Teste de hipóteses

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Teste de Hipo´teses
Teste de Hipo´teses
Professora Ana Herm´ınia Andrade
Universidade Federal do Amazonas
Faculdade de Estudos Sociais
Departamento de Economia e Ana´lise
Per´ıodo 2016.1
Teste de Hipo´teses
Teste de Hipo´teses
O Teste de Hipo´teses consiste em uma regra de decisa˜o elaborada
para rejeitar (ou na˜o) uma afirmac¸a˜o (hipo´tese) feita a respeito de
um paraˆmetro populacional desconhecido, com base em
informac¸o˜es colhidas de uma amostra aleato´ria.
Exemplo
Verificar se o sala´rio me´dio de certa categoria profissional no
Brasil e´ igual a R$1.500, 00.
Testar se 40% dos eleitores votara˜o em certo candidato nas
pro´ximas eleic¸o˜es.
Testar se um medicamento e´ mais eficaz que outro.
Teste de Hipo´teses
Conceitos fundamentais
Hipo´tese Nula (H0): E´ a hipo´tese a ser testada.
Hipo´tese Alternativa (H1): E´ a hipo´tese a ser confrontada com
H0.
O teste sera´ feito de tal forma que devera´ sempre concluir na
rejeic¸a˜o (ou na˜o) de H0.
Como estamos tomando uma decisa˜o com base em
informac¸o˜es de uma amostra, estaremos sujeitos a cometer
dois tipos de erros.
Teste de Hipo´teses
Conceitos fundamentais
Erro do tipo I: Rejeitarmos H0 quando H0 e´ verdadeira.
α = P(erro do tipo I) = P(rejeitar H0|H0 e´ verdadeira)
Erro do tipo II: Na˜o rejeitarmos H0 quando H0 e´ falsa.
β = P(erro do tipo II) = P(na˜o rejeitar H0|H0 e´ falsa)
Obs: α e´ denominado de n´ıvel de significaˆncia do teste.
Teste de Hipo´teses
Conceitos fundamentais
Nossas deciso˜es em um teste de hipo´teses podem ser resumidas na
seguinte tabela:
Teste de Hipo´teses
Conceitos fundamentais
Estat´ıstica do teste: E´ a estat´ıstica utilizada para julgar H0.
Regia˜o cr´ıtica do teste (RC): E´ formada pelo conjunto de
valores que levam a rejeic¸a˜o de H0. Ela depende do tipo de
hipo´tese alternativa, do nivel de significaˆncia (α) adotado, e da
distribuic¸a˜o de probabilidade da estat´ıstica do teste.
Teste de Hipo´teses
Etapas para a elaborac¸a˜o de um Teste de Hipo´teses
1 Definir as hipo´teses nula (H0) e alternativa (H1);
2 Fixar o n´ıvel de significaˆncia (α);
3 Determinar a estat´ıstica do teste;
4 Determinar a regia˜o cr´ıtica do teste;
5 Calcular o valor da estat´ıstica do teste (com base numa
amostra da populac¸a˜o de interesse);
6 Se o valor calculado no passo 5 pertencer a RC, rejeitar H0,
caso contra´rio, na˜o rejeitar H0;
7 Conclusa˜o do teste.
Teste de Hipo´teses
Teste de Hipo´teses para a me´dia populacional
Caso 1: σ2 conhecida.
1. Definic¸a˜o das hipo´teses:
H0 : µ = µ0 H0 : µ = µ0 H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0 ou H1 : µ < µ0 ou H1 : µ > µ0
2. Fixar o n´ıvel de significaˆncia α;
3. Definir a estat´ıstica de teste:
Z =
X − µ
σ/
√
n
∼ N (0, 1)
Teste de Hipo´teses
Teste de Hipo´teses para a me´dia populacional
4. Definir a regia˜o cr´ıtica do teste (RC):
Teste de Hipo´teses
Teste de Hipo´teses para a me´dia populacional
5. Com base nos valores observados da amostra, calcular o valor
da Estat´ıstica de teste Z :
Zc =
X − µ0
σ/
√
n
6. Se Zc ∈ RC ⇒ rejeitar H0 (aceitar H1).
Se Zc /∈ RC ⇒ na˜o rejeitar H0 (na˜o aceitar H1).
