exerc interessante derivação implicita

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Exerc´ıcio Interessante sobre Derivac¸a˜o Impl´ıcita
Exerc´ıcio 1 Determine os pontos P sobre a curva C = {(x, y) ∈ R2, tal que x2 + xy + y2 − 3y = 9} nos
quais a reta tangente e´ horizontal.
Soluc¸a˜o:
Considerac¸o˜es iniciais
Observando a figura a seguir percebe-se facilmente que se a reta tangente a` curva e´ horizontal ela formara´
um aˆngulo θ = 0 com o eixo x. Logo, mT = tg(0) = 0. No caso de uma curva, mT =
dy
dx
, ou seja,
dy
dx
= 0.
Passos para soluc¸a˜o do exerc´ıcio
•Passo 1: Enconctrar dy
dx
(x, y) por meio de derivac¸a˜o impl´ıcita.
•Passo 2: Impor que dy
dx
(x, y) = 0.
•Passo 3: Substituir as informac¸o˜es obtidas no item anteriror na equac¸a˜o da curva.
Vamos iniciar encontrando
dy
dx
(x, y) por meio de derivac¸a˜o impl´ıcita.
Derivando ambos os lados da equac¸a˜o x2 + xy + y2 − 3y = 9 obtemos
x2 + xy + y2 − 3y = 9 Derivar ambos os lados da eq.============⇒ [x2 + xy + y2 − 3y]′ = [9]′ Regra da Soma======⇒
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