Matematica e Raciocinio Lógico.01

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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 
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Aula 1
PORCENTAGEM. .......................................................................................................................... 2 
Razão e Proporção . ................................................................................................................... 40 
GRANDEZAS DIRETAMENTE/INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. .............................................. 62 
Regra de Três. ............................................................................................................................ 64 
Relação das questões comentadas . .......................................................................................... 78 
Gabaritos . .................................................................................................................................. 98 
 
 
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Olá pessoal! 
Hoje vamos, definitivamente, começar o nosso curso de Matemática e 
Raciocínio Lógico. 
Na aula demonstrativa, estudamos um pouquinho sobre porcentagens e vimos
alguns probleminhas. 
Hoje vamos entrar um pouco mais pesado. Estudaremos completamente a
teoria e resolveremos muitas, muitas questões. 
Sempre que vocês tiverem sugestões de questões, podem enviar para o meu
e-mail guilherme@pontodosconcursos.com.br ou enviá-las para o nosso fórum
de dúvidas. 
De acordo com a nossa programação, hoje estudaremos: 
Porcentagem e problemas. Números e grandezas proporcionais: razões e 
proporções; divisão em partes proporcionais; regra de três. 
As questões da FCC são muito repetidas (Fundação Copia e Cola). Assim,
sempre que for preciso aprofundar um pouco mais, colocarei algumas questões
de outras bancas para deixar o nosso estudo mais denso. 
Vamos lá... Recomecemos o estudo das porcentagens. 
PORCENTAGEM
As razões de denominador 100 são chamadas taxas percentuais, razões centesimais,
percentagem ou porcentagem. 
Em geral, podemos trocar o denominador 100 pelo símbolo % (por cento). 
Ou seja, 
݌ 
100
ൌ ݌%
Podemos expressar as porcentagens sob a forma decimal (taxa unitária). Para obter a
taxa unitária, basta dividir o numerador por 100. 
80% ൌ
80
100
ൌ 0,8
47% ൌ
47
100
ൌ 0,47
100% ൌ
100
100
ൌ 1
280% ൌ
280
100
ൌ 2,8
 
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1 Percentual de um valor 
Para calcular x% de um valor, basta multiplicar o valor pelo número x/100. 
Exemplo: Calcular 30% de 500. 
Resolução 
30% ݀݁ 500 ൌ 
30
Exemplo: Calcular 20% de 30% de 40% de 1.000. 
100
· 500 ൌ 150
Resolução 
20
100
·
30
100
·
40 
100
· 1.000
Neste caso, podemos simplificar as frações. 20/100 pode ser simplificado por 20,
tornando-se 1/5. 30/100 pode ser simplificado por 10, tornando-se 3/10. 40/100 pode
ser simplificado por 20, tornando-se 2/5. 
1
5
·
3
10
·
2 
5
· 1.000 ൌ
6.000 
250
ൌ 24
Portanto, 20% de 30% de 40% de 1.000 é igual a 24. 
2 Transformação de uma fração ordinária em taxa percentual 
Este tópico é importante, pois quando queremos expressar algum crescimento ou
desconto, sempre o fazemos em termos percentuais. 
Para transformar uma fração ordinária qualquer em taxa percentual, basta multiplicá-la
por 100%. 
Exemplo: Transformar a fração 5/2 em taxa percentual. 
Resolução 
5 
2
ൌ
5 
2
· 100% ൌ
500
2
% ൌ 250%
Exemplo: Transformar a fração 3/8 em taxa percentual. 
Resolução 
૜ 
ૡ
ൌ
૜ 
ૡ
· ૚૙૙% ൌ
૜૙૙ 
ૡ
% ൌ ૜ૠ, ૞%
 
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Exemplo: Transformar o número 0,4 em forma de taxa percentual. 
Resolução 
૙, ૝ ൌ ૙, ૝ · ૚૙૙% ൌ ૝૙%
Lembre-se que para multiplicar um número decimal por 100 basta deslocar a vírgula
duas casas decimais para a direita. Se não houver casas decimais, então deveremos
adicionar zeros a direita. 
3 Variação Percentual 
i) Imagine a seguinte situação. Você pretende comprar um computador que custa
R$ 1.500,00. Como bom “comprador”, pergunta ao vendedor se existe algum tipo de
“ajudinha” se você efetuar o pagamento em dinheiro vivo. O vendedor então informa
que se o pagamento for feito assim, haverá um desconto de R$ 300,00. Ou seja, você
pagará apenas R$ 1.200,00. Ótimo negócio...!! 
ii) Imagine agora outra situação. Você pretende comprar um automóvel no valor de
R$ 80.000,00. Como bom “comprador”, pergunta ao vendedor se existe algum tipo de
“ajudinha” se você efetuar o pagamento em dinheiro vivo. O vendedor então informa
que se o pagamento for feito assim, haverá um desconto de R$ 300,00. Ou seja, você
pagará apenas R$ 79.700,00. Ótimo negócio!? 
Em valores absolutos, o desconto do valor do computador foi igual ao desconto do
valor do automóvel. Qual dos dois descontos foi mais significativo em relação ao valor
inicial do objeto? Obviamente um desconto de R$ 300,00 em um produto que custa R$ 
1.500,00 é bem mais representativo do que um desconto de R$ 300,00 em um produto
que custa R$ 80.000,00. 
Pois bem, a maneira de comparar esses descontos é a chamada variação percentual. 
Definição 
A razão entre a diferença de valores (valor final menos o valor inicial) e o preço inicial,
expressa em forma de porcentagem, é chamada variação percentual. 
Generalizemos: Considere um objeto com valor inicial ௜ܸ௡௜௖௜௔௟ na data 0 e valor final 
௙ܸ௜௡௔௟ em uma data futura ݐ. A variação percentual dessa grandeza entre as datas
consideradas é o número ݅ (expresso em porcentagem) dado por: 
݅ ൌ ௙ܸ௜௡௔௟
െ ௜ܸ௡௜௖௜௔௟ 
௜ܸ௡௜௖௜௔௟
Voltemos aos nossos exemplos: 
i) ௜ܸ௡௜௖௜௔௟ ൌ 1.500,00 e ௙ܸ௜௡௔௟ ൌ 1.200,00
Assim, a taxa percentual é: 
݅ ൌ
1.200 െ 1.500
1.500
ൌ
െ300
1.500 
Devemos escrever i em forma percentual. Vimos anteriormente que temos que
multiplicar a fração por 100%. 
 
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݅ ൌ
െ300
1.500
ൌ
െ300
1.500
· 100% ൌ െ20%
ii) ௜ܸ௡௜௖௜௔௟ ൌ 80.000,00 e ௙ܸ௜௡௔௟ ൌ 79.700,00
Assim, a taxa percentual é: 
݅ ൌ
79.700 െ 80.000
80.000
ൌ
െ300
80.000 
Devemos escrever i em forma percentual. Vimos anteriormente que temos que
multiplicar a fração por 100%. 
݅ ൌ
െ300
80.000
ൌ
െ300
80.000
· 100% ൌ െ0,375%
Observe que o desconto no pagamento do computador foi de 20% e o desconto no
pagamento do carro foi de apenas 0,375%. Apesar de os valores absolutos dos
descontos terem sido iguais, percentualmente a diferença foi gritante. 
 
Exemplo: Guilherme decidiu comprar uma televisão no valor de R$ 1.200,00. Esperou
o seu salário entrar no início do mês, para que ficasse mais “folgado”. Quando então
foi à loja efetuar o pagamento, soube que o preço da televisão tinha subido para R$ 
1.500,00. Qual foi o percentual de aumento no preço da televisão? 
݅ ൌ ௙ܸ௜௡௔௟
െ ௜ܸ௡௜௖௜௔௟
௜ܸ௡௜௖௜௔௟
ൌ
1.500 െ 1.200
1.200
ൌ
300
1.200
ൌ
300
1.200
· 100% ൌ 25%
Portanto, o aumento foi de 25%. 
Vamos comparar o que aconteceu no caso do computador e no caso da televisão. 
i) O computador custava R$ 1.500,00 e sofreu um desconto de 20%. Assim, o
valor pago foi de R$ 1.200,00. 
ii) A televisão custava R$ 1.200,00 e sofreu um aumento de 25%. Assim, o
valor pago foi de R$ 1.500,00. 
Atenção!
Se , a taxa percentual é de crescimento.
Se , o módulo da taxa percentual é de decrescimento (desconto).
 
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4 Variações percentuais sucessivas 
Suponha que uma mercadoria recebeu um desconto de 30%. Se você fosse pagar
essa mercadoria sem o desconto, você iria desembolsar 100%. Porém, com o
descontoconcedido, você irá pagar 100% - 30% = 70%. Assim, para calcular o valor
após o desconto, devemos multiplicar o valor original por 70%=70/100. 
Em geral, ao diminuir p%, para calcular o valor final, devemos multiplicar por 100% -
p%. 
Da mesma forma, para aumentar p% de certo valor, devemos multiplicá-lo por
100% + p%. Por exemplo, se uma mercadoria aumenta 20%, você irá pagar
100% + 20% = 120%. 
Exemplo: Uma mercadoria custa R$ 300,00. Em uma primeira ocasião, sofreu um
aumento de 40%. Dois meses depois, a loja anunciou uma liquidação e a mercadoria
sofreu um desconto de 25%. Qual o valor final da mercadoria? Qual a variação
percentual acumulada? 
Resolução 
Quando a mercadoria sofre um aumento de 40%, o cliente além de ter que pagar os
100% (valor da mercadoria) terá que pagar os 40% de aumento. Pagará, portanto,
140% do valor da mercadoria. Dessa forma, a mercadoria, após o aumento, vale: 
140% ݀݁ ܴ$300,00 ൌ
140 
100
· 300 ൌ 420 ݎ݁ܽ݅ݏ.
A mercadoria (que agora vale R$ 420,00) sofre um desconto de 25%. Você não
pagará o valor total da mercadoria (100%), já que foi concedido um desconto. O
cliente pagará 100% - 25% = 75% do valor da mercadoria. Dessa forma, a
mercadoria, após o desconto, vale: 
75% ݀݁ ܴ$ 420,00 ൌ
75 
Portanto, o valor final da mercadoria é igual a R$ 315,00. 
100
· 420 ൌ ܴ$ 315,00
Poderíamos ter efetuado este cálculo de uma maneira mais “objetiva”. Toma-se o valor
da mercadoria e multiplica-se pelas taxas de aumentos e de descontos. 
Assim, 
௙ܸ௜௡௔௟ ൌ 300 ·
140
100
·
75 
100
ൌ 315 ݎ݁ܽ݅ݏ.
Inicialmente a mercadoria valia R$ 300,00 e após as variações seu valor é de R$
315,00. Ou seja: 
௜ܸ௡௜௖௜௔௟ ൌ 300 ݁ ௙ܸ௜௡௔௟ ൌ 315
A taxa de variação acumulada é de: 
 
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݅ ൌ ௙ܸ௜௡௔௟
െ ௜ܸ௡௜௖௜௔௟ 
௜ܸ௡௜௖௜௔௟
ൌ
315 െ 300
300
݅ ൌ
15
300
ൌ
15 
300
· 100% ൌ 5%
Assim, o aumento de 40% seguido do desconto de 25% equivale a um único aumento
de 5%. 
Vamos agora resolver algumas questões para sedimentar os conhecimentos. 
1. (BB 2010/FCC) As estatísticas da Campanha Nacional de Prevenção ao
Câncer de Pele, organizada há 11 anos pela Sociedade Brasileira de Dermatologia,
revelam que o brasileiro não se protege adequadamente do sol: 70% dos
entrevistados afirmaram não usar qualquer tipo de proteção solar, nem mesmo quando
vão à praia (adaptado de www.sbd.org.br). Se foram entrevistadas 34 430 pessoas, o
número delas que usam protetor solar é 
(A) 24 101 
(B) 15 307 
(C) 13 725 
(D) 12 483 
(E) 10 329 
Resolução 
O texto informou que 70% dos entrevistados afirmaram não usar qualquer tipo de
proteção solar. Como o total de pessoas corresponde a 100%, então 30% dos
entrevistados usam protetor solar. Devemos calcular 30% de 34.430 pessoas. 
30% ݀݁ 34.430 ൌ
30
100
· 34.430 
Observe que não precisamos efetuar este cálculo completamente. O número 100 que
está no denominador pode ser simplificado. Ficamos com: 
3 
10
· 34.430 ൌ 3 · 3.443
Imagine que você estivesse efetuando esta multiplicação na hora da prova. 
3.443 
ൈ 3
Começamos multiplicando o algarismo das unidades. 
3.443 
ൈ 3
Neste momento, já podemos marcar a alternativa E, pois é a única que termina em 9. 
 9 
Letra E. 
De fato, 3 · 3.443 ൌ 10.329. 
 
