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UNIDADE III: TESTES DE HIPÓTESES PAU DOS FERROS - RN OUTUBRO DE 2016 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS CURSO: BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA DISCIPLINA: ESTATÍSTICA BASES TECNOLÓGICAS (EMENTA): Ementa: 2 I Estatística descritiva Conjuntos e probabilidades Variáveis aleatórias. Distribuições de probabilidade. II Distribuições especiais de probabilidade – discreta e contínua Teoria da amostragem. Teoria da estimação. III Testes de hipóteses, DIC e ANOVA. Regressão linear Correlação. 3 TESTES DE HIPOTESES Conteúdo programático Esses tópicos não serão inclusos no trabalho!!! Conteúdo programático CORRELAÇÂO 4 Esses tópicos serão inclusos no trabalho da cada grupo!!! 5 Conteúdo programático Todos os tópicos no quadro verde devem ser inclusos no trabalho!!! Trabalho – critérios Etapas e critério de avaliação do trabalho da 2º ETAPA 1. Tudo de regressão linear simples e Correlação de Person 2. Organização 3. Clareza ao tema abordado mais ilustrações - EXEMPLOS 4. Podem ser colocado no trabalho - tabelas simples ou fórmulas; 5. A forma de trabalho é manual ou digital 6. Esse trabalho será em dupla 7. Fonte Times New Roman, Tamanho 12, espaçamento 1,1 ou 1,5; 6 Pontuação do trabalho + 5,0 na terceira nota Referências para o estudo 7 TESTES DE HIPÓTESES - MÉDIAS 8 Introdução Hipótese, em estatística, é uma suposição formulada a respeito dos parâmetros de uma distribuição de probabilidade populacional ou amostral. OBS - 1 As hipóteses serão testadas com base em resultados amostrais, sendo esta ACEITA ou REJEITADA pelo pesquisador. OBS - 2 9 Características do teste Ela somente será rejeitada se o resultado da amostra for claramente improvável de ocorrer quando a hipótese for verdadeira. OBS - 3 Serão considerados dados importantes para tomada de decisão - Ho a Hipótese Nula e H1 que é a Hipótese Alternativa a (complementar de Ho). OBS - 4 10 Características do teste Como o teste pode levar a aceitação ou rejeição de Ho que corresponde, respectivamente, nesse caso a uma negação ou afirmação de H1. OBS - 5 Se nada é conhecido acerca da população, a estimação é usada para fornecer uma estimativa de ponto e de intervalo acerca da população. OBS - 6 11 Metas do teste Definir e testar essas Hipóteses H0 e H1; Descrever os 5 passos do procedimento de Teste de Hipóteses; Distinguir entre os Teste - Unicaudal e Bicaudal; Realizar um teste para a média populacional ou amostral; Realizar um teste para a diferença entre duas médias ou de proporções populacionais; Descrever os erros estatísticos associados aos testes de hipóteses; 12 O que é um Teste de Hipóteses? É uma tomada de decisão em que incorre uma ACEITAÇÃO ou REJEITAÇÃO de hipóteses estatística com base nos elementos amostrais. Na teoria de probabilidade, é usado para determinar se a hipótese é uma afirmação e não seria rejeitada, ou se seria rejeitada. 13 OBS - 7 Conceitos fundamentais em testes de hipóteses PARÂMETRO Parâmetro é uma medida estatística usada para descrever ou caracterizar uma população. Censo. Serve para caracterizar e utilizar-se as medidas de posição e dispersão. 14 Conceitos fundamentais em testes de hipóteses ESTIMADOR • Na grande maioria das situações, não é possível realizar o censo de uma população, porque ou a população é muito grande ou é de tamanho infinito. • Neste caso, o pesquisador pode retirar uma amostra da população, caracteriza-la e usa fórmulas estatísticas, conhecidas como estimadores. 15 Outros Conceitos em testes de hipóteses HIPÓTESE ESTATÍSTICA: Trata-se de uma suposição quanto ao valor de um parâmetro populacional, ou quanto à natureza da distribuição de uma variável populacional. São exemplos de hipóteses estatísticas 1. A altura média da população brasileira é 1,65 m, isto é: H: m = 1,65 m; 2. A proporção de paulistas fumantes é 25%, ou seja, H: p = 0,25; 16 Exemplos de estimadores Exemplos mais comuns: Média aritmética amostral (OBS-10); Variância amostral (OBS-11); 17 Conceitos fundamentais em testes de hipóteses REGIÃO CRÍTICA (RC) é o conjunto de valores assumidos pela variável aleatória ou estatística para os quais a hipótese nula é rejeitada. 