PUC Apostila SEP 1

Prévia do material em texto

1
SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA I - SEP I. PUC Minas - Enga. Elétrica. 
 
Resumo das matérias (ementa): 
 
 
•MATRIZ ENERGÉTICA BRASILEIRA 
•FONTES CONVENCIONAIS E NÃO CONVENCIONAIS DE ENERGIA ELÉTRICA 
•CONSERVAÇÃO DA ENERGIA E QUALIDADE (QEE) 
•NÍVEIS DE TRANSMISSÃO E PADRONIZAÇÃO 
 
•PARÂMETROS ELÉTRICOS DAS LINHAS DE TRANSMISSÃO: R, L, C, CORONA 
•RESISTÊNCIA E INDUTÂNCIA: R e L 
•CAPACITÂNCIA: C 
•EFEITO CORONA 
 
•CÁLCULO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO CURTAS, MÉDIAS E LONGAS 
•CONSTANTES GENERALIZADAS A, B, C, D 
•MODELAGEM DO SEP, VALORES p.u. 
•TRANSFORMAÇÃO DE COMPONENTES 0, 1, 2 
•CONSTRUÇÃO DAS REDES SEQUENCIAIS 0, 1, 2 
•FALTAS SIMÉTRICAS/ASSIMÉTRICAS: Trifásica, Fase-Fase, Fase-Terra, Fase-Fase-Terra 
•EQUAÇÕES MATRICIAIS PARA O CÁLCULO SISTEMÁTICO DE FALTAS 
•CÁLCULO MATRICIAL DE FALTAS, matriz Zbarra 
 
•CONCEITOS BÁSICOS E EQUAÇÕES PARA O CÁLCULO DE FLUXO DE CARGA (Gauss-
Seidel e Newton-Raphson) 
 
Bibliografia: 
 
Livro Texto: Stevenson, W.D. “Elementos de Análise de Sistemas de Potência”, 
McGraw-Hill, 2a. Edição em português, RJ, 1986. 
 
Elgerd, O . I., “Introdução à Teoria de Sistemas de Energia Elétrica”, McGraw-Hill, RJ, 1976. 
Gross, C. A ., “Power System Analysis”, John Wiley & Sons, NY,1979. 
Miller, T.J.E., “Reactive Power Control in Electric Systems”, Wiley Inter. Publ., NY, 1982. 
Glover, J. D. / Sarma M., “Power System Analysis and Design”, PWS Kent, Boston, 1987. 
Monticelli, A ., “Fluxo de Carga em Redes de E. Elétrica”, Cepel, Ed. E. Blücher, SP, 1983. 
Taylor, C. W., “Power System Voltage Stability”, McGraw-Hill, NY, 1994 
 
Avaliações: 
 
1o. TP: 10 pontos 
2o. TP: 15 pontos 
1a. Prova: 25 pontos 
2a. Prova: 25 pontos 
3a. Prova: 25 pontos 
 
Repositiva: 25 pontos 
Global: 100 pontos 
 2
I)-Introdução às Linhas de Transmissão: 
 
a-Influência do nível de tensão Vn e do cos  (f. de potência) no custo dos condutores de uma L.T.: 
 
 I 
 Vn Potência por fase fasekW
I
P V n /
1000
cos..  
 Carga 
 
-Perda por fase na L.T. fasekWp RI /
1000
2
 ou: 
 
fasekW
R
p
V
P
n
/
2.
..1000
cos2
2
 e, sendo: S
lR . (onde l = comprimento e S = seção do condutor) 
 







2.
1....
:,/,
2.
1..
:),,,(..
2..
...1000
/
2..
...1000
cos
cos
coscos
21
2
2
2
2
2
V
K
V
V
lP
V
P
n
n
nn
lScCusto
específicopesoematerialdokgcustocSe
KmaterialdevolumelS
definidoslpPcomTLumaPara
p
SefasekW
S
l
p



 
 
b-Escolha do nível da Tensão de Transmissão: (é uma questão ligada à capacidade de transmissão 
da L.T. e, principalmente econômica). Muitas vezes a escolha é feita pelo SIL (Surge Impedance 
Loading, a ser visto, junto com o cálculo dos parâmetros) da L.T., pela disponibilidade das subestações 
próximas e padronização dos níveis de tensão nas empresas. 
 
Fórmula empírica: 
)(
100
.61,05,5 StillPlV  onde: 
 
V tensão fase-fase em kV 
P potência máxima a transmitir em kW 
l comprimento em km (> 30 km) 
 
 3
Tensões Preferenciais: em kV, fase-fase: 
 
1050 (prevista) 750* 500* 440 345* 275 230* 161 138* 115 69* 34,5 22 13,8* 
(distribuição primária) *valores recomendados, no Brasil, para ampliação do SEP 
 
-As concessionárias procuram restringir o número de tensões adotadas em seus sistemas; 
 
-Outros fatores: experiência, similaridade de condições, acessibilidade das subestações, condições e 
expectativa de crescimento das cargas, previsão de interligações, operação dos sistemas, etc; 
 
-Quanto maior o nível de tensão de transmissão, menor o custo dos condutores. A partir de um certo 
valor de tensão, o custo das torres, isoladores, disjuntores, subestações sobe rapidamente, assim 
como os aspectos de segurança, principalmente dentro das cidades, etc... 
 
c-Escolha da Seção dos Condutores: 
 
-Segurança térmica; 
-Economia e retorno dos investimentos; 
-Perdas de potência de transmissão; 
-Quedas de tensão admissíveis; 
-Resistência mecânica. 
 
Projetos das Linhas de Distribuição e Transmissão: em geral, se iniciam pelo critério de “segurança 
térmica” e “perda de potência”. Em seguida são verificados os outros fatores. 
 
Projetos da Rede de Distribuição: em geral, se iniciam pela “segurança térmica” e cálculo das 
“quedas de tensão” (momento elétrico, ou estudos de fluxo de carga). 
 
d-Distância entre condutores (muito variável): 
 
 dh dh 
dh = 0,0538 x Vn metros dv = 0,0425 x Vn metros dv 
 
 dv 
Espaçamento equivalente em m: 
 
 
kV mínimo máximo 
69 1,52 5,50
138 3,70 6,10
230 5,20 11,40
345 9,00 15,00
 
 
PNB 181-Normas para apresentação de projetos para aprovação oficial 
 
PNB 182: Fixa princípios básicos...para projetos de linhas de transmissão e sub-transmissão: 
 
-Garante níveis mínimos de segurança para os empregados e público; 
 
 4
-Limita as perturbações em instalações próximas, principalmente nas de telecomunicação; 
 
-Fixa distâncias mínimas de partes vivas às partes aterradas dos suportes (condições de máximo 
deslocamento, para máximo vento, à temperatura + provável); 
 
-Travessias e Aproximações: -sobre linhas aéreas e de telecomunicações; vias de transporte, 
edificações; etc.; 
 
-Faixas de segurança; 
 
-Aproximação de aeroportos; 
 
-Sinais de advertência; 
 
-Estaiamento das estruturas; 
 
-Aterramento; 
 
-Divisão do país, em regimes de carga do vento; 
 
-Cabos condutores e pára-raios; 
 
-Isoladores, ferragens, cargas atuantes nas estruturas, fundações, torres (metálicas, de concreto 
armado, madeira). 
 
 
 
 -Verificar e se familiarizar com as Tabelas A1, A2 e A3 do livro texto: Stevenson, W.D., 
Elementos de Análise de Sistemas de Potência, 2a. Edição em Português, 4a. Edição 
Americana, McGraw-Hill, 1986, condutores CAA (ACSR). 
 
 
 
 
1 pé = 30,48 cm; 1 milha = 1609 m; 1 polegada = 2,54 cm; 
área de 1 CM (circular mill) = 0,00050670866 mm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5
 
II)- L.T. 3 de 3 Marias-MG: 345 kV (fase-fase) -Cabos Geminados, 2 x 795 MCM - 26/7-CAA 
(ACSR) 2 x Drake/fase 
 
 
 
 10,6m 10,6m d = 0,45 cm 
 
 
 d d d 
 
-Altura média dos condutores ao solo = 19,6 m (estrutura rígida). 
 
 
 
 
III)-Geração e Sistema de Transmissão de Itaipu: 
 
 
 
 Foz Ivaiporã Itaberá Tijuco Preto 
60 Hz 8 km 330 km 266 km 313 km 
 
 
 
 
 
 
 
 2 km 99km 
 Eletrosul 
 
 
 
 
50 Hz São Roque 
 
 
 
 750 kV – HVAC (3 LTs) 
ANDE 345 kV - HVAC 
(Paraguai) 500 kV - HVAC 
 600 kV – HVDC (2 Pólos) 
 
 
 
 
 
 
 
a b c
 6
IV)-Linha de Transmissão de Itaipu, HVAC - 750 kV: 
 
 
 Grandezas do projeto: 
-Velocidade do vento: 150 km/h; 170 km/h 
-Temperatura: 40 ºC, -50 ºC 
-Altitude: 1200 m (máxima.); 800 m (média) 
-Faixa de Passagem: 1 L.T.: 95 m; 2L.Ts.: 175 m –182 m 
-Distância entre faixas: 10 km 
-Torres: 80% estaiadas, 20% rígidas 
-Peso médio: Estaiadas: 9000 kg, rígidas: 14000 kg 
-Altura máxima das torres Estaiadas: 43,5 m; rígidas: 57,0 m 
-Vão médio: 460 m 
-Distância entre fases: Estaiadas: 15,15 m; rígidas: 14,3 m 
-Hmín.dos condutores ao solo:15,0 m 
-Condutores: Cabos geminados 1113 MCM - 45/7 CAA (ACSR) - 4 x Bluejay/fase 
-Cadeias: 35 isoladores 
-Pára-raios: 110,8 MCM-12/7 
 176,9 MCM-12/7 (subestações) 
 
 
 
 
 
V)-Linha de Transmissão de Itaipu, HVDC - + - 600 kV: 
 
 
 
-Velocidade do vento: 150 km/h; 
-Temperatura: 40 oC, - 5 oC 
-Altitude: 1000 m (máxima.); 800 m (média) 
-Faixa de Passagem: 1 L.T.: 72 m 
-Distância entrefaixas: 10 km 
-Torres: 83% estaiadas, 17% rígidas 
-Peso médio: Etaiadas: 5000 kg, rígidas: 9000 kg 
-Altura máxima das torres Estaiadas: 43,5 m; rígidas: 54,0 m 
-Vão médio: 450m 
-Distância entre pólos: 15,4 m (mínimo) 
-Hmín dos condutores ao solo:13,0 m 
-Condutores: Cabos geminados 1272 MCM - 45/7 CAA (ACSR) - 4 x Bittern/fase 
-Cadeias: 30 isoladores especiais para corrente contínua 
-Pára-raios: EHS -Aço galvanizado, 07 fios, 3/8 pol. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7
750 kV – ESTAIADA-HVAC Itaipu Binacional (os desenhos não estão em escala) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 04 Condutores/fase 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-Os estais aqui representados (estruturas estaiadas) são contra os esforços laterais (ventos). Os estais 
longitudinais são para segurar as estruturas, no caso de rompimento de 01 ou mais cabos. 
 
