse corpo será positivo. 
 
 
 Figura 1.9: Eletroscópio de folhas carregado positivamente. 
 
EXEMPLO 1.3 
Considere duas esferas metálicas como as da figura 1.10. 
30 
 
 
Figura 1.10: Esfera metálica montada sobre um suporte de material isolante. 
 
a) Como é possível carregá-las com cargas de sinal contrário utilizando um 
bastão de vidro atritado com seda? 
b) Se uma das esferas fosse maior, elas ficariam com a mesma quantidade de 
carga após o processo escolhido por você no item a? 
Solução 
Em primeiro lugar, do que vimos da eletrização por atrito, sabemos que um 
bastão de vidro atritado com seda vai ficar carregado positivamente. Se 
aproximarmos esse bastão de uma das esferas condutoras, teremos a situação da 
figura 1.4a. 
Não podemos tocar as esferas com o bastão. Mas, que tal aproximarmos as 
esferas até que elas se toquem? 
Elétrons da esfera à esquerda vão migrar para a esfera da direita, figura 
1.11a, anulando as cargas positivas. Haverá, então, um excesso de cargas positivas 
na esfera da esquerda. 
Afastando-se as esferas e também o bastão, a esfera da direita estará 
carregada negativamente e a da esquerda, positivamente. A situação final está 
esquematizada na figura 1.11b. Fica claro que o tamanho das esferas não tem 
papel algum no processo. 
 
 
Figura 1.11: (a) transferência de elétrons entre as duas esferas e (b) configuração 
final de cargas. 
 
31 
 
ATIVIDADE 1.8 
Considere novamente as duas esferas metálicas da figura 1.11. Determine uma 
maneira de carregá-las eletricamente, com cargas elétricas de mesmo sinal, 
utilizando um bastão carregado. 
 
ATIVIDADE 1.9 
O fato de que não é possível determinar o sinal da carga nessas condições não 
significa que não seja possível fazer isso modificando o experimento. Qual seria 
essa modificação? Pense um pouco antes de consultar a resposta! 
 
ATIVIDADE 1.10 
Sabe-se que o corpo humano é capaz de conduzir eletricidade. Explique então 
porque uma pessoa segurando uma barra metálica em suas mãos não consegue 
eletrizá-la por atrito? 
 
EXEMPLO 1.4 
Um ônibus em movimento adquire carga eletrica em virtude do atrito com o ar. 
a) Se o clima estiver seco, o ônibus permanecerá eletrizado? Explique. 
b) Ao segurar nesse ônibus para subir, uma pessoa tomará um choque. 
Por quê? 
c) Esse fato não é comum no Brasil. Por quê? 
 
Solução: 
a) Sim, pois os pneus são feitos de borracha, que é um isolante, e impedem 
que o ônibus seja descarregado para a Terra. 
b) O choque elétrico será causado pelo fato de que nossa mão é um 
condutor e haverá troca de cargas entre o ônibus e a mão da pessoa. 
c) A umidade do nosso clima traz à discussão um novo elemento: a água. 
Como você sabe a água pura não é um bom condutor. Contudo, é muito difícil 
encontrar água pura e a presença de sais, normalmente dissociado em íons, 
transforma a água em excelente condutora de eletricidade. Devido a isso, os ônibus 
num clima muito úmido nunca chegam a reter uma carga apreciável. 
32 
 
 
ATIVIDADE 1.11 
 (a) Os caminhões transportadores de combustível costumam andar com uma 
corrente metálica que arrasta no chão. Explique. 
(b) Porque os materiais usados nas indústrias de tecido e papel precisam ficar 
em ambientes umedecidos? 
 