18 R.AR.A R.CR.C Hipóteses de um teste estatístico Para realizar um teste de hipóteses e divulgar as conclusões é necessário seguir um procedimento aceito pela comunidade científica. Neste procedimento, o pesquisador deve deixar claro qual a hipótese que ele deseja testar. Para isto precisa escrever em termos estatísticos a hipóteses cientifica. A hipótese científica do pesquisador, nada mais é do que uma investigação. 19 PASSOS PARA REALIZAR UM TESTE DE HIPÓTESE 1. TIPOS DE HIPÓTESES: • Hipótese Nula (H0): É um valor suposto para um parâmetro. A hipótese nula expressa uma igualdade de médias. Como exemplo, H0: µ=50. (OBS-12); • Hipótese Alternativa(H1): É uma hipótese que contraria a hipótese nula, complementar de H0. A hipótese alternativa é dada por uma desigualdade (#, < , >). Por exemplo. H1: µ <50. (OBS-13); 20 Passos para testar uma hipótese Passo 1: Estabelecer as Hipóteses, podendo ser Nula ou Alternativa; Passo 2: Selecionar um nível de significância – 5 e 1%; Passo 3: Identificar a Estatística do teste – cálculo estatístico Passo 4: Formular uma regra da decisão – tomada de decisão Passo 5: Tomar uma amostra e obter uma conclusão final: Não rejeitar H0 ou rejeitar H0; 21 NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA DE UM TESTE: É a probabilidade máxima de rejeitar Ho; Na prática, o valor de α é fixo. (Geralmente α = 0,01 ou 0,05 ou 0,10); A partir dessa informação, podemos tomar uma decisão segura a respeito do teste, comparando o valor tabelado com o valor calculado - estatística do teste; 22 Ou rejeira-se a 1% Ou rejeira-se a 5% 23 z 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,98380,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 24 ESTATÍSTICA DO TESTE É o valor calculado a partir da amostra que será usado na tomada de decisão. 25 OBS.15 Teste de Hipótese para uma Média com variância pop.conhecida 26 Variância da população É conhecida Teste de Hipótese para uma Média com variância pop. desconhecida 27 Variância da população é desconhecida Critérios de aceitação ou rejeição de H0 TIPOS DE GRÁFICOS 1. Teste bilateral: é quando se tem uma desigualdade na constante conhecida - H1: 𝜇 ≠ 0. 28 OBS.16 𝛼 2𝛼 2 Duas áreas de rejeição Critérios de aceitação ou rejeição de H0 TIPOS DE GRÁFICOS 1. Teste unilateral à direita: é quando a hipótese alternativa é maior que a constante conhecida. - H1: 𝜇 > 𝜇0. 29 𝛼 OBS.17 Se Zcal for maior que o Ztab = rejeita-se H0 Critérios de aceitação ou rejeição de H0 TIPOS DE GRÁFICOS 1. Teste unilateral à esquerda: é quando a hipótese alternativa é menor que a constante conhecida. - H1: 𝜇 < 𝜇0. 30 𝛼 OBS.18 Se Zcal for menor que o Ztab = rejeita-se H0 Roteiro para conclusão do teste 1º Passo: Estabelecer a Hipótese Nula (H0) e a Hipótese Alternativa (H1); 2º Passo: Utilizar a Tabela Normal Padrão, encontrar o valor de Ztab; 3º Passo: Fazer o desenho da curva, plotando no eixo das abscissas o valor tabelado, o qual será a fronteira entre a área de aceitação (RA) e a(s) área(s) de rejeição (RC-Região Crítica); 4º Passo: Calcular a estatística teste (Zcalc), utilizando a fórmula dada anteriormente. 5º Passo: Comparar o valor calculado com o valor tabelado e concluir pela aceitação ou rejeição da Hipótese Nula. 31 REGRA DE DECISÃO 1. Se o valor da estatística do teste cair dentro da região crítica, rejeita-se H0. 2. Ao rejeitar a hipótese nula (H0) existe uma forte evidência de sua falsidade. 3. Ao contrário, quando aceitamos, dizemos que não houve evidência amostral significativa no sentido de permitir a rejeição de Ho. 32 CONCLUSÃO Através da curva de Gaus, o pesquisador irá decidir se aceita ou rejeita H0. Também dizer em qual nível de significância foi o teste de hipótese. E por fim, dizer quem é mais viável. Por exemplo: teste de hipótese com dois tipos de rações, isto é, ração A e ração B. Se aceita a ração A = a ração não é boa; Se rejeita a ração B = Essa é a melhor ração; 33 Exemplo básico de teste de hipótese ATIVIDADE: suponha que um tecnólogo em laticínios deseja verificar se os sabores do sorvete de morango e o de chocolate apresentam um mesmo valor para o teor médio de glicose. Em termos estatísticos, quais são as prováveis hipóteses? 