Apostila - Probabilidade e Estatística - Prof. Marco Antônio Giacomelli

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SULUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SULUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SULUNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 
 
 
 
Instituto de Matemática 
Departamento de Estatística 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
MAT02219 
 
 
Professor: Marco Antônio Giacomelli 
 
 www.mat.ufrgs.br/~giacomo/ 
 
 
 
 
 
Porto Alegre, Março de 2013. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
1- INTRODUÇÃO 
 
1.1. Ciências Estatísticas 
 
 Na medida em que foi sendo colocado diante de novos desafios, decorrentes 
especialmente do crescimento da população – quando as atividades e as relações sócio-
econômicas tornaram-se mais complexas – o ser humano precisou aprimorar, 
sistematicamente, os instrumentos existentes, além de criar outros para continuar 
garantindo sua sobrevivência. Nesse processo de evolução, que perdura até os dias atuais, 
novas necessidades e dificuldades foram se sucedendo, sempre desafiando o ser humano a 
ultrapassá-las. 
 
 Para registrar, classificar, controlar e estudar, mais adequadamente, fenômenos, fatos, 
eventos e ocorrências foram sendo criadas, desenvolvidas e aperfeiçoadas muitas técnicas 
de análise de informações e métodos quantitativos. Esses avanços facilitaram a resolução 
de inúmeros problemas que o homem encontrava para realizar as atividades básicas de 
produção, comércio, transportes, etc. 
 
 Nestes últimos anos houve necessidade de aprofundar estudos, realizar experimentos 
e pesquisas mais específicas, inclusive para avaliar os resultados das atividades 
desenvolvidas. Por essa razão, os conhecimentos teóricos e os métodos de análise de dados 
quantitativos vêm sendo aprimorados continuamente. 
 
 O conjunto de técnicas e métodos de pesquisa, experimentação e inferências mais 
utilizadas para alcançar esses objetivos são o que modernamente se conhece como Ciências 
Estatísticas, onde se destaca a seguinte gama de conhecimentos: Teoria dos Jogos, 
Planejamento de Experimentos, Teoria das Filas, Controle de Qualidade, Teoria das 
Decisões, Séries Temporais, Econometria e outras técnicas. 
 
 
 
1.2. Divisão da Estatística: 
 
 
Estatística Descritiva: descrição, resumo e organização das informações. Compreende o 
uso de tabelas, gráficos e medidas-resumo. 
 
 
 
Estatística Inferencial: através do particular (amostra) faz induções a respeito do todo 
(população), controlando a probabilidade de erro (por isso estudaremos a Teoria das 
Probabilidades). 
 
 
 
 3 
 
Exemplo 1: projeção da percentagem de votos para um candidato numa eleição. 
 
 
 
Exemplo 2: comparação de adubos 
 
 
 
 
Os três canteiros são expostos à mesma incidência de luz, tipo de solo, mas recebem adubos 
diferentes. No final do experimento será medida a altura das plantas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
2 - ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
2.1. Definições 
 
 
População: conjunto universo de elementos que possuem ao menos uma característica em 
comum. O tamanho da população é representado por N. 
 
 
Exemplo 1: total de eleitores que compareceram ao último pleito. 
 
 
Dimensão de uma população: finita ( N< ∞ ) 
 infinita enumerável ( N= ∞ ) 
 não enumerável ( N= ∞ ) 
 
Censo: é a investigação exaustiva de toda a população. 
 
Exemplo 2: Censo Demográfico Brasileiro, Censo Escolar do MEC 
 
 
Amostra: é um subconjunto da população, isto é, uma parte da população retirada segundo 
alguns critérios. O tamanho da amostra é representado por n . 
 
Exemplo 3: pesquisa pré-eleitoral do instituto IBOPE, Pesquisa Nacional por 
Amostragem de Domicílios (PNAD). 
 
Amostragem: é o processo de obtenção de uma amostra da população. 
 5 
2.2. Escalas de mensuração 
 
 
Variáveis: são as características de interesse em uma população ou amostra. 
 
 
Variáveis Qualitativas: Expressam qualidade e subdividem-se em: 
 
 
Nominais: os níveis da variável são categorias de qualidade. 
 
Exemplo 4: tipo de variedade de batata, cor, etc. 
 
 
Ordinais: os níveis da variável são ordenados de acordo com a intensidade do fenômeno. 
 
Exemplo 5: atribuir graus de 1 a 4 para uma característica não mensurável como aderência 
de uma tinta numa superfície metálica. 
 
Z ≡ “Grau de aderência da tinta” 
 
 1 ≡ pouca ; 2 ≡ regular; 3 ≡ boa ; 4 ≡ ótima 
 
 
Exemplo 6: (Contra-exemplo): 
 
X ≡ “Marca da tinta”, 
 
Y ≡ “Cor da tinta” 
1 ≡ branca; 2 ≡ preta; 3 ≡ prata ; 4 ≡ vermelha 
 
Marca Cor Aderência 
A 1 4 
B 2 4 
C 4 3 
D 3 1 
E 2 2 
média= 2,4 2,8 
 
 
As médias na tabela acima foram obtidas pelo EXCEL. Observe que as variáveis Y e Z não 
são quantitativas, portanto não se poderia calcular média para estas. A média de 2,4 para Y 
não tem interpretação, pois não faz sentido “cor média”! 
 
 
 
 6 
Variáveis Quantitativas: expressam uma quantidade numérica, subdividem-se em: 
 
 
Discretas: podem assumir valores observados somente em pontos isolados em uma 
escala. 
 
Exemplo 7: número de defeitos num lote de 100 peças, números de falhas diárias numa 
máquina, etc. 
 
 
Contínuas: Podem assumir qualquer valor em um conjunto não enumerável. 
 
 Exemplo 8: comprimento, área, velocidade, temperatura. 
 
 
 
2.3. Arredondamentos de números 
 
 
 
Regras: 
 
(1a ) quando o primeiro algarismo a ser desprezado for 0,1,2,3 ou 4 deverá ser 
sumariamente abandonado (arredondamento por falta) e o último algarismo a permanecer 
fica inalterado. 
 
(2a) quando, porém, for 6, 7, 8 ou 9, o último algarismo a permanecer será aumentado de 
uma unidade ( arredondamento por excesso). 
 
(3a ) quando o primeiro algarismo a ser desprezado for 5 adotaremos o seguinte critério: se 
a unidade a ser conservada for par, permanecerá par, não se arredondando, se for ímpar 
sofrerá arredondamento para cima. 
 
Exemplo 9: 
 
72,8 ⇒ 73 (arredondamento para a unidade) 
72,8146 ⇒ 72,81 (arredondamento para o centésimo) 
72,8146 ⇒ 72,815 (arredondamento para o milésimo) 
72,465 ⇒ 72,46 (arredondamento para o centésimo) 
183,575 ⇒ 183,58 (arredondamento para o centésimo) 
737,638 ⇒ 740 (arredondamento para a dezena) 
 
 
 
 
 7 
Exemplo 10: arredondamentos em divisões podem causar grandes diferenças 
 
(A) 894737,263157
000019,0
5
= (B) 250000
00002,0
5
= 
 
(C) 500000
00001,0
5
= ⇒ diferença de 90% em relação a (A) 
 
 
Exemplo 11: 
 
00000084,00003,00028,0)( =×A 
0000009,00003,0003,0)( =×B ⇒ diferença de 7,14% em relação a (A) 
 
 
Exemplo 12: arredondamentos em potências podem causar diferenças 
 
 
( )
( )
( ) 38180577,399982,2)(
25763921,411483,2)(
4639174,4056825,2)(
8
8
8
=
=
=
C
B
A
 
( ) 01998336,37788,2)( 8 =D ⇒ diferença de 7,37% em relação a (A) 
 
Exemplo 13: calculadoras podem cometer erros de truncamento 
 
Sabemos que ( ) 33890560989,71lim 22 ==+
∞→ e
n
nn
. Vamos observar a 
convergência através da calculadora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n ( )n
n
21+ 
1 
5 
20 
50 
100 
1000 
10000 
100000 
1E6 
1E8 
1E11 
1E12 
 
3 
5,37824 
6,72749 
7,10668337,244646 
7,37431 
7,387578 
7,388908 
7,38904 
7,389005595 
7,38905609 
1 
 
 8 
Para n=1E12 a calculadora truncou o quociente 
n
2
 para zero! 
 
 
Considerações: 
 
(1ª) O ideal é utilizar toda a precisão de sua calculadora, ou seja, utilizar o modo standard 
(padrão). Arredondamentos somente para resultados finais. Resultados intermediários 
devem ser armazenados nas memórias secundárias (variáveis). Para calculadoras com 
apenas 1 memória, pode ser necessário arredondar em algum passo das operações. Se isto 
for necessário utilize no mínimo 4 casas após a vírgula. 
 
(2ª) Estrutura de memória em calculadoras cientificas comuns 
 
 
 
 
MS ( memory store ) armazena diretamente um valor na memória 
RM (recover memory) recupera o conteúdo da memória 
MC (memory clear) limpa a memória , faça isto antes de qualquer nova operação 
M+ acumula valores na memória 
 
 
A tecla 2ndf aciona a segunda função correspondente a uma tecla . Por exemplo, 
pressionando-se a tecla ln o resultado será o logaritmo natural. Se for necessário calcular 
a exponencial, então se deve pressionar a tecla 2ndf , e depois ln. 
 
 
2.4. Resumo de conjuntos de dados 
 
 
 Um conjunto de valores será representado por: 
nxxx ,....,, 21 (no caso de amostra) 
e Nxxx ,....,, 21 (no caso de população). 
 
 
 
 9 
2.4.1. Medidas de posição (tendência central) 
 
Média: requer escala de mensuração quantitativa. 
 
 
Média aritmética 
 
Na amostra: 
n
x
n
xxx
X
n
i
i
n
∑
=
−
=
+++
=
121 L
 
 
Na população: 
N
x
N
xxx
N
i
i
N
∑
=
=
+++
=
121 Lµ 
 
Observação: em uma seqüência aritmética (progressão aritmética) o termo central entre 
dois termos é obtido pela média aritmética. Por exemplo: 25 += nan , isto é, { 7 12 
17 .......}. Então, 12
2
177
2
31
2 =
+
=
+
=
aa
a . 
 
Exemplo 14: realize a soma dos seguintes quocientes, truncando-os em duas casas 
decimais: 
 
96,322,033,022,088,077,066,044,033,011,0
9
2
9
3
9
2
9
8
9
7
9
6
9
4
9
3
9
1
=++++++++=
=++++++++
 
 
É mais eficiente realizar uma única divisão, ou seja: 
4
9
36
9
232876431
==
++++++++
. 
 
Média geométrica 
 
Na amostra: n ng xxxm ×××= L21 , 0>ix para i∀ 
 
Na população: N Ng xxx ×××= L21µ , 0>ix para i∀ 
 
Observação: em uma seqüência geométrica (progressão geométrica) o termo central entre 
dois termos é obtido pela média geométrica. Por exemplo: n
na 36 ×= , isto é, {18 54 
162 ......}. Então, 541621822 312 =×=×= aaa 
 
 10
Média harmônica 
 
Na amostra: 
∑
=
=
n
i i
h
x
n
m
1
1
 , 0>ix para i∀ 
 
Na população: 
∑
=
= N
i i
h
x
N
1
1
µ , 0>ix para i∀ 
 
Observação: em uma seqüência harmônica o termo central entre dois termos é obtido 
pela média harmônica. Por exemplo: 
n
an
1
= , isto é, {1 1/2 1/3 .......}. Então, 
2
1
31
2
2 =
+
=a 
 
 
Observações: 
 
(1ª) A média mais conhecida e utilizada é a aritmética, pois sua fórmula é mais simples, 
além de não ficar restrita a valores positivos. 
 