1.6 APLICAÇÃO TECNOLÓGICA DO FENÔMENO ELETRIZAÇÃO 
 
A eletrização de corpos por atrito é utilizado nos dispositivos de obtenção de 
fotocópias (xerox, etc). Por exemplo, o pó negro resinoso é misturado com 
minúsculas esferas de vidro. Durante esse processo, as esferas adquirem cargas 
positivas e os grãos de pó, cargas negativas. Devido à força de atração, os grãos de 
pó cobrem a superfície das esferas, formando um camada fina. 
O texto ou desenho a ser copiado é projetado sobre uma placa fina de 
selênio, cuja superfície está carregada positivamente. Essa placa dispõe-se sobre 
uma superfície metálica carregada negativamente. Sob a ação da luz, a placa 
descarrega e a carga positiva fica apenas nos setores que correspondem aos locais 
escuros da imagem. Depois disso, a placa é revestida por uma fina camada de 
esferas de vidro. A atração de cargas de sinais contrários faz com que o pó resinoso 
se deposite na placa com cargas negativas. Em seguida, as esferas de vidro 
retiram-se por meio de uma sacudidela. Apertando com força a folha de papel 
contra a placa, pode-se obter uma boa impressão. Fixa-se, finalmente, esta última 
por meio de aquecimento. 
 
ATIVIDADE 1.12 
Pesquise sobre as diferenças das impressoras a laser e a jato de tinta. Como 
são geradas as imagens dos caracteres nesses dois tipos de impressoras? 
 
 
 
 
33 
 
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS 
 
ATIVIDADE 1.1 
 
Somente depois de atritado, o papel ou a linha são atraídos pela caneta. 
 
ATIVIDADE 1.2 
 
Se os corpos são compostos da mesma substância, ao serem atritados não 
haverá transferência de elétrons de um corpo para outro e eles permanecerão 
como estão. 
 
ATIVIDADE 1.3 
 
Na lista acima, que relata os materiais de acordo com a facilidade de 
adquirirem cargas positivas, o enxofre vem antes do algodão. Portanto, quando o 
algodão atrita o enxofre, ele adquire carga negativa. O enxofre, obviamente, 
adquire carga positiva. 
 
ATIVIDADE 1.4 
 
As condutividades térmicas e elétricas estão diretamente relacionadas aos 
elétrons livres presentes no material. Condutores possuem elétrons livres na sua 
estrutura por isso são bons condutores de eletricidade e de calor. 
 
ATIVIDADE 1.5 
 
a) Cargas elétricas de mesmo sinal se repelem, enquanto que cargas de 
sinais opostos se atraem (figura 1.12a). Se você toca uma esfera com uma régua 
carregada, a esfera também ficará carregada, pois haverá movimento de elétrons 
de uma para a outra (figura 1.12b). Devido à repulsão dos elétrons, que possuem 
mobilidade dentro de um condutor, eles se movem por toda a superfície da esfera 
até atingirem uma situação de equilíbrio, chamado equilíbrio eletrostático. Nessa 
situação a distribuição de cargas na esfera é uniforme (figura 1.12c). 
 
 
34 
 
 
Figura 1.12 (a) a régua 
polariza a esfera condutora. 
(b) eletrização por contato 
entre a régua e a esfera. 
(c) equilíbrio eletrostático 
após o contato ser desfeito. 
 
b) Em materiais condutores com pontas, a carga elétrica não fica distribuída 
uniformemente sobre a sua superfície. Devido à repulsão entre os elétrons, boa 
parte deles se dirige para as regiões com ponta até que se estabeleça a condição de 
equilíbrio. Veja a figura 1.13. 
 
 
Figura 1.13 poder das pontas 
 
ATIVIDADE 1.6 
 
a) Quando a caneta eletrizada é aproximada do filete de água, este é atraído 
devido à POLARIZAÇÃO. A água é uma molécula polar. Embora ela seja 
eletricamente neutra, ocorre um ligeiro deslocamento de cargas, de modo que a 
extremidade ocupada pelo átomo de oxigênio fica com uma carga liquida 
negativa e a extremidade ocupada pelos átomos de hidrogênio fica com uma 
carga liquida positiva. Desse modo, quando a caneta negativamente carregada 
é aproximada do filete as moléculas de água sofrem um pequeno deslocamento 
conforme a figura 1.14a. Ocorre então atração entre a carga positiva da 
molécula de água e a carga negativa da régua. Ocorre também repulsão entre a 
carga negativa da molécula de água (extremidadeocupada pelo átomo de 
oxigênio) e a carga negativa da caneta, mas essa interação é menos intensa 
que a atração, pelo fato dessas cargas estarem a uma distância maior – isso 
será bem estudado com a lei de Coulomb, que relaciona a intensidade da força 
35 
 
elétrica entre cargas e a distancia entre elas; quanto maior a distância entre 
duas cargas elétricas menor é a intensidade da força elétrica entre elas. 
b) Haverá atração entre o filete de água e a caneta eletrizada independente do 
sinal da carga da caneta. Se, por exemplo, a caneta estivesse carregada 
positivamente as moléculas de água também sofreriam um ligeiro 
deslocamento, ficando a extremidade negativa mais próxima da régua, 
conforme a figura 1.14b. 
 
