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Apostila MECÂNICA DOS FLUIDOS PROFESSOR HENRIQUE UNIS

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UNIS-MG Engenharia Mecânica 
5º Periodo 
MECÂNICA DOS FLUÍDOS 
___________________________________________________________________ 
Eng. MSc. Henrique Marcio P. Rosa Notas de Aula pag. 1 
 
APOSTILA DE 
MECÂNICA DOS FLUÍDOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Henrique Marcio P. Rosa 
UNIS-MG Engenharia Mecânica 
5º Periodo 
MECÂNICA DOS FLUÍDOS 
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Eng. MSc. Henrique Marcio P. Rosa Notas de Aula pag. 2 
 
1-INTRODUÇÃO, UNIDADES E PROPRIEDADES 
 
1.1-INTRODUÇÃO 
A Mecânica dos Fluídos é a parte da mecânica aplicada que se dedica a análise do 
comportamento dos líquidos e gases tanto em equilibrio quanto em movimento. 
 
O Que é Fluído? 
Fluídos são substâncias capazes de escoar e tomar a forma de seus recipientes. 
Quando em equilibrio, os fluídos não suportam forças tangenciais ou de 
cisalhamento. Todos os fluídos possuem certo grau de compressibilidade e não 
oferecem resistência a mudança de forma. 
 
Sólido Fluído 
Duro, resistente a deformação Mole, facilmente deformável 
Pequeno espaçamento intermolecular Grande espaçamento intermolecular 
força intermolecular elevada Força intermolecular reduzida 
Não escoam quando submetidos a uma 
tensão de cisalhamento 
Escoam quando submetidos a tensão 
de cisalhamento 
Metal, concreto, rocha, etc.. Água, ar, óleo, etc... 
 
Fluido como Continuo 
Em se tratando de relações sobre escoamento de fluídos em base matemática ou 
analítica, é necessário considerar que a estrutura molecular real é substituida por um 
meio contínuo hipotético, chamado o contínuo, de forma, que as caracterísitcas dos 
fluidos variam contiunuamente através do fluído. 
Quando nos referirmos a um ponto, estamos considerando uma pequena esfera de 
raio grande se comparado com a distância intermolecular, sendo que dentro desta 
pequena esfera há uma quantidade enorme de moléculas. Dessa forma, a 
velocidade ou uma caracterísitca qualquer num ponto é a média da característica de 
todas as moléculas que estão dentro da esfera. 
 
 
 
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1.2-UNIDADES 
Os sistemas de unidades mais conhecidos são apresentados na tabela abaixo: 
 
Sistemas de Unidades 
Sistema Massa Comprimento Tempo Força 
SI (sistema 
internacional) 
kg m s N 
1 N = (1 kg) . (1m/s2) 
Britânico 
gravitacional 
(inglês usual) 
slug ft s lbf 
1 lbf = (1 slug) . (1 ft/s2) 
Inglês de 
engenharia 
(inglês incoerente) 
lbm ft s lbf 
1 lbf = (1 lbm).(32,174 ft/s2) 
 gc 
Métrico (cgs) g cm s d 
Métrico (mks) kg m s Kgf 
 
Os sistemas mais utilizados são o SI e o inglês usual, sendo que com o tempo 
deverá permanecer somente o SI. 
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Conversão de unidades do sistema Inglês usual para SI 
Parâmetro Conversão 
Comprimento 1ft = 0,3048m 
1in= 1” = 0,0254m 
Massa 1slug = 14,59 kg 
Força 1lb = 4,448N 
Peso específico 1lb/ft3 = 157,1 N/m3 
Massa específica 1slug/ft3 = 515,2 kg/m3 
Densidade O mesmo valor pois é adimensional nos 
dois sistemas 
Viscosidade dinâmica 1lb.s/ft2 = 47,88 N.s/m2 
Viscosidade cinemática 1ft2/s = 0,0929 m2/s 
Pressão 1lb/ft2 = 47,88 Pa 
1lb/in2 = 6,895kPa 
Tensão superficial 1lb/ft = 14,59 N/m 
 
Temperatura 
SI: ºK = ºC + 273,15 (ºK – Kelvin é a temperatura em escala absoluta) 
Inglês usual: ºR=ºF+ 459,67 (ºR - Rankine é temperatura em escala absoluta) 
TºF = 1,8. TºC + 32 
Aceleraçãda da gravidade 
Sistema SI: g=9,807 m/s2~9,81 m/s2 
Sistema inglês usual: g=32,174 ft/s2 
 
Pressão 
1 Pa = 1 N/m2 (sistema SI) 
1 Psi = 1 lbf/in2 (inglês usual) 
1 Psf = 1 lbf/ft2 (inglês usual) 
 
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Outras unidades de pressão 
1 kgf/cm2 = 14,2233 Psi = 105 Pa = 0,9678 atm 
1 atm = 101,33 kPa = 10,33 mcH2O (para g=9,807m/s
2 e água=1000 kg/m
3) 
1 atm ~ 760 mmHg (milimetro de coluna de mercúrio) 
 
Outras grandezas 
Watts: 1W= 1 J/s = 1 N.m/s (Potência no sistema SI) 
1 hp = 745,7 W = 0,7457 kW 
 
Prefixos utilizados no SI 
Fator de multiplicação 
da unidade 
Prefixo Símbolo 
1012 Tera T 
109 Giga G 
106 Mega M 
103 Kilo k 
10 Deca de 
10-1 Deci d 
10-2 Centi c 
10-3 Mili m 
10-6 Micro 
10-9 Nano n 
10-12 pico p 
 
 
1.3-PROPRIEDADES DOS FLUÍDOS 
Fluídos diferentes podem apresentar características muito distintas. 
Exemplo: Gases são leves e compressíveis. Já os líquidos são pesados e 
relativamente incompressíveis. 
Assim, torna-se necessário certas propriedades para quantificar as diferenças. 
 
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1.3.1-Massa Específica () 
A massa específica de uma substância é definida como a massa por unidade de 
volume. 
V
M

 
No Sistema SI é dado em kg/m3 
 
1.3.2-Volume Específico () 
Volume específico é o volume ocupado por unidade de massa. 
M
V1



 
No Sistema SI é dado em m3/kg 
 
1.3.3-Peso Específico () 
O peso específico de um fluído é defindo como o peso por unidade de volume. 
g.
V
g.M
V
Peso

 
Onde g= acelaração da gravidade 
No Sistema SI é dado em N/m3 
 
1.3.4-Densidade 
Densidade de um fluído é definida como a razão entre a massa específica do fluído 
e a massa específica da água numa certa temperatura. Usualmente 4ºC (nesta 
temperatura água=1000 kg/m
3) 
O2HOH2
d






 
 
1.3.5-Lei dos Gases Perfeitos 
Os gases são compressíveis e sob certas condições, a massa específica de um gás 
está relacionada com a pressão e temperatura através da equação: 
 
RTP 
 
 
 
P- pressão absoluta (Pres. Relativa + Patmosférica) 
-massa específica 
T-temperatura absoluta 
R- constante do gás 
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A equação acima também é conhecida como a lei dos gases perfeitos ou equação 
de estado para os gases perfeitos. 
A constante do gás, R, é função do tipo de gás e está relacionada à sua massa 
molecular. No SI a unidadede R é J/kg.ºK. 
 