 
750 kV - RÍGIDA- HVAC Itaipu Binacional 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8
+ - 600 kV - ESTAIADA-HVDC Itaipu Binacional 
 
 
 
 
 
 
 04 condutores/pólo + _ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ - 600 kV – RÍGIDA – HVDC Itaipu Binacional 
 
 
 
 
 
 04 condutores/pólo + - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preparado por: Prof. Dr. José Celso Borges de Andrade: Disciplina: Sistemas Elétricos de Potência I - Curso de 
Engenharia Elétrica PUC Minas –/ 2009. 
 
 9
 
 
INTERLIGAÇÃO DOS SISTEMAS ISOLADOS AO SIN - SISTEMA 
INTERLIGADO NACIONAL (2008 - 2015 - 2030) 
 
 
 
 
VI) -Parâmetros das Linhas de Transmissão: 
 
A)-Resistência Elétrica R: 
 
S
l
x
S
l
xR 


1 onde:  = resistividade elétrica, ou resistência específica 
 l = comprimento 
 S = seção 
 depende de: a)-natureza do condutor (cobre, alumínio, etc.) 
 b)-temperatura 
 c)-pressão 
 d)-efeitos: pelicular, proximidade, espiralar. 
 
Os efeitos citados são de difícil modelagem. Em geral, as tabelas de condutores contemplam, 
diretamente, a natureza do condutor e temperatura, assim como os efeitos pelicular e espiralar, para 
a freqüência fundamental (f = 50 ou 60 Hz). As variações de proximidade, para distâncias de 
isolamento usuais (por exemplo, para os condutores de LTs aéreas de Alta Tensão) e da pressão, 
para pressões normais de trabalho, são secundárias e irrelevantes. 
 
Campos Magnéticos e Elétricos nas Linhas de Transmissão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B)-Indutância Elétrica L: 
 
Revisão de Eletromagnetismo Básico 
 
-Oersted: “Uma corrente elétrica produz efeitos magnéticos” 
 
Vetor B (Weber/m**2): O vetor densidade de fluxo magnético, que caracteriza um Campo 
Magnético - CM, é definido: 
 
-Seja um ponto P do espaço, em um CM. Uma carga elétrica q, passando por este ponto, com a 
velocidade v, sofre uma deflexão no seu deslocamento, devido ao CM presente. Existe uma direção 
para a qual a carga q não sofre deflexão. Esta é a direção do vetor B (densidade de fluxo magnético).
 
 
 
 B 
 F 
 
  v 
 P 
 
-Sentido do Vetor B: A deflexão na direção do deslocamento da carga q é devida a uma força F, tal 
que F é perpendicular simultaneamente a v e B. 
 
Regra da Mão Esquerda: V (dedo médio), F (polegar), B (indicador) 
 
Módulo de B: F  q .v sen   F = B q v sen   B = F / (q v sen ) 
 
Campo Magnético Uniforme: campo magnético onde B é constante. 
 
 B S  = Fluxo magnético = B. S. cos  
  
 N 
 
Faraday: “Se o fluxo magnético que envolve um circuito varia, o circuito será sede de uma f.e.m. 
igual, a cada instante, à taxa de variação do fluxo”. 
 
e =  / t = L  i/ t L, fator de proporcionalidade entre  e i. 
 
Lenz: “A direção da f.e.m. induzida é no sentido de produzir uma corrente cujo efeito é contrariar 
a causa que a originou”. 
 
Biot-Savart:“Um elemento l percorrido por uma corrente i cria, em um pt. qualquer, um B tal: 
 
 i 
 
 l  P 
 
 
1- B = (K i l sen)/r**2 
2- A direção de B é perpendicular ao plano determinado por l e P 
3- O sentido de B: regra da mão direita 
 
Fazendo K = /4 (MKS- racionalizado): -permeabilidade magnética do meio 
 
dl
i
B
r
 2
sen
4


 e, para um condutor retilíneo: a 
 P 
a
i
x
a
i
xB


2
2
4

 
 
Ampère: “A integral de linha do vetor indução magnética, ao longo de uma trajetória fechada, é 
igual a .i”. Fazendo a integral de B, ao longo da circunferência de raios r: 
 
 dl 
 r 
 B 
 
 Condutor 
 
idsBdsB  .
 
B é constante ao longo da trajetória, com centro no condutor. 
 
 
Campo Magnético -CM, H: 
 
Seja H = B/ 
  IdlH.
 I = corrente envolvida 
 
-CM e L devidos ao fluxo interno (enlace) em 1 condutor: 
 
 r 
 rr 
 dx 
 
 x 
 
 
 Hx 
 
dx
I
ddmWeberdxI
x
d
I
x
I
x
Ixdl
r
x
r
x
r
r
B
r
H
r
x
HIH xxxxx
.
2
./)1..(.
2
.
2
.
.
2
.2..
4
3
2
2
2
222
2










 
 
1,4/.
2
1
/.
28
.
2
1010
10
77
int
7
0 4
3
int





relativadadepermeabilixmHenry
moconcatenadWeber
II
dx
I
L
r
xr





 
-Indutância devido ao fluxo externo (entre pontos P1 e P2): 
 
 P1 (D1) I é a corrente no condutor. 
 
 P1 
 
 P2 (D2) 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
mHenryx
I
dx
x
I
dx
x
I
d
x
I
x
I
Ix
D
D
lL
D
D
l
BHH
nn
D
D
xxx
/.2
2
.
2
.
1..
2
.
,
2
.
2
2.
1
27
12
1
2
2
!12 10



 







 
 
 
Indutância de uma L.T. Monofásica: 
 
 r1 D r2 
 
 D-r2 D+r2 
 
 I -I 
Linhas de C. Magnético que enlaçam I = 0 não produzem enlace de fluxo 
 
)2(..4)(/..2
.2
:log
mod.
.2
.
.2/)
4
1
(2
/
2
1
/2
,
7
,
7
21
,,
2
,
1,
2
7
2
4
1
1
,
1
,
1
7
1
4
1
1
7
1
7
1
7
int1
1
7
1
1010
10
101010
1010
condutorespara
D
LecondutorpormH
D
see
D
x
amenteana
ificadoraiodechamadoé
D
x
D
xmH
D
x
mHmH
D
x
r
l
r
lLL
rrr
r
lL
err
r
lL
er
l
r
lL
L
r
lL
nn
n
nnn
next













 
 
-Fluxo concatenado (ligações de fluxo) com um condutor, em um grupo de n 
condutores: 
 
 
 
 
 
 P 
 
 
 
 
 
 
].........[2
212
2
113
3
1
12
2
2,
1
1
1
7
1
12
2
2
7
21
,
1
1
1
7
11
10
10
10
D
D
lI
D
D
lI
D
D
lI
r
D
lI
D
D
lI
r
D
lI
n
nP
nn
P
n
P
n
P
nP
P
nP
P
nP
x
porproduzidocomfluxodeenlacex
x









 
]...[2]
1
...
11
[2
2211
7
112
2,
1
1
7
1 1010 DlIDlIDlID
lI
D
lI
r
lI nPnnPnPn
n
nnnnP
xx 
 
 
Sabendo que: I1 + I2 + I3 + ....+ In = 0  In = -(I1 + I2 + I3 +...In-1) 
 
3 
 
 
2 
 
1 r1 
 
n 
]...[2]
1
...
1
[2 21
17
1
,
1
1
7
1 1010 D
D
lI
D
D
lI
D
lI
r
lI
nP
P
nn
nP
P
n
n
nnnP
xx 
 
 
Para D1P, D2P……DnP   
 
]
1
...........
11
[2
112
2,
1
1
7
1 10 D
lI
D
lI
r
lI
n
nnnn
x 
 Weber concatenado / m 
 
Indutância de LTs com condutores compostos: 
 
 a´ 
a b´ 
 b 
 c´ 
 c 
 n m d´ 
 
 Condutor X Condutor Y 
LL
D
D
lL
DDDDDDDDD
DDDDDDDD
l
LLLL
L
LLL
L
LL
DDDr
DDD
lI
D
l
D
l
D
l
D
l
D
l
r
l
YX
s
m
nX
nnnbnabnbbbaanabaa
mxn
nmnbnabmbbamabaa
n
nbaav
X
nba
av
b
b
a
a
n
anacaba
m
amabaa
na
am
n
ab
n
aa
n
an
n
ab
n
a
na
LmH
n
x
nn
fiopormédiovalor
n
etc
n
I
n
I
m
I
n
I












...................................../..2
)...)...(....)(...(
)...).....).(...
.2
....
)(
....
.;
.........
...........
..2
]
1
...
11
[.2]
1
......
11
[.2
10
((
10
10
1010
7
´´´´´7
2
,
´´7
´´
7
,
7
2



 
 
 
 
 
VII) LTs Trifásicas com espaçamento eqüilateral: 
 
 b 
 
 D D Ia + Ib + Ic = 0 
 
 
a c 
 D 
 
mf
mH
r
D
x
Dr
x
do
DcDr
x
LX
lLlIlI
IIIlIlIlI
aa
nananaa
cbannbnaa
/.2
/
´
.2]
1
´
1
[2
)(:sen]
11
´
1
[2
1010
10
77
7








 
 
 
Indutância das LTs Trifásicas com espaçamento não-equilateral: 
 
 b 
a A L.T. é desequilibrada 
 
 c 
 
 
 
Transposição para equilibrar as LTs desequilibradas: 
 
 
 a c b 
Posição1 
 
 
 b a c 
Posição 2 
 c b a 
Posição 3 
 Transposição1 Transposição2 
 
 
 
 
 
 
Indutância / fase de uma LT trifásica transposta: 
 
mHxmH
r
x
r
x
r
x
Como
r
x
av
r
x
r
x
r
x
D
D
lL
D
lL
DDD
lI
DDD
lIlI
III
DDD
lI
DDD
lIlI
D
lI
D
lIlI
D
lI
D
lIlI
D
lI
D
lIlI
s
m
na
eq
na
nananaa
cba
ncnbna
aaa
a
ncnbnaa
ncnbnaa
ncnbnaa
/.2/
´
.2
´
..
.2]
..
1
´
1
3[
3
2
)(
]
..
1
..
1
´
1
3[
3
2
3
]
11
´
1
[2
]
11
´
1
[2
]
11
´
1
[2
1010
10
10
10
10
10
10
77
3
3123127
312312
7
312312312312
7
321
3213
7
3
1223
7
2
1312
7
1






















 
 
milhafmfLf
D
D
l
D
D
lX
s
m
n
s
m
nL
/..022,2/.2.2.2 1010
37

 
 
 
Outras denominações para Dm e Ds: 
 
Dm = Deq = DMG (Distância Média Geométrica) 
 
Ds = RMG (Raio Médio Geométrico) 
 
 
Para o Uso das Tabelas A .1 e A .2 (págs. 447 e 448) do livro texto, deve-se lembrar que: 
 
 
)(
)1(
/..022,2
1
..022,2/..022,2 101010
333
indutivareatânciadaoespaçamentdefator
oespaçamentdepéparaindutivareatância
milhaffmilhaf
x
xX
Dl
D
l
D
D
lX
d
aL
mn
s
n
s
m
nL




 
 
 
-Estudar o exemplo 3.4, pág. 63 do Livro Texto. 
 
