Fundações Cap. 1

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Disciplina: FUNDAÇÕES Código: 101134 
Professor: Erinaldo Hilário Cavalcante 
 
 
 
 
Notas de Aula 
 
 
 
 
 
 
 
EMPUXOS DE TERRA E ESTABILIDADE DE MUROS 
Capítulo 1 – Métodos de Cálculo 
 
Aracaju, dezembro de 2006. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
ÁREA DE GEOTECNIA E ENGENHARIA DE FUNDAÇÕES 
Contato: 
Prof. Dr. Erinaldo Hilário Cavalcante 
Área de Geotecnia e Pavimentação 
Av. Mal. Rondon, S/N – Cidade Universitária 
Aracaju – SE 
CEP 49000-000 
Fone: (79) 2105-6736/6701 fax (79) 2105-6684 
e-mail: erinaldo@ufs.br; geotecnia.ufs@gmail.com 
 2 
 
ÍNDICE 
1.0 Definição 3 
2.0 Tipos de Empuxos 3 
3.0 Cálculos dos Coeficientes de Empuxo Ativo e Passivo 5 
4.0 Métodos para Cálculo do Empuxo 6 
4.1 Método de Rankine 6 
4.1.1 O efeito da água 9 
4.1.2 Situações possíveis de perfis de tensão horizontal 11 
4.1.3 Efeito de uma Sobrecarga 12 
4.2 Método de Coulomb 12 
4.2.1 Solução analítica do método de Coulomb para solos granulares 13 
4.3 Solo Coesivo 15 
4.4 Comentários Sobre os Métodos de Rankine e Coulomb 18 
4.5 Métodos Gráficos 18 
4.5.1 Método gráfico de Poncelet 18 
4.5.1.1 Terrenos inclinados e sobrecarga 19 
5.0 Estabilidade de Muros de Arrimo 21 
5.1 Estruturas de Arrimo 21 
5.2 Condições de Estabilidade dos Muros de Arrimo 25 
5.2.1 1ª condição: Segurança contra o tombamento 25 
5.2.2 2ª condição: Segurança contra o escorregamento 26 
5.2.3 3ª condição: Segurança contra deformação excessiva no terreno de 
fundação 
27 
5.2.4 4ª condição: Segurança contra ruptura global 28 
6.0 Exemplos de Aplicação 31 
7.0 Bibliografia Consultada 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
1.0 Introdução 
 
Denomina-se Empuxo a ação produzida por um maciço de terra (Empuxo de Terra) ou por 
uma massa de água (Empuxo de água) sobre as obras em contato com tais maciços, 
projetadas para suportar os esforços decorrentes desses elementos. Os empuxos de terra, 
assim como as fundações, também dependem da interação solo – estrutura. 
Algumas vezes, na engenharia civil, não se dispõe de espaço suficiente para fazer uma 
transição gradual das elevações do terreno onde se quer implantar uma determinada obra. 
Nestes casos, os taludes necessários podem ser suficientemente altos ou inclinados, de modo 
que a estabilidade dos mesmos não é assegurada em longo prazo. As estruturas de contenção 
são projetadas para prover suporte para estas massas de solo instáveis. 
O cálculo dos empuxos de terra constitui uma das mais antigas preocupações da engenharia 
civil, tratando-se de um problema de elevado valor prático, de ocorrência freqüente e de 
determinação complexa. As teorias clássicas sobre empuxo de terra foram formuladas por 
Coulomb (1773) e Rankine (1856). 
Os muros de arrimo, os escoramentos de escavações, os encontros de pontes, os problemas 
de capacidade de carga de fundações, pressão de grãos sobre as paredes de silos, entre 
outras, são as obras que exigem, em seus dimensionamentos e análises de estabilidade, o 
conhecimento das tensões laterais desenvolvidas e, conseqüentemente, dos valores dos 
empuxos. 
 
2.0 Tipos de Empuxos 
Um maciço de terra pode se encontrar na natureza sob três situações de equilíbrio: em 
repouso, em estado de empuxos ativo ou em estado passivo (ver Figuras 1.1a, b). 
⇒ Empuxo ativo: desenvolve-se quando o maciço age sobre a estrutura de contenção, que 
resiste, porém, cede com um pequeno deslocamento (ver Figuras 1.1a e 1.2). Neste caso, 
o maciço sofre uma distensão em virtude do deslocamento relativo que tende a ocorrer. 
⇒ Empuxo passivo: desenvolve-se quando a estrutura de contenção age pressionando o 
maciço de terra, provocando o seu deslocamento em sentido contrário ao caso ativo (ver 
Figuras 1.1b e 1.2). É o caso, por exemplo, da ação de tirantes executados para conter o 
deslocamento de um talude em corte. O tirante “puxa” a face do talude, comprimindo-o. 
⇒ Estado de equilíbrio: existe quando não o maciço se encontra na situação de 
deslocamento nulo. Por exemplo, se na escavação de uma vala não há necessidade de 
escoramento, há indicações de que o maciço escavado se encontra em estado de repouso 
(ver Figura 1.2). As tensões horizontais atuantes são denominadas e tensões de repouso. 
As três situações descritas acima estão bem ilustradas na Figura 1.2. 
 4 
 
 (a) (b) 
Figura 1.1 – Condições de deslocamento relativo maciço-muro nos casos (a) ativo e (b) passivo. 
 
 
Figura 1.2 – Estado de repouso e desenvolvimento dos empuxos ativo e passivo. 
 
Em todos os casos apresentados acima existe uma relação entre as tensões horizontais 
efetivas desenvolvidas (σ´h) e as tensões verticais efetivas (σ´v) atuantes. A relação entre estas 
tensões denomina-se coeficiente de empuxo (K). No caso ativo, tem-se o coeficiente de 
empuxo ativo (Ka). No caso passivo, recebe o nome coeficiente de empuxo passivo (Kp), 
enquanto que na situação de repouso a denominação é coeficiente de empuxo em repouso 
(K0). 
v
h
´
´
K σ
σ= (1) 
Na situação de repouso existe a conhecida equação de Jaki, professor húngaro, para a 
estimativa de K0 em função apenas do ângulo de atrito interno efetivo do solo (φ): K0 = (1-sinφ´) 
para areias e K0 = (1-sinφ´)x(OCR)senφ´ para o caso de argilas com história de préadensamento. 
O empuxo em um ponto é, portanto, calculado em função da tensão vertical naquele ponto 
multiplicada pelo valor do coeficiente de empuxo específico. 
 5 
3.0 Cálculos dos Coeficientes de Empuxo Ativo e Passivo 
 
Para a determinação dos outros coeficientes de empuxo considere-se um semi-espaço infinito 
de solo, constituído por um solo isotrópico, não saturado e de superfície horizontal (ver Figura 
1.2). A Figura 1.3 ilustra o que acontece com os elementos de solo A (caso ativo) e B (caso 
passivo) à luz do círculo de tensões de Mohr. 
 
