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A Ägua esquenta bem num fomo de
microondas que Å possÇvel aquecermos um
copo d'Ägua atÅ 8 C acima da temperatura
normal de ebuliÉÑo sem que ela ferva. A
seguir, se colocarmos na Ägua pÖ de cafÅ, ou
mesmo pedaÉos de gelo, ela romperÄ numa
violenta fervura, como a que Å mostrada na
fotografia, espalhando a Ägua que 
rapidamente
poderia nos escaldar. Por que as
microondas aquecem a Ägua?
II
CARGA EL€TRICA
1-1 Eletromagnetismo
s antigos filsofos gregos sabiam 
que um peda‚o de ƒmbar friccionado 
era capaz de atrair fragmentos de 
palha. H„ uma linha direta de desenvolvimento a 
partir dessa observa‚…o at† a era da eletr‡nica em 
que vivemos. (Tal fato se encontra evidenciado na 
palavra "elÄtron", derivada do grego elÅtron, que 
significa ƒmbar.) Os gregos tamb†m tinham 
conhecimento de que certas "pedras" encontradas na 
natureza, hoje conhecidas como magnetitas, eram 
capazes de atrair o ferro.
Foram essas as modestas origens das 
ciˆncias da eletricidade e do magnetismo. Estas 
duas ciˆncias desenvolveram-se independentemente 
uma da outra, durante s†culos, at† 1820, quando 
Hans Christian Oersted descobriu uma conex…o 
entre elas: uma corrente el†trica, percorrendo um 
fio, ocasionava a deflex…o da agulha imantada de 
uma b‰ssola. Curiosamente, Oersted fez esta 
descoberta enquanto preparava uma aula de 
laboratrio para seus alunos de fŠsica.
A nova ciˆncia do eletromagnetismo (combina‚…o 
dos fen‡menos el†tricos e magn†ticos) foi 
posteriormente, desenvolvida por muitos 
pesquisadores em diversos paŠses. Um dos mais 
importantes foi Michael Faraday, um talentoso 
fŠsico experimental dotado de grande intui‚…o e 
vis…o. Esta capacidade † atestada pelo fato de que 
suas anota‚‹es de laboratrio n…o contˆm uma 
‰nica equa‚…o. Na metade do s†culo XIX, James 
Clark Maxwell deu forma matem„tica Œs id†ias de 
Faraday, introduziu muitas id†ias prprias e 
estabeleceu as bases tericas do eletromagnetismo.
O
Se vocÜ adaptar seus olhos ao 
escuro por uns 15 minutos e, a seguir, pedir 
a um amigo para morder uma bala de 
gualtÅria verÄ, a cada mordidela, um clarÑo
de luz
azul saindo da boca de seu amigo. (O
mesmo efeito poderÄ ser obtido se vocÜ
apertar a bala com um alicate, como mostra 
a fotografia.) O que ocasiona essa luz, 
comumente chamada de "centelhamento"? O 
nome em si jÄ Å um indÇcio.
III
A Tabela 37-2 mostra as leis b„sicas do 
eletromagnetismo, chamadas de equa‚‹es de 
Maxwell. Nos prximos capŠtulos, vamos estudar 
essas leis detalhadamente e, por fim, reunidas na 
referida tabela. As equa‚‹es de Maxwell 
desempenham, no eletromagnetismo, o mesmo 
papel que as leis do movimento de Newton na 
mecƒnica cl„ssica e as leis da termodinƒmica no 
estudo do calor.
A grande descoberta de Maxwell no 
eletromagnetismo foi que a luz † uma onda 
eletromagn†tica e que, portanto, sua velocidade 
escalar pode ser determinada efetuando-se medidas 
puramente el†tricas e magn†ticas. Com esta 
descoberta, Maxwell relacionou a antiga ciˆncia da 
tica com a eletricidade e o magnetismo. Heinrich
Hertz deu outro grande passo Πfrente produzindo o 
fen‡meno eletromagn†tico denominado por ele de 
"ondas maxwellianas", e que agora chamamos de 
ondas curtas de r„dio. (Coube a Marconi e a outros 
explorar as aplica‚‹es pr„ticas do fen‡meno). 