L.T. de Circuito Duplo: 
a a´ c c´ b b´ 
 
b b´ a a´ c c´ 
c c´ b b´ a a´ 
 
Posição 1 Posição 2 Posição 3 
 
a h c´ c b´ b a´ Opção preferencial: maior Ds ou menor 
 g 
b d f b´ a a´ c c´ L/fase. 
c a´ b c´ a b´ 
 
Posição 1 Posição 2 Posição 3 
 
Para todas as posições: 
 
 
 
hgdDDD
D
D
DDDDD
eqmca
bc
ab
cabcabeqm
hdhdhd
posiçãonagdgdgd
gdgdgd
do
6
1
3
1
2
1
6
1
4
4
4
3
....2.2..2
1....
....
:sen..
2



 
 
 
 
 
mH
f
g
r
d
xxL
r
posiçãonafrfrfr
posiçãonahrhrhr
posiçãonafrfrfr
l
D
D
l
hfDDDD
D
D
D
n
s
m
n
ssss
s
s
s
/]).()
´
(.[22
..´)(..
3´.´..´.
2´.´..´.
1´.´..´
3
1
2
1
6
1
77
6
1
3
1
2
1
3
321
4
3
4
2
4
1
21010






 
 
 
 
 
 
Exercícios: calcular XL/ km para as LTs: 
 
 
L.T. com 02 Cabos geminados/fase: 2 x 795MCM (45/7)-TERN-345 kV 
 
 
 
 10,6 m 10,6m 
 
 d = 45cm d = 45cm d = 45cm 
 
 
 
 
 
L.T.com 03 Cabos geminados/fase: 500 kV 
 
 
 
 D = 12 m D = 12 m 
 
 
 d = 50 cm 
 
 
 a b c 
 
 
 
 
L.T. com 4 Cabos geminados/fase: 750 kV 
 
 d 
 
 
 d 
 
 
 
 D = 15,5 m D = 15,5 m 
 
 a b c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VIII)-Capacitância das LT: 
 + + + 
 
 q + 
+ 
 
 
 + + + 
 
 
ocomprimentdemetroumemmcoulombs
x
q
D ,/
)1.2(
2
 
 
Intensidade do Campo Elétrico: 
 
)(/85,8;
.2
10
12
unitáriadadePermissivimfaradsxk
kx
q 
 
 
 
 
 D1 
 
 
 
 
 
 
 D2 
 
 
 
 
volts
k
qD
D
dx
kx
qD
D
dx
D
Dl
n
1
2
12 .2
.
.2
.
2
1
2
1    
 
 
Capacitância de uma L.T. Monofásica: 
 
 
qa qb 
 D 
ra rb 
 
 
mfarads
r
k
paraemfarads
k
kD
D
k
Como
Dk
D
k
D
k
D
k
D
l
Crr
rr
D
l
q
C
rr
D
l
qr
l
r
l
q
qq
r
l
q
r
l
q
qq
r
l
q
r
l
q
n
abba
ba
n
ab
a
ab
ba
n
ab
n
a
n
a
ab
ab
b
n
b
a
n
a
babaab
b
n
b
ba
a
n
a
ab
/
.
.
:,/
.
.
.2
.
.
.2
][
.2
:
.2.2
)()(
.2
;
.2
2
2













 
 a Cab b 
 
ou: 
 
 2Cab n 2Cab 
a b 
 
 
mfarads
r
k
D
l
C
n
n
/
.
.2

 
 
xxX
llX
lX
llX
dac
nnc
nc
nnc
HzneutrooparamilhaDx
r
x
Hzneutrooparamilha
r
D
x
Hzneutrooparakm
r
D
xm
r
D
x
ffC




)60(.965,2
1
965,2
)60(.965,2
)60(,.77,4.
862,2
2
1
1010
10
1010
44
4
49

 
 
IX) Capacitância para L.T. Trifásica, eqüilátera: 
 
 
 
 D D 
 
 D 
 
neutrooparamilhaf
r
D
neutrooparamfarads
r
D
k
r
D
k
volts
r
D
k
volts
Dr
r
D
k
volts
D
r
D
D
r
D
k
volts
D
D
D
r
r
D
k
deefeito
D
D
eedeefeitosvolts
D
r
r
D
k
l
Cl
q
V
Vl
q
qqq
lqqlq
lqlqlq
lqlqlq
qlqqqlqlq
n
nn
a
an
ann
a
acab
acb
ncbnaacab
ncnbnaac
ncnbnaab
cncabbanbnaab
/
log
0388,0
/
2
2
3
2
3
))(2(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)()()(
2
1




















 
 b 
 
 3Van Vbn 
 Vab 
 Van Vcn 
 
 a Vca c 
 
 
Capacitância para L.T. Assimétrica: 
 
 
3
312312
..:/
).(
2
DDDD
l
C eq
n
n
ondemfarads
r
Deq
k

 
 
NOTA:-As fórmulas de XL e XC incluem Dm e Ds. No cálculo das indutâncias e 
capacitâncias, Dm = Deq = DMG têm o mesmo valor. Ds, no entanto é diferente. Para as 
indutâncias usa-se r´ = raio, raio de um condutor fictício, sem fluxo interno, com a mesma 
indutância interna de um condutor real de raio r. Para as capacitâncias usa-se o raio externo 
do condutor, já que a carga q do condutor fica na superfície. 
Efeito da Superfície da Terra sobre a Capacitância das LT: pág 85, 
Stevenson 
 
 
 
 
 
 2 qb 
 D12 D23 
 1 
 D31 H23 
 qa 
 H31 
 H1 H2 3 
 qc 
 H12 
 
 H12 H3 
 H23 
-qc 
 H31 
 
-qa 
 
 
 
 -qb 
 
 
 
 
 
mfarads
r
k
HHHHHHl
D
l
C
n
eq
n
n
/
)../..(
2
3
321
3
312312


 
 
 
-O efeito da terra é o de aumentar a capacitância da L.T.: 
 
-Normalmente, as distâncias diagonais, do numerador do termo de correção, são 
aproximadamente iguais aos termos verticais (distâncias entre os condutores e suas 
imagens) e, assim a correção é pequena. O efeito da terra é usualmente desprezado. 
 
 
 
 
Potência e Energia: 
 
-É quase sempre possível se transformar as formas “primitivas” de energia da 
natureza em energia elétrica, transmiti - la ao usuário e transformá - la em 
formas úteis. 
p = dw/dt Watts, potência em um dado instante 
•kW, MW, GW 
 
w =  p dt (energia em um intervalo de to a t) em watts-segundo 
•kWh, MWh, GWh 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vector de Poynting 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmula fundamental de p, lei física elementar: 
p = v. i Watts; 
P = E x H (intensidade do campo elétrico em V/m e intensidade do campo magnético 
em A/m); 
 
-A energia eletromagnética movimenta-se numa direção e num sentido coincidentes 
com os de P; 
-E e H se situam em um plano perpendicular aos condutores, P será paralelo aos 
condutores; 
 
-O fluxo de energia elétrica, pela física moderna, é por fora dos condutores; 
v (diferença de potencial) 
i (corrente) 
Fluxo de energia 
Geração Carga 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 -Qual é o circuito  nominal de uma L.T., trifásica, de 138 kV (fase-fase), de 
condutores 266,8 MCM, CAA, 26/7, Partridge, f = 60 Hz, t = 50o C, comprimento 75 km ? 
D ab = 4,0 m; D bc = 5,0 m; D ca = 5,0 m a 
 c 
Solução: 
 b 
pésmxxDMG DDD cabcab 23,1564,40,50,50,4.. 33 
 
 
Da Tabela A 1, pág. 447 do Stevenson: 
P 
E 
H 
- 
+ 
 
RMG = Ds = 0, 0217 pés; R = 0,3792  / milha 
 
-Cálculo da Resistência da L.T.: 
 
R = 0,3792 x 75 / 1,609 = 17,67  
 
-Cálculo da Reatância Indutiva X l da L.T.: 
 



06,372
31,9875000;/311,1
0217,0
23,15
ln0,2 101010
367
fL
HxxLLmetroHenrysxxxL
X L
total

 
 -Cálculo da Reatância capacitiva X c da L.T.: 
 
Xc = Xa + Xd = 0,1074 (tabela A .1) + 0,0807 (tabela A.3 -pág. 449) do Stevenson: 
 
75 km = 46,60 milhas 
 
Xc = 0,188100M milha, ou Xc = 188100 / 46,60 = 4038,5  
 
 
Circuito  nominal: 
 
 17,67 + j 37,06  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 -j 8077  -j 8077 
 
Exemplo de Cálculo de Parâmetros: 1)-Calcular os parâmetros R , Xl e Xc de uma L.T.3, 60 
Hz, transposta, condutores Drake-795 MCM-26/7, (exemplo 3.4, pág. 63, do Stevenson-2a. Ed., 
1986). Usar as fórmulas e, também, as tabelas A1, A2 e A3: O comprimento da L.T. não foi dado. 
 a 
 20´ 20´ 
 38´ 
 b c 
 
a)-Resistência R, para 60 Hz: Pela tabela A1, pág. 447, a 50oC, R = 0,1284 / milha 
 
 
b)-Cálculo da reatância XL, para 60 Hz: 
 
b1)-Fórmula Geral para L : 
mHxL
D
D
l
s
eq
n
/.2 10
7

 
 
Cálculo da distância equivalente: 
pésDMG DDDD cabcabeq 8,2438.20.20..
33 
 
 
Cálculo de Ds: (ver diretamente na tabela A1): Ds = RMG = 0,0373 pés 
 
fasepormilhaxLf
mHxxmHxL
X
l
D
D
l
L
n
s
eq
n
/788,01609.00,13.60..2..2
/00,13
0373,0
8,24
.2/.2
10
101010
7
777





 
 
 
b2)-Cálculo de XL, em  por fase por milha, usando-se as tabelas A1 e A2: 
 
).int(8,24,
./788,0)2.(389,0)1.(399,0
)(...022,2
1
...022,2 1010
33
erpolaçãocompéscasonoeequivalentdistânciadaecondutordobitoladadepende
fasepormilhaAtabAtab
deoespaçamentdefatorff
XX
XXXDl
D
lX
da
Ldaeqn
s
nL



 
c)-Cálculo da Reatância XC, para 60 Hz: 
 
-raio externo do condutor r = 1,108 pol/ (2 x 12) = 0,0462 pés, com: Deq = 24,8 pés 
 
c1)-Fórmula Geral para Cn: 
neutrooparamF
r
k
D
l
C
eq
n
n
/
2

 
neutrooparamilhax
xx
mFx
X
l
C
C
n
n
.1864,0
16098466,860.2
/8466,8
0462,0
8,24
.85,8.2
10
10
10
10
6
12
12
12






 
 
 
c2)-Cálculo, usando-se as tabelas A1, A2, A3: 
 
 
neutrooparamilhaxAtabxAtabx
capacitivareatânciadaoespaçamentdefator
X
XXX
C
daC
.1865,0)3.(0953,0)1.(0912,0
)(
101010
´´
666


 
 
d)- Admitindo-se a L.T., com comprimento de l = 175 milhas, calcular: R total, XL total e XC total 
para neutro, e a corrente de carregamento potência da potência Q (capacitiva) correspondente, sendo 
V = 220 kV. 
 