 
Figura 1.3 – Círculos de Mohr inicial e final de tensões para os estados ativo, passivo e em repouso. 
 
Conforme mostrado na Figura 1.3, ambos os elementos partem de um círculo de Mohr 
possuindo como tensões principais σv e K0×σv. Conforme apresentado nesta figura, no estado 
em repouso o solo se encontra afastado da ruptura. Com o deslocamento do muro, as tensões 
horizontais no elemento B se tornam maiores que o valor da tensão vertical, sendo seu valor 
limite alcançado quando o círculo de Möhr passa a tangenciar a envoltória de resistência do 
solo. Neste instante, diz-se que o solo está em um estado de ruptura passiva. Para uma 
condição de ruptura, as tensões principais estão relacionadas de acordo com a Equação 2, 
apresentada adiante. 
φφσσ NcN ⋅+⋅= 231 (2) 
em que 







 +°=
2
452 φφ tgN (2A) 
No estado ativo, a tensão horizontal, σha, corresponde à tensão principal menor, σ3. Se o solo 
for granular (c=0), pode-se demonstrar que : 


 −°===
2
4521 φ
φσ
σ
tg
Nv
h
´
´
aK (3) 
 6 
No estado passivo, a tensão horizontal, σhp, corresponde à tensão principal maior, σ1. Se o solo 
for granular (c=0),pode-se facilmente demonstrar também que : 


 +°===
2
452 φφσ
σ
tgN
v
h
´
´
pK (4) 
Das Equações 3 e 4 observa-se que os valores de Ka são sempre inferiores a 1, ao passo que 
os valores de Kp, por serem o inverso dos do coeficiente de empuxo ativo, são sempre 
superiores à unidade. 
 
4.0 Métodos para Cálculo do Empuxo 
4.1 Método de Rankine 
 
Os processos clássicos utilizados para a determinação dos empuxos de terra são métodos de 
equilíbrio limite. Nestes métodos admite-se que a cunha de solo situada em contato com a 
estrutura de suporte esteja num dos possíveis estados de plastificação, ativo ou passivo. Esta 
cunha tenta deslocar-se da parte fixa do maciço e sobre ela são aplicadas as análises de 
equilíbrio dos corpos rígidos. A análise de Rankine se apóia nas equações de equilíbrio interno 
do maciço. Estas equações são definidas para um elemento infinitesimal do meio e estendida a 
toda a massa plastificada através de integração. Esta análise enquadra-se no teorema da 
região inferior (TRI) da teoria da plasticidade. 
Como filosofia básica, este teorema defende, em primeiro lugar, o equilíbrio de tensões entre 
os campos externos e internos que se estabelecem sobre a cunha plastificada. As tensões 
externas são despertadas por solicitações aplicadas na superfície do terreno pela ação do peso 
próprio da cunha. As solicitações internas são as reações que se desenvolvem na cunha, em 
conseqüência das solicitações externas. Para resolução das equações de equilíbrio, todos os 
pontos dentro da cunha de ruptura são supostos em estado limite e as tensões se relacionam 
pelo critério de ruptura de MÖHR – COULOMB. 
A solução de Rankine, estabelecida para solos granulares e estendida por Rèsal para solos 
coesivos, constitui a primeira contribuição ao estudo das condições de equilíbrio limite dos 
maciços, tendo em conta as equações de equilíbrio interno do solo. Em razão disso, essas 
equações são conhecidas como estados de plastificação de Rankine. 
O método de Rankine, que consiste na integração, ao longo da altura do elemento de suporte, 
das tensões horizontais atuantes, calculadas a partir do sistema de equações estabelecido 
para o maciço, fundamenta-se nas seguintes hipóteses: 
i) Maciço homogêneo de extensão infinita e de superfície plana (horizontal). 
 7 
ii) O solo no interior da cunha de ruptura se encontra nos estados de plastificação de 
Rankine. 
iii) A inserção do muro não interfere nos resultados obtidos. 
 
Embora teoricamente a solução de Rankine só seja válida para muro de parede vertical, 
perfeitamente lisa, que é quando se atingem os estados de plastificação de Rankine (superfície 
de escorregamento fazendo um ângulo igual a 45° + φ/2 ou 45° - φ/2 com o plano principal 
maior, para as condições ativa e passiva, respectivamente, conforme mostrado na Figura 1.4), 
ela é estendida também aos casos em que o tardoz do muro faz um ângulo β com a vertical. 
 
 
Figura 1.4 – Condições para aplicação da Teoria de Rankine. 
 
Quando a superfície do terreno é inclinada de um ângulo β com a horizontal, há que se 
considerar o muro com uma rugosidade suficiente para inclinar as tensões resultantes do 
mesmo valor. À medida que se afasta das condições teóricas fundamentais, o método fornece 
valores que se distanciam cada vez mais dos valores práticos observados. A presença do atrito 
ou de adesão na interface solo–muro gera tensões tangenciais que contribuem para resistir ao 
deslocamento da cunha plastificada. Neste caso, a utilização da teoria de Rankine torna 
sobrestimado o valor do empuxo ativo e subestimado o do empuxo passivo. Além disso, o atrito 
propicia uma redução da componente horizontal do empuxo (menor quanto maior for o valor do 
coeficiente de atrito entre o solo e o muro, δ) e provoca o encurvamento das superfícies de 
escorregamento. A Figura 1.4 mostra cunhas de ruptura obtidas pelo método de Rankine (onde 
não se considera a interação solo-estrutura), enquanto na Figura 1.5 são mostradas as formas 
das cunhas de ruptura dos estados ativo e passivo, na consideração da existência do atrito na 
interface solo–muro. 
 8 
 
Figura 1.5 – Efeito do atrito solo–estrutura sobre as direções das cunhas de plastificação. 
Sobre o procedimento do método de Rankine existe a desvantagem de que a obtenção dos 
valores de Ka e Kp para geometrias complexas e/ou outras formas de carregamento, que não 
carregamento extenso, conduz a procedimentos de cálculos bastante árduos. 
Para os solos não coesivos, a variação das tensões horizontais é linear com a profundidade. O 
diagrama resultante será triangular e o empuxo consistirá na integração das tensões laterais ao 
longo da altura. A Figura 1.6 ilustra a obtenção do empuxo ativo sobre uma estrutura de 
contenção pelo método de Rankine, para os casos de solos não coesivos e coesivos. 
 