Atualmente, as equa‚‹es de Maxwell s…o usadas no 
mundo inteiro, na solu‚…o de v„rios problemas 
pr„ticos de engenharia.
1-2 Carga ElÄtrica
Caminhando sobre um tapete em tempo 
seco, podemos provocar urna descarga el†trica ao 
tocarmos na ma‚aneta met„lica de uma porta. A 
"eletricidade est„tica", ilustrada na Fig. 23-1 por 
uma experiˆncia bastante simples, est„ em toda 
parte, e devemos estar atentos aos seus efeitos, pois 
alguns deles, como, por exemplo, faŠscas e choques 
el†tricos, podem ser perigosos. Em grande escala, 
citamos o relƒmpago, que † familiar a todo mundo. 
Todos esses fen‡menos representam n…o mais que 
simples manifesta‚‹es da grande quantidade de 
carga el†trica que est„ armazenada nos objetos 
familiares que nos cercam e, at† mesmo, em nossos 
prprios corpos.
Cada objeto, em nosso visŠvel e tangŠvel 
mundo, cont†m uma enorme quantidade de carga; 
entretanto, geralmente tal fato n…o se revela porque 
o objeto cont†m quantidades iguais de duas esp†cies 
de carga: carga positiva e carga negativa. Com tal 
igualdade - ou equilÇbrio - de cargas, dizemos que o 
objeto est„ eletricamente neutro; isto †, ele n…o 
cont†m nenhuma carga lÇquida para interagir com 
outros objetos. Quando os dois tipos de carga n…o 
est…o em equilŠbrio, existe uma carga lŠquida que 
pode interagir com outros objetos, dando-nos conta 
de sua existˆncia. 
Quando falamos que um corpo est„ 
carregado significa dizer que ele possui uma 
pequena quantidade de carga desequilibrada ou 
carga lŠquida. (Qualquer desequilŠbrio † sempre in-
significante comparado Œs quantidades totais de 
carga positiva e de carga negativa contidas no 
objeto.).
Objetos carregados interagem exercendo 
for‚as uns sobre os outros. Para mostrar isso vamos 
carregar uma barra de vidro friccionando uma de 
suas extremidades com seda. Nos pontos de contato 
entre a barra e a seda, pequenas quantidades de 
cargas s…o transferidas de uma para a outra, 
perturbando a neutralidade de ambas. (Esfregamos a 
seda sobre a barra para aumentar o n‰mero de 
pontos de contato e assim a quantidade. Ainda 
pequena de carga transferida.).
Se agora suspendermos essa barra carregada 
por meio de um fio e aproximarmos uma outra barra 
de vidro, carregada da mesma forma, como mostra a 
Fig. 23-2 a, notarse-„ que ambas se repelem. Por 
outro lado, se friccionamos uma barra de pl„stico 
IV
com pele de animal e a colocarmos nas 
proximidades da barra de vidro suspensa, como na 
Fig. 23-2 b, notar-se-„ que ambas se atraem.
Podemos compreender estas duas 
demonstra‚‹es em termos de cargas positiva e 
negativa. Quando a barra de vidro † friccionada 
com seda, o vidro perde parte de sua carga negativa 
e, portanto, fica com uma pequena carga positiva 
n…o equilibrada (representada na Fig. 23-2 a pelos 
sinais de mais). Quando a barra de pl„stico † 
friccionada com pele de animal, o pl„stico ganha 
uma pequena carga negativa n…o equilibrada 
(representada na Fig. 23-2 b pelos sinais de menos.) 
Estas duas demonstra‚‹es revelam o seguinte:
Cargas iguais se repelem e cargas diferentes 
se atraem.
