Apostila de Estatística IV para Engenharias

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ESTATÍSTICA IV
Profª Raquel Andrade Rebelo
 
 1. Estatística Descritiva
 1.1 População e Amostra – Definições básicas da Estatística
 1.2 Representação de dados – Gráfica e tabular
 1.3 Técnicas de amostragem
 1.4 Medidas de Tendência Central
 1.5 Medidas de Dispersão
 1.6 Medidas de Posição
 
 2. Cálculo das Probabilidades
 2.1 Experimento Aleatório
 2.2 Espaço Amostral e Eventos – Eventos mutuamente exclusivos
 2.3 Definição de Probabilidade e Principais Teoremas
 2.4 Probabilidade Condicional e Teorema do Produto
 2.5 Independência Estatística e o Teorema de Bayes
	
 3. Variáveis Aleatórias Discretas
 3.1 Definições
 3.2 Esperança Matemática e Variância
 3.3 Distribuição Conjunta de duas Variáveis Aleatórias
 3.4 Função de Distribuição 
 
 4. Distribuições Teóricas de Probabilidade de Variáveis Aleatórias Discretas
 4.1 Distribuição de Bernouilli
 4.2 Distribuição Binomial
 
 5. Variáveis Aleatórias Contínuas
 5.1 Distribuição Normal
 5.2 Distribuição de Funções de Variáveis Aleatórias Normais 
 5.3 Aproximação da Distribuição Binomial pela distribuição Normal 
 6. Estimação 
 6.1 Inferência Estatística
 6.2 Estimação de Parâmetros
 6.3 Estimação por Ponto
 6.4 Estimação por Intervalo
 
 7. Intervalo de Confiança para Médias e Proporções
 7.1 I.C. para a Média de uma População Normal quando (2 é Conhecida
 7.2 I.C. para a Média de uma População Normal quando a ( é Desconhecida
 7.3 I.C. para Proporções
 
 8 Testes de Hipótese
 8.1 Testes de Hipóteses para a Média de Populações Normais com (2 Conhecida
 8.2 Teste Unilateral à Esquerda e à Direita 
 8.3 Teste de Hipóteses para Proporções
 
1 A NATUREZA DA ESTATÍSTICA
Introdução
ANTIGUIDADE - Os povos já registravam o número de habitantes, os nascimentos, óbitos e faziam “estatísticas”. 
IDADE MÉDIA - As informações eram tabuladas com finalidades tributárias e bélicas.
SÉCULO VI - Surgem as primeiras análises sistemáticas, as primeiras tabelas e os números relativos.
SÉCULO VII - A Estatística, já com feição científica, é batizada por Godofredo Achenwall. As tabelas ficam mais completas, surgem as primeiras representações gráficas e os cálculos com probabilidades. A Estatística deixa de ser uma simples tabulação de dados numéricos para se tornar “O estudo de como se chegar a conclusões sobre uma população, partindo da observação de partes dessa população (amostra) ”.
Estatística
Parte da matemática aplicada que fornece métodos para a coleta, organização descrição, análise e interpretação de dados, bem como na utilização dos mesmos para tomada de decisão.
A coleta, organização, descrição ficam a cargo da chamada Estatística Descritiva, enquanto que a análise e interpretação dos dados, associado a uma margem de incerteza, dizem respeito à Estatística Indutiva ou Inferencial que se fundamenta na teoria e cálculo das probabilidades.
1.2 O Método Estatístico
Método: é um meio mais eficaz para atingir determinada meta.
1.2.1 Método Científico ( Método Experimental
 ( Método Estatístico
1.2.1.1 Método Experimental
 Consiste em manter constante todas as variáveis, menos uma que aquela que justamente sofre variação para se observar seus efeitos, caso existam. Ex. Estudos de Química, Física, etc.
1.2.1.2 Método Estatístico 
 É aquele que diante da impossibilidade de manter as causas constantes admitem todas essas causas presentes, variando-as e registrando essas variações procurando determinar no resultado final que influências cabem a cada uma delas. Ex. Quais as causas que definem o preço de uma mercadoria quando sua oferta diminui. 
1.3 FASES DO LEVANTAMENTO ESTATÍSTICO
1º - Definição do Problema: Consiste em saber exatamente aquilo que se pretende pesquisar. É o mesmo que definir corretamente o problema;
2º - Planejamento: Consiste em responder às questões do tipo: 
Como levantar informações? Que dados deverão ser coletados? Que tipo de levantamento deverá ser utilizado? Censitário ou por amostragem? Qual é o cronograma de atividades? Quais os custos envolvidos? etc.
3º - Coleta de Dados: 
 É o registro sistemático de dados com um objetivo determinado. 
Quanto à origem dos dados, os mesmos podem ser:
( Dados Primários 
 São aqueles que são publicados pela própria pessoa ou organização que os coletou. Ex: Tabelas do censo demográfico do IBGE.
( Dados Secundários 
 
 Quando são utilizados ou publicados por outra organização. 
Ex: quando determinado jornal publica estatísticas referentes ao censo demográfico do IBGE.
OBS – É sempre mais seguro trabalhar com dados de fontes primárias. O uso de fontes secundárias traz o risco de erros de transcrição.
( Coleta Direta 
 Quando é obtida diretamente da fonte. Ex: empresa que realiza uma pesquisa para saber a preferência dos consumidores pela sua marca.
A coleta de dados, quanto ao espaço temporal pode ser: 
Contínua – registro de nascimentos, óbitos, casamentos, etc.
Periódica – recenseamento demográfico, censo industrial, PNAD e, 
Ocasional – registro de casos de dengue e outros
( Coleta Indireta 
 É feita por deduções a partir dos elementos conseguidos pela coleta direta, por analogia, por avaliação, indícios ou proporcionalização.
4º Apuração dos Dados
 Consiste em resumir os dados através de sua contagem e agrupamento. É a tabulação dos dados, propriamente dita.
5º Apresentação dos Dados
 Quanto à apresentação dos dados, existem duas formas que não são excludentes. A apresentação tabular e a apresentação gráfica
6º Análise e Interpretação dos Dados
 Esta é a última fase do trabalho estatístico e é também a mais importante e delicada. Está ligada essencialmente ao cálculo de medidas e coeficientes, cuja finalidade principal é descrever o fenômeno (estatística descritiva). Enquanto que a estatística indutiva cuida da interpretação dos dados e se fundamenta na teoria da probabilidade.
Praticando o que aprendeu
1. Defina o que é a ciência Estatística
	
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2. O que você entende por um método?
3. Qual a diferença entre o método experimental e o método estatístico?
 
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4. Cite 3 exemplos do método experimental e 3 do método estatístico 
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2. - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
2. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
5. Quais são as fases do levantamento estatístico?
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6. Numere a 2ª coluna de acordo com a 1ª
 