 
Figura 1.6 – Aplicação do método de Rankine para cálculo do empuxo ativo sobre estruturas de 
contenção (Machado e Machado, 2002). 
 
Conforme se pode observar, para o caso dos solos coesivos, os valores de empuxo obtidos até 
uma profundidade z = z0 são negativos. A ocorrência de empuxo negativo sobre a estrutura de 
contenção é pouco provável, pois neste caso haveria uma tendência do solo se “descolar” do 
muro. Além disto, até a profundidade de z = z0, é provável a ocorrência de trincas de tração no 
solo. Deste modo o empuxo negativo sobre a estrutura de contenção é geralmente 
desprezado, calculando-se o empuxo a partir da altura reduzida do muro, h = H – z0, conforme 
mostrado na Figura 1.6. 
 9 
A integração das tensões horizontais ao longo do muro de arrimo representa o empuxo ativo 
atuando sobre a estrutura de contenção, conforme a equação seguinte: 
aaa .K
2h..
2
1
0
 KE γγ∫ =⋅⋅=
h
dzz (5) 
De maneira análoga, obtém-se para a expressão do empuxo passivo total: 
p.K
2h..
2
1
pE γ= (5A) 
A existência da coesão permite executar um corte vertical em um maciço de terra, sem 
necessidade de escoramento, até uma determinada profundidade, denominada crítica (zc), 
onde o empuxo resultante é nulo. Isto acontece quando z = 2z0. A Equação 6 permite o cálculo 
da altura crítica, zc. 


 −°
=
2
45 ´..
4c´zc φγ tg
 (6) 
O empuxo passivo para solos é calculado através da Equação 7, em que h é considerada a 
altura total da estrutura de arrimo. 
PPP Kh2c´.K
2h..
2
1E ⋅⋅+= γ (7) 
Embora esteja se considerando o caso de estruturas de contenção suportando solos coesivos, 
deve-se salientar que quando da execução destas estruturas em campo, sempre que possível, 
deve-se utilizar materiais granulares no aterro anterior ao muro. Os materiais granulares, não 
coesivos, são sempre preferíveis, pois apresentam maiores valores de φ e geralmente não 
apresentam grandes variações volumétricas em processos de secagem/umedecimento. Além 
disso, é imprescindível que as estruturas de contenção possuam um bom sistema de 
drenagem, de modo a evitar empuxos na estrutura de contenção provocados pela água. Com 
base na experiência de Salvador, pode-se afirmar que o efeito da água tem sido decisivo nas 
condições de instabilidade de estruturas de contenção (Machado e Machado, 2002). 
 
4.1.1 O Efeito da Água 
O efeito da águaé ilustrado na Figura 1.7. No caso de o nível do lençol freático interceptar a 
estrutura de contenção, existirão dois empuxos sobre a estrutura, um originado pela água e 
outro pelo solo. O empuxo da água será aplicado a uma altura (h – hw)/3 da base da 
contenção, enquanto que o empuxo resultante do solo aplica-se a uma altura 
aproximadamente igual a h/3. 
 10 
 
Figura 1.7 – Efeito da água no empuxo do solo sobre estruturas de contenção (Machado e 
Machado, 2002). 
 
Neste caso, há uma mudança no peso específico do solo, que passa a γsat, e que as tensões 
neutras devem subtraídas das tensões horizontais do solo sobre a estrutura, pois os 
coeficientes de empuxo devem sempre ser utilizados em termos de tensão efetiva. Caso o 
nível d’ água se eleve até à superfície do terreno, o que consiste na situação mais 
desfavorável, o empuxo ativo sobre a estrutura de contenção será calculado através da 
Equação 8: 
2
..
2
w
sub
h γγ += aa .K2h2
1E (8) 
 
em que γsub e γw são os pesos específicos submerso e da água, respectivamente. 
 
No caso de talude onde exista uma inclinação β do terrapleno com o plano horizontal, os 
coeficientes de empuxo ativo e passivo são dados pelas Equações 9 e 10, respectivamente. Os 
valores dos empuxos resultantes sobre as estruturas de contenção são obtidos através das 
Equações 11 e 12, respectivamente. 
´)(cos)(cos)cos(
´)(cos)(cos)cos(
´
´
φββ
φββ
σ
σ
22
22
−+
−−==
v
ha
aK (9) 
´)(cos)(cos)cos(
´)(cos)(cos)cos(
´
´
φββ
φββ
σ
σ
22
22
−−
−+==
v
ha
pK (10) 
a.K
2h..
2
1
aE γ= (11) 
Pp .K
2h..
2
1E γ= (12) 
 11 
Os valores de Ka e Kp se encontram tabelados para facilitar a obtenção, conforme apresentado 
nas Tabelas 1.1 e 1.2. 
 
Tabela 1.1 – Valores de Ka para o método de Rankine (Bowles, 1988). 
 
 
Tabela 1.2 – Valores de Kp para o método de Rankine (Bowles, 1988). 
 
4.1.2 Situações Possíveis de Perfis de Tensão Horizontal 
 
A Figura 1.8 mostra três situações que podem ser encontradas na prática: no caso a, tem-se a 
superfície horizontal (β=0°), na qual o valor de Ea é a própria componente horizontal; na 
situação b, o terreno se apresenta inclinado de um valor β>0, onde a resultante do empuxo 
será também inclinada de mesmo ângulo, enquanto que no caso c além da inclinação existe 
uma sobrecarga distribuída na superfície do terreno. Os valores das tensões horizontais e suas 
respectivas distribuições estão apresentados nas próprias ilustrações. 
 
Figura 1.8 – Diagramas de tensão horizontal para a teoria de Rankine. 
 12 
4.1.3 Efeito de uma Sobrecarga 
Quando sobre a superfície do maciço atua um sobrecarga uniformemente distribuída, q, 
conforme mostrado na Figura 1.9, as tensões horizontais podem ser calculadas pela 
expressão: 
( ) K.h ⋅+= qzγσ (13) 
onde K é o coeficiente de empuxo ativo ou passivo do solo, conforme o caso que se considere. 
A sobrecarga ainda pode ser transformada em uma altura equivalente de terra, h0, em que: 
γ
qh =0 (14) 
em que γ é o peso específico do solo. A tensão horizontal, a uma profundidade z, será então: 
( ) K..h ⋅+= 0hz γγσ (15) 
Conforme mostrado na Figura 1.9, o diagrama de tensões horizontais, neste caso, será 
trapezoidal, e a resultante estará acima do terço inferior da altura da parede. 
 