34 OBS TIPOS DE ERROS Pelo fato de estarmos usando resultados amostrais para fazermos inferência sobre a população, estamos sujeito a erros. Digamos que exista uma probabilidade α de que mesmo sendo Ho verdadeiro, X assuma um valor que leva Zcalc à rejeição de Ho. As probabilidades desses erros são chamadas α e β, respectivamente. 35 TIPOS DE ERROS CARACTERIZAÇÃO α = P(erro tipo I) = P(rejeitar H0/H0 – tipo de decisão, o teste é verdadeiro); β = P(erro tipo II) = P(aceitar H0/H0 - tipo de decisão, o teste é falso); 36 OBS.20 Resumo - TIPOS DE ERROS Erro tipo I: quando a hipótese nula é verdadeira na condição de que o pesquisador a rejeita. Erro tipo II: quando a hipótese nula é falsa, nesse caso, o pesquisador aceita a hipótese H0. 37 TIPOS DE ERROS Tabela de erros 38 TIPOS DE ERROS Gráfico da distribuição dos erros 39 OBS.21 Testes estatísticos Teste de hipóteses populacional Teste de hipóteses para duas amostras independentes Teste de hipóteses para duas amostras dependentes O Teste F (Será abordado esse teste-ANOVA); O Teste t de Student - Teste para pequenas amostras O Teste de Tukey Teste de Scheffé O Teste de Duncan O Teste de Dunnett O Teste de Bonferroni 40 Exemplo prático 1. Exemplo prático 1: Para o teste unilateral (vamos considerar apenas o teste à direita, sabendo que vale o raciocínio para o teste à esquerda, bastando inverter os lados). I. Se α = 1% (0,01), a área de aceitação será de 99% (0,99) à esquerda. II. Mas até a metade da curva (a Distribuição Normal é simétrica) temos 50% (0,5) de área. 41 Exemplo prático Logo, queremos a abscissa correspondente a uma área de 0,49. Verificando, na Tabela Normal, o valor mais próximo é de 0,4901, correspondente à uma abscissa de 2,33. Assim, no teste unilateral à direita, quando α = 1%, teremos ZTAB = 2,33 e no teste unilateral à esquerda para o mesmo α, ZTAB = −2,33. Vejamos o gráfico da curva normal: 42 43 Curva de distribuição normal 44 Exemplo prático Modelo de gráfico. 45 Modelo 1 EXEMPLO 1:Uma amostra de 36 elementos de uma variável X normalmente distribuída e assim forneceu: 𝑥= 42,3 e s = 5,2. Testar, no nível de significância 0,05, a hipótese de que μ > 40. Resolução: Seguindo o roteiro, temos: 1º passo: H0: μ = 40; H1: μ > 40 (teste unilateral à direita); 46 ZTabelado e o ZCalculado=????? Modelo 1 EXEMPLO 1: Uma amostra de 36 elementos de uma variável X normalmente distribuída forneceu: 𝑥= 42,3 e S = 5,2. Testar, no nível de significância 0,05, a hipótese de que μ > 40. Resolução: Seguindo o roteiro, temos: 2º passo: a amostra é grande (n > 30). Logo, usaremos a Tabela Normal; 3º passo: o teste é unilateral, com α = 0,05. Logo, para uma área de 0,45, teremos, TTAB=1,64; 47 Tabela de distribuição normal 48 𝑍 − ; 𝛼 = 0,05; 𝑍 𝑡𝑎𝑏 = 1,64 𝑍 + ; 𝑍 𝑡𝑎𝑏 = 1,64 Modelo 1 4º passo: desenhar a curva Normal, plotando ZTAB 49 Modelo 1 EXEMPLO 1: Uma amostra de 36 elementos de uma variável X normalmente distribuída forneceu: X = 42,3 e S = 5,2. Testar, no nível de significância 0,05, a hipótese de que μ > 40. 5º passo: calcular a estatística teste. 50 OBS.23 Modelo 1 EXEMPLO 1: Uma amostra de 36 elementos de uma variável X normalmente distribuída forneceu: X = 42,3 e S = 5,2. Testar, no nível de significância 0,05, a hipótese de que μ > 40. 6º passo: ZCALC > ZTAB. ZTAB = 1,64 ZCALC = 2,65 51 Modelo 1 EXEMPLO 1: Uma amostra de 36 elementos de uma variável X normalmente distribuída forneceu: X = 42,3 e S = 5,2. Testar, no nível de significância 0,05, a hipótese de que μ > 40. Conclusão: REJEITA-SE H0: μ = 40, ao nível de significância de 5%. Logo, μ > 40. 52 Atividade para casa!!! ATIVIDADE: Os graus dos alunos de Estatística têm sido baixos, com média de 5,2 e desvio de 1,2. Com um curso de revisão ministrado pelo MONITOR, pretende-se aumentar o rendimento dos alunos. Entre 36 alunos que frequentaram tal curso, a média foi de 6,4. Pode-se dizer, ao nível de significância de 8%, que esse curso é eficiente? 53 CALENDÁRIO ACADÊMICO 2016.1 Calendário acadêmico 2016.1- UFERSA 54 Reposição das 3 unidades Data final para consolidaçãoData da Terceira avaliação (3º) Data da 3º prova: 08/11/2016 Data da reposição: 22/11/2016 Data da 4º prova: 29/11/2016 Data da entrega do TRABALHO: (Turma 02): até a data da 3º prova 55
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