 1. Contempla o tipo de levantamento, ( ) Apresentação
 cronograma, custos envolvidos etc 
 2. Definir o que se deseja pesquisar ( ) Definição
 3. Estão associadas ao cálculo de medidas 
 e coeficientes ( ) Tabulação
 4. Estão dispostos em forma de gráficos e 
 tabelas ( ) Planejamento
 5. Registro sistemático de dados com um
 fim específico ( ) Coleta dos dados
7. Qual o objetivo da análise e interpretação dos dados no método estatístico?
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1.4 DEFINIÇÕES BÁSICAS DA ESTATÍSTICA 
Dado Estatístico - É um dado numérico e é considerado a matéria prima sobre a qual iremos aplicar os métodos estatísticos.
População - É o conjunto total de elementos portadores, de pelo menos, uma característica comum.
Amostra - É uma parcela representativa da população que será examinada com o propósito de tirarmos conclusões sobre essa população.
Parâmetro - São valores singulares que existem na população e que servem para caracterizá-la.
Estimativa - É um valor do parâmetro e é calculado a partir da amostra
Atributo - São qualidades apresentadas nos dados estatísticos.
Exemplos da classificação dicotômica do atributo: Classificação dos alunos da FURB quanto ao sexo.
Atributo: sexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . classe :alunos da FURB
Dicotomia: duas subclasses (masculino e feminino)
Variável
 Uma variável, é convencionalmente, o conjunto de todos os resultados possíveis de um fenômeno
Variável Qualitativa – Quando seus valores são expressos por atributos, tipo, sexo, estado civil, cor da pele, etc 
Variável Quantitativa – Quando os dados são de caráter nitidamente quantitativos, e o conjunto de resultados possui uma estrutura numérica, trata-se, portanto, da estatística de variável e se divide em:
Variável Discreta – Quando seus valores são expressos geralmente por valores inteiros não negativos e resulta geralmente de contagens. Ex: Nº de alunos da rede pública municipal, Nº de nascidos vivos, etc
Variável Contínua 
 Resulta normalmente de uma mensuração e a escala numérica de seus valores corresponde ao conjunto R, ou seja, podem assumir, teoricamente qualquer valor num intervalo.
Exercícios para fixação do conteúdo
1. Responda o que se pede
 Conjunto de seres, elementos ou indivíduos que possuem pelo menos uma característica em comum.
 2. Enumere a 2ª coluna de acordo com a 1ª 
 1. Valores singulares que existem na população ( ) Atributos
 e que servem para caracterizá-la.
 2. Valor do parâmetro e calculado a partir da amostra ( ) Variável 
 3. São qualidades apresentadas nos dados estatísticos. ( ) Parâmetro
 4. Conjunto de todos os resultados possíveis de um ( ) Estimativa
 fenômeno estatístico. 
 5. Parcela representativa da população ( ) Amostra 
3 Coloque V ou F. Em caso de F, justifique sua resposta. 
a) Uma variável é qualitativa, quando seus valores forem expressos por números. ( )
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b) Quando os valores de uma variável são expressos por números, dizemos que essa variável é qualitativa ( )
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 c) A idade, a renda familiar, a temperatura, volume de uva, etc. são exemplos de variáveis qualitativas. ( )
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d) Cor dos olhos e dos cabelos dos alunos dessa turma representam variáveis qualitativas ( )
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e) Uma variável discreta é sinônimo de variável descontínua. e seus valores resultam, via de regra, de contagens. ( )
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f) Diz-se que variável contínua quando seus valores resultam normalmente de medidas ou mensurações. ( )
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 4. Classifique as variáveis dos fenômenos abaixo em “D” (discreta) e “C” (contínua)
a) Número de propagandas no horário nobre num canal de TV ( )
b) Peso dos candidatos inscritos num vestibular ( )
c) Temperatura média diária numa cidade litorânea ( )
d) Número de candidatos a deputado estadual numa eleição estadual ( )
e) Renda familiar média dos universitários inscritos no FIES ( )
f) Número de alunos matriculados na rede pública municipal ( )
g) Volume de manga exportada para Europa no último trimestre ( )
5. Em cada caso: a) Estabeleça a variável
 b) Classifique a variável em qualitativa ou quantitativa
 c) Das variáveis quantitativas, diga quais são contínuas ou discretas
Siga o exemplo:
1. Cor dos olhos das modelos, numa final de concurso de beleza 
 a) cor dos olhos b) qualitativa c) discreta 
2. Os salários dos funcionários de uma empresa de Web Design
 
a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) - - - - - - - - - - - - - - - - - 
3. Volume de dinheiro gasto por estudantes num congresso de Engenharias
a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - -- - - c) - - - - - - - - - - - - - - - - - 
4. O número de filmes disponíveis num hotel , por dia , para seus hóspedes
a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) - - - - - - - - - - - - - - - - - 
5. A quantidade de alimento, em gramas, ingerida por pessoa num restaurante X
a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) - - - - - - - - - - - - - - - - - 
6. O número de pessoas da terceira idade que estudam na FURB
a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) - - - - - - - - - - - - - - - - - 
7. O número de filhos dos estudantes de EIE 
a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) - - - - - - - - - - - - - - - - - 
8. O número de casamentos ocorridos entre pessoas que se conheceram em cursos.
a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) - - - - - - - - - - - - - - - - - 
9. Altura dos brasileiros (m) no Brasil 
a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) - - - - - - - - - - - - - - - - - 
10. Modalidades Esportivas no Brasil
a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) - - - - - - - - - - - - - - - - - 
11. A idade média dos alunos da melhor idade da FURB
a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) - - - - - - - - - - - - - - - - - 
12. Volume de recursos investido por uma empresa de publicidade 
a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - c) - - - - - - - - - - - - - - - - - 
2 TÉCNICAS de AMOSTRAGEM
 Amostragem é o processo pelo qual se faz seleção de amostras e deve garantir tanto quanto possível o acaso na escolha.
2.1 MÉTODOS PROBABILÍSTICOS
 São métodos que exigem que cada elemento da população possua a mesma probabilidade de ser selecionado. Assim, se N for o tamanho da população, a probabilidade de cada elemento ser sorteado será 1/N. Portanto trata-se do método que garante cientificamente a aplicação das técnicas estatísticas de inferências e somente com base em amostragens probabilísticas é que se podem realizar inferências ou induções sobre a população a partir da análise da amostra.
2.1.1 Tipos de Amostragens
2.1.1.1 Amostragem Aleatória Simples
 É o processo mais elementar e mais frequentemente utilizado. É equivalente a um sorteio lotérico. Pode ser realizada numerando-se a população de 1 a N e sorteando-se a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, x números dessa sequência, os quais corresponderão aos elementos pertencentes à amostra.
Exemplo: Vamos obter uma amostra de 10% representativa para uma pesquisa da estatura de 80 alunos de uma escola qualquer.
1º - numeramos os alunos de 01 a 80
2º - escrevemos os números dos alunos de 01 a 80 em pedaços iguais de papel, colocamos numa urna e após misturar, retiramos, um a um, oito números que irão compor a amostra.
OBS: quando o número de elementos da amostra é muito grande, esse tipo de sorteio torna-se muito trabalhoso. Neste caso utiliza-se uma tabela de números pseudoaleatórios, construída de modo que os algarismos de 0 a 9 são distribuídos ao acaso nas linhas e colunas.
2.1.1.2 Amostragem Proporcional Estratificada
 Quando a população se divide em estratos (subpopulações), convém que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração tais estratos, daí obtermos os elementos da amostra proporcional ao número de elementos desses estratos.
Exemplo: Vamos obter uma amostra proporcional estratificada, de 10% do exemplo anterior, supondo que dos 80 alunos, 54 sejam meninos e 26 sejam meninas. São, portanto, dois estratos (sexo masculino e feminino). Logo, temos:
	SEXO
	POPUILAÇÃO
	10% 
	AMOSTRA
	MASCULINO
	 54
	 5,4
	 5
	FEMININO
	 26
	 2,6
	 3
	TOTAL
	 80 
	 8,0
	 8 
Numeramos, então os alunos de 01 a 80, sendo 01 a 54 meninos e 55 a 80 meninas e procedemos o sorteio casual com uma urna ou a tabela de números aleatórios.
2.1.1.3 Amostragem Aleatória Sistemática
 Quando os elementos da população já se encontram ordenados, não há necessidade de construir o sistema de referência. São exemplos, os prontuários de hospitais, os prédios de uma rua, uma lista telefônica, etc. Nesses casos, a seleção dos elementos que constituirão a amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador, da seguinte maneira:
Exemplo – Suponha uma rua com 300 casas, das quis desejamos obter uma amostra formada por 30 casas para uma pesquisa de opinião
1º - Divide-se o tamanho da população pelo tamanho da amostra, ou seja, 300/30 =10
2º - Escolhe-se por sorteio casual, um número entre 01 e 10. Supondo que esse número fosse 3, a amostra seria: 3ª casa, 13ª casa, 23ª casa, 33ª 43ª e assim por diante, até completar a amostra de 30 residências.
2.1.1.4 Amostragem por conglomerados ou Agrupamentos
 Algumas populações não permitem ou se tornam difícil que se identifique seus elementos. Não obstante isso, pode ser relativamente fácil identificar alguns subgrupos da população. Em tais casos, uma amostra aleatória simples desses grupos (conglomerados) pode ser escolhida e uma contagem completa deve ser feita para o conglomerado sorteado. Agrupamentos típicos são quarteirões, famílias organizações, agências, edifícios, etc.
Exemplo: Num levantamento da população de uma cidade, podemos dispor do mapa indicando cada quarteirão e não dispor de uma relação atualizada dos seus moradores. Pode-se, então, colher uma amostra dos quarteirões e fazer a contagem completa de todos os que residem naqueles quarteirões sorteados.
2.2 Métodos Não Probabilísticos
 São amostragens em que há uma escolha deliberada dos elementos amostrais. Não é possível generalizar os resultados das pesquisas para a população, pois as amostras não-probabilísticas não garantem a representatividade da população.
2.2.1 Amostragem Acidental
 Trata-se de uma amostra formada por aqueles elementos que vão aparecendo e que são possíveis de se obter até completar o tamanho da amostra. Geralmente este tipo de amostragem é utilizado em pesquisa de opinião, em que os entrevistados são acidentalmente escolhidos.
Exemplo: pesquisas de opinião em praças públicas, ruas movimentadas de grandes cidades, etc.
2.2.2 Amostragem Intencional
 São amostragens realizadas de acordo com determinado critério. Escolhe-se intencionalmente um grupo de elementos que irão compor a amostra e intencionalmente o investigador coleta a opinião desses elementos.
Exemplo: Numa pesquisa sobre a preferência por determinado cosmético, o pesquisador se dirige a um grande salão de beleza e entrevista as pessoas que ali s encontram.
2.2.3 Amostragem por Quotas
Este é o método de amostragem mais comumente utilizado em pesquisas de mercado e em prévias eleitorais. Ela abrange três fases:
1ª - Classificação da população em termos de propriedades que se sabe ou presume serem relevantes para a característica a ser estudada;
2ª - Determinação da proporção da população para cada característica, com base na constituição conhecida, presumida ou estimada da população; 
3ª - Fixação de quotas para cada entrevistador, a quem caberá a responsabilidade de selecionar os entrevistados, de modo que a amostra total observada ou entrevistada contenha a proporção de cada classe, tal como determinada na 2ª fase.
Exemplo: Numa pesquisa sobre o “trabalho da mulher na atualidade”. Provavelmente se terá interesse em considerar: a divisão, cidade e campo, a habitação, moradia,idade dos filhos, renda média, as faixas etárias, etc.
A primeira tarefa é descobrir as proporções dessas características na população. Imagina-se que haja 47% de homens e 53% de mulheres na população. Logo uma amostra de 50 pessoas deverá ter 23 homens e 27 mulheres. Então o pesquisador receberá uma quota para entrevistar 27 mulheres. A consideração de várias categorias exigirá uma composição amostral que atenda ao n determinado e às proporções populacionais estipuladas.
2.3 CÁLCULO DO TAMANHO DA AMOSTRA
Um primeiro cálculo do tamanho da amostra pode ser feito, mesmo sem conhecer o tamanho da população, através da seguinte expressão:
=
Conhecendo o tamanho da população (N), podemos corrigir o cálculo anterior. Temos:
Onde:
N = tamanho da população
n = tamanho da amostra
n0 = uma primeira aproximação para o tamanho da amostra
E0 = erro amostral tolerável (em pesquisas sociais, o erro padrão é fixado em 5%). 
Ex.: Planeja-se um levantamento por amostragem para avaliar diversas características da população (N=200) famílias moradoras de um certo bairro. Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra aleatória simples tal que, possamos admitir que o erro amostral não ultrapasse a 5%( E0=0,05)?
 Portanto:
=
= 1/(0,05)2
= 400 famílias
Mas, como em nosso exemplo o tamanho da população é conhecido, temos que fazer uma correção em função do tamanho da população. Usamos então:
 