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2. (TRE – AC 2010/FCC) Relativamente ao total de registros de candidaturas
protocolados certo mês por três Técnicos Judiciários, sabe-se que: 8/15 foi
protocolado por Alciléia, 5/12 por Berenice e os demais por Otacílio. Assim sendo, a
quantidade protocolada por Otacílio corresponde a que parte do total de registros
protocolados nesse mês? 
a) 5% 
b) 12,5% 
c) 15% 
d) 17,5% 
e) 20% 
Resolução 
Alciléia protocolou 8/15 do total de registros e Berenice protocolou 5/12. Juntas, elas
protocolaram: 
8
15
൅
5
12
ൌ
32 ൅ 25
60
ൌ
57
60
O que significa 57/60? 
Significa que elas dividiram o trabalho total em 60 partes e protocolaram 57 destas 60
partes. Portanto, ainda faltam ser protocoladas 3 das 60 partes. Esta parte será feita
por Otacílio. 
3
60
ൌ
1
20
Para transformar esta fração ordinária em porcentagem, devemos multiplicá-la por
100%. 
1
20
· 100% ൌ 5%
Letra A 
3. (MPE-RS 2010/FCC) Devido a uma promoção, um televisor está sendo
vendido com 12% de desconto sobre o preço normal. Cláudio, funcionário da loja, está
interessado em comprar o televisor. Sabendo que, como funcionário da loja, ele tem
direito a 25% de desconto sobre o preço promocional, o desconto que Cláudio terá
sobre o preço normal do televisor, caso decida adquiri-lo, será de 
a) 37% 
b) 36% 
c) 35% 
d) 34% 
e) 33% 
 
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Resolução 
Temos dois descontos sucessivos: 12% (devemos multiplicar por 100% - 12%
= 88%) e 25% (devemos multiplicar por 100% - 25% = 75%). 
Sempre que não for dada uma referência inicial, vale a pena utilizar o valor
100. Então, vamos supor que o valor inicial do produto fosse igual a 100. O
valor final após os descontos será de: 
100 ·
88
100
·
75
100
A fração 75% pode ser simplificada por 25, obtendo, então, a fração 3/4. 
O primeiro 100 pode cortar com o segundo 100 que está no denominador. 
88 ·
3
4
ൌ 66 
Ora, se o produto custava R$ 100,00 e agora custa R$ 66,00, é porque houve
um desconto de 34%. 
Letra D 
Esta é a vantagem de utilizar o valor inicial 100. A diferença entre os valores já é a
taxa percentual. 
4. (MPE-RS 2010/FCC) A empresa X possui 60 funcionários, dos quais
15% são mulheres. De acordo com uma lei aprovada recentemente, toda
empresa do ramo onde atua a empresa X deverá ter, no mínimo, 40% de
mulheres entre seus funcionários. Para que a empresa X se adapte à nova lei
sem demitir nenhum de seus atuais funcionários e não contratando novos
funcionários homens, ela deverá admitir um número de mulheres, no mínimo,
igual a 
a) 25 
b) 22 
c) 20 
d) 18 
e) 15 
Resolução 
Sabemos que dos 60 funcionários, 15% são mulheres. 
15% ݀݁ 60 ൌ
15
100
· 60 ൌ 9 ݉ݑ݈݄݁ݎ݁ݏ
Assim, há um total de 51 homens (60 – 9 = 51). 
 
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Vamos considerar que serão admitidas ݔ novas mulheres. Assim, o total de
funcionários da empresa será igual a 60 ൅ ݔ e o total de funcionárias será igual a 
 9 ൅ ݔ. Queremos que essas 9 ൅ ݔ mulheres representem 40% do total de funcionários. 
9 ൅ ݔ ܿ݋ݎݎ݁ݏ݌݋݊݀݁ ܽ 40% ݀݋ ݐ݋ݐ݈ܽ ݀݁ ݂ݑ݊ܿ݅݋݊áݎ݅݋ݏ
9 ൅ ݔ ൌ 40% ݀݁ ሺ60 ൅ ݔሻ
9 ൅ ݔ ൌ
40
100
· ሺ60 ൅ ݔሻ
9 ൅ ݔ ൌ 0,4 · ሺ60 ൅ ݔሻ
9 ൅ ݔ ൌ 24 ൅ 0,4ݔ
ݔ െ 0,4ݔ ൌ 24 െ 9
0,6ݔ ൌ 15
ݔ ൌ
15
0,6
ൌ 25
Portanto, deverão ser admitidas 25 mulheres. 
Letra A 
5. (TRE-AC 2010/FCC) Na última eleição, ao elaborar o relatório sobre o
comparecimento dos eleitores inscritos numa Seção Eleitoral, o
presidente da mesa de trabalhos observou que 40% do total de inscritos
haviam votado pela manhã e 75% do número restante no período da
tarde. Considerando que foi constatada a ausência de 27 eleitores, o
total de inscritos nessa Seção era 
a) 108 
b) 125 
c) 150 
d) 172 
e) 180 
Resolução 
 Vamos considerar que há um total de ݔ inscritos. Como 40% deste total votaram pela
manhã, então ainda faltam votar 60% dos inscritos (100% - 40% = 60%). 
ܨ݈ܽݐܽ݉ ݒ݋ݐܽݎ: 60% ݀݁ ݔ 
Destas pessoas que faltam votar, 75% votaram no período da tarde. Portanto, ainda
faltam votar 25% das pessoas restantes. 
ܨ݈ܽݐܽ݉ ݒ݋ݐܽݎ: 25% ݀݁ 60% ݀݁ ݔ
Foi constatada a ausência de 27 eleitores. Portanto: 
 
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25%݀݁ 60% ݀݁ ݔ ൌ 27
25
100
·
60 
100
· ݔ ൌ 27
0,25 · 0,6 · ݔ ൌ 27
0,15ݔ ൌ 27
ݔ ൌ
27 
0,15
ൌ 180
O total de inscritos é igual a 180. 
Letra E 
6. (PROMINP 2006/CESGRANRIO) Na Copa do Mundo de Futebol de 2002,
havia, na seleção brasileira, 10 jogadores que atuavam no exterior. Em 2006,
esse número subiu para 21. Qual o percentual de aumento do número de
jogadores que atuam no exterior convocados para a seleção brasileira, de
2002 para 2006? 
(A) 210% 
(B) 150% 
(C) 110% 
(D) 21% 
(E) 11% 
Resolução 
Para calcular a taxa percentual de aumento, basta aplicar a fórmula que vimos
anteriormente. 
݅ ൌ ௙ܸ௜௡௔௟
െ ௜ܸ௡௜௖௜௔௟ 
௜ܸ௡௜௖௜௔௟
Inicialmente (em 2002) eram 10 jogadores atuando no exterior. No final (em 2006)
eram 21 jogadores atuando no exterior. 
݅ ൌ ௙ܸ௜௡௔௟
െ ௜ܸ௡௜௖௜௔௟ 
௜ܸ௡௜௖௜௔௟
ൌ
21 െ 10
10
ൌ
11 
10
· 100% ൌ 110%
Letra C 
7. (Agente Administrativo DNOCS 2010/FCC) Das 96 pessoas que
participaram de uma festa de confraternização dos funcionários do
Departamento Nacional de Obras Contra as Secas, sabe-se que 75%
eram do sexo masculino. Se, num dado momento antes do término da
festa, foi constatado que a porcentagem dos homens havia se reduzido
a 60% do total das pessoas presentes, enquanto que o número de
mulheres permaneceu inalterado, até o final da festa, então a
quantidade de homens que haviam se retirado era 
 
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(A) 36. 
(B) 38. 
(C) 40. 
(D) 42. 
(E) 44. 
Resolução 
A quantidade de mulheres é constante. Se no início 75% das pessoas
presentes na confraternização eram homens, então 25% eram mulheres. 
25% ݀݁ 96 ൌ
25 
100
· 96 ൌ
1 
4
· 96 ൌ 24 ݉ݑ݈݄݁ݎ݁ݏ
Então, no início da festa havia 96 െ 24 ൌ 72 ݄݋݉݁݊ݏ.
Antes do término da festa, o percentual de homens se reduziu a 60%. Então as
mulheres correspondem a 40% do total de pessoas na festa. Como o número
de mulheres permaneceu constante, então estes 40% correspondem a 24
pessoas. 
Porcentagem Pessoas 
40% 24
60% ݔ 
Vamos calcular quantos homens estavam presentes no final da festa. 
Aumentando o percentual, aumenta-se o número de pessoas. As grandezas
(porcentagem e número de pessoas) são diretamente proporcionais (vamos
estudar detalhadamente as regras de três ainda nesta aula...). 
40
60
ൌ
24
ݔ
2
3
ൌ
24
ݔ
2 · ݔ ൌ 3 · 24
2ݔ ൌ 72
ݔ ൌ
72
2
ൌ 36 ݄݋݉݁݊ݏ 
Tínhamos inicialmente 72 homens. Como no final ficaram 36 homens, então o
número de homens que saiu é igual a: 
72 െ 36 ൌ 36
Letra A 
 
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8. (TRT 4ª Região 2006/FCC) Considere que em certo mês 76% das ações
distribuídas em uma vara trabalhista referiam-se ao reconhecimento de vínculo
empregatício e que, destas, 20% tinham origem na área de indústria, 25% na
de comércio e as 209 ações restantes, na área de serviços. Nessas
condições, o número de ações distribuídas e NÃO referentes ao
reconhecimento de vínculo empregatício era 
(A) 240
(B) 216
(C) 186 
(D))120 
(E) 108 
Resolução 
Vamos considerar que o total de ações distribuídas na vara trabalhista seja igual a ݔ. 
76% das ações distribuídas referiam-se ao reconhecimento de vínculo empregatício.
Portanto, 100% െ 76% ൌ 24% NÃO são referentes ao reconhecimento de vínculo 
empregatício. 
As ações distribuídas que se referem ao reconhecimento de vínculo empregatício são
dividas em três grupos: 
Origem na área de indústria: 20% 
Origem na área de comércio: 25% 
Origem na área de serviços: 209 ações 
Como as áreas de indústria e comércio totalizam 45%, então as ações que têm origem
na área de serviço totalizam 55% (100% - 45%). 
Assim: 
55% ݀݁ 76% ݀݁ ݔ ൌ 209 ܽçõ݁ݏ
55
100
·
76 
100
· ݔ ൌ 209
0,418ݔ ൌ 209
x ações
76% são referentes ao
reconhecimento de vínculo 
empregatício
Indútria: 20% de
76%
Comércio: 25% de 76%
Serviços: 55% de 76%24% não são referentes ao
reconhecimento de vínculo
empregatício
 
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ݔ ൌ
209
0,418 
Para efetuar tal divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais e depois
apagar as vírgulas. 
ݔ ൌ
209,000 
0,418
ൌ
209.000
418
ൌ 500 ܽçõ݁ݏ 
O problema pede o número de ações distribuídas e NÃO referentes ao
reconhecimento de vínculo empregatício. 
24% ݀݁ ݔ ൌ
24 
100
· 500 ൌ 120 ܽçõ݁ݏ
Letra D 
9. (METRO-SP 2007/FCC) Em um relatório sobre as atividades
desenvolvidas em um dado mês pelos funcionários lotados em certa
estação do Metrô, foi registrado que: 
− 25% do total de funcionários eram do sexo feminino e que, destes, 45%
haviam cumprido horas-extras; 
− 60% do número de funcionários do sexo masculino cumpriram horas-extras;
− 70 funcionários não cumpriram horas-extras. 
Com base nessas informações, nesse mês, o total de funcionários lotados em
tal estação era 
(A) 120 
(B) 150 
(C) 160 
(D) 180 
(E) 190 
Resolução 
Vamos considerar que há ݔ funcionários. Sabemos que 25% são mulheres e,
portanto, 75% são homens. Podemos escrever: 
݉ ൌ 0,25ݔ
݄ ൌ 0,75ݔ 
O enunciado informou que 45% das mulheres cumpriram horas-extras. Desta
forma, concluímos que 55% (= 100% - 45%) não cumpriram horas-extras. 
Não cumpriram horas extras: 55% das mulheres ൌ ૙, ૞૞࢓. 
Sabemos também que 60% dos homens cumpriram horas-extras. Assim, 40%
(=100% - 60%) não cumpriram horas-extras. 
Não cumpriram horas extras: 40% dos homens ൌ ૙, ૝૙ࢎ. 
 