1.3.6-Viscosidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
-fluído entre duas placas planas paralelas próximas, espaçadas por uma pequena 
distância e; 
-placa inferior é fixa e a superior pode se movimentar; 
-aplicação de uma força F movimenta a placa superior de área A, com velocidade 
constante; 
-o fluído em contato com superfície sólida tem a mesma velocidade da superfície 
(isto é uma característica de qualquer fluído). Assim, junto a placa inferior, o fluído 
terá velocidade nula e junto à placa superior terá a velocidade U da mesma; 
-o fluído na área abcd escoa para a nova posição ab’c’d com cada particula fluída 
movendo-se paralelamente à placa com velocidade u, variando linearmente de zero 
até U. 
-a experiência mostra que mantendo-se a outras grandezas constantes, F é 
diretamente proporcional à A e U, e inversamene proporcional à e. Isto resulta a 
seguinte equação: 
e
AU
F 
 
 é o fator de proporcionalidade que depende do fluído em estudo. 
A tensão de cisalhamento será: 
e
U
A
F

 
A relação U/e é a velocidade angular do segmento ab, ou é também a velocidade de 
deformação angular do fluído. A velocidade angular também pode ser du/dy, pois 
expressa uma variação de velocidade dividida pela distância ao longo da qual a 
variação ocorre. Entretanto du/dy é mais geral porque continua válida em situações 
onde a velocidade angular e a tensão de cisalhamento variam com y. Logo: 
Figura 1-Comportamento de um fluído sob força de cisalhamento 
 e 
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dy
du

 
É a relação entre a tensão de cisalhamento a velocidade angular para escoamento 
unidimensional. A equação acima é também chamada de Lei de Newton da 
Viscosidade. O fator de proporcionalidade  é denominado viscosidade do fluído. 
A viscosidade  é também conhecida como viscosidade dinâmica. Entretanto é 
muito comum encontramos a viscosidade dinâmica combinada com a massa 
específica, resultando na viscosidade cinemática . 



 
No SI as unidades de viscosidade são: 
Viscosidade dinâmica : N.s/m2=Pa.s 
Viscosidade cinemática : m2/s 
 
Outras unidades utilizadas para viscosidade cinemática são: 
[] = cm²/s = stokes (St) 
1 centiStoke = 1 cSt = 10-2 St = 10-2 cm²/s = 10-6 m²/s 
Os fluídos podem ser classificados como Newtonianos ou não-Newtonianos. No 
Newtoniano existe uma relação linear entre a tensão de cisalhamento aplicada a 
velocidade angular de deformação. Já para o fluído não-Newtoniano esta relação é 
não-linear. A maioria dos fluídos comuns, tanto líquidos como gases, são 
Newtonianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Diagrama reológico 
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1.3.7-Módulo de Elasticidade Volumétrica (Coeficiente de Compressibilidade) 
O módulo de elasticidade volumétrica Ev é a propriedade normalmente utilizada para 
caracterizar a compressibilidade de um fluído. 
V/dV
dp
E v 
 
Onde dp é a variação diferencial de pressão necessária para provocar uma variação 
diferencial de volume dV num volume V. O sinal negativo é incluído para indicar que 
um aumento de pressão resultará numa diminuição do volume considerado. 
Sabendo que um decréscimo no volume resulta num aumento da massa específica 
(M=V), podemos escrever: 


/d
dp
E v
 
No SI a unidade do módulo de elasticidade volumétrico é N/m2 (Pa). 
 
1.3.8-Pressão de Vapor 
Quando a evaporação ocorre em um espaço fechado, a pressão parcial provocada 
pelas moléculas de vapor é chamada pressão de vapor. A pressão de vapor 
depende da temperatura e cresce com ela. Seu valor é tabelado. 
 
1.3.9-Tensão Superficial 
Na interface entre um líquido e um gás, ou entre dois líquidos imiscíveis, se forma 
uma película ou camada especial no líquido devido à atração entre as moléculas 
abaixo da superfície. 
Tensão superficial é então a força de coesão necessária para formar a película, 
obtida então pela divisão da energia de superfície pela unidade de comprimento da 
película em equilíbrio. 
Considerando uma pequena gota esférica de raio R, a pressão interna P necessária 
para equilibrar a força de tração devido a tensão superficial  é calculada em 
função das forças que atuam em um corpo hemisférico. 
2RPR2 
 
R
2
P


 
 
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EXERCICIOS RESOLVIDOS 
 
Exercício resolvido 1: Se 6m3 de óleo pesam 47 kN, cálcule seu peso específico , 
sua massa específica , seu volume específico , e sua densidade. 
Considerar H2O=1000 kg/m
3 
Solução: 
3
3
m/N7833
6
10.47
V
Peso

 
3m/kg798
81,9
7833
g
g. 


 
kg/m001253,0
798
11 /3


 
798,0
1000
798
d
OH2




 
 
Exercício resolvido 2: Um tanque de ar comprimido apresenta volume igual a 
2,38x10-2 m3. Determine a massa específica e o peso do ar contido no tanque 
quando a pressão relativa do ar no tanque for igual à 340kPa. Admitir que a 
temperatura do ar no tanque é 21ºC e que a pressão atmosférica vale 101,3kPa. 
Solução: 
Utilizando a lei dos gases perfeitos, temos que: 
RT
P

 
 Da tabela de propriedade físicas, temos que R=2,869x10-2 J/Kg.ºK. 
Logo: 
3
2
3
m/kg23,5
)2115,273)(10x869,2(
10x)3,101340(
RT
P




 
Notar que os valores utilzados para pressão e temperatura são absolutos. Notar 
também que as pressões foram dadas em kPa. 
Cálculo do peso: 
Temos que: 
g
V
Peso
. 
 