Cargas iguais s…o aquelas que tˆm o mesmo 
sinal (el†trico); cargas diferentes tˆm sinais opostos. 
Na Se‚…o 23-4, colocaremos esta re ra em forma 
quantitativa na lei de Coulomb da forÉa 
eletrostÄtica (ou forÉa elÅtrica) entre cargas. O 
termo eletrostÄtico Å usado para enfatizar que, em 
rela‚…o umas Œs outras, as cargas est…o ou em 
repouso ou se movendo muito lentamente.
As denomina‚‹es: "positiva" e "negativa", para a 
carga el†trica da barra de vidro e a carga el†trica da 
barra de pl„stico, foram escolhidas arbitrariamente
por Benjamin Franklin. Ele podia muito bem ter 
escolhido o contr„rio, ou mesmo ter usado outro par 
de opostos para distinguir as duas esp†cies de carga. 
(Benjamin Franklin foi um grande homem p‰blico e 
um cientista de renome internacional. Dizem que o 
triunfo de Franklin no campo diplom„tico, na 
Fran‚a, durante a Guerra de Independˆncia 
Americana, foi devido, em grande parte, Πsua 
reputa‚…o de cientista.).
A atra‚…o e a repuls…o entre corpos 
carregados tˆm muitas aplica‚‹es industriais, tais 
como a pintura eletrost„tica. Os precipitadores de 
cinza em suspens…o, impressoras e copiadoras 
eletrost„ticas. A Fig. 23-3, por exemplo, mostra um 
pequeno glbulo de uma m„quina copiadora Xerox. 
Coberto por partŠculas de p negro chamado de 
toner que a ele aderem por for‚as eletrost„ticas.
As partŠculas de toner carregadas 
negativamente s…o atraŠdaspara uma imagem 
positivamente carregada do documento que est„ 
sendo copiado, formada sobre um tambor giratrio. 
A seguir, as partŠculas de toner s…o atraŠdas 
para uma folha de papel carregado, aps o que, por 
aquecimento, se fundem na superfŠcie da mesma 
formando uma cpia da p„gina original.
Fig. 23-3. Um glbulo de uma m„quina copiadora 
Xerox, coberto com partŠculas de toner que aderem a 
ele, por atra‚…o eletrost„tica. O diƒmetro do glbulo 
vale aproximadamente 0,3 mm.
V
1-3 Condutores e Isolantes
Em alguns materiais, tais como os metais, a „gua 
de torneira e o corpo humano, algumas das cargas 
negativas podem mover-se livremente. 
Denominamos tais materiais de condutores. Em 
outros materiais, tais como o vidro, a „gua 
quimicamente pura e o pl„stico, nenhuma carga 
pode mover-se livremente. Denominamos esses 
materiais de n…ocondutores ou isolantes.
Fig. 23-4. O que vemos acima n…o † nenhuma acrobacia, 
mas uma experiˆncia realizada em 1774 para provar que 
o corpo humano † um condutor de eletricidade. O 
desenho mostra uma pessoa suspensa por cordas n…o-
condutoras enquanto est„ sendo energizada por uma 
barra eletrizada (que provavelmente encostou na pele e 
n…o na roupa). Quando a pessoa aproxima o rosto, a m…o 
esquerda, ou o conjunto de condutor bola-haste em sua 
m…o direita, de uma das placas met„licas, faŠscas 
el†tricas atravessam o ar intermedi„rio, descarregando-a.
Segurando-se uma barra de cobre e 
friccionando-a com l…, n…o conseguiremos carreg„-
la, pois tanto a barra como o corpo humano os dois 
s…o condutores. A fric‚…o originar„ um 
desequilŠbrio de carga na barra, mas o excesso de 
carga se mover„ imediatamente da barra atrav†s do 
nosso corpo at† o ch…o (que est„ ligado Œ superfŠcie 
da Terra), e a barra rapidamente estar„ neutralizada.