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Como 70 funcionários não cumpriram horas-extras, então: 
૙, ૞૞࢓ ൅ ૙, ૝૙ࢎ ൌ ૠ૙
Vamos substituir ݉ ݌݋ݎ 0,25ݔ ݁ ݄ ݌݋ݎ 0,75ݔ. 
૙, ૞૞ · ૙, ૛૞࢞ ൅ ૙, ૝૙ · ૙, ૠ૞࢞ ൌ ૠ૙
૙, ૚૜ૠ૞࢞ ൅ ૙, ૜࢞ ൌ ૠ૙
૙, ૝૜ૠ૞࢞ ൌ ૠ૙
࢞ ൌ
ૠ૙ 
૙, ૝૜ૠ૞
ൌ ૚૟૙ ࢌ࢛࢔ࢉ࢏࢕࢔á࢘࢏࢕࢙
Letra C 
10. (METRO-SP 2007/FCC) Sabe-se que a área de uma superfície
retangular é calculada pelo produto ܥ · ܮ, em que C e L são as
respectivas medidas do comprimento e da largura do retângulo, numa
dada unidade. Suponha que a plataforma de embarque nos trens que
servem certa estação do Metrô tenha a forma de um retângulo e que,
após uma reforma, uma de suas dimensões foi diminuída em 20%,
enquanto que a outra foi acrescida de 20%. Nessas condições, é
correto afirmar que, após a reforma, a área da superfície original 
(A) não foi alterada. 
(B) foi aumentada em 2,4%. 
(C) foi diminuída de 2,4%. 
(D) foi aumentada de 4%. 
(E) foi diminuída de 4%. 
Resolução 
Vamos considerar que o comprimento seja igual a 10 e a largura também seja
igual a 10. Assim, a área da superfície é igual a 10 ൈ 10 ൌ 100. 
Diminuindo 20% do comprimento (o comprimento agora mede 8) e aumentando
20% da largura (a largura agora mede 12), a área será igual a 8 ൈ 12 ൌ 96. 
Resumindo: originalmente a área era de 100 e foi reduzida para 96, diminuindo,
portanto, 4%. 
Letra E 
Vamos agora resolver algebricamente esta questão. 
A área é o produto do comprimento pela largura. 
ܣ ൌ ܥ · ܮ
 
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Ao reduzir o comprimento em 20%, devemos multiplicá-lo por 100% - 20% =
80%. Ao aumentar a largura em 20%, devemos multiplicá-la por 100% + 20% =
120%. Assim, a nova área será igual a: 
80 
100
· ܥ ·
120 
100
· ܮ ൌ 0,96 · ܥ · ܮ ൌ
96 
100
· ܥ · ܮ
Ou seja, área final é igual a área inicial multiplicada por 96%. Significando uma
diminuição de 4%. 
11. (METRO-SP 2010/FCC) Especialistas dizem que, em um carro
bicombustível (álcool e gasolina), o uso de álcool só é vantajoso se o
quociente do preço por litro de álcool pelo do de gasolina for, no
máximo, igual a 70%. Se o preço do litro da gasolina é R$ 2,60, então
NÃOé vantajoso usar álcool quando o preço por litro de álcool 
(A) é no máximo de R$ 1,70. 
(B) é superior a R$ 1,82. 
(C) está compreendido entre R$ 1,79 e R$ 1,86. 
(D) é igual a R$ 1,78. 
(E) é menor que R$ 1,80. 
Resolução 
Os especialistas dizem que o uso de álcool só é vantajoso se o quociente do
preço por litro de álcool pelo do de gasolina for, no máximo, igual a 70%.
Podemos concluir que o uso de álcool NÃO é vantajoso usar álcool se o
referido quociente for maior que 70%. 
Á݈ܿ݋݋݈
ܩܽݏ݋݈݅݊ܽ
൐ 70%
Á݈ܿ݋݋݈
ܩܽݏ݋݈݅݊ܽ
൐ 0,70
Á݈ܿ݋݋݈ ൐ 0,70 · ሺܩܽݏ݋݈݅݊ܽሻ
Á݈ܿ݋݋݈ ൐ 0,70 · 2,60
Assim, não é vantajoso usar álcool se o preço do seu litro for maior que 
Á݈ܿ݋݋݈ ൐ 1,82 
R$ 1,82. 
Letra B 
12. (METRO-SP 2010/FCC) A área de um círculo é igual ao produto do
número π pelo quadrado da medida do seu raio. Se a razão entre os
raios de dois círculos concêntricos é 4, então a área do menor é
quantos por cento da área do maior? 
(A) 25%. 
 
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(B) 12,5%. 
(C) 6,25%. 
(D) 4%. 
(E) 3,25%. 
Resolução 
Vamos considerar que o raio do círculo menor é igual a ݎ e a raio do círculo 
maior é igual a ܴ. A razão entre os raios é igual a 4, portanto: 
ܴ 
ݎ
ൌ 4 ֞ ܴ ൌ 4ݎ
Para saber a porcentagem pedida, devemos dividir a área do menor pela área
do maior. 
ߨݎ²
ߨܴ²
Podemos cortar ߨ com ߨ. 
ݎ² 
ܴ²
ൌ ቀ
ݎ
ܴ
ቁ
ଶ
ൌ ቀ
ݎ
4ݎ
ቁ
ଶ
ൌ ൬
1
4
൰
ଶ
ൌ
1
16
ൌ 0,0625 ൌ 6,25%
Letra C 
13. (ESAF-AFC/CGU-2004) Durante uma viagem para visitar familiares com
diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças
em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20%
de seu peso. A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de
uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou
uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento.
Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu,
perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma
renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de
peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a esses quatro
familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa
seqüência de visitas, ficou: 
a) exatamente igual 
b) 5% maior 
c) 5% menor 
d) 10% menor 
e) 10% maior 
Resolução 
Suponha que Alice tinha 100 kg antes das mudanças em seu peso. 
Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. Se ela
perdeu 20% de peso, então para calcular o peso que ela ficou após essa
mudança, devemos multiplicar o valor original por 100% - 20% = 80% = 80/100. 
 
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A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que
fez Alice ganhar 20% de peso. Se ela ganhou 20% de peso, para calcular o seu
peso final, devemos multiplicar o valor por 100% + 20% = 120% = 120/100. 
Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de
emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também
emagreceu, perdendo 25% de peso. Se ela perdeu 25% de peso, devemos
multiplicar o valor do peso por 100% - 25% = 75% = 75/100. 
Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que
acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. Devemos multiplicar por
100% + 25% = 125% = 125/100. 
Assim, o peso final de Alice será calculado da seguinte maneira: 
Seu peso final será: 
100 ·
80
100
·
120
100
·
75
100
·
125 
100
ൌ 90 ݇݃
Então, já que Alice possuía 100 kg, ficou com um peso 10% menor. 
Letra D 
14. (Agente Executivo – SUSEP 2006/ESAF) Um indivíduo tinha uma dívida
de R$ 1.200,00 três meses atrás. Considerando que o valor dessa
dívida hoje é R$ 1.440,00, calcule a porcentagem de aumento da dívida
no período. 
a) 12% 
b) 15% 
c) 20% 
d) 25% 
e) 30% 
Resolução 
Para qualquer questão em que precisemos calcular o aumento ou desconto
percentual, dados o valor inicial e o final, podemos utilizar a seguinte fórmula: 
݅ ൌ ௙ܸ௜௡௔௟
െ ௜ܸ௡௜௖௜௔௟
௜ܸ௡௜௖௜௔௟
Valor inicial: R$ 1200,00 
Valor final: R$ 1440,00 
Diferença entre os valores: R$ 1440,00 – R$ 1200,00 = R$ 240,00. 
݅ ൌ
240
1200
· 100% ൌ
240
12
% ൌ 20%
 
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Letra C 
15. (Agente de Fiscalização Judiciária – TJSP 2010/VUNESP) Renato foi
abastecer seu carro. A bomba de combustível forneceu 25 litros em 2 minutos
e 20 segundos, com um fluxo de combustível constante. Então, houve um
problema nessa bomba e o frentista pediu para Renato continuar abastecendo
em outra bomba, mais adiante. A 2.ª bomba forneceu 26 litros em 2 minutos e
40 segundos, também com fluxo constante. O fluxo de combustível dessa 2.ª
bomba, em relação à 1.ª, foi 
(A) 9% menor. 
(B) 5% menor. 
(C) 2% maior. 
(D) 4% maior. 
(E) 10% maior. 
Resolução 
Vamos transformar os tempos para segundos, lembrando que um minuto
equivale a 60 segundos. 
A primeira bomba forneceu 25 litros em 2 minutos e 20 segundos. 
2 min 20 ݏ ൌ 2 · 60 ൅ 20 ൌ 140 ݏ
Portanto, o fluxo da primeira bomba foi de 25 litros/140 s. 
A segunda bomba forneceu 26 litros em 2 minutos e 40 segundos. 
2 min 40 ݏ ൌ 2 · 60 ൅ 40 ൌ 160 ݏ
Portanto, o fluxo da primeira bomba foi de 26 litros/160 s. 
A variação percentual é dada por: 
݅ ൌ ௙ܸ௜௡௔௟
െ ௜ܸ௡௜௖௜௔௟ 
௜ܸ௡௜௖௜௔௟
݅ ൌ
26
160 െ
25
140
25
140
Para dividir duas frações, devemos repetir o numerador e multiplicar pelo
inverso do denominador. Assim, 
݅ ൌ ൬
26 
160
െ
25
140
൰ ·
140
25
ൌ
26
160
·
140
25
െ
25
140
·
140
25
݅ ൌ
3.640
4.000
െ 1 ൌ 0,91 െ 1 ൌ െ0,09 ൌ െ9%
Letra A 
 
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16. (Assistente Administrativo – CRP 4ª – 2006/CETRO) Para obter um
número 20% maior que ele próprio, devo multiplicá-lo pela fração: 
(A) Dois terços 
(B) Cinco quartos 
(C) Seis quintos 
(D) Sete quintos 
(E) Oito sextos 
Resolução 
Vimos anteriormente que para dar um aumento de 20%, devemos multiplicar o
valor por 100% + 20% = 120% = 120/100. 
Simplificando a fração 120/100 obtemos 6/5. 
Letra C 
17. (Fiscal do trabalho 2003/ESAF) Uma estranha clínica veterinária atende
apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e
10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90%
agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de
todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos
e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica
veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados
nessa estranha clínica é: 
a) 50 
b) 10 
c) 20 
d) 40 
e) 70 
Resolução: 
Na clínica temos 10 gatos. 90% destes agem como gatos e 10% agem como
cães. Logo: 
Nove gatos agem como gatos e um gato age como cão. 
Vamos considerar que há ݔ cães na clínica. Destes, 90% agem como cães e
10% agem como gatos. Logo: 
0,9ݔ cães agem com cães e 0,1ݔ cães agem como gatos 
Em resumo, temos: 
Nove gatos e ૙, ૚࢞ cães agem como gatos. 
 
