ANPEC AULA 16 EQUILIBRIO GERAL I - Eficiencia Alocativa

Prévia do material em texto

1
 
AULA 16 : EQUILIBRIO GERAL I : 
 Trocas e Mercado Concorrencial 
 
 
 
1. Equilíbrio em Economias de Troca Pura; 
2. Equilíbrio em Mercados Concorrenciais; 
 3. Eficiência do Mercado Concorrencial; 
 4. Bibliografia e Exercícios sugeridos. 
 
 
 
1. Equilíbrio em Economias de Troca Pura 
 
 
No livro The Wealth of Nations A.Smith (1776) 
explicitou pela primeira vez a idéia de que o mercado 
concorrencial produz resultados desejáveis para a 
sociedade como um todo. 
 
Por trás do aparente caos produzido por inumeráveis 
decisões interdependentes dos agentes econômicos, 
todos motivados por interesses próprios e 
individuais, existe uma força harmonizadora que é 
socialmente benéfica. 
 
Esta força, simbolizada por uma máo invisível, 
conduz inexorávelmente o mercado concorrencial à 
um equilíbrio que, segundo Smith, possui 
características socialmente benéficas. 
 
A partir desta idéia pioneira de A.Smith, muitos 
teóricos da economia procuraram formalizar as 
principais questões que esta afirmaçao levanta, e 
estabelecer as condiçoes sob as quais estas questões 
tem uma resposta positiva. 
 
a) O equilíbrio do mercado existe realmente, é ele 
conseqüência do comportamento racional e coerente 
de compradores e vendedores no mercado ? 
 
 2
b) Se este equilíbrio existe, é ele um estado 
particular para o qual o mercado tende ou existem 
outros pontos de equilíbrio possíveis ? 
 
c) O equilíbrio é robusto com relaçao a possíveis 
mudanças nas condiçoes que garantem a sua 
existência ou ele pode ser fácilmente alterado em 
razão destas mudanças ? 
 
 
As questoes apresentadas nos três tópicos acima 
dizem respeito à existência, unicidade e estabilidade 
do equilíbrio no mercado competitivo, 
respectivamente, e elas serao abordadas na próxima 
seção. 
 
À luz da intuição da mao invisível de Adam Smith, a 
existência do equilíbrio competitivo é sem dúvida a 
questão principal, a qual merecerá mais atenção. 
 
Entretanto, o equilíbrio do mercado precisa ser um 
estado socialmente desejável, do ponto de vista do 
bem estar individual. 
 
Nesta aula, analisaremos economias de trocas puras 
(barter economy) e economias com mercados 
concorrenciais onde não há produçao de bens. 
 
Uma economia em que há produçao será analisada na 
próxima aula 17. 
 
Existem Ii ,...,1= agentes dispostos a trocar isto é, 
comprar ou vender quantidades dos nk ,...,1= bens que 
possuem, cada um dispondo de uma dotação inicial 
)in,...,( 1
ii ωωω = destes n bens, onde ikω são as quantidades 
do bem k alocadas ao indivíduo . i
 
Vamos entao enunciar os conceitos de melhora e de 
eficiência Paretianas, introduzidos na literatura pelo 
economista Italiano Wilfredo Pareto (1896). 
 
 
 
 
 3
Pareto Eficiência 
 
 
Suponha uma alocação inicial de n bens entre I 
indivíduos, ),...,( 1 Iωωω = na qual as quantidades 
alocadas ao indivíduo i são ),...,( 1
i
n
ii ωωω = . 
 
Se é uma outra alocação destes bens, distinta de z ω , 
digo que representa uma melhora Paretiana se todo 
individuo , prefere fracamente a alocação à 
alocação 
z
i
i
iz
ω , sendo que, para pelo menos um deles, a 
alocaçao é estritamente preferível. iz
 
Quando uma dada alocação ω não pode mais ser 
melhorada no sentido de Pareto, entao dizemos que 
esta alocação é Pareto eficiente. 
 
 
Formalmente: 
 
 
Definição 1: Pareto Eficiência 
 
A alocação ω é Pareto eficiente se não existe 
nenhuma outra alocação tal que, para todo z
individuo tenhamos i iiiz ω≥ e, para pelo menos um 
indivíduo j , tenhamos jjjz ω> , onde e designam i≥ j>
as preferências fracas e forte dos indivíduos e i j , 
respectivamente. 
 