Deste modo, estabelecendo-se um caminho 
de condutores entre um objeto e a superfŠcie da 
Terra, estamos fazendo sua ligaÉÑo a terra. A 
neutraliza‚…o do objeto (por elimina‚…o da carga 
positiva ou negativa desequilibrada), † chamada de 
descarga do objeto. (A Fig. 23-4 mostra um 
exemplo um tanto bizarro de descarga.) Se, em vez 
de segurarmos a barra met„lica com a m…o, a 
segurarmos por meio de um cabo isolante, 
eliminaremos o caminho condutor at† a Terra e 
desta forma ser„ possŠvel carreg„-la desde que n…o 
toquemos no metal enquanto estivermos 
friccionando-o.
A estrutura e a natureza el†trica dos „tomos 
s…o respons„veis pelas propriedades dos condutores 
e isolantes. Os „tomos est…o constituŠdos por 
prÖtons carregados positivamente, elÅtrons 
carregados negativamente e nÜutrons eletricamente 
neutros. Os prtons e os nˆutrons est…o fortemente 
ligados num nácleo central; num modelo simples do 
„tomo, os el†trons circulam em tomo do n‰cleo.
A carga do el†tron e a do prton tˆm o 
mesmo mdulo, mas sinais opostos. 
Conseqentemente, um „tomo neutro cont†m 
n‰meros iguais de el†trons e prtons. Os el†trons
s…o mantidos em rbita em tomo do n‰cleo, pois 
tˆm sinais el†tricos opostos aos dos prtons e, 
assim, s…o atraŠdos pelo n‰cleo.
Quando os „tomos de um condutor, como o 
cobre, se re‰nem para formar o slido, alguns de 
seus el†trons mais externos (e assim mais 
fracamente ligados) n…o permanecem ligados aos 
respectivos „tomos, mas se deslocam livremente 
atrav†s do volume do slido. Chamamos esses 
el†trons mveis de elÅtrons de conduÄÅo. Existem 
muito poucos el†trons livres (caso existam) num 
material n…o-condutor.
VI
Fig.23-5. Qualquer uma das extremidades de uma barra 
de cobre neutra e isolada ser„ atraŠda por uma barra 
carregada, qualquer que seja seu sinal el†trico. Neste 
caso, os el†trons de condu‚…o na barra de cobre s…o 
repelidos para a extremidade mais afastada da barra pela 
carga negativa da barra de pl„stico. Al†m disso, esta 
carga negativa atraiu a carga positiva remanescente da 
extremidade mais prxima da barra de cobre, deixando-a 
positiva.
A experiˆncia da Fig. 23-5 demonstra a 
mobilidade de carga em um condutor. Uma barra 
de pl„stico carregada negativamente atrair„ 
qualquer uma das extremidades de uma barra de 
cobre neutra e isolada. Muitos dos el†trons de 
condu‚…o da extremidade da barra de cobre, que 
est„ mais prxima da barra carregada 
negativamente, s…o repelidos por esta para a outra 
extremidade, o que deixa a extremidade mais 
prxima com falta de el†trons e, assim, com uma 
carga positiva n…o-equilibrada (que † atraŠda pela 
carga negativa da barra de pl„stico). Embora a 
barra de cobre continue neutra, dizemos que ela 
possui uma carga induzida, significando que 
algumas de suas cargas positivas e negativas foram 
separadas devido Œ presen‚a da carga em suas 
vizinhan‚as.
Semelhantemente, aproximando-se uma 
barra de vidro carregada positivamente de uma 
extremidade da barra de cobre neutra, aparecer„ 
uma carga induzida, pois el†trons de condu‚…o 
ser…o atraŠdos para esta extremidade. A 
extremidade prxima ficar„ carregada 
negativamente e a extremidade afastada carregada 
positivamente. Haver„ atra‚…o entre as duas barras 
apesar de a barra de cobre continuar neutra.