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 
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Um gato e 0,9ݔ cães agem como cães. 
Há 10 gatos e ݔ cães. Desta forma, o total de animais é igual a 10 ൅ ݔ. 
Sabemos pelo enunciado que 20% dos animais desta clínica agem como
gatos. Assim: 
20% ݀݋ݏ ܽ݊݅݉ܽ݅ݏ ܽ݃݁݉ ܿ݋݉݋ ݃ܽݐ݋ݏ
20% ݀݁ ሺ10 ൅ ݔሻ ൌ 9 ൅ 0,1ݔ
0,20 · ሺ10 ൅ ݔሻ ൌ 9 ൅ 0,1ݔ
2 ൅ 0,2ݔ ൌ 9 ൅ 0,1ݔ
0,2ݔ െ 0,1ݔ ൌ 9 െ 2
0,1ݔ ൌ 7
ݔ ൌ
7
0,1
ൌ 70
Há 70 cães. 
Letra E 
18. (Casa da Moeda do Brasil 2009/CESGRANRIO) “Essa semana, o
BancoCentral lançou campanha para que a população use mais moeda
e aprenda a identificar notas falsas. Este ano, até agosto, foram
apreendidas 251 mil notas falsas, totalizando R$12.386.000,00. Desse
valor, cerca de 10% correspondiam a notas de 20 reais.” 
O Globo, 24 out. 2009 (Adaptado). 
De acordo com essas informações, quantas notas falsas de 20 reais foram
apreendidas até agosto desse ano? 
(A) Menos de 20 mil 
(B) Entre 20 mil e 40 mil 
(C) Entre 40 mil e 60 mil 
(D) Entre 60 mil e 80 mil 
(E) Mais de 80 mil
Resolução 
 
Vamos, inicialmente, calcular 10% do valor total apreendido. 
10% ݀݁ ܴ$ 12.386.000,00 ൌ
10
100
· 12.386.000,00 ൌ ܴ$ 1.238.600,00
 
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 
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Esse valor corresponde ao total apreendido com notas de R$ 20,00. Para saber
a quantidade de notas de R$ 20,00, basta dividir o valor total apreendido por 
20. 
1.238.600
20
ൌ 61.930 ݊݋ݐܽݏ ݀݁ ܴ$ 20,00
Letra D 
19. (Casa da Moeda do Brasil 2009/CESGRANRIO) Um comerciante
aumentou em 20% o preço de suas mercadorias. Com isso, as vendas
diminuíram, e ele resolveu oferecer aos clientes um desconto de 30%
sobre o preço com aumento. Desse modo, qual é, em reais, o preço
com desconto de uma mercadoria que inicialmente custava R$ 200,00? 
(A) 144,00 
(B) 168,00 
(C) 180,00 
(D) 188,00 
(E) 196,00 
Resolução 
Em geral, ao diminuir p%, para calcular o valor final, devemos multiplicar por
100% - p%. 
Da mesma forma, para aumentar p% de certo valor, devemos multiplicá-lo por
100% + p%. 
Assim, quando o comerciante aumenta o preço da mercadoria em 20%,
devemos multiplicar o seu valor por 100% + 20% = 120%. 
Em seguida, quando o comerciante dá um desconto de 30% sobre o preço,
devemos multiplicar o valor por 100% - 30% = 70%. 
O valor final será igual a: 
200 ·
120
100
·
70 
100
ൌ 168 ݎ݁ܽ݅ݏ
Letra B 
20. (PROMINP 2009/CESGRANRIO) Paulo aproveitou uma promoção e
comprou por R$ 1.280,00 um computador novo, vendido com 20% de
desconto. Qual era, em reais, o preço desse computador sem o
desconto? 
(A) 1.420,00 
(B) 1.488,00 
(C) 1.536,00 
 
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(D) 1.580,00 
(E) 1.600,00 
Resolução 
Vamos supor que o preço do computador, inicialmente, fosse de ݔ reais. 
Quando ocorre a promoção com 20% de desconto, devemos multiplicar o valor
do computador por 100% - 20% = 80%. 
ݔ ·
80
100
ൌ 1.280 
O 100 que está dividindo passa para o segundo membro multiplicando. O 80
que está multiplicando passa para o segundo membro dividindo. 
ݔ ൌ 1.280 ·
100
Inicialmente, o computador valia R$ 1.600,00. 
80
ൌ 1.600
Letra E 
21. (Agente Administrativo CRF-SP 2009/VUNESP) Um grupo de amigos foi
a um restaurante, e a conta apresentada pelos serviços tinha a seguinte
descrição: 
Ao conferirem a conta, perceberam que os 3 últimos itens não haviam sido
consumidos e pediram para o garçom refazer a conta, calculando novamente o
que havia sido consumido e recalculando também o valor do serviço, que
corresponde a 10% do valor do que foi consumido. Desse modo, o valor total
que seria cobrado a mais, incluindo o serviço, representa, em relação ao valor
total da conta correta, 
 
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(A) 28%. 
(B) 36%. 
(C) 38%. 
(D) 40%. 
(E) 42%. 
Resolução 
O valor que seria cobrado a mais corresponde a 
ܦ൅ܧ൅ܨൌ20൅35൅45ൌ100 reais. Devemos ainda acrescentar a taxa de 10% de 
serviço. 
10% ݀݁ 100,00 ൌ
10 
Desta forma, o valor total cobrado a mais é igual a 110 reais. 
100
· 100 ൌ 10 ݎ݁ܽ݅ݏ
A conta correta é a seguinte: 
Produto Consumido Valor (R$) 
A 110,00 
B 80,00 
C 60,00 
Subtotal 110,00 ൅ 80,00 ൅ 60,00 ൌ 250
10% (serviço) 10% de 250 = 25 reais 
Total da conta 250 ൅ 25 ൌ 275 ݎ݁ܽ݅ݏ 
Desse modo, o valor total que seria cobrado a mais, incluindo o serviço,
representa, em relação ao valor total da conta correta, 
110
275
ൌ 0,4 ൌ 40%
Letra D 
22. (PROMINP 2009/CESGRANRIO) (...) estamos nos tornando uma
sociedade cada vez mais em rede; atualmente 82 em cada 100 lares
nos EUA têm acesso à Internet, um aumento de 11% desde 2006.” 
O Globo Digital, 03 nov. 2008. (Adaptado) 
Considerando-se as informações apresentadas no texto acima, a quantidade
de lares norte americanos que tinham acesso à Internet em 2006 era de,
aproximadamente, 
(A) 67% 
(B) 68% 
 
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(C) 71% 
(D) 74% 
(E) 77% 
Resolução 
Vamos considerar que, em cada 100 lares, x tinham acesso à Internet em
2006. Como houve um aumento de 11%, então devemos multiplicar este valor
por 100% + 11% = 111%. 
111 
100
· ݔ ൌ 82
ݔ ൌ 82 ·
100 
Este valor indica que, em 2006, aproximadamente 74 em cada 100 lares nos 
111
؆ 73,87 
EUA tinham acesso à Internet. 
Letra D 
23. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Um técnico em informática resolveu
reajustar o valor de seus serviços em 30%, mas, para os clientes
antigos, manteve o preço sem reajuste. Em relação ao novo preço, os
clientes antigos terão, aproximadamente, um desconto de 
(A) 17% 
(B) 23% 
(C) 27% 
(D) 30% 
(E) 33% 
Resolução 
Vamos supor que o preço do serviço do técnico, inicialmente, fosse de R$
100,00. Quando ele resolve reajustar o valor dos seus serviços em 30%, ele
passa a cobrar 
R$ 130,00. 
O preço agora é de R$ 130,00 e ele fará o serviço por R$ 100,00 para seus
clientes antigos. Para calcular a taxa de desconto, devemos utilizar a fórmula
ensinada anteriormente. 
݅ ൌ ௙ܸ௜௡௔௟
െ ௜ܸ௡௜௖௜௔௟ 
௜ܸ௡௜௖௜௔௟
ൌ
100 െ 130
130
ൌ െ
30 
130
· 100% ؆ െ23%
Letra B 
24. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Da receita de certa editora, 20%
correspondem às vendas on-line e o restante, às vendas em livrarias.
Essa editora tem como meta dobrar o faturamento das vendas on-line e
aumentar em 50% o faturamento das vendas em livrarias. Se essa meta 
 
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for cumprida, que parcela da receita total dessa editora as vendas on-
line passarão a representar? 
(A) 25% 
(B) 30% 
(C) 35% 
(D) 40% 
(E) 45% 
Resolução 
Vamos considerar que a receita da editora seja de R$ 100,00. Desta forma, R$
20,00 correspondem às vendas on-line e R$ 80,00 às vendas em livrarias. 
Dobrando o faturamento das vendas on-line, temos um total de R$ 40,00
correspondentes às esse tipo de venda. 
Vamos aumentar em 50% o faturamento das vendas em livrarias. Como 50%
de R$ 80,00 é igual a R$ 40,00, então o faturando deste tipo de venda será de
R$ 120,00 (80 +40). 
O faturamento total agora é de R$ 40,00 + R$ 120,00 = R$ 160,00. 
Para saber a parcela representativa das vendas on-line, devemos dividir o
faturamento das vendas on-line pelo faturamento total. 
40 
160
ൌ 0,25 ൌ 25%
Letra A 
25. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Segundo o Código Florestal
Brasileiro, o percentual de mata nativa que o proprietário de um imóvel
rural é obrigado a preservar varia de acordo com a região. Na
Amazônia, esse percentual é de 80%. Já, no Cerrado, é de 35%. Duas
propriedades, A e C, a primeira na Amazônia e a segunda, no Cerrado,
têm a mesma área de mata nativa preservada. Se a área total da
propriedade A é 315 ha, qual é, em ha, a área total da propriedade C? 
(A) 505 
(B) 630 
(C) 720 
(D) 904 
(E) 1.102 
Resolução 
A área total da propriedade A é de 315 hectares. Segundo o Código Florestal
Brasileiro, o percentual de mata nativa que os proprietários de imóveis rurais
devem preservar na Amazônia é de 80%. 
Portanto, a área preservada na propriedade A deve ser de: 
 