 
 
Em outras palavras, se uma dada alocação é Pareto 
eficiente, entao não é possível melhorar a situação 
de um indivíduo sem piorar a situação de algum 
outro. 
 
Como ele leva em conta a variação do bem estar de 
cada membro individual de um grupamento social, o 
conceito de eficiência Paretiana tem um uso 
 4
pervasivo na teoria econômica, particularmente em 
Economia do Bem Estar. 
 
 
 
Identificação 
 
 
Podemos identificar as alocações Pareto eficientes ix 
dos agentes, em uma perspectiva social, usando as 
funções de utilidade individuais e as n restrições 
, as quais condicionam o total 
transacionado (demanda) ao total dos recursos 
iniciais disponíveis (oferta). 
iu
∑ ∑∫= ==1i Ii iix ω1
 
Vamos aqui obter condiçoes suficientes para 
identificar alocações Pareto eficientes no caso de 
dois indivíduos 2,1=i e dois bens 2,1=k , 
transacionados em quantidades x e . y
 
As condiçoes obtidas estendem-se naturalmente para 
um número maior de indivíduos e bens. 
 
A alocação Pareto eficiente do agente 1, notada 
, deverá ser tal que ela maximiza a sua utilidade 
para um dado nível de utilidade constante do agente 
2. 
),( *1
*
1 yx
 
Ésta é de fato a idéia da melhora Paretiana, de se 
obter a melhor alocação de um agente, sem piorar a 
alocação do outro. 
 
 
Sejam as dotações iniciais dos dois agentes, ),( 12
1
1
1 ωωω = 
)2e ,( 2
2
1
2 ωωω = inicial do primeiro bem será a oferta
x≡+ 21 11 ωω e, do segundo bem y≡+ 21 . 22 ωω
 
 
Logo, o problema do agente 1 será: 
 
 
 5
),( 111, 11 yxuMaxyx
 sujeito à 
2222 ),( uyxu = e xxx =+ 21 e yyy =+ 21 
 
 
Este problema poderá ser mais fácilmente resolvido 
inserindo as duas últimas restrições nas funções de 
utilidade e maximizando o Lagrangeano com apenas 
uma restrição: 
 
 
 }),({),(),,( 211211111 uyyxxuyxuyxL −−−+= λλ 
 
 
As duas primeiras condiçoes de primeira ordem são: 
 
 0)1(
2
2
1
1
1
=−∂
∂+∂
∂=∂
∂
x
u
x
u
x
L λ ⇒
2
2
1
1
x
u
x
u
∂
∂=∂
∂ λ 
 
 0)1(
2
2
1
1
1
=−∂
∂+∂
∂=∂
∂
y
u
y
u
y
L λ ⇒
2
2
1
1
y
u
y
u
∂
∂=∂
∂ λ 
 
 
Lembrando que a taxa marginal de substituiçao entre 
os dois bens é a razão entre suas utilidades 
marginais, tomando a razao das duas últimas 
equações acima obtemos: 
 
 
 ),(
),(
),(
),(
),(),( 22
2
2222
2222
1211
1111
11
1 yxTMS
yyxu
xyxu
yyxu
xyxuyxTMS xyxy ≡∂∂
∂∂=∂∂
∂∂≡ 
 
 
Vemos entao que a condiçao para que uma alocação 
seja Pareto eficiente é a da igualdade das taxas 
marginais de substituiçao entre os diferentes agentes. 
 
 
A razão é simples: se , o bem x 
vale relativamente mais para o agente 1 do que para o 
agente 2, uma vez que, para ceder uma unidade deste 
bem, ele demanda mais unidades do bem y do q ue o 
demanda o agente 2. 
),(),( 22
2
11
1 yxTMSyxTMS xyxy >
 6
Deste modo, ao menos um deles pode melhorar sua 
alocação sem que o outro piore, mediante trocas 
adicionais, o agente 1 trocando y por x com o 
agente 2. 
 
O inverso ocorre se tivermos ),(),( 22
2
11
1 yxTMSyxTMS xyxy < : o 
bem x vale relativamente menos para o agente 1 do 
que para o agente 2, de modo que pelos menos um 
deles pode melhorar sua alocação sem que o outro 
piore, o agente 1 trocando x por y com o agente 2. 
 
Assim, enquanto as taxas marginais de substituiçao 
dos dois agentes diferirem, trocas implementadoras 
de melhoras Paretianas são possíveis. 
 