7. Concluir sobre a decisa˜o tomada no passo 6.
Teste de Hipo´teses
Exemplo
Os sistemas de escapamento de uma aeronave funcionam devido a
propelente so´lido. A taxa de queima desse propelente e´ uma
caracter´ıstica importante do produto. As especificac¸o˜es requerem
que a taxa me´dia de queima tem de ser 50 cent´ımetros por
segundo. Sabemos que a taxa de queima e´ normalmente
distribu´ıda com desvio padra˜o de σ = 2 cent´ımetros por segundo.
O experimentalista seleciona uma amostra aleato´ria de tamanho 25
e obte´m uma taxa me´dia amostral igual a 51, 3 cent´ımetros por
segundo. Que concluso˜es poderiam ser tiradas ao n´ıvel de
significaˆncia, de 0, 05?
Teste de Hipo´teses
Resoluc¸a˜o: Teste para me´dia com σ2 conhecida
1. As hipo´teses que queremos testar sa˜o:
H0 : µ = 50 contra H1 : µ 6= 50
2. Fixamos α = 0, 05;
3. A estat´ıstica de teste e´: Z = X−µ
σ/
√
n
∼ N (0, 1)
4. A regia˜o cr´ıtica e´ do tipo:
onde z = zα/2 = z0,025 = 1, 96 (tabela da distribuic¸a˜o normal
padra˜o).
Teste de Hipo´teses
Resoluc¸a˜o
5. A partir dos dados amostrais temos que:
Zc =
X − µ0
σ/
√
n
=
51, 3− 50
2/
√
25
6. Temos que Zc ∈ RC pois 3, 25 > 1, 96, portanto, rejeitamos a
hipo´tese nula.
7. Baseados nos dados amostrais, podemos concluir, ao n´ıvel de
5% de significaˆncia, que a taxa me´dia de queima difere de 50
cent´ımetros por segundo.
Teste de Hipo´teses
Teste de Hipo´teses para a me´dia populacional
Caso 2: σ2 desconhecida.
1. Definic¸a˜o das hipo´teses:
H0 : µ = µ0 H0 : µ = µ0 H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0 ou H1 : µ < µ0 ou H1 : µ > µ0
2. Fixar o n´ıvel de significaˆncia α;
3. Definir a estat´ıstica de teste:
T =
X¯ − µ
S/
√
n
∼ t(n−1)
Teste de Hipo´teses
Teste de Hipo´teses para a me´dia populacional
4. Definir a regia˜o cr´ıtica do teste (RC):
Teste de Hipo´teses
Teste de Hipo´teses para a me´dia populacional
5. Com base nos valores observados da amostra, calcular o valor
da Estat´ıstica de teste Z :
Tc =
X¯ − µ0
S/
√
n
6. Se Tc ∈ RC ⇒ rejeitar H0 (aceitar H1).
Se Tc /∈ RC ⇒ na˜o rejeitar H0 (na˜o aceitar H1).
7. Concluir sobre a decisa˜o tomada no passo 6.
Obs: se σ2 for desconhecida, mas o tamanho da amostra for
grande, pode-se definir a regia˜o cr´ıtica atrave´s da distribuic¸a˜o
Normal padra˜o.
Teste de Hipo´teses
Exemplo
Suponha que, no exemplo anterior, o valor do desvio padra˜o fosse
desconhecido e o experimentalista o tivesse estimado, a partir da
amostra como S = 2, 3 cent´ımetros por segundo. Ao n´ıvel de 5%
de significaˆncia, que conclusa˜o obter´ıamos acerca da queima me´dia
do propelente?
Teste de Hipo´teses
Resoluc¸a˜o: Teste para me´dia com σ2 desconhecida
1. As hipo´teses que queremos testar sa˜o:
H0 : µ = 50 contra H1 : µ 6= 50
2. Fixamos α = 0, 05;
3. A estat´ıstica de teste e´: T = X−µ
S/
√
n
∼ t(n−1)
4. A regia˜o cr´ıtica e´ do tipo:
onde t = tn−1;α/2 = t24;0,025 = 2, 064 (tabela da distribuic¸a˜o
t-student).