R total: = 0,1284 x 175 = 22, 47  
 
XL total: = 0,788 x 175 = 137,9  
 
XC total = 
10
6
1865,0 x
/175 = 1066  para o neutro 
 
Icarregamento: = V/XC = (220000/3)/(1066)  119, 0 ampères. 
 
Qcarregamento: = 3 .220. 119,0 = 45291 kVAr = 45,3 MVAr 
 
Para 02 cabos geminados/fase: 
 
R = Rcabo/2; 
Para XL: 
2
´..´.´.4
xX
XXD
da
dLs
oudrddrr


 
Xd (fator de espaçamento da reatância indutiva, referente à DMG), Xa depende do raio modificado 
do condutor e xd, fator de espaçamento da reatância indutiva, para a distância d entre os 02 cabos 
geminados da mesma fase. Para XC, Ds vira 
dr.
, isto é, usa-se r externo em vez de r´. 
 
Para 03 cabos geminados /fase: 
Para XL: 
3
.2
... :´ 3
2,9
63 xX
XXdrdrD
da
dLs


 
-Procurar, no texto, exemplos de LTs. com circuito duplo, 04 cabos geminados por fase, etc. 
Preparado por: Prof. Dr. José Celso B. de Andrade: S E P I - Engenharia Elétrica PUCMinas –/ 2009. 
 
XI)-LTs Curtas, Médias e Longas, Representação e Cálculo: 
 
a)-Para LTs curtas ( l < 80 km): Xc  , ou admitância paralela Yc  0: 
 Z = R + j X 
 IS IR 
 
 VS VR Carga 
 
 
 
IIIVV RSRRS Z  ;.
 
 
 
 cos  R, indutivo Vs cos  R = 1 Vs 
 Vs j XIR j XIR 
   
 R VR IR VR RIR 
 
 IR 
  R: ângulo entre VR e IR 
 : ângulo entre Vs e VR 
 
 IR Vs 
 j XIR cos R, capacitivo 
 R  
 VR RIR 
 
Ss = 3.Vs Is* 
 
Diagramas para L.T. curta: cargas de cos R indutivo, cos R=1 e, cos R 
capacitiva. 
 
Exemplo1 -Um barramento 3 de 138 kV () alimenta, simultaneamente, com VR = nominal, 
através de uma L.T. de Z = 4 + j 10 , equilibrada, as cargas 3s seguintes: 
 
 5,0 MW, cos  = 1,0 L.T. 
 2,0 MW, cos = 0,95 indutivo 
 3,5 MW, cos  = 0,95 capacitivo VS VR 
 
-Calcular VS, IS, SS = Ps + j Qs, na extremidade fonte, usando valores dimensionais. 
 
Solução: 
Carga 1: 5,0 /0o MVA 
Carga 2: 2,1 /18,2º MVA 
Carga 3: 3,68/-18,2º MVA 
Carga total SR: 10,50/-2,6º MVA; Como SR = 3.V(-) I*  
 
0
0
0/138.3
6,2/5,10
RI
 = 43,9 /2,6o A Na L.T. curta: Is = IR 
 
Cálculo de Vs = Vr + Z IR: Vs = 79,7/0o + (4+j 10). 43,9 /2,6o = 79,857/0,3o kV 
 
Cálculo de Ss = 3Vs.Is /0,3o –2,6o MVA = 10,517 /-2,3 MVA = 10,508 - j 0,422 MVA 
 
-Ver diagramas fasorias para L.T.s Curtas 
 
 
b)-Para LTs Médias ( 80km< l< 240 km), a admitância paralela é considerada: 
 
 IS Z = R + jX IR 
 
 
 VS Y/2 Y/2 VR Carga 
 
 
IVIIZVV RRSRRS
ZYZY
Y
ZY
)1
2
()
4
1()1
2
( 
 
Diagrama fasorial (passo a passo): Vs 
cos R, indutivo Is 
 s 
ILT = IR + IC1  
Vs = VR + ZILT Ic2 jXILT 
Is = ILT + Ic2 R ILT VR RILT 
Ss = 3.Vs Is* IR Ic1 
 
 
-Examinar o diagrama fasorial para L.T. média e procurar justificar cada fasor. 
 
 
Exemplo 2 -Cálculo de L.T. Média (modelo ): “método passo a passo” 
 
-Calcular a tensão em SJ e ITU, sabendo que: VNL = 138 kV: calcular S (3) e cos  em ITU: 
 
 8,41 +j 21,9  28,9 +j 75,3  
IITU SJ INL 
 
ITU NL 
 
-j 13800  -j13800 -j4010 -j4010 
 
 
 
 
 
SNL = 20040 kW, cos =1 
 
SSJ = 2400 kW, cos =0,8 ind. 
 
-As LTs são equilibradas. O diagrama de impedância equivalente é como na figura e é desenhado só 
para uma fase. 
 
Solução: 
 
a)-Linha de Transmissão NL  SJ 
 
A
Aj
Aj
V
IV
III
I
S
IS
capNLLT
cap
NL
NLNL
0
1
0
0
1
0
0
0
*
3,1308,86
89,190
904010
3/0138000
075,83
0138.3
020040
*0.3
*;..3











 
 
 
Queda de Tensão na L.T: 
 
 
kVV
V
VV NLSJ
0
000
595,80
3,823,69553,1308,86.698,80


 
 
 
b)-Subestação de SJ: 
 
53,648,10
.3
96,2527,2
9587,5
9013800
580950
9519,20
904010
580950
*
*
arg
0
0
0
3
0
0
0
2
j
Aj
V
S
I
I
X
V
I
X
V
I
SJ
SJ
aSJc
totalcap
C
SJ
cap
C
SJ
cap










 
 
c)-Linha de Transmissão SJ  ITU 
 
ILT = (83,75 + j 19,89) + (10,48 – j 6,53) + (-2,27 + j 25,96) = 100 /23,1 
 
Queda de tensão na L.T.: 
 
 V = 23,5 /69o . 100/23,1o = 2350 /92,1o = -86,1 + j 2348 Volts 
 
VIT = VSJ +  V = 81,2 /6,6 kV VIT(-) = 140,48 /6,6 kV 
 
d)-Subestação de ITU: 
 
 
941,0,,7,199,24822
,7,193,82743,269,101.6,62,81.
3,269,101
89,1562,06,9689,5
908,13
6,62,81
0
000*
0
4
0
0
4







potênciadefatorcomtrifásicokVAS
faseporkVAIVS
A
III
I
capLTIT
ocap
 
 
c)-LTs Longas (> 240 km): são consideradas de parâmetros distribuídos e levam à sua 
formulação, através de equações diferenciais: 
 IS I +  I I IR 
 
 
 
 VS V+V V VR Carga 
 
 x x 
z = impedância série/unidade de comprimento; y = admitância paralela/unidade de comprimento: 
 
V+V-(I + I).z.x –V=0V=I.z.x+I.z.x  I.z.x; V/x =I.z; limV/x(x0)=dV/dx = I.z 
analogamente: I+I = (V+V).y. x+I; I V.y.x; I/x = Vy; limI/x(x0) = dI/dx = Vy
 
 
eA
yz
eA
yz
eAeA
x
d
x
d
x
d
x
d
xzyxzy
I
zI
dx
dV
comoxzyxzyV
SoluçãoIzy
d
I
eVzy
d
V
formadatesconsescoeficientdeordemadelinearesisdiferenciaequações
Izy
d
I
eVzy
d
V
..
2
..
1
.:..
2
..
1
:0..0..
:,tan,.2
..,..
.
/
1
..
/
1
..
2
2
2
2
2
2
2
2





 
para x = 0: V = VR; I = IR e: 
 
).().(tan,.
..,/
.
2
/
.
2
/
.
2
.
.
2
.
:
2
;
2
.
2
.
1
fasedeconstjatenuaçãodeconstpropagaçãodeteconsaéyz
TLdaticacaracterísimpedânciaaéyz
I
V
entãoCRR
Z
e
IZV
e
IZV
e
ZIV
e
ZIV
ZIV
A
ZIV
A
C
xRCRxRcR
xCRRxCRR
CRR



















 
 
 Assim: 
 
ee
IZV
ee
IZV
ee
ZIV
ee
ZIV
xjxRCRxjxRCR
xjxCRRxjxCRR
I
V
...
....
..
2
/
..
2
/
..
2
.
..
2
.












 
 -Os termos em .x variam em magnitude, conforme o valor de x 
-Os termos em .x têm magnitude 1, pois são iguais a 1 (cos.x + jsen.x ) e causam um 
deslocamento de fase de  radianos por unidade de comprimento: 
ee
ZIV xjxCRR .. ..
2
. 
 aumenta em magnitude e fase com x  “Onda Incidente” 
 
ee
ZIV xjxCRR .. ..
2
.   diminui em magnitude e fase com x  “Onda Refletida” 
 -Em qualquer ponto da L.T., V é resultante das duas ondas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onda Refletida-OR 
Resultante-R 
 
 l 
 
Onda Incidente-OI 
 
 l 
 
-A uma distância x da receptora, OI e OR se compõem dando o valor resultante R ; 
 
-A ¼ de comprimento de onda, OI e OR estão em oposição de fase, podendo dar um valor de 
R muito pequeno ; 
 
-Para ½ comprimento de onda, OI e OR estarão em fase, podendo dar um valor R bastante 
elevado ; 
 
-Então para LTs longas de comprimentos > 1000 km, podem existir problemas de operação, 
por haver valores de V, por exemplo, bem inferiores ao valor nominal, ou muito superiores. 
 
-Se uma L.T. for conectada à sua impedância característica ZC, VR será igual a IR.ZC. Não haverá 
“onda refletida”. Ela é chamada de L.T. plana ou infinita. Em SEP, ZC é chamada de impedância 
de surto. O termo é usado para L.T.s sem perdas. Neste caso, a ZC da L.T. se reduz a  (L/C), 
resistência pura. A impedância de surto é importante para estudos de surtos atmosféricos. 
 
-O carregamento de uma L.T. por ZC (SIL) é a potência fornecida por uma L.T. a uma carga 
resistiva pura, igual à sua impedância de surto. Então: 
 
MWatts
CL
SIL
kVemcomwatts
CL
SILampères
CL
V
V
V
V
V
I
L
L
L
L
L
L
/
:
/.3
.3
/.3
2


 
 -Comprimentode onda  é a distância entre 02 pontos da L.T., correspondente a um ângulo 
de fase de 360o, ou 2 radianos. Se  é o defasamento em radianos/km, o comprimento de onda em 
km é:  = 2/. A uma freqüência de 60 Hz,   4800 km., A velocidade de propagação da onda, 
em km/s, é de v = f. . Se IR = 0, linha a vazio, as ondas “incidente e refletida” da corrente se 
cancelam na receptora. 
 
