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MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 1 www.pontodosconcursos.com.br Aula 2 – TRF 1ª Região CONJUNTOS NUMÉRICOS . .......................................................................................................... 2 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS . ...................................................................................... 2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS . .................................................................................... 3 Propriedade comutativa da adição . ........................................................................................ 4 Propriedade associativa da adição. ......................................................................................... 4 Existência do elemento neutro da adição. .............................................................................. 4 Propriedade do fechamento da adição. .................................................................................. 5 Propriedade comutativa da multiplicação . ............................................................................. 6 Propriedade associativa da multiplicação. .............................................................................. 6 Existência do elemento neutro da multiplicação. ................................................................... 6 Propriedade do fechamento da multiplicação. ....................................................................... 7 Propriedade Distributiva . ......................................................................................................... 7 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS. . ..................................................................................... 11 REGRAS DOS SINAIS NAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS . ...................................... 12 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS. ................................................................................... 14 Potências . .................................................................................................................................. 38 Problemas envolvendo múltiplos e divisores. ........................................................................... 43 Relação das questões comentadas nesta aula. ......................................................................... 53 Gabaritos . .................................................................................................................................. 63 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 2 www.pontodosconcursos.com.br CONJUNTOS NUMÉRICOS Não podemos ministrar um curso de Matemática sem falar sobre números. O engraçado é que definir o que é um número está fora do escopo deste curso. Para falar a verdade, é bem complicado definir o que são números... O professor Giuseppe Peano (1858-1932) era um matemático notável. Na introdução de seu trabalho intitulado Sul concetto de numero (1891), escreveu: Uma criança, desde tenra idade, usa as palavras um, dois, três, etc., posteriormente usa a palavra número; somente muito mais tarde a palavra agregado aparece em seu vocabulário. E como a filologia nos ensina, o desenvolvimento dessas palavras ocorre na mesma ordem nas línguas indo- européias. Portanto, do ponto de vista prático, a questão me parece resolvida; ou seja, não há vantagem, no ensino, definir número. Esta ideia é muito clara para os alunos e qualquer definição iria somente confundi-los. Por outro lado, mesmo sem definir os “números”, todos nós temos uma noção bem definida sobre esses objetos matemáticos. E não precisamos falar que os números estão ao nosso redor como bem disse Pitágoras: “Os números governam o mundo”. Nesta primeira parte da aula, apresentaremos os chamados conjuntos numéricos e suas propriedades. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS A noção de um número natural surge com a pura contagem de objetos. Ao contar, por exemplo, os livros de uma estante, temos como resultado um número do tipo: Գ ൌ ሼ0,1,2,3… ሽ Obviamente não poderíamos ter um número negativo de livros. Também não poderíamos imaginar alguém falando: “Tenho 3,4231 livros na minha estante”. A este conjunto denominamos conjunto dos números naturais. Se por acaso houver a necessidade de excluir o número 0 (zero), indicaremos com um asterisco sobrescrito à letra N. ܰכ ൌ ሼ1,2,3,4… ሽ Este conjunto é chamado conjunto dos números naturais não-nulos. No conjunto dos números naturais, podemos definir apenas duas operações básicas: adição e multiplicação. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 3 www.pontodosconcursos.com.br Você deve estar se perguntando: “E por que não subtração e divisão?” A questão é a seguinte: dizemos que uma operação está bem definida quando sempre podemos operar naquele conjunto. Por exemplo: Será que é sempre possível somar dois números naturais? É claro que sim!! Podemos efetuar 2+3=5, 3+0=3 e assim por diante. Ou seja, a soma de dois números naturais também é um número natural. Por isso, dizemos que o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à adição. Será que é sempre possível multiplicar dois números naturais? É claro que sim!! Podemos efetuar 3 x 5 = 15, 4 x 1 = 4, 8 x 0 = 0... Podemos então concluir que o produto de dois números naturais é também um número natural. Ou seja, o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à multiplicação. Será que é sempre possível subtrair dois números naturais? Agora respondemos em alto e bom tom... NÃO!!! Podemos efetuar 5 – 3 = 2. Por outro lado, não podemos efetuar (no conjunto dos números naturais) 3 – 5. Isto porque o resultado desta operação é um número negativo. Podemos então dizer que o conjunto dos números naturais NÂO É FECHADO em relação à subtração. Da mesma maneira sabemos que o conjunto dos números naturais NÃO É FECHADO em relação à divisão. Podemos efetuar 8 : 2 = 4, mas não podemos efetuar 2 : 8 (o resultado desta operação, como iremos ver adiante, é uma fração que não é um número natural). Observe que falamos algumas expressões tipicamente matemáticas como soma, adição, multiplicação, produto, etc. Qual é a diferença entre soma e adição? É a mesma coisa? Vejamos... OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS Como bem já dissemos, podemos definir apenas duas operações no conjunto dos números naturais: adição e multiplicação. Vamos aprender detalhadamente cada uma dessas operações. Considere o seguinte cálculo: 3 + 5 = 8. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 4 www.pontodosconcursos.com.br O símbolo “+” representa a operação de adição. O resultado da adição é chamado de soma. Portanto “adição” e “soma” não têm o mesmo significado. Adição é o nome da operação. Soma é o resultado da adição. Definimos então a operação de adição: a,b parcelas c soma a b c →⎡+ = ⎢ →⎣ No nosso exemplo, os números 3 e 5 são as parcelas e 8 é a soma. Vejamos algumas propriedades importantes da adição. Propriedade comutativa da adição Esta propriedade afirma que alterar a ordem das parcelas não altera a soma. Em símbolos: para todos a,b Na b b a+ = + ∈ Obviamente sabemos que 3 + 5 = 8 e 5 +3 = 8, portanto 3 + 5 = 5 + 3. Ex.: 4554945 954 +=+ ⎭⎬ ⎫ =+ =+ Propriedade associativa da adição A adição de três números naturais pode ser feita associando-se as duas primeiras ou as duas últimas parcelas. Aqui, devemos obedecer à regra de que devemos primeiro efetuar as operações que se encontram dentro dos parêntesis. 5)(3253)(2 10825)(32 105553)2( ++=++ ⎭⎬ ⎫ =+=++ =+=++ Existência do elemento neutro da adição Existe o número 0 (zero) que possui a seguinte propriedade. ܽ 0 ൌ 0 ܽ ൌ ܽ Desta forma, 5 + 0 = 0 + 5 = 5. Por esta razão, o número zero é chamado de elemento neutro da adição.MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 5 www.pontodosconcursos.com.br Propriedade do fechamento da adição A soma de dois números naturais é um número natural. Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a adição é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Vai adicionar dois números naturais? Com certeza o resultado (a soma) será um número natural!! Não tem como a soma ser um número negativo, um número irracional, etc. Vamos falar um pouquinho agora sobre a multiplicação. Observe o seguinte cálculo: 3 ൈ 4 ൌ 12 Podemos representar a operação da multiplicação por dois símbolos (ou nenhum como veremos adiante). Usualmente, utilizamos o ൈ ݑ ·. Assim, 3 ൈ 4 ൌ 3 · 4 ൌ 12. Quando estamos trabalhando com letras ou com expressões dentro de parêntesis é muito comum não utilizamos símbolo algum para representar a multiplicação. Assim, 3ܽ ݏ݂݅݃݊݅݅ܿܽ 3 ݒ݁ݖ݁ݏ ܽ. Ou seja, 3ܽ ൌ 3 · ܽ ൌ 3 ൈ ܽ. Vamos nos deparar muitas vezes com expressões do tipo: ሺݔ 2ሻሺݔ െ 1ሻ. Observe que não há símbolo algum entre os parêntesis do meio. Esta expressão significa que devemos multiplicar as expressões que estão nos parêntesis. Daqui por diante usaremos indistintamente os símbolos ሺݔ 2ሻሺݔ െ 1ሻ ൌ ሺݔ 2ሻ · ሺݔ െ 1ሻ ൌ ሺݔ 2ሻ ൈ ሺݔ െ 1ሻ ൈ ݁ ·. Normalmente utilizaremos quando estivermos trabalhando exclusivamente com números e utilizaremos quando houver letras na expressão. Mas não se preocupe... Você pode utilizar qualquer um dos dois símbolos. Veja o que fica melhor esteticamente e utilize... Ok? Podemos agora definir a operação da multiplicação, suas propriedades e nomenclaturas. a,b fatores c produto a b c →⎡× = ⎢ →⎣ MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 6 www.pontodosconcursos.com.br Da mesma maneira que foi comentado na operação de adição, convém observar a diferença entre “multiplicação” e “produto”. Multiplicação é o nome da operação e produto é o resultado da multiplicação. Propriedade comutativa da multiplicação A ordem dos fatores não altera o produto. É-me indiferente efetuar 3 x 4 ou efetuar 4 x 3. O resultado (produto) será o mesmo 12. Desta forma, podemos afirmar que para todos a,bab ba N= ∈ . Lembre-se que ܾܽ significa a vezes b. Ou seja, ܾܽ ൌ ܾܽ ൌ ܽ · ܾ ൌ ܾ · ܽ ൌ ܽ ൈ ܾ ൌ ܾ ൈ ܽ 2772 1427 1472 ⋅=⋅ ⎭⎬ ⎫ =⋅ =⋅ Propriedade associativa da multiplicação A multiplicação de três números naturais pode ser feita associando-se os dois primeiros ou os dois últimos fatores. 5)(4354)(3 602035)(43 6051254)3( ⋅⋅=⋅⋅⎭⎬ ⎫ =⋅=⋅⋅ =⋅=⋅⋅ Existência do elemento neutro da multiplicação Existe o número 1 (um) que possui a seguinte propriedade: ܽ · 1 ൌ 1 · ܽ ൌ ܽ Ou seja, tanto faz efetuar 4 vezes 1 ou 1 vezes 4: o resultado é igual a 4. Por essa razão, o número 1 é chamado elemento neutro da multiplicação. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 7 www.pontodosconcursos.com.br Propriedade do fechamento da multiplicação O produto de dois números naturais é um número natural. Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a multiplicação é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Vai multiplicar dois números naturais? Com certeza o resultado (o produto) será um número natural!! Não tem como o produto ser um número negativo, um número irracional, etc. Temos ainda uma propriedade que relaciona a multiplicação e a adição. É a chamada propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ou simplesmente propriedade distributiva. Propriedade Distributiva Antes de enunciar a propriedade seja com palavras seja com símbolos, vejamos um exemplo. Efetue 2 · ሺ3 5ሻ. Existe uma hierarquia entre as operações matemáticas. Se não estivessem escritos os parêntesis, no caso, 2 · 3 5, deveríamos efetuar primeiramente 2 · 3 ൌ 6 e em seguida adicionar o 5. No caso, 2 · 3 5 ൌ 6 5 ൌ 11. Mas no nosso caso há os parêntesis. Devemos, portanto, ignorar a hierarquia das operações, pois devemos efetuar obrigatoriamente as operações que estão dentro dos parêntesis. 2 · ሺ3 5ሻ ൌ 2 · 8 ൌ 16 A propriedade distributiva nos diz que na multiplicação de uma soma por um número natural, multiplicam-se cada um dos termos por esse número e em seguida somamos os resultados. No caso, para efetuar 2 · ሺ3 5ሻ podemos multiplicar 2 por 3, multiplicar 2 por 5 e finalmente somar os dois resultados. 2 · ሺ3 5ሻ ൌ 2 · 3 2 · 5 ൌ 6 10 ൌ 16 Utilizaremos bastante este fato ao trabalhar com “letras”... Por exemplo, a expressão 2 · ሺݔ 3ሻ pode ser desenvolvida da seguinte maneira: 2 · ሺݔ 3ሻ ൌ 2 · ݔ 2 · 3 ൌ 2 · ݔ 6 Ou simplesmente: 2 · ሺݔ 3ሻ ൌ 2ݔ 6 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 8 www.pontodosconcursos.com.br 01. (TCE/PB/2006/FCC) Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcionário responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a seguinte resposta: “O total de livros do acervo é o resultado da adição de dois números naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos substituídos por letras.” M A R R A + M A R R A T O R T A Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então, ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros do acervo dessa biblioteca é um número a) menor que 70000. b) compreendido entre 70000 e 75000. c) compreendido entre 75000 e 80000. d) compreendido entre 80000 e 85000. e) maior que 85000. Resolução Vamos entender o enunciado. Ele simplesmente efetuou uma adição e trocou os algarismos por letras. Letras iguais correspondem a números iguais e letras distintas correspondem a algarismos distintos. Olhemos inicialmente para os algarismos das unidades. Devemos descobrir um número tal que A A A+ = . Ou seja, qual é o número que somado com ele mesmo, é igual a ele mesmo?? Só pode ser o número zero!! Tem-se, então, que 0A = . Observe que 0 + 0 = 0 (lembre-se que o número zero é o elemento neutro da adição). Já podemos substituir as letras A por 0. M 0 R R 0 M 0 R R 0 T O R T 0 Observe os algarismos das dezenas e das centenas. Aparentemente realizamos a mesma operação R R+ e obtemos dois resultados distintos. Isso se deve ao fato de a soma ser maior do que 10 e somos obrigados a acrescentar uma unidade na casa das centenas. Devemos testar R para o seguinte conjunto de valores: {5,6,7,8,9} (pois a soma deve ser maior do que 10). Será que R = 5? Rapidamente concluímos que R não pode ser 5, pois ao efetuar R + R = 10, temos que T = 0. Mas lembre-se que letras distintas MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 9 www.pontodosconcursos.com.br correspondem a algarismos distintos. E como A = 0, T não pode ser 0 e consequentemente R não pode ser 5. Será que R = 6? Vejamos o que acontece... Lembre-se que 6 + 6 =12. M 0 R=6 R=6 0 M 0 R=6 R=6 0 T O=1 R=3 T=2 0 Observe o absurdo. Ao efetuarmos 6 + 6 obtemos 12. Escrevemos o algarismo das unidades 2 no resultado e “subimos 1”. Na coluna do meio devemos efetuar R + R + 1 (este 1 é aquele que “subiu”). Temos que 6 + 6 + 1 = 13, então escrevemos o algarismo das unidades 3 e subimos 1. Temos agora que R = 3. Absurdo, já que estávamos supondo que R = 6. Da mesma maneira, testando R = 7 e R = 8 chegamos a absurdos parecidos com o caso R = 6. Chega-se a conclusão de que R=9. 0 9 9 0 0 9 9 0 9 8 0 Desse modo, sabemos que T=8. Logo, a soma será escrita da seguinte forma: 4 0 9 9 0 4 0 9 9 0 8 1 9 8 0 Logo, MARRA=81980. Letra D 02. (Senado Federal/2008/FGV) Na operação de multiplicação abaixo,cada letra representa um algarismo O valor de A+B+C é: MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 10 www.pontodosconcursos.com.br a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 Resolução 3 1 3, 3 2 6, 3 3 9 3 4 12, 3 5 15, 3 6 18 3 7 21, 3 8 24, 3 9 27 × = × = × = × = × = × = × = × = × = Ao multiplicarmos o algarismo C pelo número 3, obtemos um número cujo algarismo das unidades é igual a 4. Logo, 8C = . Como 3 8 24× = , ao efetuarmos o produto do número 3 pelo algarismo B, devemos adicionar 2 ao resultado. 1 A B 8 x 3 A B 8 4 O produto 3 B⋅ deverá ser um número cujo algarismo das unidades seja igual a 6, pois ao adicionarmos 2 teremos como resultado um número cujo algarismo das unidades é igual a 8. Logo, B=2, pois 3 2 6× = . 1 A 2 8 X 3 A 2 8 4 Finalmente, o número A deve ser tal que 3 A⋅ termine em 2. Portanto, 4A = . 1 4 2 8 X 3 4 2 8 4 Como 4A = , 2B = e 8C = , temos que 14A B C+ + = . MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 11 www.pontodosconcursos.com.br Letra E CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Vimos anteriormente que o conjunto dos números naturais é fechado em relação à adição e à multiplicação. Com o intuito de definir a operação “subtração” ampliaremos o conjunto dos números naturais. Criamos, portanto, o conjunto dos números inteiros que é representado pela letra Z (inicial de zahl - número em alemão). Chama-se conjunto dos números inteiros o conjunto Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} Dizemos que o número – ݔ é o simétrico ou oposto do número ݔ. Por exemplo, o número െ5 é o simétrico de 5 e reciprocamente: 5 é o simétrico de െ5. Neste conjunto ܼ destacam-se os seguintes subconjuntos: (1) Conjunto ܼכ dos inteiros não nulos (diferentes de zero): ܼכ ൌ ሼݔ א ܼ|ݔ ് 0ሽ ൌ ሼ…െ 3,െ2,െ1,1,2,3,… ሽ (2) Conjunto ܼି dos inteiros não positivos (menores ou iguais a zero): ܼି ൌ ሼݔ א ܼ|ݔ 0ሽ ൌ ሼ…െ 3,െ2,െ1,0ሽ (3) Conjunto ܼା dos inteiros não negativos (maiores ou iguais a zero): ܼା ൌ ሼݔ א ܼ|ݔ 0ሽ ൌ ሼ0,1,2,3,4… ሽ (4) Conjunto ܼିכ dos inteiros negativos (menores que zero): ܼିכ ൌ ሼݔ א ܼ|ݔ ൏ 0ሽ ൌ ሼ…െ 3,െ2,െ1ሽ (5) Conjunto ܼାכ dos inteiros positivos (maiores que zero): ܼାכ ൌ ሼݔ א ܼ|ݔ 0ሽ ൌ ሼ1,2,3,4… ሽ Observe que o número 0 não pertence ao conjunto dos inteiros positivos e não pertence ao conjunto dos inteiros negativos. Portanto, o número 0 (zero) não é positivo e não é negativo. Dizemos que zero é neutro. Observe que sempre que efetuarmos a adição de um número com o seu oposto (simétrico) o resultado será igual a 0. Desta forma: MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 12 www.pontodosconcursos.com.br 5 ሺെ5ሻ ൌ 0 2 ሺെ2ሻ ൌ 0 െ3 3 ൌ 0 Podemos então definir a operação “subtração” da seguinte maneira: ܽ െ ܾ ൌ ܽ ሺെܾሻ a minuendo b subtraendo c diferença a b c →⎡⎢− = →⎢⎢ →⎣ Rapidamente percebemos que a subtração não é uma operação comutativa. Basta olhar, por exemplo, que 5 – 3 = 2 e 3 – 5 = - 2. A subtração também não goza da propriedade associativa e não possui elemento neutro. Podemos afirmar que o conjunto dos números inteiros é FECHADO em relação à subtração. Ou seja, se você vai calcular a diferença entre dois números inteiros, com certeza o resultado será um número inteiro. Observe ainda que todos os números naturais são números inteiros, mas nem todos os números inteiros são naturais. Dizemos que o conjunto dos números naturais é subconjunto dos números inteiros. REGRAS DOS SINAIS NAS OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS ( )a− a − = ( ) ( ) ( )a b a b a b ab⋅ − = − ⋅ = − ⋅ = − ( ) ( )a b− ab ⋅ − = As observações acima são conhecidas como “Regra dos sinais” para a multiplicação (e divisão) de inteiros. Sinais dos números Resultado iguais positivo diferentes negativo MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 13 www.pontodosconcursos.com.br Exemplos: ሺ2ሻ · ሺ3ሻ ൌ 6 ሺെ2ሻ · ሺെ3ሻ ൌ 6 ሺെ2ሻ · ሺ3ሻ ൌ െ6 ሺ2ሻ · ሺെ3ሻ ൌ െ6 Vejamos como operar a adição e a subtração com números inteiros. Se os números possuírem sinais iguais, devemos adicionar os números e repetir o sinal. 