Localização de férmions em modelos tipo brana

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Universidade Federal do ABC
Centro de Cieˆncias Naturais e Humanas
Simetrias Discretas de Cena´rios Tipo Brana
Allan Gonc¸alves da Silva
Orientador: Prof. Dr. Rolda˜o da Rocha Junior
Santo Andre´
2013
Universidade Federal do ABC
Centro de Cieˆncias Naturais e Humanas
Simetrias Discretas e Cena´rios Tipo Brana
Allan Gonc¸alves da Silva
Monografia de qualificac¸a˜o
Orientador: Prof. Dr. Rolda˜o da Rocha Junior
Santo Andre´
2013
Resumo
Cena´rios tipo brana tem cada vez mais se tornado um campo de intensa pesquisa. Em particular,
um desafio atual tem sido encontrar um mecanismo de localizac¸a˜o dos diversos tipos de campos
na brana. Nesta monografia, apresentamos a relac¸a˜o entre a localizac¸a˜o de fe´rmions quirais em
uma brana e as simetrias discretas: paridade, reversa˜o temporal e conjugac¸a˜o de carga. Para que
esse to´pico possa ser sido compreendido, alguma introduc¸a˜o espec´ıfica e´ necessa´ria. Desse modo,
apresentamos alguns to´picos necessa´rios sobre cena´rios tipo brana e os mecanismos de localizac¸a˜o
de campos, em particular os fermioˆnicos, nesses cena´rios. Ainda, tendo em vista as perspectivas
para o trabalho final de mestrado, sa˜o apresentadas as a´lgebras de Clifford, com o intuito de se
compreender espinores em qualquer dimensa˜o e de ter as ferramentas necessa´rias para entender e
utilizar o conceito de espinor puro. Para se tratar as simetrias discretas, tembe´m e´ apresentado
um breve cap´ıtulo sobre o grupo de Lorentz e suas representac¸o˜es. Ainda, essa monografia resume
os estudos, com relac¸a˜o ao to´pico de pesquisa, realizados nesse primeiro per´ıodo do mestrado.
i
Suma´rio
Resumo i
Suma´rio ii
Introduc¸a˜o 1
1 A´lgebras de Clifford, Grupos Pin, Spin e Espinores 4
1.1 A´lgebras de Clifford: Definic¸a˜o e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Periodicidade e Classificac¸a˜o das a´lgebras de Clifford . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Representac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Idempotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Encontrando representac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Grupos associados a`s a´lgebras de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 U(1) e SU(2): rotac¸o˜es no plano e espac¸o euclidianos . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Grupo de Clifford-Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Grupos Pin e Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 Pin(p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Spin(p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.3 Pin e Spin reduzidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Espinores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1 Espinores Cla´ssicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.2 Espinores alge´bricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.3 Poduto interno no espac¸o do espinores alge´bricos . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.4 Espinores Puros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Tranformac¸o˜es de simetria no espac¸o-tempo 22
2.1 Grupo de Lorentz e as Simetrias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Representac¸o˜es do grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Conjugac¸a˜o de Carga, Paridade e Reversa˜o temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 Simetrias discretas e localizac¸a˜o em cena´rios tipo-brana 27
3.1 Equac¸a˜o de Dirac em espac¸o-tempos curvos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 Campo Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2 Campo espinorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Brana como uma parede de domı´nio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Localizac¸a˜o de fe´rmions na Brana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.1 Condic¸o˜es de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.2 Fe´rmions localizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Simetrias discretas e localizac¸a˜o em Cena´rios tipo brana . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.1 Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
ii
Suma´rio 1
3.4.2 Simetrias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.3 Conclusa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Refereˆncias Bibliogra´ficas 45
Introduc¸a˜o
Teorias de universos com dimenso˜es extras na˜o sa˜o novas na F´ısica. Ja´ na segunda de´cada do
se´culo passado, G. Nordstro¨m apresentou um universo com uma dimensa˜o extra. Ele atentou a`
possibilidade de uma teoria unificada do eletromagnetismo e da teoria da gravitac¸a˜o de Newton1
[1], se o universo possu´ısse 4+12 dimenso˜es. Com o mesmo intuito, o de procurar uma teoria de
unificac¸a˜o, T. Kaluza em 1921 e O. Klein em 1926 [2], construiram uma teoria de gravitac¸a˜o em um
universo com cinco dimenso˜es. Nessa teoria a dimensa˜o extra na˜o era infinita, mas sim compacta:
um c´ırculo. A ideia de unificac¸a˜o por tra´s da teoria de Kaluza-Klein se baseava no fato de que uma
representac¸a˜o do grupo de Lorentz em cinco dimenso˜es conte´m diferentes representac¸o˜es do grupo
de Lorentz em quatro dimenso˜es. Dessa forma, da covariaˆncia geral de uma teoria de gravitac¸a˜o
em cinco dimenso˜es, Kaluza e Klein obtiveram uma teoria da gravitac¸a˜o de Einstein modificada
(covariaˆncia geral em quatro dimenso˜es mais um escalar) e o eletromagnetismo (campo de gauge
U(1)). O fato dessa dimensa˜o na˜o ser observada seria devido ao raio do c´ırculo ser da ordem
do comprimento de Plank. A teoria de Kaluza e Klein na˜o e´ real´ıstica, pois a` excec¸a˜o de U(1),
na˜o descreve os campos do Modelo Padra˜o3. A despeito desse fato, os modos de Kaluza-Klein, a
ide´ia de dimenso˜es extras compactas, e outros aspectos dessa teoria, possuem um papel de muita
importaˆncia em teorias modernas de dimenso˜es extras[3].
A retomada do interesse em teoria com dimenso˜es extras se deu na segunda metade do se´culo
passado, com a realizac¸a˜o de que uma teoria de cordas consistente exigia dimenso˜es extras, assim
como teorias de supergravidade [4]. Com essa motivac¸a˜o, comec¸ou-se a procura por generalizac¸o˜es
das teoria de Kaluza-Klein que incluissem campos de gauge na˜o-abelianos, e a busca por teorias
tipo Kaluza-Klein real´ısticas, i.e.: que incluissem no mı´nimo as simetrias do modelo padra˜o [5, 4].
O tamanho dessas dimenso˜es extras, tanto na teoria original de Kaluza e Klein, quanto nesses
modelos generalizados eram muito pequenos, da ordem do inverso do comprimento de Planck,
M−1pl , o que dificulta enormemente a possibilidade de detecc¸a˜o. Outra hipo´tese central era de
que todos os campos pudessem se propagar por todas a dimenso˜es extras. Entretanto, no in´ıcio
da de´cada de noventa comec¸ou-se a considerar a possibilidade de dimenso˜es extras grandes com
comprimento na escala de TeV −1, e diferentes campos podendo se propagar em diferentes nu´meros
de dimenso˜es [6]. Neste per´ıodo, muitos desenvolvimentos ocorreram em teorias fundamentais4 e
a descoberta de D-branas em teoria de cordas forneceu um modo natural de se tratar os campos
propagando-se em diferentes dimenso˜es: os campos do Modelo Padra˜o se propagariam apenas nas
branas, enquanto os gravitons poderiam se propagam em todas as dimenso˜es. A introduc¸a˜o dessas
novas ideias tambe´mpermitiu que comec¸assem a considerar teorias efetivas (fenomenologia) de
1 A` e´poca, 1914, na˜o existia a teoria da Relatividade Geral.
2Utilizaremos essa notac¸a˜o 1 + d dimenso˜es, para explicitar a dimensa˜o temporal. Dessa forma, a dimensa˜o total
e´ 5, pore´m uma e´ a temporal.
3Esse e´ um problema apenas do ponto de vista atual, a` e´poca da elaborac¸a˜o da teoria as interac¸o˜es fraca e forte
na˜o eram conhecidas. De fato, a ideia de T. Kaluza era uma unificac¸a˜o da Relatividade Geral com o eletromagnetismo
cla´ssico. A introduc¸a˜o da mecaˆnica quaˆntica se deu com O. Klein, quando as formulac¸o˜es de Heisenberg e Schro¨dinger
acabavam de se estabelecer.
4No sentido de na˜o serem teorias efetivas.
2
Suma´rio 3
modelos de universos com branas. No final da de´cada, as dimenso˜es extras tornaram-se ainda
mais populares quando Dimopoulos e Dvali [6] propuseram dimenso˜es extras grandes para resolver
o problema da hierarquia. Na mesma e´poca, Gogberashvili, Randall e Sundrum [7, 8] de forma
independente, consideraram teorias efetivas com branas, mas com dimenso˜es extras na˜o-compactas,
mas que deformavam (warped extra dimensions) a me´trica da brana.
O objetivo dessa monografia e´ estudar a localizac¸a˜o de fe´rmions quirais em um modelo em
cena´rio tipo brana, com dimenso˜es warped. Em particular, qual a relac¸a˜o entre as simetrias discre-
tas C, P e T, e a localizac¸a˜o de tais fe´rmions [9]. Pelo cara´ter do texto ser de uma monografia de
qualificac¸a˜o, apresentaremos tambe´m uma revisa˜o bibliogra´fica dos principais conteu´dos necessa´rios
para compreender o objetivo desta monografia e da dissertac¸a˜o de mestrado (que sera˜o apresentado
no cap´ıtulo final, Concluso˜es e Perspectivas). Dessa forma, sera˜o apresentadas as A´lgebras de
Clifford, em um contexto mı´nimo para que se possa introduzir os grupos Pin e Spin e definir espi-
nores em dimenso˜es arbitra´rias. Em seguida uma revisa˜o sobre simetrias discretas sera´ apresentada
e por fim, o objetivo da monografia sera´ estudado.
Cap´ıtulo 1
A´lgebras de Clifford, Grupos Pin,
Spin e Espinores
