Aula de sistemas livres amortecidos

Prévia do material em texto

Aula de sistemas livres amortecidos 
 
Prof: Me. Marcio Ricardo Viceli 
 
Sistemas livres amortecidos são sistemas cujos corpos são colocados a vibrar 
livremente sem forças externas agindo para manter o movimento. Em diversas situações 
do nosso cotidiano, os movimentos oscilatórios têm uma duração finita, eles têm um 
começo e um fim. Não ficam se movendo no ir e vir de modo indefinido. Isso acontece, 
basicamente, devido a atuação de forças dissipativas tais como as forças de atrito. Assim 
tais movimentos são dito amortecido. 
 
Efeito de uma força restauradora e de amortecimento 
 
O efeito da força restauradora sobre a partícula é fazê‐la oscilar em torno de uma posição 
de equilíbrio onde ela se anula. O responsável por isso é a mola. O efeito da força de atrito 
é o de causar uma diminuição do deslocamento da partícula à medida que passa o tempo. 
Quem faz isso é o amortecedor. Esses dois efeitos combinados causam o movimento real 
do sistema. Podemos, então, considerar três casos possíveis de sistema livre amortecido: 
 
(a) a força de atrito é mais importante ou maior que a restauradora; não há movimento 
periódico e a partícula tende lentamente a parar na sua posição de equilíbrio sem oscilar. O 
movimento é chamado nesse caso movimento superamortecido ou supercrítico. 
 
(b) as duas forças são comparáveis; aí, ocorre um caso limite entre os anteriores e 
o movimento é chamado de movimento amortecido crítico ou criticamente amortecido; 
 
(c) a força restauradora é mais importante que a de atrito; o oscilador terá o seu 
movimento oscilatório, mas a força de atrito diminui a amplitude desse movimento até a 
partícula parar na sua posição de equilíbrio. O movimento resultante é chamado de 
movimento sub-amortecido ou subcrítico; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura mostra um gráfico comparando e exemplificando a resposta de cada tipo de 
sistema. 
 
 
Considere o sistema massa mola ligada a um fluido viscoso. O modelo da vibração livre é 
mostrado a seguir. 
 
Figura 1: Representação esquemática de uma vibração livre amortecida 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos considerar um sistema composto de uma mola de constante elástica k com 
uma das extremidades presa ao teto e a outra suspendendo um corpo de massa m . Nesse 
corpo está presa uma haste vertical que tem a sua outra extremidade presa a um anteparo 
que está mergulhado em um líquido. Quando o anteparo se move no líquido esse 
movimento é amortecido por uma força que surge devido à viscosidade do líquido. 
 
A Equação do sistema com oscilações livres amortecidas será dada por: 
 
 ̈ +
 
 
 ̇ +
 
 
 =0 (1) 
 
Onde c é a constante de amortecimento (kg/s), k a constante elástica(N/m) e m a massa do 
corpo que vibra (kg). 
Chamaremos 
 
 
 
 
 
 
 
 (3) 
 
 
A equação resumida fica: 
 
 ̈+ 
 
 
 ̇ +
 
 
 =0 (4) 
 
Existem três soluções para a equação diferencial. As soluções são de acordo com o valor 
do radicando da equação característica da equação diferencial. 
 
 
 + 
 
 
 +
 
 
=0 (5) 
 
 
 
Resolvendo a equação, as raízes são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual é o valor de c que faz com que o radicando seja anulado? Igualando o radicando a 
zero, temos: 
 
 (7) 
 
 
 
cc é conhecido como coeficiente de amortecimento crítico. 
 
 
Antes de começarmos a analisar os casos vamos conhecer o fator de amortecimento. 
 
Fator de amortecimento 
 
O fator de amortecimento é a razão do coeficiente de amortecimento pelo coeficiente de 
amortecimento crítico (c/cc). Ele é comumente chamado de ζ (Letra grega chamada dzeta). 
 