n =( 200.400) / (200 + 400)
n = 133 famílias (no mínimo)
Exercícios
1. Uma escola de primeiro grau abriga 124 alunos. Obtenha uma amostra representativa correspondente a 15% da população, utilizando como ponto de início da linha da tabela de números aleatórios.
2. Tenho 80 lâmpadas numeradas, dentro de uma caixa. Como obtemos uma amostra de 12 lâmpadas?
3. Uma população encontra-se dividida em 3 estratos, com n1 = 40, n2 = 100 e n3 = 60. Sabendo-se que ao realizar uma amostragem estratificada proporcional, 9 elementos foram retirados do 3º estrato, determine o número de elementos da amostra.
 3. Sugira um método de amostragem adequado que poderia ser utilizado para obter informações sobre:
(a) a atitude dos passageiros em relação a fumar em serviços de ônibus locais.
(b) A porcentagem de componentes defeituosos produzidos a cada semana em uma linha de produção
c) As atitudes dos funcionários em relação à existência de um berçário no local de trabalho em uma grande empresa.
d) A opinião dos motoristas de carros em relação às medidas de diminuição do tráfego em uma rua residencial
e) Os prováveis números de vendas de um novo tipo de saquinho de chá
4. O quadro abaixo é uma lista de um grupo de seminário de alunos no 3º ano de um curso de Comunicação Social. Com o auxílio da tabela de números aleatórios a seguir você é solicitado a selecionar uma amostra de quatro pessoas utilizando. 
a) amostragem aleatória simples
b) Amostragem aleatória baseada no sexo
c) Amostragem aleatória sistemática
	Nome
	
	Nome
	
	Ana
	
	Crisóstomo
	
	João
	
	Secundino
	
	Helena 
	
	Onomatopéia
	
	Pedro
	
	Trainee
	
	Bruno
	
	Twist
	
	Ângela 
	
	Risoleta
	
	Sara
	
	Gram Bell
	
	Joana
	
	Hobin Hood
	
	Davi
	
	CrosBol
	
	Eulâmpio
	
	Adrenalina
	
Número aleatórios
	12
	15
	06
	15
	17
	13
	17
	20
	14
	02
	23
	18
	14
	10
	02
	09
	13
	07
	12
	16
	12
	12
	15
	16
	10
	07
	13
	16
	01
	14
	19
	18
	29
	01
	27
	32
	14
	19
	09
	15
	18
	03
	41
	20
5. Você foi encarregado, por um jornal diário nacional independente e de grande circulação para empreender uma pesquisa nacional sobre a reação das pessoas em relação a vários assuntos, incluindo o tratamento da economia por parte do governo. Você foi instruído que para a pesquisa tenha alguma credibilidade, será necessário pesquisar uma amostra representativa de pelo menos 5.000 pessoas. Considere, detalhadamente, os métodos da amostragem e de coleta de dados que você utilizaria para executar essa pesquisa, prestando uma atenção especial ás exigências de um grupo de participantes grande e representativo
3 REPRESENTAÇÃO TABULAR
 Uma série estatística é qualquer tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função da época, do local ou da espécie.
3.1 Definição 
Tabela - Uma tabela é um quadro que resume um conjunto de dados dispostos em linhas e colunas de maneira sistemática.
De acordo com a resolução 886 do IBGE, nas casas ou células da tabela devemos colocar:
( (traço horizontal) ( quando o valor é zero
((( (três pontos) ( quando não dispomos dos dados
0 ( zero) ( quando o valor é muito pequeno
? (ponto de interrogação) ( quando temos dúvida, quanto à exatidão de determinado valor
OBS: Tanto o lado esquerdo quanto direito de uma tabela devem ser abertos.
São séries tabeladas em forma de distribuição de freqüências.
3.2 DEFINIÇÕES
3.2.1 Dados Brutos - São dados que ainda não foram numericamente organizados. Portanto é difícil termos uma ideia exata do comportamento do grupo como um todo.
Ex: 45, 41, 42, 41, 42, 43, 44, 41, 50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51
 