 
 
Figura 1.14 (a) atração do 
filete de água pela caneta 
eletrizada 
(b) atração do filete de água 
pela caneta eletrizada 
independe do sinal da carga. 
ATIVIDADE 1.7 
 
a) Juntando os lados com cola/sem cola de dois pedaços de fita adesiva, 
separando-os e em seguida aproximando-os, você poderá observar que eles se 
atraem. Isso por que ao separá-los, o pedaço sem cola perde elétrons para o 
pedaço da fita adesiva com cola. Veja a figura 1.15a. 
b) É possível que juntando os dois lados com cola você não tenha observado 
nenhuma interação entre os dois pedaços de fita adesiva. Isso por que a cola é 
um isolante e estará presente nos dois pedaços de fita. Então não há perda ou 
ganho de cargas para que os pedaços de fita adesiva fiquem carregados 
eletricamente. Veja a figura 1.15b. 
 
 
36 
 
 
Figura 1.15 (a) junção das 
fitas com cola em apenas um 
lado. 
(b) junção das fitas com cola 
dos dois lados 
ATIVIDADE 1.8 
 
A aproximação do bastão carregado provoca uma separação de cargas que 
pode ser vista na figura 1.4a. Se na extremidade oposta ao bastão for conectado 
um fio terra, elétrons da Terra migrarão para essa extremidade, atraídos pela carga 
positiva em excesso deste lado. Depois de retirado o fio terra e afastado o bastão, 
a esfera ficará com cargas elétricas negativas em excesso, em outras palavras, fica 
carregada negativamente, veja a figura 1.4c. Agora basta colocar as duas esferas 
em contato para que as duas fiquem carregadas com o mesmo sinal. 
 
 
 Figura 1.16: Esferas carregadas com o mesmo sinal. 
 
ATIVIDADE 1.9 
 
Seria necessário, em primeiro lugar, eletrizar o eletroscópio. Isto pode ser 
feito ou por atrito ou por indução usando os métodos das seções anteriores. Se o 
sinal da carga do eletroscópio for conhecido, podemos descobrir o sinal da carga de 
um corpo eletrizado que se aproxima. Suponhamos um eletroscópio carregado 
positivamente, como na figura 1.17. Se aproximarmos um corpo eletrizado desse 
sistema, observaremo que as folhas do eletroscópio, que estavam abertar, se 
37 
 
aproximam ou se afastam. De fato, se o objeto estiver carregado negativamente, 
elétrons livres da esfera serão repelidos e se deslocarão para as folhas. Esses 
elétrons neutralizarão parte da carga positiva aí existente e por isso o afastamento 
das folhas diminui. Analogamente, podemos concluir que, se o afastamento das 
folhas for aumentado pela aproximação do corpo, o sinal da carga nesse corpo será 
positivo. 
 
Figure 1.17 Descobrindo o sinal da carga de teste em um eletroscópio de 
folhas. 
 
ATIVIDADE 1.10 
O corpo humano funciona como um fio terra. 
 
ATIVIDADE 1.11 
 
(a) O fato da corrente ser condutora permite o estabelecimento de um 
contato direto com a Terra. Isso então impede que o caminhão adquira quantidades 
de cargas capazes de provocar centelhas. 
(b) A eletricidade desses materiais vai se transferir para as gotículas de 
água, que conduzirão para a Terra a carga elérica que se forma por atrito. 
 
PENSE E RESPONDA 
 
PR1.1) Em dias úmidos as demonstrações de eletrostática não funcionam muito 
bem. Você consegue explicar o por quê? 
 