Formas Hiperbólicas das Equações das L.T. Longas: 
 
 
 
llhllh
tambémellhllh
IeVlxpara
xxhIxxhV
entãoheh
Z
V
IIZIVV
Z
V
IIZIVV
IV
Z
V
IZIV
eeee
C
S
SRCSSR
C
R
RSCRRS
SS
C
R
RCRR





senhcossenhcos
:,senhcossenhcos
:
senhcossenhcos
:
2
cos
2
sen









 
 
 
XII)-Constantes Generalizadas das L.Ts: 
 
-De uma maneira geral pode-se escrever, para as L.T. longas: 
 
IVIIVV RRSRRS DCeBA .... 
 onde: 
 
mhosemCeeméBensionasasãoDeA
lhDlClBlh
Z
ZA
C
C
,,:dim
cossenh
1
senhcos

  
 
-Para as L.T. médias (circuito nominal ): 
 
)
4
1(;;1
2
ZY
YCZBD
ZY
A 
 
 
-Para as L.T. Curtas, as constantes generalizadas A, B, C e D são: 
 
A = 1; B = Z; C = 0; D = 1 
 
Significado Físico das Constantes A, B, C e D: 
 
Se na equação de VS, IR = 0, ou VR = 0: 
A = VS/VR (adimensional), receptora a vazio; B = VS/IR (impedância), quando a receptora está em curto. C = 
IS/VR, (admitância) com a receptora a vazio; D = Is/IR (adimensional), com a receptora em curto circuito. 
 
100
/
100%Re
,
,
,
,,
x
A
xemgulação
V
VV
V
VV
FLR
FLRS
FLR
FLRNLR




 
 
Circuito Equivalente de uma L.T. Longa: dedução 
 
-Muitas vezes é necessário se achar o circuito  equivalente de uma L.T. Longa, a exemplo do que 
foi feito para a L.T. Média: 
 
Então, escrevendo-se a equação de VS para uma L.T. Média, ( nominal), agora para uma L.T. 
Longa ( equivalente), tem-se: 
 
 
2/
2/tanh
.
22
tanh
1
senh
1cosh1
2
cosh1
2
senh
..
senh
.senhsenh
´)1
2
(
´´´
´
´´
l
lYll
oul
YZ
l
l
Z
lyz
l
lzl
y
z
l
YZ
ZZ
Y
ZZ
IZVV
CC
C
R
RS











 
 
l
l
Z

senh
 
 IS IR 
 
 
 VS 
2/
2/tanh
.
2 l
lY


 
2/
2/tanh
.
2 l
lY


 VR 
 
 
XIII)-Recomendações sobre a variação dos níveis de tensão nas L.T.: 
a)-Valores máximos e mínimos de V 
V (kV) Vmáx. 
(kV) 
Vmín. 
(kV) 
69.0 72,5 65,6 
138,0 145,0 131,0 
345,0 362,0 328,0 
500,0 550,0 500,0 
750,0 787,0 715,0 
 
b)-Evitar transporte de potencias reativas de Q, a longas distâncias: 
-QG, reativo gerado em uma L.T., de reatância paralela Xc: 
X
VQ
c
G
2

 
-QA, reativo absorvido na L.T., função da reatância série XL: 
IQ XA
2
.
 
)0(..,..:
2
2
2
2
 RperdassemTLumapara
C
L
I
V
Para ZXX
I
V
IX
X
VQQ CcLL
C
AG
 
-Uma L.T. que alimenta uma carga compensada e de resistência equivalente  Zc, trabalha com cos 
 1,0, não transportando nenhuma potência reativa, nem precisando de compensação. 
Então: 
Z
V
Z
P
cc
SIL
V
V
2
3/
..3 
 
 
 
 
 Q 
 
 
 Região de QA < QG Região de QA > QG 
 
 V=+5% 
 200 400 600 P (MW) 
 
 V= -5% 
 L.T. Pimenta-Taquaril: 345 kV 
 P = SIL 
 
 
XIV) Parâmetros Típicos e SIL de LTs Aéreas e de Cabos Isolados: os valores 
das tabelas sofrem variações, em função dos projetos específicos. 
 
Características 230 kV 345 kV 500 kV 765 kV 1100 kV 
R (/km) 
xL (/km) 
bC=wC (s/km) 
0,050 
0,488 
3,371 
0,037 
0,367 
4,518 
0,028 
0,325 
5,200 
0,012 
0,329 
4,978 
0,005 
0,292 
5,544 
 (nepers/km) 
 (rad./km) 
0,000067 
0,00128 
0,000066 
0,00129 
0,000057 
0,00130 
0,000025 
0,00128 
0,000012 
0,00127 
Zc () 380 285 250 257 230 
SIL (MW) 140 420 1000 2280 5260 
MVAr/km 0,18 0,54 1,30 2,92 6,71 
 Outros valores para o SIL: 69 kV-13 MW; 138 kV-52 MW. Parâmetros Típicos de LTs Aéreas 
 
 
Caraterísticas 115 kV 115 kV 230 kV 230 kV 500 kV 
Cable Type PILC PIPE PILC PIPE PILC 
R (/km) 
xL (/km) 
bC=wC (s/km) 
0,0590 
0,3026 
230,4 
0,0379 
0,1312 
160,8 
0,0277 
0,03388 
245,6 
0,0434 
0,2052 
298,8 
0,0128 
0,2454 
96,5 
 (nepers/km) 
 (rad./km) 
0,00081 
0,00839 
0,000656 
0,00464 
0,000372 
0,00913 
0,000824 
0,00787 
0,000127 
0,00487 
Zc () 36,2 28,5 37,1 26,2 50,4 
SIL (MW) 365 464 1426 2019 4960 
MVAr/km 3,05 2,13 13,0 15,8 24,1 
 
 Parâmetros Típicos de Cabos: -PILC: Paper Insulated Lead Covered 
 -PIPE: High Pressure Pipe Type 
 
Preparado por: Prof. Dr. José Celso Borges de Andrade: Disciplina: Sistemas Elétricos de Potência I - Curso de 
Engenharia Elétrica PUC Minas –/2009. 
 
X)-O Efeito Corona: 
 
 Os corpos chamados condutores possuem elevado número de elétrons livres. O ar, 
considerado dielétrico, não os deveria possuir. Na realidade, existem sempre alguns elétrons 
livres no ar e, também, íons positivos, produzidos por ações várias. Quando existe um campo 
elétrico, os elétrons livres se põem em movimento, com força atuante proporcional ao gradiente 
de potencial. Havendo íons positivos eles se movimentam em sentido oposto. 
 
 As partículas em movimento colidem com as moléculas dos gases presentes. Atingida 
uma certa energia cinética suficiente, arrancam-lhes elétrons que dão origem a outros tantos íons. 
O fenômeno é cumulativo e o ambiente gasoso fica altamente ionizado. Uma parte da corrente 
pode deixar o condutor e escoar-se pela camada ionizada do ar. O fenômeno ocorre quando o 
gradiente de potencial junto à superfície do condutor ultrapassa o “gradiente disruptivo crítico” 
do ar: 21,1 kV/ cm (eficaz), à t = 25o C, 75 cm de Hg, ar puro. 
 
Etapas do Efeito Corona (experimental): 
 
I)-Aumentando-se lentamente a tensão de uma L.T., estando a linha sem carga, as perdas 
aumentam pouco, praticamente, até um determinado valor da tensão. Acima deste valor há um 
aumento brusco da mesma, coincidindo com o aparecimento de um zumbido característico e com 
o desprendimento de ozônio. Esta tensão é a “Tensão Disruptiva Crítica” (Vd). 
 
II)-Continuando-se a elevar a tensão da L.T. verifica-se a formação, ao redor dos condutores, de 
um tubo luminescente, ou coroa, devido à maior ionização do ar. O valor da tensão é chamado, 
agora, de “Tensão Visual Crítica” (Vv). A coroa se dá, inicialmente, sobre a superfície do 
condutor, onde o gradiente é máximo. Caso haja uma elevação suplementar da tensão, a ação 
cumulativa se propagará, expandindo-se no sentido radial do condutor, podendo haver descarga 
(faíscas) entre os condutores vizinhos. 
 
III)-O valor da tensão para o qual se dá uma descarga direta entre dois condutores é a “Tensão 
de Centelhamento”. Pode haver centelhamento, sem que previamente tenha havido as duas 
primeiras etapas, se a distância entre os condutores for pequena. Há casos em que o 
centelhamento se dá ao mesmo tempo que o Corona. 
 
Cálculo de Perdas por Efeito Corona (eflúvios): 
 
-As perdas de potência por Efeito Corona se manifestam nas formas: sonora, calorífica, luminosae propagação eletromagnética (interferência em circuitos de telecomunicação, pela produção de 
harmônicos de alta freqüência). Com o aparecimento de ozônio e, a existência de óxido de azoto, 
na presença de umidade, há uma fabricação rápida de ácido nítrico e ácido nitroso na superfície 
dos condutores. Estes últimos são atacados e têm sua vida útil diminuída. Nas subestações, o 
efeito é mais pronunciado visto que, geralmente, as distâncias entre os condutores são menores. 
As fórmulas são empíricas: Peek Jr., Petersen, Ryan, Whitehead, Carrol, Rockwell, etc. 
] 
Altitude média da L.T. (metros) e pressão: 
Altitude média da L.T. (m) 0 500 1000 1500 2000 
b = pressão em cm de Hg 76 71,3 67,0 62,9 59,1 
 
a)-CÁLCULO DA “TENSÃO DISRUPTIVA CRÍTICA”, Vd: 
 
.%80,
cos);(
;
;
;,
/2/
)/2/(sen
1
;,87,09,0:
;),(,
);(,
);(
);(
;.
;,,
);(,
);(,
06,/
)(2
11
]log)1(log[...4,123
06/
37,1
]0677,0log[....4,123
/log....4,123
1010
3
2
10
3
2
10
3
2
puroarparascalaculadoVddevaloresdostomarchuvosotempoPara
ábaCoronaFunçãoF
condutoraojuntomédiaatemperaturt
ardorelativadensidade
radianosemângulosossetomando
n
n
C
utilizadosmaiscondutoresosparamdadeirregularidefatorm
puroarparakVeficazneutroparacríticadisruptivatensão
kVeficazneutrooparaoperaçãodetensão
polegadascondutordoexternoraior
polegadascabodofioumdeindividualraior
cabodoexternacoroadafiosdenon
verticalouhorizontaldisposiçãovizinhoscondutoresdoisentredistânciaplanooespaçaments
polegadassimétricaàpróximadisposiçãoparaDMGs
polegadassimétricadisposiçãoparaDs
fiosexternacorôacomcabosneutrokV
rxCr
n
rxC
rCxr
s
n
rxC
s
m
fiosdeexternacorôacomcabosneutrokVr
s
rm
maciçoscondutoresneutrokV
r
s
rm
V
V
V
V
V
d
n
i
ii
ii
d
d
d

































 
b)-CÁLCULO DAS PERDAS DE POTÊNCIA: 
condutorkmkWFx
r
s
f V
P
n
c
//
)(log
...1,21
2
62
10

 
 
-21,1 kV/cm (eficaz) é o “gradiente disruptivo crítico do ar”, para t = 25oC, b = 76 cm/Hg, ar 
puro. 
 