Logo: 
NxxxVgPeso 22,11038,281,923,5.. 2   
 
 
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Exercício resolvido 3: A Distribuição de velocidade do escoamento de um fluído 
Newtoniano num canal formado duas placas paralelas e largas (Veja figura a ER-3) 
é dada pela equação: 















2
h
y
1
2
V3
u
 
Onde V é a velocidade média. O fluído tem viscosidade dinâmica igual a 192N.s/m2. 
Admitindo V=0,6m/s e h=5mm, determine: 
(a) tensão de cisalhamento na parede inferior do canal 
(b) tensão de cisalhamento que atua no plano central do canal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Para este tipo de escoamento a tensão de cisalhamento pode ser obtida com a eq. 
 
dy
du

 
Se a distribuição de velocidade, u=u(y), é conhecida, a tensão de cisalhamento, em 
qualquer plano, pode ser determinada a partir do gradiente de velocidade, du/dy. 
Para a distribuição de velocidade fornecida, temos: 
2h
Vy3
dy
du

 
(a)-paraa parede inferior do canal temos que: y = -h, 
logo o gradiente de velocidade será: 
h
V3
dy
du

 
e a tensão de cisalhamento será: 
22
3eriorinf.parede
m/N10x91,6
10x5
6,0x3
92,1
h
V3








 
Figura ER-3 
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Esta tensão cria um arraste na parede. Como a distribuição de velocidade é 
simétrica, a tensão de cisalhamento na parede superior apresenta o mesmo valor e 
sentido da tensão na parede inferior. 
(b)-no plano médio, temos que: y = 0 
logo: 
0
dy
du

 
Assim a tensão de cisalhamento neste plano é nula, ou seja: 
0planomédio 
 
 
Exercício resolvido 4: Determinar a viscosidade para que o sistema a seguir tenha 
uma velocidade de deslocamento igual a 2 m/s constante. A área de contato entre o 
fluído e o bloco é de 0,5m2. 
Dado: G = 392,4 N e Pbloco=Peso do bloco = 196,2 N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Sabendo que a velocidade é constante, então no corpo G a tensão na corda T será 
igual ao peso do corpo. 
T = G = 392,4 N 
G 
30 º 
Fluido lubrificante 
bloco 
Dado: Fios e polias 
ideais 
2 mm 
G 
30 º 
Fluido lubrificante 
bloco 
Dado: Fios e polias 
ideais 
G 
30 º 
Fluido lubrificante 
bloco 
Dado: Fios e polias 
ideais 
G 
30 º 
Fluido lubrificante 
bloco 
 
G 
30 º 
Fluido lubrificante 
bloco 
G 
30 º 
Fluido lubrificante 
bloco 
G 
30 º 
Fluido lubrificante 
bloco 
G 
30 º 
Fluido lubrificante 
G 
30 º 
Fluido lubrificante 
G 
30 º 
G 
30 º 
G G G G G G G G 
30 º 
Fluido lubrificante 
bloco 
2 mm 
Figura – ER-4 
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Para impor a condição acima deve-se inicialmente estabelecer o sentido de 
movimento, isto pelo fato da força de resistência viscosa (F) ser sempre contrária 
ao mesmo. Consideraremos que o corpo G desce e o bloco sobe. Então: 
T= Pbloco x sen30º + F 
392,4 = 196,2 x 0,5 + F 
F= 294,3 N 
Da lei de Newton da viscosidade temos: 
e
U
A
F

 
Para o filme de óleo em estudo temos que: 
 F=F U= 2m/s ; e= 2mm = 2.10-3 m ; A= 0,5 m2 
Logo: 
310.2
2
5,0
3,294


 
= 0,589 N.s/m2 
 
Exercício resolvido 5: A figura ER-5 mostra uma placa grande e móvel localizada 
entre duas placas grandes e fixas. Os espaços entre as placas estão preenchidos 
com fluídos que apresentam viscosidades dinâmicas diferentes. Determine as 
tensões de cisalhamento que atuam sobre as placas imóveis quando a placa móvel 
apresenta a velocidade mostrada na figura. Admita que os perfis de velocidade são 
lineares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
O perfil de velocidade linear implica que a relação u(y) será uma relação linear, que 
obedecerá a seguinte equação: u = ay + b 
Nesta eq. devem ser determinados a e b. Para isto devemos utilizar as condições 
de contorno. 
Figura ER-5 
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Para a placa imóvel superior temos: 
 
 
Sendo perfil de velocidade linear e adotando o sentido de y como mostrado na figura 
acima, temos : 
u = ay + b 
1ª condição de contorno: para y= 0 -> o fluído faz interface com a placa superior fixa 
e possui a mesma velocidade da placa, u= 0, o que resulta: b= 0 
2ª condição de contorno: para y= 0,006m -> o fluído faz interface com a placa móvel 
e possui a mesma velocidade da placa, u= 4m/s, o que resulta: a=667 
Logo: u = ay + b = 667y 
O gradiente de velocidade será: 
667
dy
du

 
A tensão de cisalhamento será: 
 
2m/N34,13667x02,0
dy
du

 
 
Para a placa imóvel inferior temos: 
 
 
 
Sendo perfil de velocidade linear e adotando o sentido de y como mostrado na 
figura, temos : 
u = ay + b 
1ª condição de contorno: para y= 0 -> o fluído faz interface com a placa inferior fixa 
e possui a mesma velocidade da placa, u= 0, o que resulta: b= 0 
2ª condição de contorno: para y= 0,003m -> o fluído faz interface com a placa móvel 
e possui a mesma velocidade da placa, u= 4m/s, o que resulta: a=1334 
Logo: u = ay + b = 1334y 
O gradiente de velocidade será: 
1334
dy
du

 
A tensão de cisalhamento será: 
 
2m/N34,131334x01,0
dy
du

 
 
V= 4 m/s 
y 
V= 4 m/s 
y 
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2-ESTATICA DOS FLUÍDOS 
 
2.1- PRESSÃO 
 
A pressão P é definida como uma força F atuando perpendicularmente a uma 
superfície de área A e é dada por 
 
A
F
Area
Força
Pressão 
 (2.1) 
 
A pressão é uma quantidade escalar e é expressa em dimensões de ML-1T-2. A 
unidade no S.I. para pressão é N/m2 . Esta combinação é denominada Pascal e é 
abreviada por Pa (1 N/m2= 1 Pa). 
Outras unidades são muito usadas na prática: 
-atmosfera (atm) 
-bar 
-milímetro de mercúrio (mmHg) 
-metro de coluna d’água (mcH2O) 
-kgf/cm2 
-"libra" (lb/in2) (psi) 
-lb/ft2 (psf) 
 
Exercício resolvido 1: Tocando um disco, uma agulha de fonógrafo exerce 3,5 g 
dentro de uma área circular de 0,30 mm de raio. Determine a pressão exercida pela 
agulha do fonógrafo no disco. 
SOLUÇÃO 
A pressão exercida pela agulha do fonógrafo pode ser determinada da definição de 
pressão: 
P = 
F
A
m g
r
x kg ms
x m
x N m  
 

.
.
( , . ).( , )
, .( , )
, . 2
3 2
3 2
5 23 5 10 9 8
314 0 30 10
1 21 10
 
 
 
 
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2.2- VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUÍDO EM REPOUSO 
A pressão num fluído incompressivel em repouso varia linearmente com a 
profundidade. 
 
h.PP 21 
 (2.2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da equação 2.2, nós podemos observar que diferença de pressão entre dois pontos 
pode ser especificada pela distância h, ou seja: 
 
 


 21
PP
h
 (2.3) 
 
Neste caso “h” é denominada carga ou altura de carga e é interpretada como 
altura da coluna de fluído com peso específico . 
 