Em 1878 William K. Clifford introduziu as a´lgebras que levam seu nome (denominadas por
ele de a´lgebras geome´tricas) como forma de unificar (e generalizar) as a´lgebras de extensa˜o de
Grassmann e quaternioˆnica de Hamilton. Na mesma e´poca, pore´m de forma independente, R.
Lipschitz foi o primeiro a construir grupos a partir das a´lgebras de Clifford (conhecidos hoje como
grupos de Clifford-Lipschitz, Γp,q). Ele os utilizou para estudar rotac¸o˜es em espac¸os euclidianos
[10]. Em 1913, E´lie Cartan estudando representac¸o˜es irredut´ıveis das a´lgebras de Lie, observou que
as representac¸o˜es das a´lgebras de Lie so(n) na˜o levavam a` representac¸o˜es dos grupos ortogonais
especiais, SO(n). Isso devido a esses grupos na˜o serem simplesmente conexos para n > 2. Cartan
notou pore´m, que elas levevam a` representac¸o˜es do recobrimento duplo, Spin(n), de SO(n) [11].
Dessa forma, Cartan ao estudar elementos do espac¸o que carrega a representac¸a˜o irredut´ıvel de
Spin(n), descobriu o conceito de espinor. A intersecc¸a˜o entre as a´lgebras de Clifford e a teoria
dos espinores de Cartan se da´ pelo fato de que nas primeiras o grupo Spin(n), n = p + q, surgem
naturalmente como subgrupo do grupo de Clifford-Lipschitz, Γp,q [12]. Quem relacionou os espinores
de Cartan com as a´lgebras de Clifford foram H. Weyl e R. Brauer em 1935 [10], que tambe´m
relacionaram a teoria dos espinores e as algebras de Clifford com os espinores utilizados por Pauli
e Dirac na F´ısica. Os espinores foram introduzidos na F´ısica em 1926 por Pauli em sua teoria
na˜o-relativ´ıstica do ele´tron, pore´m ficando populares apenas em 1928 quando Dirac os introduz em
sua teoria relativ´ıstica do ele´tron [13]. A partir de enta˜o, tornou-se um conceito central em teorias
f´ısicas.
Neste cap´ıtulo introduziremos as A´lgebras de Clifford, bem como suas representac¸o˜es e os grupos de
Clifford-Lipschitz, Pin(p, q) e Spin(p, q). Ao final, espinores em dimensa˜o arbitra´ria, tanto cla´ssicos
(seguindo denominac¸a˜o de [12] para os espinores de Cartan) como alge´bricos, sera˜o definidos em
termos das a´lgebras de Clifford. As a´lgebras de Clifford possuem aplicac¸o˜es em praticamente todas
as a´reas da F´ısica, mas nosso interesse nessa monografia e´ utiliza´-las para estudar a teoria de
espinores e transformac¸o˜es ortogonais em Rp,q. Para mais aplicac¸o˜es, indicamos as refereˆncias [15]
e [16].
1.1 A´lgebras de Clifford: Definic¸a˜o e propriedades
Seja Rp,q, p+ q = n o espac¸o vetorial Rn munido de uma forma bilinear sime´trica g, de assina-
tura (p, q), isto e´:
gii = g(ei, ei) =
{
1, i = 1, ..., p
−1, i = p+ 1, ..., q (1.1)
4
1.1. A´lgebras de Clifford: Definic¸a˜o e propriedades 5
em que {e1, ..., ep, ep+1, ..., ep+q} e´ uma base ortonormal de Rp+q.
Uma a´lgebra de Clifford para o espac¸o Rp,q e´ uma a´lgebra associativa formada pelos produtos
dos elementos da base de Rp.q,{e1, ..., ep, ep+1, ..., ep+q}, com o produto (denotado por justaposic¸a˜o)
definido por [15]
eiej + ejei = 2gij (1.2)
Denota-se a a´lgebra de Clifford de um espac¸o Rp,q por C`(Rp,q) = C`p,q.
Exemplo 1.1 Uma a´lgebra de Clifford de importaˆncia vital em F´ısica e´ a do espac¸o-tempo de
Minkowski, R1,3. Sendo a base de R1,3 denotada por {γ0, γ1, γ2, γ3}, tal que (γ0)2 = 1 e (γ1)2 =
(γ2)
2 = (γ3)
2 = −1, temos que os geradores da a´lgebra de Clifford, C`1,3, sera˜o {1, γ0, γ1, γ2, γ3} e
um elemento arbitra´rio, denominado multivetor, ψ ∈ C`1,3 sera´ da forma
ψ = b + a0γ0 + a
1γ1 + a
2γ2 + a
3γ3, a
01γ0γ1 + a
02γ0γ2 + a
03γ0γ3 + a
12γ1γ2+ a
13γ1γ3,
23 γ2γ3 +
a012γ0γ1γ2 + a
013γ0γ1γ3 + a
123γ1γ2γ3 + a
0123γ0γ1γ2γ3,
com
γiγj + γjγi = 2gij (1.3)
Recordando das matrizes de Dirac vemos que a condic¸a˜o 1.3 e´ a mesma satisfeitas por elas e de
fato, como veremos na sec¸a˜o 1.2, as matrizes de Dirac formam uma base para uma representac¸a˜o
matricial de C`1,3, e o espac¸o dessa representac¸a˜o e´ o espac¸o dos espinores de Dirac.
A a´lgebra de Clifford pode ser enta˜o escrita como
C`p,q = Span
{
(e1)
I1(e2)
I2 · · · (en)In
}
em que Ii = 0 ou Ii = 1 e (e1)
0(e2)
0 · · · (en)0 = 1. Temos que a dimensa˜o de C`p,q e´ 2n, n = p+ q,
que e´ a mesma dimensa˜o da a´lgebra exterior Λ(Rp,q) e portanto elas sa˜o isomorfas como espac¸os
vetoriais[12]. O isomorfismo se da´ identificando os geradores da a´lgebra de Clifford com os da
a´lgebra exterior de forma direta:
e1e2 · · · ep 7→ e1 ∧ e2 ∧ · · · ∧ ep
Assim temos que o espac¸o vetorial subjacente a` a´lgebra de Clifford e´ o Λ(Rp,q), e dessa forma
podemos pensar na a´lgebra de Clifford como uma a´lgebra de formas cujo produto e´ o produto de
Clifford equac¸a˜o (1.2). Com isso as operac¸o˜es de involuc¸a˜o graduada, reversa˜o e conjugac¸a˜o podem
ser definidas na a´lgebra de Clifford. Para a involuc¸a˜o graduada temos
]Ap = Aˆp = (−1)pAp (1.4)
para a reversa˜o,
A˜p = (−1)
p(p−1)
2 Ap (1.5)
e para a conjugac¸a˜o
Ap =
ˆ˜Ap =
˜ˆ
Ap (1.6)
onde Ap ∈ Λp(Rp,q). Uma consequeˆncia direta da involuc¸a˜o graduada e´ que ela mune a a´lgebra
de Clifford com uma Z2-graduac¸a˜o. De fato podemos ver explicitamente, definindo os seguintes
operadores
Π± =
1
2
(1± ]) (1.7)
com os quais podemos decompor C`p,q como
C`p,q = C`+p,q ⊕ C`−p,q (1.8)
onde
C`±p,q = Π±C`p,q (1.9)
6 A´lgebras de Clifford, Grupos Pin, Spin e Espinores
e C`+p,q denota a parte par enquanto C`−p,q denota a parte ı´mpar de C`p,q.
Dessa forma, utilizando (1.8) obtemos
C`+p,qC`+p,q ⊂ C`+p,q, C`+p,qC`−p,q ⊂ C`−p,q, C`−p,qC`+p,q ⊂ C`−p,q, C`−p,qC`−p,q ⊂ C`+p,q (1.10)
e como C`+p,qC`+p,q ⊂ C`+p,q, temos que a parte par de C`p,q forma uma a´lgebra, a suba´lgebra par
C`+p,q:
C`+p,q =
{
A ∈ C`p,q | A = Aˆ = ]A
}
(1.11)
Exemplo 1.2 Seja ψ ∈ C`1,3, um elemento arbitra´rioda a´lgebra, podemos escreveˆ-lo em termos
dos geradores como
ψ = b+a0γ0+a
1γ1+a
2γ2+a
3γ3+a
01γ0γ1+a
02γ0γ2+a
03γ0γ3+a
12γ1γ2+a
13γ1γ3+a
23γ2γ3+a
012γ0γ1γ2
+a013γ0γ1γ3 + a
023γ0γ2γ3 + a
123γ1γ2γ3 + a
0123γ0γ1γ2γ3
utilizando (1.10), obtemos que um elemento arbitra´rio de C`+p,q e´ da forma
ψ+ = b+ a01γ0γ1 + a
02γ0γ2 + a
03γ0γ3 + a
12γ1γ2 + a
13γ1γ3 + a
23γ2γ3 + a
0123γ0γ1γ2γ3.
A teoria das a´lgebras de Clifford e´ estremamente rica e sua relac¸a˜o com as a´lgebras Tenso-
rial, Exterior e de Grassmann e´ largamente usada em F´ısica-Matema´tica, pore´m para a presente
monografia, o exposto acima e´ o suficiente.
1.1.1 Periodicidade e Classificac¸a˜o das a´lgebras de Clifford
Introduziremos agora, dois teoremas sobre importantes isomorfismos que sera˜o utilizados para
estudar a estrutura das A´lgebras de Clifford.
Teorema 1.1 Seja C`p,q a a´lgebra de Clifford de Rp,q. Existem os seguintes isomorfismos
C`p+1,q+1 ' C`1,1 ⊗ C`p,q
C`q+2,p ' C`2,0 ⊗ C`p,q (1.12)
C`q,p+2 ' C`0,2 ⊗ C`p,q
em que p > 0 ou q > 0.
Teorema 1.2 Seja C`p,q a a´lgebra de Clifford do espac¸o Rp,q e C`+p,q sua suba´lgebra par, temos
enta˜o o seguinte isomorfismo
C`+p,q ' C`q,p−1 ' C`p,q−1 ' C`+q,p (1.13)
Para compreendermos as consequeˆncias e o significado desses teoremas em termos de estrutura
das a´lgebras de Clifford, vamos determinar as a´lgebras de Clifford C`1,1 , C`0,2 e C`2,0 e C`0,1
• C`1,1:
A base de R1,1 e´ {e1, e2} tal que (e1)2 = 1 e (e2)2 = −1. Dessa forma, os geradores de C`1,1
sa˜o {1, e1, e2, e1e2}, e (e1e2)2 = (e1e2)(e1e2) = −e2e1e1e2 = 1, g(e1, e2) = 0. Um elemento
arbitra´rio ψ ∈ C`1,1 e´ da forma
ψ = a0 + a1e1 + a
2e2 + a
12e1e2
1.1. A´lgebras de Clifford: Definic¸a˜o e propriedades 7
Por outro lado, temos que uma base do grupo de matrizes reais 2× 2, M(2,R)1, e´
{(
1 0
0 1
)
,
(
1 0
0 −1
)
,
(
0 1
−1 0
)
,
(
0 1
1 0
)}
e observando que
(
1 0
0 −1
)(
1 0
0 −1
)
=
(
1 0
0 1
)
,
(
0 1
−1 0
)(
0 1
−1 0
)
=
( −1 0
0 −1
)
(
0 1
1 0
)(
0 1
1 0
)
=
(
1 0
0 1
)
,
(
1 0
0 1
)(
1 0
0 1
)
=
(
1 0
0 1
)
(1.14)
definimos uma aplicac¸a˜o ρ : C`1,1 →M(2,R) de forma que
ρ(1) 7→
(
1 0
0 1
)
, ρ(e1) 7→
(
1 0
0 −1
)
, ρ(e2) 7→
(
0 1
−1 0
)
, ρ(e1e2) 7→
(
0 1
1 0
)
(1.15)
e temos que ρ(e1)ρ(e2) = ρ(e1e2), sendo assim ρ e´ um homomorfismo
2 e como as a´lgebras
teˆm a mesma dimensa˜o sobre os reais sa˜o isomorfas enquanto espac¸os vetoriais e assim ρ e´
isomorfismo de a´lgebras. Portanto temos
C`1,1 'M(2,R). (1.16)
• C`0,2
A base canoˆnica de R0,2 e´ {e1, e2} tal que (e1)2 = (e2)2 = −1. Dessa forma, um elemento
arbitra´rio da a´lgebra de Clifford ψ ∈ C`0,2 e´ da forma
ψ = a0 + a1e1 + a
2e2 + a
12e1e2
e ainda temos
(e1e2)(e1) = e2 = −e1(e1e2) e2(e1e2) = e1 = −(e1e2)e2
Lembrando das unidades quaternioˆnicas 1, i, j, k tais que (i)2 = (j)2 = (k)2 = −1 e
ij = k = −ji ki = j = −ik jk = i = −kj
definimos a aplicac¸a˜o ρ : C`0,2 → H como
ρ(e1) 7→ i, ρ(e2) 7→ j, ρ(e1e2) 7→ k (1.17)
e segue que ρ e´ um isomorfismo alge´brico, portanto
C`0,2 ' H (1.18)
1A a´lgebra formada pelas matrizes quadradas com coeficiente em algum corpo K e´ denotada por M(n,R).
2Um homomorfismo alge´brico, e´ uma aplicac¸a˜o entre a´lgebras que preserva o produto. Um isomorfismo alge´brico
e´ um homomorfismo alge´brico bijetor.
8 A´lgebras de Clifford, Grupos Pin, Spin e Espinores
• C`2,0
Considerando a base canoˆnica de R2,0, a saber {e1, e2} tal que (e1)2 = (e2)2 = 1, um elemento
arbitra´rio de C`2,0 e´ da forma
ψ = a0 + a1e1 + a
2e2 + a
12e1e2
Considerando os geradores de M(2,R) e de forma similar ao caso anterior, definindo uma
aplicac¸a˜o ρ : C`2,0 →M(2,R) de maneira que
ρ(1) 7→
(
1 0
0 1
)
ρ(e1) 7→
(
1 0
0 −1
)
ρ(e2) 7→
(
0 1
1 0
)
ρ(e1e2) 7→
(
0 1
−1 0
)
(1.19)
temos um isomorfismo alge´brico, e dessa forma
C`2,0 'M(2,R) ' C`1,1. (1.20)
• C`0,1
A base canoˆnica de R0,1 e´ {1, e1} tal que e21 = −1. Para a a´lgebra de Clifford temos igualmente
{1, e1} como geradores. Dessa forma, um elemento arbitra´rio de C`0,1 e´ da forma