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80
100
· 315 ൌ 0,8 · 315 ൌ 252 ݄݁ܿݐܽݎ݁ݏ 
De acordo com o enunciado, esta área preservada na propriedade A é igual a
área preservada na propriedade C. 
Á
Vamos considerar que a área total da propriedade C seja de
ݎ݁ܽ ݌ݎ݁ݏ݁ݎݒܽ݀ܽ ݊ܽ ݌ݎ݋݌ݎ݅݁݀ܽ݀݁ ܥ ൌ 252 ݄݁ܿݐܽݎ݁ݏ
ݔ hectares. De
acordo com o Código Florestal Brasileiro, o percentual de mata nativa que os
proprietários de imóveis rurais devem preservar no Cerrado é de 35%.
Portanto: 
35% ݀݁ ݔ ൌ 252
35 
100
· ݔ ൌ 252
O 100 que está dividindo “passa” multiplicando e o 35 que está multiplicando
“passa” dividindo. 
ݔ ൌ 252 ·
100
35
ݔ ൌ 720 ݄݁ܿݐܽݎ݁ݏ
Letra C 
26. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Durante o primeiro semestre de 2009,
as montadoras de veículos venderam, no Brasil, 1,45 milhão de
automóveis. Nos primeiros seis meses de 2010, as vendas foram ainda
maiores, registrando um crescimento de 9% em relação ao mesmo
período do ano anterior. Quantos milhões de automóveis,
aproximadamente, foram vendidos no Brasil, no primeiro semestre de
2010? 
(A) 1,64 
(B) 1,58 
(C) 1,52 
(D) 1,48 
(E) 1,30 
Resolução 
Para aumentar a quantidade de veículos vendidos em 9%, devemos multiplicar
a quantidade por 100% + 9% = 109%. 
1,45 ·
109
100
ൌ 1,5805
Letra B 
 
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(TJBA 2003/CESPE-UnB) 
Os dados acima representam a evolução da quantidade de processos
analisados em uma repartição pública e do número de servidores que
analisaram esses processos, em uma semana de expediente. A produtividade
em um dia é o resultado do quociente entre a quantidade de processos
analisados naquele dia e a quantidade de servidores que analisaram esses
processos. Com base nesses dados, julgue os seguintes itens. 
27. Na sexta-feira, o número de servidores que analisaram processos
aumentou mais de 50% em relação ao número dos que fizeram essa
atividade na segunda-feira. 
Resolução 
 
݅ ൌ
௏೑೔೙ೌ೗ି௏೔೙೔೎೔ೌ೗
௏೔೙೔೎೔ೌ೗
Foram 5 funcionários na segunda-feira e 8 funcionários na sexta-feira. O
percentual de aumento é: 
݅ ൌ
8 െ 5
5
ൌ 0,6 ൌ 60%
O item está certo. 
 
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28. Na sexta-feira, a produtividade foi 80% maior que na segunda-feira. 
Resolução 
ܲݎ݋݀ݑݐ݅ݒ݅݀ܽ݀݁ ൌ
quantidade de processos analisados
quantidade de servidores que analisaram esses processos
Na segunda-feira, 75 processos foram analisados por 5 funcionários. A
produtividade da segunda-feira é igual a: 
75
5
ൌ 15 ݌ݎ݋ܿ݁ݏݏ݋ݏ/݂ݑ݊ܿ݅݋݊áݎ݅݋
Na sexta-feira, 216 processos foram analisados por 8 funcionários. A
produtividade da sexta-feira é igual a: 
216 
8
ൌ 27 ݌ݎ݋ܿ݁ݏݏ݋ݏ/݂ݑ݊ܿ݅݋݊áݎ݅݋
O percentual de aumento é dado por: 
݅ ൌ ௙ܸ௜௡௔௟
െ ௜ܸ௡௜௖௜௔௟ 
௜ܸ௡௜௖௜௔௟
ൌ
27 െ 15
15
ൌ
12 
15
ൌ 0,8 ൌ 80%
O item está certo. 
(PMAC 2009/CESPE-UnB) O tiro certeiro da lei 
Em São Paulo, o índice de homicídios caiu drasticamente — graças também à
lei que restringiu o acesso às armas de fogo. Depois dessa lei, o número de
homicídios na capital paulista diminuiu em 61% nos assassinatos premeditados
e em 27% nos assassinatos cometidos por impulso. Esses números comparam
o número de assassinatos ocorridos em 2003 com a média de homicídios
ocorridos em 2006 e 2007, na capital paulista. Nos homicídios ocorridos na
capital paulista, enquanto o uso de armas de fogo diminuiu, o de facas e outros
instrumentos aumentou: 
 
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Com relação ao texto acima e considerando que a média de homicídios em
2006/2007, na capital paulista, tenha sido 30% superior à quantidade de
homicídios ocorridos em 2003 nessa mesma cidade, julgue os itens seguintes. 
29. Na situação apresentada, a quantidade de homicídios com o uso de
armas de fogo em 2003 foi superior à média dos homicídios em
2006/2007 praticados com o uso desse tipo de instrumento. 
Resolução 
Sem perda de generalidade, vamos supor que o número de homicídios em
2003 foi igual a 100. Como a quantidade de homicídios em 2006/2007 foi 30%
maior, concluímos que a quantidade de homicídios neste período foi igual a
130. 
Em 2003, 89% dos homicídios foram ocorridos com armas de fogo. Desta
forma, 89 homicídios foram ocorridos com armas de fogo (89% de 100). 
Em 2006/2007, 66% dos homicídios foram ocorridos com armas de fogo. Como
foram 130 homicídios: 
66% ݀݁ 130 ൌ
66
100
· 130 ൌ 85,8 ݄݋݉݅ܿí݀݅݋ݏ ܿ݋݉ ܽݎ݉ܽݏ ݀݁ ݂݋݃݋.
Concluímos que a quantidade de homicídios com o uso de armas de fogo em
2003 foi superior à média dos homicídios em 2006/2007 praticados com o uso
desse tipo de instrumento. 
O item está certo. 
30. A média em 2006/2007 da quantidade de homicídios com o uso de
arma branca foi superior ao triplo dessas ocorrências em 2003. 
Resolução 
Vamos utilizar o mesmo raciocínio do item anterior. Vamos supor que foram
100 homicídios no ano de 2003. Consequentemente, 130 homicídios em
2006/2007. 
De acordo com a tabela, em 2003, 7% dos homicídios foram ocorridos com
armas brancas. Portanto, apenas 7 homicídios com armas brancas (7% de
100). 
Em 2006/2007, o percentual de homicídios com armas brancas foi 17%. Como
foram 130 homicídios: 
 
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17% ݀݁ 130 ൌ
17 
100
· 130 ൌ 22,1 ݄݋݉݅ܿí݀݅݋ݏ ܿ݋݉ ܽݎ݉ܽݏ ܾݎܽ݊ܿܽݏ.
A média em 2006/2007 da quantidade de homicídios com o uso de arma
branca foi superior ao triplo dessas ocorrências em 2003. 
Como o triplo de 7 é 21 e 22,1>21, o item está certo. 
(PMAC 2009/CESPE-UnB) A poluição dos carros paulistanos 
São Paulo começou neste ano a fazer a inspeção ambiental dos veículos
registrados na cidade. Os movidos a dísel são os primeiros. 
Veja os números dos veículos na capital paulista: 
· veículos registrados: 6,1 milhões; 
· está fora de circulação ou trafega irregularmente: 1,5 milhão; 
· movidos a dísel: 800.000; 
· cumprem os limites de emissão de poluentes: 20% dos veículos
inspecionados. 
Idem, p. 63 (com adaptações). 
Tendo o texto acima como referência, julgue os itens seguintes. 
31. Mais de 25% dos veículos registrados na capital paulista estão fora de
circulação ou trafegam irregularmente. 
Resolução 
São 6,1 milhões de carros registrados. Vejamos quanto é 25% deste valor: 
25 
100
· 6,1 ݈݄݉݅õ݁ݏ ൌ 1,525 ݈݄݉݅õ݁ݏ
Como 1,5 milhão carros trafegam irregularmente ou estão fora de circulação
(1,5<1,525), o percentual de carros que trafegam irregularmente ou fora de
circulação é menor que 25%. 
O item está errado. 
32. Menos de 3/4 dos veículos registrados na capital paulista circulam
regularmente. 
 
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Resolução 
3
4
ൌ 0,75 ൌ 75%
Vamos reescrever o item. 
“Menos de 75% dos veículos registrados na capital paulista circulam
regularmente.” 
Como menos de 25% dos carros andam irregularmente ou estão fora de
circulação (questão 11), então mais de 75% dos veículos circulam
regularmente. 
O item está errado. 
33. Suponha que 32% dos veículos registrados na cidade de São Paulo
passaram pela inspeção ambiental. Nesse caso, mais de 400.000 dos
veículos registrados na capital paulista cumprem os limites de emissão
de poluentes. 
Resolução 
Devemos calcular 32% do total de veículos registrados na cidade de São
Paulo. 
32% ݀݁ 6,1 ݈݄݉݅õ݁ݏ ൌ
32
100
· 6,1 ݈݄݉݅õ݁ݏ ൌ 1,952 ݈݄݉݅ã݋
Temos 1,952 milhão de carros inspecionados. 
O texto nos informou que cumprem os limites de emissão de poluentes: 20%
dos veículos inspecionados. 
Vamos calcular 20% de 1,952 milhão. 
Observe que 1,952 milhão é igual a 1.952.000 carros. 
20 
100
· 1.952.000 ൌ 390.400 ܿܽݎݎ݋ݏܿݑ݉݌ݎ݁݉ ݋ݏ ݈݅݉݅ݐ݁ݏ ݀݁ ݌݋݈ݑ݁݊ݐ݁ݏ
O item está errado. 
34. Se 3/32 dos veículos registrados na cidade de São Paulo estão fora de
circulação, então mais de 14% dos veículos registrados estão
trafegando irregularmente. 
 
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Resolução 
São 6,1 milhões de veículos registrados na cidade de São Paulo. 
3 
32
· 6,1 ݈݄݉݅õ݁ݏ ൌ 571.875 ܿܽݎݎ݋ݏ ݂݋ݎܽ ݀݁ ܿ݅ݎܿݑ݈ܽçã݋
O texto informou: está fora de circulação ou trafega irregularmente: 1,5 milhão; 
Portanto, 1.500.000 െ 571.875 ൌ 928.125 ܿܽݎݎ݋ݏ ݐݎ݂ܽ݁݃ܽ݉ ݅ݎݎ݁݃ݑ݈ܽݎ݉݁݊ݐ݁.
Vamos calcular 14% do total de carros: 
14 
100
· 6.100.000 ൌ 854.000 ܿܽݎݎ݋ݏ
Como 928.125>854.000, concluímos que mais de 14% dos veículos
registrados estão trafegando irregularmente. 
O item está certo. 
(PMCE 2008/CESPE-UnB) Turismo no Brasil: tomado pela informalidade 
O turismo brasileiro atravessa um período de franca expansão. Entre 2002 e
2006, o número de pessoas que trabalham nesse setor aumentou 14% e
chegou a 1,869 milhão. Cerca de 60% desse contingente de trabalhadores está
no mercado informal, sem carteira assinada. A estatística faz parte de um
estudo realizado pelo Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA). O
quadro abaixo mostra a distribuição espacial da ocupação do setor de turismo
no Brasil, no ano de 2006. 
Segundo o estudo, as atividades ligadas ao turismo com maior índice de
trabalhadores formais são as de hotelaria, pousadas e locação de veículos,
enquanto alimentação, cultura e lazer são as atividades com maior índice de
trabalhadores informais. 
 