2 3 ൌ 5 െ2 െ 3 ൌ െ5 Se os números possuírem sinais opostos, devemos subtrair os números e repetir o sinal do maior. 5 െ 2 ൌ 3 െ5 2 ൌ െ3 03. (TRT/2006/FCC) O esquema abaixo representa a subtração de dois números inteiros, na qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras X, Y, Z e T. Obtido o resultado correto, a soma X+Y+Z+T é igual a: a) 12 b) 14 c) 15 d) 18 e) 21 Resolução Podemos reescrever o enunciado da seguinte maneira: Multiplicando (ou dividindo) números de mesmo sinal obtemos um resultado positivo. Multiplicando (ou dividindo) números de sinais opostos obtemos um resultado negativo. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 14 www.pontodosconcursos.com.br Onde a primeira linha representa o minuendo, a segunda linha o subtraendo e a terceira linha representa a diferença. Para descobrirmos o valor de Z, devemos perceber que 6 2 4− = . Portanto, 2Z = . Para descobrirmos o valor de X, devemos perceber que 17 9 8− = . Portanto, 7X = . Concluído esse raciocínio inicial, temos plenas condições de terminar a subtração. 7, 1, 2, 8 18 X Y Z T X Y Z T = = = = + + + = Letra D CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Até o presente momento, conseguimos definir 3 operações básicas: adição, multiplicação e subtração. Com os números expostos não temos condições de definir a divisão. Isto porque com números inteiros podemos dividir 8 por 2, mas não podemos dividir 2 por 8. Para resolver este impasse, vamos definir o conjunto dos números racionais que é representado pela letra Q. Է ൌ ൜ ݍ ฬ א Ժ ݁ ݍ א Ժכൠ O número p é chamado numerador da fração e o número q é chamado denominador da fração. O conjunto dos racionais é formado por todas as frações em que o numerador é inteiro e o denominador é um inteiro não-nulo e também por todos os 4 9 6 0 9 3 8 4 4 9 7 6 0 9 2 3 8 4 4 9 7 6 1 0 9 2 3 8 8 4 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 15 www.pontodosconcursos.com.br números que podem ser representados desta forma. Todo número na forma de decimal finito ou de dízima periódica pode ser convertido à forma de fração. Todos os números naturais são números racionais, pois todos podem ser escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1. 2 ൌ 2 1 Todos os números inteiros são números racionais, pois todos podem ser escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1. െ2 ൌ െ2 1 Observe que o sinal pode ser colocado em qualquer lugar da fração. Desta forma: െ2 1 ൌ 2 െ1 ൌ െ 2 1 ൌ െ2 Além dos números naturais e números inteiros, todos os números decimais finitos e as dízimas periódicas também são números racionais. Números decimais finitos são números como 1,47 ; 2, 513 ; െ3,0154. Para transformar números decimais finitos na forma de fração devemos seguir os seguintes passos: i) Colocar no numerador todo o número sem a vírgula. ii) Colocar no denominador o número 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais. 1,47 ൌ 147 100 2,513 ൌ 2.513 1.000 െ3,0154 ൌ െ30.154 10.000 Finalmente as dízimas periódicas. O que são dízimas periódicas? São números decimais com infinitas casas decimais. Só isso? Não... É preciso que exista certo conjunto de números que se repitam periodicamente infinitas vezes. Vejamos alguns exemplos: 0,14141414141414141414141414141414141414141414…. Observe que o conjunto de dígitos 14 se repete infinitas vezes. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIOLÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 16 www.pontodosconcursos.com.br 32,021… Observe que o conjunto de dígitos 546 se repete infinitas vezes. Pense em uma raça preguiçosa... pensou? A raça mais preguiçosa que existe é a dos MATEMÁTICOS! Os Matemáticos são tão preguiçosos que adoram inventar abreviações, notações e símbolos... Tudo para escrever pouco. Imagine se estivéssemos dando esta aula em um quadro...Teríamos uma preguiça enorme de escrever 32,021… (Aqui no computador é muito fácil... Basta utilizar CTRL+C e CTRL+V!!) A notação é a seguinte: utiliza-se uma barra em cima dos dígitos que se repetem, ou seja, do período. Portanto, തതതതത32,021546546546546546… ൌ 32,021546 Muito mais simples, não? A pergunta que surge é a seguinte: se afirmamos que as dízimas periódicas são números racionais e os números racionais são representados por frações, como transformamos as dízimas periódicas em frações? Existem diversos métodos para fazer esta transformação. Há livros que costumam separar as dízimas periódicas em simples e compostas. Há livros que fazem esta transformação utilizando sistemas de equações. Há outros que utilizam P.G. (progressão geométrica). Pela experiência que temos, julgamos o método abaixo como o mais simples por diversas razões. i) Qual a utilidade de separar as dízimas periódicas em simples e compostas? ii) Você gosta armar sistemas de equações e resolvê-los? Um pouco trabalhoso para resolver uma simples questão de dízima periódica, não? iii) É realmente necessário aprender Progressão Geométrica para resolver uma simples questão de dízima periódica? Vejamos um exemplo: transformar em fração o número 3,12851851851… O primeiro passo é colocar naquela notação da barra que falamos anteriormente. തതതതത3,12851851851… ൌ 3,12851 Denominaremos “Número Completo” e abreviaremos por NC o número da dízima periódica sem a vírgula e sem a barra. No nosso exemplo, ܰܥ ൌ 312.851. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 17 www.pontodosconcursos.com.br Denominaremos “Número fora da barra” e abreviaremos por NFB os números que estão fora da barra. No nosso exemplo, ܰܨܤ ൌ 312. Meio caminho já foi andado. O numerador da fração é o número ܰܥ െ ܰܨܤ. Por enquanto, nossa fração está assim: 3,12851തതതതത ൌ 312.851 െ 312 E como fica o denominador? Você deve contar quantos algarismos estão embaixo da barra. No nosso caso, há 3 números embaixo da barra. A regra nos diz que devemos colocar no denominador tantos 9’s (noves) quantos forem os números embaixo da barra. Como são 3 números embaixo da barra, devemos colocar 3 noves no denominador. 3,12ૡതതതതതത ൌ 312.851 െ 312 ૢૢૢ Pronto? Ainda não!! Falta só uma coisinha para terminar... Vamos olhar agora para os números que estão “entre a vírgula e a barra”. Quantos são eles? 2!!! A regra nos diz que devemos colocar tantos zeros quantos forem os algarismos entre a vírgula e a barra. 3, ૡതതതതതത ൌ 312.851 െ 312 ૢૢૢ Pronto!!! 3,12851തതതതത ൌ 312.851 െ 312 99.900 ൌ 312.539 Se você só acredita vendo... pegue uma calculadora e divida 312.539 por 99.900 99.900. Muito fácil não?? E olhe que já colocamos como primeiro exemplo um número bem difícil. Vamos praticar um pouco mais. Transforme em fração o número 0,666666… Vamos colocar na notação da barra. 0,666… ൌ 0, 6ത MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 18 www.pontodosconcursos.com.br ܰܥ ՜ ݊ú݉݁ݎ ݈ܿ݉݁ݐ ൌ 6 ܰܨܤ ՜ ݊ú݉݁ݎ ݂ݎܽ ݀ܽ ܾܽݎݎܽ ൌ 0 Quantos algarismos há na barra? Apenas um!! Portanto, colocamos apenas um 9 no denominador. Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum!! Portanto, não colocamos zeros no denominador. 0,666… ൌ 6 െ 0 9 ൌ 6 9 ൌ 2 3 Transforme em fração o número 0,13434343434… Vamos colocar na notação da barra. തതതത0,1343434… ൌ 0,134 ܰܥ ՜ ݊ú݉݁ݎ ݈ܿ݉݁ݐ ൌ 134 ܰܨܤ ՜ ݊ú݉݁ݎ ݂ݎܽ ݀ܽ ܾܽݎݎܽ ൌ 1 Quantos algarismos há na barra? Dois!! Portanto, colocamos dois 9’s no denominador. Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Apenas um!! Portanto, colocamos um zero no denominador.. 0,1343434… ൌ 134 െ 1 990 ൌ 133 990 Transforme em fração o número 0,999… Vamos colocar na notação da barra. ത 0,999… ൌ 0, 9 ܰܥ ՜ ݊ú݉݁ݎ ݈ܿ݉݁ݐ ൌ 9 ܰܨܤ ՜ ݊ú݉݁ݎ ݂ݎܽ ݀ܽ ܾܽݎݎܽ ൌ 0 Quantos algarismos há na barra? Apenas um!! Portanto, colocamos apenas um 9 no denominador. Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum!! Portanto, não colocamos zeros no denominador. 0,999… ൌ 9 െ 0 9 ൌ 9 9 ൌ 1 Portanto, 0,999… ൌ 1 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 19 www.pontodosconcursos.com.br Observe que 0,99999999999... não é APROXIMADAMENTE 1!! É IGUAL a 1!! A bem da verdade, 0,999…݁ 1 representam o mesmo número. Apenas estão escritos de maneiras diferentes. 