PR1.2) Um operador da central de processamento de dados da Usiminas reclamava 
que seu computador desligava misteriosamente toda vez que ele tocava no teclado. 
Seu chefe então ordenou que retirassem as rodinhas da cadeira do operador, que 
ficava em cima de um carpete. Você acha que o problema foi resolvido? 
38 
 
 
PR1.3) Os astronomos que utilizam os telescópios do Cerro Tololo InterAmerican 
Observatory (CTIO) localizado no deserto de Atacama, Chile são obrigados a 
trabalhar aterrados o tempo todo. Você consegue explicar o por quê? 
 
PR1.4) Duas cargas q1 e q2 atraem-se mutuamente. Uma carga q3 repele a carga 
q2. As cargas q1 e q3 , quando colocadas próximas uma da outra, serão atraídas, 
repelidas ou nada acontecerá? 
 
PR1.5) Você consegue imaginar um experimento para mostrar que a água pura não 
é boa condutora de eletricidade? 
38 
 
AULA 2 LEI DE COULOMB 
 
 
OBJETIVOS 
• ENUNCIAR AS CARACTERÍSTICAS DA FORÇA ELÉTRICA 
• APLICAR A LEI DE COULOMB EM SITUAÇÕES SIMPLES 
• EXPLICAR O SIGNIFICADO DA CONSTANTE DE PERMISSIVIDADE DO VÁCUO 
 
 
2.1 A LEI DE COULOMB 
 
Em 1785, Charles Augustin de Coulomb (1736 - 1806) realizou uma série de 
medidas cuidadosas das forças entre duas cargas usando uma balança de torção, 
semelhante à que Cavendish usou para comprovar a teoria da Gravitação. Através 
dessas medidas, Coulomb mostrou que, tanto para a atração como para a repulsão de 
cargas elétricas pontuais: 
 
(a) o módulo da força de interação F entre duas cargas pontuais é proporcional ao 
produto dessas cargas, ou seja: 
 21QQF ∝ 
 
(b) o módulo da força de atração ou repulsão entre duas cargas pontuais é 
inversamente proporcional ao quadrado da distância r entre elas. 
 
 2
1
r
F ∝
 
 
 
A força F que atua entre as cargas é denominada força elétrica ou força 
eletrostática. 
 
A experiência nos mostra também que a força elétrica tem as seguintes 
características: 
 
(a) é uma força de ação e reação; sua direção é a da linha que une as duas cargas e o 
seu sentido depende do sinal relativo das cargas, como se vê na figura 2.1; 
 
(b) a força entre duas cargas elétricas é sempre instantânea, de acordo com a Física 
39 
 
Clássica; 
 
(c) a força depende do meio em que as cargas elétricas estão situadas. 
 
 Tendo em vista essas informações, podemos escrever que o vetor força 
elétrica que atua entre duas cargas elétricas pontuais pode ser escrito como: 
 
 r
r
QQ
KF e ˆ= 2
21
r
 
(2.1) 
 
em que eK é uma constante de proporcionalidade e rˆ é o vetor unitário na direção 
que passa pelas cargas elétricas (na Figura 2.1, ele tem o sentido de 1Q para 2Q ). A 
equação 2.1 é a expressão matemática da Lei de Coulomb. 
 
 
 
Figura 2.1: (a) e (b) duas cargas de mesmo sinal se repelem. (c) cargas de sinais 
opostos se atraem. Estão indicados também os vetores força elétrica 12F
r
 
da carga 1Q 
sobre 2Q e 12F
r
 
da carga 2Q sobre 1Q bem como o vetor unitário rˆ . Pela 3ª. Lei de 
Newton temos que .2112 FF
rr
−= 
 
A dependência da força elétrica com o meio é levada em conta na constante eK
. Para o vácuo, eK é escrita na forma: 
 
04
1
=
εpie
K 
em que 0ε é uma outra constante denominada permissividade do vácuo. 
Se medirmos a carga elétrica em Coulomb, o valor dessa constante no SI é: 
40 
 
 
 221120 ..108,854= CmN −−−×ε 
 
O valor numérico de eK e sua unidade são, então: 
 
 229 ..108,9874= −× CmNKe 
 
O valorda permissividade do ar é muito próximo do valor da permissividade do 
vácuo. Assim vamos supor que elas são iguais. Dessa forma, a lei de Coulomb pode 
ser escrita como: 
 
 r
r
QQF ˆ
4
1
= 2
21
0εpi
r
 
(2.2) 
 