 (8) 
 
Se c > cc temos ζ >1 (Sistema superamortecido) 
Se c = cc temos ζ =1 (Sistema criticamente amortecido) 
Se c < cc temos ζ <1 (Sistema subamortecido) 
Se c = 0 temos ζ =0 (sistema não amortecido) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema Superamortecido ou supercrítico 
 
Se o radicando da equação (6) for maior que 0. As raízes são reais e 
negativas. Trata-se de um movimento superamortecido. E a solução é do tipo: 
 
x(t)=A (9) 
 
Onde A e B são constantes a se determinar usando as condições iniciais de posição e 
velocidade num instante qualquer. 
 
Neste tipo de movimento não há oscilação. Qualquer sistema que o projetista deseja que o 
sistema volte a posição de equilíbrio de modo devagar deve ser superamortecido. Exemplo 
Sistema de fechamento de portas. 
 
 
 
Sistema criticamente amortecido ou amortecido crítico 
 
Se o radicando for igual a 0. As raízes são reais e iguais a r1=r2 = -ωn = -
cc/2m. Trata-se de um movimento criticamente mortecido. E a solução é do tipo: 
 
 (10) 
ou 
 (11) 
 
Onde xo é a posição em t=0e ̇0 é a velocidade no instante t=0. 
 
Para saber qual será a elongação máxima e o tempo em que isto ocorre nas vibrações 
criticamente amortecidas utilizamos as seguintes equações: 
 
 
 
O gráfico ilustra os casos superamortecidos (ζ =1,2; 1,6 e 2) e criticamente amortecido (ζ =1). 
Verifique a maior agilidade para voltar ao equilíbrio do sistema criticamente amortecido, 
embora tenha uma elongação maior devido ao menor atrito viscoso comparado ao sistema 
superamortecido. 
 
 
 
 
Para se projetar um sistema livre amortecido com 1 grau de liberdade(1GDL) com 
amortecimento crítico deve-se usar o valor da constante de amortecimento c=cc 
 
Neste tipo de sistema a volta ao repouso se dá num tempo mínimo e sem oscilações. Por 
isso, aplicações do amortecimento crítico se dão no projeto de sistemas nos quais se 
exige que o tempo de retorno ao repouso seja mínimo e sem oscilações, como nos 
exemplos típicos de mecanismos de recuperação de canhões (retorno a posição de tiro), 
de braços robóticos usados em operações de pega-e-põe e balanças de alta precisão á 
qual espera-se que apresente o resultado da massa sem flutuações o mais rápido 
possível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema subamortecido ou subcrítico 
 
Em muitos casos o coeficiente de amortecimento é menor que o coeficiente de 
amortecimento crítico (c < cc). Neste caso o sistema é dito subamortecido ou subcrítico. 
 
O radicando é menor que 0 neste caso e as raízes r1 e r2 neste caso são 
imaginárias (números complexos conjugados do tipo r=α ±βi). A solução para este tipo 
de sistema é do tipo: 
 
 (14) 
 
Onde ωd e φ0 são respectivamente a frequência angular natural amortecida( frequência 
natural do sistema com amortecimento e o ângulo de fase inicial. 
 
Ou 
 
 (15) 
O valor de ωd é encontrado pela equação: 
 
 (16) 
 
 E o ângulo de fase inicial φ0 é dado por: 
(17) 
 
Ou em outra forma usando os termos do numero complexo da raíz r=α ±βi 
 
x(t) = A (βt) + B (18) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico da vibração subamortecida 
 
 
 
Podemos encontrar o período da vibração subamortecida τd pela equação: 
 
 (19) 
 
Regra: 
Como ωn> ωd o período τn<τd . Em outras palavras, como a frequência natural não 
amortecida é sempre maior que a frequência natural amortecida, o período do sistema 
com amortecimento sempre será maior que o sistema sem amortecimento. 
 
 
Oscilações amortecidas são usadas, por exemplo, nas suspensões de carros e motos. É 
preciso ter uma resposta rápida, porém com certa flexibilidade (não muito amortecido). 
 
 
 
 
 
 
 
Decremento logaritmo 
 
O decremento logarítmico, que é consequência deum simples impulso provocado no 
sistema (em vibração livre) é obtido através da razão entre duas amplitudes sucessivas do 
sinal. O termo decremento logarítmico refere-se à taxa de redução logarítmica, relacionada 
com a redução do movimento após o impulso, pois a energia é transferida para outras 
partes do sistema ou é absorvida pelo próprio elemento. Representa o método mais 
utilizado para calcular o amortecimento. 
 