04. (CAERN 2010/FGV) Analise as afirmativas a seguir: I - √6 é maior do que 5/2. II – 0,555... é um número racional. III – Todo número inteiro tem antecessor. Assinale a) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. b) se somente a afirmativa II estiver correta. c) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. d) se somente a afirmativa I estiver correta. e) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. Resolução Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. Queremos comparar o número √6 com 5/2. Vamos elevar os dois números ao quadrado para compará-los. ൫√6൯ ଶ ൌ 6 ൬ 5 2 ൰ ଶ ൌ 25 4 ൌ 6,25 Como o quadrado do número 5/2 é maior que o quadrado do número √6, concluímos que 5/2 √6. A frase I está errada. II – O número 0,555... é uma dízima periódica e, portanto, é um número racional. A frase II está correta. III – O conjunto dos números inteiros é ܼ ൌ ሼ… ,െ3,െ2,െ1, 0, 1, 2, 3… ሽ. Como o conjunto dos inteiros não é limitado à esquerda, concluímos que todo número inteiro possui antecessor. A frase III está correta. Letra E 05. (BNB 2003/ACEP) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível m/n, então m + n é igual a: MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 20 www.pontodosconcursos.com.br A) 88 B) 89 C) 90 D) 91 E) 92 Resolução Para transformar a expressão decimal 0,011363636... em uma fração o primeiro passo é escrever na notação da barra. തതതത0,011363636… ൌ 0,01136 ܰܥ ՜ ݊ú݉݁ݎ ݈ܿ݉݁ݐ ൌ 1.136 ܰܨܤ ՜ ݊ú݉݁ݎ ݂ݎܽ ݀ܽ ܾܽݎݎܽ ൌ 11 Quantos algarismos há na barra? Dois!! Portanto, colocamos dois 9’s no denominador. Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Três!! Portanto, colocamos três zeros no denominador. 0,01136തതതത ൌ 1.136 െ 11 99.000 ൌ 1.125 99.000 A questão pede que coloquemos a resposta na forma de fração irredutível. Fração irredutível é aquela que não pode mais ser simplificada. Claramente podemos simplificar o numerador e o denominador por 5. 1.125 99.000 ൌ 225 19.800 Na realidade, podemos simplificar o numerador e o denominador por 5 várias vezes. 225 19.800 ൌ 45 3.960 ൌ 9 792 Agora podemos simplificar o numerador e o denominador por 9. 9 792 ൌ 1 88 Agora não dá para simplificar mais. Temos, portanto, uma fração irredutível. 0,011363636… ൌ 1 88 A questão pede para efetuar ݉ ݊ onde ݉ ൌ 1 ݁ ݊ ൌ 88. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 21 www.pontodosconcursos.com.br ݉ ݊ ൌ 1 88 ൌ 89 Letra B Agora que já definimos o conjunto dos números racionais, podemos falar na divisão propriamente dita. ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ → → → → +⋅= restorquocienteq divisord dividendoD r qdD ou d | D q r Exemplo: 38 | ___9__ 2 4 Ou seja, 38 dividido por 9 é igual a 4 e resto 2. Isto porque 9 · 4 2 ൌ 38. Quando o resto de uma divisão é zero, dizemos que a divisão é exata. É importante frisar que é impossível dividir por 0. Ou seja, o divisor nunca pode ser 0. Assim, não há sentido na fração 5/0. 06. (ANVISA 2010/CETRO) Considere ܽ ൌ 0,00003 e ܾ ൌ 3.600.000. Desse modo, b/a vale a) cento e vinte trilhões. b) cento e vinte bilhões. c) um bilhão e duzentos milhões. d) cento e vinte milhões. e) um milhão, cento e vinte mil. Resolução Para efetuar a divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais e em seguida “apagar as vírgulas”. ܾ ܽ ൌ 3.600.000,00000 0,00003 ൌ 360.000.000.000 3 ൌ 120.000.000.000 Letra B MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 22 www.pontodosconcursos.com.br 07. (ALESP 2010/FCC) Ana Maria decidiu preparar uma torta cuja receita indicava 200 gramas de chocolate em barra. Em sua dispensa, havia uma barra de 350 gramas, mas ela não dispunha de uma balança para pesar a quantidade necessária. Então, ela decidiu dividir a barra em partes iguais e pegar a quantidade de partes que correspondessem a 200 gramas. Dentre os esquemas abaixo, em que os retângulos escuros correspondem às partes da barra de chocolate usadas por Ana Maria, aquele que representa os 200 gramas pedidos na receita é Resolução Para calcular a fração correspondente, devemos dividir a quantidade necessária de chocolate pelo total da barra. 200 350 A priori, deveríamos dividir a barra de chocolate em 350 partes iguais e tomar 200 destas partes. Por outro lado, para facilitar a vida de Ana Maria, podemos simplificar esta fração. Percebe-se facilmente que podemos simplificar a fração por 50. 200 dividido por 50 é igual a 4 e 350 dividido por 50 é igual a 7. 200 350 ൌ 4 7 Vamos analisar cada uma das alternativas: (A) FALSO. A barra foi dividida em 16 partes e foram tomadas 9 partes. A fração correspondente é igual a 9/16. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 23 www.pontodosconcursos.com.br (B) FALSO. A barra foi dividida em 15 partes e foram tomadas 8 partes. A fração correspondente é igual a 8/15. (C) VERDADEIRO. A barra foi dividida em 14 partes e foram tomadas 8 partes. A fração correspondente é igual a 8/14. Simplificando a fração por 2 temos: 8 14 ൌ 4 7 (D) FALSO. A barra foi dividida em 12 partes e foram tomadas 8 partes. A fração correspondente é igual a: 8 12 ൌ 2 3 (E) FALSO. A barra foi dividida em 10 partes e foram tomadas 6 partes. A fração correspondente é igual a: 6 10 ൌ 3 5 Letra C 08. (Pref. de Salvador 2008/FCC) Um guarda municipal, em 2007, permaneceu como vigilante em três instalações municipais. Na primeira, ele trabalhou 1/4 de um ano; na segunda, durante 2/3 do que sobrou do ano. Descontando, do total de dias do ano, suas férias de 30 dias e folgas de 45 dias, quantos dias ele trabalhou na terceira instalação considerando o ano de 360 dias? (A) 15 (B) 18 (C) 20 (D) 30 (E) 45 Resolução O problema manda considerar o ano de 360 dias. Na primeira instalação municipal, ele trabalhou 1/4 de um ano. 1 4 ݀݁ ݑ݉ ܽ݊ ൌ 1 4 · 360 ൌ 90 ݀݅ܽݏ Sobram 360 െ 90 ൌ 270 ݀݅ܽݏ. Na segunda instalação municipal, ele trabalhou 2/3 do que sobrou do ano. 2 3 ݀݁ 270 ݀݅ܽݏ ൌ 2 3 · 270 ൌ 180 ݀݅ܽݏ Ele teve ainda 30 dias de férias e 45 dias de folga. Já temos no total: 90 180 30 45 ൌ 345 ݀݅ܽݏ. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 24 www.pontodosconcursos.com.br Para completar o ano faltam 360 െ 345 ൌ 15 dias. Estes 15 dias correspondem aos dias trabalhados na terceira instalação municipal. Letra A 09. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Do total de pessoas que estiveram comprando bilhetes nos guichês de uma estação do Metrô em certo dia, sabe-se que: 3/8 foi atendido por Dagoberto, 2/5 por Breno e as demais por Leandro. Nessas condições, o número de pessoas atendidas por Leandro corresponde a que fração do total de pessoas atendidas nesse dia? (A) 1/5 (B) 9/40 (C) 1/4 (D) 19/40 (E) 31/40 Resolução Dagoberto atendeu 3/8 das pessoas e Breno atendeu 2/5 das pessoas. Juntos, eles atenderam: 3 8 2 5 ൌ 15 16 40 ൌ 31 40 ݀ ݐݐ݈ܽ ݀݁ ݁ݏݏܽݏ Isto significa que o total de pessoas foi dividido em 40 partes. Dagoberto e Breno, juntos, atenderam 31 destas partes. Destas 40 partes, sobram 40 െ 31 ൌ 9 ܽݎݐ݁ݏ. Desta forma, a fração correspondente às pessoas atendidas por Leandro é igual a 9/40. Letra B 10. (METRO-SP 2009/FCC) Certo artigo é vendido em uma loja ao preço de N reais a unidade. Ao conferir o total a ser pago pela compra de 14 unidades desse artigo, Orozimbo logo percebeu que o vendedor cometera um engano: ao efetuar a multiplicação de 14 por N, ele inverteu as posições do algarismo das unidades com o das dezenas de N e, com isso, obteve 2 142 reais. Nessas condições, de quantos reais a quantia certa a ser paga diferia da errada? (A) 212 (B) 224 (C) 252 (D) 266 (E) 284 Resolução Orozimbo multiplicou 14 por N (este N é “falso”) e obteve 2.142 reais. 14 · ܰ ൌ 2.142 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 25 www.pontodosconcursos.com.br ܰ ൌ 2.142 14 ൌ 153 Como o problema informou que Orozimbo inverteu as posições do algarismo das unidades com o das dezenas de N, então o valor verdadeiro de N é 135. A quantia certa a ser paga é igual a: A quantia certa a ser paga difere da errada 14 ൈ 135 ൌ 1.890 ݎ݁ܽ݅ݏ 2.142 െ 1.890 ൌ 252 ݎ݁ܽ݅ݏ. Letra C 11. (TCE-MG 2007/FCC) Considere o número inteiro e positivo X4Y, em que X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente. Sabendo que 15 480 : (X4Y) = 24, então X4Y é um número compreendido entre a) 800 e 1 000 b) 600 e 800 c) 400 e 600 d) 200 e 400 e) 100 e 200 Resolução A expressão 15.480 : (X4Y) pode ser escrita assim: 15.480 ሺܺ4ܻሻ Temos então: 15.480 ሺܺ4ܻሻ ൌ 24 O número (X4Y) que está dividindo, pode “passar para o segundo membro” multiplicando. 15.480 24 24 ( 4 ) 15.480 ( 4 ) 645 ( 4 ) X Y X Y X Y = ⇒ ⋅ = ⇒ = Letra B 12. (Agente de Estação – METRO-SP 2010/FCC) A soma de três números inteiros positivos é igual ao maior número inteiro de 5 algarismos distintos. Se adicionarmos a cada um dos números o maior número inteiro de 3 algarismos, a nova soma será igual a MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 26 www.pontodosconcursos.com.br (A) 102 996. (B) 102 960. (C) 102 876. (D) 101 726. (E) 101 762. Resolução O maior número de 5 algarismos distintos é 98.765. Vamos assumir que os três números inteiros positivos considerados são iguais a ݔ, ݕ ݁ ݖ. Portanto, ݔ ݕ ݖ ൌ 98.765 O maior número inteiro de 3 algarismos é 999 (observe que aqui os algarismos não devem ser distintos). Vamos adicionar a cada um dos 3 números o número 999. Letra E ݔ 999 ݕ 999 ݖ 999 ൌ ݔ ݕ ݖ 3 · 999 ൌ 98.765 2.997 ൌ 101.762 13. (Agente de Estação – METRO-SP 2010/FCC) Especialistas dizem que, em um carro bicombustível (álcool e gasolina), o uso de álcool só é vantajoso se o quociente do preço por litro de álcool pelo do de gasolina for, no máximo, igual a 70%. Se o preço do litro da gasolina é R$ 2,60, então NÃO é vantajoso usar álcool quando o preço por litro de álcool (A) é no máximo de R$ 1,70. (B) é superior a R$ 1,82. (C) está compreendido entre R$ 1,79 e R$ 1,86. (D) é igual a R$ 1,78. (E) é menor que R$ 1,80. Resolução Vamos calcular 70% do preço da gasolina. 