(2ª) Na expressão do cálculo da média harmônica, pode-se verificar que ela é definida 
como sendo o inverso da média aritmética dos inversos. 
 
(3ª) Interpretação da média aritmética: é o centro de gravidade (equilíbrio) de um conjunto, 
e é empregada com a finalidade de representatividade dos valores. 
 
(4ª) As três médias mantém a seguinte relação entre elas, desde que os valores sejam 
positivos: hg mmX ≥≥
−
 
 
Exemplo 15: interpretação física da média aritmética 
 
 
 
 11
ii xm é o momento de massa da i-ésima partícula 
 
∑
=
n
i i
m
1
 é a massa total; i
n
i i
xm∑
=1
 é o momento de massa do sistema 
 
∑
∑
=
=
−
=
n
i i
i
n
i i
m
xm
X
1
1
 é o centro de massa do sistema 
 
 
Exemplo 16: produto interno bruto no Brasil 
 
 
 
8213,233
11
519,719073,44614,27
=
+++
=
− LX 
 
9199,151519,719073,44614,2711 =×××= Lgm 
 
5663,95
519,719
1
073,44
1
614,27
1
11
=
+++
=
L
hm 
 
Note que a média harmônica ameniza o efeito do crescimento exponencial da série. 
A diferença percentual entre média harmônica e aritmética é de 144,67%. 
 
 12
Exemplo 17: um concurso público, para um certo cargo, consiste em uma prova, dividida 
em quatro áreas. Cada área contém 20 questões. Para aprovação é preciso que o candidato 
obtenha média harmônica ponderada no mínimo igual a 13. Um candidato apresentou o 
seguinte desempenho: 
 
Área Peso No. de acertos 
Português 3 17 
Matemática 3 7 
Conhecimentos Gerais 2 16 
Informática 1 14 
 
Façamos as médias aritmética, geométrica e harmônica: 
 
 
11111,13
9
118
1233
14116273173
==
+++
×+×+×+×
=
−
X 
 
21177,1214167179 1233 =×××=gm , 22935,11
14
1
16
2
7
3
17
3
9
=
+++
=hm 
 
Como a média harmônica do candidato foi inferior a 13, então ele não foi aprovado no 
concurso. Note que se o critério de aprovação fosse pela média aritmética, então ele seria 
aprovado! 
 
 
A mediana: requer escala de medida ordinal ou quantitativa. 
 
 A mediana de um conjunto ordenado de valores, denotada por Med, é definida 
como o valor que separa o conjunto em dois subconjuntos de mesmo tamanho. 
 
 
 Med = 
[ ]
[ ] [ ]









+
+
+
 par én se , 
2
) x (x
 
 ímpar én se , x
12
n
2
n
2
1n
 
 
 
sendo [ ]{ }x a amostra ordenada em ordem crescente. 
 
 
 
 13
Exemplo 18: 
 
(a) pesos em kg de cinco pessoas: {66; 62; 60; 70; 58} 
 
 
 
(b) alturas em cm de seis pessoas: {180; 165; 175; 182; 177; 160} 
 
 
 
A moda 
 
 
 A moda de um conjunto de valores, denotada por Mo, é definida como o valor 
mais freqüente no conjunto. Convém lembrar que a moda pode não ser única, isto é, um 
conjunto pode ser bimodal, trimodal, etc. No caso em que todas freqüências forem iguais 
diremos que não há moda. 
 
 
Exemplo 19: 
 
 
(a) dado o conjunto {1; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 4; 7; 9; 15} a moda é Mo=4, pois este valor é o 
mais freqüente. 
 
 
(b) para o conjunto { 1; 1 ; 2 ; 2 ; 2 ; 3 ; 4 ; 4 ; 4} teremos duas modas: 
 
 
 Mo )1( =2 e Mo )2( =4 
 
 14
 
 
 
 
Observações: a mediana exige ordenação das categorias e, por sua vez, é indicada nas 
seguintes situações: 
 
 
(1ª) quando se deseja obter o ponto que divide o conjunto em duas partes de mesmo 
tamanho. 
 
 
(2ª) quando há resultados extremos que afetariam a Média de maneira acentuada. 
 
 
 
Exemplo 20: peso de bovinos em kg {508 543 560 562 2500} 
 
Med=560; 60,934=
−
x 
 
 
O peso de 2500 kg é dito uma observação estranha (outlier), e por isso elevou 
consideravelmente o peso médio. 
 
 
Escalas de mensuração e medidas de tendência central 
 
 
Nominal: moda 
Ordinal: moda, mediana 
Quantitativa discreta e contínua: moda, mediana e média 
 
 
 
 
 15
2.4.2. Medidas de dispersão (variabilidade) 
 
 
Amplitude: a medida de dispersão mais simples,porém “rústica”, é a amplitude, 
anotada por “h”, e definida como a diferença entre os valores extremos do conjunto, isto é: 
 
 h = xmax – xmin 0≥ 
 
 
Variância e o desvio padrão absolutos 
 
 
 
 As medidas mais utilizadas são a variância e o desvio padrão. Estas medidas têm 
como ponto de referência a média aritmética. 
 
 
 
Na amostra: 
 
 
11
1
222
2
2
1
2
−






−
=
−






−++





−+





−
=
∑
=
−−−−
n
Xx
n
XxXxXx
S
n
i
inL
 é a variância. 
 
 
 
 A variância é a soma dos quadrados das distâncias em relação à 
−
X : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16
 Comparação de três amostras com mesma média aritmética: 
 
 
Observação: Uma expressão alternativa é 
1
1
2
2
2
−






−
=
∑
=
−
n
Xnx
S
n
i
i
 . 
 
 
 
 A variância, por ser um quadrado, não permite comparações com a unidade que 
estamos trabalhando. Para se ter uma medida de variabilidade com a mesma unidade da 
variável utiliza-se a raiz quadrada da variância, denominado de desvio padrão: 
 
 
 
2SS =
 . 
 
 
Na população: 21
2
2 µσ −=
∑
=
N
x
N
i
i
 é a variância e 2σσ = é o desvio padrão. 
 
 
 
 
 
 17
Observações: 
 
(1ª) variância e desvio padrão são não negativos. 
 
(2ª) Em Mecânica a variância tem como interpretação o momento de inércia de uma massa, 
em relação a um eixo perpendicular que passe pelo centro de gravidade (que é a média) 
 
(3ª) o desvio padrão mede o grau de dispersão dos valores em torno da média, ou seja, é 
variabilidade média (em unidades de medida) em torno da média aritmética. 
 
 
Exemplo 21: número de pessoas por domicílio: {5; 6; 3; 3; 2; 3; 3; 3; 4; 4; 3; 2; 7; 4} 
 
 
h = xmax - xmin = 7-2=5 ; 71435,3=
−
X 
 
 
[ ] ( ) 0659,2
13
71435,3144765 222222
=
×−++++
=
LS ; 4373,1=S 
 
Cada observação pode ser escrita em função da média e do desvio padrão, por exemplo: 
 
 6,14373,171435,36 =⇒×+= kk 
 
 
 
 
 
A variância e o desvio padrão relativos 
 
 
 A variância relativa, representada por VR, é o quociente entre a variância 
absoluta e o quadrado da média, isto é: 
 
 %1002
2
×=
−
X
SVR , se 0≠
−
X . 
 
 
 
 18
 O coeficiente de variação é a raiz quadrada da variância relativa, isto é: 
 
%100×=
−
X
SCV . 
 
 
Observação: o coeficiente de variação é interpretado como o grau de variabilidade 
relativa em torno da média. 
 
 
Exemplo 22: em relação ao exemplo anterior, %6963,38%100
7143,3
4373,1
=×=CV 
 
 
Propriedades das medidas 
 
 
Seja },,,{ 21 nxxx L uma amostra aonde foi observada a variável X : 
 
(i) cxy ii += , Rc ∈ ⇒ cXY +=
−−
 e 22 XY SS = 
 
(ii) ii cxy = , 0≠c ⇒ 
−−
= XcY e 222 XY ScS = 
 
(iii) bcxy ii += , 0≠c , Rb ∈ ⇒ bXcY +=
−−
 e 222 XY ScS = 
 
(iv) 
X
i
i S
Xx
y
−
−
= ⇒ 0=
−
Y e 12 =YS 
 
2.5. Distribuições de freqüências 
 
 
 Para se trabalhar com grandes conjuntos de dados é necessário inicialmente 
agrupá-los. O agrupamento é feito em tabelas, denominadas de distribuições de 
freqüências. Para se construir uma distribuição de freqüências fazemos distinção entre dois 
tipos de variáveis: a variável contínua que é o resultado de uma mensuração e a variável de 
contagem. Em geral, variáveis discretas são agrupadas em distribuições por ponto ou 
valores e variáveis contínuas em distribuições por classes ou intervalos. A separação não é 
rígida e depende basicamente dos dados considerados. Pode-se construir uma distribuição 
por classes mesmo quando a variável é discreta. 
 19
2.5.1. Distribuições de freqüências por ponto (ou valores) 
 
 Considere-se um conjunto de valores resultados de uma contagem. Poderia ser, por 
exemplo, o número de irmãos dos alunos da turma U, disciplina de Estatística. 
 
Exemplo 23: número de irmãos dos alunos da turma U - disciplina Estatística 
 
 
0 1 1 6 3 1 3 1 1 0 4 5 1 1 1 0 2 2 4 1 3 1 2 1 1 
1 1 5 5 6 4 1 1 0 2 1 4 3 2 2 1 0 2 1 1 2 3 0 1 0 
 
 
Distribuição de freqüências por ponto do número de irmãos dos alunos 
No. de irmãos ( x ) No. de alunos ( f ) xf fx 2 
0 7 0 0 
1 21 21 21 
2 8 16 32 
3 5 15 45 
4 4 16 64 
5 3 15 75 
6 2 12 72 
Total 50 95 309 
 
 
Medidas de tendência central e dispersão: no caso de uma tabela de distribuição de 
freqüência por ponto as fórmulas ficam: 
 
 
n
fx
f
fx
X
k
i
ii
k
i
i
k
i
ii ∑
∑
∑
=
=
=
−
×
=
×
=
1
1
1
, 
1
1
2
2
2
−






−×
=
∑
=
−
n
Xnfx
S
k
i
ii
 
 
 
 
sendo if a freqüência absoluta (ou simples), que é o número de vezes que ocorre o valor 
ix , e k o número de valores distintos no conjunto. 
 
 
Observação: as outras medidas: mediana, moda, desvio padrão e coeficiente de variação, 
têm as mesmas fórmulas. 
 
 
 
 
 20
Exemplo 24: em relação ao exemplo acima, 9,1
50
95
==
−
X ; Mo=1; Med=1 
 
 
( ) 6224,2
49
9,150309 22
=
×−
=S ; 6194,1=S ; CV=85%. 
 
 
 
 
2.5.2. Distribuições de freqüências por classes (ou intervalos) 
 
 
 
 Ao construirmos a distribuição de freqüências por classes haverá perda de 
informação, mas haverá uma melhor organização na apresentação e compreensão, como 
ilustra o exemplo a seguir. 
 