Na maioria dos casos existe uma superficie livre (contato com a atmosfera) quando 
estamos trabalhando com líquidos. Assim é conveniente utilizar o valor da pressão 
nesta superfície como referência. Dessa forma, a pressão P0 correspondea 
pressão que atua na superfície livre (usualmente é igual a pressão atmosférica). Se 
fizermos P2=P0 e P1=P, temos: 
 
0Ph.P 
 (2.4) 
 
considerando que P0 é a pressão atmosférica, então a altura de carga será: 
 
y
x
Z
Z1
Z2
h=Z2 - Z1
P2
P1
Figura 2.1- Notação para variação de pressão num 
fluído em repouso e com superficie livre 
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

P
h
 (2.5) 
 
Da eq. 2,5, conclui-se que um mesmo valor de pressão pode ser dado em alturas de 
carga diferentes para liquidos diferentes. Por exemplo, a pressão de 69kPa pode 
especificada como uma altura de carga 7,04 metros de coluna de água 
(=9810N/m3) ou 519mm de Hg (=13300N/m3). 
 
Exercício resolvido 2: Ache a pressão no fundo de um tanque contendo glicerina 
sob pressão, conforme mostrado na figura ER-2 a seguir, considerando que a 
densidade da glicerina é 1,258. 
Considerar H2O=9810 N/m
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Pressão no fundo= 
3
0O2Hglic0 10x502x9810x258,1Ph..dPh.P 
 
 
kPa68,74Pa10x68,74P 3 
 
 
 
Exercício resolvido 3: Faça as conversões a seguir. 
 
a) Converta uma altura de carga de 4,60m de água em metros de óleo, cuja 
densidade é de 0,75. 
b) Converta altura de carga de 609mm de mercúrio cuja densidade é 13,6 em 
metros de óleo, cuja densidade é de 0,75. 
 
Figura ER-2 
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MECÂNICA DOS FLUÍDOS 
___________________________________________________________________ 
Eng. MSc. Henrique Marcio P. Rosa Notas de Aula pag. 18 
Solução: 
 
a)-de acordo com a eq. 2.5, temos que: 
 
oleo
O2H
O2H´óleo´óleoóleo´O2HO2H´ .h.h.h.hP



 
 
m13,6
75,0
60,4
d
1
.h.h
oleo
O2H´óleo´ 
 
 
b)-similarmente ao item a, fazemos 
 
oleo
Hg
Hgóleo´óleoóleo´HgHg´ .h.h.h.h



 
 
 
óleo.de.m04,11
75,0
6,13
10x609
d
d
.h
d
d
.h.h 3
oleo
Hg
Hg
O2Holeo
O2HHg
Hgóleo´ 


 
 
 
 
2.3- PRESSÃO ATMOSFÉRICA E VÁCUO 
No contexto de pressão, o termo vácuo é usado para referir-se a um espaço que tem 
uma pressão menor que a pressão atmosférica. A pressão atmosférica, refere-se, 
naturalmente, à pressão existente no ar, em torno de nós. Ela varia um pouco com a 
mudança nas condições atmosféricas e diminui com a elevação da altitude. Ao nível 
do mar, a pressão atmosférica média é 101,3kPa, 760mm de mercúrio ou 1 
atmosfera. Esta é comumente referida como uma “pressão atmosférica padrão”. 
 
Um vácuo é quantificado em relação a quanto de sua pressão está abaixo da 
pressão atmosférica. Por exemplo, se o ar for bombeado para fora de um vaso de 
pressão até que a pressão interna chegue 60kPa, a pressão no vaso poderá ser 
indicada como um vácuo de 101,3 – 60,0 = 41,3kPa. 
 
 
2.4- PRESSÃO ABSOLUTA E RELATIVA (MANOMÉTRICA) 
A pressão num ponto do sistema fluído pode ser designada em termos absolutos ou 
relativos. As pressões absolutas são medidas em relação ao vácuo perfeito (pressão 
absoluta nula), enquanto que a pressão relativa é medida em relação a pressão 
atmosférica local. Deste modo, uma pressão relativa nula corresponde a uma 
pressão igual a pressão atmosférica local. As pressões absolutas são sempre 
positivas, mas as pressões relativas podem ser tanto positivas (pressão maior do 
que a atmosférica local), quanto negativas (pressão menor do que a atmosférica 
local). Uma pressão negativa é também referida como vácuo. Por exemplo a 
pressão de 70kPa (abs) como –31,33kPa (relativa), se a pressão atmosférica local é 
101,33kPa, ou com um vácuo de 31,33kPa. 
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MECÂNICA DOS FLUÍDOS 
___________________________________________________________________ 
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A pressão relativa também é conhecida como pressão manométrica. 
O conceito de pressão absoluta e relativa está ilustrado graficamente na Figura-
2.2 a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A pressão também pode ser especificada pela altura de uma coluna de líquido. 
Neste caso a pressão deve ser indicada pela altura da coluna (em metros, 
milimetros, etc.) e pela especificação do líquido da coluna (água, mercúrio, etc..). 
A altura de coluna de liquido é justamente a carga ou altura de carga mencionada no 
item 2.2. 
 
OBSERVAÇÃO: No nosso curso, a maioria das pressões utilizadas são 
relativas e nós indicaremos apenas os casos onde as pressões são absolutas. 
 
O aparelho utilizado para medir a pressão atmosférica é conhecido como barômetro. 
Desta forma, o termo pressão barométrica pode ser utlizado para se referir à 
pressão atmosférica. 
 
 
Exercício resolvido 4: A água de um lago localizado numa região montanhosa 
apresenta temperatura média igual à 10ºC, e a profundidade máxima do lago é igual 
à 40m. Se a pressão atmosférida local é igual à 598 mm Hg, determine a pressão 
absoluta na região mais profunda do lago. 
Considerar H2O=9810 N/m
3 ; Hg=133KN/m
3 
Solução: 
Figura 2.2- Representação gráfica das pressões relativa e absoluta 
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5º Periodo 
MECÂNICA DOS FLUÍDOS 
___________________________________________________________________ 
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 A pressão na água em qualquer profundidade h, é dada pela equação: 
 
0Ph.P 
 
 
Onde P0 é a pressão na superfície do lago. Como queremos conhecer a pressão 
absoluta, P0 será a pressão atmosférica local. A pressão atmosférica local foi dada 
em termos de coluna de Hg. Devemos transformá-la em Pa. Assim sendo: 
 
kPa5,79598,0x10x133h.P 3HgHg0 
 
 
Dessa forma, a pressão na profundidade de h=40m será: 
 
kPa9,47110x5,7940x9810Ph.Ph.P 30O2H0 
 
 
 
Este exemplo bastante simples mostra que é deve-se estar atento as unidades 
utilizadas nos cálculos de pressão, ou seja, utilize sempre unidades consistentes e 
tome cuidado para não misturar cargas ou alturas de cargas ( m ) com pressões 
(Pa). 
 