ψ = a0 + a1e1 (1.21)
Por outro lado, os nu´meros complexos C podem ser vistos como uma a´lgebra sobre R se
definirmos o seguinte produto em R2 = R× R
(a, b)(c, d) = (ac− bd, ad+ bc), a, b, c, d ∈ R. (1.22)
Considerando enta˜o a a´lgebra C, definimos uma aplicac¸a˜o ρ : C`0,1 → C tal que
ρ(1) 7→ (1, 0), ρ(e1) 7→ (0, 1) (1.23)
temos um isomorfismo alge´brico, e assim
C`0,1 ' C. (1.24)
Com a ajuda dos isomorfismos acima, podemos ver que o primeiro isomorfismo do teorema 1.13
nos nostra que uma a´lgebra de Clifford pode ser escrita como uma matriz 2× 2 cujas entradas sa˜o
elementos de uma a´lgebra de Clifford de dimensa˜o inferior. Um exemplo e´ considerar a a´lgebra de
Clifford C`p,p, onde aplicando sucessivas vezes o primeiro isomorfismo de 1.1 obtemos
C`p,p =
p⊗
C`1,1. (1.25)
e de fato, essa e´ a ideia por tra´s da periodicidade das a´lgebras de Clifford: pode-se escrever uma
a´lgebra de Clifford de dimensa˜o arbitra´ria como uma matriz cujos coeficientes sa˜o elementos de
outra a´lgebra de Clifford de dimensa˜o inferior. Continuando com a ana´lise, podemos ver que o
segundo isomorfismo do teorema 1.1 nos mostra como escrever uma a´lgebra de Clifford sobre R
como uma a´lgebra de Clifford de dimensa˜o inferior, mas quaternioˆnica. O terceiro isomorfismo e´
similar ao primeiro. O teorema 1.2 mostra a relac¸a˜o entre a suba´lgebra par de uma a´lgebra de
Clifford e uma outra a´lgebra de Clifford de dimensa˜o inferior e sera´ explorado quando definimos
espinores.
3Esse isomorfismo e´ conhecido por Teorema da Periodicidade.
1.1. A´lgebras de Clifford: Definic¸a˜o e propriedades 9
Considerando o teorema 1.1 e os isomorfismos mostrados acima, classificaremos todas as a´lgebras
de Clifford. Inicialmente, considerando o segundo isomorfismo do teorema 1.1, temos
C`0,4 ' C`0,2 ⊗ C`2,0. (1.26)
Ainda, utilizando o terceiro isomorfismo do teorema 1.1 e em seguida o segundo isomorfismo,
obtemos
C`0,8 ' C`0,2 ⊗ C`6,0 ' C`0,2 ⊗ C`2,0 ⊗ C`0,4 ' C`0,4 ⊗ C`0,4. (1.27)
Temos ainda, que
C`2,2 ' C`0,2 ⊗ C`0,2 ' C`1,1 ⊗ C`1,1 'M(2,R)⊗M(2,R), (1.28)
e utilizando o seguinte isomorfismo [12]
M(n,R)⊗M(m,R) 'M(nm,R)
obtemos
C`2,2 ' H⊗H 'M(4,R) (1.29)
Dessa forma, podemos obter
C`0,8 'M(2,H)⊗M(2,H)
'M(2, R)⊗H⊗H⊗M(2,R)
,'M(2,R)⊗M(4,R)⊗M(2,R)
C`0,8 'M(16,R) (1.30)
e por fim utilizando o primeiro isomorfismo do teorema 1.1 e a equac¸a˜o (1.33), obtemos
C`p,q+8 ' C`p,q ⊗M(16,R) (1.31)
que nos permite classificar todas as a´lgebras de Clifford a partir daquelas as quais p − q = t mod
8. A seguinte tabela mostra essa classificac¸a˜o[12].
p− q mod 8 0 1 2 3
C`p,q M(2[n2 ],R) M(2[n2 ],R)⊗M(2[n2 ],R) M(2[n2 ],R) M(2[n2 ],C)
p− q mod 8 4 5 6 7
C`p,q M(2[n2 ],H) M(2[n2 ],H)⊗M(2[n2 ],H) M(2[n2 ]−1,H) M(2[n2 ],C)
onde
[n
2
]
denota a parte inteira de
n
2
.
Ainda na˜o discutimos o caso das a´lgebras de Clifford complexas, e o motivo e´ que elas podem ser
obtidas a partir das reais atrave´s da complexificac¸a˜o, e sua classificac¸a˜o e´ ainda mais simples. Uma
a´lgebra de Clifford complexa C`C(n) e´ a complexificac¸a˜o a complexificac¸a˜o da a´lgebra de Clifford
real C`p,q, isto e´,
C`C(n) = C⊗ C`p,q (1.32)
e sua classificac¸a˜o e´ dada por
C`C(2k) =M(2k,C) (1.33)
C`C(2k + 1) =M(2k,C)⊗M(22k,C) (1.34)
10 A´lgebras de Clifford, Grupos Pin, Spin e Espinores
1.2 Representac¸o˜es
Na sec¸a˜o anterior, classificamos todas a´lgebras de Clifford de acordo com a a´lgebra de matrizes.
Embora isso seja um feito nota´vel, na˜o sabemos como se da´ o isomorfismo explicito, isto e´, dada
uma a´lgebra de Clifford na˜o sabemos explicitamente comosera´ a forma das matrizes na a´lgebra de
matrizes (como fizemos para mostrar os isomorfismos (1.14),(1.16), (1.18) e (1.21)). Nessa sec¸a˜o
apresentaremos uma maneira de obter explicitamente a representac¸a˜o matricial de uma a´lgebra de
Clifford C`p,q arbitra´ria.
Uma representac¸a˜o e´ definida como segue
Definic¸a˜o 1.2.1 Seja A uma a´lgebra real e V um espac¸o vetorial sobre um corpo K = R,C ou H.
Uma aplicac¸a˜o linear ρ : A → EndK(V ) satisfazendo ρ(1A) = 1V e ρ(ab) = ρ(a)ρ(b), ∀a, b ∈ A e´
dita uma K − representac¸a˜o de A. O espac¸o vetorial V e´ chamado de espac¸o de representac¸a˜o de
A.
Uma representac¸a˜o e´ dita irredut´ıvel se V na˜o possuir nenhum subespac¸o na˜o-trivial4 invariante5.
Para o presente caso, uma representac¸a˜o particular nos interessa, a representac¸a˜o regular
Definic¸a˜o 1.2.2 Seja A uma a´lgebra, considerando o conjunto dos endomorfismos associados ao
espac¸o vetorial subjacente a` a´lgebra, End(A), uma representac¸a˜o L : A → End(A) e´ dita regular
se
L(a)b = ab,∀b ∈ A (1.35)
Um resultado importante e´ o fato de que o espac¸o de representac¸a˜o de uma representac¸a˜o regular
irredut´ıvel e´ um ideal minimal a` esquerda 6 [12].
1.2.1 Idempotentes
Um idempotente e´ um elemento f ∈ A, tal que f2 = f . Dois idempotentes f1, f2 sa˜o ditos
ortogonais se f1f2 = f2f1 = 0. Um idempotente e´ dito primitivo e´ se na˜o puder ser escrito como a
soma de dois idempotentes ortogonais, isto e´, f 6= f1+f2 onde f1 e f2 sa˜o idempotentes ortogonais.
Sempre podemos obter um ideal minimal a` esquerda (direita) de uma a´lgebra multiplicando a`
a´lgebra A por um idempotente primitivo f , isto e´, Af (fA) e´ um ideal minimal a` esquerda (direita)
de A. Por tanto, nosso objetivo e´ encontrar como sera´ esse ideal. Para isso, antes de apresentarmos
o me´todo de obtenca˜o das representac¸o˜es, enunciaremos a seguinte preposic¸a˜o[12]
Proposic¸a˜o 1.2.1 Seja C`p,q a a´lgebra de Clifford de Rp,q e ei (i = 1, ..., n) uma base ortonormal
desse espac¸o. Um idempotente primitivo de C`p,q e´ da forma
f =
1
2
(1 + eI1) · · ·
1
2
(1 + eIk), (1.36)
em que eI1 , ..., eIk e´ um conjunto de elementos de C`p,q que comutam entre si e tais que (eIα)2 = 1
paraα = 1, ..., k que geram um grupo de ordem 2k onde k = q− rq−p, em que rj sa˜o os nu´meros de
Radon-Hurwitz definidos por
j 0 1 2 3 4 5 6 7
rj 0 1 2 2 3 3 3 3
com a relac¸a˜o de recorreˆncia rj+8 = rj + 4.
4Subespac¸o diferente do vazio e do pro´pio V.
5Um subespac¸o V1 ⊂ V e´ dito invariante a` uma representac¸a˜o, se tivermos ρ(V1) ⊂ V1.
6Um conjunto S e´ um ideal a` esquerda de uma a´lgebra A se S ⊂ A e ∀a ∈ A e ∀x ∈ S temos ax ∈ S. Se a
multiplicac¸a˜o pela a´lgebra for a` direita, o ideal e´ dito a` direita, e se a propriedade valer para a multiplicac¸a˜o pela
esquerda ou direita o ideal e´ denominado bilateral. O ideal e´ dito minimal se na˜o possuir nenhum subideal na˜o trivial.
1.2. Representac¸o˜es 11
1.2.2 Encontrando representac¸o˜es
Consideremos o conjunto das matrizes Eij ∈ M(n,K),i, j = 0, ..., n, as quais todas as entradas
sa˜o nulas com excec¸a˜o da entrada ij que possui valor 1, isto e´, (Eij)kl = δikδjk. Esse conjunto forma
um base para M(n,K) e podemos escrever M(n,K) = K ⊗M(n,R). Pode-se mostrar [12] que
as representac¸o˜es matriciais de uma a´lgebra de Clifford C`p,q pode ser obtida atrave´s do seguinte
me´todo:
(i) Escolhemos um idempotente primitivo f1 de C`p,q.
(ii) Encontramos uma base para o ideal C`p,qf1, denotada por {EA1}, e encontramos a base dual
{E1A} de forma que E1AEB1 = δABf1.
(iii) Definimos uma base para M(n,R) atrave´s de EAB = EA1E1A. Se os geradores de C`p,q forem
o conjunto dos produtos dos elementos da base de Rp,q ei(i = 1, ..., n), sua representac¸a˜o
matricial sera´ dada por
ρ(ei) = (ei)AB =
∑
C
ECAeiEBC . (1.37)
Como ilustrac¸a˜o, encontraremos as representac¸o˜es de Dirac para a a´lgebra do espac¸o-tempo
C⊗ C`1,3.
Exemplo 1.2.1 Consideremos uma base ortonormal de R1,3, temos pela tabela de classificac¸a˜o
das a´lgebras de Clifford que C ⊗ C`1,3 ' M(4,C). Seja C ⊗ {e0, e1, e2, e3} uma base para C ⊗
C`1,3 e denotemos por {ρ(e0) = γ0, ρ(e1) = γ1, ρ(e2) = γ2, ρ(e3) = γ3} a representac¸a˜o matricial da
base ortonormal de R1,3 escolhida. Temos enta˜o, que existira˜o quatro idempotentes primitivos
f1, f2, f3, f4, de forma que f1 + f2 + f3 + f4 = 1. Pela proposic¸a˜o 1.2.1, devemos encontrar dois
elementos de C⊗C`1,3 que comutem entre si e tenham o quadrado igual a` unidade. Se escolhermos
eI1 = e0, eI2 = ie1e2
os quatro idempotentes primitivos sera˜o
f1 =
1
2
(1 + e0)
1
2
(1 + ie1e2),
f2 =
1
2
(1 + e0)
1
2
(1− ie1e2),
f3 =
1
2
(1− e0)1
2
(1 + ie1e2),
f1 =
1
2
(1− e0)1
2
(1− ie1e2). (1.38)
Primeiramente, observamos que esses idempotentes sa˜o simililares e achamos como levar um
ao outro. Nesse caso, teremos
e1e3f1(e1e3)
−1 = f2, e3e0f1(e3e0)−1 = f3, e1e0f1(e1e0)−1 = f4. (1.39)
e portanto temos e1e3f1 ⊂ f2(C ⊗ C`1,3)f1, e3e0f1 ⊂ f3(C ⊗ C`1,3)f1 e e1e0f1 ⊂ f4(C ⊗ C`)f1.
Dessa forma, seguindo (ii) do me´todo apresentado, podemos construir a base de C⊗C`1,3 colocando
E11 = f1
E21 = −e1e3f1
E31 = e3e0f1
E41 = e1e0f1 (1.40)
12 A´lgebras de Clifford, Grupos Pin, Spin e Espinores
e sabendo que Eij ∈ f1(C ⊗ C`1.3)fj e E1jEj,1 = f1 obtemos os elementos elementos da base de
M(4,C) da seguinte maneira,
E12E21 = f1 = f1f1 = (e1e3)−1f2(e1e3)f1 = −e1e3f2e1e3f1
E12(−e1e3f1) = −e1e3f2(e1e3f1)
E12 = e1e3f2 (1.41)
seguindo com ca´lculos similares a esses, encontramos a base do ideal
Eij E11 E21 E31 E41
E11 f1 −e1e3f2 e3e0f3 e1e0f4
E12 e1e3f1 f2 e1e0f3 −e3e0f4
E13 e3e0f1 e1e0f2 f3 e1e3f4
E14 e1e0f1 e0e3f2 −e1e3f3 f4
Por fim, utilizamos (1.41) para obeter explicitamente as representac¸o˜es matriciais dos geradores de
C⊗ C`1,3,
i) e0 = f1 + f2 − f3 − f4 = E11 + E22 − E33 − E44, dessa forma
ρ(e0) = γ0 =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 1
 = ( I 00 −I
)
. (1.42)
ii) e1e0 = e1e0f1 + e1e0f2 + e1e0f3 + e1e0f4 = E41 + E32 + E23 + E14 dessa forma
ρ(e1e0) = γ10 =