SAIBA MAIS 
O SISTEMA DE UNIDADES NA ELETROSTÁTICA 
Na equação 2.1 conhecemos as unidades de força e de distância; falta então 
definir as unidades de carga elétrica e da constante eK . Isso pode ser feito de duas 
maneiras: 
 
(1) podemos atribuir à constante eK um valor arbitrário ( 1=eK , para facilitar) e 
determinar a unidade de carga de modo tal que a força elétrica que atue entre duas 
cargas unitárias, situadas à distância unitária uma da outra, seja também unitária. 
Essa foi a maneira adotada para o sistema CGS de unidades (o sistema CGS tem como 
unidades fundamentais o centímetro, o grama e o segundo). Nele, escreve-se o 
módulo da lei de Coulomb para o vácuo como: 
 2
21
=
r
QQF
 
A unidade de carga é chamada de statcoulomb. Duas cargas de 1 statcoulomb, 
situadas a um centímetro de distância uma da outra no vácuo, exercem uma força 
mútua de 1 dyna ( 510− N). Temos que 1 statcoulomb = 3,336 x .10 10C− 
 
41 
 
(2) A outra maneira consiste em definir a unidade de carga independentemente da lei 
de Coulomb e determinar o valor da constante eK experimentalmente, a partir da 
unidade de carga. O inconveniente desse modo é que, toda vez que uma medida da 
constante muda seu valor, a unidade de carga elétrica tem que ser modificada. 
 
O Coulomb foi definido através do conceito de corrente elétrica, sendo portanto, 
independente da lei de Coulomb. Ele é a unidade de carga elétrica adotada no sistema 
MKS (que tem como unidades fundamentais o metro, o quilograma e o segundo), e a 
constante eK , nesse sistema, é determinada experimentalmente. 
 
Em 1901, Giovanni Giorgi (1871 -- 1950) mostrou que o sistema de unidades 
do eletromagnetismo poderia ser incorporado ao sistema MKS, admitindo que a carga 
elétrica é a quarta grandeza fundamental deste sistema, além do comprimento, tempo 
e massa (fato que, inclusive, foi a origem do Sistema Internacional). Para isso, bastava 
modificar algumas equações do eletromagnetismo. Uma dessa modificações implicou 
em escrever a constante eK na forma: 
 
04
1
=
εpie
K 
em que a nova constante 0ε , denominada permissividade do vácuo, tem como valor: 
 22112270 ..108,854=10.4
1
= CmN
c
−−−
−
×
pi
ε
 
 
Em 1960, na 11ª Conferência Geral de Pesos e Medidas, decidiu-se adotar um 
valor fixo para a constante eK no vácuo e definir o Coulomb a partir dele. Assim, 
adotou-se o valor: 
 927 108,9874=10= ×− cK e 
em que c é a velocidade da luz no vácuo. 
Com esse valor de eK , a unidade de carga --- o Coulomb --- passou a ser 
definida como a carga que, colocada no vácuo, a um metro de uma carga igual, a 
repeliria com uma força de 9108,9874 × N. A unidade de eK no SI é N.m 2 /C 2 . 
 
42 
 
 EXEMPLO 2.1 
Qual a magnitude da força eletrostática repulsiva entre dois prótons separados em 
média de m15102,4 −× em um núcleo de Ferro? 
 
Solução: Escrevemos imediatamente: 
 2
2
04
1
=
r
QF
piε 
ou:
 
 N
m
CCmN
m
CF 03,13=)10(4,2
)10)(1,60/10(8,988
)10(4,2
)10(1,60
4
1
= 215
219229
215
219
0
−
−
−
−
×
××
=
×
×
εpi
 
 
 ATIVIDADE 2.1 
Compare a magnitude da força gravitacional entre esses dois prótons com a magnitude 
da força elétrica calculada no exemplo 2.1? 
 