 
2.5– PRINCÍPIO DE PASCAL 
 
O principio de Pascal estabelece “uma pressão externa aplicada a um fluido 
confinado será transmitida igualmente a todos os pontos dentro do fluido”. Isto 
significa que a pressão transmitida não diminui à medida que se propaga pelo 
interior do fluido. Este resultado torna possível uma grande multiplicação de forças, 
como se fosse uma alavanca fluida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.3- Princípio de Pascal 
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5º Periodo 
MECÂNICA DOS FLUÍDOS 
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O próximo exercício resolvido mostra melhor o que estamos dizendo. 
 
 
Exercício resolvido 5: Um exemplo do Princípio de Pascal é visto no macaco 
hidráulico, mostrado na Figura abaixo. Se uma força de 300 N é aplicadaa um 
pistão de 1 cm2 de área transversal, determine a força de ascensão transmitida a um 
pistão de área transversal de 100 cm2. 
 
Solução: 
 
De acordo com o Princípio de Pascal, a pressão p1 exercida na coluna da esquerda 
de área 1 cm2 por meio de uma força de 300 N deve ser igual a pressão p2 que 
aparece coluna da direita de área 100 cm2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2
1
1
2A1A
A
F
A
F
PP 
 
 
N30000F
100
F
1
300
2
2 
 
 
 
 
 
 
 A1 A2 
Figura ER-5- Macaco hidráulico 
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MECÂNICA DOS FLUÍDOS 
___________________________________________________________________ 
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Um exemplo de utilização de macacos hidráulicos é no levantamento de automóveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 – Principio de Pascal aplicado no levantamento de 
automóveis 
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2.6– MANOMETRIA 
Uma técnica padrão para medição de pressão envolve a utilização de colunas de 
líquido verticais ou inclinadas. Os dispositivos para a medida de pressão baseados 
nesta técnica são denominados manômetros. 
 
2.6.1– Tubo Piezométrico 
O tipo mais simples de manômetro consiste num tubo vertical aberto no topo e 
conectado ao recipiente no qual desejamos conhecer a pressão (Figura 2.5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a coluna de líquido está em equiliíbrio podemos aplicar a eq. 2.4 
 
0Ph.P  
 
 
Esta equação fornece a pressão provocada por qualquer coluna de fluído 
homogêneo em função da pressão de referência P0 e da distância vertical entre os 
planos que representam P e P0. 
 
 
 
 
 
 
 h 
 
Figura 2.5-Tubo piezométrico 
 A 
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2.6.2– Manômetro com o Tubo em U 
O manômetro com o tubo em U, é largamente utilizado. O fluído que se encontra no 
tubo do manômetro é denominado fluído manométrico (Figura 2.6). A maior 
vantagem do manômetro em U, é que o fluído manométrico pode ser diferente do 
fluído no recipiente aonde a pressão deve ser determinada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para determinar a pressão PA em função das várias colunas, nós aplicaremos a eq. 
2.4. nos vários trechos preenchidos com o mesmo fluído. 
 
A pressão no ponto B é igual a soma de PA com 1h1. A pressão no ponto C é igual a 
pressão em B, porque as elevações são iguais e os fluídos são iguais. Como 
conhecemos a pressão em C, nós vamos nos mover para a superfície livre da 
coluna onde a pressão relativa é nula. Quando nos movemos verticalmente para 
cima a pressão cai de um valor 2h2. Estes vários passos podem ser equacionados 
da seguinte forma. 
0h.h.P 2211A  
 
A pressão em A pode ser escrita em função das alturas das colunas do seguinte 
modo: 
1122A h.h.P  
 
 
(Fluído 
manométrico) 
 
h1 
h2 
1 
2 
Figura 2.6 – Manômetro com tubo em U 
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Exercício resolvido 6: Um tanque fechado (Figura ER-6) contém ar comprimido e um 
óleo que apresenta densidade 0,9. O fluído manométrico utilizado no manômetro em 
U conectado ao tanque é mercúrio (densidade igual a 13,6). Para os dados de altura 
dados a seguir, determine a leitura no manômetro localizado no topo do tanque. 
h1=914mm ; h2=152mm ; h3=229mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
A pressão no ponto 1 será: 
)hh.(PP óleoar 211  
 
Esta pressão P1 é igual à pressão no ponto 2, pois os pontos 1 e 2 apresentam a 
mesma elevação e estão num trecho ocupado pelo mesmo fluído. Por outro lado, a 
pressão no ponto 2 é igual a pressão na interface fluído-manométrico/ar atmosférico 
mais a provocada pela coluna com altura h3. Considerando que estamos 
trabalhando com pressões relativas, então, temos: 
 
3232 0 h.Ph.P HgHg  
 
Como P1 = P2, então: 
321 h.)hh.(P Hgóleoar  
 
)hh.(h.P óleoHgar 213  
 
 
 
Figura ER-6 
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)hh.(.dh..dP OHóleoOHHgar 21232  
 
considerando H2O=9810N/m
3, temos 
 
),,(xx,,xx,Par 1520914098109022909810613 
 
 
Par = 21140 Pa = 21,14 kPa 
 
A pressão Par determinada acima corresponde à pressão na interface ar 
comprimido/óleo. Entretanto, como o peso específico do ar é muito pequeno, e pode 
ser desprezado, a pressão devida a coluna de ar entre o medidor de pressão e a 
interface ar/óleo pode ser desprezada. Dessa forma, a leitura do medidor será igual 
a Par. Logo: 
Pmedidor = 21,14 kPa 
 
Exercício resolvido 7: O manômetro em U mostrado na Figura ER-7, contém óleo 
(densidade=0,9), mercúrio (densidade=13,6) e água. Determine a diferença entre as 
pressões nos pontos A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 305 mm 
 100 mm 
 75 mm 
 
Figura ER-7 
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Solução: 
 
A pressão na interface água/mercúrio é igual a pressão no mesmo plano horizontal 
no mercúrio (trecho do tubo do lado esquerdo). Logo: 
),,.(P,.),,.(P OHBHgóleoA 075030503050075010 2   
),,.(P,.d),,.(dP OHBOHHgOHóleoA 075030503050075010 222   
considerando H2O=9810N/m
3, temos 
),,(xP,xx,),,(xx,P BA 07503050981030509810613075010981090 
 
3728406921545  BA PP
 
PaPP BA 38509
 
 
Exercício resolvido 8: Determinar o peso específico do fluído desconhecido que está 
contido no tubo em U mostrado na Figura ER-8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
A pressão na interface entre a água e o fluído desconhecido no lado esquerdo é 
igual à pressão no mesmo plano horizontal no fluído desconhecido no trecho do tubo 
do lado direito. Logo: 
 