O decrescimento logaritmo do n-ésimo pico e o pico n-ésimo mais um é chamado de 
decremento δ e é calculado por: 
 
δ =
 
 
 ln(
 
 
) (20) 
 
onde n é o número de ciclos completos 
xn é a primeira elongação e x n+1 é a elongação n-ésima mais um 
O decremento logaritmo está ligado com o fator de amortecimento pela equação: 
 
δ = 
 
√ 
 (21) 
 
Assim tendo um gráfico de oscilação subamortecida podemos ter o fator de amortecimento 
ζ á partir do cálculo do decremento logaritmo. 
 
 
Exemplo: 
Se no gráfico abaixo x1 = 20mm e x2=6mm temos: 
n=1 pois entre o primeiro e o segundo há 1 ciclo completo e o decremento logaritmo é 
δ =
 
 
 ln(
 
 
)=1,2 
 
 o fator de amortecimento pela equação (20) é ζ =0,18 (Importante:Tente chegar neste 
resultado!!) 
 
 
 
 
 
 
Exemplo superamortecido: Um sistema massa mola colocado em óleo satisfaz 
a equação diferencial 
 
 ̈+ ̇ +4 =0 
 
Resolva esta equação com condições iniciais x(0)=0,5 e ̇ 
 
Gráfico da solução 
 
 
 
Simulação 
 
Figura 4:A figura mostra uma oscilação amortecida em vermelho para o caso 
Superamortecido e a oscilação sem amortecimento em azul. 
 
 
 
 
Exemplo de sistema criticamente amortecido 
 
Um sistema massa mola colocado em óleo satisfaz a equação diferencial 
 
 ̈+ ̇ +4 =0 
Resolva esta equação com condições iniciais x(0)=0,5 e ̇ 
 
Gráfico da Solução: 
 
 
Simulação: 
 
Figura 5:A figura mostra uma oscilação amortecida em vermelho para o caso 
Criticamente amortecido e a oscilação sem amortecimento (MHS) em azul. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo Oscilação Subamortecida 
 
Um sistema massa mola colocado em óleo satisfaz a equação diferencial 
 
 ̈+ ̇ +13 =0 
 
Resolva esta equação com condições iniciais x(0)=0,5 e ̇ 
 
A solução para este caso é: 
 
x(t) = A (βt) + B 
 
 
Solução Gráfica 
 
 
Simulação 
 
Figura 6:A figura mostra uma oscilação amortecida em vermelho para o caso 
subamortecido e a respectiva oscilação sem amortecimento(MHS) em azul. 
 
 
 
 
 
Para efeitos de clareza os três casos foram plotados em um mesmo gráfico. 
Percebe-se uma resistência maior para voltar ao ponto de equilíbrio quando o 
caso é superamortecido. Para o caso criticamente amortecido o sistema está no 
limiar entre superamortecido e subamortecido. Percebe-se pelo valor de ∆ que 
com um coeficiente de amortecimento um pouco maior o sistema passa de 
criticamente amortecido para superamortecido. Com um coeficiente de 
amortecimento um pouco menor, o sistema passa de criticamente amortecido 
para subamortecido. 
 
Figura 7: A figura mostra os três casos para maior “clareza” de oscilação: 
superamortecida (linha preta), criticamente amortecido (linha verde) e 
subamortecido (linha vermelha). 
 
 
Quer acessar o simulador citado? Segue o link 
 
Simulador de vibrações livres amortecidas 
 
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/10642/amortecido.s
wf?sequence=1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1)Com base nas equações diferenciais e sabendo que a massa do sistema é 
m=2kg encontre os valores da constante elástica k e a constante de 
amortecimento c. 
 
1) ̈+ 4 ̇ +4x =0 ; x(0)= 10 e ̇ (0) = 3 
 
2) ̈+ 5 ̇ +6x =0; x(0)= 4 e ̇ (0) = 3 
 
3) ̈+ 3 ̇ +2x =0; x(0) =5 e ̇ (0) = -2 
 
4) ̈+ 2 ̇ +2x =0; x(0) =7 e ̇ (0) = 3 
 
5) ̈+9 ̇ +x = 0; x(0) = -5 e ̇ (0) = -3 
 
6) ̈+1 ̇ + 25x =0 x(0)= 5 e ̇ (0) = -2 
2) No caso do exercício anterior dê o nome de cada tipo de oscilação de acordo 
com o valor de ζ. 
 