Note que s…o os el†trons, com suas cargas 
negativas, que se movem. Um objeto torna-se 
carregado positivamente apenas pela remo‚…o de 
cargas negativas.
Os semicondutores, dentre os quais citamos 
o silŠcio e o germƒnio, s…o materiais que pertencem 
a uma classe intermedi„ria entre os condutores e os 
isolantes. Os semicondutores tˆm muitas aplica‚‹es 
pr„ticas e promoveram uma verdadeira revolu‚…o na 
microeletr‡nica.
Finalmente, existem os supercondutores, 
assim chamados por n…o oferecerem resistˆncia ao 
movimento da carga el†trica atrav†s deles. Quando 
uma certa quantidade de carga se move atrav†s de 
um material, dizemos que existe uma corrente 
elÄtrica no material. Os materiais comuns, mesmo 
os condutores, resistem ao fluxo de corrente atrav†s 
deles. Por exemplo, o fio usado em dispositivos 
el†tricos † muito bom condutor de corrente, mas ele 
ainda apresenta pequena resistˆncia Œ corrente. 
Entretanto, num supercondutor a resistˆncia n…o † 
extremamente pequena; ela † precisamente nula. 
Estabelecendo-se uma corrente em um anel 
supercondutor, ela se manter„ inalterada por um 
longo tempo, sem necessidade de bateria ou de 
qualquer outra fonte de energia.
A supercondutividade foi descoberta em 191 
1, pelo fŠsico holandˆs Kammerlingh Onnes, que 
observou que o merc‰rio slido perde 
completamente sua resistˆncia el†trica em 
temperaturas inferiores a 4,2 K. At† 1986, a 
aplica‚…o pr„tica do supercondutor era bastante 
limitada, pois os materiais supercondutores 
conhecidos precisavam ser resfriados a 
temperaturas abaixo de 20 K para que pudessem 
manifestar a supercondutividade.
Recentemente, foram desenvolvidos 
materiais que se tornam supercondutores em 
temperaturas mais altas, de modo que uma nova era 
de diversas aplica‚‹es est„ se abrindo para ns. A 
possibilidade de se ter supercondutividade na 
temperatura ambiente † ainda objeto de 
investiga‚…o.
1-4 Lei de Coulomb
Mdulo da for‚a eletrost„tica de atra‚…o ou 
repuls…o entre duas partŠculas carregadas, 
ou melhor, entre duas cargas puntiformes
cujos mdulos s…o q1 e q2 est…o separadas pela 
distƒncia r, † dado por:
O
VII
Onde k † uma constante. Esta express…o † chamada 
de Lei de Coulomb por ter sido deduzida por 
Charles Augustus Coulomb, a partir de suas 
experiˆncias realizadas em 1785. Curiosamente, a 
forma dessa express…o † a mesma que a da lei de 
Newton para o mdulo da for‚a gravitacional entre 
duas partŠculas de massas m, e M2, que est…o 
separadas pela distƒncia r:
F = G m1m2 (23-2)
r2
Onde G Å a constante gravitacional.
A lei de Coulomb tem se mostrado v„lido 
em todos os testes experimentais a que tem sido 
submetida; nenhuma exce‚…o jamais foi encontrada.At† mesmo no interior do „tomo, onde a mecƒnica 
cl„ssica newtoniana falha e † substituŠda pela fŠsica 
quƒntica, esta lei descreve corretamente a for‚a 
entre o n‰cleo carregado positivamente e cada um 
dos el†trons carregados negativamente.