0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
 (1.43)
e assim
ρ(e1) = γ1 = γ10γ0 =

0 0 0 −1
0 0 −1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
 = ( 0 −σ1σ1 0
)
(1.44)
iii) e3e0 = e3e0f1 + e3e0f2 + e3e0f3 + e3e0f4 = E31 − E42 + E13 − E24 e assim
ρ(e3e0)γ30 =

0 0 1 0
0 0 0 −1
1 0 0 0
0 −1 0 0
 (1.45)
e temos
ρ(e3) = γ3 = −γ0γ0γ3 =

0 0 −1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 −1 0 0
 = ( 0 −σ3σ3 0
)
(1.46)
iv) ie1e2 = f1 + f3 − f2 − f4 de onde obtemos e2 = ie0 (e0e1f1 + e0e1f3 − e0e1f2 − e0e1f4) =
ie0 (E14 + E32 − E23 − E41) e assim
ρ(e2) = γ2 =

0 0 0 i
0 0 −i 0
0 −i 0 0
i 0 0 0
 = ( 0 −σ2σ2 0
)
(1.47)
1.3. Grupos associados a`s a´lgebras de Clifford 13
E portanto, a representac¸a˜o de Dirac da a´lgebra de Clifford C⊗ C`1,3 e´ dada por
ρ(e0) = γ0 =
(
I 0
0 −I
)
, ρ(ei) = γi =
(
0 −σi
σi 0
)
(1.48)
em que σi sa˜o as matrizes de Pauli
σ1 =
(
0 1
1 0
)
,
(
0 i
−i 0
)
,
(
1 0
0 −1
)
(1.49)
Vemos o que espac¸o dessa representac¸a˜o e´ o C4 que e´ justamente o espac¸o dos espinores de Dirac,
e as matrizes obtidas sa˜o justamente as matrizes de Dirac.
Vimos portanto como construir explicitamente as representac¸o˜es das a´lgebras de Clifford em
a´lgebra de matrizes, que e´ uma poderosa ferramenta para o estudo de a´lgebras e Clifford e suas
aplicac¸o˜es. Podemos obter, por exemplo, a representac¸a˜o de Weyl de C ⊗ C`1,3 se tomarmos
eI1 = ie5 = ie0e1e2e3 e eI2 = ie1e2, e repetirmos o procedimento do exemplo 1.2.1.
1.3 Grupos associados a`s a´lgebras de Clifford
Para termos uma melhor intuic¸a˜o a` cerca dos grupos associados a`s a´lgebras de Clifford, comec¸aremos
expondo como podemos fazer rotac¸o˜es em R2 e R3 na˜o pela ac¸a˜o de SO(2) (no plano) e SO(3) (no
espac¸o), mas simde U(1) e SU(2), grupos associados a`s a´lgebras complexa, C, e quaternioˆnica, H.
Depois disso, veremos como os subgrupos do grupo de Clifford-Lipschitz, Pin e Spin generalizam
esses resultados.
1.3.1 U(1) e SU(2): rotac¸o˜es no plano e espac¸o euclidianos
Como ja´ comentamos, os nu´meros complexos podem ser visto como uma a´lgebra sobre os reais.
Para isso, basta considerarmos a a´lgebra formada pelos pares de nu´meros reais, (x, y), x, y ∈ R,
com o seguinte produto
(x, y) · (u,w) = (xu− yw, xw + yu) (1.50)
e dessa forma (1, 0) = 1 e (0, 1) = i. Ainda, C e R2 sa˜o isomorfos como espac¸o vetorial. Por outro
lado, se considerarmos o conjunto do nu´meros complexos unita´rios, isto e´, {z ∈ C | N(z) = zz = 1},
onde N(z) denota a norma de z, vemos que forma o grupo U(1) (conjunto das isometrias de C).
De fato, considere a forma sesquilinear g (produto interno) definida em C,
g(z, w) = zw, ∀z, w ∈ C (1.51)
em que w denota o conjugado complexo de w. E considere a matriz complexa a ∈M(1,C), isto e´,
um nu´mero complexo a arbitra´rio. Temos enta˜o que
g(az, aw) = (az) · (aw) = azaw = aazw (1.52)
o produto interno sera´ preservado, isto e´, g(az, aw) = g(z, w) se, e somente se, aa = g(a, a) =
N(a) = 1. Dessa forma, os elementos de U(1) sa˜o todos os complexos unita´rios.
Agora, vamos considerar a multiplicac¸a˜o de um nu´mero complexo arbitra´rio v = x+ iy por um
nu´mero complexo unita´rio, z = a + ib. Lembrando que todo complexo unita´rio pode ser escrito
como z = cos(θ) + i sin(θ), temos por (1.53)
z · v = (ax− by) + i(ay + bx) = (x cos(θ)− y sin(θ)) + i(y cos(θ) + x sin(θ)) (1.53)
dessa forma, a multiplicac¸a˜o resulta em um vetor de R2, rotacionado de um aˆngulo θ: vR =
(x cos(θ) − y sin(θ), y cos(θ) + x sin(θ)) ∈ R2. Vemos dessa forma, que produto nos nu´meros com-
plexos, reproduz a ac¸a˜o do grupo de rotac¸o˜es SO(2) em R2.
14 A´lgebras de Clifford, Grupos Pin, Spin e Espinores
Outro caso importante, sa˜o os quate´rnions, H. Se considerarmos o conjunto dos quate´rnions
unita´rios, {q ∈ H | N(q) = qq = 1}, veremos que eles formam um grupo, a saber o SU(2). Por
outro lado, identificando os quarte´rnions puros, Hp = {h ∈ H | h = ix+ jy + kz, x, y, z ∈ R}, com
o espac¸o euclidiano R3, como espac¸os vetoriais, podemos similarmente ao caso anterior, induzir
rotac¸o˜es no grupo de rotac¸o˜es SO(3), pela ac¸a˜o de SU(2) em R3 na a´lgebra quaternioˆnica. Para isso,
seja q ∈ SU(2) um quate´rnions unita´rio, e h ∈ R3 um quate´rnion puro. A seguinte multiplicac¸a˜o
[11]
q · (x, y, z) · q−1 = hR (1.54)
define uma rotac¸a˜o em R3, em que q−1 =
q
N(q)
= q, denota o elemento inverso de q em H. Note que
se tomarmos o inverso aditivo de q,−q, obteremos o mesmo hR, o que na˜o ocorria no caso de U(1)
e R2. Isso mostra que o grupo SU(2) na˜o e´ isomorfo ao grupo SO(3), apenas homomorfo, enquanto
U(1) ' SO(2). O ponto principal nessas duas construc¸o˜es, e´ que tanto C quanto H, conte´m em
si os grupos U(1) e SU(2), respectivamente, e os espac¸os vetoriais R2 e R3, respectivamente. Isso
permite que a ac¸a˜o desses grupos nos espac¸o vetoriais, enquanto elementos da a´lgebra (isto e´ , com o
produto da a´lgebra), possa induzir rotac¸o˜es em SO(2) e SO(3). Essa fato pode ser generalizado, sob
certas condic¸o˜es, para Rp,q, e nesse caso a a´lgebra envolvida sera´ a a´lgebra de Clifford, e os grupos
sera˜o os grupos Pin(p, q) e Spin(p, q) , induzindo rotac¸o˜es em O(p, q) e SO(p, q) respectivamente.
1.3.2 Grupo de Clifford-Lipschitz
Antes de comerc¸armos a discussa˜o propriamente dita, definiremos transformac¸o˜es ortogonais.
Definic¸a˜o 1.1 Seja g uma forma bilinear sime´trica no espac¸o vetorial V e uma aplicac¸a˜o linear
T : V → V . T e´ dita uma transformac¸a˜o ortogonal ou isometria, se
g(T (v), T (u)) = g(v,u), ∀v,u ∈ V (1.55)
Considerando uma base ortonormal de V , {e1, ..., en}, T pode ser escrita como T (ei) = T ji ej e
temos para v = viei, u = u
jej ∈ V ,,
g(T (u), T (v)) = g(v,u)
g(T ki v
iek, T
l
jv
jel) = v
ivjgij
T ki gklT
l
j = gij (1.56)
escrevendo em forma matricial, a equac¸a˜o (1.56) se torna T TGT = G, que T e´ a matriz da trans-
formac¸a˜o ortogonal T e G a matriz de g. Dessa forma, tomando o determinante de (111), temos
det(T TGT ) = det(G)→ det(T )2 = 1→ det(T ) = ±1 (1.57)
O conjunto dessas transformac¸o˜es formam um grupo, o grupo ortogonal O(p, q). Denominamos
rotac¸o˜es as tranformac¸o˜es de O(p, q) para o qual detT = 1 e reflexo˜es as tranformac¸o˜es cujo
detT = −1. As rotac¸o˜es formam um subgrupo de O(p, q), o grupo especial ortogonal, SO(p, q).
Feito essas definic¸o˜es, podemos voltar ao nosso intento.
Considere u ∈ R3, uma reflexa˜o Su em torno do hiperplano perpendicular a` u, pode ser repre-
sentada pela aplicac¸a˜o
v → −uvu−1 (1.58)
onde u, v ∈ Hp. O grupo de rotac¸o˜es SO(3) e´ gerado por essas reflexo˜es. Esses dois fatos, sa˜o as
principais razo˜es pelo qual pudemos representar as rotac¸o˜es de SO(3) por quarte´rnions unita´rios
na u´ltima sec¸a˜o[?]. Para o nosso intuito de generalizar, consideremos a seguinte definic¸a˜o
1.3. Grupos associados a`s a´lgebras de Clifford 15
Definic¸a˜o 1.2 Seja V um espac¸o vetorial. Considere sua decomposic¸a˜o em subespac¸os ortogonais
V = U⊕U⊥, em que U e´ um subespac¸o na˜o isotro´pico de V 7. A simetria ortogonal SU com relac¸a˜o
a U e´ uma transformac¸a˜o linear de V , tal que
SU = (v‖ + v⊥) = −v‖ + v⊥, ∀v‖ ∈ U‖, v⊥ ∈ U⊥. (1.59)
Se idU‖ e idU⊥ forem os operadores identidades em U
‖ e U⊥, respectivamente, enta˜o temos que
SU = −idU‖+idU⊥ . Recodando que a a representac¸a˜o matricial do operador indentidade e´ a matriz
identidade, temos que
detSU = (−1)dimU (1.60)
Consideremos agora um vetor u ∈ V , de forma que g(u, u) 6= 0. Ainda, tomemos o subespac¸o
gerado por u, U = {au | a ∈ R}. E´ possivel construir um vetor v ∈ V como v = v‖ + v⊥ em que
g(v⊥,u) = 0, se o escrevermos como
v⊥ = v− g(v,u)
g(u,u)
u (1.61)
e assim temos
g(v⊥,u) = g
(
v− g(v,u)
g(u,u)
u,u
)
= g(v,u)− g(v,u)
g(u,u)
g(u,u) = 0
de modo que
v‖ =
g(v,u)
g(u, u)
u (1.62)
e dessa maneira a simetria ortogonal sera´
Su(v) = Su(v‖ + v⊥) = −
g(v,u)
g(u,u)
u + v− g(v,u)
g(u,u)
u (1.63)
e portanto,
Su(v) = v− 2g(v,u)
g(u,u)
u. (1.64)
Como detSu = −1, Su e´ uma reflexa˜o com relac¸a˜o ao hiperplano ortogonal a` u. Vejamos agora
qual a expressa˜o de Su em uma a´lgebra de Clifford C`p,q. Temos que se v,u ∈ C`p,q, enta˜o
vu + uv = 2g(v,u) segue enta˜o que u2 = g(u,u), e definimos
u−1 =
u
g(u,u)
=
u
u2
(1.65)
como sendo o elemento inverso de u na a´lgebra de Clifford, pois u−1u = uu−1 = 1, sempre que
g(u,u) 6= 0. Dessa forma, podemos escrever a eq. (1.65) como
Su(v) = v− (vu + uv)
g(u,u)
u = v− (vu + uv)u−1 = v− v− uvu−1 (1.66)
e assim,
Su(v) = −uvu−1 = uˆvu−1. (1.67)
Tendo a forma das reflexo˜es em uma a´lgebra de Clifford, enunciaremos o teorema de Cartan-
Dieudonne´8, que generaliza aquelas observac¸o˜es que fizemos na ultima sec¸a˜o, acerca do grupo de
rotac¸o˜es SO(3) ser gerado por reflexo˜es, e enta˜o estaremos aptos a generalizar o que foi mostrado
na sec¸a˜o 1.3.1.
7Temos que ∀v ∈ U , g(v, v) 6= 0
8Na verdade, o teorema de Cartan-Diudonne´, e´ mais ”forte”e garante que o nu´mero ma´ximo de produtos de
reflexo˜es para se obter uma transformac¸a˜o ortogonal e´ a dimensa˜o do espac¸o vetorial em questa˜o.
16 A´lgebras de Clifford, Grupos Pin, Spin e Espinores
Teorema 1.3.1 Qualquer transformac¸a˜o ortogonal T em um espac¸o vetorial V de dimensa˜o fi-
nita pode ser expressa como o produto de simetrias (reflexo˜es) com relac¸a˜o a hiper-planos na˜o
isotro´picos.
Considermos agora, o grupo formado pelos elementos invers´ıveis de uma a´lgebra de Clifford
C`p,q,
C`∗p,q =
{
a ∈ C`p,q | ∃a−1
}
(1.68)
definimos enta˜o o subgrupo de C`∗p,q gerado pelas simetrias ortogonais:
Γˆp,q ={
a ∈ C`∗p,q | aˆva−1 ∈ V,∀v ∈ V = Rp,q
}
(1.69)
esse e´ o grupo de Clifford-Lipschitz contorcido. O grupo de Clifford-Lipschitz e´ definido ligeiramente
diferente
Γp,q =
{
a ∈ C`∗p,q | ava−1 ∈ V,∀v ∈ V = Rp,q
}
(1.70)
e como veremos, e esta´ relacionado a` representac¸a˜o adjunta de Γp,q, enquanto o grupo de Clifford-
Lipschitz contorcido esta´ relacionado a` representac¸a˜o adjunta contorcida.
O motivo pelo qual vamos estudar este u´ltimo grupo esta´ diretamente relacionado a querermos
generalizar 1.3.1. A definic¸a˜o da representac¸a˜o adjunta contorcida e´ justamente a expressa˜o para
as reflexo˜es (1.67), e como queremos um grupo gerado por reflexo˜es e´ natural que usemos ela
na definic¸a˜o de grupo. Pore´m, existe outro motivo. Ao considerarmos a representac¸a˜o adjunta,
encontra-se que o grupo de Clifford-Lipschitz induzira´ rotac¸o˜es em SO(p, q) ou O(p, q dependendo
da dimensa˜o, p + q, do espac¸o vetorial. Por sua vez, se considerarmos a representac¸a˜o adjunta
contorcida essa dependeˆncia com a dimensa˜o na˜o existe. Dessa maneira, estudaremos o grupo de
Clifford-Lipschitz contorcido e para maiores detalhes sobre o grupo de Clifford-Lipschitz indicamos
a refereˆncia [12].
Definimos a represenc¸a˜o adjunta como sendo uma representac¸a˜o σ : Γp,q → Aut(C`p,q)9 tal que
σ(a)(x) = axa−1 (1.71)
e a representac¸a˜o adjunta contorcida, como uma representac¸a˜o σˆ : Γp,q → Aut(C`p,q), tal que
σˆ(a)(x) = aˆxa−1 (1.72)
e vemos que σˆ define Γˆp,q.
Consideremos agora, dois vetores v,u ∈ C` e as representac¸o˜es adjuntas contorcidas deles, σˆ(a)v, σˆ(a)u.
Temos dessa forma,
2g(σˆ(a)v, σˆ(a)u) = σˆ(a)vσˆ(a)u + σˆ(a)uσˆ(a)v
= aˆva−1aˆua−1 + aˆua−1aˆva−1 (1.73)
por simplicidade, consideremos a = a[k] ∈ Λk(Rp,q) e a generelizac¸a˜o para um a qualquer vem por
linearidade. Lembrando que aˆ[k] = (−1)ka[k], temos enta˜o que
2g(σˆ(a[k])v, σˆ(a[k])u = (−1)kaˆ[k]vua−1[k] + (−1)kaˆ[k]uva−1[k]
= (−1)k2aˆ[k]g(v,u)a−1[k] = 2g(v,u)aˆ[k](−1)ka−1[k]
= 2g(v,u) (1.74)
por linearidade, temos
g(σˆ(a)v, σˆ(a)u) = g(v,u) (1.75)
e vemos assim que σˆ(a) ∈ O(p, q), grupo das transformac¸o˜es ortogonais de Rp,q. Assim, temos
que σˆ e´ uma aplicac¸a˜o σˆ : Γˆp,q → O(p, q). Ao calcularmo qual o determinante de σˆ(a[k]), obtemos
detσˆ(a[k]) = (−1)k[12]. Dessa forma temos que
σˆ(Γp,q) = O(p, q) (1.76)
9A notac¸a˜o Aut(A), em que A e´ uma a´lgebra, denota o grupo dos automorfismo de A, isto e´, o grupo de todas
aplicac¸o˜es lineares da a´lgebra nela pro´pria que sa˜o isomorfismos.
1.4. Grupos Pin e Spin 17
e se considerarmos apenas os elementos pares de Γp,q, denotados Γ
+
p,q = Γp,q ∩ C`+p,q temos que
detσˆ(a[k]) = 1 e portanto
σˆ(Γ+p,q) = SO(p, q) (1.77)
A representac¸a˜o ajunta contorcida e´ um homomorfismo sobrejetor, e tem Kerσˆ = R∗, em que R∗ =
R−0. Isso mostra que para cada de elemento de O(p, q), existem varios elementos correspondentes
em Γp,q, isto e´, para descrever as rotac¸o˜es na˜o e´ necessa´rio todo o Γp,q, mas apenas um subgrupo