Teste de Hipo´teses
Resoluc¸a˜o: continuac¸a˜o
5. A partir dos dados amostrais temos que:
Tc =
X − µ0
S/
√
n
=
51, 3− 50
2, 3/
√
25
6. Temos que Tc ∈ RC pois 2, 83 > 2, 064, portanto, rejeitamos
a hipo´tese nula.
7. Baseados nos dados amostrais, podemos concluir, ao n´ıvel de
5% de significaˆncia, que a taxa me´dia de queima difere de 50
cent´ımetros por segundo.
Teste de Hipo´teses
Teste de Hipo´teses para a proporc¸a˜o populacional
1. Definic¸a˜o das hipo´teses:
H0 : p = p0 H0 : p = p0 H0 : p = p0
H1 : p 6= p0 ou H1 : p < p0 ou H1 : p > p0
2. Fixar o n´ıvel de significaˆncia α;
3. Definir a estat´ıstica de teste:
Z =
pˆ − p0√
p0(1−p0)
n
∼ N (0, 1)
Teste de Hipo´teses
Teste de Hipo´teses para a proporc¸a˜o populacional
4. Definir a regia˜o cr´ıtica do teste (RC):
Teste de Hipo´teses
Teste de Hipo´teses para a proporc¸a˜o populacional
5. Com base nos valores observados da amostra, calcular o valor
da Estat´ıstica de teste Z:
Zc =
pˆ − p0√
p0(1−p0)
n
6. Se Zc ∈ RC ⇒ rejeitar H0 (aceitar H1).
Se Zc /∈ RC ⇒ na˜o rejeitar H0 (na˜o aceitar H1).
7. Concluir sobre a decisa˜o tomada no passo 6.
Teste de Hipo´teses
Exemplo
Dentre 1655 pacientes tratados com um medicamento A, 2, 1%
tiveram reac¸o˜es adversas. A empresa que fabrica o medicamento
afirma que apenas 1, 2% dos usua´rios teˆm algum tipo de reac¸a˜o
adversa. Teste, ao n´ıvel de significaˆncia de 1%, a afirmativa da
empresa pode ser considerada verdadeira.
Teste de Hipo´teses
Resoluc¸a˜o: Teste para porporc¸a˜o
1. As hipo´teses que queremos testar sa˜o:
H0 : p
= 0, 012 contra H1 : p 6= 0, 012
2. Fixamos α = 0, 01;
3. A estat´ıstica de teste e´: Z = pˆ−p0√
p0(1−p0)
n
∼ N (0, 1)
4. A regia˜o cr´ıtica e´ do tipo:
onde z = zα = z0,005 = 2, 33 (tabela da distribuic¸a˜o normal
padra˜o).
Teste de Hipo´teses
Resoluc¸a˜o
5. A partir dos dados amostrais temos que:
Zc =
pˆ − p0√
p0(1−p0)
n
=
0, 021− 0, 012√
0,012(1−0,012)
1655
= 2, 57
6. Temos que Zc ∈ RC, pois 2, 57 > 2, 33 portanto, rejeitamos a
hipo´tese nula.
7. Ao n´ıvel de significaˆncia de 1%, a amostra fornece evideˆncias
estat´ısticas suficientes de que o percentual de usua´rios do
medicamento que teˆm alguma reac¸a˜o adversa e´ superior a
1, 2%
Teste de Hipo´teses
Valor p
Valor p: e´ a probabilidade de se obter um valor da estat´ıstica
de teste que seja, no m´ınimo, ta˜o extremo quanto aquele que
representa os dados amostrais, supondo que a hipo´tese nula
seja verdadeira.
A hipo´tese nula deve ser rejeitada se o valor p for muito
pequeno. Na pra´tica, adota-se que se o valor p for menor ou
igual ao n´ıvel de significaˆncia do teste, enta˜o devemos rejeitar
a hipo´tese nula.