 EXEMPLO 2.2 
Duas bolinhas pintadas com tinta metálica estão carregadas. Quando estão afastadas 
de 2100,4 × m atraem-se com uma força de 51027× N. Encosta-se uma na outra sem 
tocar-lhes com a mão. Afastando-as novamente até a distância de 2100,4 × m elas se 
repelem com a força de 5109× N. Explique porque a força mudou de atrativa para 
repulsiva. 
Solução: Vamos começar pensando nos princípios gerais de Física que envolvem 
cargas: lei de Coulomb e conservação da carga. A lei de Coulomb nos diz que as 
cargas vão se atrair porque as suas cargas são opostas. A conservação da carga nos 
diz que a carga total se conserva no processo podendo apenas se redistribuir. Então, 
ao serem postas em contato, as bolinhas vão sofrer uma redistribuição de carga graças 
às forças de atração. Como quantidades iguais de cargas de sinais contrários se 
cancelam, temos, no final, uma carga líquida de mesmo sinal em ambas as bolinhas, 
causando portanto uma força repulsiva entre elas. 
43 
 
 
2.2 FORÇA DE UM CONJUNTO DE CARGAS 
 
 Como acontece com a força gravitacional, as forças eletrostáticas também 
obedecem ao Princípio de Superposição. Quando um conjunto de várias cargas 
exercem forças (de atração ou repulsão) sobre uma dada carga 0q , a força total sobre 
esta carga é a soma vetorial das forças que cada uma das outras cargas exercem 
sobre ela: 
 
i
i
i
i
N
i
i
i
i
N
i
i
N
i rr
rr
rr
qq
rr
rr
qq
FF rr
rr
rrrr
rr
−
−
−
=−
−
∑∑∑
0
0
2
01=0
0
02
01=0
0
1= 4
ˆˆ
4
==
piεpiε
 (2.3) 
 
 
 
em que iq é a i-ésima carga do conjunto, irr
rr
−0 é a distância entre 0q e a carga iq 
e irr ˆˆ0 − é o vetor unitário da direção que une a carga 0q à carga iq , cujo 
sentido é o de 0q para iq . Ou seja, cada carga interage com uma dada carga 0q 
independentemente das outras, e a força resultante sobre 0q é a soma vetorial de 
cada uma dessas forças. 
 
 EXEMPLO 2.3 
Três cargas 1,5=1 +Q mC, 0,5=2 −Q mC e 0,2=3Q mC estão dispostas como na 
Figura 2.2 (1 mC = 310− C). A distância entre as cargas 1Q e 3Q vale 1,2m e a 
distância entre as cargas 2Q e 3Q vale 0,5 m. Calcular a força resultante sobre a 
carga 3Q 
 
Solução: Seja um sistema de coordenadas com origem na carga 3Q , e eixos dirigidos 
como mostrado na Figura 2.2. 
44 
 
 
Figura 2.2 – Disposição das cargas elétricas do Exemplo 2.3 
 
A força de 1Q sobre 3Q é repulsiva pois ambas as cargas são positivas; a força 
de 2Q sobre 3Q é atrativa pois as cargas possuem sinais diferentes, Assim, temos 
que: 
 N
m
CCCmN
r
QQFx 322
33
229
2
13
31
0
101,88=(1,2)
)10(0,2)10(1,5/109,0=
4
1
= ×
××
×
−−
piε
 
e: 
 N
m
CCCmN
r
QQ
Fy
3
22
33
229
2
23
32
0
103,60=
0,5
)10(0,2)10(0,5/100,9=
4
1
= ×
××
×
−−
piε 
 
Note que as equações acima nos dão o módulo das componentes da força total. 
Portanto, nelas, as cargas entram sempre com sinal positivo. A direção e sentido das 
forças componentes são determinadas com um diagrama, ver figura2.3. O módulo da 
força resultante F é: 
 .104,06== 322 NFFF yx ×+ 
Como a força elétrica é um vetor, temos que especificar sua direção e sentido. Se θ é 
o ângulo que o vetor F
r
 faz com o eixo Ox, temos: 
 .4,62=91,1=
101,88
103,60
==t 3
3
oθθ ⇒
×
×
x
y
F
F
g 
 
45 
 
 
 Figura 2.3: Diagrama das componentes do vetor força, F
r
. 
 
 EXEMPLO 2.4 
Uma carga Q é colocada em cada um de dois vértices da diagonal de um quadrado. 
Outra carga q é fixada nos vértices da outra diagonal, conforme mostra a Figura 2.4 . 
Para que a carga Q do vértice inferior esteja sujeitaà uma força eletrostática 
resultante nula, como devem estar relacionadas as cargas Q e q ? 
 