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 
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Veja. Ed. n.º 2.065, 18/6/2008, p. 59 (com adaptações). 
Tendo o texto acima como referência, julgue os itens que se seguem. 
35. Infere-se do texto que em 2002 havia mais de 1,65 milhão de
trabalhadores no setor de turismo no Brasil. 
Resolução 
Digamos que o número de trabalhadores em 2002 no setor de turismo foi igual
a ݔ. Se no período houve um aumento de 14%, devemos multiplicar ݔ por 
114%. Este valor final é igual a 1,869 milhão. 
114 
100
· ݔ ൌ 1,869 ݈݄݉݅ã݋
ݔ ൌ
100
Portanto, em 2002 havia menos de 1,65 milhão de trabalhadores no setor de 
114
· 1,869 ݈݄݉݅ã݋ ؆ 1,639 ݈݄݉݅ã݋ 
turismo no Brasil. O item está errado. 
36. Em termos percentuais, se 25% dos trabalhadores informais do setor de
turismo no Nordeste deixarem a informalidade, a porcentagem dos
informais no Nordeste será inferior à porcentagem dos informais no
Sudeste. 
Resolução 
Se 25% dos trabalhadores informais do setor de turismo no Nordeste deixarem
a informalidade, restarão apenas 75% dos trabalhadores informais. Como os
trabalhadores informais no Nordeste correspondem a 72% dos empregos no
setor, teremos que calcular 75% de 72%. 
75% ݀݁ 72% ൌ 0,75 · 72% ൌ 54%
Como a porcentagem dos informais no Sudeste é igual a 52%, o item está
errado. 
37. Considerando que, na região Norte, em 2007, a quantidade de
trabalhadores ligados ao turismo tenha crescido 10% com relação a
2006 e que as quantidades totais desses trabalhadores com empregos
informais e formais sejam números diretamente proporcionais àqueles
de 2006, nessa situação, em 2007, na região Norte, havia mais de 
38.000 trabalhadores ligados ao turismo com emprego formal e menos
de 110.000 com emprego informal. 
 
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 
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Resolução 
Havia, em 2006, um total de 135.000 trabalhadores no setor de turismo na
região Norte. A quantidade de trabalhadores no setor de turismo no ano de
2007 cresceu 10% em relação a 2006. Como 10% de 135.000 é igual a 13.500,
concluímos que a quantidade de trabalhadores no setor na região Norte no ano
de 2007 é igual a 148.500 (135.000+13.500). 
As quantidades totais desses trabalhadores com empregos informais e formais
sejam números diretamente proporcionais àqueles de 2006: 74% e 26%,
respectivamente. 
74% ݀݁ 148.500 ൌ
74 
100
· 148.500 ൌ 109.890 ݁݉݌ݎ݁݃݋ݏ ݂݅݊݋ݎ݉ܽ݅ݏ
26% ݀݁ 148.500 ൌ
26 
100
· 148.500 ൌ 38.610 ݁݉݌ݎ݁݃݋ݏ ݂݋ݎ݉ܽ݅ݏ
O item está certo. 
38. Das 5 regiões brasileiras, aquela que apresenta a maior diferença
percentual entre o número de trabalhadores do setor de turismo com
emprego informal e o número de trabalhadores com emprego formal é a
região Nordeste. 
Resolução 
Sudeste: 
Sul: 
52% െ 48% ൌ 4%
52% െ 48% ൌ 4%
Centro-Oeste: 
Nordeste: 
54% െ 46% ൌ 8%
Norte: 
72% െ 28% ൌ 44%
74% െ 26% ൌ 48%
O item está errado. Das 5 regiões brasileiras, aquela que apresenta a maior
diferença percentual entre o número de trabalhadores do setor de turismo com
emprego informal e o número de trabalhadores com emprego formal é a região
Norte. 
39. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) O consumo de energia elétrica na
casa de Regina, em novembro de 2009, aumentou em 30% em relação
ao de outubro, por causa do calor. Entretanto, em dezembro, Regina
reparou que o consumo de energia elétrica diminuiu 10% em relação ao 
 
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36
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mês anterior. Então, o consumo de dezembro em relação ao de outubro
é maior em: 
a) 15% 
b) 17% 
c) 18% 
d) 20% 
e) 22% 
Resolução 
Vamos colocar um valor de referência inicial (outubro) igual a 100. Temos um
aumento de 30%, portanto devemos multiplicar por 100% + 30% = 130%. Em
seguida temos uma diminuição de 10% e devemos multiplicar por 100% - 10%
= 90%. 
100 ·
130
100
·
90
Como o valor inicial do consumo em outubro foi igual a 100 e o consumo em 
100
ൌ 117 
dezembro foi igual a 117, o aumento foi de 17%. 
Letra B 
40. (Câmara Municipal de Vassouras 2006/CEPERJ) Em uma loja de
roupas, as vendas em fevereiro superaram as de janeiro em 20% e as
vendas em março superaram as de fevereiro em 60%. De janeiro a
março, o aumento nas vendas desta loja foi de: 
A) 80% 
B) 86% 
C) 92% 
D) 120% 
Resolução 
Temos dois aumentos sucessivos: 20% (devemos multiplicar por 100% + 20%
= 120%) e 60% (devemos multiplicar por 100% + 60% = 160%). 
Sempre que não for dado uma referência inicial, vale a pena utilizar o valor
100. Então, vamos supor que o valor inicial das vendas em janeiro foi igual a
100. O valor das vendas em março será igual a: 
100 ·
120
100
·
100
ൌ 192
160
Temos, portanto, um aumento de 92%. 
Letra C 
 
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 
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41. (Câmara Municipal de Vassouras 2006/CEPERJ) Dois descontos
sucessivos de 30% e 40% são equivalentes a um único desconto de: 
A) 58% 
B) 62% 
C) 66% 
D) 70% 
Resolução 
Temos agora dois descontos sucessivos. Vamos adotar a mesma estratégia de
utilizar o valor inicial igual a 100. 
Para calcular o valor final depois do desconto de 30%, devemos multiplicar o
valor inicial por 100% - 30% = 70%. Da mesma maneira, para dar o desconto
de 40%, devemos multiplicar o valor por 100% - 40% = 60%. 
100 ·
70
100
·
60 
100
ൌ 42
Ora, se uma hipotética mercadoria custava 100 e agora custa 42, então o
desconto total dado foi de 100 – 42 = 58. 
Desta forma, o desconto percentual foi de 58% (porque o valor inicial é igual a
100). 
Letra A 
42. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Durante a noite, o dono de uma loja aumentou
todos os preços em 20% e, no dia seguinte, anunciou um desconto de
30% em todos os produtos. O desconto real que ele está oferecendo é
de: 
a) 10% 
b) 12% 
c) 14% 
d) 16% 
e) 18% 
Resolução 
Continuando com a mesma estratégia. Digamos que todos os preços sejam
iguais a 100. O dono da loja aumentou os preços em 20% (devemos multiplicar
por 100% + 20% = 120%) e em seguida anunciou um desconto de 30%
(devemos multiplicar por 100% - 30% = 70%).100 ·
120
100
·
70 
100
ൌ 84
Ora, se as mercadorias custavam 100 e agora custam 84, então o desconto
dado foi de 100 – 84 = 16. Como o valor inicial adotado foi igual a 100, o
desconto percentual é de 16%. 
 
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Letra D 
43. (SEE/RJ 2007/CEPERJ) Em uma semana, as ações de certa
companhia valorizaram 20% e, na semana seguinte, desvalorizaram
20%. O valor das ações é: 
A) o mesmo que o valor inicial 
B) maior em 2% que o valor inicial 
C) menor em 2% que o valor inicial 
D) maior em 4% que o valor inicial 
E) menor em 4% que o valor inicial 
Resolução 
Vamos assumir que o valor inicial das ações é igual a 100. Se as ações
valorizaram 20%, devemos multiplicar o valor de cada ação por 100% + 20% =
120%. Com a desvalorização de 20%, devemos multiplicar por 100% - 20% =
80%. 
100 ·
120
100
·
80 
100
ൌ 96
Ora, se as ações valiam 100 e agora valem 96, elas desvalorizaram 4%. 
Letra E 
44. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Um trabalhador gasta com o aluguel
de sua casa 25% do seu salário. Se o salário é corrigido com um
aumento de 25% e o aluguel com um aumento de 35%, então o novo
aluguel passará a consumir a seguinte porcentagem do novo salário do
trabalhador: 
a) 25% 
b) 35% 
c) 27% 
d) 37% 
e) 50% 
Resolução 
Digamos que o salário inicial do trabalhador é igual a 100. Como o aluguel
consome 25% do seu salário, então o aluguel é igual a 25. 
O salário aumentou 25%. Devemos, então, multiplicar o salário por 100% +
25% = 125%. 
100 ·
125
100
ൌ 125 
O aluguel sofreu um aumento de 35%. Devemos, portanto, multiplicá-lo por
100% + 35% = 135%. 
 
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25 ·
135
100
ൌ 33,75 
Para saber qual a porcentagem do salário consumida pelo aluguel, devemos
dividir o valor do aluguel pelo salário do trabalhador e multiplicar por 100%
(sempre que quisermos transformar uma fração em porcentagem devemos
multiplicar por 100%). 
33,75
125
· 100% ൌ
3.375 
125
% ൌ 27%
Letra C 
45. (SEE/RJ 2007/CEPERJ) Pedro investiu certa quantia comprando ações
de uma indústria. No final do primeiro ano, ele verificou que as ações
tinham valorizado 25%, mas no final do ano seguinte ele disse: “Puxa,
eu tenho hoje o dobro do dinheiro que investi”. A valorização dessas
ações no segundo ano foi de: 
A) 50% 
B) 55% 
C) 60% 
D) 70% 
E) 75% 
Resolução 
Digamos que o valor inicial das ações de Pedro é igual a 100. Se elas
valorizaram 25%, devemos multiplicar seu valor por 100% + 25% = 125%. 
100 ·
125
100
ൌ 125 
No final do ano seguinte ele disse: “Puxa, eu tenho hoje o dobro do dinheiro
que investi”. Ora, como o valor inicial era igual a 100 e seu valor foi dobrado,
então o valor final é igual a 200. 
Queremos saber a valorização das ações no segundo ano. O valor inicial das
ações no segundo ano era igual a 125. Para calcular a variação percentual
utilizaremos a seguinte fórmula: 
݅ ൌ
݂݀݅݁ݎ݁݊çܽ ݁݊ݐݎ݁ ݋ݏ ݒ݈ܽ݋ݎ݁ݏ ݈݅݊݅ܿ݅ܽ ݁ ݂݈݅݊ܽ
ݒ݈ܽ݋ݎ ݈݅݊݅ܿ݅ܽ
· 100%
Valor inicial: R$ 125,00. 
Valor final: R$ 200,00 . 
Diferença entre os valores: 200 – 125 = 75 
 
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݅ ൌ
75
125
· 100% ൌ
7.500 
125
% ൌ 60%
Letra C 
Razão e Proporção
Vamos começar com algumas definições formais que serão fundamentais para
um bom entendimento das resoluções das questões. 
Razão de um número a para um número b, sendo b diferente de zero, é o
quociente de a por b. 
Então quando aparecer a palavra razão, devemos sempre nos lembrar que
haverá uma divisão!! 
Denotamos por a : b = a / b a razão entre os números a e b. O número a é
chamado de antecedente e o número b de consequente. 
O conceito de razão nos permite fazer comparações de grandeza entre dois
números. 
Há, por exemplo, um tipo especial de razão: a escala. 
A escala é a relação entre as distâncias representadas num mapa e as
correspondentes distâncias reais. Escala é a razão entre a medida no desenho
e o correspondente na medida real. 
real
desenhodoMedida
Medida
Escala =
Desta forma, quando você lê em um mapa que a escala é de 1 : 100, isto
significa que para cada unidade de comprimento no desenho, teremos 100
unidades de comprimento na realidade. 
 Escala = 1 :100 
Isto significa que: 
1 centímetro no desenho equivale a 100 centímetros na realidade.
1 decímetro no desenho equivale a 100 decímetros na realidade.
1 metro no desenho equivale a 100 metros na realidade. 
E assim por diante... 
 