Figura 1.9 – Transformação de sobrecarga em altura equivalente de solo. 
 
4.2 Método de Coulomb 
 
O método de C. A. Coulomb é um dos mais antigos para o cálculo do empuxo de terra, tendo 
sido enunciado por volta de 1776 (Bowles, 1998). O método de Coulomb é baseado no 
Teorema da Região Superior (TRS) da teoria da Plasticidade, a qual estabelece o equilíbrio de 
uma massa de solo partindo do pressuposto que, para um deslocamento arbitrário, o trabalho 
realizado pelas forças externas é menor que o das forças internas. Do contrário, o maciço 
entrará em processo de instabilidade ou de plastificação. Este método admite as seguintes 
hipóteses: 
i) O solo é isotrópico, homogêneo e possui atrito interno e coesão. 
ii) A superfície de ruptura é considerada plana 
iii) É atendida a condição de deformação plana ao longo do eixo do muro (bidimensional). 
 13 
iv) Ao longo da superfície de deslizamento o material se encontra em estado de equilíbrio 
limite (critério de Mohr-Coulomb). 
v) Ocorre deslizamento relativo entre o solo e o muro, resultando em tensões cisalhantes na 
interface, cuja direção depende do movimento relativo solo-estrutura. O coeficiente de 
atrito é dado por f = tan(φ). 
 
O cálculo do empuxo é efetuado estabelecendo-se as equações de equilíbrio das forças 
atuantes sobre uma cunha de deslizamento hipotética. Uma das forças atuantes é o empuxo, 
que no estado ativo corresponde à reação da estrutura de suporte sobre a cunha e, no passivo, 
à força que a estrutura de arrimo exerce sobre ela. O empuxo ativo será o máximo valor dos 
empuxos determinados sobre as cunhas analisadas. O passivo será o valor mínimo. Assim, 
nos casos de geometria mais simples, será possível estabelecer uma equação geral para o 
problema e encontrar o seu valor máximo, ou mínimo, correspondente às situações ativa e 
passiva, respectivamente. 
Na mobilização do empuxo ativo, o muro se movimenta de modo que o solo é forçado a 
mobilizar a sua resistência ao cisalhamento, até a ruptura iminente. A ativação da resistência 
ao cisalhamento do solo pode ser entendida como o fim de um processo de expansão que se 
desencadeia no solo a partir de uma posição em repouso. Isto significa que o valor do empuxo 
sobre a estrutura de contenção vai diminuindo, com a expansão, até que se atinge um valor 
crítico, situado no limiar da ruptura, ou da plastificação. 
Quando as análises de equilíbrio são efetuadas para as diversas cunhas hipotéticas, supõe-se 
que esse limiar da ruptura tenha sido alcançado em todas elas. Portanto, o maior valor de 
empuxo estabelecido na análise destas cunhas será o crítico, pois no processo de ativação ele 
será atingido em primeiro lugar, ocasionando o empuxo ativo. Isto significa que o empuxo ativo 
é um ponto de máximo dentre os valores determináveis de empuxo. O contrário ao descrito nos 
dois últimos parágrafos ocorrerá para o caso passivo. 
 
4.2.1 Solução analítica do método de Coulomb para solos granulares 
 
Empuxo Ativo: A Equação 16 apresenta o valor do coeficiente de empuxo ativo obtido pelo 
método de Coulomb. Nas Figuras 1.10 e 1.11 estão apresentadas todas as variáveis contidas 
na Equação 16, para o caso de empuxo passivo. No caso de empuxo ativo, a resultante R do 
solo atuará desviada também de φ’ da normal à cunha, mas agora em sentido oposto. Do 
mesmo modo, devido ao movimento descendente da cunha no caso ativo, Ea será inclinada da 
normal à contenção também de δ, mas em sentido contrário àquele apresentado na Figura 
 14 
1.10. Deste modo, no uso das Equações 16 e 17, deve-se atentar para a convenção de sinais 
adotada nasFiguras 1.10 e 1.11. 
 
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
´´1)()(
´)(



+⋅−
−⋅++−⋅
+=
βαδα
βφδφδαα
φα
sensen
sensensensen
senK a (16) 
 
 
Figura 1.10 – Empuxo de Coulomb para solos granulares. 
 
 
Figura 1.11 – Empuxo de Coulomb – Superfície e cunha de ruptura. 
 
Empuxo Passivo: A Equação 17 apresenta o valor do coeficiente de empuxo passivo obtido 
pelo método de Coulomb. 
 
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
´´1)()(
´)(



+⋅+
+⋅+−+⋅
−=
βαδα
βφδφδαα
φα
sensen
sensensensen
senK P (17) 
 
 15 
É importante lembrar que as componentes horizontal e vertical (Eah, Eav) dos empuxos são 
calculadas pelos métodos de Rankine e Coulomb de formas diferentes. No método de Rankine, 
as componentes são função do ângulo de inclinação da superfície do terreno (β): 
 
)cos(EAH β⋅= aE (18) 
)sen(EAV β⋅= aE (19) 
No caso do método de Coulomb, as componentes horizontal e vertical dependem do ângulo de 
atrito solo-estrutura (δ): 
 
)cos(EAH δ⋅= aE (20) 
)sen(EAV δ⋅= aE (21) 
De forma análoga são obtidas as componentes do empuxo no caso passivo. O valor de δ é 
geralmente tomado como sendo igual a 3
2φ . 
 
Os coeficientes de empuxo de Coulomb se encontram também tabelados para facilidade de 
obtenção, conforme mostrado nas Tabelas 1.3 e 1.4. 
 
 
4.3 Solo Coesivo 
Segundo Bowles (1988), nem no método de Rankine nem no de Coulomb foi introduzida a 
coesão como um parâmetro de entrada em suas equações de empuxo. Bell (1915) foi o 
primeiro autor a publicar a solução para este problema, partindo de uma aplicação direta do 
círculo de Möhr. Neste caso, a coesão atua favoravelmente à estabilidade do maciço, 
reduzindo o valor da tensão horizontal ativa, numa espécie de empuxo passivo, conforme a 
Equação 19: 
aaha KczK 2−= γσ (22) 
A tensão horizontal se anula a uma profundidade z, dada pela seguinte expressão: 
a
a
K
K2c
 z γγ =⇒−= aa KczK 20 (23) 
Para o caso de argilas moles, onde φ = 0°, tem-se: 
chEa 22
1 2 −= γ e γ
4czc = (24) 
 16 
Tabela 1.3 – Valores de KA para aplicação do método de Coulomb (Bowles, 1988). 
 
