módulo de um vetor

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Álgebra Linear – Prof Mestre Matusalém Vieira Martins - Aula
Livro base:
Álgebra Linear –Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle – Person. São Paulo. 1987.
Módulo de um Vetor
Dado um vetor de um espaço vetorial euclidiano V, chama-se módulo, norma ou comprimento de o número real não-negativo, indicado por ||, definido por:
.
Assim se =(x1,y1,z1) for um vetor do com produto interno usual, tem-se:
Se || = 1, isto é, se . = 1, o vetor é chamado vetor unitário.
Dado um vetor não-nulo V, o vetor 
 
é um vetor unitário. 
De fato:
Portanto , é unitário. Diz-se, neste caso, que o vetor foi normalizado.
Problemas Resolvidos:
Dado o vetos calcular o módulo de e normalizar , considerando que:
está munido do produto usual.
Em está definido o produto inteiro , sedo e .
Solução:
 	É importante observar que o módulo de de pende do produto interno utilizado: se o produto inteiro muda, o módulo se modifica. Por outro lado, os dois vetoresobtidos em a) e b), a partir de v, são unitários em relação ao respectivo produto interno.
Dado o espaço vetorial V=, munido do produto interno usual, calcular a componente m do vetor =(6,-3,m) de modo que | | =7. 
Solução:
Propriedade do Módulo de um vetor 
Seja V um espaço vetorial euclidiano.
se, e somente se, =0
Esta propriedade é uma conseqüência de P4.
 de fato:
De fato:
a) se ou ,vale a igualdade 
b) se nem nem são nulos, para qualquer , vale a desigualdade:
o pelo axioma P4
ou 
ou ainda
 	Tendo em vista que o primeiro membro dessa igualdade é um trinômio de 2º grau em>0) que deve ser positivo ou nulo para qualquer valor de , o discriminante do trinômio deve ser negativo ou nulo:
mas
Logo:
e
Essa desigualdade é conhecida com o nome de Desigualdade de Schwartz ou Inequação de Cautchy-Schawrz.
 De fato:
		
		 
		
mas,
logo:
ou
ou, ainda
	Essa desigualdade, denominada desigualdade triangular, vista no ou no , confirma a propriedade geométrica segunda a qual, num triângulo, a soma dos comprimentos de dois lados é maior do que o comprimento do terceiro lado (veja a seguinte figura).
A igualdade somente ocorre quando os dois vetores e são colineares.
Exercícios TED 16:
Nos problemas 1 e 2, calcular o módulo dos vetores v e u em relação ao produto interno usual.
v = (4,7)
υ = (1,2,3)
Nos problemas 3 e 4, calcular o módulo de cada um dos vetores do , em relação ao produto interno , sendo v1= (x1,y1, z1) e v2= (x2 , y2 , z 2) 
v = (3,-1,4)
u = (-2,-5,-7)
Normalizar cada um dos vetores dos problemas 1, 2, 3 e 4