10.
Esses subgrupos sa˜o justamente os grupos Pin(p, q) e Spin(p, q).
1.4 Grupos Pin e Spin
Temos duas poss´ıveis definic¸o˜es para a norma de um multivetor:
1)
N(a) =| a |2= 〈a˜a〉0, ∈ C`p,q. (1.78)
2)
N ′(a) = 〈aa〉0, ∈ C`p,q (1.79)
e as duas se relacionam como
N ′(a[k]) = (−1)kN(a[k]) (1.80)
Utilizando N e N ′, podemos normalizar os elementos de Γˆp,q e obter subgrupos menores.
1.4.1 Pin(p, q)
Define-se o grupo Pin(p,q) como
Pin(p, q) =
{
a ∈ Γˆp,q | N(a) = ±1
}
(1.81)
E agora temos
σˆ : Pin(p, q)→ O(p, q) (1.82)
com
Ker σˆ|Pin(p,q) = {±1} = Z2 (1.83)
o que significa que para cada elemento de SO(p, q) existem dois elementos em Pin(p, q). Podemos
ainda, definir o grupo Pin de acordo com a norma 2), de forma ana´loga,
Pin′(p, q) =
{
a ∈ Γˆp,q | N ′(a) = ±1
}
(1.84)
1.4.2 Spin(p, q)
A definic¸a˜o do grupo Spin(p, q) e´ como segue
Spin(p, q) =
{
a ∈ Γˆ+p,q | N(a) = 1
}
(1.85)
e, como no caso anterior temos que
σˆ : Spin→ SO(p, q) (1.86)
com
Ker σˆ|Spin(p,q) = {±1} = Z2 (1.87)
10Do mesmo modo que na˜o precisamos de todos os quate´rnions para representar SO(3), mas apenas os quate´rnions
unita´rios.
18 A´lgebras de Clifford, Grupos Pin, Spin e Espinores
Segue direto da eq. (1.88) que
Spin(p, q) = Pin(p, q) ∩ C`+p,q (1.88)
e como de (1.75) temos que N ′(a) = N(a) para a ∈ C`+p,q, temos que
Pin(p, q) ∩ C`+p,q = Pin′(p, q) ∩ C`+p,q (1.89)
e segue portanto que
Spin(p, q) = Spin′(p, q) (1.90)
1.4.3 Pin e Spin reduzidos
E´ poss´ıvel, e interessante, definir os seguintes subgrupos de Γˆp,q
Pin+(p, q) =
{
a ∈ Γˆp,q | N(a) = 1
}
, (1.91)
Pin′+(p, q) =
{
a ∈ Γˆp,q | N ′(a) = 1
}
(1.92)
e
Spin+(p, q) =
{
a ∈ Γˆ+p,q | N(a) = 1
}
(1.93)
denominados grupos Pin e Spin reduzidos.
Pode-se mostrar[12] que11
σˆ (Pin+(p, q)) = O+(p, q) (1.94)
e
σˆ
(
Spin+(p, q)
)
= SO+(p, q) (1.95)
e o nu´cleo da aplicac¸a˜o σˆ para ambos os casos e´ Z2. Dessa forma, podemos escrever
O+(p, q) = Pin+(p, q)/Z2 (1.96)
e
SO+(p, q) = Spin+(p, q)/Z2 (1.97)
e dizemos que o grupo Pin+ e´ o recobrimento duplo de O+(p, q) e Spin+(p, q) o recobrimento duplo
de SO+(p, q).
1.5 Espinores
1.5.1 Espinores Cla´ssicos
Os espinores cla´ssicos, como introduzidos por Cartan, sa˜o elementos do espac¸o de representac¸a˜o
irredut´ıvel do grupo de Lorentz pro´prio, SO+(p, q), como vimos que o grupo Spin+(p, q) e´ o reco-
brimento duplo do grupo de Lorentz, podemos definir espinores dentro do contexto de a´lgebras de
Clifford.
Definic¸a˜o 1.5.1 Seja C`p,q a a´lgebra de Clifford do espac¸o Rp,q e Spin+(p, q) o grupo associado a
C`p,q. Um espinor cla´ssico e´ um elemento do espac¸o de representac¸a˜o irredut´ıvel de Spin+(p, q).
Considerando a classificac¸a˜o em termos de a´lgebras de matrizes, feita para as a´lgebras de Clif-
ford, podemos classificar os espinores como[12]
• p − q = 1, 7 mod 8. Temos para esse caso, que C`+p,q ' C`p,q−1 = C`p′,q′ , em que p′ − q′ =
p − q + 1 = 0, 2 mod 8 e portanto C`(p, q) ' M(2[n−1/2],R). Nesse caso enta˜o, um espinor
cla´ssico e´ um elemento de R2[(n−1)/2].
11O grupo SO+(p, q) e´ o subgrupo de SO(p, q) conexo a` identidade.
1.5. Espinores 19
• p − q = 2, 6 mod 8. Para esse caso, temos p′ − q′ = p − q = 3, 7 mod 8, assim C`+p,q '
M(2[(n−1)/2],C). Dessa forma,um espinor cla´ssico e´ um elemento de C2[(n−1)/2]]. Em parti-
cular, nesse caso o n−vetor define uma estrutura complexa no espac¸o dos espinores e existem
duas representac¸o˜es irredut´ıveis na˜o equivalentes: uma uma com o n-vetor com estrutura com-
plexa igual a` i e outra com ele tendo estrutura complexa igual a` −i. Os espinores cla´ssicos
correspondentes a` essas duas representac¸o˜es sa˜o conjugados.
• p − q = 3, 5 mod 8. Agora, temos p′ − q′ = p − q + 1 = 4, 6 mod 8 e dessa maneira C+p,q '
M(2[(n−1)/2]−1,H). Portanto um espinor cla´ssico e´ um elemento de H2[(n−1)/2]−1 .
• p − q = 4 mod 8. Assim, p′ − q′ = 5 mod 8 e temos um caso diferente dos anteriores: a
suba´lgebra par e´ semisimples e C`p,q ' M(2(n−1)/2]−1,H) ⊕M(2(n−1)/2]−1,H). Nesse caso,
teremos novamente duas representac¸o˜es na˜o equivalentes de Spin+p,q. Escrevendo C`+p,q =+
C`+p,q⊕− C`+p,q e o espinor cla´ssico devido a` cada representac¸a˜o na˜o equivalente e´ um elemento
de H2[(n−1)/2]−1 .
• p − q = 0 mod 8. Temos por fim, p′ − a′ = 1 mod 8. Mais uma vez a suba´lgebra par e´
semisimples, e temos C`p,q 'M(2n−1/2],R)⊕M(2n−1/2,R). O espinor cla´ssico devido a` cada
uma das das representac¸o˜es na˜o equivalentes e´ um elemento de R2n−1/2 .
Para o caso das a´lgebras de Clifford complexas, a classificac¸a˜o e´ bem mais simples,
• p + q = n = 2k. Temos que C`+C (n) ' C`C(n − 1) e portanto, C`+C (2k) ' M(2k−1,C) ⊕
M(2k−1,C). Assim, temos duas representac¸o˜es irredut´ıveis na˜o equivalentes e o espinor
cla´ssico complexo associado a cada uma delas e´um elemento de C2k−1 .
• p+q = n = 2k+ 1. Nesse caso, temos C`+C (2k+ 1) ' C`C(2k), e o espinor cla´ssicoo complexo
e´ um elemento de C2k .
1.5.2 Espinores alge´bricos
Definic¸a˜o 1.5.2 Um espinor alge´brico e´ um elemento de um ideal a` esquerda minimal de uma
a´lgebra de Clifford C`p,q simples. Se C`p,q for uma a´lgebra semisimples, o elemento de tal ideal e´
dito semiespinor alge´brico.
Ana´logamente ao caso anterior, utilizamos a classificac¸a˜o das a´lgebras de Clifford para classificar
os espinores alge´bricos de forma que, para a´lgebras de Clifford reais, obtemos a seguinte classificac¸a˜o
[12] dada pela tabela abaixo.
p− q mod 8 0 1 2 3
SAp,q R2
[n/2] R2[n/2] ⊕ R2[n/2] R2[n/2] C2[n/2]
p− q mod 8 4 5 6 7
SAp,q H2
[n/2]−1 H2[n/2]−1 ⊕H2[n/2]−1 H2[n/2]−1 C2[n/2]
Tabela 1.1: Classificac¸a˜o dos espinores a´lge´bricos - Caso real
Para as a´lgebras de Clifford complexas, novamente a classificac¸a˜o e´ mais simples, e esta´ resumida
na tabela abaixo:
p + q = n = 2k C2k
p + q = n = 2k + 1 C2k ⊕ C2k
Tabela 1.2: Classificac¸a˜o dos espinores alge´bricos - Caso complexo
20 A´lgebras de Clifford, Grupos Pin, Spin e Espinores
Existe uma relac¸a˜o entre espinores cla´ssicos e alge´bricos. Os espinores cla´ssicos em um espac¸o
Rp,q ou Rq,p e´ um espinor (ou semiespinor) alge´brico em um espac¸o Rq,p−1 ou Rp,q−1. De fato,
da definic¸a˜o de grupo Spin+ (1.88), temos que uma representac¸a˜o irredut´ıvel de Spin
+
p,q segue de
uma representac¸a˜o irredut´ıvel de C`+p,q. Utilizando o isomorfismo C`+p,q ' C`q,p−1 ' C`p,q−1 ' C`+q,p
(Teorema 1.2 da sec¸a˜o 1.1), vemos que uma representac¸a˜o irredut´ıvel de C`+p,q e´ obtida a partir de
uma representac¸a˜o irredut´ıvel de C`q,p−1 ' C`p,q−1, que sa˜o ideais a` esquerda minimais.
O propo´sito de apresentar os espinores alge´bricos, foi para poder construir o produto interno
no espac¸o dos espinores. Apresentaremos essa construc¸a˜o para o espac¸o dos espinores alge´bricos, o
que pela discussa˜o acima, tambpem valera´ para o espac¸o dos espinores cla´ssicos.
1.5.3 Poduto interno no espac¸o do espinores alge´bricos
E´ poss´ıvel definir dois produtos internos no espac¸o dos espinores, S. Um para cada tipo de
antiautomorfismo da a´lgebra de Clifford C`p,q correspondente a S. Os dois tipos de produto interno
sa˜o:
(i) A aplicac¸a˜o bilinear h˜ : S × S → K, tal que
h˜(ψ, φ) = sψ˜φ (1.98)
em ψ, φ ∈ S e s ∈ C`∗p,q com ψ˜ denotando a reversa˜o de ψ, como ja´ definido, e K = R ou C.
(ii) A aplicac¸a˜o linear h : S × S → K, tal que
h(ψ, φ) = sψφ (1.99)
onde novamente, ψ e φ sa˜o espinores de S, s e´ um elemento arbitra´rio de C`∗p,q e o corpo K
pode ser os reais ou complexo. Ainda, h denota a conjugac¸a˜o de h.
1.5.4 Espinores Puros
Um tipo de espinor de interesse para o nosso trabalho, sa˜o os espinores puros. Dado um espac¸o
vetorial complexo W = C2n, e o espac¸o de representac¸a˜o espinorial S ' End(S)12, um espinor e´
dito simples ou puro, se obedece a equac¸a˜o de Cartan [11, 12]
zaγaψ = o (1.100)
onde za ∈ W , γa sa˜o os geradores da a´lgebra de Clifford C`2n e 0 6= ψ ∈ S e´ um espinor. Para
compreendermos melhor as consequeˆncias da eq. (1.100), consideremos a seguinte definic¸a˜o
Definic¸a˜o 1.5.3 Um subespac¸o X ⊂W e´ dito totalmente isotro´pico, se
g(x, y) = 0, ∀x, y ∈ X (1.101)
em que g e´ uma forma biliniear sime´trica definida em W .
Agora enunciaremos o teorema de Witt
Teorema 1.5.1 Seja uma forma bilinear g na˜o degenerada em W e uma isometria arbitra´ria
σ : X → X ′, em que X e X ′ sa˜o subespac¸os totalmente isotro´picos de W , de modo que W = X⊕X ′.
A isometria σ pode ser estendida a` W .
12Esse isomorfismo e´ justamente o que acabamos de mostrar, classificando os espinores de acordo com a a´lgebrade
matrizes
1.5. Espinores 21
Os subespac¸os totalmente isotro´picos de maior dimensa˜o de W sa˜o denominados subespac¸os ma-
ximais totalmente isotro´picos. O teorema de Witt implica[11] que a dimensa˜o dos subespac¸os
maximais totalmente isotro´picos e´ um invariante, isto e´ dimX = dimX ′ = r, que e´ denominado
ı´ndice de Witt da forma bilinear g.
Consideremos agora um espinor ψ ∈ S, o espac¸o nulo Tψ de ψ e´ o subespac¸o de W tal que
Tψ = {x ∈W | xψ = 0} (1.102)
e temos que Tψ e´ um subespac¸o isotro´pico de W. De fato, seja um espinor ψ 6= 0 e x, y ∈ Tψ, temos
2g(x, y)ψ = (xy + yx)ψ = xyψ + yxψ = 0. (1.103)
Um espinor na˜o nulo ψ ∈ S e´ dito puro, se Tψ for um subespac¸o maximalmente isotro´pico.
Vemos portanto, que a equac¸a˜o de Cartan define subespac¸os maximalmente isotro´picos de W , e
cada espinor ψi que a satisfaz e´ dito um representante de Tψi .
Consideremos agora, a seguinte equac¸a˜o
φ⊗Bψ =
n∑
j=0
Fj (1.104)
em que φ, ψ ∈ S e B e´ um automorfismo de C`(2n) definido como
Bγa = γ
t
a; Bφ = φ
tB ∈ S∗ (1.105)
em que s∗ e´ o espac¸o dos espinores duais, e o sobrescrito t denota a transposic¸a˜o. E Fj definido
como
Fj = [γa1 · γa2 · · · γaj ]T a1a2...aj (1.106)
em que [ ] denota o produto antissimetrizado dos geradores γa e
T a1...aj =
1
2n
〈
Bψ, [γa1 · · · γaj ]φ
〉
(1.107)
Mostra-se [17], que um espinor φ ∈ S que satisfaz a seguinte equac¸a˜o
φ⊗Bφ = Fn (1.108)
satisfaz a equac¸a˜o de Cartan, e portanto e´ um espinor puro. Portanto um espinor puro, e´ um
espinor com o seuginte conjunto de equac¸o˜es de v´ınculos
F0 = 0, F1 = 0, F2 = 0, . . . , Fn−1 = 0 (1.109)
Estudar espinores puros do ponto de vista da equac¸a˜o (1.103) e´ muito mais vantajoso pois temos as
equac¸o˜es de v´ınculos explicidas, e os ca´lculos se resumem a produtos usuais e produtos tensoriais
de matrizes.
Cap´ıtulo 2
Tranformac¸o˜es de simetria no
espac¸o-tempo
Neste cap´ıtulo, discutiremos as simetrias discretas; paridade, reversa˜o temporal e conjugac¸a˜o
de carga. As duas primeiras sa˜o elementos de componentes na˜o conexas do grupo de Lorentz
L = O(p, q). E significam reflexo˜es no espac¸o-tempo de Minkowski. Por sua vez, a conjugac¸a˜o
de carga e´ uma transformac¸a˜o discreta nos espinores e na˜o surge das simetrias do espac¸o-tempo.
Ela transforma um fe´rmion com uma dada orientac¸a˜o de spin, em um antife´rmion com a mesma
orientac¸a˜o de spin [18] . Dessa forma, apresentaremos o grupo de Lorentz e suas componentes
e suas transformac¸o˜es: rotac¸o˜es, boots, paridade e reversa˜o temporal. Ainda, apresentaremos a
representac¸a˜o spin do grupo de Lorentz, e como as tranformac¸o˜es acima podem ser escritas para
espinores. Nessa u´ltima parte, apresentaremos a conjugac¸a˜o de carga.
2.1 Grupo de Lorentz e as Simetrias Discretas
Denominamos o grupo das isometrias do espac¸o-tempo de Minkowski, R1,3, por grupo de Lorentz
L = O(1, 3). O grupo de Lorentz na˜o e´ simplesmente conexo, de fato, possui quatro componentes
desconexas, L↑+, L↓+, L↑− e L↓−. Olharemos mais detalhamente cada uma dessas componentes.
• L↑+
Essa e´ a componente do grupo de Lorentz conexa a` identidade, e a u´nica que sozinha forma um
subgrupo. Ela e´ usualmente denominada grupo de Lorentz orto´crono pro´prio (ou restrito),
e e´ o conjunto de todas transformac¸o˜es de referenciais em R1,3 que preservam a causalidade
[19]. Dessa forma temos detL = 1, e temos que L↑+ = SO+(1, 3), o grupo das rotac¸o˜es em
R1,3, que preserva o sinal da coordenada temporal. Existem dois tipos diferentes distintos de
rotac¸o˜es em R1,3, as que agem puramente sobre as coordenadas espaciais, SO(3), chamadas
apenas de rotac¸o˜es e as que agem sobre e coordenada temporal e alguma coordenada espacial
simultaˆneamente. Essas u´ltimas sa˜o os bem conhecidos boosts de Lorentz. Temos portanto,
que os elementos de L↑+, sa˜o da forma:
Rx =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 cos θ − sin θ
0 0 sin θ cos θ
 ,
Ry =