3.2.2 Rol - Um rol é a tabela obtida após a ordenação dos dados.
Ex: 41, 41, 41, 42, 42, 43, 44, 45, 46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60
3.2.3 Distribuição de Frequência sem Intervalos de Classe: É a simples condensação dos dados conforme a repetição de seus valores.
Ex:
	Dados
	 41
	 42
	 43
	 44
	 45
	 46
	 50
	 51
	 52
	 54
	 57
	 58
	 60
	Total
	 F
	 3
	 2
	 1
	 1
	 1
	 2
	 2
	 1
	 1
	 1
	 1 
	 2
	 2
	20
3.2.4 Distribuição de Frequência com Intervalo de Classe 
 Quando o tamanho da amostra é mais elevado, é mais racional efetuar o agrupamento dos valores em intervalos de classe, conforme abaixo: 
	 i
	 Classe
	 Frequência ( f )
	 1
	41 45
	 7
	 2
	45 49 
	 3 
	 3 
	49 53
	 4 
	 4
	53 57 
	 1
	 5
	57 61 
	 5
	 (
	Total
	 20
3.3 ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA (com intervalo de classe)
3.3.1 Classe – É o intervalo de variação da variável e é simbolizado por “i” e o número total de classe é simbolizado por “k”
Ex: na tabela anterior Nc = 5 e i = 1, 2, ..., 5
3.3.2 Limites de Classe – São os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior de classe (li) e o maior número é limite superior de classe (ls).
Ex: na classe 49 53, li = 49 e ls = 53. O símbolo representa um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. O valor 53 pertence a 4ª classe e não a 3ª.
3.3.3 Amplitude do Intervalo de Classe – É obtida por meio da diferença entre o limite superior e inferior da classe e é simbolizada por
. No exemplo anterior 
 
3.3.4 Ponto Médio da Classe – É o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. Ex. na classe de 49 a 53, o ponto médio é 
3.3.5 Amplitude Total da Distribuição – É a diferença entre o ponto médio da última classe e o ponto médio da primeira classe. No exemplo anterior, 
 
3.3.6 Amplitude Total da Amostra (Rol) – É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo do rol. Em nosso exemplo: 
 
3.4 MÉTODO PRATICO PARA A CONSTRUÇÃO DE UMA TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS COM INTERVALOS DE CLASSE 
1º) Organizar os dados brutos em um rol;
2º) Calcular a amplitude total da amostra;
3º) Calcular o nº de classes, utilizando a raiz quadrada de n, onde n 
 é o número de dados ou de observações;
4º) Determinar a amplitude do intervalode classe, dividindo a amplitude total AT da 
 amostra pelo número de classes Nc, ou seja , faça h = AT / Nc. 
Aplicação: Os dados a seguir representam o tempo (em segundos) para carga de um aplicativo, num sistema compartilhado
	5,2
	6,4
	5,7
	8,3
	7,0
	5,4
	4,8
	9,1
	5,5
	6,2
	4,9
	5,7
	6,3
	5,1
	8,4
	6,2
	8,9
	7,3
	5,4
	4,8
	5,6
	6,8
	5,0
	6,7
	8,2
	7,1
	4,9
	5,0
	8,2
	9,9
	5,4
	5,6
	5,7
	6,2
	4,9
	5,1
	6,0
	4,7
	14,1
	5,3
	4,9
	5,0
	5,7
	6,3
	6,0
	6,8
	7,3
	6,9
	6,5
	5,9
Com base nesses dados, determine:
a) o rol
b) a amplitude total (amostral)
c) o número de classes
d) a amplitude das classes
e) os limites de classe
f) os pontos médios das classes
g) as frequências absolutas das classes
h) as frequências relativas
i) as frequências absolutas acumuladas
j) as frequências relativas acumuladas
4 REPRESENTAÇÃO GRAFICA
DEFINIÇÕES
 Histograma 
É um gráfico formado por retângulos justapostos, cujas bases se localizam no eixo horizontal de tal modo que seus pontos médios coincidem com o ponto médio do intervalo de classe e suas alturas são proporcionais às suas respectivas frequências absolutas.
4.2 Frequência Simples ou Absoluta: São os valores que realmente representam o número de dados de cada classe. A soma das frequências simples é igual ao número total dos dados da distribuição.
4.3 Frequência Simples Acumulada de uma classe: É o total das frequências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma classe.
4.4 Frequências Relativas: São os valores obtidos através do quociente entre as frequências simples de cada classe e o total das frequências da distribuição. A soma das frequências relativas é 1 ou 100%.
4.5 Frequência Relativa Acumulada de uma classe: É a frequência acumulada da classe dividida pela frequência total da distribuição.
Aplicação
	CLASSE
	 fi
	
	
	
	
	50 54
	3
	
	
	
	
	54 58
	7
	
	
	
	
	58 62 
	10
	
	
	
	
	62 66
	15
	
	
	
	
	66 70
	4
	
	
	
	
	70 74
	1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Com base na tabela acima, pede-se: 
a) os pontos médios da distribuição
b) as frequências absolutas acumuladas
c) as frequências relativas
d) as frequências relativas acumuladas
e) construir o histograma
5 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
 São medidas que fornecem o valor do ponto em torno do qual se distribuem os dados. 
5.1 A MÉDIA ARITMÉTICA: média aritmética é uma medida estatística que é calculada -se todos os possíveis valores de um conjunto de dados e dividindo-se pelo número de itens desse mesmo conjunto. Vamos considerar dois casos:
1º) Para dados não-agrupados ou dados brutos
Utilizamos a expressão ( 
Ex. 1 – Calcular a média de peso, em gramas, de ratos machos da raça Wistar com 30 dias de idade, segundo os dados abaixo:
50 62 70 86 60 64 66 77 58 55 82 74
 
gramas 
2º) Para dados agrupados: Dados agrupados são aqueles que estão dispostos em uma tabela de distribuição de frequências. Utilizamos a expressão:
 
 ; onde 
Ex. 2 – Encontrar a média dos dados a seguir, que considera o número de aulas perdidas por uma turma de alunos em determinada semana.
	 Nº de aulas perdidas (x)
	 Número de alunos (f)
	
	0
	8
	
	1
	10
	
	2
	12
	
	3
	6
	
	
	
	
Logo 
 aulas perdidas nessa semana
Ex. 3 – Calcular a média dos nascidos vivos ao nascer segundo o peso, em kg dos dados que se encontram dispostos na tabela abaixo
	Classe (i)
	Ponto Médio (Xi) 
	Frequência (fi)
	
	1,5 2,0
	
	3
	
	2,0 2,5
	
	16
	
	2,5 3,0
	
	31
	
	3,0 3,5
	
	34
	
	3,5 4,0
	
	11
	
	4,0 4,5
	
	4
	
	4,5 5,0
	
	1
	
	
	
	
	
	
5.2 A MEDIANA
 A mediana é o valor que ocupa a posição central de uma distribuição de dados ordenados em um rol. Consideremos também dois casos:
1º) PARA DADOS NAO AGRUPADOS
5.2.1 Amostras de tamanho ímpar - Ex: 1, 4, 6, 9 e 11 
 M e = 6 – (n+1)/2
5.2.2 Amostras de tamanho par - Ex: 1, 5, 7, 8, 10, e 11
 Me = (n+1)/2 = 3,5 – Interpolação Simples Me = (7 + 8) /2 = 7,5
2º) PARA DADOS AGRUPADOS. Utilizamos a expressão: 
 
 , Onde: 
 l m e = Limite Inferior da classe que contém a Me 
 h = Amplitude da classe Me
 n = Tamanho da amostra 
 (f = Somatório das frequência anteriores à Me 
 f m e = Frequência absoluta da classe Me
 
Exemplo 2: Calcular a mediana dos dados da tabela abaixo 
	Classes
	fi
	Fi
	 35 45
	5
	
	 45 55
	12
	
	 55 65
	18
	
	 65 75
	14
	
	 75 85
	6
	
	 85 95
	3
	
	(
	
	
1º Passo: Calcula-se n+1 / 2. Como n = 58+1/2, ( 59 / 2 = 28,5ª posição 
2º Passo: Identifica-se a classe mediana pela Fi. 
3º Passo: Aplica-se a fórmula. 
Nesse caso, temos:
l m e = 55; n = 59; (f i = 17; h = 10; f m e = 18.
Daí, vamos calcular:
 
Me = 
 5.3 A MODA
 É o valor que ocorre com mais ou maior frequência em uma distribuição de dados
Aqui, também temos que considerar dois casos:
1º) 5.3.1 DADOS NÃO AGRUPADOS
Exemplo 1:
 Indivíduos, segundo o tipo de sangue
 