Casos Especiais: Consultar Westinghouse, “Transmission and Distribution Reference Book”. 
 
 
 
 
 Função Corona F 
 
 
 
 
 
 Vn/Vd 
 
 
Exemplo 1: L.T., trifásica, de 161 kV, Condutores CAA (ACSR), 336,4 MCM, 26/7, LINNET, 
Disposição Simétrica, D = 229,56´´, Altitude média = 500 m, t = 40o.C 
 
Solução: 
 
1)-Características do condutor: n = 16, r = 0,36´´, ri = 0,057´´, m = 0,87 
 
2)- Cálculo da densidade relativa do ar: 
 
927,0893,0
273
.92,3
273
25273
76
3
2





 
t
b
t
x
b 
 
3)- Cálculo do valor de C: 
 
446,0
77,1
)77,1sen(
1 C
 
 
 
4)- Cálculo de: 
 
6,4232,215
057,0446,036,0
53,229
log.15log).1(
95,3
057,0446,0
53,229
loglog
1010
1010






x
xxCr
s
n
xxC
s
r
r
i
i
 
 
100 
 
 
10 
 
1 
10 
 
 
1 
 
0,1 
 
 
 4 6 8 10 12 14 16 18 
 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 
2,4 
 
1,22
68,0
15
)(2
1
4,39
057,0046,0
11




r
r
i
i
xCr
n
xxC
 
 
 
5)- Substituindo os valores calculados na fórmula de Vd: 
 
 
 
 
 
 
6)-Cálculo das perdas por condutor /km: 
 
 
kmcondutorkWx
xxfx V
P
n
c
//14,01,0
)
36,0
53,229
(log
1,21
2
62
10


 
 
pois, para Vn/Vd =1,23 F  0,1 
 
 
7)-Perdas totais da L.T.: 
 
Pc = 0,14 x 3 = 0,42 kW/ km 
 
 
Exemplo 2: L.T. de 345 kV, Condutores CAA (ACSR), 2 x 795 MCM, 26/7, DRAKE; Cabos 
Geminados (Bundle Conductors); d = 45 cm; espaçamento plano, Dab = 417,323´´; H = 500 m; 
t = 40oC. 
 
-O processo de cálculo é o mesmo; 
-Calcula-se a perda de potência por Efeito Corona para um condutor singelo, a uma tensão 1,4 
vezes menor e, multiplica-se a perda por 2; 
-Sendo a disposição horizontal, ou em um mesmo plano, considera-se Vd diminuído de 4%, para 
o condutor central e aumentado de 6% para os condutores laterais. 
 
1) Características do condutor: 
 
n = no. de fios da última coroa = 16; r = 0,554´´; ri = 0, 087´´; m = 0,87 
neutroVk
xx
V d /7,751,224,39
]6,4295,3[87,093,04,123




 
2) Cálculo da densidade relativa do ar: 
 
927,0893,0
273
.92,3
273
25273
76
3
2





 
t
b
t
x
b 
 
3)-Cálculo de C: 
 
446,0
77,1
)77,1sen(
1 C
 
 
4)-Cálculo de: 
 
6,4391,215
087,0446,0554,0
323,417
log.15log).1(
032,4
087,0446,0
323,417
loglog
1010
1010






x
xxCr
s
n
xxC
s
r
r
i
i
 
 
70,14
)087,0446,0554,0(2
15
)(2
1
77,25
087,0046,0
11






xxCr
n
xxC
r
r
i
i
 
 
 
5) Cálculo de Vd: 
 
neutroVk
xx
V d /6,11670,1477,25
]2,4303,4[87,093,04,123




 
 
6)-Cálculo das perdas / km: 
 
 -para o condutor central: V´d = 0,96 Vd = 0,96 x 116,6 = 112,0 kV 
 10,027,1
0,112
4,13
345
´
´
 F
x
V
V
d
n 
 
 
kmcondutorkWx
x
x
xfx
Pc //311,01,0)877,2(
)
4,13
345
(1,21
2
62
10


 
 
-para os condutores laterais: 
 
V´d = 1,06 x 116,6 = 123,4 kV /neutro 
 
07,015,1
4,123
4,13
345
´
´
 F
x
V
V
d
n 
kmcondutorkWx
x
x
xfx
Pc //208,007,0
)
054,0
323,417
(log
)
4,13
345
(1,21
2
10
62
10


 
-perdas totais por km: 
 
Pc = (2 x 0,208 + 0,311) x 2 = 1,45 kW / km 
 
CÁLCULO DA “TENSÃO VISUAL CRÍTICA”: 
 
Vv > Vd 
 
-Com base na fórmula de Peek Jr.: 
 
neutrokV
r
s
rmoV d /log....4,123 10
 
 
Ryan, H.J. verificou que não seriam obtidos resultados aceitáveis quando se tratasse do 
aparecimento da coroa luminosa. Sabendo que: 
 
r
s
r
V
V
d
máx
ln..3,2

 
e que apareceria o Efeito Corona Luminoso quando ocorresse o gradiente citado, a uma distância 
x da superfície do condutor, ele determinou x, empiricamente. 
 
 V 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
 
Resultado: 

r
x .301,0
 
-através de: 
r
s
xr
V
V
v
máx
ln.)(.3,2 

 
-chega-se a: 
neutrokV
r
s
r
rmvV v /)log.
.
301,0
1(...4,1123  
 
 
mv = 0,93 a 1,0 para fios 
mv = 0,72 para cabos (corona local) 
mv = 0,82 para cabos (corona generalizado) 
 
TENSÃO DE CENTELHAMENTO: 
 
Estudos experimentais levaram à fórmula: 
 
neutrokV
r
s
r
s
r
rVc /log.)
30
1
..
.
301,0
1.(..4,123  
 
 
-quando: 
 
d/r < 30 pode haver centelhamento, sem que tenha havido corona 
 
d/r = 30 o centelhamento se produzirá ao mesmo tempo que o corona 
 
d/r > 30 é o que ocorre praticamente nas L.T.s aéreas. O centelhamento se produzirá 
excepcionalmente. 
 
Conclusões: 
 
-Para se obter baixas perdas Pc, por Efeito Corona, pode-se atuar em três fatores: 
 
a)-Fator de irregularidade m da superfície: difícil de ser controlado; 
 
b)-Aumento do espaçamento D: é uma solução antieconômica aumentar-se a distância entre os 
condutores, além deter-se um aumento indesejável de XL (reatância indutiva da L.T.); 
 
c)-Aumento do raio do condutor: em geral, é a solução mais econômica e que dá melhores 
resultados (condutores com alma de aço -CAA, cabos geminados, etc.). 
 
d)-para L.T.s de V < 60 kV, as perdas podem ser consideradas desprezíveis. 
 
 
 
Preparado por: Prof. Dr. José Celso Borges de Andrade: Disciplina: Sistemas Elétricos de Potência I - Curso de 
Engenharia Elétrica PUC Minas / 2009. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
06 Al / 01 Steel 07 Al / 01 Steel 
 54 Al / 07 Steel 
30 Al / 07 Steel 26 Al / 07 Steel 
12 Al / 07 Steel 
30 Al / 19 Steel 
 54 Al/ 19 Steel 
Camadas Steel 
 
 
 
Camadas Alumínio 
PUC Minas- Curso de Engenharia Elétrica Sistemas Elétricos De Potência I-SEP I 
 
Diagramas unifilares e de impedância 
 
-Os diagramas unifilares representam o SEP por meio de simbologia própria, identificando os 
geradores, transformadores, L.T.s, cargas e, suas conexões. Eles trazem informações que dependem 
do estudo a ser feito. Algumas vezes, são detalhadas as ligações  ou Y dos equipamentos e, se as 
ligações Y são aterrados, ou não. 
 
 Carga A Carga B 
 T1 T2 Carga C 
 
Gerador 
 SE/1 SE/2 
 Motor 
 
-Os diagramas de impedância correspondem aos diagramas unifilares, agora modificados, com cada 
componente do SEP substituído por seu circuito equivalente. 
 
Exemplo 1: para um gerador síncrono (rotor cilíndrico) 
 + R + j Xs 
 Ef 
 - 
 
 R1 + jX1 R2 + jX2 
Exemplo 2: 1 2 para um transformador de dois enrolamentos 
 
 Rhf e 
j Xm 
 
 
 Z = R + jX 
Exemplo 3: para uma L.T. (circuito  ) 
 
 
 Y/2 Y/2 
 
 
-Dependendo da finalidade do estudo, as cargas podem ser representadas por suas potências ativa e 
reativa equivalentes, P + jQ. No caso de motores síncronos de grande porte, por circuito semelhante 
ao de um gerador síncrono. 
 
-Cada componente do SEP é, então, representado para um determinado estudo bem definido. Na 
realidade, cada componente pode ser representado diferentemente, dependendo do estudo (fluxo de 
carga, faltas, estabilidade, distorções harmônicas, sobretensões de manobra ou provocados por 
surtos atmosféricos, etc.). 
Observação: Para representar os valores ôhmicos das resistências e reatâncias no diagrama de 
impedâncias, é necessário referir todo o sistema a um dos lados de um transformador, T1 ou T2. 
 
VALORES RELATIVOS: em % e em por unidade (p.u.) 
-Para a maior parte dos estudos realizados em SEPs, não se deve usar as grandezas dimensionais das 
grandezas (potências em MVA, MW, ou MVAr, tensões em kV ou Volts, correntes em kA ou 
Ampères, impedâncias em k ou Ohms, etc.). Prefere-se usar “valores relativos em porcentagem”, 
ou “em valores por unidade (p.u.)”. 
 
Tendo como bases, por exemplo, Vb = 100 Volts e Zb = 50 Ohms: 
 
 
Valores em porcentagem em p.u. 
100 Volts 100% 1,00 p.u. 
150 Volts 150% 1,50 p.u. 
 9 Volts 9% 0,09 p.u. 
50 Ohms 100% 1,00 p.u. 
100 Ohms 200% 2,00 p.u. 
Dimensionais em % = (Valor absoluto/Valor base) x 100 em p.u. = Valor absoluto/Valor base 
 
-Trabalhar com valores dimensionais, que variam dentro de amplas faixas nos SEPs, é trabalhoso e 
os valores “não são convenientes” para um elevado número de cálculos. Por outro lado, para as 
impedâncias, é necessário referir-se a um mesmo lado do transformador. 
 
-Os valores em p.u. podem sofrer qualquer operação matemática que darão os resultados em p.u. 
Para os valores em porcentagem, será necessário o conhecimento da correta potência de 10. Além 
disso, em porcentagem, os valores intermediários dos cálculos podem ser muito elevados. 
 