1 0 0 0
0 cos θ sin θ 0
0 0 1 0
0 − sin θ cos θ 0
 , (2.1)
22
2.1. Grupo de Lorentz e as Simetrias Discretas 23
Rz =

1 0 0 0
0 cosθ − sin θ 0
0 sin θ cos θ 0
0 0 0 1
 ,
para as rotac¸o˜es, onde Ri, i = x, y, z denota as rotac¸o˜es em torno dos eixos x, y, z. Para os
boosts, temos
Bx =

coshφ sinhφ 0 0
sinhφ coshφ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 ,
By =

coshφ 0 sinhφ 0
0 1 0 0
sinhφ 0 coshφ 0
0 0 0 1
 , (2.2)
Bz =

coshφ 0 0 sinhφ
0 1 0 0
0 0 1 0
sinhφ 0 0 coshφ

onde Bi, i = x, y, z sa˜o os boosts de Lorentz na direc¸a˜o de x, y, z.
• L↑−
Essa componente e´ o grupo das reflexo˜es que preservam a orientac¸a˜o temporal, isto e´, sa˜o
reflexo˜es apenas nas coordenadas espaciais. Essas reflexo˜es sa˜o denominadas transformac¸o˜es
de paridade, P. Seja P ∈ L↑− sua ac¸a˜o em vetores de R1,3 e´ definida por P(x0, xi) = (x0,−xi),
em que x0 denota a coordenada temporal, e xi com o ı´ndice i tomando valores 1, 2 e 3
a coordenada espacial de um vetor xµ ∈ Rp,q, µ = 0, 1, 2, 3. A representac¸a˜o vetorial da
paridade e´ enta˜o,
P =

1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
 (2.3)
e vemos direto que detP = −1, e que confirma que e´ uma reflexa˜o.
• L↓−
Essa componente do grupo de Lorentz e´ o conjunto das reflexo˜es em torno da coordenada
temporal. Assim como a paridade, as transformac¸o˜es de L↓− possuem um nome espec´ıfico, sa˜o
denominadas reversa˜o temporal. Seja T ∈ L↓−, a ac¸a˜o sobre um vetor e´ dada por T (x0, xi) =
(−x0, xi). Sua representac¸a˜o vetorial e´ portanto
T =

−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 (2.4)
Mais uma vez, da representac¸a˜o matricial, vemos que de fato det T = −1.
• L↓+
Essa componenete do grupo de Lorentz, e´ o conjunto das rotac¸o˜es (espaciais e boosts), que
na˜o preservam a orientac¸a˜o temporal. Notemos que detPT = 1, e a direc¸a˜o do tempo e´
negativa, portanto tempos PT ∈ L↓+ e de fato toda transformac¸a˜o dessa componente pode
24 Tranformac¸o˜es de simetria no espac¸o-tempo
ser escrita como o produto de uma reversa˜o temporal e a paridade. Portanto podemos olhar
para L↓+ como sendo o conjunto das reflexo˜es totais (temporal e espacial) do grupo de Lorentz.
Seja PT ∈ L↓+ sua ac¸a˜o sobre um vetor de R1,3 e´ dada por PT (x0, xi) = (−x0,−xi), sua
representac¸a˜o vetorial e´ enta˜o,
PT =

−1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
 (2.5)
Vimos enta˜o, como sa˜o as simetrias do espac¸o-tempo. Os elementos das componentes L↑−,
L↓− e L↓+, sa˜o denominadas simetrias discretas. Existe outra transformac¸a˜o discreta de grande
importaˆncia e necessa´ria nesse trabalho, que e´ a conjugac¸a˜o de carga, pore´m ela na˜o e´ uma simetria
do espac¸o-tempo. A conjugac¸a˜o de carga sera´ definina na pro´xima sec¸a˜o, junto com a ac¸a˜o da
paridade e reversa˜o temporal em espinores.
2.2 Representac¸o˜es do grupo de Lorentz
Nessa sec¸a˜o estamos interessados em encontrar representac¸o˜es do grupo de Lorentz. Nosso meta
principal e´ entender como o grupo de Lorentz age sobre campos espinoriais, e sobre as matrizes
de Dirac. Dessa forma, comec¸aremos calculando os geradores das rotac¸o˜es e boosts do grupo de
Lorentz restrito.
Consideremos enta˜o, as expresso˜es (2.1) e (2.2), das rotac¸o˜es e boosts de L↑+. Os geradores
dessas tranformac¸o˜es sa˜o dados por [20]
Ji =
1
i
∂Ri
∂θ
|θ=0, Ki = 1
i
∂Bi
∂φ
|φ=0. (2.6)
calculando, obtemos
Jx = −i

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 −1 0

Jy = −i

0 0 0 0
0 0 0 −1
0 0 0 0
0 1 0 0
 (2.7)
Jz = −i

0 0 0
0 0 1 0
0 −1 0 0
0 0 0 0

para as rotac¸o˜es, e
Kx = −i

0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

Ky = −i

0 0 1 0
0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
 (2.8)
2.2. Representac¸o˜es do grupo de Lorentz 25
Kz = −i