	Tipo de sangue
	O
	A
	B
	AB
	
Moda = - - - - - 
	Frequência
	547
	441
	123
	25
	
 
 2º) 5.3.2 DADOS AGRUPADOS 
1º Passo: identifica-se a classe modal. A classe modal é aquela que possui maior 
 frequência.
2º Passo: Aplica-se a fórmula: 
Onde:
 
 = Limite inferior da classe modal;
( 1 = Diferença entre a frequência da classe modal e a classe anterior;
( 2 = Diferença entre a frequência da classe modal e a classe posterior;
h = Amplitude da classe.
Exemplo 1: Considere os dados da tabela abaixo para calcular a moda
 
	Classes
	fi
	Fi
	 35 45
	5
	
	 45 55
	12
	
	 55 65
	18
	
	 65 75
	14
	
	 75 85
	6
	
	 85 95
	3
	
	(
	58
	
Neste caso, a classe de maior frequência é a - - - - - classe, então:
 l i = 55; ( 1 = 18 ( 12 = 6; ( 2 = 18 ( 14 = 4 e h = 10
Logo, qual seria a moda?
 
Mo = 
 
QUESTÕES PARA AVALIAÇÃO de APRENDIZAGEM
1. A média aritmética é a razão entre 
(a) o número de valores e o somatório deles
(b) os dois valores centrais
(c) o somatório dos valores e o número deles
(d) os valores extremos 
2. Na série 60, 90, 80, 60, 50 a moda é:
 (a) 50 (b) 60 (c) 80 ( d) 90 (e) 85
3. A medida que tem o mesmo número de valores abaixo e acima dela: 
(a) a moda (b) a mediana (c) a média (d) o lugar mediano
4. A soma dos desvios entre cada valor e a média é:
 (a) positiva (b) diferente de zero (c) negativa (d) zero (e) Não sei dizer
5. Na série 60, 50, 70, 80, 90 o valor 70 será:
 (a) a média e a moda (c) a mediana e a moda (b) a média e a mediana6. Quando queremos verificar a questão de uma prova que apresentou 
 maior número de erros, utilizamos:
 (a) moda (b) mediana (c) média (d) amplitude total (e) freqüência acumulada
7. Dado o histograma abaixo, no interior de cujos retângulos foram anotadas as frequências absolutas, então a mediana é :
 
 30
 
 25 20 
 
 10 15 
 2 4 6 8 10 12 
 (a) 6,5 (c) 7,5 (b) 8,0 (d) 7,0 (e) 30 
8. Na série 15, 20, 30, 40, 50, há abaixo da mediana:
(a) 3 valores (b) 3,5 valores (c) 2 valores (d) 4 valores (e) nenhum valor
 
9. O cálculo da mediana pressupõe o conhecimento da (o):
 (a) média (b) desvio padrão (c) moda (d) ponto médio (e) pessoa que sabe
10. Analisando os dados de uma folha de pagamentos, que medidas se utilizaria para:
 
a) descobrir o salário mais freqüente - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
b) o salário que divide os pagamentos em partes iguais - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
c) descobrir o salário médio dos funcionários - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
11. Dados os salários anuais, em reais, de cinco jornalistas autônomos, calculem a média, a mediana e a moda. Que medida de tendência central fornece a medida resumo mais adequada?
 17.000 18.000 20.000 23.000 65.000
12. Considere a seguinte série: 4, 5, 6, 6, 6. 7, 8, 
a) calcule a média, a moda e a mediana
b) substitua o valor 8 pelo valor 18 e faça novamente os cálculos. 
c) que aconteceu com a média? E com a moda? E a mediana? 
d) que conclusões você pode tirar a respeito desse fato?
13. Suponha que você não se encontrando em sua profissão, resolveu entrar no ramo de Delivery de alimentos e após 40 semanas de vendas, resolveu fazer um levantamento geral das atividades. O quadro abaixo mostra os valores das vendas em milhares de R$:
 16 29 16 19 24 17 18 20 19 22 17 24 23
 34 20 19 22 11 14 13 19 20 26 19 21 22
 21 27 24 20 17 18 23 18 20 24 17 22 20 
 
Com base nas suas vendas, determinar:
a) O rol; b) a amplitude máxima;
c) amplitude de classes de frequências; d) distribuição em classes de frequências;
14. Elaborar: 15. Calcular: 
a) histograma; a) a média;
b) histograma de frequência acumulada; b) a mediana;
 c) a moda;
 
15. Num restaurante foi observado o consumo mensal de energia elétrica
 
 290 321 308 213 318 302 358 286 393 398
 352 235 329 333 409 351 325 458 314 181
 396 340 356 369 281 386 334 331 348 339
 321 415 327 377 344 209 327 245 297 355
a) organize os dados em ordem crescente (Rol)
b) qual é o menor consumo? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - -
c) qual é o maior consumo? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
d) qual é a amplitude total da distribuição? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
e) qual sua sugestão para o número de classes? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
f) qual é a amplitude do intervalo de classe? - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
g) construa a distribuição de frequências 
Nº da classe (classes) (fi) 
h) Qual o limite inferior da segunda classe?
i) Qual o limite superior da quarta classe?
j) Qual a frequência absoluta da quarta classe?
k)Qual a frequência relativa da quinta classe?
l)Calcule a média aritmética
m)Calcule a mediana 
n) Calcule a Moda
o)Qual dessas medidas representa melhor esse consumo de energia?
16. Dada a figura abaixo, podemos afirmar que:
(a) A moda é maior do que a mediana e menor de que a média
(b) A moda é menor do que a mediana e maior do que a média
(c) A moda é menor do que a mediana e esta maior do que a média
(d) A mediana é maior do que a média e menor do que a moda
(e) A média é igual a mediana e esta igual a moda
17. Utilizando a série de dados: 2, 5, 7, 8, comprove as seguintes propriedades da média aritmética.
a) A soma dos desvios em torno da média é igual a zero, isto é ( (X i ( X) = 0.
b) somando ou subtraindo a mesma quantidade arbitrária de todos os valores da série, 
c) a média ficará aumentada ou diminuída dessa mesma quantidade.
d) multiplicando ou dividindo cada termo de uma série por uma constante, a média ficará multiplicada ou divida pela constante.
e) a soma dos quadrados dos desvios medidos em relação à média é um mínimo, ou seja, é sempre menor que a soma dos quadrados dos desvios medidos em relação a outro valor qualquer, isto é, ( (X i ( X)2 = 0.
6 MEDIDAS DE POSIÇÃO
 As medidas de posição são medidas ou separatrizes que dividem a área de uma distribuição de frequências em regiões de áreas iguais e.
6.1 QUARTIS
 São Separatrizes que dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais
 0% 25% 50% 75% 100%
 Q1 Q2 Q3 
6.1.1 Primeiro Quartil - Q1 
 Separatriz que divide a distribuição em duas partes, tal que 25% dos valores sejam menores que ele e 75% maiores que ele.
6.1.2 Segundo Quartil - Q2 
 O segundo quartil coincide exatamente com a mediana. É o valor que divide a distribuição em exatamente metade dos elementos.
6.1.3 Terceiro Quartil - Q3 
 Valor que deixa 75% dos valores à sua esquerda e os 25% restante à sua direita 
- Fórmula para o Cálculo dos Quartis.
 
É a mesma utilizada para o cálculo da mediana, com pequenas adaptações.
 