),,.(),,.(),,.( xOHOH 03600840084012400360140 22   
 
 124 mm 
 84 mm 
 36 mm 
 140 mm 
Fluído 
Desconhecido 
 
 Água 
Aberto Aberto 
Figura ER-8 
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considerando H2O=9810N/m
3, temos 
),,.(),,.(),,.( x 0360084008401240981003601409810   
),,.(,, x 03600840439221020   
Logo o peso específico do fluído desconhecido será: 
313079 m/Nx 
 
 
 
 
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2.7– FORÇA HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFICÍE PLANA 
 
Nós detectamos a presença de forças nas superfícies de corpos que estão 
submersos nos fluídos. A determinação destas forças é importante nos projetos de 
tanques de armazenamento de fluídos, navios, barragens e outras estruturas 
hidráulicas. A força com que o fluído atua nas superfícies é perpendicular a estas 
quando o fluído está em repouso. 
A distribuição de forças resultantes da ação do fluído numa superfície de área finita, 
pode ser substituída por uma força resultante conveniente na medida em que 
estejamos interessados apenas nas reação externas. 
Neste item determinaremos a intensidade e a linha de ação (centro de pressão) da 
força resultante. 
Na Figura 2.7 está representada uma superfície plana com uma inclinação º em 
relação á horizontal. Adotemos como eixo x, interseção da superfície livre com o 
plano da superfície em estudo. O eixo y pertencerá ao plano da superfície em 
estudo. 
Sabendo que força é igual a pressão multiplicada pela área (F=PA), a força que atua 
na área diferencial A será: 
hdA.PdAdF 
 
Logo, o módulo da força resultante na superfície pode ser determinado somando-se 
todas as forças diferenciais que atuam na superfície, ou seja: 
 
AA
R dAseny.hdA.F 
 (pois h=y.sen 
Sendo e constantes, temos que: 

A
R ydAsenF
 (2.6) 
A integral da equação 2.6 é o momento de primeira ordem em relação ao eixo x. 
Logo: 
AyydA c
A

 
 Onde yc é a coordenada do centróide (centro de gravidade) medida a partir do eixo 
x que passa através de O. Assim a equação 2.6 pode ser reescrita como: 
 senAyF cR 
 
Ou de modo mais simples: 
cR AhF 
 (2.7) 
Onde hc é a distância vertical entre a superfície livre do fluído e o centróide da área. 
 
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Apesar de nossa intuição sugerir que a força resultante deveria passar através do 
centróide da área, este não é o caso. A coordenada yR da força resultante pode ser 
determinada pela soma dos momentos em torno do eixo x, ou seja, o momento da 
força resultante precisa ser igual aos momentos das forças devidas a pressão, ou 
seja, 
 
 
A A
RR dAy.senydFyF
2
 
Como 
 senAyF cR
 então: 
Ay
dAy
y
c
A
2
R


 
A integral no numerador desta equação é o momento de segunda ordem (momento 
de inércia) Ix , em relação ao eixo formado pela interseção do plano que contém a 
superfície em estudo e a superfície livre. Assim, nós podemos escrever: 
 
yR 
yC 
y 
Ponto de aplicação da 
força resultante (centro de 
pressão, CP) 
Centróide C 
dA 
xR 
xC 
h hC 

Figura 2.7 – Força hidrostática numa superfície plana 
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Ay
I
y
c
x
R 
 
Se utilizarmos o teorema dos eixos paralelos para expressar Ix, como: 
2
cxcx AyII 
 
Onde Ixc é o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centróide e é 
paralelo ao eixo x, temos: 
c
c
xc
R y
Ay
I
y 
 (2.8) 
A equação 2.8 mostra que a força resultante não passa através do centróide, mas 
sempre atua abaixo dele. 
A coordenada xR do ponto de aplicação pode ser determinada de modo análogo, ou 
seja somando-se os momentos em relação ao eixo x. 
 
A
RR xydA.senxF
 
A.y
I
A.y
xydA
x
c
xy
c
A
R 
 
Onde Ixy é o produto de inércia em relação aos eixos x e y. Utilizando novamente o 
teorema dos eixos paralelos podemos escrever: 
c
c
xyc
R x
A.y
I
x 
 (2.9) 
Onde Ixy é o produto de inércia em relação ao sistema de coordenadas ortogonal 
que passa que passa através do centróide da área. 
 
 
 
 
 
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a.bA 
3
12
1
a.bIxc 
0xycI
a.bIyc
3
12
1

a 
b 
y 
x 
2RA 
4
1
4R
II ycxc

 0xycI
R 
y 
x 
R 
y 
x 
y 
2
2R
A


4
10980 R,Ixc 
4
39270 R,Iyc 
0xycI
R 
y 
x 
4
2R
A


4
054880 R.,II ycxc 
4
016470 R.,Ixyc 
Figura 2.8 – Propriedades geométricas de algumas figuras 
a 
d 
b 
x 
y 
)db(
a.b
Ixyc 2
72
2

2
b.a
A 
36
3a.b
Ixc 
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Exercício resolvido 9: A figura ER-9 mostra o esboço de uma comporta plana circular 
que está localizada num grande reservatório de água. A comporta está montada 
num eixo que corre ao longo do diâmetro horizontal da comporta. Se o eixo está 
localizado à 10m da superfície livre, determine o módulo e o ponto de aplicação da 
força resultante na comporta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 Empregando a eq. 2.7 temos que: 
cR AhF 
 
Como hc é a distancia vertical entre a superfície livre e o centróide. Como temos uma 
comporta plana circular, o centróide da mesma se localiza exatamente em seu 
centro. 
Desta forma: hc=10m 
Como o diâmetro da comporta é 4,0m (ver figura), temos: 
10 m 
60
o 
Centro de 
pressão
 
 Figura ER- 9
 
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2
22
5712
4
4
4
m,
.D
A 
 
Considerando H2O=9810N/m
3, temos: 
1057129810
4
2
x,xh
D.
AhF ccR 

 
FR = 1232761N = 1232,7 kN 
O ponto de aplicação da força (centro de pressão) será dado pela eq. 2.8. 
c
c
xc
R y
Ay
I
y 
 
De acordo com a figura ER-9, temos que: 
m,
ºsensen
h
y cc 54711
60
10
 
 
Como a comporta é plana circular de raio R=2,0m, temos 
4
44
5612
4
2
4
m,
.R
Ixc 
 
logo: 
54711
571254711
5612
,
,x,
,
yR 
 
m,yR 6311
 
 
 
Exercício resolvido 10: Considerando a figura ER-10 a seguir determinar: 
 
a)-a força resultante decorrente da ação da água sobre a comporta retangular A-B 
de 3m por 6m. Determinar também o ponto de aplicação desta força. 
 