A lei de Coulomb tamb†m explica 
corretamente as for‚as que mantˆm juntos os 
„tomos formando as mol†culas e as for‚as que 
ligam „tomos e mol†culas entre si para formar os 
slidos e os lŠquidos. Ns mesmos somos um 
complexo de n‰cleos e el†trons ligados entre si por 
for‚as eletrost„ticas. Na Eq. 23-1, F † o mdulo da 
for‚a que atua em cada partŠcula devida Œ carga da 
outra partŠcula, e ql e q2 s…o (ou valores absolutos) 
das cargas das duas partŠculas. A constante k, por 
analogia com a constante gravitacional G, pode ser 
denominada de constante eletrostÄtica. S…o as leis 
do inverso do quadrado da distƒncia e ambas 
envolvem uma propriedade de intera‚…o entre 
partŠculas - a massa num caso e a carga no outro.
A principal diferen‚a entre elas † que as 
for‚as gravitacionais s…o sempre atrativas, enquanto 
as for‚as el†tricas podem ser atrativas ou repulsivas, 
dependendo dos sinais das duas cargas (veja a Fig. 
23-6). Esta diferen‚a est„ relacionada com o fato de 
haver somente uma esp†cie de massa, mas duas 
esp†cies de carga el†trica.
Por motivos de ordem pr„tica, relacionados 
com a precis…o das medidas, a unidade de carga no 
SI † obtida a partir da unidade de corrente el†trica 
no mesmo sistema, o ampŽre (A). A unidade de 
carga no SI † o Coulomb (C):
Um Coulomb † a quantidade de carga que atravessa 
em um segundo a se‚…o reta de um fio percorrido 
por uma corrente de um ampŽre.
Na Se‚…o 31-4, descreveremos como o Coulomb † 
definido experimentalmente. Em geral, podemos 
escrever:
dq = i dt, (23-3)
Onde dq (em coulombs) † a carga 
transportada pela corrente i (em ampŽres) durante o 
intervalo de tempo dt (em segundos).
Por motivos de ordem histrica (e porque 
desse modo muitas outras frmulas adquirem 
formas mais simples), a constante eletrost„tica da 
Eq. 23-1 † usualmente escrita como 1/4. Assim 
sendo, a lei de Coulomb se escreve.
VIII
A constante eletrost„tica tem o seguinte valor
1 .
4-7o = 8,99 x 109 N. M2/C2. (23-5)
A grandeza o, chamada de constante de 
permissividade, aparece separadamente em 
algumas equa‚‹es e seu valor †:
Eo = 8,85 X lo- 12 C2/N - M2. (23-6)
Outro paralelo entre a for‚a gravitacional e a 
for‚a eletrost„tica † que ambas obedecem ao 
princŠpio da superposi‚…o. Estando presentes n 
partŠculas carregadas, elas interagem 
independentemente aos pares, e a for‚a sobre 
qualquer uma delas, digamos, a partŠcula 1, † dada 
pela soma vetorial.
F1 = F12 + F13 + F14 + F15 + - - - + F1N (23-7)
Onde, por exemplo, F14 † a for‚a que atua 
sobre a partŠcula 1 devido Œ presen‚a da partŠcula 
4. Uma frmula idˆntica vale para a for‚a 
gravitacional.
Finalmente, os dois teoremas para cascas 
esf†ricas, que se mostraram t…o ‰teis no estudo da 
gravita‚…o, tˆm seus an„logos na eletrost„tica:
Uma casca esf†rica uniformemente carregada 
atrai ou repele uma partŠcula carregada exterior Œ 
casca como se toda a carga da casca estivesse 
concentrada em seu centro. Uma casca esf†rica 
uniformemente carregada n…o exerce nenhuma 
for‚a eletrost„tica sobre uma partŠcula carregada 
que esteja localizada em seu interior.
Condutores EsfÄricos
ualquer excesso de carga colocado numa 
casca esf†rica feita de material condutor se 
espalhar„ uniformemente sobre a superfŠcie 
(externa) da casca. Por exemplo, se colocarmos 
el†trons numa casca esf†rica met„lica, as for‚as de 
repuls…o entre eles far…o com que se afastem o 
m„ximo possŠvel at† atingirem a superfŠcie da casca 
onde se espalhar…o uniformemente. De acordo com 
o primeiro teorema das cascas, a casca atrair„ ou 
repelir„ uma carga externa como se os el†trons 
excedentes estivessem concentrados no centro da 
casca.