 
Figura 2.4 – Disposição das cargas elétricas do exemplo 2.4. 
 
Solução: Uma inspeção na figura nos mostra que as cargas Q e q devem ter sinais 
opostos, para que não não haja força sobre Q . As forças eletrostáticas que atuam na 
carga Q do vértice inferior do quadrado são mostradas na Figura 2.4. Temos que: 
 
 0=cos= qQQQx FFF +−∑ α 
 0== qQQQy FsenFF +−∑ α 
 
 em que α é o ângulo que QQF faz com o eixo Ox. Mas: 
46 
 
 ,21/2/=cos =aaα 
 ,
24
1
= 2
2
0 a
QFQQ piε 
e 
 .
4
1
= 2
0 a
qQFqQ piε 
Com esses valores, a condição de equilíbrio fica: 
0=
4
1
2
1
24
1
2
0
2
2
0 a
qQ
a
Q
piεpiε
+





−
 
0=
2
1
2 22
2
a
qQ
a
Q
+





−
 
0=
22
qQ +





− 
qQ =
22 
Finalmente, levando em conta que as cargas tem sinais opostos, temos: 
qQ 22= − 
(o sinal negativo indica cargas de sinal contrário). 
 
 ATIVIDADE 2.2 
Duas esferas condutoras de massa m estão suspensas por fios de seda de 
comprimento L e possuem a mesma carga q , como é mostrado na Figura 2.5.: 
(a) Considerando que o ângulo θ é pequeno, calcule a a distância x entre as 
esferas, no equilíbrio, em função de q , m , L , 0ε e g . 
 
(b) Sendo 80=L cm; m = 5,0 g e x = 10,0 cm, calcule o valor de q para 
essa situação. Verifique se, com esses dados, a hipótese de que θθ eng st ≈ é válida. 
47 
 
 
 Figura 2.5: Esferas condutoras suspensas. 
 
 ATIVIDADE 2.3 
Suponha que o gráfico da figura 2.6 corresponda a duas bolas de beisebol com massas 
0,142 kg e cargas positivas iguais. Para cada bola determine o número de elétrons que 
faltam e estime a fração destes elétrons faltantes em relação ao número de cargas 
positivas. 
 
 Figura 2.6- Gráfico de F F versus r . 
 
 
 
 2.3 A LEI DE COULOMB EM UM DIELÉTRICO 
 
 Suponhamos agora, que duas cargas 1Q e 2Q fossem colocadas no interior de 
um material dielétrico qualquer. A experiência nos mostra que, nesse caso, a interação 
entre as cargas sofre uma redução, cuja intensidade depende do meio. 
O fator de redução é denotado por k é chamado de constante dielétrica do 
meio. Assim: 
48 
 
 .ˆ
4
1
= 2
21
0
r
r
QQ
k
F
εpi
r
 (2.4) 
 
 Uma maneira de compreender esse fato é considerando uma situação simples. 
Sejam duas placas condutoras situadas no vácuo, carregadas eletricamente com 
cargas iguais mas de sinais contrários, conforme mostra a figura 2.7. 
 
 
 Figura 2.7: Carga entre placas condutoras. 
 
Colocando-se uma carga q entre as placas, uma força F
r
 atua sobre essa carga 
devido às cargas nas placas. 
Se essas placas forem preenchidas por um dielétrico, já sabemos que o 
dielétrico ficará polarizado, como discutimos anteriormente: as cargas que 
aparecem na superfície do dielétrico são denominadas cargas de polarização. 
 
 
 Figura 2.8: Polarização de um dielétrico entre placas carregadas 
 
 Na Figura 2.8 é fácil perceber que o efeito líquido dessa polarização será 
neutralizar parcialmente as cargas das duas placas e portanto a força original (no 
vácuo) oF vai diminuir. O grau de polarização do meio vai nos dizer quantitativamente 
o tamanho dessa diminução. A Tabela 2.1 mostra os valores da constante dielétrica de 
alguns materiais. 
 