 
 
Determinação de Q 1
1º Passo: Calcula-se Q1=n+1/4;
2º Passo: Identifica-se a classe Q1, através da Fi ;
3º Passo: Aplica-se a fórmula.
- Determinação de Q3 
1º Passo: Calcula-se 3(n+1)/4;
2º Passo: Identifica-se a classe Q3 pela Fi;
3º Passo: Aplica-se a fórmula : 
Aplicação: Dada a distribuição abaixo, determinar Q1, Q2 e Q3.
Classes 7 17 17 27 27 37 37 47 47 57 (
 
 fi 6 1520 10 5 56
 
 Fi 6 21 41 51 56 --
 Q1 Q3 
 Q 2 = Me 
1º Passo: n = 56
Q1 = ? Q2 = Me Q3 = ?
n +1 ÷ 4 = 14,25º n+1 ÷ 2 = 28,5º 3(n+1) ÷4 = 42,75º 
2º Passo: Através da F i, identifica-se a classe Q1, Me e a Q 3
3º Passo: Uso das fórmulas: 
 Q1 ( l Q1 = 17 n = 56 ( f ant = 6 h = 10 f Q1 = 15
Para Me ( l me = 27 n = 56 ( f ant = 21 h = 10 f me = 20 
 Q3 ( l Q 3 = n = ( f ant = h = fQ3 = 
Aplicando esses resultados em suas respectivas fórmulas, obtemos:
Q1 = Q2 = Me = Q 3 = 
O que isso significa?
 25% 25% 25% 25% 
 
 7 57
- O valor Q1 deixa dos elementos 
- O valor Q2 deixa 50% 
- O valor Q3 deixa dos elementos 
 
7 MEDIDAS DE DISPERSÃO (VARIABILIDADE)
 
 São medidas que servem fundamentalmente para verificar a representatividade das medidas de tendência central, pois, estas, por si só, não são suficientes para caracterizar totalmente uma seqüência numérica.
Considere as seguintes séries
 MÉDIA 
 
 X 1 3 7 10 10 11 15 18 20 35 13
 
 Y 12 12 12 13 13 13 13 14 14 14 13 
 
 Z 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13
 
7.1 A AMPLITUDE TOTAL
 É a diferença entre o maior e o menor valor de uma seqüência de dados,ou seja, 
 
 
 
Como se Calcula ?
 S é r i e s A m p l i t u d e 
 
 1 - 
: 9 10 11 20 
 2. X i 4 5 7 9
 
 fi 1 6 10 3
 
 3. Classes 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12
 
 fi 5 10 20 7 4
 
 Vantagem: -----------------------------------------------------------------------------------------------
 ------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
Desvantagem: ------------------------------------------------------------------------------------------------
 ------------------------------------------------------------------------------------------------
7.2 A VARIÂNCIA E O DESVIO-PADRÃO
1. Nosso propósito é medir o grau de concentração dos dados em torno da média;
2. Nada mais interessante de que estudarmos os desvios de cada valor em relação à 
 media, isto é, 
3. Tomando-se o somatório de todos esses desvios, temos que: 
4. Para solucionar esse problema, pelo menos duas soluções foram apresentadas. Quais foram? 
1 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
7.3 O DESVIO MÉDIO
 
 
 
7.3.1 Cálculo da Variância e do Desvio-padrão: Para o cálculo da variância e do desvio-padrão vamos considerar as seguintes expressões:
 Variância Desvio-padrão Universo 
 
 
 Populacional
 
 
 Amostral 
 
Comentários 
 1 - No cálculo da variância, quando elevamos os desvios ao quadrado, a unidade de medida também ficará elevada ao quadrado, sempre;
 2 - Em diversas situações, a unidade de medida da variância nem faz sentido. É o caso por exemplo, em que os dados são expressos em litros, pizzas, salários, etc... Portanto, o valor da variância não pode ser comparado diretamente com os dados da série, ou seja, a variância não tem interpretação
 3 - Exatamente para suprir essa deficiência da variância é que lançamos mão da definição do desvio-padrão, que por sua vez, terá sempre a mesma unidade de medida da série e portanto admite interpretação. 
7.3.3 Interpretação do Desvio-padrão
 O desvio-padrão é, sem dúvida a mais importante das medidas de dispersão e é vital que o pesquisador consiga relacionar o valor obtido através da fórmula, com os dados da série. 
( Quando uma curva de freqüência representativa de uma série é perfeitamente simétrica , a construção gráfica em forma de sino corresponde à curva normal (curva de Gauss) e podemos 
afirmar que:
 
 
 (3( (2( (( 
 +( +2( +3( 
 
 Zona de normalidade (2() 
 
 Intervalo (%) de valores contidos da série
 
 
 68 
 
 95 
 
 99
- ZONA DE NORMALIDADE
 A zona de normalidade é definida por um conjunto de valores (ou uma região) em torno da média aritmética, contidos num intervalo de amplitude “2 (”, ou seja, -( antes da média e +( depois da média
Aplicação: Um restaurante cobra o almoço de cada cliente mediante peso (por quilo) da quantidade de alimento consumida. Foi observado, durante um mês, que as quantidades de alimento consumidas são normalmente distribuídas com uma média de 550 g e desvio padrão de 200 g, Calcular:
a) a amplitude do intervalo da zona de normalidade.
Sendo: 
 e ( = 200 g , calcula-se o intervalo:
g 
g 
 
Portanto, a amplitude do intervalo da zona de neutralidade ou de normalidade, é de 350 g até 750 g. Isso significa que 68% da clientela consomem entre 300 e 750 g de alimentos 
b) a amplitude dos 95% centrais. Este é com vocês!
 
 
 
7.4 O COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (Dispersão Relativa)
 Considere as séries abaixo e suas respectivas estatísticas:
 
 Variável Média Desvio-padrão C V
 X 10 2 
 Y 100 5 
( Analisando os resultados:
1. Qual série possui maior dispersão? 
2. Que tipo de dispersão?
 
3. Levando-se em consideração as médias das duas séries, o desvio-padrão de Y que é 
 em relaçãoa sua média que é - - - - - - , é menos significativo que o 
 desvio-padrão de X que é - - - - - - em relação a - - - - - - .
 
4. Este fato nos leva a definir uma medida de dispersão relativa, que é o Coeficiente de Variação, ou seja,
 
 
Conclusão
	
O coeficiente de variação é um número puro, portanto pode ser expresso em percentual.
O coeficiente de variação leva em consideração tanto a média quanto a dispersão absoluta da série, portanto é uma medida mais completa do que a dispersão absoluta isoladamente; 
 3 . Para nosso exemplo, comparando os C V de X e Y conclui-se que Y tem menor dispersão relativa do que X.
 Será que Você Consegue? Tente.
1. Qual a desvantagem da utilização da variância como medida de dispersão? 
2. Qual é a medida que se utiliza para compensar essa desvantagem?
3. O coeficiente de variação é uma medida que expressa a razão entre:
(a) A média e o desvio padrão
(b) O desvio padrão e a média
(c) O desvio padrão e a moda
(d) a soma dos desvios e a média
(e) o desvio padrão e a mediana
4. O desvio padrão de uma distribuição é 9. A variância será:
 (a) 3 ( b) 36 (c) 18 (d) 81 (e) – 3
5. Realizou-se uma prova de microeconomia para duas turmas. Os resultados foram os seguintes:
 Turma Média Desvio padrão
 A 5 2,5
 B 4 2,0 
(a) A turma B apresentou maior dispersão absoluta
(b) A dispersão relativa de A é igual à dispersão relativa de B
(c) Tanto a dispersão absoluta quanto a dispersão relativa são maiores para a turma B 
(d) A dispersão absoluta de A é maior do que a de B, mas em termos relativos as duas 
 não diferem quanto ao grau de dispersão das notas
(e) A turma A é menos dispersa do que a turma B
6. Examinando a figura abaixo podemos concluir que: 
 
 
 
 B
 A
 
 
 
(a) Tanto o desvio padrão quanto a média de A são diferentes de B
(b) O desvio padrão de A é maior do que o de B e as médias são iguais
(c) O desvio padrão de A é menor do que o de B e as médias são diferentes
(d) O desvio padrão de A é igual ao de B e independe do valor da média
(e) As duas distribuições possuem o mesmo coeficiente de variação.
7. Dentre as amostras:
Amostra 1: 0 , 1 , 2
Amostra 2: 13,1 , 13,3 , 13,5 , 13,7
Amostra 3: 26 , 27 , 28 
Amostra 4: 1001 , 1002 , 1003
Amostra 5: - 5 , 10 , 25
A de maior desvio-padrão é:
 (a) 1 ( b) 2 ( c) 3 ( d) 4 ( e) 5 
8) Nas operações financeiras, o investidor tenta estabelecer um valor médio de rentabilidade. O risco da operação é medido através:
a) média das rentabilidades 
b) desvio-padrão das rentabilidades 
c) desvio-padrão 
d) desvio modal
e) média ponderada
9. Os coeficientes de variação das estatísticas abaixo são respectivamente:
 Disciplina X S 
 Estatística 80 16
 