Se retirarmos carga negativa de uma casca 
esf†rica met„lica, a carga positiva resultante ficar„ 
tamb†m espalhada uniformemente sobre a 
superfŠcie da casca. Por exemplo, se retirarmos n 
el†trons ficar…o n locais de carga positiva (locais 
onde faltam el†trons) espalhados uniformemente 
sobre a casca. De acordo com o primeiro teorema 
das cascas, a casca atrair„ ou repelir„ uma carga 
externa como se toda a carga da casca estivesse 
concentrada em seu centro.
TÅTICAS PARA A RESOLUÇÉO DE 
PROBLEMAS
TÅTICA 1: SMBOLOS REPRESENTATIVOS
DAS CARGAS.
Existe um guia geral para os sŠmbolos que 
representam as cargas. Quando o sŠmbolo q, com 
ou sem subscrito, † usado em uma frase sem a 
especifica‚…o do sinal, a carga pode ser positiva ou 
negativa. Algumas vezes, o sinal † explicitamente 
mostrado na nota‚…o +q ou -q. Considerando-se 
mais de um objeto carregado, podemos usar uma 
nota‚…o semelhante, mas com um n‰mero. Por 
exemplo, a nota‚…o + 2 q significa uma carga 
positiva cujo mdulo † o dobro de q e -3 q significa 
uma carga negativa cujo mdulo † o triplo de q, 
onde q Å o mdulo de alguma carga de referˆncia. 
Nas equa‚‹es escalares deste e do prximo capŠtulo, 
todas as nota‚‹es de carga representam somente 
mdulos. Por exemplo, podemos nos referir a uma 
carga - q, que tem o valor - 1,60 X 10-19 C, mas ao 
usar a Eq. 23-4, devemos substituir q, por 1,60 x 10-
19 C que † o mdulo da carga.
EXEMPLO 1-1:
a.) Fig. 23-7 a mostra duas esferas condutores 
idˆnticas, A e B, eletricamente isoladas, separadas 
Q
IX
por uma distƒncia a que † grande comparada Œs 
esferas. A esfera A tem uma carga positiva + Q; a 
esfera B est„ eletricamente neutra; e inicialmente, 
n…o h„ nenhuma for‚a eletrost„tica entre as esferas.
Suponhamos que as esferas sejam 
momentaneamente ligadas por um fino fio 
condutor. Qual ser„ a for‚a eletrost„tica entre as 
esferas depois que o fio for removido?
SoluÑÖo:
Assim que as esferas s…o ligadas, el†trons 
de condu‚…o da esfera B s…o atraŠdos para a esfera A 
positivamente carregada (Fig. 23-7 b). A esfera B 
perder„ carga negativa, ficando positivamente 
carregada. A esfera A ganhar„ carga negativa, 
ficando menos positivamente carregada. A 
transferˆncia de carga cessar„ quando o excesso de 
carga sobre B tiver crescido para + Q/2 e o excesso 
de carga sobre A tiver diminuŠdo para + Q/2 (Fig. 
23-7 c); isto ocorrer„ quando uma carga de - QI2
tiver sido transferida. Depois que o fio † removido, 
podemos supor que a carga sobre qualquer uma das 
esferas n…o perturba a uniformidade da distribui‚…o 
de carga sobre a outra esfera, pois as esferas s…o 
pequenas comparadas com a distƒncia que as 
separa. Assim sendo, podemos aplicar o primeiro 
teorema das cascas a cada uma das esferas. De 
acordo com a Eq. 234 com q, = q2 = QI2 e r = a, o 
mdulo da for‚a eletrost„tica entre as esferas vale.