 
 
Exemplo 25: vendas semanais (em mil reais) de gêneros alimentícios: 
 
 
30 34 35 35,8 36,2 37,1 37,5 37,9 38 38,3 39 39,3 42,5 43,3 44,5 
40 40,1 40,2 40,2 40,3 40,4 40,7 40,8 41 41,1 41,4 42 44,7 44,8 44,9 
49,4 49 45,6 49,7 49,4 46 48 46,5 45,4 47,6 46,3 45,9 47,6 49,8 49,6 
49,8 49,7 49,7 45,7 48,5 49,7 49,8 49,6 45,5 47,3 48,9 48,9 46,4 45,6 45 
47 45,5 49,4 48,1 48,8 49,3 49,7 47,4 48,2 48,9 45,1 46,7 49,1 46 49,5 
48,3 48,3 46,9 48,7 48,6 53,6 52,3 51,9 52 53,2 50,8 50,8 51,4 53,4 53,9 
50,1 51,5 51,3 54,2 50,2 50,7 50,4 54,8 54 54 53,4 50,6 51,5 53,7 54,6 
52,4 50,1 53,2 52,1 50,6 51,8 51 53,7 50,2 53,8 50,1 50,9 52 52,3 52,2 
52,1 52,3 57,7 57,5 55,3 56,9 55,2 56,7 57,6 57,9 58,8 56,7 59,5 59,7 55,6 
55,5 57,7 56,9 57,3 56,8 55 58 56 56,6 56,9 55,7 59,5 58,8 57,1 56,5 
59,2 57,5 60,8 60,5 62,9 62,3 61,2 61,6 63,2 62,5 63,3 63,5 63,6 64,8 62,2 
63,5 60,4 64,4 61 62,4 66 68 
 
 
 
 
 
 21
Tabela de distribuição de freqüências com 5 classes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Algoritmo para a construção de uma tabela de distribuição freqüências por intervalos 
 
 
 
(1º) Determinar a amplitude dos dados: minmax xxh −= . 
 
 
 
(2º) Decidir sobre o número de classes k a ser utilizado. Recomenda-seum número de 
classes entre 5 e 15. Para que a decisão não seja totalmente arbitrária, pode-se usar a raiz 
quadrada do número de valores, ou seja, nk = . 
 
 
 
(3º) Determinar a amplitude de cada classe. Sempre que possível manter todas as 
amplitudes iguais. Para tanto, deve-se dividir a amplitude dos dados “h” pelo número de 
classes “k”, arredondando para mais, ou seja, 
k
hhi ≅ . 
 
 
(4º) Contar o número de valores pertencentes a cada classe. As classes devem ser disjuntas 
(sem intersecção). Em geral, utiliza-se a notação (|--- ), para indicar um intervalo fechado à 
esquerda e aberto à direita. Também poderia ser utilizado o intervalo aberto à esquerda e 
fechado à direita (---|), aberto de ambos os lados ( --- ) ou ainda fechado de ambos os lados 
(|---|). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vendas 
ix if iF Percentual ii fx × ii fx ×2 
 30.0000 |— 38.0000 
 38.0000 |— 46.0000 
 46.0000 |— 54.0000 
 54.0000 |— 62.0000 
 62.0000 |— 70.0000 
34 
42 
50 
58 
66 
8 
31 
78 
41 
14 
8 
39 
117 
158 
172 
4.6512 % 
18.0233 % 
45.3488 % 
23.8372 % 
8.1395 % 
 
272 
1302 
3900 
2378 
924 
 
9248 
54684 
195000 
137924 
60984 
Total -------- 172 -------- 100% 8776 457840 
 22
Elementos de uma tabela de distribuição de freqüências por intervalos 
 
Intervalos ix 
 
if iF ifr iFr ii fx × ii fx ×2 
1l |------- 1L 1x 1f 1F 1fr 1Fr 11 fx × 121 fx × 
2l |------- 2L 2x 2f 2F 2fr 2Fr 22 fx × 222 fx × 
 
 
 
kl |------- kL kx kf n kfr 1 kk fx × kk fx ×2 
Total ---- n ---- 1 ---- ∑ × ii fx ∑ × ii fx 2 
 
 
k é o número de classes 
 
il é o limite inferior de classe 
 
iL é o limite superior de classe 
 
2
ii
i
Ll
x
+
= é o ponto médio de classe 
 
iii lLh −= é a amplitude de classe 
 
if é a freqüência absoluta de classe 
 
iF é a freqüência acumulada de classe, ou seja, 
 
11 fF = ; 212 ffF += ; ......; nfffF kk =+++= L21 
 ifr é a freqüência relativa de classe, isto é, 
n
ffr ii = 
iFr é a freqüência relativa acumulada de classe, ou seja, 
 
11 frFr = ; 212 frfrFr += ; ......; 121 =+++= kk frfrfrFr L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23
 Medidas de tendência central e dispersão 
 
 
 No caso de uma tabela de distribuição de freqüência por intervalos as fórmulas 
para média e variância ficam as mesmas do caso de distribuições por ponto, exceto que 
onde tiver ix você deve utilizar o ponto médio de classe. As fórmulas da mediana e moda 
são o resultado de interpolações. 
 
 
Mediana: para localizar a classe mediana procuramos na coluna das freqüências 
absolutas acumuladas a primeira iF tal que 2
nFi ≥ . 
 
 
 Med = 












−
×+
−
m
m
mm f
Fn
hl
12
 
 
 
 ml o limite inferior da classe mediana 
 mh a amplitude da classe mediana 
 mf a freqüência simples da classe mediana 
 1−mF a freqüência acumulada da classe anterior à mediana 
 
 
Moda pelo processo de King: O primeiro passo é localizar a classe modal, aquela 
com maior freqüência absoluta. 
 
 
 Mo = 





+
×+
−+
+
11
1
mm
m
mm ff
fhl . 
 
 
 ml o limite inferior da classe modal 
 mL o limite superior da classe modal 
 mh a amplitude da classe modal 
 mf a freqüência simples da classe modal 
 1+mf a freqüência simples da classe posterior à modal 
1−mf a freqüência simples da classe anterior à modal 
 
 24
Exemplo 26: com relação ao exemplo anterior, para a tabela com 5 classes: 
 
 
02325,51
172
8776
==
−
X ; ( ) 82986,58
171
02325,51172457840 22
=
×−
=S ; 67006,7=S , 
 
 
 
 %0325,15100
02325,51
670101,7
=×=CV . Uma vez que 86
2
117 => n então a classe mediana é 
 
 
46|-------54. Aplicando a fórmula: 82051,50
78
3986846 =




 −
×+=Med . A classe modal 
 
 
é 46|-------54, pois tem maior freqüência absoluta. Pelo processo de King, 
 
 
55555,50
3141
41846 =





+
×+=Mo . 
 
 
Medidas descritivas para os dados não agrupados: 87034,50=
−
X ; Med= 50,5 ; Mo=49,7; 
6735,522 =S ; 2576,7=S %2668,14=CV . 
 
 
N° de 
classes 
Amplitude −
X 
Med Mo S CV 
5 8 51,02325 50,8205 50,55555 7,67006 15,0325% 
8 5 50,98837 50,7143 48,5 7,13569 13,99478% 
13 3,10 51,91234 49,2870 50 7,18284 13,83653% 
Dados Não 
agrupados 
----------- 50,87034 50,5 49,7 7,2576 14,2668% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 25
 
 
 
 
 
 
 
Histograma para a distribuição de freqüências com 13 classes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26
3 - FUNDAMENTOS DA PROBABILIDADE 
 
3.1. Objeto de estudo da Teoria da Probabilidade 
 
 A Teoria da Probabilidade tem como objeto de estudo os fenômenos aleatórios. No 
dicionário Michaelis da língua portuguesa “aleatório” tem o sentido de eventual, fortuito, 
incerto. 
 
Fenômenos determinísticos: o resultado observado é completamente determinado pelas 
condições sob as quais o fenômeno ocorreu. 
 
Exemplo 1 (fenômeno determinístico): desconsiderando a resistência do ar, e sob a 
presença de gravidade, dois corpos de massa diferente atingem o solo ao mesmo instante. 
 
 
 
 
Modelos Determinísticos: 
 
 
 amF ×= , sendo F a força resultante, m a massa do corpo e a a aceleração 
 
2cmE ×= , sendo E energia, c a velocidade da luz 
 
 
Fenômenos aleatórios: o resultado não é determinado pelas condições de realização do 
fenômeno. 
 
Exemplo 2: Teoria do Caos para a origem do Universo 
 
Exemplo 3: leitura da tensão, em volts, em diferentes instantes: {124 126 127 128 120 
127}. 
 27
 3.2. Modelos Probabilísticos 
 
 
 Modelos probabilísticos são modelos matemáticos que descrevem fenômenos 
aleatórios. Experimentos aleatórios são fenômenos aleatórios executados por nós. 
 
 
Exemplo 4 (Exemplos de Experimentos Aleatórios): 
 
EX1: Jogue um dado e observe o nº da face de cima 
 
EX2: Jogue uma moeda 3 vezes e observe o nº de caras 
 
EX3:Jogue uma moeda 3 vezes e observe a seqüência de faces 
 
EX4: no. de peças defeituosas em um lote contendo N 
 
EX5: tempo de duração de uma lâmpada até esta queimar 
 
EX6: lance uma moeda até que ocorra a face cara pela primeira vez 
 
 
Espaço Amostral: é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento 
aleatório. 
 
Notação: Ω , Ω∈ϖ . 
 
 
Exemplo 5 (Exemplos de espaços amostrais): com relação aos exemplos anteriores, 
 
 
}6,5,4,3,2,1{1 =Ω 
 
}3,2,1,0{2 =Ω 
 
=Ω3 {KKK, CCC, KKC, KCK, CKK, CCK, CKC, KCC} 
 C ≡”cara” K ≡”coroa” 
 
},....,2,1,0{4 N=Ω 
 
{ }TtRt ≤≤∈=Ω 0:5 
 
6Ω =
 
{ C, KC, KKC, KKKC, ........} 
 
 28
Tipos de espaços amostrais 
 
 
Finito: 4321 ,,, ΩΩΩΩ 
 
Infinito enumerável: 6Ω 
 
Não-enumerável: 5Ω 
 
 
Evento: é um subconjunto do espaço amostral. 
 
Notação: CBA ,, 
 ,Ω⊂A ,Ω⊂B ,Ω⊂C 
 
Observação: Ω é dito evento certo e Ø evento impossível. 
 
 
Tipos de eventos: 
 
 
 Simples: formado por um único elemento do espaço amostral. 
 
Composto: é a combinação de dois ou mais elementos do espaço amostral. 
 