Quando a igualdade ),(),( 22
2
11
1 yxTMSyxTMS xyxy = é 
alcançada, trocas que representem melhoras 
Paretianas não são mais possíveis, pois ambos 
atribuem os mesmos valores aos dois bens, 
significando que ambos agentes alcançaram uma 
dotação Pareto eficiente. 
 
Observe-se que se as funções de utilidade dos 
agentes forem estritamente crescentes e quase 
côncavas, a igualdade das TMSs entre os agentes é 
também uma condiçao suficiente para que a alocaçãoseja Pareto eficiente. 
 
 
 
Alocaçoes Factíveis e Curva de Contratos 
 
 
Dada a dotação inicial ))(),,((),( 22
2
1
1
2
1
1
21 ωωωωωωω =≡ 
existente na economia, existem x≡+ 2111 ωω unidades do 
primeiro bem e y≡+ 2212 ωω unidades do segundo bem 
potencialmente disponíveis no mercado. 
 
A alocação é factível para aquela 
dotação inicial, se ela verifica 
)),(),,((),( 22
2
2
1
1
1
1 yxyxyx ≡
xxx =+ 21 e yyy =+ 21 . 
 
 7
A curva de contratos (superficie de contratos, no 
caso de mais de 2 agentes) é o locus das alocaçoes 
),( yx que são factíveis e à partir das quais, nenhuma 
troca mutuamente vantajosa adicional é possível. 
 
Trata-se, portanto, de um conjunto de trocas de 
equilíbrio para os agentes. 
 
 
 
Definição 2: Curva de Contratos 
 
A curva de contratos entre dois agentes é o conjunto 
das alocaçoes )),(),,((),( 22
2
2
1
1
1
1 yxyxyx ≡ factíveis, para uma 
dada dotaçao inicial ))(),,(( 22
2
1
1
2
1
1),(
21 ωωωωωωω =≡ destes 
dois agentes, tais que as taxas marginais de 
substituiçao destes dois bens são idênticas para os 
dois indivíduos. Formalmente: 
 
);,(),(:),{()( 22
2
11
14 yxTMSyxTMSRyxC xyxy =∈= +ω xxx =+ 21 ; }21 yyy =+ 
 
 
 
Os pontos sobre a curva de contratos são, portanto, 
alocaçoes que podem ser alcançadas em trocas 
voluntárias de equilíbrio. 
 
 
Elas são, necessáriamente, alocaçoes factíveis e 
Pareto eficientes, como vimos anteriormente. 
 
 
A Figura 1 mostra uma curva de contratos na caixa de 
Edgeworth, no caso 2 produtos X 2 agentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8
Fig.1: Curva de Contratos na caixa de Edgeworth 
 
 
 
01
02
x
x
y
y
ω.
x10
y10
x20 = x –x10
y20 = y –y10(x0,y0)
u10
u20
u2*
nucleo
(x* ,y*)
z .
. e
 
 
 
Cada ponto no interior do retângulo representado na 
Figura 1, chamado caixa de Edgeworth (1881), 
representa uma dotação factível, no sentido de que a 
soma das dotações dos dois agentes iguala ),( yx . 
 
As coordenadas do plano Cartesiano yxO1 situam as 
dotaçoes do agente 1, enquanto que as coordenadas 
do plano oposto yxO2 situam as dotações do agente 2. 
 
A curva na diagonal secundária da caixa, unindo as 
origens dos dois sistemas, é a curva de contratos 
entre os dois agentes, reunindo as alocaçoes dos 
agentes onde o valor relativo dos bens é idêntico 
para ambos. 
 
 9
Ela é formada pelos pontos de tangencia das curvas 
de indiferença dos dois agentes, para diferentes 
níveis de utilidade de cada um. 
 
A figura representa 4 curvas de indiferença convexas 
para cada agente, sendo que as do agente 2 devem ser 
olhadas de cima para baixo, à partir da origem , 
mas existem evidentemente uma infinidade delas, um 
par para cada ponto sobre a curva de contratos. 
2O
 
Como mencionamos acima, pontos fora desta curva 
indicam alocaçoes passíveis de melhoras Paretianas 
para pelo menos um dos agentes. 
 
Na alocação sobre a curva de contratos, o 
agente 1 tem unidades do bem medido por x e 
unidades do bem medido por y, enquanto que o 
agente 2 tem 
),( 00 yx
0
1x
0
1y
0
1
0 xx2x −≡ unidades do primeiro bem e 
0
1
0
2 yyy −≡ unidades do segundo. 
 