 17 
 
Tabela 1.4 – Valores de KP para aplicação do método de Coulomb (Bowles, 1988). 
 
 
 18 
4.4 Comentários Sobre os Métodos de Rankine e Coulomb 
 
Tanto a equação de Rankine quanto a de Coulomb são amplamente usadas para problemas 
envolvendo empuxos de terra. A solução de Rankine é, talvez, a mais empregada por causa da 
sua simplicidade e por ser mais conservativa que a de Coulomb (por exemplo, Rankine 
despreza o atrito solo-muro). Todavia, padece de algumas limitações. De acordo com Bowles 
(1988), não é recomendável a aplicação da equação de Rankine no cálculo de EP quando β > 
0, visto que na Tabela 1.2 se observa que o valor de KP diminui com o aumento da inclinação 
da superfície do terreno, o que não está correto, ao contrário do que ocorre com os valores de 
KA. 
Já as equações de Coulomb podem ser usadas tanto para valores de β positivos quanto para 
valores negativos. 
Finalmente, ressalta-se em relação que o método de Rankine, que desconsidera o atrito entre 
o solo e o muro, fornece soluções do lado da segurança. Entretanto, o método de Coulomb 
considera o atrito e fornece soluções mais realistas. O emprego de uma ou de outra teoria está 
associado, inclusive, à geometria do problema. As obras dimensionadas pelo método de 
Rankine tendem a ser mais caras em razão deste método fornecer valores mais conservativos 
do empuxo. 
 
 
4.5 Métodos Gráficos 
 
São procedimentos gráficos baseados na hipótese de Coulomb, na qual o plano em que ocorre 
o deslizamento é aquele que limita um prisma de empuxo máximo sobre o suporte. Nesses 
métodos encontra-se uma relação geométrica entre a área da seção do prisma deslizante e a 
área de um triângulo definido por três retas traçadas no problema, cujas direções dependem da 
inclinação do terreno, da existência de sobrecarga, da inclinação do tardoz, de φ e δ. Os 
métodos mais comuns são os de Poncelet e o de Culmann. Como ambos são muito 
semelhantes, neste trabalho será abordado apenas o primeiro. O leitor deverá recorrer à 
bibliografia indicada para consultar outros métodos. 
 
4.5.1 Método Gráfico de Poncelet 
 
Para um terreno de superfície plana, o processo gráfico de Poncelet permite a determinação de 
maneira muito simples do empuxo. O método segue o roteiro apresentado a seguir, que deverá 
ser acompanhado com a interpretação da Figura 1.12. 
 19 
i) traçar BT fazendo um ângulo φ com a horizontal; 
ii) traçar AS paralela a BO, fazendo o ângulo φ + δ com a linha AB; 
iii) tendo BT com diâmetro, traçar uma semicircunferência; 
iv) traçar por S a reta perpendicular SL a BT; 
v) rebater L em D, com centro em B e raio BL; 
vi) finalmente, traçar DC paralela a AS e rebater o ponto C, assim obtido, em G. 
 
A superfície de ruptura será BC e o valor do empuxo será: CDG) triângulo do (área γ=aE ou 
________
CNCD
2
1 ⋅⋅⋅= γaE (25) 
 
Figura 1.12 – Processo gráfico de Poncelet para superfície horizontal. 
 
4.5.1.1 Terrenos inclinados e sobrecarga 
 
Para casos envolvendo pequenos valores de φ ou grandes inclinações do terreno torna-se mais 
adequada a construção gráfica descrita a seguir (ver Figura 1.13): 
i) traçar BT fazendo um ângulo φ com a horizontal; 
ii) traçar AS formando o ângulo φ + δ com AB; 
iii) pelo ponto S traçar SS0 paralela à superfície livre do terreno; 
iv) por S0 traçar a perpendicular S0L0 a AB, até encontrar a circunferência de diâmetro 
AB; 
v) rebater BL0 sobre AB e marcar o ponto D0; 
vi) traçar por D0 uma paralela a SS0, obtendo-se assim o ponto D; 
vii) finalmente, traçar por D uma paralela a AS até encontrar a superfície do terreno, em 
C, que é o ponto procurado. 
 20 
 
Figura 1.13 – Solução gráfica de Poncelet para casos de φ muito pequeno. 
 
Ocorrendo sobrecarga q sobre a superfície do terreno, a construção de Poncelet é a mesma, 
sendo que o ângulo φ + δ é marcado a partir do ponto A´ e a semicircunferência é traçada 
sobre o diâmetro BT´, sendo T´ o ponto de encontro da reta de talude natural BT´ com a 
superfície fictícia A´C´T´, obtida através do acréscimo da altura equivalente h0 à superfície do 
terreno natural (ver Figura 1.14). 
 
Figura 1.14 – Solução gráfica de Poncelet para casos de superfície inclinada com sobrecarga. 
 
 
Empuxo Passivo: para determinação gráfica do empuxo passivo o procedimento está descrtio a 
seguir, de acordo com a Figura 1.15. 
 21 
i) traçar BT fazendo um ângulo φ com a horizontal; 
ii) prolongar a superfície livre AC até interceptar em E o prolongamento da reta BT; 
iii) traçar por A a reta AF formando com AB o ângulo φ + δ; 
iv) sobre BE como diâmetro obtera semicircunferência de círculo BHE; 
v) pelo ponto F traçar a perpendicular a FH até o ponto H sobre a semicircunferência; 
vi) rebater o ponto H em D, com centro em B; 
vii) por D traçar a paralela DC a AF até cortar a superfície livre em C; 
viii) a reta BC representa a superfície de ruptura mais crítica; 
ix) rebatendo-se C em G, com centro em D, obtém-se o triângulo CDG, de área S; 
x) finalmente, o valor do empuxo passivo, Ep, será igual a γS. 
 
 
Figura 1.15 – Solução gráfica de Poncelet para empuxo passivo. 
 