 
Exemplo 6: lance um dado e observe a face de cima. Escreva os seguintes eventos: 
 
Ω 
A: “ocorrea face 6” 
B: “ocorre face par” 
C: “ocorre face superior a 6 ” 
D: “ocorre face menor ou igual a 6” 
 
Solução: }6,5,4,3,2,1{=Ω ; A={6}; B={2,4,6}; C= Ø; D= Ω 
 
 
3.3. Operações com eventos 
 
 
 Seja Ω um espaço amostral e A,B eventos. Então, as seguintes operações com 
eventos são definidas: 
 
 29
(1º ) Evento união: 
 
 UBA : “ ocorre somente A, ou ocorre somente B, ou ocorrem ambos” 
 
 
 
(2º ) Evento intersecção: 
 
 IBA : “ocorre A e B simultaneamente” 
 
 
(3º) evento complementar: cA : “não ocorre A” 
 
 
(4º) evento diferença: BA − : “ocorre A e não B” 
nota: I ABBA c=− ; ( )IBAABA −=− e ( ) ( )U II ABBAA c=
 
 
 
 30
3.4. Alguns resultados sobre a teoria dos conjuntos 
 
(1º) U AAA =
 
I AAA =
 
 
(2º) ( ) ( ) ( )I UUU I CABACBA = 
 ( ) ( ) ( )U III U CABACBA = 
(3º) I AA =Ω U Ω=Ω A 
 AA =UØ ØØ =IA 
(4º) ( ) UI ccc BABA = ( ) IU ccc BABA = ( ) AA cc = 
 
Eventos exclusivos: Ω⊂BA, são mutuamente exclusivos se I ØB =A . 
 
Eventos não exclusivos: I ØB ≠A . 
 
Definição: Seja uma família de eventos Ω⊂,...., 21 AA . Os eventos ,....},{ 21 AA são 
mutuamente exclusivos (disjuntos) dois a dois se e somente se I ØA j =iA , ji ≠∀ . 
 
Definição: uma união de eventos BA, tais que I Ø=BA é dita união disjunta. 
Notação: U
+
BA 
 
Exemplo 7: lance uma moeda 3 vezes e observe a seqüência de faces “C ≡ Cara” e 
“K ≡ Coroa”. Enumere os eventos: 
 
Ω 
A: “ocorre pelo menos uma coroa” 
B: “ocorre coroa no primeiro lançamento” 
C: “ocorre cara no segundo lançamento” 
cA , cB , UCB , ICB 
 
solução: cada elemento do espaço amostral é da forma: ( ______ ______ _______ ) 
 1º lanç 2º lanç 3º lanç 
Assim, 
=Ω
 {CCC, KKK, CCK,CKC, KCC,KKC, KCK, CKK} 
 
O experimento de lançar 3 moedas também tem o mesmo espaço amostral , sendo que cada 
elemento é da forma : ( ________ _________ ________) 
 1ª moeda 2ª moeda 3ª moeda 
 
A = { KKK, KKC, KCK, CKK,CCK,CKC,KCC}; B= { KKK, KCC, KKC, KCK} 
 
 31
C= { CCC, CCK, KCC, KCK}; =cA {CCC}; cB = {CCC,CCK,CKC, CKK} 
 
UCB ={ KKK, KCC, KKC, KCK, CCC, CCK}; ICB = { KCK, KCC} 
 
 
3.5. Concepções de Probabilidade 
 
 
A concepção clássica de probabilidade: todos resultados possíveis do experimento 
 são igualmente prováveis. 
N
P 1)( =ω , Ω∈∀ϖ , Ω=#N . 
 
Exemplo 8: lançamento de um dado honesto, observando-se a face de cima. 
 }6,5,4,3,2,1{=Ω , 
6
1)6(.....)2()1( ==== PPP 
Nota: a concepção clássica de probabilidade é válida somente para espaços amostrais 
finitos. 
 
Observações: 
 
(1ª) P(A) lemos como a “probabilidade do evento A”. 
 
(2ª) Uma probabilidade não tem unidade de medida. É um grau entre 0 e 1 (ou 0% e 100%). 
 
 
 
A concepção freqüencista de probabilidade: a probabilidade de um evento é medida 
observando-se a freqüência relativa do mesmo em uma sucessão de realizações do 
experimento. A freqüência relativa é definida como: 
 
 
n
ArAf nn
)()( = , 
 
 
)(Arn = ”número de ocorrências do evento A em n realizações do experimento”. 
 
 
A freqüência relativa é um número entre zero e 1. A probabilidade do evento A será 
)(lim)( AfAP nn ∞→= , se o limite existir, ou seja, se a seqüência }1:)({ ≥nAf n convergir. 
 32
 
 
 
 
A concepção axiomática de probabilidade: construção de uma teoria matemática para as 
probabilidades, com base em “axiomas”. 
 
Exemplo 9: axiomática de Kolmogorov 
 
3.6. Axiomas da Teoria das Probabilidades (Kolmogorov) 
 
 
 Uma medida é dita probabilidade se e somente se: 
 
(1) Ω⊂∀≥ AAP ,0)( 
(2) ( ) 1=ΩP 
(3) ( ) =∪∪ K21 AAP ,)()( 21 K++Α APP se ,,, 21 KAA estiverem contidos em Ω e 
forem disjuntos dois a dois. 
 
3.7. Propriedades das Probabilidades 
 
 As propriedades a seguir decorrem imediatamente dos axiomas: 
 
(1ª) ( ) )(1 APAP C −= : 
 U
+
=Ω cAA ⇒ )(1)()()()( APAPAPAPP cc −=⇒+=Ω 
 
(2ª) ( ) 0=∅P : 011)(1)()( =−=Ω−=Ω=∅ PPP c
 
 
 33
(3ª) Se BA ⊆ , então )()( BPAP ≤
 
 e :)()()( APBPABP −=− 
 
 
(4ª) :1)( ≤AP por (3ª), 1)()( =Ω≤ PAP 
 
(5ª) para BA, eventos quaisquer, ( ) ( )BAPBPAPBAP ∩−+=∪ )()( 
 
(6ª) para CBA ,, , eventos quaisquer 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )I IIIIU U CBAPCBPCAPBAPCPBPAPCBAP +−−−++= 
 
 
 Exemplo 10: suponha que A,B,C sejam eventos tais que 
4
1
 =P(C)=P(B)=P(A) , 
 
I I ∅== BCBA e I 8
1)( =CAP . Qual a probabilidade de que ao menos um dos 
 
eventos A,B ou C ocorram? 
 
Solução: pela propriedade (6ª) , U U 8
5
8
1
4
13)( =−×=CBAP , pois I I ∅=CBA 
 
3.8. Métodos de enumeração 
 
 
Princípio da multiplicação: tarefas realizadas seqüencialmente, isto é, knnn ××× L21 
 
 
 
 
 
 
 34
Princípio da adição: tarefas realizadas de forma mutuamente exclusivas, isto é, 
 knnn +++ L21 
 
 
 Seja uma população finita constituída de N elementos. Considere uma amostra de 
tamanho Nn < . Então: 
 
 
(1º) o número de amostras com reposição, considerando a ordenação, é nN . Amostras 
diferem pela ordenação. 
 
 
(2º) o número de amostras sem reposição, considerando a ordenação é. 
)!(
!
nN
NAnN
−
= 
 
(3º) o número de amostras sem reposição, desconsiderando a ordenação é 
!n
A
C
n
Nn
N = . 
Também vale que 
!)!(
!
nnN
NC nN
×−
= . 
 
 
Exemplo 11: seja um conjunto { }321 ,, ϖϖϖ=Ω e considere uma amostra de tamanho dois. 
Então: N=3 e n=2. 
 
 
No processo com reposição sempre é considerada a ordenação, assim, as amostras 
possíveis são: 
 
),( 11 ϖϖ ),( 21 ϖϖ ),( 31 ϖϖ ),( 12 ϖϖ ),( 22 ϖϖ ),( 32 ϖϖ ),( 13 ϖϖ ),( 23 ϖϖ ),( 33 ϖϖ , 
portanto: ( )[ ] 23
1
3
1
3
1
, =×=jiP ϖϖ 
 
No Processo sem reposição, considerando ordenação, teremos: ),( 21 ϖϖ ),( 31 ϖϖ ),( 12 ϖϖ 
),( 32 ϖϖ ),( 13 ϖϖ ),( 23 ϖϖ , e portanto: 
 35
 
 
( )[ ] 2
3
1
6
1
2
1
3
1
,
A
P ji ==×=ϖϖ 
 
No Processo sem reposição, desconsiderando ordem, teremos: ),( 21 ϖϖ ),( 31 ϖϖ ),( 32 ϖϖ . 
 
Note que no caso em que a ordem é desconsiderada, algumas pessoas respondem que 
( )[ ]
6
1
2
1
3
1
, =×=jiP ϖϖ , que está errado, pois a soma de todas as probabilidades não será 
1. Quando a ordem não é considerada, ( )[ ]jiP ϖϖ , é multiplicada por !n , que é o número 
de réplicas da amostra no caso em que a ordem é considerada, isto é: 
 
 ( )[ ] 2
3
1
3
1
2
1
3
12,
C
P ji ==××=ϖϖ 
 
Isto acontece porque as réplicas, que eram do caso com ordenação, serão consideradas 
iguais, como mostra a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
Exemplo 12: considere um congresso aonde compareceram 35 engenheiros, 25 
matemáticos e 15 físicos. Se for formada, ao acaso, uma comissão de 10 membros, qual a 
probabilidade de que esta seja constituída de: 
 
 
(a) 5 engenheiros, 3 matemáticos e 2 físicos? 
 
(b) Exclusivamente de engenheiros, ou de matemáticos, ou de físicos? 
 
 
 
 
 36
Solução: 
 
(a) pelo princípio de multiplicação, 
 
 
094577978,0
3628800
66676869707172737475
2
1415
6
232425120
3132333435
10
75
2
15
3
25
5
35
=
×××××××××
×
×
××
×
××××
=
××
C
CCC
 
 
(b) pelo princípio da adição, 
 
 
0002254,010
75
10
15
10
75
10
25
10
75
10
35
=++
C
C
C
C
C
C
 
 
 
3.9. Probabilidade condicional 
 
 
Definição: seja Ω um espaço amostral e Ω⊂BA, eventos. Definimos a probabilidade 
condicional de A , dado que ocorreu B , por : 
 
 





>
=
..,0
0)(,)(
)(
)|(
cc
BP
BP
BAP
BAP
I
 
 
 
 
 37
 
 
 
Observação: A interpretação de )|( BAP é que uma vez conhecido o fato de que o evento 
B ocorreu, então não é mais necessário pensar em todo o espaço amostral. Na verdade, 
agora B passa a ser o “espaço amostral reduzido ”. 
 
 
Exemplo 13: extrair sem reposição duas bolas de uma urna com 5 azuis e 3 brancas. 
 
 
 
Para facilitar, faremos distinção apenas nas cores das bolinhas. Assim, 
 
{ }),();,();,();,( aabaabbb=Ω 
 
Defina A = “1ª bola é branca” e B = “a 2ª bola é azul” 
 
)},();,{( abbbA = ; )},();,{( aabaAc = 
 
)},();,{( aaabB = ; )},();,{( babbB c = 
 
)},{( abBA =I ; )},{( aaBAc =I 
 
56
15)( 2
8
1
5
1
3
=
×
=
A
AA
BAP I . Outra maneira de obter )( IBAP é através da probabilidade 
 
 38
condicional, isto é, ( ) ( )
56
15
7
5
8
3|)( =×=×= ABPAPBAP I . 
 