70% ݀݁ 2,60 ൌ 70 Portanto, só é vantajosoutilizar o álcool se o seu preço for, no máximo, 100 · 2,60 ൌ 0,7 · 2,60 ൌ 1,82 R$ 1,82. Não é vantajoso, portanto, utilizar o álcool se o seu preço for superior a R$ 1,82. Letra B MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 27 www.pontodosconcursos.com.br 14. (TCE-PB 2007/FCC) Quantos algarismos são usados para numerar de 1 a 150 todas as páginas de um livro? a) 327 b) 339 c) 342 d) 345 e) 350 Resolução Da página 1 até a página 9 são usados 9 x 1 = 9 algarismos. Da página 10 até a página 99 são usados 90 x 2 = 180 algarismos. Da página 100 até a página 150 são usados quantos algarismos? Cada página tem 3 algarismos. Da página 100 até a página 150 são 51 páginas! Portanto, teremos 51 x 3 = 153 algarismos. Total: 9 + 180 + 153 = 342 algarismos. Letra C Questões envolvendo páginas de livros e quantidades de algarismos para escrever as páginas são muito frequentes em provas da FCC. Há uma “fórmula” para resolver instantaneamente questões deste tipo. Esta fórmula dá certo se o número de páginas do livro for maior que 99 e menor que 1.000. Ou seja, se o número de páginas tiver 3 algarismos (o número total de algarismos deve ser maior que 189). Considerando que são ܲ páginas e ܣ algarismos para escrever estas páginas, a relação é a seguinte: ܲ ൌ ܣ 108 3 Ou, isolando o A: Vamos resolver novamente esta questão, substituindo o valor de ܣ ൌ 3ܲ െ 108 ܲ por 150. ܣ ൌ 3 · 150 െ 108 ܣ ൌ 450 െ 108 ܣ ൌ 342 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 28 www.pontodosconcursos.com.br Muito fácil, não? 15. (Pref. de São Paulo 2008/FCC) Um livro tem N páginas numeradas de 1 a N. Se na numeração das páginas desse livro foram usados 657 algarismos, então N é igual a (A) 235 (B) 244 (C) 245 (D) 254 (E) 255 Resolução Utilizando a relação que eu desenvolvi e mostrei na questão anterior (observe que o número de páginas P foi chamado de N). ܲ ൌ ܣ 108 3 ܲ ൌ 657 108 3 ൌ 255 á݃݅݊ܽݏ Letra E 16. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Considere que na numeração das X páginas de um manual de instruções foram usados 222 algarismos. Se a numeração das páginas foi feita a partir do número 1, então (A) X < 95 (B) 94 < X < 110 (C) 109 < X < 125 (D) 124 < X < 130 (E) X > 129 Resolução Questão idêntica!! ܲ ൌ ܣ 108 3 ܲ ൌ 222 108 3 ൌ 110 á݃݅݊ܽݏ Letra C 17. (TRF 1ª Região 2007/FCC) Um técnico judiciário foi incumbido da montagem de um manual referente aos Princípios Fundamentais da Constituição Federal. Sabendo que, excluídas a capa e a contra-capa, a numeração das páginas foi feita a partir do número 1 e, ao concluí-la, constatou-se que foram usados 225 algarismos, o total de páginas que foram numeradas é (A) 97 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 29 www.pontodosconcursos.com.br (B) 99 (C) 111 (D) 117 (E) 126 Resolução Mais uma!! ܲ ൌ ܣ 108 3 ൌ 225 108 3 ൌ 111 á݃݅݊ܽݏ Letra C 18. (Delegado de Polícia - Pol. Civil – FCC 2006) Uma pessoa fez uma compra no valor de R$19,55. Tinha com ela as seguintes moedas: 15 de R$1,00; 10 de R$0,50; 8 de R$0,25; 8 de R$0,10 ; 4 de R$0,05. Se fez o pagamento utilizando a maior quantidade possível dessas moedas, então: a) sobraram 7 moedas. b) sobraram 8 moedas. c) dentre as moedas que sobraram, 2 eram de R$0,10. d) dentre as moedas que sobraram, 2 eram de R$0,25. e) dentre as moedas que sobraram, 3 eram de R$0,05. Resolução As moedas totalizam R$ 23,00. Já que o pagamento é de R$ 19,55, o troco será de R$ 23,00 – R$ 19,55 = R$ 3,45. Se o pagamento deverá ser feito utilizando a maior quantidade possível de moedas, o troco deverá ser devolvido com a menor quantidade possível de moedas. Para devolver R$ 3,45 (troco) com a menor quantidade possível de moedas devemos utilizar 3 moedas de R$ 1,00, 1 moeda de R$ 0,25 e 2 moedas de R$ 0,10. Letra C 19. (BAHIA GAS 2010/FCC) Sendo x e y números reais, definiremos a operação ☺ tal que x☺y é igual a x−y. Partindo-se dessa definição, é correto dizer que (x☺y)☺(y☺x) é igual a (A) 2x (B) 2y (C) 2(x−y) (D) −2(x−y) (E) −2x Resolução Podemos simplesmente substituir o símbolo ☺ pelo sinal da subtração. (x☺y)☺(y☺x)=ሺݔ െ ݕሻ െ ሺݕ െ ݔሻ ൌ ݔ െ ݕ െ ݕ ݔ ൌ 2ݔ െ 2ݕ MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 30 www.pontodosconcursos.com.br Colocando o número 2 em evidência, temos: 2ݔ െ 2ݕ ൌ 2ሺݔ െ ݕሻ Letra C 20. (Agente Administrativo DNOCS 2010/FCC) Seja Δ a operação definida por ݑ ൌ 3 െ 5ݑ, qualquer que seja o inteiro ݑ. Calculando ሺെ2ሻ ሺ2ሻ obtém-se um número compreendido entre: (A) −20 e −10 (B) −10 e 20 (C) 20 e 50 (D) 50 e 70 (E) 70 e 100 Resolução Para calcular o valor de ሺെ2ሻ devemos substituir o valor de ݑ por െ2. Para calcular o valor de ሺെ2ሻ ൌ 3 െ 5 · ሺെ2ሻ ൌ 3 10 ൌ 13 2 devemos substituir o valor de ݑ por 2. 2 ൌ 3 െ 5 · 2 ൌ 3 െ 10 ൌ െ7 Portanto, ሺ2ሻ ൌ ሺെ7ሻ. Para calcular o valor de ሺെ7ሻ devemos substituir o valor de ݑ por െ7. ሺെ7ሻ ൌ 3 െ 5 · ሺെ7ሻ ൌ 3 35 ൌ 38 Desta forma: Letra D ሺെ2ሻ ሺ2ሻ ൌ ሺെ2ሻ ሺെ7ሻ ൌ 13 38 ൌ 51 21. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Considere que ݔ é um número racional definido pela sentença ݔ ൌ ଷ௫ି଼ ଼ . Calculando-se ሺ11ሻ obtém-se um número (A) negativo. (B) compreendido entre 0 e 1. (C) compreendido entre 1 e 2. (D) compreendido entre 2 e 3. (E) maior do que 3. Resolução Para calcular 11 devemos substituir ݔ por 11. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 31 www.pontodosconcursos.com.br 11 ൌ 3 · 11 െ 8 8 ൌ 25 8 Portanto: ሺ11ሻ ൌ ൬ 25 8 ൰ Para calcular ቀଶହ ଼ ቁ devemos substituir ݔ por 25/8. ൬ 25 8 ൰ ൌ 3 · 258 െ 8 8 ൌ 75 8 െ 8 8 ൌ 9,375 െ 8 8 ൌ 1,375 8 Ao dividir um número positivo e menor que 8 por 8 obtemos um número que está compreendido entre 0 e 1. De fato: 1,375 8 ൌ 0,171875 Letra B 22. (MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá? a) 12 horas b) 30 horas c) 20 horas d) 24 horas e) 16 horas Resolução Existe uma tática muito boa para resolver problemas envolvendo produção e tempo. A tática é a seguinte: perguntar o que cada objeto produz na unidade de tempo. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 32 www.pontodosconcursos.com.br A primeira torneira enche o tanque em 24 horas. Isto significa que eu posso dividir o tanque em 24 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora. Desta maneira, a primeira torneira enche 1/24 do tanque em 1 hora. A segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Isto significa que eu posso dividir o tanque em 48 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora. Como o tanque foi dividido em 48 partes, cada parte representa 1/48 do tanque. Ou seja, a segunda torneira enche 1/48 do tanque em 1 hora. Ora, se a primeira torneira em 1 hora enche 1/24 do tanque e a segunda torneira em 1 hora enche 1/48 do tanque, então juntas em 1 hora encherão: 1 24 1 48 ൌ 2 1 48 ൌ 3 48 ൌ 1 16 Analogamente, se juntas as torneiras enchem o tanque completamente em ݔ horas, em 1 hora encherão 1/x. Assim: 1 ݔ ൌ 1 16 ݔ ൌ 16 ݄ݎܽݏ. Letra E O tanque foi dividido em 24 partes iguais. A torneira enche cada parte em 1 hora, totalizando 24 horas. Cada parte representa ଵ ଶସ do tanque. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIOLÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 33 www.pontodosconcursos.com.br Vamos agora criar uma resolução geral para problemas de produção e tempo? Considere que um objeto execute um serviço em ܽ horas, outro objeto execute um serviço o mesmo serviço em ܾ horas, outro objeto execute o mesmo serviço em ܿ horas e assim por diante. Considere ainda que juntos, os objetos executem o serviço em ݔ horas. Temos a seguinte relação: 1 ܽ 1 ܾ ڮ ൌ 1 ݔ No nosso caso, a primeira torneira enche o tanque em 24 horas e a segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Elas enchem o tanque em ݔ ݄ݎܽݏ. 1 24 1 48 ൌ 1 ݔ 2 1 48 ൌ 1 ݔ ֞ 3 48 ൌ 1 ݔ Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: 3 · ݔ ൌ 1 · 48 ݔ ൌ 48 3 ൌ 16 ݄ݎܽݏ. 23. (Oficial de Chancelaria – MRE 2009/FCC) Certo dia, Alfeu e Gema foram incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir uma certa tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a execução de tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos, eles executariam a tarefa em 3 horas e que, sozinho, Alfeu seria capaz de executá-la em 5 horas, o esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em a) 6 horas e 30 minutos. b) 7 horas e 30 minutos. c) 6 horas. d) 7 horas. e) 8 horas. Resolução Alfeu executa o serviço sozinho em 5 horas. Gema executa o serviço sozinha em ݃ horas. Juntos, executariam o serviço em 3 horas. 