 Cálculo I 20 5
(a) 16% e 40% (b) 50% e 25% (c) 20% 25% (d) 50% e 40% (e) 80% e 40%
10. Para quaisquer valores de X, quanto vale a expressão ( (X ( X)?
(a) 5 (b) 3 (c) 2 (d) 0 (e) 1
11. Para analisar os dados de uma folha de pagamentos que medida você utilizaria para descobrir a dispersão absoluta em torno da média?
12. Numa distribuição de valores iguais, o desvio padrão é:
(a) negativo (b) positivo (c) a unidade (d) zero (e) não sei do que se trata 
13. O cálculo da variância supõe o conhecimento da:
 (a) mediana (b) ponto médio (c) média (d) da moda (e) do desvio padrão 
14. Qual a posição da média, moda e mediana para distribuições consideradas simétricas? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
15. Falando em distribuição simétrica, preencha o quadro abaixo:
 Intervalo % Significado 
 
 ------ ------------------------------------------------------------------------- 
 --------- 95 -------------------------------------------------------------------------
 --------- ------- -------------------------------------------------------------------------
 
 8 MEDIDAS DE ASSIMETRIA 
 
 Assimetria é o grau de afastamento de uma distribuição da unidade de simetria.
 Quando uma distribuição é simétrica, os valores da média, da moda e da mediana são coincidentes. A figura abaixo (a) mostra uma distribuição simétrica; (b) assimétrica positiva e (c) assimétrica negativa.
 (a) (b) (c) 
 f f f
 
 
 
 
 simétrica assimétrica positiva assimétrica negativa
9. MEDIDAS DE CURTOSE
 Curtose é o grau de achatamento de uma distribuição. 
As figuras a, b, e c mostram as três formas que uma distribuição pode se apresentar segundo sua curtose. 
 (b) 
 f f f 
 (a) (c) 
 mesocúrtica leptocúrtica platicúrtica 
 
 k = 0,263 k > 0,263 k < 0,263
 
10 TEORIA E CÁLCULO DAS PROBABILIDADES
Introdução
 Consciente ou inconscientemente a probabilidade é utilizada por qualquer indivíduo que toma decisão em momentos de incerteza. Conhecendo-se ou não as regras para seu cálculo, muitas pessoas interessam-se por eventos ligados à probabilidade. Do contrário com poderíamos explicar o grande número de pessoas que arriscam a sorte, jogando em loterias, bingos, corridas de cavalos, etc. Aliás, as aplicações iniciais do cálculo das probabilidades tiveram inicio no século XVII em função dos jogos de azar.
A utilização das probabilidades indica a existência de um elemento ao acaso ou de incerteza quanto à ocorrência ou não de um evento aleatório. 
Ao estudarmos um fenômeno coletivo, verificamos a necessidade de descrever o próprio fenômeno e o modelo matemático associado ao mesmo, que permita explicá-lo da melhor forma possível. 
 A teoria das probabilidades é um modelo matemático utilizado para explicar fenômenos aleatórios coletivos e fornecem estratégias para a tomada de decisão. Tais fenômenos, mesmo em condições normais de experimentação, seus resultados variam de uma observação para outra, dificultando a previsão de um resultado futuro.
10.1 Tipos de Fenômenosa) Determinísticos – Os resultados são sempre os mesmos, quaisquer que sejam as “n” repetições.
Exemplo: a água submetida à temperatura de 100º, passará do estado líquido para o gasoso, sempre.
 b) Aleatórios Casuais ou Não-Determinísticos – Os resultados não são previsíveis, mesmo que haja “n” repetições.
Exemplo: Num pomar com centenas de laranjeiras, as produções da cada planta serão diferentes e não previsíveis, mesmo estando todas, sob as mesmas condições de solo, temperatura, umidade, etc... 
 Obs.
 1.Quando um fenômeno é ------------------------------- a teoria das probabilidades não fornece um modelo matemático adequado para explicar o fenômeno;
 
2. O objeto da teoria ------------------------------------ são os fenômenos aleatórios;
 3. Para facilitar o desenvolvimento da teoria sem usar recursos matemáticos mais sofisticados, por ora, vamos restringir nosso estudo a uma classe de fenômenos aleatórios chamados de ------------------------------------------------------ 
10.2 Experimento Aleatório ( E 
 Os experimentos são fenômenos aleatórios e mesmo que as condições iniciais sejam sempre as mesmas, os resultados finais de cada tentativa, serão diferentes e não previsíveis e possui as seguintes características: 
a) Poderá ser repetido indefinidamente sob as ”mesmas condições”;
b) Não se conhece, a priori, um valor particular do experimento, porém pode-se descrever todos seus possíveis resultados;
c) Quando for repetido um grande número de vezes, surgirá uma regularidade, ou seja, haverá uma estabilidade da fração f = r/n , 
onde :
r = o número de sucessos de um particular resultado estabelecido antes da realização do 
 experimento 
n = o número de repetições
 
 f 
 
 1 
 0 n 
10.3 Espaço Amostral Finito Equiprovável – S 
 Um Espaço Amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório.
 Ele será Equiprovável ou Uniforme quando associa cada ponto do espaço amostral a mesma probabilidade de ocorrência.
Exemplos
 
E1 =Lançar um dado não viciado e anotar o número de pontos; 
S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
E2 = Lançar uma moeda e anotar a face voltada para cima;
S2 = ( 
 
E3 = Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas, anotar o naipe 
S3 = ( 
E4 = lançar duas moedas e observar as faces voltadas para cima.
S4 = (
E5 = Lançar uma moeda sucessivamente até que se obtenha a 1ª cara
S5 = ( 
E6 = Escolha de um ponto no intervalo (3 , 12( e anotar a distância do ponto 
 escolhido P ao ponto 5;
S6 = (
 
E7 = Jogar uma moeda 4 vezes e anotar o número de caras obtidas
 S7 = (
 E8 = O número de rebites utilizados na asa de um avião
 S8 = (
10.4 Evento e Operações com Eventos
 Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral S. 
Considere S = (1, 2, 3, 4, 5, 6 (, o espaço amostral relativo ao lançamento de um dado.
Note que, se A = (1, 2( ; B = (2, 4( e C = ( (, são subconjuntos de S e portanto são eventos. Dessa forma:
( O próprio espaço amostral S e o ( são eventos;
( S é dito o evento certo de ocorrer e ( o evento impossível;
( Usando as operações com conjuntos, podemos formar novos eventos:
i) A ( B = (x ( S / x (A e x ( B (( evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre, ou 
 ambos ocorrem.
II) A ( B = ( x ( S / x (A ou x ( B (( evento que ocorre se A e B ocorrerem ao 
 mesmo tempo
III) A ou CA ( evento que ocorre se A não ocorrer
Exemplo
 
Seja S = (1, 2, 3, 4, 5, 6( ; Se A = (1, 2, 3( B =(2, 3, 6 ( C = (2, 3, 4(
A ( B = ( ( A ( C = ( ( CA = ( ( 
CB = ( ( C (A (B) = ( ( C(A (C) = ( ( 
 
10.5 Eventos Mutuamente Exclusivos
 Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um deles exclui a possibilidade da ocorrência do outro, ou seja, eles não podem ocorrer simultaneamente, isto é, A ( B = (
Exemplo:
E : jogar um dado e observar o resultado ( S = (1, 2, 3, 4, 5, 6(. Sejam os eventos : 
A = ocorrer nº par ( A = (2, 4, 6( e B = ocorrer nº ímpar ( B = (1, 3, 5(
Logo, A ( B = (. O que isto significa? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
10.6 Definição de Probabilidade
 Probabilidade é uma função que associa a cada evento ( S um número real e satisfaz aos seguintes axiomas:
 S R 
 P 
 B(
 A( (0 ,1( 
 C( 
I) 0 ( P (A) ( 1
II) P (S) =1
III) Se E1, E2, ..........En, forem mutuamente excludentes, então: 
 