 
 
 
49 
 
TABELA 2.1: CONSTANTE DIELÉTRICA PARA ALGUNS MATERIAIS 
Material Constante 
dielétrica (K) 
 Vácuo 
Ar 
Benzeno 
Âmbar 
Vidro 
Óleo 
Mica 
Glicerina 
Água 
 1,0000 
 1,0005 
 2,3 
 2,7 
 4,5 
 4,6 
 5,4 
43 
81 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS 
 
ATIVIDADE 2.1 
 
Usamos a lei de Newton de gravitação: 
 2
2
=
r
m
GF p 
Com os valores dados, temos que: 
 
 .101,05=)10(4,2
)10)(1,67/10(6,67
=
35
215
2272211
N
m
KgkgmNFg
−
−
−−
×
×
××
 
 
A força gravitacional é cerca de 1036 vezes menor que a força elétrica. Esse resultado 
nos diz que a força gravitacional é muito pequena para equilibrar a força eletrostática 
existente entre os prótons no núcleo dos átomos. É por isso que temos que invocar a 
existência de uma terceira força, a força forte, que age entre os prótons e os nêutrons 
quando estão no núcleo. A força forte é uma força atrativa.
 
 
 
ATIVIDADE 2.2 
 
(a) Vamos estudar as forças que agem nas esferas: 
 
 
 Figura 2.9: Forças que agem nas eferas 
 
Note da Figura 2.9 que a ação da força peso é anulada pela componente vertical da 
tensão na corda yT e a força elétrica, pela sua componente horizontal. 
51 
 
Matematicamente, essas condições se expressam da seguinte maneira: 
 2
2
04
1
==
x
qFTsen C εpi
θ 
e: 
 mgT =cosθ 
Agora, a melhor estratégia para eliminar a incógnita T é dividir as duas equações. 
Teremos: 
 
mgx
q
g 2
0
2
4
t
εpi
θ = 
Se Lxseng /2=t θθ ≈ (ver figura) então: 
 
mg
Lq
x
mgx
q
L
x
0
2
3
2
0
2
4
2
=
4
=
2 εpiεpi
⇒ 
Portanto: 
 
1/3
0
2
2
= 





mg
Lq
x
εpi
 
 (b) Temos: 
 C
L
mgx
q 815
1/23
0 105,9103,47
2
4
=
−− ×=×≈





±
εpi
 
e 
 0,06=
0,802
10,0
=
2
=s
×L
x
enθ 
 0,9964(0,06)1=cos 2 ≅−θ 
 
Portanto a hipótese é verificada. 
 
ATIVIDADE 2.3 
Vamos começar calculando a carga q , igual em ambas as bolas: .
4/1
=
0
2
piε
Frq
 
 
Podemos escolher qualquer ponto na curva para calcular q . Por exemplo, 
6109,0= −×F N e 4,0=r m, o que dá: 
52 
 
 
 .13,0103,1/109,0109,04,0= 722962 CCCmNNmq µ=×==×××× −− 
 
Seja n o número de elétrons que faltam em cada bola: 
 
 .107,9=
101,6
101,3
==
11
19
7
eletrons
C
C
e
q
n ×
×
×
−
−
 
 
Num objeto neutro, o número de elétrons é igual ao número de prótons. A fração dos 
elétrons que falta é pNn/ , onde PN é o número de prótons. 
Considerando que uma bola de beisebol tem massa de 0,142 kg e que metade 
dessa massa é atribuída aos prótons e metade aos neutrons. Dividindo então a massa 
de uma bola de beisebol pela massa de um par próton-neutron, obtemos uma 
estimativa de PN : 
 
 .ó1025,4=)102(1,67
0,142
==
25
27 tonsprkg
kg
mm
MN
np
P ×
×+ −
 
 
E a fração de elétrons ausentes, então, é dado por: 
 
 .1086,1=
ó105
é107,9
=
14
25
11
−×
×
×
tonspr
faltamquetronsel
N
n
P
 
 
O que quer dizer esse resultado? Significa que um em cada 13104,5 × ou )109,1(1/ 14−× 
elétrons está ausente em cada bola. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
E2.1) A que distância de uma carga elétrica Q=+3,50 mC deve ser colocada outra 
carga q=2,70 mC, no vácuo, para que a força elétrica entre elas seja de N91064,5 × ? 
 
E2.2) Se as cargas do exercício E2.1 estiverem na glicerina, qual seria a resposta? 
53 
 
 
E2.3) Uma carga positiva Q= 2,0 μC é colocada