b)-a força resultante decorrente da ação da água sobre a comporta triangular D-C de 
4m por 6m, sendo que o vértice superior do triangular está em C. Determinar 
também o ponto de aplicação desta força. 
Considerar H2O=9810N/m
3. 
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MECÂNICA DOS FLUÍDOS 
___________________________________________________________________ 
Eng. MSc. Henrique Marcio P. Rosa Notas de Aula pag. 35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
a)Sabendo que a comporta é retangular e analisando a figura ER-10 é possível 
verificar que : 
hc=4 + 6/2 = 7m 
A= 3x6 = 18m2 
Assim a força resultante será: 
1879810 xxAhF cR  
 FR = 1236060 N = 1232,6 kN 
O ponto de aplicação da força resultante será dado por: 
c
c
xc
R y
Ay
I
y 
 
Para cálculo de Ixc, utilizamos as fórmulas tabeladas (ver figura 2.8) 
 
4
33
54
12
63
12
m
xba
Ixc 
 
(cuidado: para não trocar os valores de a e b é necessário transpor corretamente o 
desenho tabelado para o desenho do exercício) 
Como a comporta está na posição vertical yc = hc = 7m, logo: 
m,
x
yR 4377
187
54

 
 
b)Sabendo que a comporta é triangular de base 4m e altura 6m: 
2012
2
64
m,
x
A 
 
e o seu centróide ficará a 2m da base (ponto D), e à 4m do vértice (ponto C). Dessa 
forma analisando a figura ER-10, verifica-se que: 
 
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hc=3 + 4xsen45º = 5,83m 
então: 
835129810 ,xxAhF cR  
 FR = 686308 N = 686,3 kN 
Para o cálculo do ponto de aplicação, devemos determinar Ixc utilizando as fórmulas 
tabeladas. 
4
33
24
36
64
36
m
xba
Ixc 
 
(cuidado: para não trocar os valores de a e b é necessário transpor corretamente o 
desenho tabelado para o desenho do exercício) 
Da figura ER-10, temos: 
m,
,
,
ºsen
h
y cc 248
7070
835
45

 
Então: 
248
12248
24
,
x,
y
Ay
I
y c
c
xc
R 
 
m,yR 488
 
 
 
 
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2.8– FORÇA HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFICÍE CURVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura 2.9, F1 e F2 são determinadas utilizando as relações empregadas para 
superfícies planas. W é o peso do fluído contido no volume limitado pela superfície 
curva e pelos planos que passam por AB e AC. FH e FV representam as 
componentes da força que a superfície exerce no fluído. 
Do diagrama de corpo livre da figura 2.9, temos. 
FH = F2 
FV = F1 + W 
 
O módulo da força resultante é obtido pela equação: 
 
2
V
2
HR )F()F(F 
 
 
 
Figura 2.9 – Força hidrostática sobre superfície curva 
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Exercício resolvido 11: A figura ER-11 mostra o esboço de um conduto utilizado na 
drenagem de um tanque e que está parcialmente cheio de água. Sabendo que a 
distância entre A e C é igual ao raio do conduto, determine o módulo, a direção e o 
sentido da força resultante sobre a curva BC, devida a presença da água. Admita 
que esta seção apresenta comprimento igual à 1m. 
 
Considerar H2O=9810N/m
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
As forças que atuam no volume são a força horizontal F1, que age na superfície 
vertical AC, o peso W da água contida no volume e as componentes horizontal e 
vertical da força que a superfície do conduto exerce sobre o volume (FH e FV). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura ER-11 
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O módulo da força F1 pode ser determinado pela equação: 
N3970)
2
9,0
(x)1x9,0(x9810AhF c1 
 
O módulo do peso W, será: 
N6240)1x
4
9,0x
(x9810VW
2



 
Logo: 
FH = F1 = 3970 N 
FV = W = 6240 N 
 
O módulo da força resultante é: 
N7400)6240()3970()F()F(F 222V
2
HR 
 
 
 
2.9– EMPUXO 
O principio de Arquimedes diz que a força de empuxo que atua num corpo 
parcialmente ou totalmente imerso no fluído, é igual ao peso específico do fluído () 
multiplicado pelo volume de fluído deslocado (Vdesl.) devido a presença do corpo 
(volume do corpo que está imerso). O empuxo é uma força que o fluído faz sobre o 
corpo e é sempre vertical e com sentido para cima. 
.deslVE 
 
 
Exercício resolvido 12: A figura ER-12 mostra uma bóia com diâmetro e peso iguais 
à 1,5m e 8,5kN e que está presa ao fundo do mar por um cabo. A bóia esta 
completamente submersa. Determine a força que tensiona o cabo na condição 
mostrada na figura. 
Considerar H2Omar=10100 N/m
3. 
 
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Solução: 
Fazendo o diagrama de corpo rígido da bóia, temos que: 
T = E – W 
O empuxo será: 
N17848
6
5,1.
x10100
6
d
x10100VE
33
.desl 




 
então: 
T = 17848 – 8,5x103 = 9350 N = 9,35 kN. 
 
Figura ER- 12 
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2.10– PRISMA DAS PRESSÕES 
Consiste no método de interpretação gráfica da força desenvolvida por um fluído 
numa superfície plana. Considere a distribuição de pressão ao longo de uma parede 
vertical de um tanque com largura b e que contém um liquido que apresentapeso 
específico . Nós podemos representar a variação de pressão do modo mostrado na 
figura 2.10, porque a pressão varia linearmente com a profundidade. Nós podemos 
representar tridimensionalmente a distribuição de pressão como mostrado na figura 
2.10-b, e teremos um volume. A base deste volume é a superfície plana que 
estamos analisando e a altura em cada ponto é dada pela pressão. Este “volume” é 
denominado prisma das pressões e a força resultante que atua na superfície vertical 
é igual ao volume deste prisma. No caso da figura 2.10, trata-se de um prisma 
triangular, cuja seção transversal é um triangulo. Assim a força resultante será dada 
por: 
 
)b.(
2
h).h.(
volumeFR


 (2.10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A linha de ação da força precisa passar pelo centróide do prisma das pressões. O 
centróide no caso da figura 2.10, está a uma distância de h/3, medido de baixo para 
cima. 
A mesma abordagem pode ser utilizada nos casos em que a superfície plana está 
totalmente submersa (figura 2.11). Neste caso a seção transversal do prisma é um 
trapézio. Entretanto, o módulo da força resultante que atua sobre a superfície ainda 
é igual ao volume do prisma das pressões e sua linha de ação passa pelo centróide 
do volume. A figura 2.11-b mostra que o módulo da força resultante pode ser obtido 
decompondo o prisma das pressões em duas partes (ABDE e BCD). Deste modo, 
 
Figura 2.10 – Prisma das pressões 
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21R FFF 
 