3)Analise os sistemas abaixo. Aponte os sistemas analisando os valores de ζ 
em: 
a) Subamortecido 
b)Criticamente amortecido 
c) superamortecido 
d)Qual é aproximadamente o valor do período das vibrações subcríticas do 
gráfico? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Se o amortecimento crítico dos casos abaixo valem cc= 2Kg/s, encontre para 
cada curva o valor do coeficiente de amortecimento c. 
 
 
5)Explique o gráfico abaixo, o tipo de amortecimento e faça comparações. 
 
 
 
 
 
 
6)Um sistema massa mola amortecido possui m=20kg , k=30N/m e c=18kg/s. 
a) Qual é o fator de amortecimento para este sistema? 
b)Qual é o tipo de amortecimento? 
c)Monte a equação diferencial desse sistema 
 
 
7)Um sistema tem fator de amortecimento ζ= 0,5 e os valores de k=10N/m e 
m=10kg. 
a)Qual é o tipo de amortecimento? 
b)Qual é o valor da frequência natural amortecida? 
c) Qual é o período da vibração natural amortecida? 
 
8) Um sistema tem valores k=200N/m e m=18kg. Deseja–se inserir um 
amortecedor para que o sistema trabalhe com respostas criticamente amortecida. 
Qual deve ser o valor de cc neste caso? 
 
9) No gráfico tem-se x1=25cm e x2= 4cm. Qual é? 
a) o decremento logaritmo? 
b)o fator de amortecimento ζ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão ENADE 
 
9) Alguns tipos de balança utilizam, em seu funcionamento, a relação entre o 
peso P e a deformação elástica �que ele provoca em uma mola de constante 
elástica K, ou seja, P=K x (Lei de Hooke). Ao se colocar certa mercadoria no 
prato de uma balança desse tipo, a deformação não ocorre instantaneamente. 
Existe um movimento 
Transiente, que depende de outro parâmetro: o nível de amortecimento no 
mecanismo da balança, dado pelo parâmetro adimensional , denominado fator de 
amortecimento. 
O movimento transiente, a partir do instante em que a mercadoria é colocada no 
prato da balança, pode ser descrito por 3 equações diferentes (e tem 
comportamentos diferentes), conforme o valor de ζ. 
 
 
Com base nessas informações, conclui-se que a balança indica o valor da massa 
mais rapidamente quando 
(A) ζ< 0. (B) ζ = 0 (C) 0 < ζ < 1. (D) ζ = 1. (E) ζ > 1. 
 
 
 
Questão ENADE 
 
Texto para as questões 10 e 11 
 
Diversos sistemas físicos amortecidos encontrados em engenharia podem ter seu 
comportamento expresso por meio deequações diferenciais ordinárias não-
homogêneas de segunda ordem. A resolução desse tipo de equação envolve a 
obtençãoda resposta yh(t)da equação diferencial homogênea associada, que 
expressa o comportamento do sistema livre de excitações externas, e a obtenção 
de uma solução particular yp(t)da equação não-homogênea. A soma de yp(t)e 
yh(t)fornece a soluçãogeral da equação não-homogênea. A resposta livre permite 
identificar a freqüência das oscilações amortecidas (f) 
e a constante de amortecimento (k)do sistema. 
 
 10) Considere que a resposta livre de um sistema seja dada pela função : 
 
cujo gráfico está ilustrado na figura a seguir. 
 
 
A freqüência das oscilações amortecidas do sistema cuja resposta livre está 
apresentada no texto é igual a 
(A) 0,1 Hz. (B) 0,15 Hz. (C) rad/s. (D) 10 rad/s. (E) 10 Hz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11)Considere que yp(t) = 5sen(100t) seja a solução particular da equação 
diferencial que representa o comportamento dinâmico do sistema cuja resposta 
livre está apresentada no texto. Assinale a opção que melhor esboça o gráfico da 
resposta completa do referido sistema, após transcorrido um minuto (t> 60 s).