 
5.0 Estabilidade de Muros de Arrimo 
5.1 Estruturas de Arrimo Temporárias e Definitivas 
 
As estruturas de arrimo de obras temporárias são utilizadas, principalmente, em abertura de 
valas para implantação de condutos e metrôs. Nestes casos, geralmente, introduzem-se os 
elementos da estrutura anteriormente à escavação, e à medida que se processa a escavação, 
complementa-se a estrutura com os elementos adicionais: pranchões de madeira, estroncas, 
tirantes, etc. Completada a obra, providencia-se ao reaterro da escavação e os elementos 
utilizados no escoramento podem ser retirados e reaproveitados. 
 22 
Em obras definitivas, como no caso dos muros de arrimo, é normal proceder-se à escavação, 
deixar um espaço livre atrás de onde será implantada a estrutura, para facilidade de trabalho, 
e, uma vez completada a estrutura, procede-se ao reaterro do espaço deixado livre. Deve-se 
observar, entretanto, que estas não são regras gerais para estruturas temporárias e definitivas, 
havendo comumente exceções. 
As estruturas de contenção são basicamente divididas em flexíveis e rígidas. Estas podem ser 
de vários tipos e proporcionam estabilidade de diversas maneiras. Existem os muros de arrimo 
de gravidade, de gravidade aliviada, muros de flexão, muros de contraforte, cortinas de estacas 
prancha, cortinas de estacas secantes ou justapostas, cortinas de perfis metálicos combinados 
com pranchões de madeira, paredes diafragma e eventualmente partes de estruturas 
projetadas para outro fim, que têm por finalidade retenção, como por exemplo, os subsolos dos 
edifícios e os encontros de pontes. A Figura 1.16 mostra três casos típicos onde se justifica a 
necessidade da execução de estruturas de contenção. 
 
Figura 1.16 – Exemplos típicos de necessidade de execução de estrutura de contenção. 
 
Os muros de arrimo podem ser construídos de alvenaria ou de concreto simples ou ciclópico 
(muros de gravidade). Podem ser de concreto armado (flexão ou de contraforte) ou ainda muro 
de fogueira (formado por peças de madeira, de aço ou de peças premoldadas de concreto). 
 
Figura 1.17 – Estruturas de contenção comuns. 
 23 
A Figura 1.18 mostra a foto de um muro de arrimo em concreto armado, servindo de apoio no 
encontro entre um viaduto e o aterro. Percebem-se na foto, três linhas de drenos, denominados 
barbacâns, usados para aliviar as poropressões. Na Figura e 1.19 é mostrado um detalhe do 
muro sofrendo um processo de deslocamento lateral, característica de início de tombamento. 
 
 
Figura 1.18 – Muro de arrimo em concreto armado. 
 
 
Figura 1.19 – Muro de arrimo em concreto armado sofrendo deslocamento horizontal. 
 24 
Os muros de gravidade, os mais comuns, podem ser de seção trapezoidal ou escalonado, 
conforme mostrado na Figura 1.20. 
 
Figura 1.20 – Seções típicas de muros de arrimo, de gravidade. 
 
 
Com o progresso dos métodos construtivos, tem se empregado cada vez mais a construção de 
estruturas de contenção utilizando-se geotêxteis (Figura 1.21 ou outros elementos estruturais. 
Este é o caso dos muros de arrimo construídos utilizando-se as técnicas de terra armada ou 
solo “envelopado”. Embora esteja fora do propósito deste trabalho a apresentação detalhada 
dos princípios de funcionamento destas estruturas, pode-se dizer que, nestes casos, há a 
incorporação de elementos estruturais ao solo no sentido de conferir a este resistência à 
tração. Em ambos os casos, trabalha-se com o atrito entre o solo e os elementos estruturais, 
de modo que o uso de solos granulares é sempre preferível. No caso destas estruturas e 
mesmo no caso dos muros de arrimo em gabiões (Figura 1.21), além das verificações de 
estabilidade normalmente realizadas, deve-se também realizar análises no sentido de verificar 
a estabilidade interna da estrutura de contenção. 
 
 
 
 
Figura 1.21 – Muro de gabião com uso de geotêxtil e muro de contraforte (Machado e Machado, 2002). 
 25 
 
5.2 Condições de Estabilidade dos Muros de Arrimo 
 
Na verificação da estabilidade de um muro de arrimo há que se atentar para a possibilidade de 
deslizamento e tombamento. Além disso, deve-se considerar a possibilidade de ruptura do 
talude formado (análise de estabilidade global), bem como verificar as tensões aplicadas ao 
solo de fundação e os recalques (segurança a ruptura do solo de fundação). Para alguns tipos 
de estruturas de contenção devem ser feitas verificações de sua estabilidade interna (gabiões, 
contenções em terra armada, solo envelopado, etc). 
Cabe ressaltar que a execução de um sistema de drenagem, por mais rústico que seja, pode 
proporcionar significativos benefícios a um muro de arrimo, com redução de esforços sobre ele, 
resultante do alívio das poropressões geradas. 
Resumindo, os critérios exigidos para um projeto satisfatório de uma seção de um muro de 
arrimo são os seguintes: 
 
i) O muro deve ser seguro quanto ao tombamento, ou seja, o fator de segurança ao 
tombamento deve ser adequado; 
ii) O muro deve ser seguro contra o deslizamento, ou seja, o fator de segurança ao 
deslizamento deve ser adequado; 
iii) A base do muro deve ser tal que a máxima tensão exercida no solo de fundação não 
exceda a sua tensão admissível; 
iv) Não devem se desenvolver tensões de tração expressivas em nenhuma parte do muro; 
v) Deve haver segurança à ruptura do conjunto solo/muro (ruptura global). 
 
Para melhor entendimento, são apresentados na Figura 1.22 os principais esforços atuando 
sobre um muro de arrimo. Os critérios de estabilidade serão analisados individualmente: 
 
5.2.1 1ª condição: Segurança contra o tombamento 
A condição para que o muro não tombe em torno da extremidade externa “A” da base, é que o 
momento gerado pelo peso do muro seja maior que o momento gerado pelo empuxo 
resultante, ambos tomados em relação ao ponto A, mostrado na Figura 1.23. Ou seja: 
1,5F
M
M
F mín
atua
res =≥= (26) 
em que Mres é o momento devido ao peso do muro e Matua é o momento gerado pelo empuxo 
resultante. 
 26 
 
Figura 1.22 – Esforços sobre um muro de arrimo (Machado e Machado, 2002). 
 
Aconselha-se que a resultante das forças atuantes, R, passe dentro do núcleo central (terço 
médio, da base AB), e o mais próximo quanto possível do ponto médio “O” quando o muro se 
apóia sobre terreno muito compressível. 
 
 
Figura 1.23 – Cálculo dos momentos em um muro de arrimo. 
 