Fig. 23-7. Duas pequenas esferas condutoras A 
e B.
a) Inicialmente, a esfera A est„ com carga 
positiva. (b) Carga negativa transferida entre as 
esferas atrav†s de um fio de liga‚…o. (c) As duas 
esferas est…o agora carregadas positivamente. (d) A 
carga negativa † transferida para a esfera A atrav†s 
de um fio fixado ao solo. (e) A esfera A est„ a ora 
neutra.
b.) Suponhamos agora que a esfera A seja 
momentaneamente ligada a terra. E que a liga‚…o-
terra seja a seguir removida. Qual ser„, ent…o, a 
for‚a eletrost„tica entre as esferas?
SoluÑÖo:
A liga‚…o-terra permite que el†trons, com 
uma carga total de -QI2 se movam da terra para a 
esfera A (Fig. 23-7 d), neutralizando-a (Fig. 23-7 e). 
Como a coroa da esfera A † nula, n…o h„ for‚a 
eletrost„tica entre as duas esferas (exatamente como 
na situa‚…o inicial da Fig. 237 a).
EXEMPLO 1-2:
A Fig. 23-8 a mostra uma distribui‚…o de 
seis partŠculas mantidas fixas em suas posi‚‹es. 
Onde a = 2,0 em e O = 30'. As seis cargas tˆm 
mdulos iguais.q = 3.0 x 10 'C; seus sinais 
el†tricos est…o indicados. Qual † a for‚a 
eletrost„tica resultante F, que atua sobre q, devida a 
todas as outras coroas.
SoluÑÖo:
De acordo com a Eq. [[‘-13-7. Sabemos 
que F, † o vetor soma das for‚as F, 2, F] 3, F]4, F15 
e F. que s…o as forcas eletrost„ticas atuando sobre q, 
devidas Œs outras cargas. Como q. e q, tˆm o 
mesmo mdulo e ambas, distam r = 2 a de q, temos 
da Eq. 23-4
(A) (B) (C) (D) (E)
X
Semelhantemente, como q, e q, tˆm mdulos iguais 
e distam r a de q, temos.
A Fig. 23-5 b † um diagrama de corpo-linear 
para q. Esta figura e a Eq. 23-8 mostram que F, 2 e 
F, tˆm o mesmo mdulo, a mesma dire‚…o, mas 
sentidos opostos; assim, essas forcas se cancelam. 
Observando a Fig. 23-8 b e a Eq. 23-9 
concluŠmos quando Na Eq. 23-1, F ‚ o mdulo da 
for‡a que atua em cada os componentes N. de F13 
e F, tamb†m se cancelam, e que seus componentes 
x tˆm mdulos iguais e apontam no sentido 
decrescente do eixo x. A Fia. 23-8 b tamb†m nos 
mostra que F, aponta no sentido crescente do eixo x. 
Nessas condi‚‹es, F, deve ser paralela ao eixo x; 
seu modulo † a diferen‚a entre F, e o dobro do 
componente x de F13:
Substituindo-se q3 = q6 e  = 30“, obtemos:
Observe que a presen‚a de q6 e q4 n…o altera 
a for‚a eletrost„tica exercida por q4 e q1.
T„ticas para a resolu‚…o de Problemas
T„tica 2: Simetria
No exemplo 23-2, usamos a simetria da situa‚…o 
para reduzir o tempo e a quantidade de c„lculos 
envolvidos na situa‚…o. Percebendo que q2 e q4
est…o posicionados simetricamente em rela‚…o a q1, 
e desse modo que F12 e F14 se cancelam e que seu 
componentes x s…o idˆnticos e se somam, evitamos 
ainda mais trabalho. De fato, usado a simetria e 
resolvendo o problema literalmente, n…o foi preciso 
substituir o mdulo da carga 3,0 X 10-6 C dado no 
problema.