 
Note que para obter )(BP é preciso levar em conta tudo o que pode ter acontecido na 1ª 
extração: 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
56
35
7
4
8
5
7
5
8
3
=×+×=×+×=+= ccc ABPAPABPAPBAPBAPBP II 
 
 
 
Representação Gráfica das probabilidades dos eventos 
 
 
 
Exemplo 14: outra maneira de resolver o Exemplo 12 (a). Note algumas pessoas 
responderiam que a solução é 
 






××





×××





×××
66
14
67
15
68
23
70
25
71
31
74
34
75
35
LL , que está errada!, pois a ordem em que os 
 39
membros são formados não está fixada, ou seja, é preciso levar em conta todas as posições 
dos membros dentro da comissão! A resposta correta é: 
 
094577978,0
66
14
67
15
68
23
70
25
71
31
74
34
75
35
!2!3!5
!10
10
75
2
15
3
25
5
35
=
=





××





×××





××××
××
=
××
LL
C
CCC
 
 
Note que 
!2!3!5
!10
××
 é dito coeficiente multinomial. 
 
 
3.10. Propriedades das probabilidades condicionais 
 
(1ª) 1)|(0 ≤≤ BAP : 
(2ª) I )|()()( BAPBPBAP ×= 
 I )|()()( ABPAPBAP ×= 
( )( ) II III ))(|()|()(|)()( CBAPCBPCPCBAPCBPCBAP ××=×= 
 
 
Exemplo 15: considere uma urna contendo 5 bolas brancas, 4 verdes e 3 pretas. Uma pessoa 
retira, sem reposição, 3 bolas. Qual a probabilidade: 
 
(a) saírem três cores diferentes? 
(b) ocorrer a seguinte seqüência de cores: verde, preta e branca? 
(c) ocorrer pelo menos uma branca? 
(d) sabendo-se que na 1ª extração saiu uma verde, qual a probabilidade de saírem mais duas verdes? 
 
Solução: se fizermos distinção entre bolas de mesma cor, então a cardinalidade do espaço 
amostral será 172812# 3 ==Ω . Logo, será um trabalho árduo escrever todo Ω . Fazendo 
distinção apenas das cores, },,,,,,{ pppvpbvbbbvbbbvbbb K=Ω , # 2733 ==Ω . 
 
(a) 
11
3
10
3
11
4
12
5!33
12
1
3
1
4
1
5
=×××=
××
C
CCC
 . Defina A o evento “ocorrem três cores 
diferentes”. Note que algumas pessoas responderiam que =)(AP
9
2
27
6
#
#
==
Ω
A
, que está 
errado! Este raciocínio somente valeria se houvesse mesmo número de bolas para as três 
cores e, além disso, se o processo fosse com reposição! 
 
(b) 
10
5
11
3
12
4
×× 
 40
(c) 
44
37
10
3
11
4
12
5
10
7
11
4
12
53
10
6
11
7
12
533
12
3
5
3
12
1
7
2
5
3
12
2
7
1
5
=××+×××+×××=+
×
+
×
C
C
C
CC
C
CC
 
ou 
44
37
10
5
11
6
12
71 =××− 
(d) ( )
10
2
11
3
)(
)(| ×==
vP
vvvP
vvvP 
 
 
3.11. Teorema de Bayes 
 
 
Definição: Seja Ω um espaço amostral. Um conjunto de eventos kBBB ,.....,, 21 Ω⊂ 
forma uma partição de Ω se e somente se: 
 
 
(1º ) Ø=I ji BB , ji ≠∀ 
(2º) U
k
i
iB
1=
Ω= 
(3ª) 0)( >iBP , },....,2,1{ ki ∈∀
 
 Ω 
 
 
Teorema da Probabilidade Total: Seja Ω um espaço amostral, kBBB ,.....,, 21 Ω⊂ uma 
partição de Ω e A um evento qualquer. Então: 
 
 ∑
=
×=
k
i ii
BAPBPAP
1
)|()()( 
 41
 
Prova: ( ) ( ) ( )U U IU II L kBABABAA 21= . Assim, 
( ) ( ) ( )
)|()()|()()|()(
)(
2211
21
kk
k
BAPBPBAPBPBAPBP
BAPBAPBAPAP
+++=
=+++=
L
L III
 
 
 
Teorema de Bayes: Seja Ω espaço amostral, kBBB ,.....,, 21 uma partição e A evento 
qualquer. Então, 
 
 
 
∑
=
×
×
= k
i
ii
jj
j
BPBAP
BPBAP
ABP
1
)()|(
)()|()|( , kj ,.....,2,1= . 
 
 
 
 
 
 
Prova: 
( )
∑
=
×
×
== k
i
ii
jjj
j
BPBAP
BPBAP
AP
BAP
ABP
1
)()|(
)()|(
)()|(
I
 
 
 
 
Exemplo 16: Numa fábrica de parafusos, as máquinas A,B,C produzem 25, 35 e 40 por 
cento do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina, 5, 4 e 2 por 
cento, respectivamente, são defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se 
que ele é defeituoso. Qual a probabilidade de que o parafuso seja oriundo das máquinas: 
(a) A ? (b) B ? (c) C ? 
 
 
 
 
 
 
 
 42
Solução: 
 
 
Representação das percentagens de produção das 3 máquinas 
 
 
As informações de “entrada” são: 
 
25,0)( =AP , 35,0)( =BP , 40,0)( =CP 
 
( ) 05,0| =ADP , ( ) 04,0| =BDP , ( ) 02,0| =CDP 
 
Pelo Teorema da Probabilidade Total: 
 
0345,02,040,004,035,005,025,0
)|()()|()()|()(
)()()()(
=×+×+×
=++
=++=
CDPCPBDPBPADPAP
DCPDBPDAPDP I I I
 
 
Pela fórmula de Bayes: 
 
3623,0
0345,0
05,025,0
)(
)|()()|( =×==
DP
ADPAPDAP
4058,0
0345,0
04,035,0
)(
)|()()|( =×==
DP
BDPBPDBP 
2319,0
0345,0
02,040,0
)(
)|()()|( =×==
DP
ACDPCPDCP 
 
 43
Outra solução: 
 
 A B C Total 
Def. 1,25% 1,4% 0,8% 3,45% 
Perf. 23,75% 33,6% 39,2% 96,55% 
Total 25% 35% 40% 100% 
 
 
( ) 3623,0
45,3
25,1| ==DAP ; ( ) 4058,0
45,3
4,1| ==DBP ; ( ) 2319,0
45,3
8,0| ==DCP 
 
3.12 - Independência Probabilística 
 
 
Definição: dois eventos são probabilisticamente independentes se e somente se 
I )()()( BPAPBAP ×= . 
 
 
Observação: da definição acima segue que )()|( APBAP = e )()|( BPABP = , ou seja, 
a ocorrência de um deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro. 
 
 
Definição: três eventos CBA ,, são ditos mutuamente independentes se e somente se: 
 
 
(1º) são independentes dois a dois 
 
(2º) )()()()( CPBPAPCBAP ××=I I . 
 
Observação: eventos mutuamente disjuntos não têm nenhuma relação com eventos 
mutuamente independentes. 
 
(a) suponha 0)( >AP , 0)( >BP e ØI =BA
 
 
 Então, I 0)( =BAP , mas 0)()( >× BPAP , ou seja, são exclusivos mas não 
 são independentes. 
 
(b) I 0)( >BAP e I )()()( BPAPBAP ×= , ou seja, independentes, mas não 
exclusivos. 
 
(c) I 0)( >BAPe I )()()( BPAPBAP ×≠ , ou seja, não exclusivos e não 
independentes. 
 
 44
(d) =A Ǿ e =B Ω. Então, I PBAP =)( (Ǿ)=0 e 0)()( =× BPAP , ou seja, 
 independentes e exclusivos. 
 
 
 
Exemplo 17: A finalidade deste exemplo é mostrar que extração de amostras com 
reposição possui a propriedade de independência probabilística, mas se o processo for sem 
reposição não haverá independência. Suponha uma urna contendo 7 bolas vermelhas e 5 
bolas pretas. Considere o experimento aleatório de extrair 4 bolas ao acaso. Descreva o 
espaço amostral com as respectivas probabilidades, nos casos com e sem reposição. Na 
extração sem reposição considere a ordenação interna da amostra. 
Solução: 
 
(1ª) com reposição: se fizermos distinção entre bolas de mesma cor então a cardinalidade 
do espaço amostral será 2073612# 4 ==Ω . Logo, será um trabalho árduo escrever todo 
Ω . Se não fizermos distinção entre bolas de mesma cor então 
},.....,,,{ ppppvvpvvvvpvvvv=Ω , ou seja, 162# 4 ==Ω . 
 
)()()()(
12
7
12
7
12
7
12
7
12
7)|()|()|()()(
4
vPvPvPvP
vvvvPvvvPvvPvPvvvvP
×××=
=





=×××=×××=
 
)()()()(
12
5
12
7
12
5
12
7
12
7
12
7)|()|()|()()(
3
pPvPvPvP
vvvpPvvvPvvPvPvvvpP
×××=
=





×





=×××=×××=
 
 






×





====
12
5
12
7)()()()(
3
vvvpPpvvvPvpvvPvvpvP
 
)()()()(
12
5
12
5
12
5
12
5
12
5)|()|()|()()(
4
pPpPpPpP
ppppPpppPppPpPppppP
×××=
=





=×××=×××=
 
 
 
Concluímos que os eventos são independentes. 
 
 
 
(2ª) sem reposição: agora neste tipo de extração a mesma bola não pode aparecer mais que 
uma vez. 
 
4
12
4
7
9
4
10
5
11
6
12
7)|()|()|()()(
A
A
vvvvPvvvPvvPvPvvvvP =×××=×××= 
 45
4
12
7)()()()( 





=××× vPvPvPvP 
 
 
Como )()()()()( vPvPvPvPvvvvP ×××≠ , não há independência probabilística. 
 
 
4
12
1
5
3
7)()()()(
A
AA
vvvpPpvvvPvpvvPvvpvP
×
==== ; 4
12
4
5)(
A
A
ppppP = 
 
 
)()()()()()( pvpvPpvvpPvpvpPpvvpPvppvPvvppP ===== 
 
 
)()()()( pppvPppvpPpvppPvpppP === 
 
Exemplo 18 (Confiabilidade de Sistemas): 
 
 
≡E “o sistema funciona” ; iA ≡ “i-ésimo componente do sistema” 
 
 
A probabilidade de iA funcionar é p 
 
 
 
Assuma que os componentes sejam mutuamente independentes. 
 
 
(a) dois componentes em série 
 
 46
 
(b) dois componentes em paralelo 
 
 
 
 
(c) três componentes em sistema misto 
 
 
 
 
(d) quatro componentes em sistema misto 
 
 
 
 
 
 47
4 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 
 
 
4.1. Variáveis aleatórias 
 
 
Definição: seja ε um experimento aleatório e Ω o espaço amostral associado a esse 
experimento. Uma função X , que associe a cada elemento Ω∈ω um número real 
)(ωX , é denominada de variável aleatória (v.a). 
 
 
 
Observação: em algumas situações o resultado ω do espaço amostral já constitui uma 
característica numérica que desejamos registrar. Assim, tomamos ωω =)(X . 
 
Exemplo 1: lançamento de duas moedas. Considere a v.a. X sendo o número de faces 
CARA. 
 
},,,{ KCCKKKCC=Ω ≡C ”cara” e ≡K ”Coroa” 
 
 
 
Definição: uma v.a X é dita discreta quando o conjunto dos valores possíveis de X é 
finito ou infinito enumerável. 
 