 
5.2.2 2ª condição: Segurança contra o escorregamento 
Esta condição de estabilidade do muro não permite que o mesmo sofra uma transladação 
motivada pela resultante dos esforços horizontais atuantes, ∑ atuaH . Dessa forma, tem-se: 
1,5F
H
H
F mín
atua
res =≥= ∑
∑ (27) 
 27 
onde ∑ resH é a resultante das forças horizontais resistentes. De acordo com a Figura 1.22, 
tem-se a condição mínima de estabilidade é: 
´VH1,5 µ⋅≤⋅ (28)em que µ varia de 0,67tgφ´ a tgφ´ (coeficiente de atrito solo-muro), sendo φ´ o ângulo de atrito 
interno do solo. Na falta de dados medidos podem ser adotados os valores indicados a seguir. 
φ´ ≅ 30° para areia grossa pura 
φ´ ≅ 25° para areia grossa argilosa ou siltosa 
φ´ ≅ 35° solo de alteração de rocha 
φ´ ≅ 25° para solo arenoso 
 
5.2.3 3ª condição: Segurança contra deformação excessiva no terreno de fundação 
 
Esta condição possibilita comparar a tensão aplicada pela base do muro (σ1 ou σ2) com a 
tensão admissível do solo que o serve de apoio (σadm), conforme mostrado na Figura 1.23. 
Para o cálculo das tensões atuantes no solo de fundação, primeiramente é preciso calcular o 
ponto de aplicação da força normal V, usada na verificação do deslizamento. Para este cálculo 
é feito o equilíbrio dos momentos resistente (MRES) e ativo (MAt) em relação ao ponto A, 
resultando em: 
 
V
M
x Res
_
atM−= (29) 
Da Equação 29, se obtém facilmente a 
excentricidade, e, ou seja: 
 
_
2
xB −=e (29A) 
 
Figura 1.24 – Esforços na base da fundação.
Os valores de σ1 e σ2 dependerão da posição da resultante das forças (R) em relação ao 
núcleo central da base. Neste caso, duas situações são importantes na análise: 
i) Força R caindo dentro do núcleo central da base (situação da Figura 1.23): o diagrama de 
tensões na base será um trapézio, pois o terreno está submetido apenas a compressão. As 
equações de equilíbrio são: 


 +=
B
6e1
B
V
1σ (30) 
 28 


 −=
B
6e1
B
V
2σ (31) 
 
onde B é a largura da base do muro e “e” a excentricidade, obtida da Equação 29A. 
Essa condição é satisfatória quando a maior das tensões (σ1) seja, no máximo, igual à σadm do 
solo, para e ≤ B/6. 
 
ii) Força R caindo fora do núcleo central da base, ou seja, e > B/6: o diagrama de tensões na 
base terá uma distribuição triangular, mas limitada à parte que gera compressão (ver Figura 
1.25). O valor da tensão máxima será: 
3e´
2V=1σ (32) 
 
Figura 1.25 – Resultante caindo fora do terço médio da base do muro. 
 
A situação (ii) deve ser evitada sempre que possível, visto que o aparecimento de tensões de 
tração na base do muro poderá causar trincamento na sua estrutura, o que não é desejável. 
Para a estimativa da tensão admissível (σadm) do terreno onde se apóia o muro, diversos 
métodos são disponíveis na literatura, a exemplo da equação de capacidade de carga de 
Terzaghi, para sapatas corridas (ver Capítulo 4). 
 
 
5.2.4 4ª condição: Segurança contra ruptura global 
 
Deve ser investigada sempre que se achar necessário a estabilidade do conjunto formado pelo 
maciço e o muro projetado. Há diversos métodos na literatura que permitem este tipo de 
análise, dentre eles o método de Bishop Simplificado, muito empregado em análises de 
estabilidade de barragens de terra. Superfícies circulares de ruptura típicas são mostradas na 
Figura 1.26 (superfície ABC). 
 29 
 
(a) (b) 
Figura 1.26 – Forma típica de uma superfície de ruptura global do conjunto maciço de terra e muro: a – 
gravidade comum; b – gravidade escalonado. 
 
O método de Bishop adota superfícies de ruptura cilíndricas, conforme mostrado nas Figuras 
1.26(a e b). Dessa forma, são verificados possíveis arcos de ruptura que cruzam o terrapleno e 
o solo de fundação, contornando todo o muro de arrimo. 
Para aplicar o método, a parte do maciço delimitada por cada um desses arcos é dividida em 
fatias ou lamelas, do que se calcula o coeficiente de segurança contra a ruptura ao longo dessa 
superfície. Inicialmente é admitida uma superfície de ruptura cilíndrica aleatória e o material 
delimitado por esta superfície é dividido em lamelas, conforme mostrado na Figura 1.26b. As 
forças que agem sobre cada uma dessas fatias são mostradas na Figura 1.27, as quais são 
listadas a seguir: 
 
P = peso da lamela 
b = largura 
α = inclinação da superfície de ruptura de cada uma das lamelas 
N = força normal agindo na superfície de ruptura 
T = força tangencial que age na superfície de ruptura 
H1, H2 = forças horizontais agindo nas faces laterais das lamelas 
V1, V2 = forças verticais agindo nas faces laterais das lamelas 
 30 
 
Figura 1.27 – Forças agindo em cada lamela (a); parâmetros de uma superfície de ruptura cilíndrica (b) 
 
A partir do equilíbrio das forças agindo nas lamelas, obtém-se o coeficiente de segurança 
contra a ruptura global do sistema solo-muro, a partir da seguinte equação: 
 ( )∑
∑
⋅








⋅+
⋅+⋅
= α
ααα
φ
senP
FS
sen
Pbc
FS
tancos
tan
 (33) 
onde c e φ são a coesão e o ângulo de atrito interno do solo, respectivamente. 
Caso o nível d´água passe no interior da lamela, o peso desta é calculado utilizando-se o peso 
específico saturado para a parte abaixo dele e também é determinada a poropressão (u) que 
age na superfície de ruptura. 
Como o coeficiente de segurança (FS) aparece nos dois lados da Equação 33, sua 
determinação é iterativa. Para cada muro, devem ser pesquisadas várias superfícies de ruptura 
até se encontrar a mais crítica, ou seja, aquela com o menor coeficiente de segurança. Como 
para identificação de uma superfície de ruptura são necessários três parâmetros (coordenadas 
horizontal e vertical do ponto “O” e um valor do raio do círculo), essa pesquisa é bastante 
trabalhosa quando é feita manualmente. Por sorte, com as facilidades da informática, essa 
tarefa se torna muito prática e rápida, através de algoritmos devidamente programados. 
Diversos programas estão disponíveis no mercado para atender a essa necessidade. 
 