0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0

para os boosts. Calculemos agora, as relac¸o˜es de comutac¸o˜es desses geradores,
[Ji, Jj ] = Ji Jj − Jj Ji, [Ki, Kj ] = KiKj −KjKi, [Ji, Kj ] = JiKj −Kj Ji. (2.9)
Obtemos as seguintes relac¸o˜es:
[Ji, Jj ] = iεijk Jk, [Ki, Kj ] = −iεijk Jk, [Ji, Ki] = 0, [Ji, Kj ] = iεijkKk. (2.10)
Vemos por essas relac¸o˜es que os geradores de rotac¸o˜es, Ji, fomam uma a´lgebra com relac¸a˜o ao
comutador, a a´lgebra SU(2) [21]. Por outro lado, vemos que os geradores de boosts puros, na˜o
formam uma a´lgebra com relac¸a˜o ao comutador. Entretando, definindo os seguintes operadores,
Ni =
1
2
(Ji − iKi) , N †i =
1
2
(Ji + iKi) . (2.11)
e utilizando (2.10) para calcular suas relac¸o˜es de comutac¸a˜o, encontramos
[Ni, Nj ] = iεijkNk, (2.12)[
N †i , N
†
j
]
= iεijkN
†
k , (2.13)[
Ni, N
†
j
]
= 0. (2.14)
e portanto vemos que cada um dos operadores (2.11) forma uma a´lgebra SU(2). Dessa forma, temos
essencialmente duas co´pias de SU(2) e os vetores dos espac¸os de representac¸a˜o se transformam como
dois ı´ndices de momentos angulares, e sa˜o representac¸o˜es na˜o-equivalentes. Se indexarmos cada
uma dessas representac¸o˜es de momento angular como (j, j′), podendo serem inteiro ou meio inteiro.
Olhemos para as seguintes representac¸o˜es:
(12 , 0) Para essa representac¸a˜o temos J
( 1
2
, 0) = σ2 e K
1
2 . Seja ψL ∈ C2 um espinor, e (θ, φ) sa˜o
paraˆmetros das transformac¸o˜es, temos
ψL 7→MψL =
(
i
σ
2
+
σ
2
)
ψL (2.15)
(0, 12) Nesse caso, temos J
0, 1
2 ) = σ2 e K
(0, 1
2
) = iσ2 . E para ψR ∈ C2, temos
ψR 7→ NψR =
(
i
σ
2
θ − σ
2
φ
)
ψR (2.16)
Esses sa˜o os espinores de Weyl com quiralidade negativa e quiralidade positiva, onde definimos o
operador de quiralidade, como
PL,R =
1
2
(
1∓ γ5) (2.17)
Como estamos interessados na representac¸a˜o de todo o grupo de Lorentz(restrito), a representac¸a˜o
espinorial sera´ (12)⊗ (0, 12). O espinor, dito espinor de Dirac, sera´ um elemento de C2 ⊕ C2,
ψ =
(
ψL
ψR
)
(2.18)
e teremos a seguinte ac¸a˜o das transformac¸o˜es de Lorentz:
ψ =
(
ψL
ψR
)
7→
(
e(i
σ
2
θ+σ
2
φ) 0
0 e(i
σ
2
θ−σ
2
φ)
)
ψ =
(
ψL
ψR
)
(2.19)
Essa representac¸a˜o e´ dita representac¸a˜o de Weyl. Podemos ainda tratar o espinor ψ como irredut´ıvel
em C4, nesse caso, os geradores das transformac¸o˜es de Lorentz sera˜o dados em termos das matrizes
γµ, e temos os seguintes geradores das transformac¸o˜es (na a´lgebra de Lie) [23]:
26 Tranformac¸o˜es de simetria no espac¸o-tempo
Boosts: Os boosts sa˜o geradores por 12γiγ0 =
(
σi 0
0 −σi
)
.
Rotac¸o˜es: As rotac¸o˜es, sa˜o geradas por 12γiγj =
−i
2 εijk
(
σk 0
0 σk
)
.
2.3 Conjugac¸a˜o de Carga, Paridade e Reversa˜o temporal
Nessa sec¸a˜o, estamos interessados em saber como as simetrias discretas, P, T e C, va˜o agir nas
representac¸o˜es do grupo de Lorentz.
A conjugac¸a˜o de carga, C, e´ uma transformac¸a˜o discreta, que leva um espinor ψ, que descreve
uma part´ıcula com carga, em ψc, que descreve uma part´ıcula com carga oposta a de ψ. Para
introduzirmos melhor o conceito, consideraremos o efeito a conjugac¸a˜o de carga sobre a equac¸a˜o
de Dirac para uma part´ıcula com carga. Seja e a carga da part´ıcula, a equac¸a˜o de Dirac e´
[γµ(i∂µ − eAµ)−m]ψ = 0 (2.20)
Estamos procurando por uma transformac¸a˜o C, tal que o espinor transformado obedec¸a a equac¸a˜o
(2.19) com uma carga −e,
[γµ(i∂µ + eAµ)−m]ψC = 0 (2.21)
Para isso, notemos que a conjugac¸a˜o complexa da equac¸a˜o (2.19), muda o sinal da carga. De fato
[−(γµ)?(i∂µ + eAµ)−m]ψ? = 0 (2.22)
que parece uma equac¸a˜o para a carga negativa, mas na˜o esta´ na forma da equac¸a˜o de Dirac. Para
isso lembramos que as matrizes γµ e os espinores, sa˜o definidos a menos de uma mudanc¸a de base
γµ 7→ SγµS−1 e ψ 7→ Sψ. Dessa forma, procuramos por uma tranformac¸a˜o S = C, tal que a
equac¸a˜o se torne como (2.20). Para isso, trasformamos γµ e espinor ψ na equac¸a˜o (2.21),
C [−(γµ)?(i∂µ + eAµ)−m] C−1Cψ? = 0 (2.23)
e obtemos [−C(γµ)?C−1(i∂µ + eAµ)−m] Cψ? = 0 (2.24)
e dessa forma, C, deve satisfazer −C(γµ)?C−1= γµ. Tomando C = iγ2, satisfazemos a condic¸a˜o,
e enta˜o a equac¸a˜o para Cψ = ψc, se torna (2.20). Dessa maneira, se aplicarmos a conjugac¸a˜o de
carga a` equac¸a˜o de Dirac, ela se mante´m invariante, sendo a mesma equac¸a˜o de dirac, mas agora
para um espinor com carga oposta ao que transformamos.
A tranformac¸a˜o de paridade, P, ja´ foi apresentada em (2.3), em termos da sua ac¸a˜o em pontos
do espac¸o de Minkoswki. Em termos de espinores, e´ transformac¸a˜o de paridade tambe´m faz uma
relfexa˜o nas coordenadas espaciais, ψ(x, t) 7→ Pψ(−x, t). Em termos das matrizes γ, a paridade
e´ dada por P = γ0 [9]. Assim como a conjugac¸a˜o de carga, a ac¸a˜o da paridade em espinores e´
ψ 7→ Pψ, e em operadores, D 7→ PDP−1.
Por fim, a reversa˜o temporal, T , agira´ nos espinores refletindo a coordana temporal, ψ(x, t) 7→
T ψ(x,−t). Em termos das matrizes gama, a revera˜o temporal e´ dada por T = iγ1γ3 [9]. E age em
operadores da forma usual, T DT −1.
Cap´ıtulo 3
Simetrias discretas e localizac¸a˜o
em cena´rios tipo-brana
Na introduc¸a˜o comentamos de modo bem geral a evoluc¸a˜o das ideias em teorias de dimenso˜es
extras, desde o seu surgimento ate´ as propostas atuais. Gostar´ıamos aqui, de dar um panorama
um pouco menos superficial para que este cap´ıtulo esteja melhor contextualizado.
O procedimento de Kaluza-Klein contitui em considerar dimenso˜es extras compactas e integra´-
las na ac¸a˜o em dimensa˜o superior, para obter uma ac¸a˜o em quatro dimenso˜es com os diferentes
campos e uma se´rie infinita de part´ıculas com massa proporcional ao inverso do raio da dimensa˜o
compacta. Se considerarmos a ac¸a˜o de Einstein - Hilbert em um espac¸o com n dimenso˜es extras,
temos
S4+n ∼
∫
d4+nx
√
g(4+n)R(4+n). (3.1)
em que R4+n, g4+n sa˜o o escalar de curvatura e o tensor me´trico em 4 + n dimenso˜es, respectiva-
mente. Considerando um elemento de linha nesse espac¸o,
ds2 = gMNdx
MdxN (3.2)
e considerando apenas coordenadas com dimensa˜o pro´pria, temos que g e´ adimensional, [g] = 0.
Os s´ımbolos de Christoffel sa˜o proporcionais a` primeira derivada da me´trica,
ΓAMN ∼ gAB∂MgNB (3.3)
e assim, [ΓAMN ] = 1. Por outro lado temos para o tensor de Ricci, RMN ∼ Γ2 e assim para o escalar
de curvatura teremos [R] = 2. E como vemos, a dimensa˜o dessas quantidades na˜o e´ alterada
pela dimensa˜o do espac¸o. Dessa forma a ac¸a˜o (3.1) possui dimensa˜o, [S4+n] = −n − 2. Como
requeremos a ac¸a˜o adimensional, devemos multiplica´-la por uma poteˆncia de n + 2 da escala de
Planck fundamental dessa teoria M∗. Assim,
S4+n = −Mn+2∗
∫
d4+nx
√
g(4+n)R(4+n). (3.4)
Comparando com a ac¸a˜o em quatro dimenso˜es,
S4 = −MPl
∫
d4x
√
g(4)R(4) (3.5)
podemos encontrar a relac¸a˜o entre a escala fundamental da teoria de dimenso˜es superiores e a
escala fundamental em quatro dimenso˜es. Para isso, consideremos as dimenso˜es extras como sendo
um toro de dimensa˜o n, com uma me´trica dada por
ds2 = (ηνµ + hµν)dx
µdxν − r2dΩ2n (3.6)
27
28 Simetrias discretas e localizac¸a˜o em cena´rios tipo-brana
em que o termo (ηνµ+hµν) e´ a me´trica no espac¸o de Minkowski de quatro dimenso˜es, com flutuac¸o˜es
hµν , tais que ‖hµν‖ << 1. O termo dΩ2n e´ o elemento de linha do espac¸o das dimenso˜es extras.
Teremos enta˜o, para essa me´trica,√
g(4+n) = rn
√
g(4), R(4+n) = R(4) (3.7)
e portanto
S4+n = −Mn+2∗
∫
d4+nx
√
g(4+n)R(4+n) = −Mn+2∗
∫
dΩn r
n
∫
d4x
√
g(4)R(4). (3.8)
como tomamos a dimensa˜o extra como um n − toro (a dita compactificac¸a˜o toroidal), temos que∫
dΩn r
n = Vn = (2pir)
n, e´ o volume do n − toro. Dessa forma, comparando (3.4) com (3.5),
obtemos a relac¸a˜o entre as escalas fundamentais das duas teorias:
M2Pl = M
n+2
∗ (2pir)
n. (3.9)
Por outro lado, consideremos a ac¸a˜o para campos de gauge, na˜o canoˆnicamente normalizados,
S(4+n) = −
∫
d4+nx
1
4g2∗
FMNF
MN
√
g(4+n). (3.10)
em que M,N sa˜o ı´ndices do espac¸o todo e g∗ a constante de acoplamento da teoria. Novamente,
compactificando em um toro obtemos
S(4) = −
∫
d4x
V(n)
4g2∗
FµνF
µν
√
g(4). (3.11)
Comparando com a ac¸a˜o usual para campos de gauge em quatro dimenso˜es, encontramos a relac¸a˜o
entre as contanstes de acoplamento das duas teorias,
1
g2eff
=
V(n)
g2
. (3.12)
Temos portanto que [g∗] = −n2 . Assumindo que a relac¸a˜o entre o acoplamento de gauge, e o aco-
plamento gravitacional, G = 1
M2Pl
, seja va´lido tambe´m em teorias de dimensa˜o supeiores, obtemos
as seguintes equac¸o˜es:
1
g24
= VnM
n
∗ ∼ rnMn∗ (3.13)
M2Pl = VnM
n+2
∗ ∼ rnMn+2∗ (3.14)
as quais, nos levam a
r ∼ 1
MPl
g
n+2
n
4 (3.15)
Dessa forma, o raio ”natural”da dimensa˜o extra e´ da ordem do inverso da massa de Planck.
Tendo em vista a atual capacidade de se realizar experimentos, esse resultado e´ deveras desani-
mador, pois a verificac¸a˜o experimental se mostra distante [3]. Entretanto, chegamos a` essa ordem
de escala fundamental assumindo que todos os campos se propagam por todas dimenso˜es extras, o
que na˜o necessariamente precisa ocorrer [6]. De fato, Arkani-Hamed, Dimopoulos e Dvali, no in´ıcio
dos anos noventa, foram os primeiros a considerarem dimenso˜es extras grandes. Para conseguirem
um modelo com essas dimenso˜es extras grandes e consistente com as obsevac¸o˜es, eles assumiram que
os campos do modelo padra˜o na˜o poderiam se propagar por todas as dimenso˜es. Eles estariam res-
tritos a se propagar apenas em um espac¸o quadridimensional contido no espac¸o-tempo de dimensa˜o
superior. A gravidade por sua vez, poderia se propagar em todas dimenso˜es. Dessa maneira, a
observac¸a˜o ou na˜o das dimenso˜es extras ficam por conta de experimentos de gravitac¸a˜o. Como a
interac¸a˜o gravitacional e´ muito mais fraca do que as outras interac¸o˜es, ela foi testada apenas ate´