},.....,,{ 21 nX xxx=Ω ou ,.....},{ 21 xxX =Ω . 
 48
4.2. Função massa de probabilidade (fmp) 
 
 
Definição: a função massa de probabilidade (f.m.p) de uma v.a. discreta é: 
 
 
]1,0[: →Ω Xf ; )()( iii xXPxfx ==a 
 
 
Condições para ser uma f.m.p: 
 
 
(1ª) 1)(0 ≤≤ ixf , Xix Ω∈∀ 
 
(2ª) 1)(∑ Ω∈∀ =Xix ixf , 
 
(3ª) 0)( =ixf se Xix Ω∉ 
 
 
Exemplo 2: seja X o número de faces cara em 3 lançamentos de uma moeda tal que 
4
3)( =CP e 
4
1)( =KP . 
 
ix 0 1 2 3 ∑ 
)( ixf 1/64 9/64 27/64 27/64 1 
 
64
1
4
1
4
1
4
1)()0()0( =××==== KKKPXPf 
 
 
64
9
64
3
64
3
64
3)()()(
)()()()1()1(
=++=++=
=





===
+ +
KKCPKCKPCKKP
KKCKCKCKKPXPf U U
 
 
64
27
64
9
64
9
64
9)()()(
)()()()2()2(
=++=++=
=





===
+ +
CKCPKCCPCCKP
CKCKCCCCKPXPf U U
 
64
27
4
3
4
3
4
3)()3()3( =××==== CCCPXPf 
 49
Representação gráfica da fmp do exemplo 2 
 
 
4.3. Esperança matemática de uma v.a. discreta 
 
 
 A esperança matemática da v.a. X é definida como: )()( ix i xfxXE Xi∑ Ω∈= . 
 
notações: EXXE ,),( µ 
 
 
Observações: 
 
(1ª) A esperança matemática é a média da população, enquanto 
−
X é a média da amostra, 
ou seja, uma estimativa de EX. 
 
 
(2ª) Interpretamos a esperança matemática como sendo o centro de gravidade (equilíbrio) 
de uma fmp, e é empregada com a finalidade de representatividade dos valores de XΩ . 
 
 
Exemplo 3: Uma fábrica opera com 3 marcas de máquinas: A, B, C. O gerente deseja 
saber qual marca tem menor custo médio de manutenção. 
 
 
 
 50
Marca A Marca B Marca C 
Tipo de 
defeito 
Custo do 
Conserto(X) 
Probab. de 
falha 
Custo do 
Conserto(Y) 
Probab. de 
falha 
Custo do 
Conserto(Z) 
Probab. de 
falha 
Mecânico 33 0,50 32 0,48 34 0,45 
Elétrico 34 0,20 36 0,21 35 0,27 
Hidráulico 50 0,30 47 0,31 51 0,28 
 
3,3830,05020,03450,033 =×+×+×=EX ; 49,37=EY ; 03,39=EZ 
 
A marca B tem menor custo médio, logo deve ser a preferida. 
 
 
Propriedades da Esperança: 
 
(1ª) ,)( kkE = se k for uma constante 
(2ª) )()( XkEkXE = , se k for uma constante 
(3ª) ,)()( bXaEbaXE +=+ Rba ∈, 
(4ª) )()()( YEXEYXE ±=± 
(5ª) )()(
11 ∑∑ == =
n
i i
n
i i
XEXE 
 
 
4.4. Moda e mediana de uma variável aleatória 
 
Definição: a moda de uma v.a. discreta é o valor Xx Ω∈ tal que 
 
),()( ixfxf > Xix Ω∈∀ . 
 
notação: Mo 
 
Nota: pode haver mais de uma moda. Se todas )( ixf são iguais, diremos que não existe 
moda. 
 
 
Definição: a mediana de uma v.a. discreta é um valor Rx ∈ tal que 
2
1)( ≥≤ xXP e 
2
1)( ≥≥ xXP . 
 
notação: Md 
 
 
 
 
 
 
 51
Exemplo 4: seja X uma v.a. com f.m.p dada por 
 
 
x 0 1 2 3 4 ∑ 
)(xf 3/14 1/14 4/14 4/14 2/14 1 
 
 
07142857,2
14
29)( ==XE 
⇒




=
=
3
2
)2(
)1(
Mo
Mo
bimodal 2
2
1
14
10)2(
2
1
14
8)2(
=⇒






>=≥
>=≤
Md
XP
XP
 
 
 
Exemplo 5: lançar 3 vezes uma moeda equilibrada. 
 
x 0 1 2 3 ∑ 
)(xf 1/8 3/8 3/8 1/8 1 
 
 
Neste exemplo a mediana pode ser qualquer valor no intervalo [1; 2]. Se adotarmos 
5,1
2
21
=
+
=Md estaremos utilizando o ponto médio do intervalo [1; 2], além do fato de 
que Md =E(X). Também tem-se que 1)1( =Mo e 2)2( =Mo . 
 
 
 
4.5. Variância e desvio padrão de uma v.a. discreta 
 
 
Definição: Seja X v.a discreta com f.m.p f e espaço amostral ,......},{ 21 xxX =Ω . 
Definimos a variância de X por 
 
 
( ) )()( 2 ix i xfEXxXVar Xi∑ Ω∈ −= . 
 
Definição: o desvio padrão é definido como )()( XVarXDP = . 
 
Notações: XX XDPXVarXV σσ ),(,),(),( 2 . 
 
 
 
 52
Observações: 
 
(1ª) uma fórmula alternativa para a variância é [ ] ( )22 )()( EXxfxXVar ix iXi −= ∑ Ω∈ . 
 
(2ª) 0)( ≥XVar . 
 
(3ª) a variância tem como unidadede medida o quadrado da unidade de medida de X . 
 
(4ª) o desvio padrão tem mesma unidade de medida que a v.a. X , e mede o grau de 
dispersão dos valores de XΩ em torno de EX . 
(5ª) podemos também utilizar o coeficiente de variação de X , definido como 
%100|| ×= EX
DPCV . O CV é interpretado como o grau de variabilidade relativa em torno 
da esperança, ou seja, CV é uma medida relativa, enquanto DP é absoluta. 
 
Exemplo 6: com relação ao Exemplo 5, 5,1)( =XE , 
4
3
2
3
8
24)(
2
=





−=XVar , 
4
3)( =XDP e %735,57=CV . 
 
 
Propriedades da variância 
 
(1ª) ,0)( =cVar c constante; 
 
(2ª) )()( 2 XVarccXVar = ; 
 
(3ª) ),()( 2 XVarabaXVar =+ Rba ∈, . 
 
 
4.6. Modelos probabilísticos discretos 
 
4.6.1. Modelo Binomial 
 
 Seja um experimento aleatório com dois resultados possíveis, isto é, },{ 21 ωω=Ω , 
com pP =)( 1ω e qpP =−= 1)( 2ω . A variável aleatória X , tal que 1)( 1 =ωX (ocorreu 
um sucesso) e 0)( 2 =ωX (ocorreu um fracasso) é dita modelo de Bernoulli. O que é um 
“sucesso” ou um “fracasso” é subjetivo. 
 
 
 53
 
 
 
Exemplo 7: lançamento de uma moeda equilibrada 
 
 Ω ={cara, coroa} 
 
 
 
( ) 5,01 ==XP e ( ) 5,00 ==XP . 
 
 
Exemplo 8: Ω ={ fator RH+ ; fator RH-} 
 
 
 
Sabe-se, da Biologia, que ( ) 85,01 ==XP e ( ) 15,00 ==XP . 
 
 
 Sendo 
nXXX ,....,, 21 v.a’s. independentes e identicamente distribuídas segundo 
uma Bernoulli de parâmetro p , então ∑
=
=
n
i i
XX
1
 é dita binomial de parâmetros n e p . 
 
 
Notação: ),(~ pnBinomialX 
 
fmp: xnxx
n qpCpnxf −=),,( , nx .....,2,1,0= 
 
 54
Esperança e Variância de uma v.a. Binomial 
 ( ) ∑ ∑∑
= ==
====
n
i
n
ii
n
i i
nppXEXEEX
1 11
)( 
 
)1( pnpVarX −= 
 
 
 
Exemplo 9: suponha que 40% dos moradores de um município são favoráveis à 
implantação de um novo sistema de coleta e reciclagem de lixo. Se 5 pessoas forem 
entrevistadas (independentemente), qual a probabilidade de: 
 
(a) nenhuma ser favorável (b) no máximo 2 serem favoráveis 
(c) no mínimo 4 serem favoráveis (d) entre 2 (incluso) e 5 (excluso) serem favoráveis 
 
solução: vamos denotar X como o número de pessoas favoráveis ao projeto 
)40,0;5(~ BinomialX 
 
(a) 07776,060,040,0)0( 5005 =××== CXP 
 
(b) 
68256,060,040,060,040,060,040,0
)2()1()0()2(
322
5
411
5
500
5 =××+××+××=
==+=+==≤
CCC
XPXPXPXP
 
 
(c) 08704,060,040,060,040,0)5()4()4( 05551445 =××+××==+==≥ CCXPXPXP 
 
(d) 
6528,060,040,060,040,060,040,0
)4()3()2()52(
144
5
233
5
322
5 =××+××+××
==+=+==<≤
CCC
XPXPXPXP
 
 
 
 
 
 55
Exemplo 10: no exemplo anterior, se 50 pessoas forem entrevistadas, qual o número 
esperado de favoráveis? 
 
 
Solução: 2040,050)( =×=XE ; 1260,040,050)( =××=XVar , %3205,17=CV 
 
 
4.6.2. Modelo Uniforme Discreto 
 
 
fmp: ,1)(
N
xf i = }.....,2,1{ Ni ∈ . 
 
 
caso particular: 




=
=Ω⇒=
N
if
Nix Xi
1)(
},.....,2,1{
 
 
 
Notação: )(~ NUnifX 
 
 
 
Esperança e variância de uma Uniforme discreta: 
2
1+
=
NEX ; 
12
)1()(
2
−
=
NXVar . 
Mediana de uma Uniforme discreta: 
2
1+
=
NMd : 
 
Observação: o modelo uniforme não tem moda. 
 56
Exemplo 11: X= “no. de pontos marcados na face superior de um dado”. 
 
 x 1 2 3 4 5 6 ∑ 
)(xf 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 
 
5,3
2
16)( =+=XE 
 
Exemplo 12: a amostra a seguir é o resultado de 24 lançamentos de um dado equilibrado 
 
Face 1 2 3 4 5 6 Total 
No. ocorrências 4 4 5 4 3 4 24 
 
416666,3
24
82
24
463544534241
==
×+×+×+×+×+×
=
−
X 
 
Em n lançamentos de um dado a soma das faces divida por n é aproximadamente 3,5. 
 
 
4.6.3. Modelo Hipergeométrico 
 
 
Nota: a denominação do modelo tem relação com a série hipergeométrica. 
 
Experimento aleatório: Seja uma população de tamanho N com r elementos 
possuindo uma característica em comum. O experimento consiste em extrair uma amostra, 
sem reposição, e observar se a unidade amostral possui a característica. Se tiver diremos 
que ocorreu um “sucesso”. A v.a. ≡X ”número de sucessos na amostra” é tal que 
)},min(,....,1,0{ rnX =Ω . 
 
f.m.p: ,)(),,,(
n
N
xn
rN
x
r
C
CC
xXPrnNxf
−
−
×
=== )},min(,....,1,0{ rnx ∈ . 
 
Notação: ),,(~ rnNHX 
 
 
Esperança e variância de uma Hipergeométrica: 
 
 
npXE =)( , 





−
−
−=
1
)1()(
N
nNpnpXVar , 
N
rp = 
 
 57
Observação: para ∞→N e mantendo 
N
rp = constante, a fmp de uma hipergeométrica 
converge para a binomial . Logo, para uma população grande, os processos com e sem 
reposição ficam muito próximos. 
 