 P (E1 ( E2 (........(.En ) = P (E1) + P (E2) +. . . . + P(En)
10.7 Principais Teoremas
8.1 - Se ( é o conjunto vazio, então: P(() = 0
8.2 - Se 
 é o complementar de A , então: P(
) = 1 ( P (A)
8.3 - Se A ( B, então: P (A) ( P (B)
8.4 - Se A e B são dois eventos quaisquer, então: P (A ( B) = P (A) + P (B) ( P (A ( B) 
8.5 – Se A, B e C forem três eventos quaisquer, então:
 P (A ( B ( C) = P (A) + P (B) + P (C)
10.8 Eventos Equiprováveis
 São aqueles que têm a mesma probabilidade de ocorrerem, ou seja se o espaço amostral S contém “n” pontos e a probabilidade de cada ponto será : 
 ( Pi = 1 ( np = 1 ( p = 1/n
Por outro lado, se um evento A contém “r” pontos, então:
P(A) = r . (1/n) . Este é o método de avaliar P(A). e é enunciado da seguinte forma:
 Nº de casos favoráveis
 P(A) =
 Nº de casos possíveis
Exemplo 
Retira-se uma carta de um baralho comum, bem embaralhado de 52 cartas. Qual a probabilidade de:
a) A = Sair um rei ( P(A) = 4/52
b) B = Sair uma carta de espadas ( P(B) = 13/52
c) C = Sair um rei ou uma carta de espadas ( P(A ( B) = ?
 
 P(A ( B) = P(A) + P(B) ( P(A ( B) ( P(A ( B) = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - -
 Logo, P(A ( B) = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
Praticando o que aprendeu
1. Considere o espaço amostral do lançamento de um dado e a observação da face superior. Descreva, por seus elementos, os seguintes eventos;
Sair face par - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Sair face primo - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
Sair face maior que 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Sair face maior que 6 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
Sair face múltipla de 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Sair face menor ou igual a 4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
2. Considere o espaço amostral S = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10( e os seguintes eventos: 
A = (2, 3, 4(; B = (1, 3, 5, 7, 9(; C = (5(; D = (1, 2, 3(; E = (2, 4, 6(
Determinar:
a) A ( B b) A ( B c) A ( C d) CA e) CB f) C(A ( B) 
3. Se P (A) = 1/2 ; P (B) =1/4 , sendo A e B mutuamente exclusivos, calcular:
a) P (A) b) P (B) c) e) P (A (B) d) P (A (B) e) P (A(B) 
2. Determine a probabilidade de cada evento:
a) Um número par aparecer no lançamento de um dado não viciado;
b) Um rei aparecer ao extrair-se uma carta de um baralho;
c) Pelo menos uma cara aparece no lançamento de três moedas;
d) Duas copas aparecem ao retirarem-se duas cartas de um baralho.
3. Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de:
a) A soma ser menor que 4
b) A soma ser 9
c) O primeiro resultado ser maior do que o segundo
d) O primeiro resultado ser igual ao segundo
4. Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas. Calcular a probabilidade de:
a) Todas serem pretas
b) Exatamente uma ser branca
c) Ao menos uma ser preta
5. Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:
a) Ela não tenha defeitos graves
b) Ela não tenha defeitos
c) Ela ou seja boa ou tenha defeitos graves
6. Um experimento consiste em lançar três moedas e observar a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos neste lançamento, Explicite esse espaço amostral.
7. Num grupo de 300 turistas cadastrados por uma agência de viagens, 100 viajam para Petrolina e 80 para Juazeiro e 30 viajam para as duas cidades simultaneamente. Qual a probabilidade de um turista escolhido ao acaso estar de viagem para:
a) Petrolina b) Juazeiro c) Petrolina ou Juazeiro
10.9 Probabilidade Condicional – P (A / B)
 Muitas vezes, estamos interessados em calcular a probabilidade de ocorrência de um certo evento, sabendo previamente que outro já ocorreu Por exemplo:
A probabilidade de chover amanhã sabendo que choveu hoje;
A probabilidade de um dispositivo eletrônico funcionar 200 horas, sabendo que já funcionou por 100 horas;
A probabilidade de um projeto de lei ser aprovado no senado, sabendo que já foi aprovado na câmara; 
Em outras palavras, queremos calcular a probabilidade de ocorrência de um evento “A” condicionada à ocorrência prévia de “B”, ou seja, 
P (A / B) ( Lê-se, P de A dado B
10.10 Definição
 Dados dois eventos, A ( S e B ( S, a probabilidade condicionada do evento A, quando B tiver ocorrido será dada por:
 
 
, P (B) ( 0 e 
, P (A) ( 0 
 
Exemplo 1:
 
Sendo P (A) = 1/3 P (B) =3/4 e P (A ( B) = 11/12, calcular P (A/B).
 P (A ( B)
Como P(A/B) = , devemos calcular:
 P (B) 
P (A(B) = P (A) + P (B) ( P (A ( B) ( - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
Daí, P (A ( B) = 1/6. Logo P (A/B) = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
Exemplo 2: 
O quadro abaixo se refere à distribuição de alunos presentes numa reunião, classificados por sexo e por curso:
 Curso EIE ETE Total 
 Sexo 
 
 H 40 60 100 
 M 70 80 150
 Total 110 140 250
Sorteia-se ao acaso um estudante da população de 250 alunos.
a) Qual é a probabilidade de ser mulher?
 Como o espaço amostral é composto de 250 alunos, dos quais apenas 150 satisfazem ao evento, então: P (M) = 150/250
b) Qual a probabilidade do aluno sorteado ser mulher, sabendo que ela estuda ETE? 
Nesse caso o espaço amostral ficou reduzido a 140 estudantes que estudam ETE, dos quais apenas 80 são mulheres, então: 
 80/250 P (M ( N)
P (M/N) = 80 /150 = = 
 150/250 P (N)
c) Qual a probabilidade do aluno sorteado ser homem, sabendo que ele estuda EIE?
10.11 Regra do Produto 
 Sejam A e B dois eventos quaisquer contidos em S, então: 
 P (A ( B) = P (B) ( P (A/B) ou P (A ( B) = P (A)( P (B/A)
Exemplo: Duas bolas são retiradas de uma urna que contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Qual a probabilidade de que ambas
a) Sejam verdes? b) Sejam brancas? c) Sejam da mesma cor?
a) P (V (V)= P(V) ( P(V/V) = 4/9( 3/8 = 1/6
 
b) 
c) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
10.12 Eventos Independentes
 Intuitivamente se A e B são independentes é porque: 
 
 P (A/B) = P (A) e P (B/A) = P (B)
Definição 
Dois eventos A e B são independentes se: P (A ( B) = P (A) ( P (B)
 
Exemplo: Lançam-se 3 moedas. Os eventos A e B são independentes? : 
A = Saída de cara na 1ª moeda
B = Saída de coroa na 2ª e 3ª moedas
E = {(c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c), (k,k c), (k,c,k), (c,k,k), (k,k,k)}
A = { } ( P(A) = 
B = { } ( P(B) = 
A ( B = { } ( P(A ( B) = 
P (A) . P (B) = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Conclusão: 
Importante
1 – Três eventos A, B, e C serão independentes, se todas as 4 proposições abaixo forem satisfeitas: 
 a) P (A (B (C) = P (A) . P (B) . P (C) 
b) P (A ( B) = P (A) . P (B) 
c) P (A ( C) = P (A) . P (C) 
d) P (B ( C) = P (B) . P (C)
2 – Se A e B são mutuamente exclusivos, então A e B são dependentes, pois se A ocorre, B não ocorre, isto é, a ocorrência de um evento condiciona a não-ocorrência do outro.
10.13 Teorema da Probabilidade Total
 Sejam A1, A2 , . . . , An eventos que formam uma partição do espaço amostral S. Seja B também um evento desse espaço, então:
 P (B) = ( P (Ai). P (B/Ai)
 A1 A2 
 A5 
 
 B