a ordem de mil´ımetros. Assim, as dimenso˜es extras poderiam ser grandes pois como a gravidade e´
3.1. Equac¸a˜o de Dirac em espac¸o-tempos curvos 29
dif´ıcil de ser testada, ela ainda estariam invis´ıveis. Qual enta˜o, a ordem da escala fundamental M∗
permitida nesses modelos? Revertendo (3.14), obtemos
1
r
= M∗
(
M∗
MPl
) 2
n
(3.16)
se M∗ for da ordem de TeV , temos r ∼ 2 · 10−1710 32n cm, e se considerarmos duas dimenso˜es extras,
obtemos r ∼ 2mm, que e´ a escala em que atualmente a gravidade e´ testada. Dessa forma, impomos
o limite inferior, M∗ > TeV a` escala fundamental de energia. O limite superior atual para o
tamanho das dimenso˜es extras e´ r ≤ 200µm, devido a` efeitos de gravidade quaˆntica [3, 22].
O que seria esse espac¸o de quatro dimenso˜es embebido no espac¸o tempo de n + 4 dimenso˜es,
onde os campos do modelo padra˜o se propagam? No in´ıcio da de´cada de oitenta motivados pelo
papel do defeitos topolo´gicos no mecanismo de Higgs, surgiram modelos propondo que o universo
quadridimensional fosse descrito por uma parede de domı´nio que quebrava a simetria translacional
de um espac¸o-tempo de dimensa˜o maior. Esse modelos sa˜o conhecidos como cena´rio tipo brana.
Por outro lado, na de´cada posterior, descobriu-se defeitos topolo´gicos em teorias de cordas que
foram chamados D-branes. A partir de enta˜o, as branas foram incorporadas ao modelo ADD, como
sendo a escolha natural para o espac¸o quadridimensional que vivemos. As ide´ias de Arkali-Hamed,
Dimopoulos e Dvali, foram propostas para resolver o problema da hierarquia1. Entretanto, embora
o modelo ADD resolvesse o problema da hierarquia entre as escalas eletrofraca e de Planck, ele
introduzia uma nova hierarquia entre as escalas eletrofraca e de compactificac¸a˜o [22].
Uma soluc¸a˜o para o problema de hierarquia, sem os problemas do modelo ADD foi proposta
por Gogberashivili, Randall e Sundrum2 em que existem novas hipo´teses: a dimensa˜o extra e´ u´nica
e sua topologia e´ S1/Z2; o espac¸o e´ anti-de-Sitter. A me´trica e´ na˜o-fatoriza´vel e possuium fator
de dobra (warp) dependente apenas da dimensa˜o extra, que deforma a brana,
ds2 = eA(y)ηµνdx
µdxν + dy2 (3.17)
No modelo RS, temos A(y) ∼| y | e a brana e´ dita fina, e separa dois espac¸os anti-de-Sitter.
Como o modelo RS resolve o problema da hierarquia na˜o discutiremos aqui, mas sim o problema
da localizac¸a˜o de campos e generalizac¸o˜es para branas espessas. Como nesses modelos os campos
do modelo padra˜o esta˜o confinados a` brana, como se da´ a lozalizac¸a˜o dos mais variados campos
no cena´rio RS? E´ poss´ıvel fazer a localizac¸a˜o de campos escalares e fermioˆnicos na˜o massivos,
entretanto na˜o e´ pos´ıvel localizar modos zero de campos de gauge no modelo RS [22].
Como tentativas de se resolver esses problemas algumas generalizac¸o˜es de RS surgiram, utili-
zando o fato de que pode-se gerar a brana como defeito topolo´gico. O defeito topolo´gico utilizado
depende do nu´mero de dimenso˜es extras da teoria. Por exemplo, o modelo RS pode ser obtido como
um limite de um modelo cuja brana e´ gerada pro um kink (campo escalar em 1+1 dimensa˜o). Como
func¸o˜es das dimenso˜es extras os defeitos topolo´gico na˜o sa˜o singularidades, mas possuem uma certa
espessura. Desse modo, esse tipo de brana e´ chamada de branas espessas, ou thick branes.
Neste cap´ıtulo apresentaremos como gerar uma brana a partir de defeitos topolo´gicos. Dis-
cutiremos a localizac¸a˜o de fe´rmions na brana e por fim, estudaremos a relac¸a˜o entre as simetrias
discretas e a localizac¸a˜o de fe´rmions quirais em um modelo de brana espessa.
3.1 Equac¸a˜o de Dirac em espac¸o-tempos curvos
Como vimos no cap´ıtulo 2, o grupo de Lorentz e´ o grupo de isometrias do espac¸o-tempo de
Minkowski. Vimos tambe´m que um espinor, e´ o elemento do espac¸o que carrega uma representac¸a˜o
irredut´ıvel do grupo de Lorentz. Esse fato na˜o e´ coincideˆncia. Um teorema devido a Wigner [24]
1Esse problema e´ a tentativa de explicar a enorme diferenc¸a entre a`s escalas gravitacionais de massa eletrofraca
e de Planck, MEF = 10
3GeV,MPl = 10
19GeV , respectivamente.
2Embora esse modelo tenha sido descoberto pelo treˆs, o primeiro de forma independente de Randall e Sundrum,
por motivos histo´ricos o modelo se chama RS.
30 Simetrias discretas e localizac¸a˜o em cena´rios tipo-brana
em teoria quaˆntica de campos, estabelece que as part´ıculas sa˜o representac¸o˜es irredut´ıveis do grupo
de Lorentz.
Por outro lado, para descrevermos um espac¸o com gravidade devemos utilizar a teoria da re-
latividade geral, que por sua vez possui como grupo de simetria o grupo linear geral, GL(n). O
fato aqui, e´ que o grupo GL(n) na˜o possui representac¸o˜es no grupo de Lorentz. Dessa forma, se
estivermos em uma variedade arbitra´ria (como no caso envolvendo gravitac¸a˜o), como definimos
part´ıculas? Para resolver esse impasse introduziremos o conceito de tetradas.
A ide´ia consiste em definir um refereˆncial ortonormal plano em cada aberto da variedade e
campos que a cada ponto, relaciona essas coordenadas planas, com as coordenadas da variedade. Se
a variedade for localmente lorentziana, poderemos enta˜o definir representac¸o˜es do grupo de Lorentz
em cada aberto e podemos assim, definir espinores em espac¸o-tempos curvos. Na exposic¸a˜o que
segue, seguimos a refereˆncia [22].
3.1.1 Campo Escalar
Consideremos inicialmente um campo escalar no espac¸o-tempo de Minkowski sujeito a um
potencial V (ϕ) e na auseˆncia de gravidade,
S =
∫
d4x
[
1
2
∂µ∂
µϕ− V (ϕ)
]
(3.18)
em que o elemento de volume e´ dado por d4x = dx0 ∧ dx1 ∧ dx2 ∧ dx3. Na presenc¸a de gravidade,
as coordenadas na˜o sera˜o mais planas. O que queremos e´ encontrar um sistema de coordenadas
planas (locais), para escrever a equac¸a˜o (3.1). Seja λa um sistema de coordenadas planas, fazemos
a transformac¸a˜o
xµ 7→ λa. (3.19)
Notemos que o elemento de linha e´ dado por
ds2 = ηabdλ
a dλb (3.20)
em que ηab e´ a me´trica de Minkowski. A ac¸a˜o incluindo a gravidade, e´ dada enta˜o por
S =
∫
d4 λ
[
1
2
ηab∂aϕ∂bϕ− V (ϕ)
]
(3.21)
e agora as derivadas ∂a sa˜o feitas com respeito a`s coordenadas planas. Como esse sistema de
coordenadas varia ponto a ponto, devemos escreveˆ-lo como uma func¸a˜o das coordenadas do espac¸o
dλa(x) =
∂λa
∂xµ
dxµ (3.22)
As matrizes de transformac¸a˜o do sistema de coordenadas planos para o sistema de coordenadas
curvos, sa˜o dadas por
eaµ =
∂λa
∂xµ
(3.23)
e sa˜o chamadas de tetradas ou vierbein. Notemos que a tetrada carrega ı´ndices tanto do sistema
de coordenadas plano, a, quanto curvo, µ. Podemos definir a tranformac¸a˜o inversa,
dxµ =
∂xµ
∂λa
dλa = e µa dλ
a (3.24)
a quais satisfazem eaµ e
µ
a = δab e e
µ
aeaν . De fato, consideremos
dλa = eaµdx
µ = eaµe
µ
b dλ
b. (3.25)
Podemos encontrar como sera˜o as derivadas levando-se em conta as tetradas,
∂
∂λa
=
∂xµ
∂λa
∂
∂xµ
= eµa∂µ. (3.26)
3.1. Equac¸a˜o de Dirac em espac¸o-tempos curvos 31
Dessa forma, podemos escrever a ac¸a˜o (3.4) em termos de xµ como
S =
∫
d4 λ
[
1
2
ηabeµa e
ν
b∂µϕ∂νϕ− V (ϕ)
]
(3.27)
e conseguimos identificar a me´trica inversa
gµν = ηabeµa e
ν
b. (3.28)
com o qual podemos encontrar a me´trica
gµν = ηabe
a
µ e
b
ν (3.29)
Finalmente podemos escrever a forma da ac¸a˜o (3.4) na presenc¸a de gravidade. Para isso,
lembremos que sob uma mudanc¸a de coordenadas, o volume se transforma como
d4λa = J d4x (3.30)
em que J e´ o jacobiano da transformac¸a˜o. Utilizando (3.5) obtemos
J = (det eaµ), (3.31)
por outro lado temos que o jacobiano e´ a raiz quadrada do determinante da me´trica, e dessa forma
obtemos
(det eaµ)
2 = −det gµν = d4λa. (3.32)
Dessa forma, temos
S =
∫
d4x
√−detgµν [1
2
gµν∂µϕ∂νϕ− V (ϕ)
]
. (3.33)
3.1.2 Campo espinorial
Agora, iremos brevemente apresentar o formalismo das tetradas no caso de uma ac¸a˜o constru´ıda
com campos espinoriais. A ac¸a˜o em teorias relativ´ısticas deve ser invariante sob tranformac¸o˜es de
Lorentz, para que a teoria o seja. Desse modo, quando constro´i-se a ac¸a˜o (3.1), tem se em mente
que todos os ı´ndices contra´ıdos com a me´trica de Minkowski formam escalares de Lorentz, e dessa
forma essa ac¸a˜o e´ invariante com respeito a` tranformac¸o˜es de Lorentz. Da mesma maneira, quando
se deseja construir uma ac¸a˜o envolvendo espinores, deve-se ter em mente quais as combinac¸o˜es de
espinores que sa˜o invariantes perante Lorentz. Seja ψ um espinor de Dirac, vimos no cap´ıtulo 2
que podemos fazer uma transformac¸a˜o de Lorentz nele, atrave´s de
ψ 7→ e 12 εµνσµνψ (3.34)
em que εµν sa˜o paraˆmetros transformac¸a˜o e σµν sa˜o os geradores das tranformac¸o˜es na representac¸a˜o
espinorial. Dessa forma, em termo das matrizes de Dirac, temos
σµν =
1
2
[γµ, γν ] . (3.35)
Dessa maneira, ao escrevermos a derivada no formalismo das tretadas, obtemos
Da = e
µ
a (∂µ + ωµ) (3.36)
em que ωµ e´ a chamada conexa˜o de spin. Escrevendo a derivada covariante em termos da conexa˜o
de spin explicitamente, obtemos
Da = e
µ
a
(
∂µ +
1
2
ωµcd[σµ, σν ]
)
. (3.37)
A geraneralizac¸a˜o de tetradas para qualquer dimensa˜o, e´ direta. Seja uma variedade de (1+d) di-
menso˜es, cujas coordenadas sa˜o denotadas XM , e a me´trica nesse espac¸o, denotada pro GMN (X
M ).
32 Simetrias discretas e localizac¸a˜o em cena´rios tipo-brana
Denotemos pelos ı´ndices {A, B , . . . , d− 1} as coordenadas locais planas. Temos enta˜o que as d -
beins ira˜o satisfazer
EAM ηAB E
B
N = GMN . (3.38)
E a derivada covariante sera´ dada em termos da conexa˜o de spin, da seguinte forma,
DA = ∂A +
1
8
ωABC
[
γA, γB
]
. (3.39)
em que
ωMAB = e
A
N
(
∂Me
N BeS BΓNSM
)
(3.40)
onde os s´ımbolos de Christoffel em termos da me´trica sa˜o dados por
ΓKM N =
1
2
gK L {∂N gLM + ∂MgLN − ∂L gM N} . (3.41)
3.2 Brana como