 
Exemplo 13: pequenos motores são guardados em caixas de 25 unidades. Um inspetor de 
qualidade examina cada caixa, antes da posterior remessa, testando cinco motores. Se 
houver no máximo dois motores defeituosos, a caixa é aceita, caso contrário todos os 25 
deverão ser testados. Sabendo-se que há 4 motores defeituosos numa caixa, qual a 
probabilidade de que seja necessário testar todos motores dessa caixa? 
 
Solução: ≡X “número de motores defeituosos” 
 
}4,3,2,1,0{=Ω X ; 25=N , 5=n e 4=r 
 
 
P(examinar toda a caixa) = =≥ )3(XP 
0162055,0)4()3( 5
25
1
21
4
4
5
25
2
21
3
4
=
×
+
×
==+==
C
CC
C
CC
XPXP 
 
Agora assuma que 250=N e 40=r . Então }5,4,3,2,1,0{=Ω X : 
 
P (examinar toda a caixa) = 03027575,0)5()4()3()3( ==+=+==≥ XPXPXPXP 
 
Usando a aproximação pela binomial, com 16,0
250
40
==p : 
 
0317587,084,016,084,016,084,016,0)3( 055514452335 =××+××+××=≥ CCCXP 
 
 
4.6.4. Modelo de Poisson 
 
 
 
 A distribuição de Poisson é o modelo probabilístico que descreve um experimento 
aleatório, cuja variável aleatória X é o número de sucessos em um intervalo de 
comprimento t . 
 
 
 
 
 
 58
Exemplo 14: aplicações do modelo de Poisson: 
 
(1º) no. de chamadas telefônicas recebidas por um PBX durante um período de tempo. 
(2º) no. de falhas de um computador durante 1 dia. 
(3º) no. de veículos que chegam a um pedágio durante 1 hora. 
(4º) no. de falhas em 1 metro de tecido de algodão. 
 
 
fmp: 
!
)(),(
x
te
txf
xt λλ
λ−
= , ,.......2,1,0=x 
 
 
sendo .....7182882,2=e , e 0>tλ o número médio de “sucessos” no intervalo de 
comprimento t . 
 
 
Notação: );(~ tPoisX λ 
 
 
 
 
Esperança e variância de uma Poisson: tEX λ= tXVar λ=)( . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 59
Gráfico da fmp de uma Poisson 
 
 
Exemplo 15: Numa central telefônica chegam 300 chamadas por hora. Qual a 
probabilidade de que: 
 
(a) em 1 minuto não haja nenhuma chamada? 
(b) em 2 minutos ocorram 8 chamadas? 
(c) em 0,5 minutos ocorram no mínimo 2 chamadas? 
 
 
 
Solução: ≡X ”número de chamadas em um intervalo de t minutos” 
 
5
60
300
==λ é o número esperado de chamadas em 1 minuto ( 1=t ) 
(a) ( ) 00673,0
!0
)0( 5
0
====
−−
eeXP λλ 
(b) ( ) 1126,0
!8
10
!8
2)8(
8
10
8
2
====
−−
eeXP λλ 
 
(c) ( ) ( ) 7127,02873,01
!1
5,2
!0
5,21
)1()0(1)1(1)2(1)2(
1
5,2
0
5,2
=−=





+−=
==−=−=≤−=<−=≥
−− ee
XPXPXPXPXP
 
 
 
 60
5 - VARIÁVEIS ALEATÓRIASCONTÍNUAS 
 
 
 
 De uma maneira geral, medidas de grandezas físicas, como coordenadas espaciais, 
peso, tempo, temperatura e voltagem, são descritas mais adequadamente como variáveis 
aleatórias contínuas. 
 
5.1. Função densidade de probabilidade (fdp) 
 
 
Definição: Diz-se que X é variável aleatória contínua se existir uma função f , 
denominada de função densidade de probabilidade (f.d.p), tal que: 
 
(1º) 0)( ≥xf , Rx ∈∀ 
(2º) ∫
+∞
∞−
= 1)( dxxf 
(3º) para +∞<<<∞− ba , ∫=≤≤
b
a
dxxfbXaP )()( 
 
 
Observações: 
 
(1ª) )(xf não é probabilidade. 
(2ª) Uma vez que 0)()( === ∫
x
x
dyyfxXP , então no caso contínuo: 
)()()()( bXaPbXaPbXaPbXaP <≤=<<=≤<=≤≤ , ou seja, 
0)()( ==== bXPaXP . 
 (3ª) Se g é tal que 0)( ≥xg e 1)( ≠=∫
+∞
∞−
Kdxxg , então a função 
K
xg
xf )()( = é uma função densidade. 
 61
Exemplo 1: suponha uma chapa plana de aço submersa em um tanque com um líquido de 
peso w Newtons por unidade cúbica. Seja: 
 
 
 x é a profundidade em que a chapa será submersa; 
 
 
)(xg é o comprimento da chapa numa profundidade x 
 
 
Considere xxg
4
3)( = , para ]2;0[∈x , e 0)( =xg se ]2;0[∉x . 
 
 
1
2
3
4
3)(
2
0
2
0
>=== ∫∫ Kxdxdxxg , logo g não é fdp, mas 2
)()( x
K
xg
xf == sim. 
 
Nota: ∫
2
0
)( dxxf é interpretada como a proporção de profundidade da chapa imersa no 
tanque. 
 
 
5.2. Função de Distribuição Acumulada de uma v.a. contínua 
 
 
]1,0[: →RF ∫
∞−
=
x
dyyfxF )()( , onde f é f.d.p 
 
 
Propriedades: 
 
 
(1ª) 0)(lim =
−∞→ xFx e 1)(lim =+∞→ xFx 
 
(2ª) F é contínua e não-decrescente em R 
 
(3ª) )()( xF
dx
d
xf = se F for derivável em x 
 0= se F não for derivável em x 
 
(4ª) )()()( aFbFbXaP −=≤≤ ; )(1)( aFaXP −=≥ . 
 
 62
Exemplo 2: seja a função a seguir 
 
 
 
(a) Mostre que é fdp 
 
(b) Obtenha a fda 
 
(c) Usando a fda obtenha )6,0( ≤XP , )4,0( >XP e )5,02,0( ≤≤ XP 
 
Solução: 
(a) 12 102
1
0
==∫ xxdx 
 
(b) 
:0<x 00)()( ∫∫
∞−∞−
===
xx
dydyyfxF 
:10 ≤≤ x 20
2
0
0
20)()( xyydydydyyfxF x
xx
==+== ∫∫ ∫
∞− ∞−
 
 
:1>x 1020)()( 102
1
0 1
0
==++== ∫ ∫∫∫
∞−∞−
ydyydydydyyfxF
xx
 
 
Nota: em 1=x , 
 
 
 
2)1(lim
1
1lim
1
)1()(lim
0
1
0lim
1
11lim
1
)1()(lim
1
2
11
111
=+=
−
−
=
−
−
=
−
=
−
−
=
−
−
−−−
+++
→→→
→→→
x
x
x
x
FxF
xxx
FxF
xxx
xxx
 , 
 
 
logo, F não é derivável em x=1 (veja a figura abaixo). 
 63
 
 
 (c) 36,06,0)6,0()6,0( 2 ===≤ FXP , 84,04,01)4,0(1)4,0( 2 =−=−=> FXP 
21,02,05,0)2,0()5,0()5,02,0( 22 =−=−=≤≤ FFXP 
 
 
 
5.3. Esperança e variância de v.a’s contínuas 
 
Esperança: ∫
+∞
∞−
= dxxxfEX )( 
 condição de existência: ∫
+∞
∞−
∞<= dxxfxXE )(|||| 
Variância: 222 )()()()()( EXXEdxxfEXxXVar −=−= ∫
+∞
∞−
, onde ∫
+∞
∞−
= dxxfxXE )()( 22 
 
condição de existência: ∞<2|| XE 
 
Importante: mesmas propriedades da esperança e variância são válidas para o caso 
contínuo. 
 
Exemplo 3: a força causada pela pressão líquida na chapa submersa é dada por 
 
₣ ∫=
b
a
dxxxgw )( . No caso em que xxg
4
3)( = , para ]2;0[∈x , 
 
₣ )(
2
3)()(
3
2
2
3 2
0
2
0
XEwdxxxfwdxxgxw ××=×=××= ∫∫ , sendo que 
 
3
4
62
)()( 20
32
0
2
0
2
=





== ∫ ∫
xdxxdxxxfXE . Assim, ₣ ww 2
3
4
2
3
=××= . 
 64
Exemplo 4: seja X v.a. com densidade a seguir 
 
 
 
Mostre que f é densidade e encontre EX e Var(X). 
 
Solução: 1
32
6)( 10
3
1
0
21
0
=





−×=∫
xxdxxf 
 
2
1
12
16
43
6)( 10
4
1
0
31
0
=×=





−×== ∫
xxdxxxfEX ; 
20
6
54
6)()( 10
5
1
0
41
0
22
=





−×== ∫
xxdxxfxXE ; 
20
1)( =XVar 
 
 
5.4. Mediana e Moda de v.a’s contínuas 
 
 
Mediana: a mediana é o valor x tal que ∫
∞−
==
x
dyyfxF
2
1)()( . 
 
 
Notação: Md 
 
 
Moda: a moda é o valor x tal que )()( yfxf > , para Ry ∈∀ . Pode haver mais de uma 
moda. Quando não houver máximo, então diremos que a moda não existe. 
 
 
Notação: Mo 
 
 
 65
Exemplo 5: seja a seguinte f.d.p 
 
 
 
 
Obtenha )(XE ; Moda e Mediana. 
 
Solução: 
 
Pelo gráfico, a priori podemos observar que MoMdXE <<)( . Para obter a moda, 
devemos resolver a equação 0=
dx
df
, ou seja, ( ) 034
4
3 2
=− xx , cuja solução é 
3
4
=x . 
 
∫ =−=
2
0
3 2,1)2(
4
3)( dxxxXE . Obtendo a mediana: 
 
 
( )







=+−
=−
=≤
∫
0883
5,02
4
3
5,0)(
34
0
32
mm
dxxx
mXP
m
 
 
 
A equação 0883 34 =+− mm tem quatro raízes, onde duas são complexas e duas são reais. 
Das raízes reais, somente uma delas está no intervalo [0; 2]. Como 
33333,1)(2,1 =<<= MoMdXE , começamos a pesquisar a raiz dentro do 
intervalo [1,2; 1,33333]. Utilizando o computador (por exemplo usando o MATLAB) 
serão fornecidas as raízes: 1,2285448; -052842+0,768608i; -052842-0,768608i e 
2,494964. Portanto, 2285448,1=Md . 
 
 66
5.5. Modelos probabilísticos contínuos 
 
 
5.5.1. Modelo Uniforme contínuo 
 
Função densidade de probabilidade: 
 
Notação: ],[~ baUX 
 
 
Função de distribuição acumulada 
 
 
 
Esperança e variância 
 
2)(2
))((
)(2)(2
1 222 ba
ab
abab
ab
ab
ab
xdx
ab
xEX ba
b
a
+
=
−
+−
=
−
−
=
−
=
−
= ∫ 
 67
12
)()(
2
abXarV −= 
 
Mediana: 
2
baMd += 
 
Observação: o modelo uniforme contínuo não tem moda. 
 