Onde F1 corresponde a parte de seção transversal retangular e F2 a parte de seção 
transversal triangular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A localização da linha de ação de FR pode ser determinada a partir da soma de seus 
momentos em relação à algum eixo conveniente. Por exemplo se utilizarmos o eixo 
que passa através de A, temos, 
 
2211RR yFyFyF 
 
 
 
Exercício resolvido 13: Aplicando o método do prisma das pressões, determinar a 
força hidrostática resultante e sua linha de ação na parede vertical mostrada na 
figura ER-13. A parede possui largura de 10m. 
Figura 2.11- Prisma das Pressões para superfície 
totalmente submersa 
yR 
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Solução: 
Para este caso o prisma das pressões será de seção transversal triangular, 
conforme figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Foi dado que: 
h=8m 
b=10m. 
A força hidrostática resultante será: 
)kN(3139)N(313920010.
2
8).8.9810(
)b.(
2
h).h.(
volumeFR 


 
 
A linha de ação da força ocorrerá no centróide do prisma, ou seja: 
 
m67,2
3
8
3
h
yR 
 (medido de baixo para cima) 

=9810 N/m
3
 
 
h=8m 
 
Figura ER-13 
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Exercício resolvido 14: Aplicando o método do prisma das pressões, determinar a 
força hidrostática resultante e sua linha de ação na comporta quadrada 3mx3m 
submersa mostrada na figura ER-14. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Foi dado que: 
h1= 2m 
h2= 5m 
h= 3m (comprimento da comporta) 
b= 3m (largura da comporta) 
Figura ER-14 
h1=2m 

=9810 N/m
3 
h2=5m 
Comporta quadrada 
 3mx3m 
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Para este caso o prisma das pressões será de seção transversal trapezoidal, 
conforme figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este prisma trapezoidal pode ser dividido em 02 prismas. Um com seção transversal 
retangular ABDE cuja força resultante correspondente é F1 e o outro com seção 
transversal triangular BCD, cuja força resultante correspondente é F2. 
Assim sendo, a força resultante FR será a soma das forças referentes a cada prisma. 
21R FFF 
 
Cálculo de F1 e F2: 
)kN(6,176)N(1765803.3.2.9810b.h.h.VolumeF 111 
 
)kN(4,132)N(1324353.
2
3).25(9810
b.
2
h).hh(
VolumeF 1222 




 
A força resultante será: 
)kN(3094,1326,176FFF 21R 
 
 
Determinação do ponto de aplicação da força resultante. 
Para obtermos o ponto de aplicação da força resultante, antes é necessário 
determinar os pontos de aplicação das forças resultantes parciais F1 e F2. 
 
O ponto de aplicação da força F1 ocorrerá no centróide do prisma de seção 
transversal retangular: 
 
yR 
 
F1 
F2 
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MECÂNICA DOS FLUÍDOS 
___________________________________________________________________ 
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m5,1
2
3
2
h
y1 
 (medido de cima para baixo em relação à aresta superior da comporta) 
O ponto de aplicação da força F2 ocorrerá no centróide do prisma de seção 
transversal triangular: 
m23.
3
2
h.
3
2
3
h
hy 2 
 (medido de cima para baixo em relação à aresta superior da 
comporta) 
O ponto de aplicação da força resultante é determinado sabendo que o momento da 
força resultante deve ser igual à soma dos momentos das forças F1 e F2. Logo: 
2211RR yFyFyF 
 
2.4,1325,1.6,176y.309 R 
 
7,529y.309 R 
 
m71,1yR 
 (medido de cima para baixo em relação à aresta superior da comporta) 
 
OBS: se desejássemos determinar o ponto de aplicação em relação à superfície 
livre do fluído, então o cálculo seria: 
m71,3271,1yL 
 (medido de cima para baixo em relação à superfície livre do fluído) 
 
Exercício resolvido 15: Aplicando o método do prisma das pressões, determinar a 
força hidrostática resultante e sua linha de ação na comporta retangular mostrada na 
figura ER-15. A comporta possui largura de 5m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45º h1=7m 
h2=11m 
=9810 N/m
3
 
Figura ER-15 
Comporta 
retangular 
LC 
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Solução: 
Primeiramente devemos determinar o comprimento LC da comporta. Analisando a 
figura ER-15, tiramos que: 
m65,5
º45sen
4
L
L
711
º45sen C
C



 
Recapitulando os dados, temos: 
h1= 7m 
h2= 11m 
LC= 5,65m (comprimento da comporta) 
b= 3m (largurada comporta) 
Para este caso o prisma das pressões será de seção transversal trapezoidal, 
conforme figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este prisma trapezoidal pode ser dividido em 02 prismas. Um com seção transversal 
retangular cuja força resultante correspondente é F1 e o outro com seção transversal 
triangular, cuja força resultante correspondente é F2. 
Assim sendo, a força resultante FR será a soma das forças referentes a cada prisma. 
21R FFF 
 
Cálculo de F1 e F2: 
)kN(9,1939)N(19399275.65,5.7.9810b.L.h.VolumeF C111 
 
 
 
F1 
F2 
FR 
y1 
yR 
y2 (h2-h1) 
h1 
LC 
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___________________________________________________________________ 
Eng. MSc. Henrique Marcio P. Rosa Notas de Aula pag. 48 
)kN(3,554)N(5542655.
2
65,5).711(9810
b.
2
L).hh(
VolumeF C1222 




 
A força resultante será: 
)kN(2,24943,5549,1939FFF 21R 
 
 
Determinação do ponto de aplicação da força resultante. 
Para obtermos o ponto de aplicação da força resultante, antes é necessário 
determinar os pontos de aplicação das forças resultantes parciais F1 e F2. 
O ponto de aplicação da força F1 ocorrerá no centróide do prisma de seção 
transversal retangular: 
m825,2
2
65,5
2
L
y C1 
 (medido de cima para baixo em relação à aresta superior da comporta) 
O ponto de aplicação da força F2 ocorrerá no centróide do prisma de seção 
transversal triangular: 
m767,365,5.
3
2
L.
3
2
3
L
Ly C
C
C2 
 (medido de cima para baixo em relação à aresta 
superior da comporta) 
 
O ponto de aplicação da força resultante é determinado sabendo que o momento da 
força resultante deve ser igual à soma dos momentos das forças F1 e F2. Logo: 
2211RR yFyFyF 
 
767,3.3,554825,2.9,1939y.2,2494 R 
 
3,7568y.2,2494 R 
 
m03,3yR 
 (medido de cima para baixo em relação à aresta superior da comporta) 
 
OBS: se desejássemos determinar o ponto de aplicação em relação a superfície 
livre do fluído, então o cálculo seria: 
m92,129,903,3
º45sen
7
03,3yL 
 (medido de cima para baixo em relação à superfície 
livre do fluído)

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