 
 
 
 31 
6.0 Exemplos de Aplicação 
 
6.1 Determinar o valor do empuxo ativo e seu ponto de aplicação para o caso apresentado na 
figura a seguir. 
 
 Solução usando Rankine: 
 
a) Ka = tg2 ( 45 - φ/2 ) = tg2 ( 45 – 25/2 ) = 0,406 
 
b) para z=0 , σh = γ z Ka = 0 
 
 para z= 3 m , σh = (19-10)(3)(0,406) = 11 kPa 
 
 para z= 3 m , σhágua = (10)(3) = 30 kPa 
 
c) Ea1 = ½. (11)(3) = 16,5 kN/m 
 
 Ea2 = ½. (30)(3) = 45 kN/m 
 
 Ea = Ea1 + Ea2 = 16,5 + 45 = 61,5 kN/m 
 
d) ponto de aplicação 
 
( )[ ] [ ]
m 1,0 
5,61
)3.(3
1)45()3.(3
1.5,16 =+=y
 
y = 1,0 m 
 
6.2 Determinar o valor do empuxo ativo e seu ponto de aplicação para o caso apresentado na 
figura a seguir. 
 
Solução usando Rankine: 
 
a) Ka = tg2 ( 45 - φ /2 ) = tg2 ( 45 – 32/2 ) = 0,307 
 
b) para z=0 , σh = (γ z + q)Ka = (0 + 20) (0,307) = 6,1 kPa 
 para z= 3 m , σh = [ (16,8)(3) + (20) ] 0,307 = 21,6 kPa 
 
 32 
c) Ea1 = (6,1)(3) = 18,3 kN/m 
 Ea2 = ½. (21,6 – 6,1)(3) = 23,3 kN/m 
 
 Ea = Ea1 + Ea2 = 18,3 + 23,3 = 41,6 kN/m 
 
d) ponto de aplicação 
 
y = (18,3)[ 1/2 . (3)] + (23,3) [ 1/3 .( 3)] = 1,22 m 
 41,6 
 
6.3 Verificar a estabilidade do muro de arrimo a seguir apresentado. A tensão admissível do terreno onde 
o muro se apóia é igual a 200kPa. 
 
Solução usando Coulomb: 
 
a) Cálculo do empuxo ativo 
278,0
)()(
)()(1)(.
)(
22
2
=



+−
−++−
+=
βαδα
βφδφδαα
φα
sensen
sensensensen
senKa
 
 
Ea = ½. γ z2 Ka = ½. (19)(5)2(0,278) = 66 kPa 
Eav = Ea.senδ = (66)(sen300) = 33 kPa 
Eah = Ea.cosδ = (66)(cos300) = 57,2 kPa 
 
 y = 1/3 .(H) = (1/3).(5) = 1,67 m 
 
b) Cálculo do momento resistente, Mr 
 
 33 
c) cálculo do momento atuante, Ma 
Ma = ΣH . y = Eah. ya = (57,2).(1,67) = 95,5 kN.m/m 
 
d) verificação da segurança ao tombamento 
F.S. = Mr / Ma = (273,6) / (95,5) = 2,9 > 1,5 ⇒ OK 
 
e)verificação da segurança ao deslizamento 
F.S. = (ΣV)tgδ / ΣH = [(203)(tg30)] / 57,2 = 2,0 > 1,5 ⇒ OK 
f) Verificação da segurança quanto ao terreno de fundação ponto de aplicação da resultante: 
 
mxBe
m
V
MaMrx
12,088,0
2
2
2
88,0
203
5,956,273
=−=−=
≅−=Σ
−=
 
Se e ≤ B/6, a resultante passa no terço médio, B/6 = 2/6 = 0,33 > e, logo, a resultante passa no terço 
médio, portanto: 
 ⇒ OK! 
 
Portanto, o muro está estável quanto aos fatores analisados. 
 
 
6.0 Bibliografia Consultada 
 
1) Almeida, M.S.S. (1996), Aterros Sobre Solos Moles: da Concepção à Avaliação do 
Desempenho, Editora da UFRJ, 216p. 
2) Alonso, U. R. (1983), Exercícios de Fundações, Editor Edgard Blücher Ltda., São Paulo. 
3) Alonso, U.R. (1989), Dimensionamento de Fundações Profundas, Ed. Edgar 
Blücher Ltda. 
4) Alonso, U.R. (1991), Previsão e Controle das Fundações, Ed. Edgar Blücher 
Ltda. 
5) Barata, F.E. (1984), Propriedades Mecânicas dos Solos. Uma Introdução ao Projeto 
de Fundações, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. 
6) Caputo, H.P. (1988 e 1987), Mecânica dos Solos e suas Aplicações, Velo 1 e 2, 6a 
Edição, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. 
7) Das, B.M. (2000), Fundamentals of Geotechnical Engineering, Brooks/Cole. 
8) Fang, H.-Y. (1991), Foundation Engineering Handbook, Van Nostrand Reinhold. 
9) Gaioto, N. (1983), Maciços e Obras de Terra, Notas de Aula, EESC/USP. 
 34 
10) Hachich, W., Falconi, F.F., Saes, J.L., Frota, R.G.Q., Carvalho, C.S., 
 Niyama, S. (1998), Fundações - Teoria e Prática, 2a Edição, Editora Pini Ltda. 
11) Lambe, T.W., and Whitman, R.V. (1979), Soil Mechanics, SI Version, John Wiley & 
 Sons. 
12) Machado, S. L. e Machado, F. C. (2002), Apostila de Mecânica dos Solos, Escola 
Politécnica, UPBA. 
13) Moliterno, A. (1994), Caderno de Muros de Arrimo, 2a Edição, Ed. Edgar Blücher 
 Ltda. 
14) Moraes, M. Da Cunha, (1976), Estruturas de Fundações, McGraww-Hill Book 
 Company do Brasil, 172p. 
15) Poulos, H.G. and Davies, E.H. (1980), Pile Foundations Analysis and Design, John 
 Wiley, New York. 
16) Simons, N. E. & Menziens, B. K., (1981), Introdução à Engenharia de Fundações, 
 Tradução de Luciano Moraes Jr. e Esther Horovitz de Beermann, Editora Interciência, 
 Rio de Janeiro, 199p. 
17) Terzaghi, K. & Peck, R.B. (1967), Soil Mechanics in Engineering Practice, 2nd ed., 
 John Willey & Sons, Inc., New York. 
18) Vargas, M. (1977), Introdução à Mecânica dos Solos, Ed. McGraw-Hill do Brasil, Ltda, 
 São Paulo. 
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 Subsolo, Fundações Superficiais, Volume 1, COPPE/UFRJ.