1 5 1 ݃ ൌ 1 3 1 ݃ ൌ 1 3 െ 1 5 ֞ 1 ݃ ൌ 5 െ 3 15 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 34 www.pontodosconcursos.com.br 1 ݃ ൌ 2 15 Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: 2 · ݃ ൌ 1 · 15 ݔ ൌ 15 2 ൌ 7,5 ݄ݎܽݏ ൌ 7 ݄ݎܽݏ ݁ 30 ݉݅݊ݑݐݏ Letra B 24. (TRT 4ª Região 2006/FCC) Trabalhando individualmente, o funcionário A é capaz de cumprir certa tarefa em 8 horas, o funcionário B em 6 horas e o funcionário C em 5 horas. Nessas condições, se trabalharem juntos na execução dessa tarefa, o esperado é que ela seja cumprida em, aproximadamente, (A) 1 hora e 40 minutos. (B))2 horas, 2 minutos e 2 segundos. (C) 2 horas e 20 minutos. (D) 2 horas, 22 minutos e 30 segundos. (E) 2 horas e 54 minutos. Resolução A tática para resolver tais problemas é fazer a seguinte pergunta: que fração da tarefa cada funcionário faz em 1 hora? Vejamos o funcionário A. Ele é capaz de cumprir determinada tarefa, sozinho, em 8 horas. Isto significa que em cada hora ele realiza 1/8 da tarefa. O funcionário B realiza a mesma tarefa em 6 horas. Analogamente, podemos concluir que em cada hora o funcionário B realiza 1/6 da tarefa. O funcionário C realiza a tarefa em 5 horas. Concluímos que ele realiza 1/5 da tarefa em cada hora. A tarefa foi dividida em 8 partes iguais. Em cada hora o funcionário realiza uma dessas partes, ou seja, 1/8 da tarefa. Cada parte representa 1/8 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 35 www.pontodosconcursos.com.br Ora, se em uma hora o funcionário A realiza 1/8 da tarefa, o funcionário B realiza 1/6 da tarefa, o funcionário C realiza 1/5 da tarefa, então os três juntos, em uma hora, realizam: ૡ ൌ ൌ ૢ ࢊࢇ ࢚ࢇ࢘ࢋࢌࢇ Resumindo: os três funcionários, trabalhando juntos, realizam 59/120 da tarefa em 1 hora. Vamos considerar que os três funcionários, trabalhando juntos, realizam toda a tarefa em ݔ horas. Isto significa que em uma hora eles realizam 1/ݔ da tarefa. Assim: 1 ݔ ൌ 59 120 59 · ݔ ൌ 120 ݔ ൌ 120 Vamos dividir 120 horas por 59. 59 ݄ݎܽݏ 120 ݄ݎܽݏ උ 59 2 ݄ݎܽݏ 2 ݄ݎܽݏ Vamos dividir o resto (2 horas). Já que 1 hora = 60 minutos, então 2 horas = 120 minutos. 120 ݉݅݊ උ 59 2 ݉݅݊ 2 ݉݅݊ Vamos dividir o resto (2 minutos). Já que 1 min = 60 s, então 2 min = 120 s. 120 ݏ උ 59 2 ݏ 2 ݏ Ainda ficou um resto de 2 segundos. Como o problema pede uma resposta aproximada, então: ݔ ؆ 2 ݄ݎܽݏ 2min 2 ݏ Letra B Utilizando o método que descrevi na questão 21... MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 36 www.pontodosconcursos.com.br No nosso caso, o funcionário A realiza a tarefa em 8 horas, o funcionário B realiza a tarefa em 6 horas e o funcionário C realiza a tarefa em 6 horas. Os três juntos realizam a tarefa em ݔ horas, portanto: ૡ ൌ ࢞ ൌ ࢞ ૢ ൌ ࢞ E finalmente chegamos na mesma equação de antes. 25. (Agente Administrativo CRF-SP 2009/VUNESP) Uma torneira enche completamente um tanque em 4 horas. Há um registro de saída no fundo do tanque e, quando aberto, esvazia esse tanque em 8 horas. Se a torneira for totalmente aberta com o tanque vazio, e o registro estiver totalmente aberto, o tanque estará completamente cheio em (A) 12 horas. (B) 10 horas. (C) 8 horas. (D) 6 horas. (E) 5 horas. Resolução Neste caso, como o tanque executa um serviço “destrutivo”, devemos colocar um sinal negativo na sua parte da equação. A torneira enche o tanque em 4 horas, portanto em 1 hora esta torneira enche 1/4 do tanque. O registro de saída esvazia o tanque em 8 horas, portanto em 1 hora o registro esvazia 1/8 do tanque. Se a torneira for totalmente aberta com o tanque vazio, e o registro estiver totalmente aberto, o tanque estará completamente cheio em ݔ horas. 1 4 െ 1 8 ൌ 1 ݔ 2 െ 1 8 ൌ 1 ݔ 1 8 ൌ 1 ݔ ݔ ൌ 8 ݄ݎܽݏ Letra C MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 37 www.pontodosconcursos.com.br 26. (Analista Judiciário – TRT 9ª Região 2010/FCC) Para estabelecer uma relação entre os números de funcionários de uma unidade do Tribunal Regional do Trabalho, que participaram de um curso sobre Controle e Prevenção de Doenças, foi usada a expressão: ݄ ݉ ൌ 3 െ 1 3 െ 1 3 െ 13 em que h e m representam as quantidades de homens e de mulheres, respectivamente. Sabendo que o total de participantes do curso era um número compreendido entre 100 e 200, é correto afirmar que: a) b) ݄ ݉ ൌ 158 c) ݄ െ݉ ൌ 68 d) 70 ൏ ݄ ൏ 100 e) 50 ൏ ݉ ൏ 70 Resolução ݉ · ݄ ൏ 4.000 O primeiro passo é simplificar a expressão do segundo membro. 3 െ 1 3 െ 1 3 െ 13 ൌ 3 െ 1 3 െ 19 െ 1 3 ൌ 3 െ 1 3 െ 18 3 ൌ 3 െ 1 3 െ 38 ൌ 3 െ 1 24 െ 3 8 ൌ 3 െ 1 21 8 3 െ 1 21 8 ൌ 3 െ 8 21 ൌ 63 െ 8 21 ൌ 55 21 Desta forma: ݄ ݉ ൌ 55 21 Podemos reescrever esta proporção assim: ݄ 55 ൌ ݉ 21 Podemos “prolongar” esta proporção. Para isto, devemos somar os antecedentes e somar os consequentes. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 38 www.pontodosconcursos.com.br ݄ 55 ൌ ݉ 21 ൌ ݄ ݉ 55 21 ݄ 55 ൌ ݉ 21 ൌ ݄ ݉ 76 Isto significa que o total de pessoas é um múltiplo de 76. Como o total de participantes do curso era um número compreendido entre 100 e 200, concluímos que o total de pessoas é igual a 76 x 2 = 152 (este é o único múltiplo de 76 compreendido entre 100 e 200). ݄ 55 ൌ ݉ 21 ൌ 152 76 ൌ 2 ݄ ൌ 55 · 2 ൌ 110 ݉ ൌ 21 · 2 ൌ 42 A única alternativa que é satisfeita com estes valores é a alternativa B. ݄ െ݉ ൌ 110 െ 42 ൌ 68 Letra B Potências A multiplicação de fatores iguais pode ser escrita na forma de potência. Observe: 4ହ ൌ 4 · 4 · 4 · 4 · 4 ൌ 1.024 Na potência 4ହ ՜ 4 é a base (fator que se repete) e 5 é o expoente (número de vezes que o fator se repete). Sendo ܽ um número real e ݊ um número inteiro maior que 1, define-se: ܽ ൌ ܽ · ܽ · … · ܽ ሺ݊ ݂ܽݐݎ݁ݏሻ Exemplos: 5ଷ ൌ 5 · 5 · 5 ൌ 125 ሺെ8ሻଶ ൌ ሺെ8ሻ · ሺെ8ሻ ൌ 64 ൬െ 2 3 ൰ ଶ ൌ ൬െ 2 3 ൰ · ൬െ 2 3 ൰ ൌ 4 9 ሺെ2ሻଷ ൌ ሺെ2ሻ · ሺെ2ሻ · ሺെ2ሻ ൌ െ8 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICOPARA TRF DA 1ª REGIÃO 39 www.pontodosconcursos.com.br • Toda potência de expoente 1 é igual a base. ܽଵ ൌ ܽ • Toda potência de expoente 0 é igual a 1. ܽ ൌ 1, ݏ݁݊݀ ܽ ് 0 Observação: 0 é ݑ݉ܽ ݅݊݀݁ݐ݁ݎ݉݅݊ܽçã ݉ܽݐ݁݉áݐ݅ܿܽ. • Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de expoente positivo. ܽି ൌ 1 ܽ Exemplos: 5ଵ ൌ 5 ൬ 3 4 ൰ ൌ 1 ൬ 2 5 ൰ ିଷ ൌ ൬ 5 2 ൰ ଷ ൌ 125 8 5ିଵ ൌ ൬ 1 5 ൰ ଵ ൌ 1 5 Propriedades Operatórias ݔ · ݔ ൌ ݔା ݔ ݔ ൌ ݔି ሺݔሻ ൌ ݔ Em palavras: • Para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes são adicionados. IMPORTANTE Se o expoente é um número par, o resultado da potência é positivo. Se o expoente é ímpar e a base é um número negativo, o resultado da potência é negativo. Se a base é positiva, o resultado da potência é positivo. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 40 www.pontodosconcursos.com.br • Para dividir potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes são subtraídos. • Para elevar uma potência a outra potência, conserva-se a base e os expoentes são multiplicados. Exemplos 5ଶ · 5ସ ൌ 5ଶାସ ൌ 5 5 5ଶ ൌ 5ିଶ ൌ 5ସ ሺ5ଶሻ ൌ 5ଶ· ൌ 5ଵଶ 27. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) A soma dos algarismos do número 10ଵ െ 3 é: a) 88 b) 89 c) 91 d) 95 e) 97 Resolução Qual o significado de Com dez fatores “x”. ݔଵ ൌ ݔ · ݔ · ݔ · ݔ · ݔ · ݔ · ݔ · ݔ · ݔ · ݔ Portanto, 10ଵ ൌ 10.000.000.000 A soma dos algarismos é 10ଵ െ 3 ൌ 10.000.000.000 െ 3 ൌ 9.999.999.997 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 ൌ 88. Letra A 28. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Simplificando ଶ మబାଶభవ ଶభఴ , encontra-se: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 221 Resolução Vamos relembrar algumas propriedades das potências. Lembre-se que para multiplicar duas potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes. Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes. Assim, MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 41 www.pontodosconcursos.com.br ࢞ࢇ · ࢞࢈ ൌ ࢞ࢇା࢈ ࢞ࢇ/࢞࢈ ൌ ࢞ࢇି࢈ E da mesma forma que ࢞ࢇ · ࢞࢈ ൌ ࢞ࢇା࢈ , temos que ࢞ࢇା࢈ ൌ ࢞ࢇ · ࢞࢈ (óbvio não?). Como podemos utilizar estas propriedades para resolver esta questão? Observe que 20 = 18+2 e 19 = 18 +1. Portanto: 2ଶ ൌ 2ଵ଼ାଶ ൌ 2ଵ଼ · 2ଶ 2ଵଽ ൌ 2ଵ଼ାଵ ൌ 2ଵ଼ · 2ଵ 2ଶ 2ଵଽ 2ଵ଼ ൌ 2ଵ଼ · 2ଶ 2ଵ଼ · 2ଵ 2ଵ଼ Podemos colocar 218 em evidência: 2ଵ଼ · 2ଶ 2ଵ଼ · 2ଵ 2ଵ଼ ൌ 2ଵ଼ · ሺ2ଶ 2ଵሻ 2ଵ଼ ൌ 2ଶ 2ଵ ൌ 4 2 ൌ 6 Letra C 29. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Simplificando a expressão ଷ షభାଷషమାଷషయ ଷశమାଷశభାଷ onde n pertence ao conjunto dos números inteiros, obtém-se o seguinte resultado: a) 1/3 b) 1/27 c) 3 d) 27 e) 1/9 Resolução Vamos resolver de duas maneiras. A primeira, utilizando as propriedades vistas na questão anterior. 3ିଵ 3ିଶ 3ିଷ 3ାଶ 3ାଵ 3 ൌ 3 · 3ିଵ 3 · 3ିଶ 3 · 3ିଷ 3 · 3ଶ 3 · 3ଵ 3 · 3 Vamos colocar 3n em evidência no numerador e no denominador. 3 · 3ିଵ 3 · 3ିଶ 3 · 3ିଷ 3 · 3ଶ 3 · 3ଵ 3 · 3 ൌ 3 · ሺ3ିଵ 3ିଶ 3ିଷሻ 3 · ሺ3ଶ 3ଵ 3ሻ ൌ 3ିଵ 3ିଶ 3ିଷ 3ଶ 3ଵ 3 3ିଵ 3ିଶ 3ିଷ 3ଶ 3ଵ 3 ൌ 1 3 1 9 1 27 9 3 1 ൌ 9 3 1 27 13 ൌ 13 27 13/1 ൌ 13 27 · 1 13 ൌ 1 27 Ufa! Trabalhoso... Vejamos uma maneira bem mais fácil! Dê uma olhada para as alternativas. Percebeu que o valor de ݊ não influencia na resposta? Desta maneira, vamos escolher um valor arbitrário. É óbvio que vamos MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 42 www.pontodosconcursos.com.br escolher um número bom! E qual seria um número bom? Eu escolheria o número 3 porque todos os expoentes deixam de ser negativos. 3ିଵ 3ିଶ 3ିଷ 3ାଶ 3ାଵ 3 Esta é a expressão. Vamos substituir ݊ por 3. 3ଷିଵ 3ଷିଶ 3ଷିଷ 3ଷାଶ 3ଷାଵ 3ଷ ൌ 3ଶ 3ଵ 3 3ହ 3ସ 3ଷ ൌ 9 3 1 243 81 27 ൌ 13 351 Simplificando por 13... 