Exemplo 6: Os geradores de números pseudo-aleatórios, de calculadoras e computadores, 
têm distribuição uniforme contínua em [0,1). Por exemplo, no EXCEL o comando é : 
 
 ALEATORIO( ) 
 
Por exemplo, foram gerados 18 números: 
 
0,156829637 0,846649578 0,469263346 0,577564193 0,664633565 0,462117229 
0,973857121 0,964847015 0,968308066 0,981239892 0,322957938 0,118940193 
0,937166033 0,135396175 0,840436215 0,023279616 0,431708782 0,587640809 
 
A média desses valores gerados é 0,495327. 
 
Exemplo 7: considere um relógio circular de ponteiros. O relógio pode parar, por falta de 
bateria, em qualquer quadrante. Defina X o ângulo formado pelo ponteiro maior quando 
o relógio parar. Determinar: 
(a) fdp (b) fda (c) probabilidade do ponteiro parar entre -90 e 0 graus 
 
 
Solução: 
 
(a) 



 ≤≤−
=
..,0
0360,
360
1
)(
cc
x
xf (b) 







>
≤≤−+
−<
=
0,1
0360,
360
360
360,0
)(
x
x
x
x
xF 
 
 
 
(c) 
4
1
360
36090
360
360)90()0()090( =+−−=−−=≤≤− FFXP 
 
 
 
 
 
 68
5.5.2. Modelo Exponencial 
 
 
 Este modelo possui aplicações em diversas áreas: Biologia, Engenharia, Computação. 
Na Teoria da Confiabilidade está associada à probabilidade de falha de componentes em 
um sistema. 
 
 
Função densidade de probabilidade: 



>
≤
=
− 0,
0,0),(
xe
x
xfxλλ
λ ; 0>λ 
 
O parâmetro λ é a taxa (intensidade) de falhas. 
 
 
Notação: )(~ λExponX 
 
 
Exemplo 8: distribuições exponenciais de parâmetros 2; 1,5 e 0,6 
 
 
Função de distribuição acumulada: 



>−
≤
=
− 0,1
0,0),(
xe
x
xF
xλλ 
 
 
 
Esperança e variância da exponencial: λ
1
=EX , 2
1)(
λ
=XVar . 
 69
Exemplo 9: o tempo de duração (em horas) de um componente eletrônico é exponencial de 
parâmetro 
500
1
=λ . Qual a probabilidade de que o componente: 
 
 
(a) tenha duração entre 300 e 600 horas? 
 
(b) dure mais do que a média? 
 
 
 
Solução: X denota o tempo de duração do componente em horas 
 
(a) ( ) 247617,011)300()600()600300( 2,16,0300600 =−=−−−=−=≤≤ −−×−×− eeeeFFXP λλ 
 
(b) A media de X é 5001 == λµ . Assim, ( ) 367879,011)500(1)500( 1500 ==−−=−=> −×− eeFXP λ 
 
 
5.5.3. A distribuição Normal (Gaussiana) 
 
 
 
 A distribuição Normal é de grande importância em Probabilidade e em Inferência 
Estatística. A distribuição normal foi introduzida pela primeira vez por Abraham de Moivre 
em um artigo no ano 1733. O nome "distribuição normal" foi inventado independentemente 
por Charles S. Peirce, Francis Galton e Wilhelm Lexis, por volta de 1875. 
 
 
Exemplo 10 ( Exemplos de aplicação da normal): 
 
(1º) distribuição das alturas de pessoas 
(2º) distribuição dos valores de depósitos bancários 
(3º) distribuição do quociente intelectual (QI) 
(4º) distribuição da produção de cereais 
 
 
Função densidade: ,
2
1
exp
2
1),,(
2
2 












 −
−×=
σ
µ
piσ
σµ xxf +∞<<∞− x ; 
 
 +∞<<∞− µ ; ),0( +∞∈σ 
 
 70
Notação: ),(~ σµNX . 
 
 
 Gráfico da densidade normal 
 
 
Propriedades da distribuição normal: 
 
(1ª) 0)( >xf . 
 
(2ª) A área sob a densidade f é igual a 1. Para mostrar isto faz-se mudança para 
coordenadas polares. 
 
(3ª) Para três distribuições normais 321 ,, XXX de mesmo parâmetro µ , se 321 σσσ >> , 
então a v.a 3X é mais leptocúrtica (afinada) que 2X e por sua vez 2X é mais leptocúrtica 
que 1X . 
 
 
 
(4ª) ponto de máximo: µ=x , pontos de inflexão: σµ +=x e σµ −=x . 
 
 
 
 71
(5ª) 
 
 
 
(6ª) µ=== MoMdEX ; 2)( σ=XVar . 
 
(7ª) Se ),(~ σµNX então )||;(~ σµ bbaNbXaY ++= e )1;0(~ NXZ
σ
µ−
= . 
 
 
 
Função de distribuição acumulada da Normal padrão 
 
 
 
 Seja )1;0(~ NZ . A função de distribuição acumulada de Z é denotada por 
 
 






−×=Φ ∫
∞−
2
exp
2
1)(
2v
z
z
pi
. 
 
 72
 
 
Propriedades de Φ 
 
 
(1ª) 0)(lim =Φ
−∞→ zz e 1)(lim =Φ∞→ zz 
 
(2ª) 5,0)0( =Φ 
 
(3ª) )()()( abbZaP Φ−Φ=≤≤ e )(1)( bbZP Φ−=≥ 
 
(4ª) Pela simetria da densidade, )(1)( zz Φ−=−Φ 
 
(5ª) Se );(~ σµNX é preciso padronizá-la , para poder usar a tabela da normal padrão: 
 





 −Φ−




 −Φ=




 −≤≤−=




 −≤−≤−=≤≤
σ
µ
σ
µ
σ
µ
σ
µ
σ
µ
σ
µ
σ
µ abbZaPbXaPbXaP )(
 
 
 
 
Nota: As áreas A e B têm formas diferentes, mas tem igual valor. 
 73
Tabela de Φ : fornece )( zZP ≤ , ]59,3;59,3[−∈z , que é área hachurada na figura abaixo. 
No exemplo, 8980,0)27,1( =≤ZP . 
 
 
 
Exemplo 11: Seja )1;0(~ NZ 
 
(a) 8413,0)1()1( =Φ=≤ZP 
(b) 9418,0)57,1()57,1( =Φ=≤ZP 
(c) 95,0025,09750,0)96,1()96,1()96,196,1( =−=−Φ−Φ=≤≤− ZP 
(d) 0505,09495,01)64,1(1)64,1( =−=Φ−=≥ZP 
(e) 012,00102,00222,0)32,2()01,2()01,232,2( =−=−Φ−−Φ=−≤≤− ZP 
(f) 0)4()4( =−Φ=−≤ZP e 011)4(1)4( =−=Φ−=≥ZP . Mas, pelo computador 
420000316712,0)4( =−≤ZP , ou seja, na tabela a área foi arredondada para zero. 
 
 
Exemplo 12: os depósitos efetuados por clientes de um banco têm distribuição normal 
com média 100,00 e desvio padrão 15,00 unidades monetárias. Um cliente é selecionado 
ao acaso. Qual a probabilidade de que o depósito efetuado por ele seja: 
 
(a) 100,00 u.m. ou menos ? (b) pelo menos 110,00 u.m.? 
(c) um valor entre 120,00 e 150,00 u.m.? (d) maior que 140,00 u.m.? 
 
 
 74
Solução: denotemos por X o valor dos depósitos 
 
 
(a) ( ) 5,0)0()0(
00,15
00,10000,100
00,15
00,10000,100 =Φ=≤=




 −≤−=≤ ZPXPXP 
 
 
(b) 
( )
2514,00.74861)67,0(1
3
2
00,15
00,10000,110
00,15
00,10000,110
=−=Φ−=
=




 ≥=




 −≥−=≥ ZPXPXP
 
 
 
(c) 
( )
( ) 0,09140.9082-0.9996)33,1()33,3(33,333,1
00,15
00,10000,150
00,15
00,100
00,15
00,10000,12000,15000,120
==Φ−Φ=≤≤=
=




 −≤−≤−=≤≤
ZP
XPXP
 
 
 
(d) 
( ) ( )
0038,00.99621
)67,2(167,2
00,15
00,10000,140
00,15
00,10000,140
=−=
=Φ−=>=




 −
>
−
=> ZPXPXP
 
 
 
 
Tabela da Normal Padrão Inversa: 1−Φ : fornece as coordenadas tais que )(1 α−Φ=z , 
ou seja: 
 
α=≥ )( zZP (áreas unilaterais superiores) 
α×=≥ 2)|(| zZP (áreas bilaterais) 
 
 75
 
 
 
Exemplo 13: Para uma normal padrão, obtenha z tal que : 
 
(a) 9750,0)( =≤ zZP (b) 95,0)( =≤ zZP (c) 01,0)( =≤ zZP (d) 95,0)( =≤≤− zZzP 
 
Solução: 
 
(a) 
 
 
96,1=z 
Também poderá utilizar a tabela da normal inversa, com a área unilateral de 0,025, como 
mostra a figura abaixo: 
 
 
 76
 
 
(b) Neste caso não encontraremos a área 0,95 na tabela da normal padrão. Isto acontece 
porque a tabela é limitada em duas decimais para as coordenadas. O valor exato, usando 
o computador, é 56448536269,1=z . 
 
 
 
Você pode utilizar a media aritmética das duas coordenadas: 
 
645,1
2
65,164,1
=
+
=z . Também poderá utilizar a tabela inversa da normal padrão, cujo 
valor da coordenada é z=1,6445. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 77
(c) Neste caso, a área deseja é a cauda inferior. Pela tabela da normal inversa, obtemos 
z = 2,3263, e portanto - z = -2,3263. 
 
 
 
 
 
 (d) Pela tabela da normal inversa , z=1,96. 
 
 
 
 
 
Exemplo 14: as alturas de 10000 alunos de uma escola têm distribuição normal de média 
170 cm e desvio padrão 5cm. 
 
 
(a) qual o número esperado de alunos com altura superior a 165 cm? 
 
(b) qual o intervalo simétrico em torno da média que conterá 75% das alturas dos alunos? 
 
 
Solução: denotemos por X a altura dos alunos 
 
 
(a) ( ) ( ) 8413,01587,01)1(11
5
170165
5
170165 =−=−Φ−=−>=




 −
>
−
=> ZPXPXP 
 
 
O nº de esperado é 10000×0,8414 = 8413 alunos. 
 
 
 78
 
 
(b) Temos que encontrar k tal que 
 
 
 ( ) 75,0)()()( =−Φ−Φ=≤≤−=+≤≤− kkkZkPkXkP σµσµ 
 
 
Pela Tabela Inversa da Normal Padrão, para área bilateral de 0,25, obtêm-se que 
15,1=k . Portanto, o intervalo em torno de µ é 
 
 
 [ ] [ ]75,175;25,164515,1170;515,1170 =×+×− . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 79
6 - AMOSTRAGEM E ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS 
 
 
6.1. Parâmetros e Estatísticas 
 
Definição: denomina-se amostra aleatória a uplan − ( )nXXX ,,, 21 L de v.a´s com mesma 
distribuição de probabilidade. 
 
Exemplo 1: ( )nXXX ,,, 21 L com distribuição binomial de parâmetros m e p . 
 
 
Definição: um parâmetro