-É necessário definir bases adequadas para construir 1 sistema por unidade 
 
CONSTRUÇÃO DE UM SISTEMA DE VALORES POR UNIDADE: 
 
Definição das grandezas elétricas como bases fundamentais: em geral, é usual definir como bases 
fundamentais, para as grandezas elétricas, a freqüência (60 Hz), a potência e a tensão. Os valores 
base para as grandezas restantes, como corrente, indutância, impedância, etc. são determinados por 
fórmulas que as relacionam com as bases fundamentais. 
 
Sistema Monofásico Sistema Trifásico 
Sbase ( kVA, monofásico) 
Vbase ( kV, fase-neutro) 
Sbase (kVA, trifásico) 
Vbase (kV, fase-fase) 
Ibase (A) = Sbase/Vbase Ibase (A) = Sbase/3 Vbase 
Zbase () = (Vbase/Ibase) x 1000 Zbase () = (Vbase/3Ibase) x 1000 
Zbase = [(Vbase x Vbase)/Sbase] x 
1000 = (Vbase x Vbase)/Sbase- MVA 
Zbase = [(Vbase x Vbase)/Sbase] x 
1000 = (Vbase x Vbase)/Sbase- MVA 
 
Exemplo: Uma resistência de 15  está em série, no lado de 34,5 kV do transformador do esquema: 
 V1 V2 
 R = 15  34,5kV 69 kV 
 
 
 10 MVA 
-Pela teoria de transformadores, a resistência de 15 , no lado de 34,5 kV, vale 15 x (V2/V1)*2 = 
15 x (69/34,5)*2 = 60 , se for referida ao circuito de 69 kV. 
 
-Escolhendo-se como bases: S1 base = 10 MVA (lado de 34,5 kV) 
 V1 base = 34,5 kV (lado de 34,5 kV) 
 S2 base = 10 MVA (lado de 69,0 kV) 
 V2 base = 69,0 kV (lado de 69,0 kV) 
 
-Obtém-se: Z1 base = (34,5*2)/10 = 119 
 Z2 base = (69,0*2)/10 = 476 
 
Então: Z1pu = (15/119) = 0,126 pu 
 Z2pu = (60/476) = 0,126 pu 
 
-Assim, os valores da resistência, em pu, têm o mesmo valor, seja referida ao lado de 34,5 kV, ou ao 
lado de 69,0 kV. Desse modo, ela não precisa ser referida a nenhum dos lados, especificamente. 
 
Para que esta situação ocorra, na construção de todo um SEP, em valores pu: 
 
A)- Sb (POTÊNCIA BASE) DEVE SER ÚNICA, DE UM LADO E OUTRO DO 
TRANSFORMADOR; 
 
B)- V1b E V2b (TENSÕES BASES) DEVEM OBEDECER À RELAÇÃO DE 
TRANSFORMAÇÃO DO TRANSFORMADOR CONSIDERADO. 
 
Observação: Os vários e variados equipamentos de um sistema de potência têm seus valores 
nominais de placa diferentes e, suas impedâncias são dadas em pu, ou em porcentagem, com bases 
nominais próprias. 
 
Para respeitar as condições A) e B), precedentes: 
 
-BASE DE POTÊNCIA ÚNICA NO SEP: Sb = 100MVA (usual) 
-BASES DE TENSÃO: Tensões Nominais dos diversos circuitos (13,8, 69, 138, 
230, 345, 500, 750 kV) 
 
 
Exemplo 1: Construir o diagrama de impedâncias em pu, do sistema da figura, até o ponto P: 
 
 13,8 kV 138 kV 
 G1 
 R + jX = 15 + j60  P 
 
 G2 65 MVA 
 X=12% 
G1 e G2: 13,8 kV, Xs = j 0,7; 30 MVA 
 
Solução: 
1-Escolhe-se as bases fundamentais: Sbase = 100 MVA; Vbases = 13,8 kV e 138 kV: 
 
2-Os valores das impedâncias, em pu, são inversamente proporcionais a Zbase = (Vbase x 
Vbase)/Sbase ou, eles são diretamente proporcionais a Sbase e inversamente proporcionais a 
Vbase*2. 
 
 
Então, obtém-se a Fórmula Geral de Mudança De Bases para as Impedâncias: 
 
2
)()(









kV
kV
MVA
MVA
novabase
antigabase
antigabase
novabase
xxantigabasesZpunovabasesZpu
 
 
-Solução do problema: 
 
Gerador G1: Sbase = 30 MVA; 13,8 kV; Xs = 0,70 pu (dados de placa) 
 
pujxxjX s 34,2)8,13
8,13
(
30
100
70,0 2 
 para as bases novas: 100MVA e 13,8 kV 
 
Gerador G2: idêntico ao gerador G1 
 
 
Transformador: 
 
pujxxjX 184,0)
8,13
8,13
(
65
100
12,0 2 
 
 
Linha de Transmissão: 
 
 190
100
)138( 2
Z base; 
puj
j
Z pu 316,0079,0190
6015



 
 
 j 0,184 0,79 + j 0,316 
 P 
 
 j 2,34 j 2,34 
 
 + + 
 Eg1 Eg2 
 - - 
 
 
 
 
-Diagrama de impedâncias em p.u.: (bases: 100 MVA, 13,8 kV, 138 kV) 
 
 
Exemplo 2: Calcular em valores pu (Sbase = 100 MVA, Vbase = 13,8 kV), as seguintes grandezas: 
 
 
a) 44 + j 90 A 
b) 14,2 /0o kV 
c) 25/18o MVA 
d) 10 + j4 MVA 
e) j0,05 siemens 
f) 20/-90o  
g) 22 + j 14  
h) -j 0,1 siemens 
i) 220/-13o A 
 
 
Solução: Sbase = 100 MVA, Vbase = 13,8 kV 
 
 
 


90,1
100
)8,13()
188,4
8,13.3
100000
.3
2
2(
S
V
Z
V
S
I
base
base
base
base
base
base
kA
 
 
 
a) (44 +j 90)/4188 = 0,024 /63,9o pu 
 
b) (14,2/0o )/13,8 = 1,03/0o pu 
 
c) (25/18o)/100 = 0,25/18o pu 
 
d) (10 + j4)/100 = 0,1 + j0,04 pu 
 
e) (j 0,05)/(1/1,90) = j 0,09 pu 
 
f) (20/1,90) /-90o = 10,53 /-90o pu 
 
g) (22 + j 14)/1,90 = 11,58 + j 7,37 pu 
 
h) –j 0,1/(1/1,90) = -j 0,19 pu 
 
i) (220/4188)/-13o = 0,0525)/-13o pu 
(Verificar cálculos) 
 
Preparado por: Prof. Dr. José Celso Borges de Andrade. Sistemas Elétricos de Potência I-Curso de Engenharia Elétrica 
PUC Minas –/ 2009. 
REPRESENTAÇÃO DOS SEP: 
 
1)-TRANSFORMADORES: 
 
-Transformador Ideal Monofásico: 
 
 I 1 I 2 
 
 
 
 V 1 N 1 N 2 V 2 
 
 
 
a
aa
I
I
V
V
N
N 1
;;
2
1
2
1
2
1 
 pois S 1 = S 2 
 
-Transformador Monofásico Real: circuito equivalente: 
 r 1 + j x1 r 2 +j x 2 
 
I 1 Im N 1 N 2 I 2 
 
V 1 jxm rHF V 2 
 
 
 
 
Transferindo o secundário para o primário: 
 r 1 + j x1 
2a
 (r 2 + j x 2) 
 
 
 I 1 I 2/a 
 V 1 jxm rHF a V 2 
 
 
 
Fazendo a admitância “shunt” de magnetização  0,0  R1 = r 1 +
2a
r 2; X1 = x 1 +
2a
x 2 
 
Tem-se: 
 R1 + j X1 Obtidos, a partir do ensaio de curto circuito ( do lado 
 de AT, ou da BT. 
 I 1 
 V 1 a .V 2 
 
 
 
 
 
-Transformadores Trifásicos: 
Podem ser constituídos, também, pela associação de três transformadores monofásicos: a ligação Y é, 
em geral, aterrada: 
 
Ligações: Y-Y; Y-; -Y; - Sp = Ss 
 
-Um transformador trifásico de 400 MVA, 220 Y-  22 kV tem Zcc (na BT) = j 0,121 . Representá-
lo em um SEP cujas bases são: SB = 100MVA; VB = 230 kV. 
Nas suas próprias bases: 
 21,1
400
)22( 2
X Base
 ou j 0, 1 pu 
 
Nas bases novas:: 
pujjX pu 028,0400
100
.
230
220
.1,0
2













 
 
-Transformadores de 03 enrolamentos: três ensaios de curto circuito. 
 
Primário: Sp; Vp 
Secundário: Ss; Vs 
Terciário: St; Vt 
 
 
 s s s V 
 V p V p 
 
 t t t 
 
 
Zpt = Zp + Zt Zps = Zp + Zs Zst = Zs + Zt 
 
Deve-se asssumir mesma SBASE e VBASES adequadas: 
 
Circuito Equivalente: neste caso, foi assumida Sbase = 15 MVA 
 
 
 p s 
 Zp Zs 
 
 Zt 
 
 t 
 
 
Exemplo: P: Y, 66,0 kV 15 MVA 
 S Y 13,2 kV 10 MVA 
 T  2,3 kV 5 MVA 
 


puxZstMVAparaMVAdeZstparabasedemudançaumaHá
puZstpuZptpuZps
12,0
10
15
08,0:1510,
08,0;09,007,0 
puZt
puZspuZp
07,0)07,012,009,0(
2
1
09,0)160,012,007,0(
2
1
;02,0)12,009,007,0(
2
1


 
 
p j 0,02 j 0,05 s 
 
 
 j 0,07 
 t 
 
 
-Autotransformadores, com terciário : 
 
p série s 
 161 kV 138 kV 
 
 comum t 
 13,8 kV 
 
 
Zsc-c = impedância de dispersão entre enrolamentos série + comum e comum 
Zsc-t = impedância de dispersão entre enrolamentos série + comum e terciário 
Zc-t = impedância de dispersão entre enrolamentos comum e terciário 
 
H L As impedâncias dos ramos H, L e T são calculadas 
 analogamente aos trasformadores de 03 enrolamentos. 
 
 
 T 
 
2)-GERADORES E MOTORES SÍNCRONOS: 
 
Rever, regime permanente: 
-máquina síncrona elementar monofásica  campo pulsante produzido pela armadura; 
-máquina síncrona trifásica  campo girante; 
-diagramas fasoriais de tensões e correntes; 
-diagramas espaciais das f.m.m. do rotor e estator. Conjugado de geradores e motores; 
-situações de conjugado nulo; 
-circuito equivalente: máquina síncrona como uma f.e.m atrás de uma impedância; 
-potência P de m.s. de rotor cilíndrico e polos salientes. Teoria das duas reatâncias. Diagramas 
fasoriais. 
 