13 351 ൌ 1 27 Bem melhor, não?! Letra B 30. (Pref. de Resende 2007/CEPERJ) Considere-se que 10,ସ ൌ 3 . O valor de ݔ tal que 10௫ ൌ 9.000 é: a) 3,628 b) 3,746 c) 3,882 d) 3,015 e) 3,954 Resolução Perceba que Mas o enunciado nos disse que 9.000 ൌ 9 · 1.000 ൌ 3ଶ · 10ଷ 3 ൌ 10,ସ. Portanto: 9.000 ൌ 9 · 1.000 ൌ 3ଶ · 10ଷ ൌ ሺ10,ସሻଶ · 10ଷ Lembre-se que para elevar uma potência a outra potência, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes. 9.000 ൌ ሺ10,ସሻଶ · 10ଷ ൌ 10,ସൈଶ · 10ଷ ൌ 10,ଽହସ · 10ଷ ൌ 10,ଽହସାଷ ൌ 10ଷ,ଽହସ 10௫ ൌ 9.000 10௫ ൌ 10ଷ,ଽହସ ݔ ൌ 3,954 Letra E MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 43 www.pontodosconcursos.com.br Problemas envolvendomúltiplos e divisores 31. (Fundação CASA 2010/VUNESP) Um eletricista tem 4 rolos do fio X, com 84 m cada um, 3 rolos do fio Y, com 144 m cada um, e 5 rolos do fio Z, com 60 m cada um. Para fazer as ligações necessárias de uma obra, ele deverá cortar os fios dos 12 rolos em pedaços do mesmo tamanho, sendo esse tamanho o maior possível, de modo que não reste nenhum pedaço de fio nos rolos. Dessa maneira, ele deverá obter um número total de pedaços igual a (A) 24. (B) 36. (C) 49. (D) 64. (E) 89. Resolução Vejamos, por exemplo, o fio X. Cada rolo do fio X tem 84 metros. Será que podemos dividir o rolo do fio X em pedaços de 10 metros sem que haja resto? É óbvio que não! E por que não? Porque 10 não é um divisor de 84. Será que podemos dividir o rolo do fio X em pedaços iguais de 4 metros sem que haja resto? Sim! E por que sim? Porque 4 é um divisor de 84, ou seja, 84 dividido por 4 é igual a 21 e resto 0. Seguindo este raciocínio, o tamanho de cada pedaço deve ser um divisor do comprimento de cada rolo de fio. Ou seja, o tamanho do pedaço que estamos querendo calcular deve ser um divisor de 84, 144 e 60. Temos que calcular um número que seja divisor comum destes três números. O problema é que há vários divisores comuns, como por exemplo, 2 ou 4. O enunciado então determina que o tamanho de cada pedaço seja o maior possível. Resumindo: o tamanho de cada pedaço deve ser o maior divisor comum de 84, 144 e 60. Vocês conhecem este número como MDC: M de maior, D de divisor e C de comum. Vamos calcular o ݉݀ܿሺ84,144,60ሻ. Utilizaremos o método da fatoração simultânea. Como bem diz o nome do método, devemos fatorar os três números simultaneamente, ou seja, de uma só vez. Para isto, devemos procurar números que dividam simultaneamente os três números. Pense em um número que divida 84, 144 e 60. Pensou? Que tal 2? MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 44 www.pontodosconcursos.com.br 84 dividido por 2 é igual a 42, 144 dividido por 2 é igual a 72 e 60 dividido por 2 é igual a 30. Vamos pensar em um número que divida 42, 72 e 30. Que tal 2 novamente? 42 dividido por 2 é igual a 21, 72 dividido por 2 é igual a 36 e 30 dividido por 2 é igual a 15. Pense em um número que divida 21, 36 e 15... Que tal 3? 21 divido por 3 é igual a 7, 36 dividido por 3 é igual a 12 e 15 dividido por 3 é igual a 5. Há algum número natural (diferente de 1) que divida 7, 12 e 5 simultaneamente? Não! Então devemos parar. Para calcular o MDC, devemos multiplicar 2 · 2 · 3 ൌ 12. Conclusão: cada pedaço terá 12 metros. O rolo do fio X tem 84 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo do fio X será dividido em: 84 12 ൌ 7 ݁݀ܽçݏ Como temos 4 rolos do fio X, então teremos no total 4 · 7 ൌ ૡ ࢋࢊࢇç࢙. O rolo do fio Y tem 144 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo do fio Y será dividido em: 144 12 ൌ 12 ݁݀ܽçݏ Como temos 3 rolos do fio Y, então teremos no total 3 · 12ൌ ࢋࢊࢇç࢙. O rolo do fio Z tem 60 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo do fio Z será dividido em: 84, 144 , 60 2 42, 72 , 30 84, 144 , 60 2 42, 72 , 30 2 21, 36, 15 84, 144 , 60 2 42, 72 , 30 2 21, 36, 15 3 7, 12, 5 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 45 www.pontodosconcursos.com.br 60 12 ൌ 5 ݁݀ܽçݏ Como temos 5 rolos do fio Z, então teremos no total 5 · 5 ൌ ࢋࢊࢇç࢙. Dessa maneira, ele deverá obter um número total de pedaços igual a 28 36 25 ൌ 89. Depois de calculado o comprimento de cada pedaço, poderíamos seguir o seguinte raciocínio para calcular o total de pedaços. Temos 4 rolos do fio X, cada um com 84 metros. O comprimento total do fio X é igual a 4 · 84݉ ൌ 336 ݉݁ݐݎݏ. Temos 3 rolos do fio Y, cada um com 144 metros. O comprimento total do fio Y é igual a 3 · 144݉ ൌ 432 ݉݁ݐݎݏ. Temos 5 rolos do fio Z, cada um com 60 metros. O comprimento total do fio Z é igual a 5 · 60݉ ൌ 300 ݉݁ݐݎݏ. O comprimento total de todos os rolos de fio é igual a 336 432 300 ൌ 1.068 ݉. Como cada pedaço de fio terá 12 metros, então teremos: 1.068 12 ൌ 89 ݁݀ܽçݏ Letra E 32. (SEAP-SP 2009/VUNESP) Em um presídio há 400 detentos, sendo 240 no setor X e 160 no setor Y. Para realizar atividades na oficina de artes, o total de detentos foi dividido em grupos com o mesmo número de integrantes, sendo esse número o maior possível, sem deixar nenhum detento de fora e sem misturar os detentos dos dois setores. Dessa forma, foram formados (A) 5 grupos. (B) 8 grupos. (C) 10 grupos. (D) 12 grupos. (E) 13 grupos. Resolução Para que os grupos tenham o mesmo número de integrantes, devemos encontrar um número que seja divisor de 240 e seja divisor de 160 (para que não haja resto). Além disso, este divisor deve ser o maior possível. Devemos, portanto, calcular o máximo divisor comum (MDC) dos números 240 e 160. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 46 www.pontodosconcursos.com.br Devemos fatorar os números apenas por números que dividam os dois números simultaneamente. Portanto, ݉݀ܿሺ240,160ሻ ൌ 2 · 2 · 2 · 2 · 5 ൌ 80. Isto significa que cada grupo terá 80 detentos. Dividindo os 400 detentos em grupos de 80, teremos 5 grupos (observe que 400 dividido por 80 é igual a 5). Letra A 33. (Instituto Butantan 2010/VUNESP) Um paciente recebe 3 medicamentos, todos os dias. O primeiro, de 4 em 4 horas, o segundo, de 8 em 8 horas, e o terceiro, a cada 10 horas. Ele recebeu os medicamentos juntos às 7 horas do dia 27 de novembro de 2009. Receberá os 3 medicamentos juntos, novamente, no mês de novembro de 2009, dia (A) 28, às 19 horas. (B) 28, às 23 horas. (C) 29, às 7 horas. (D) 29, às 11 horas. (E) 30, às 7 horas. Resolução Para calcular o tempo de coincidência dos eventos (período comum) devemos calcular o mínimo múltiplo comum dos períodos. Desta forma, ݉.݉. ܿ. ሺ4,8,10ሻ ൌ 2 · 2 · 2 · 5 ൌ 40 ݄ݎܽݏ. Isto significa que os 3 medicamentos chegam juntos a cada 40 horas. Ele recebeu os medicamentos juntos às 7 horas do dia 27 de novembro de 2009. Ora, sabemos que 40 ݄ݎܽݏ ൌ 24 ݄ݎܽݏ 16 ݄ݎܽݏ ൌ 1 ݀݅ܽ 16 ݄ݎܽݏ 7 horas do dia 27 de novembro de 2009 + 1 dia = 7 h do dia 28 de novembro de 2009. 4, 8, 10 2 2, 4, 5 2 1, 2, 5 2 1, 1, 5 5 1, 1, 1 240, 160 2 120, 80 2 60, 40 2 30, 20 2 15, 10 5 3, 2 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 47 www.pontodosconcursos.com.br 7 h do dia 28 de novembro de 2009 + 16 horas = 23 h do dia 28 de Nov. de 2009. Letra B 34. (SEAP-SP 2009/VUNESP) Três agentes penitenciários fazem rondas noturnas em um determinado presídio. O primeiro tem que acionar o relógio de controle a cada 36 minutos; o segundo, a cada 24 minutos, e o terceiro, a cada 18 minutos. Dessa maneira, pode-se afirmar que eles acionam simultaneamente o relógio de controle a cada (A) 1 h 24 min. (B) 1 h 18 min. (C) 1 h 12 min. (D) 1 h 06 min. (E) 1 h. Resolução Para calcular o tempo de coincidência dos eventos (período comum) devemos calcular o mínimo múltiplo comum dos períodos. Desta forma, ݉.݉. ܿ. ሺ36,24,18ሻ ൌ 2 · 2 · 2 · 3 · 3 ൌ 72 ݉݅݊ݑݐݏ. 72 ݉݅݊ ൌ 60 ݉݅݊ 12 ݉݅݊ ൌ 1݄ 12 ݉݅݊ Letra C 35. (TRT 12ª Região 2010/FCC) Sistematicamente, dois funcionários de uma empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias, e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sábados, domingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 2010 ambos cumpriram horas-extras, uma outra provável coincidência de horários das suas horas-extras ocorrerá em (A) 9 de dezembro de 2010. (B) 15 de dezembro de 2010. (C) 14 de janeiro de 2011. (D) 12 de fevereiro de 2011. (E) 12 de março 2011. Resolução 36, 24, 18 2 18. 12, 9 2 9, 6, 9 2 9, 3, 9 3 3, 1, 3 3 1, 1 , 1 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 48 www.pontodosconcursos.com.br Para calcular o tempo de coincidência dos eventos (período comum) devemos calcular o mínimo múltiplo comum dos períodos. Desta forma, ݉.݉. ܿ. ሺ15,12ሻ ൌ 2 · 2 · 3 · 5 ൌ 60 ݀݅ܽݏ. Houve uma coincidência em 15 de outubro de 2010. Vamos avançar 60 dias. Como há 31 dias em outubro (estamos em 15 de outubro), podemos avançar 16 dias em outubro. O mês de novembro possui 30 dias. Assim, já temos 16 + 30 = 46 dias. Para completar os 60 dias, devemos avançar mais 14 dias em dezembro. Assim, a próxima coincidência será em 14/12/2010. Esta data não aparece nas respostas. Vamos avançar mais 60 dias. Como o mês de dezembro possui 31 dias, então podemos avançar 17 dias em dezembro. O mês de janeiro possui 31 dias. Assim, já temos 17 + 31 = 48 dias. Para completar os 60 dias, devemos avançar 12 dias em fevereiro. Desta forma, a próxima coincidência será no dia 12/02/2011. Letra D Muita gente confunde os meses com 30 e os meses com 31 dias. Há um processo mnemônico muito fácil para a memorização destes meses. Primeiro, feche a sua mão conforme a figura abaixo. 