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Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre 
d 
c e 
b
a é a 
igualdade: 
d
c
b
a = . Podemos escrever 
ܽ
ܾ
ൌ
ܿ
݀
֞ ܽ/ܾ ൌ ܿ/݀
Com a notação da esquerda, dizemos que a e c são os antecedentes; b e d
são os consequentes. 
Com a notação da direita, dizemos que a e d são os extremos, e que b e c são
os meios. 
Em toda proporção, é válida a seguinte propriedade (chamada de Propriedade
Fundamental das Proporções): o produto dos meios é igual ao produto dos
extremos. 
ܽ
ܾ
ൌ
ܿ
݀
֞ ܾ · ܿ ൌ ܽ · ݀
Por exemplo, 
4 
6
ൌ
8 
12
֞ 6 · 8 ൌ 4 · 12 ൌ 48
É importantíssima a seguinte propriedade: A soma dos antecedentes está para
a soma dos consequentes assim como qualquer antecedente está para o seu
consequente. 
ܽ
ܾ
ൌ
ܿ
݀
ൌ
ܽ ൅ ܿ
ܾ ൅ ݀
Por exemplo, 
4 
6
ൌ
8
12
ൌ
4 ൅ 8
6 ൅ 12
ൌ
12
18
Ou seja, podemos “prolongar” toda proporção, somando os numeradores das
frações e somando os denominadores. Utilizaremos diversas vezes esta
propriedade na resolução de questões envolvendo divisão proporcional. 
Isso é o básico que devemos saber para resolver questões sobre razões,
proporções e divisão proporcional. Ao longo da resolução das questões,
colocarei mais algumas propriedades e definições. 
Vamos ver alguns exemplos para, em seguida, resolvermos questões de
concursos recentes. 
 
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Exemplo: A definição de densidade demográfica é dada pela razão entre o
número de habitantes de uma região e a área dessa região. Pedro fez uma
pesquisa, em sua cidade, para calcular qual seria a densidade demográfica da
região onde mora. Ele conseguiu, junto à prefeitura, as seguintes informações:
a área da cidade era de 2.651 km2 e a quantidade de pessoas que residiam na
localidade era de 151.107 habitantes. De posse dessas informações, ele
concluiu que a densidade demográfica de sua cidade é de: 
Resolução 
O enunciado informou que a definição de densidade demográfica é dada pela
razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região. 
Vimos anteriormente que a palavra RAZÃO tem o mesmo significado de
quociente (divisão)!!! 
ܦ݁݊ݏ݅݀ܽ݀݁ ݀݁݉݋݃ݎá݂݅ܿܽ ൌ 
݊ú
á 
݉݁ݎ݋ ݀݁ ݄ܾܽ݅ݐܽ݊ݐ݁ݏ
ݎ݁ܽ ݀ܽ ݎ݁݃݅ã݋
ൌ
151.107 ݄ܾܽ݅ݐܽ݊ݐ݁ݏ
2.651 ݇݉ଶ
ܦ݁݊ݏ݅݀ܽ݀݁ ݀݁݉݋݃ݎá݂݅ܿܽ ൌ 57 ݄ܾܽ݅ݐܽ݊ݐ݁ݏ/݇݉ଶ 
Exemplo: Em uma fábrica trabalham 216 funcionários, sendo que 135 são do
sexo masculino e 81 pertencem ao sexo feminino. Calcule a razão entre o
número de funcionários do sexo masculino e o número do sexo feminino. 
Resolução 
Para calcular a razão entre o número de funcionários do sexo masculino e o
número do sexo feminino basta dividir o número de homens pelo número de
mulheres. 
ܪ݋݉݁݊ݏ
ܯݑ݈݄݁ݎ݁ݏ
ൌ
135
81
ൌ
45
27
ൌ
15
9
ൌ
5
3
A fração 135/81 foi simplificada por 3, por 3, e por 3. Se você já tivesse
percebido que 135 e 81 são divisíveis por 27, poderia ter simplificado direto. 
Exemplo: Em uma proporção contínua, a terceira proporcional dos números1
e 5 é igual a: 
Resolução 
Uma proporção é contínua quando os meios são iguais. Ou seja, é uma
proporção do tipo 
 
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ܽ
ܾ
ൌ
ܾ
ܿ
E o número c é chamado de terceira proporcional dos números a e b. 
Assim, 
1 
5
ൌ
5
ܿ
1 · ܿ ൌ 5 · 5
ܿ ൌ 25
Portanto, 25 é a terceira proporcional dos números 1 e 5. 
O momento é oportuno para lembrar que na proporção 
ܽ
ܾ
ൌ
ܿ
݀
O número d é a quarta proporcional dos números a, b, c. 
Exemplo: A razão entre dois segmentos de reta x e y é 2/5, então a razão
entre o quíntuplo do segmento x e a metade do segmento y é igual a: 
Resolução 
Pelo enunciado, podemos escrever que 
ݔ
ݕ
ൌ
2
5
Queremos calcular a seguinte razão: 
5ݔ
ݕ
2
Lembre-se que para dividir frações, repetimos a fração do numerador,
invertemos a fração do denominador e multiplicamos. Dessa forma, 
5ݔ
ݕ
2
ൌ 5ݔ ·
2 
ݕ
ൌ 10 ·
ݔ
ݕ
ൌ 10 ·
2 
5
ൌ
20
5
ൌ 4
Exemplo: Na proporção x/y = 2/5. Sabendo-se que x+y=49, o valor de x e y
será de: 
Resolução 
ݔ
ݕ
ൌ
2
5
 
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Dica: É preferível que você coloque as incógnitas no numerador e os números
no denominador. Você poderá fazendo isso trocando os meios de lugar, ou
trocando os extremos. Por exemplo, podemos trocar o y com o 2. Essa troca é
válida porque o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, e a ordem
dos fatores não altera o produto. 
Assim, a mesma proporção pode ser escrita como 
ݔ 
2
ൌ
ݕ 
Vamos agora utilizar uma propriedade que mencionei anteriormente. 
5 
Podemos “prolongar” toda proporção, somando os numeradores das frações e
somando os denominadores. 
ݔ 
2
ൌ
ݕ
5
ൌ
ݔ ൅ ݕ
2 ൅ 5
ൌ
49
7
ൌ 7
Dessa forma, 
ݔ 
2
ൌ 7 ֞ ݔ ൌ 14 ݁ 
ݕ
5
ൌ 7 ֞ ݕ ൌ 35 
Exemplo: Considere dois números x e y que sejam diretamente proporcionais
a 8 e 3 e cuja diferença entre eles seja 60. Determine o valor de ( x + y ). 
Resolução 
Se os números x e y são diretamente proporcionais a 8 e 3, podemos
escrever 
ݔ 
8
ൌ
ݕ
3 
E da mesma forma que podemos “prolongar” a proporção somando os
numeradores e os denominadores, podemos também subtrair. Assim, 
ݔ 
8
ൌ
ݕ
3
ൌ
ݔ െ ݕ
8 െ 3
ൌ
60
5
ൌ 12
ݔ 
8
ൌ 12 ֞ ݔ ൌ 96 ݁ 
ݕ
3
ൌ 12 ֞ ݕ ൌ 36
Portanto, 
ݔ ൅ ݕ ൌ 96 ൅ 36 ൌ 132 
Exemplo: Em uma festa, a razão entre o número de moças e o de rapazes, é
de 3/2. A porcentagem de rapazes na festa é: 
 
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Resolução 
Se a razão entre o número de moças e o de rapazes é 3/2, então 
݉ 
ݎ
ൌ
3
2
Falamos anteriormente que é preferível que você coloque as incógnitas no
numerador e os números no denominador. Você poderá fazendo isso trocando
os meios de lugar, ou trocando os extremos. 
݉
3
ൌ
ݎ
2
Queremos saber o percentual de rapazes. Podemos supor que o total de
pessoas é igual a 100. Se o total de pessoas (m+r) for igual a 100, então
quantos serão rapazes? 
݉
3
ൌ
ݎ 
2
ൌ
݉ ൅ ݎ
3 ൅ 2
ൌ
100
5
ൌ 20
ݎ 
2
ൌ 20 ֜ ݎ ൌ 40
Ou seja, se fossem 100 pessoas no total, 40 seriam rapazes. Portanto, o
percentual de rapazes é 40%. 
Exemplo: Se a razão entre dois números é 5 e a soma entre eles é 30, pode-
se afirmar que a diferença entre eles é: 
Resolução 
Sejam x e y os números. 
ݔ
ݕ
ൌ 5 ֜ ݔ ൌ 5ݕ
Como a soma deles é 30, 
ݔ ൅ ݕ ൌ 30
Vamos substituir ݔ por 5ݕ.
5ݕ ൅ ݕ ൌ 30 ֜ 6ݕ ൌ 30 ֜ ݕ ൌ 5
Como ݔ ൌ 5ݕ, ݁݊ݐã݋ ݔ ൌ 5 · 5 ൌ 25
A diferença entre eles é 25 – 5 = 20. 
Exemplo: Paulo tem três filhos, Rodrigo de 15 anos, Ricardo de 20 anos e
Renato de 25 anos. Paulo pretende dividir R$ 3.000,00 para os três filhos em 
 
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valores proporcionais as suas idades. É correto afirmar que o valor que Rodrigo
deve receber é: 
Resolução 
Queremos dividir R$ 3.000,00 em três partes diretamente proporcionais a 15,
20 e 25 anos, que são as idades de Rodrigo, Ricardo e Renato,
respectivamente. 
Assim, 
ܴ݋
15
ൌ
ܴ݅
20
ൌ
ܴ݁
25
Obviamente ܴ݋ ൅ ܴ݅ ൅ ܴ݁ ൌ 3.000. 
Assim, somando os numeradores e somando os denominadores, podemos
prolongar a proporção. 
ܴ݋
15
ൌ
ܴ݅
20
ൌ
ܴ݁
25
ൌ
ܴ݋ ൅ ܴ݅ ൅ ܴ݁
15 ൅ 20 ൅ 25
ൌ
3.000 
60
ൌ 50
Temos então: 
ܴ݋
15
ൌ 50 ֜ ܴ݋ ൌ 15 · 50 ൌ 750 
Exemplo: Três técnicos receberam, ao todo, por um serviço R$3.540,00. Um
deles trabalhou 2 dias, o outro 4 dias e o outro 6 dias. Sabendo-se que a
divisão do valor é proporcional ao tempo que cada um trabalhou, o técnico que
trabalhou mais dias recebeu: 
Resolução 
Devemos dividir R$ 3.540,00 em partes diretamente proporcionais a 2,4 e 6
dias. Assim, temos a seguinte proporção: 
ܽ
2
ൌ
ܾ 
4
ൌ
ܿ
6
Obviamente, a soma das três partes (a+b+c) é igual a R$ 3.540,00. Dessa
forma, 
ܽ
2
ൌ
ܾ 
4
ൌ
ܿ 
6
ൌ
ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ
2 ൅ 4 ൅ 6
ൌ
12
ൌ 295
3.540
O técnico que mais trabalhou (6 dias) recebeu 
ܿ 
6
ൌ 295 ֜ ܿ ൌ 6 · 295 ൌ 1.770 ݎ݁ܽ݅ݏ
 