Para o cálculo de faltas e dimensionamento da proteção de um SEP, é necessário o conhecimento 
básico sobre transitórios eletromagnéticos em circuuitos elétricos R-L e em máquinas síncronas: 
 
-Transitório em um circuito R-L: 
 
 
 
 
 Vm sen wt Circuito R-L 
 
 
Equação do circuito: onde  corresponde ao ângulo de fechamento da chave, a partir do zero da 
tensão;  corresponde ao ângulo de fator de potência do circuito R-L: 
 
R
L
tempodeteCons
tempoocominuitodeslocamendecomponenteEstacccontínuacomponenteuma
dedeslocadaéóideaemáximovalortemidepartesegundaaSe
puraóideumaérespostaaeidepartesegundaaSe
R
wL
ewLZonde
wt
Z
i
dt
di
LiRwt
tgR
e
V
V
t
L
R
m
m








tan
.dim.)..(
sen,,90
.sen,0:0
.)(:
)](sen.)(sen[
.)(sen
0
1
22
.





 
O valor do deslocamento depende, então, do instante de fechamento da chave. 
Corrente i(t) em Circuito R-L, v = Vm sen wt 
 
 Envoltórias dos Valores Máximos Positivos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Envoltórias dos Valores Máximos Negativos 
 Valores Médios das ondas descendente e ascendente 
 
i(t) i(t)
 
t t 
 
 
Transitórios nas Máquinas Síncronas: 
 
O transitório na máquina síncrona é um pouco mais complexo do que em um circuito R-L, de R e L 
constantes. A interação entre os enrolamentos do estator e rotor (enrolamentos amortecedores e de 
campo) faz com que L seja variável. 
Assim, além da resposta i sofrer um deslocamento (c.c.), o valor de Z na fórmula é variável, o que leva 
a uma onda assimétrica, do ponto de vista da componente alternada (c. a.). 
A determinação das constantes que regem o comportamento transitório de i depende da obtenção das 
ondas (fases a, b, c) das correntes de curto circuito da m.s., a partir da operação a vazio. 
 
Os oscilogramas e valores típicos serão apresentados, assim como a definição prática das constantes da 
m.s. para fenômenos transitórios (reatâncias subtransitória X´´d, transitória X´d, permanente Xd e 
Xq; constantes de tempo T´´d, T´d e Ta. Valores típicos para o cálculo da componente assimétrica 
máxima: capítulo 10-Livto Texto, 2a. Ed. , Stevenson, 1986. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F 
 
 
 
 
 
 
 
 
-No regime subtransitório, o campo de reação da armadura A, muito indutiva, de reação no eixo d, 
tende a passar pelo entreferro e a m.s. apresenta um valor de indutância mais baixa. Esse regime dura 
cerca de 3 a 4 ciclos. 
 
 
-Emseguida, A começa a penetrar no rotor, mas encontra o enrolamento de campo. O regime 
transitório dura cerca de 100 ciclos. 
 
 
 
-Pode-se desenhar as envoltórias dos valores máximos da corrente alternada, durante os regimes 
subtransitório, transitório e permanente, como na figura, a seguir: a envoltória transitória despreza os 
valores subtransitórios iniciais da corrente de curto circuito. 
 
Enrolamento Amortecedor (gaiola), do eixo 
direto d, embutido na sapata polar. 
Rotor 
Armadura: produz o campo girante A, 
a partir das correntes equilibradas ia, 
ib e ic. Em curto circuito, A tende a ser 
desmagnetizante, na direção de d e 
contrário a F 
Enrolamento de campo (bobina), no eixo d.. Produz F, a 
partir da corrente de excitação If 
A 
Entreferro 
 
 
 
 
 
 Envoltória Subtransitória 
 Envoltória Transitória 
 Envoltória de Regime Permanente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I
X
E
I
X
E
I
X
E
d
d
g
d
d
g
d
d
g oaoboc

|
2
;
|
2
;
|
2
|||
´
´
´´
´´
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|I´´d| = corrente inicial subtransitória, eficaz, sem o deslocamento de 
corrente contínua 
|I´d | = corrente inicial transitória, eficaz, sem o deslocamento de corrente 
contínua 
|Id | = corrente em regime permanente, valor eficaz 
X´´d = reatância síncrona, subtransitória, de curto circuito, de eixo direto 
X ´d = reatância síncrona, transitória, de curto circuito, de eixo direto 
X d = reatância síncrona, permanente, de eixo direto 
|Eg | = tensão em vazio, fase-neutro, valor eficaz 
 
 
 
 
c 
 
b 
 
 
 
a 
 
o 
t 
 Id ´´ 
 
 Id ´ 
 
Variação do valor eficaz da corrente alternada ao longo do tempo: 
 
 )()()( ||| tttIac III ddd  
 
X
E
X
E
X
E
X
E
X
E
III
d
g
d
g
d
gT
t
d
g
d
g
dd
T
t
d
dT
t
d
dT
t
d
ee
eeIac
|
)
||
()
||
(
||||
||
´
|
´
|
´´
| ´´´
´´´ |||






 
 
 
 
O deslocamento de corrente contínua é regido pela constante de tempo Ta da armadura. 
 
eII T a
t
ddc

 .2
´´ 
 
IIII ddddmáximaIinicial
´´´´2´´2´´ 73,13)2()()( 
 
 
Ou, valor instantâneo máximo: dimensionamento dos equipamentos, como 
geradores, transformadores, disjuntores, seccionadoras, para suportarem este 
valor inicial elevado da corrente de curto circuito. 
 
 
3)-LINHAS DE TRANSMISSÃO: 
As LTs são representadas, para regime permanente e transitórios lentos, pelos seus 
circuitos nominais ou equivalentes (LTs curtas, médias e longas). 
 
Preparado por: Prof. Dr. José Celso Borges de Andrade: Disciplina: Sistemas Elétricos de Potência I - Curso de 
Engenharia Elétrica PUC Minas – / 2009. 
MÁQUINAS SÍNCRONAS: diagramas fasoriais 
 
MÁQUINAS SÍNCRONAS DE ROTOR CILÍNDRICO: em qualquer direção em que ocorre a 
reação da armadura A, ela encontra uma mesma permeância , então a reatância é 
constante, Xs, para qualquer posição espacial de A (esta posição varia, por exemplo, com o 
cos  da carga na máquina). 
 A 
 
 
 
 A A 
 
A A 
 
 
 -com ra desprezível, funcionamento gerador: 
 
 Ef + + - Vt Ef = Vt + j X s. I 
 
 I 
 - - 
 Ef 
 
  
 j Xs. I 
  
  Vt 
 
 I 
Ef tensão de excitação 
Vt tensão terminal 
 ângulo de defasagem entre I e Vt 
 ângulo de carga da máquina 
Xs reatância síncrona da máquina (para regime permanente) 
 
Então, usando os módulos das tensões e da corrente (grandezas escalares e não fasoriais), 
nas equações de P e Q: 
 
X
VEV
X
VEV
V
X
EV
X
EV
V
s
tft
s
tft
t
s
ft
s
ft
t
I
I
IQ
I
I
IP
]cos.[.
.
]cos.[..
sen..
sen..
.
sen...
cos..









 
 jXs 
MÁQUINAS SÍNCRONAS DE PÓLOS SALIENTES: em qualquer direção em que ocorre a 
reação da armadura A, ela encontra uma permeância  diferente, então a reatância é 
variável ao longo do entreferro. A reação da armadura A pode ser decomposta em duas 
direções, segundo os eixos de simetria da máquina de pólos salientes, d e q. Este é o 
princípio das duas reatâncias, Xd e Xq (Blondel, Park): 
 
 
 
 A 
 
 F 
 A 
 d 
 A 
 
 
 Aq Iq 
 eixo q q 
 
 Id I 
 
 Ad A 
 eixo d A 
 
 
 
 
eixo d eixo direto da m.s. de pólos salientes. O enrolamento de campo (campo 
magnético F) é montado neste eixo. É a direção de maior Permeância Xd. 
 
eixo q eixo em quadratura (com o eixo d) da máquina. É a direção de menor 
Permeância, Xq. 
 
 
Como a máquina síncrona de pólos salientes apresenta, agora, duas reatâncias Xd e Xq, 
pode-se escrever, para funcionamento gerador: 
 
Ef = Vt + j Xd. Id + j Xq. Iq 
 
 
desde que sejam conhecidas as componentes Id e Iq (que representam a reação completa da 
armadura, decomposta segundo os dois eixos d e q, ortogonais). 
 
Por outro lado, nos diagramas fasoriais de tensões e correntes, a tensão terminal Vt poderá, 
também, ser decomposta em suas componentes Vd e Vq, como as correntes, podendo-se, 
assim, representar os efeitos nos dois eixos. 
-Supondo-se ser possível conhecer-se a posição do eixo q (isto é, a posição fasorial de Ef), 
pode-se obter as componentes Id e Iq, Vd e Vq. 
 
 Vq eixo q 
 
 
 
 Iq 
 
  Vt 
 
 Id I 
 
 Vd 
 d 
 
 
 
 q 
 j Xd.I 
 
 Vq a´ Ef jXq.Iq 
 
 j Xq.I 
 Iq  b´ 
 o  o´ j Xd.Id 
 I Vt 
 Id a 
 b 
 Vd /90 
 
 
 d 
 
Os triângulos oab e o´a´b´ são semelhantes, então: 
IIoa
ba
ab
ao
ba
ab
oa
ao
X
I
IX
q
q
qq
..
.
.
´´
´´
´´´´
 
 
-Portanto, Vt + j Xq.I estabelece a posição angular de Ef, ou a posição dos eixos d e q. 
 
 
S = Vt . I* = (Vd + j Vq) . (Id – j Iq) = (Vd Id + Vq Iq) + j (Vq Id – Vd Iq) = 
 
 = P + j Q 
Como P = Vd.Id + Vq. Iq, do diagrama fasorial, pode-se tirar as relações (escalares): 
 
 
X
V
IVIX
X
VE
IVEIX
q
t
qtqq
d
tf
dtfdd




sen.
sen..
cos.
cos..



 
 
Substituindo-se Vd, Vq, Id e Iq na fórmula de P, vem: 
 
 
P = 
 2sen.
.
).(
sen.
.
2
2
XX
XXV
X
VE
qd
qdt
d
tf


 
 
-Se Xd = Xq = Xs, o 2o termo desaparece e esta última fórmula se reduz à fórmula de P, 
válida para as máquinas síncronas de rotor cilíndrico. Este 2o termo, isto é, a parcela de P 
que não depende da existência de Ef é o princípio de funcionamento das “máquinas de 
relutância”. 
 
Analogamente: Q = Vq.Id – Vd. Iq 
 
Utilizando-se as relações precedentes de Id e Iq e as componentes de Vt, Vd e Vq, obtém-
se: 
 
XX
XXV
X
VE
X
VV
X
VEV
qd
dqt
d
tf
q
tt
d
tft
Q
Q
.
)..(
cos
.
sen..sen.)cos.(cos.
sencos
222 







 
 
-Se Xd = Xq =