15, 12 2 15, 6 2 15,3 3 5,1 5 1, 1 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 49 www.pontodosconcursos.com.br Para o nosso processo mnemônico, vamos da saliência do dedo indicador até a saliência do dedo mínimo, ignorando o polegar. Perceba que existem 4 saliências (dos ossos) e três reentrâncias (entre um dedo e outro), conforme a figura abaixo: Agora vamos fazer o seguinte: Vamos considerar a primeira saliência como sendo janeiro, a primeira reentrância, como fevereiro, e assim por diante, conforme a figura abaixo: Marcados os meses de janeiro, fevereiro, março abril, maio, junho e julho, não tem mais “espaço” para marcarmos os outros meses. Faremos então a mesma coisa que fizemos com janeiro, começaremos do dedo mínimo: MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 50 www.pontodosconcursos.com.br Todos os meses que estão em uma saliência, têm 31 dias. Todos os meses que estão em uma reentrância, têm 30 dias (exceto, claro, de fevereiro que tem 28 ou 29 dias). Devemos ficar atentos ao fato de o ano ser ou não bissexto. Podemos “criar” dois processos mnemônicos para saber quais anos são bissextos ou não. Para começar, os anos bissextos obrigatoriamente são pares. Um ano é dito bissexto se for múltiplo de 4, exceto os que são múltiplos de 100, a não ser que sejam múltiplos de 400. Dica: Para verificar se um número é divisível por 4 basta dividir os últimos dois dígitos do número por 4. Assim, 1998 não é divisível por 4 e, portanto, não é bissexto. Uma maneira mais “lúdica” de memorizar é o seguinte: Os anos pares ou são anos de Olimpíada ou são anos de Copa do Mundo. Os anos bissextos são os anos de Olimpíadas!!! 36. (TRT 4ª Região 2006/FCC) Seja N um número inteiro cujo produto por 9 é igual a um número natural em que todos os algarismos são iguaisa 1. A soma dos algarismos de N é (A) 27 (B) 29 (C) 33 (D))37 (E) 45 Resolução Vamos lembrar uma propriedade importante: um número natural é múltiplo de 9 se e somente se a soma dos seus algarismos também for múltiplo de 9. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 51 www.pontodosconcursos.com.br Vejamos alguns exemplos: i) O número 18.324.072 é múltiplo de 9. Para verificar basta notar que: 1 8 3 2 4 0 7 2 ൌ 27 Como 27 (a soma dos algarismos) é múltiplo de 9 (já que 27 = 9 x 3), então o número dado também é múltiplo de 9. ii) O número 893.432 não é múltiplo de 9. Para verificar basta notar que: 8 9 3 4 3 2 ൌ 29 Como 29 (a soma dos algarismos) não é múltiplo de 9, então o número dado também não é múltiplo de 9. Pois bem, vamos voltar ao enunciado. O problema afirma que existe um número N tal que o produto de N por 9 é um número natural em que todos os algarismos são iguais a 1. Ou seja: ܰ ൈ 9 ൌ 111…1 O problema é que não sabemos quantos são os algarismos do resultado. Ou seja, não sabemos quantas vezes o algarismo 1 aparece. É neste ponto que entra a propriedade descrita no início da resolução: o resultado 111…1 é um múltiplo de 9. Portanto, a soma dos seus algarismos deve ser múltiplo de 9. Podemos por exemplo, colocar o algarismos 1 aparecendo nove vezes. ܰ ൈ 9 ൌ 111.111.111 O nove que está multiplicando no primeiro membro “passa” dividindo para o segundo membro. ܰ ൌ 111.111.111 9 ܰ ൌ 12.345.679 Se quiser conferir, basta fazer as contas e verificar que 12.345.679 ൈ 9 ൌ 111.111.111 A soma dos algarismos de N é 1 2 3 4 5 6 7 9 ൌ 37. Letra D Observe que o enunciado da questão está “errado”. Isto porque existem outros possíveis valores para N. O enunciado correto deveria ser: A soma dos algarismos de N PODE SER... MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 52 www.pontodosconcursos.com.br Vejamos o raciocínio novamente. Nós descobrimos que a soma dos algarismos de 111…1 deve ser um múltiplo de nove. E desta forma, nós fizemos o algarismo 1 aparecendo nove vezes. O raciocínio estaria perfeitamente correto se fizéssemos o algarismo 1 aparecendo 18 vezes, ou 27 vezes, ou 36 vezes, ou 45 vezes, etc. Na verdade, existem infinitas respostas para este problema. Vamos fazer com o algarismo 1 aparecendo 18 vezes. ܰ ൈ 9 ൌ 111.111.111.111.111.111 ܰ ൌ 111.111.111.111.111.111 9 Neste caso, a soma dos algarismos de N seria 74. ܰ ൌ 12.345.679.012.345.679 Se quiser conferir, basta fazer o seguinte cálculo: 12.345.679.012.345.679 ൈ 9 ൌ 111.111.111.111.111.111 O gabarito oficial foi a alternativa D. Não brigue com a banca na hora da prova. Se você acertou o gabarito, não tem que brigar. Não se preocupe: se na sua prova ocorrer qualquer tipo de falha, nós o orientaremos e daremos dicas de como fazer o seu recurso. Um abraço e até a próxima aula! Guilherme Neves MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 53 www.pontodosconcursos.com.br Relação das questões comentadas nesta aula 01. (TCE/PB/2006/FCC) Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcionário responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a seguinte resposta: “O total de livros do acervo é o resultado da adição de dois números naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos substituídos por letras.” M A R R A + M A R R A T O R T A Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então, ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros do acervo dessa biblioteca é um número a) menor que 70000. b) compreendido entre 70000 e 75000. c) compreendido entre 75000 e 80000. d) compreendido entre 80000 e 85000. e) maior que 85000. 02. (Senado Federal/2008/FGV) Na operação de multiplicação abaixo, cada letra representa um algarismo O valor de A+B+C é: a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 03. (TRT/2006/FCC) O esquema abaixo representa a subtração de dois números inteiros, na qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras X, Y, Z e T. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 54 www.pontodosconcursos.com.br Obtido o resultado correto, a soma X+Y+Z+T é igual a: a) 12 b) 14 c) 15 d) 18 e) 21 04. (CAERN 2010/FGV) Analise as afirmativas a seguir: I - √6 é maior do que 5/2. II – 0,555... é um número racional. III – Todo número inteiro tem antecessor. Assinale a) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. b) se somente a afirmativa II estiver correta. c) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. d) se somente a afirmativa I estiver correta. e) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. 05. (BNB 2003/ACEP) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível m/n, então m + n é igual a: A) 88 B) 89 C) 90 D) 91 E) 92 06. (ANVISA 2010/CETRO) Considere ܽ ൌ 0,00003 e ܾ ൌ 3.600.000. Desse modo, b/a vale a) cento e vinte trilhões. b) cento e vinte bilhões. c) um bilhão e duzentos milhões. d) cento e vinte milhões. e) um milhão, cento e vinte mil. MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 55 www.pontodosconcursos.com.br 07. (ALESP 2010/FCC) Ana Maria decidiu preparar uma torta cuja receita indicava 200 gramas de chocolate em barra. Em sua dispensa, havia uma barra de 350 gramas, mas ela não dispunha de uma balança para pesar a quantidade necessária. Então, ela decidiu dividir a barra em partes iguais e pegar a quantidade de partes que correspondessem a 200 gramas. Dentre os esquemas abaixo, em que os retângulos escuros correspondem às partes da barra de chocolate usadas por Ana Maria, aquele que representa os 200 gramas pedidos na receita é 08. (Pref. de Salvador 2008/FCC) Um guarda municipal, em 2007, permaneceu como vigilante em três instalações municipais. Na primeira, ele trabalhou 1/4 de um ano; na segunda, durante 2/3 do que sobrou do ano. Descontando, do total de dias do ano, suas férias de 30 dias e folgas de 45 dias, quantos dias ele trabalhou na terceira instalação considerando o ano de 360 dias? (A) 15 (B) 18 (C) 20 (D) 30 (E) 45 09. (Agente de Estação – METRO-SP 2007/FCC) Do total de pessoas que estiveram comprando bilhetes nos guichês de uma estação do Metrô em certo dia, sabe-se que: 3/8 foi atendido por Dagoberto, 2/5 por Breno e as demais por Leandro. Nessas condições, o número de pessoas atendidas por Leandro corresponde a que fração do total de pessoas atendidas nesse dia? (A) 1/5 (B) 9/40 (C) 1/4 (D) 19/40 (E) 31/40 MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRF DA 1ª REGIÃO 56 www.pontodosconcursos.com.br 10. (METRO-SP 2009/FCC) Certo artigo é vendido em uma loja ao preço de N reais a unidade. Ao conferir o total a ser pago pela compra de 14 unidades desse artigo, Orozimbo logo percebeu que o vendedor cometera um engano: ao efetuar a multiplicação de 14 por N, ele inverteu as posições do algarismo das unidades com o das dezenas de N e, com isso, obteve 2 142 reais. Nessas condições, de quantos reais a quantia certa a ser paga diferia da errada? (A) 212 (B) 224 (C) 252 (D) 266 (E) 284 11. (TCE-MG 2007/FCC) Considere o número inteiro e positivo X4Y, em que X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente. Sabendo que 15 480 : (X4Y) = 24, então X4Y é um número compreendido entre a) 800 e 1 000
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