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Exemplo: Uma gratificação de R$ 5.280,00 será dividida entre três
funcionários de uma empresa na razão direta do número de filhos e na razão
inversa das idades de cada um. André tem 30 anos e possui 2 filhos; Bruno
com 36 anos tem 3 filhos e Carlos tem 48 anos e 6 filhos. É correto que o mais
velho receberá: 
Resolução 
Temos agora uma divisão diretamente proporcional ao número de filhos e
inversamente proporcional às idades. 
Em divisões desse tipo, a proporção tomará a seguinte forma: 
ܽ
݀݅ݎ݁ݐܽ
݅݊ݒ݁ݎݏܽ
ൌ
ܾ
݀݅ݎ݁ݐܽ
݅݊ݒ݁ݎݏܽ
ൌ
ܿ
݀݅ݎ݁ݐܽ
݅݊ݒ݁ݎݏܽ
No nosso exemplo, a divisão será diretamente proporcional a 2, 3 e 6
(ficam no numerador) e será inversamente proporcional a 30, 36 e 48
(ficam no denominador). 
ܽ
2
30
ൌ
ܾ
3
36
ൌ
ܿ
6
48
Podemos simplificar as frações: 
ܽ
1
15
ൌ
ܾ
1
12
ൌ
ܿ
1
8
Podemos facilitar nossas vidas adotando o seguinte procedimento: 
Sempre que numa proporção houver frações nos denominadores, devemos
calcular o m.m.c dos denominadores das frações. 
No caso, o m.m.c. entre 8,12 e 15 é igual a 120. Devemos agora dividir 120 por
15 e multiplicar por 1. Devemos dividir 120 por 12 e multiplicar por 1. Devemos
dividir 120 por 8 e multiplicar por 1. 
ܽ
8
ൌ
ܾ
10
ൌ
ܿ
15
Agora temos uma proporção muito parecida com às dos quesitos anteriores.
Devemos somar os numeradores e os denominadores. 
ܽ
8
ൌ
ܾ
10
ൌ
ܿ 
15
ൌ
ܽ ൅ ܾ ൅ ܿ
8 ൅ 10 ൅ 15
ൌ
5.280 
33
ൌ 160
O mais velho, Carlos, receberá: 
ܿ 
15
ൌ 160 ֜ ܿ ൌ 15 · 160 ൌ 2.400 ݎ݁ܽ݅ݏ
 
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46. (TRE – AC 2010/FCC) Suponha que, para transportar as urnas
eletrônicas usadas em uma eleição foi utilizada uma viatura do TRE do Estado
do Acre. Na ocasião, o motorista responsável pela condução de tal viatura
consultou um mapa feito na escala 1 : 20 000 000, ou seja, 1 unidade de
medida no mapa correspondem a 20 000 000 unidades de medida real. Se
nesse mapa o município de Rio Branco distava 1,19 cm do de Brasiléia e o
município de Tarauacá distava 2,27 cm do de Rio Branco, quantos quilômetros
a viatura deve ter percorrido no trajeto: Rio Branco Brasiléia Rio Branco 
Tarauacá Rio Branco? 
a) 1.482 
b) 1.384 
c) 1.146 
d) 930 
e) 692 
Resolução 
No mapa, o trajeto indicado dá um total de: 
1,19 ൅ 1,19 ൅ 2,27 ൅ 2,27 ൌ 6,92 ܿ݉
Esta é a medida do desenho.Sabemos que: 
ܧݏ݈ܿܽܽ ൌ
݉݁݀݅݀ܽ ݀݋ ݀݁ݏ݄݁݊݋ 
݉݁݀݅݀ܽ ݎ݈݁ܽ
1
20.000.000
ൌ
6,92 ܿ݉
ݔ
Portanto: 
ݔ ൌ 6,92 · 20.000.000 ൌ 138.400.000 ܿ݉
Pelo “tipo” de número, começando por 1384 só podemos marcar a alternativa B
(pois ele quer a resposta em quilômetros). Vamos à transformação. 
Como 1 metro equivale a 100 cm, para transformar aquela medida para metros
devemos dividir por 100 (cortar dois zeros). 
ݔ ൌ 1.384.000 ݉݁ݐݎ݋ݏ
Para transformar de metro para quilômetro, devemos dividir por 1000 (cortar
três zeros), já que 1 km = 1.000 m. 
ݔ ൌ 1.384 ݇݉
 
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 
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Letra B 
47. (MPE-RS 2010/FCC) A tabela a seguir mostra as participações dos três
sócios de uma empresa na composição de suas ações. 
Os lucros da empresa em determinado ano, que totalizaram R$ 560.000,00,
foram divididos entre os três sócios proporcionalmente à quantidade de ações
que cada um possui. Assim, a sócia Maria Oliveira recebeu nessa divisão 
a) R$ 17.500,00 
b) R$ 56.000,00 
c) R$ 112.000,00 
d) R$ 140.000,00 
e) R$ 175.000,00 
Resolução 
As divisões foram feitas em partes diretamente proporcionais. Vamos
denominar os lucros de cada sócio com a letra inicial do nome de cada um. 
݌
15.000
ൌ
݉
10.000
ൌ
ܿ
Vamos simplificar os denominadores por 1.000. 
7.000
݌
15
ൌ
݉
10
ൌ
ܿ
7
Agora temos uma proporção muito parecida com às dos quesitos anteriores.
Devemos somar os numeradores e os denominadores. 
݌
15
ൌ
݉
10
ൌ
ܿ 
7
ൌ
݌ ൅ ݉ ൅ ܿ 
15 ൅ 10 ൅ 7
ൌ
560.000
32
ൌ 17.500
A parte de Maria Oliveira será igual a: 
݉ ൌ 10 ൈ 17.500 ൌ 175.000
Letra E 
 
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48. (TRF 5ª Região 2008/FCC) A razão entre as idades de dois técnicos é
igual a 5/9. Se a soma dessas idades é igual a 70 anos, quantos anos o
mais jovem tem a menos que o mais velho? 
a) 15 
b) 18 
c) 20 
d) 22 
e) 25 
Resolução 
Vamos considerar que a idade do mais novo é igual a ݊ e a idade do mais 
velho é igual a ݒ. A razão entre essas idades é igual a 5/9. 
݊ 
ݒ
ൌ
5
9
Falamos anteriormente que é preferível que você coloque as incógnitas no
numerador e os números no denominador. Você poderá fazendo isso trocando
os meios de lugar, ou trocando os extremos. 
݊
5
ൌ
ݒ
9 
A soma das idades é igual a 70 anos. Vamos então prolongar a proporção
somando os numeradores e somando os denominadores. 
݊
5
ൌ
ݒ
9
ൌ
݊ ൅ ݒ
5 ൅ 9
ൌ
70 
14
ൌ 5
Portanto: 
݊ ൌ 5 ൈ 5 ൌ 25
ݒ ൌ 9 ൈ 5 ൌ 45
A idade do mais novo é 25 e a idade do mais velho é 45. 
A diferença entre as idades é igual a 20 anos. 
Letra C 
49. (FCC-TRF-1a-Região 2001) Dois funcionários de uma Repartição
Pública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse
total na razão direta de suas respectivas idades e inversa de seus
respectivos tempos de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3
anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no serviço
público, então a diferença positiva entre os números de processos que
cada um arquivou é 
 
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(A) 48 
(B) 50 
(C) 52 
(D) 54 
(E) 56 
Resolução 
Temos uma divisão diretamente proporcional às idades e divisão inversamente
proporcional aos tempos de serviços. 
A proporção terá a seguinte forma: 
ܽ
݀݅ݎ݁ݐܽ
݅݊ݒ݁ݎݏܽ
ൌ
ܾ
݀݅ݎ݁ݐܽ
݅݊ݒ݁ݎݏܽ
27 42
93
a b=
 
O m.m.c entre 3 e 9 é igual a 9. Para facilitar nossas vidas, devemos dividir 9
por 3 e multiplicar por 27, resultando 81. Devemos dividir 9 por 9 e multiplicar
por 42, resultando 42. 
164 4
81 42 81 42 123 3
a b a b+= = = =+ 
481 108
3
442 56
3
108 56 52
a
b
a b
= ⋅ =
= ⋅ =
− = − =
Letra C 
50. (SUSEP 2010/ESAF) Um pai deseja dividir uma fazenda de 500
alqueires entre seus três filhos, na razão direta da quantidade de filhos
que cada um tem e na razão inversa de suas rendas. Sabendo-se que a
renda do filho mais velho é duas vezes a renda do filho mais novo 
e que a renda do filho do meio é três vezes a renda do mais novo, e
que, além disso, o filho mais velho tem três filhos, o filho do meio 
 
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tem dois filhos e o filho mais novo tem dois filhos, quantos alqueires
receberá o filho do meio? 
a) 80 
b) 100 
c) 120 
d) 160 
e) 180 
Resolução 
Digamos que a renda do filho mais novo seja igual a 1. Portanto a renda do
filho mais velho será igual a 2 e a renda do filho do meio será igual a 3. 
Temos a seguinte proporção: 
࢜
૜
૛
ൌ
࢓
૛
૜
ൌ
࢔
૛
૚
O mínimo múltiplo comum entre 2, 3 e 1 é igual a 6. Podemos desenvolver a
proporção da seguinte maneira: dividimos pelo denominador e multiplicamos
pelo numerador (com as frações que se encontram no denominador). Por
exemplo, olhe para a primeira fração: 3/2. Dividimos 6 (m.m.c.) por 2 e
multiplicamos por 3. Obtemos o número 9. A segunda fração: 6 dividido por 3,
vezes 2: obtemos o número 4. Finalmente a última fração: 6 dividido por 1,
vezes 2: obtemos o número 12. A proporção ficará: 
࢜ 
ૢ
ൌ
࢓
૝
ൌ
࢔
૚૛
Temos uma divisão diretamente proporcional aos números 9, 4 e 12. 
࢜ 
ૢ
ൌ
࢓
૝
ൌ
࢔
૚૛
ൌ
࢜ ൅ ࢓ ൅ ࢔
ૢ ൅ ૝ ൅ ૚૛
ൌ
૞૙૙
૛૞
ൌ ૛૙
Assim, o filho do meio receberá 4 x 20 = 80 alqueires. 
Letra A 
51. (Pref. de São Paulo 2008/FCC) Lourival e Juvenal são funcionários da
Prefeitura Municipal de São Paulo há 8 e 12 anos, respectivamente.
Eles foram incumbidos de inspecionar as instalações de 75
estabelecimentos comerciais ao longo de certa semana e decidiram
dividir esse total entre si, em partes inversamente proporcionais aos
seus respectivos tempos de serviço na Prefeitura. Com base nessas
informações, é correto afirmar que coube a Lourival inspecionar 
(A) 50 estabelecimentos. 
(B) 15 estabelecimentos a menos do que Juvenal. 
(C) 20 estabelecimentos a mais do que Juvenal. 
(D) 40% do total de estabelecimentos. 
 
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(E) 60% do total de estabelecimentos.
Resolução 
Vamos considerar que Lourival inspecionará ݈ estabelecimentos e Juvenal 
inspecionará ݆ estabelecimentos. 
Já que a divisão será em partes inversamente proporcionais aos seus
respectivos tempos de serviço na Prefeitura, a proporção ficará assim: 
݈
1
8
ൌ
݆
1
12
Vamos adotar a mesma estratégia da questão anterior. O mínimo múltiplo
comum entre 8 e 12 é igual a 24. Olhe para as frações dos denominadores.
Devemos dividir 24 por 8 e 24 por 12. A proporção ficará assim: 
݈ 
3
ൌ
݆
2
Aplicando a propriedade das proporções. Devemos somar os numeradores e
somar os denominadores. Lembre-se que o total de estabelecimentos
inspecionados é igual a 75. 
݈ 
3
ൌ
݆ 
2
ൌ
݈ ൅ ݆
3 ൅ 2
ൌ
75
5
ൌ 15
݈ ൌ 3 · 15 ൌ 45 
݆ ൌ 2 · 15 ൌ 30
Desta forma, Lourival inspecionou 45 estabelecimentos e Juvenal inspecionou
30 estabelecimentos. 
Vamos agora analisar as alternativas: 
É correto afirmar que coube a Lourival inspecionar: 
(A) 50 estabelecimentos (FALSO) 
(B) 15 estabelecimentos a menos do que Juvenal (FALSO, pois foram 15
estabelecimentos a mais do que Juvenal). 
(C) 20 estabelecimentos a mais do que Juvenal (FALSO, pois foram 15
estabelecimentos a mais do que Juvenal). 
(D) 40% do total de estabelecimentos. (FALSO, pois 40% de 75 é igual a 30). 
(E) 60% do total de estabelecimentos (VERDADEIRO, pois 60% de 75 é igual a 
45). 
 
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Resposta: Letra E 
52. (Agente de Estação