Nesta alocação, o agente 1 obtém utilidade , e o 
agente 2 utilidade . 
0
1u
0
2u
 
A alocação é Pareto eficiente pois, movendo-se para 
cima à partir deste ponto ao longo da curva de 
contratos, o agente 1 tem utilidade mais elevada, mas 
o agente 2 utilidade mais baixa que ; movendo-se 
para baixo, o agente 2 tem utilidade mais elevada, 
mas a situaçao do agente 1 piora pois receberá 
utilidade mais baixa que . 
0
2u
0
1u
 
 
Assim sendo, os pontos sobre a curva de contratos 
são pontos de equilíbrio para as trocas dos agentes, 
mas nem todos eles podem ser alcançados à partir de 
uma dada dotação inicial dos agentes. 
 
 
Óbviamente, se as dotações iniciais já se encontram 
sobre a curva de contratos, os agentes estao em 
equilíbrio e nenhuma troca haverá lugar. 
 10
Curva de Possibilidades de Utilidade 
 
Dados os recursos totais existentes dos dois bens 
),( yx , diferentes distribuições das dotações iniciais 
geram diferentes pontos de tangencia das curvas de 
indiferença, os quais formam a curva de contratos 
dos dois agentes. 
 
Muito embora nem todos os pontos da curva de 
contratos possam ser alcançados à partir de uma dada 
distribuição dos recursos totais entre os dois agentes, 
os pontos de tangencia apresentam diferentes níveis 
de utilidade para cada agente. 
 
Podemos entao representar estes níveis de utilidade 
potencial no plano 
21 uu × , pela curva de possibilidades 
de utilidade. 
 
Cada ponto sobre esta curva indica os níveis de 
satisfação alcançáveis a priori pelos dois agentes, ao 
realizarem trocas de equilíbrio que redundam numa 
alocação eficiente específica sobre a curva de 
contratos. 
),( 21 uu
 
Observações: 
 
1. A definição da curva de possibilidade de utilidade 
neste contexto nos parece oportuna, devido à 
analogia que o aluno poderá fazer com a curva de 
possibilidades de produçao, a ser construída na 
próxima aula, Aula 17, quando introduziremos a 
produçao na análise do equilíbrio geral; 
 
2. Na aula sobre a Escolha Social, mais à frente, 
encontraremos novamente curvas de possibilidade de 
utilidade. 
 
Mas a interpretação que será dada ali à esta curva é 
distinta, uma vez que aquela é obtida à partir de uma 
funçao de escolha social. 
 
 
 11
O exemplo seguinte ilustrará a construção da curva 
de contratos, das curvas de indiferença e da curva de 
possibilidades de utilidade. 
 
 
Exemplo 1 (numérico) 
 
 
Agente 1: utilidade 7.0
1
3.0
1111 ),( yxyxu = ; 
 
Agente 2: utilidade 4.0
2
6.0
2222 ),( yxyxu = 
 
A dotação total dos dois bens é )10,10(),( =yx . 
 
Factibilidade: 1021 =+ xx e 1021 =+ yy . 
 
 
 
Pareto eficiência: 
 
 2
2
2
1
11
2
3
7
3
xyxy TMSx
y
x
yTMS === . 
 
Factibilidade+Pareto eficiência = Curva de contratos 
 
Equação da curva: 100;
520
70
1
1
1
1 ≤≤+= xx
xy agente 1; 
 
 
 100;
570
20
2
2
2
2 ≤≤−= xx
xy agente 2. 
 
Substituindo as equações da curva de contratos na 
funçao de utilidade dos dois agentes obtemos: 
 
 
100;
)520(
)70(
17.0
1
1
7.0
1 ≤≤+= xx
xu para o agente 1 
 
 12
100;
)570(
)20(
24.0
2
2
4.0
2 ≤≤−= xx
xu ; 12 10 xx −= para o agente 2. 
 
 
Assim, para cada nível de , temos o valor de 
 e, em conseqüência, os níveis de utilidade 
e correspondentes. 
1x
12 10 xx −=
2u
1u
 
 
Fig.2a: Curva de contratos de uma economia 
 Cobb-Douglas 
 
 
 
01
02
10
10
10
10Curva de contratos
C
B
A
u1=3.87
u2=6.57
u1=6.25
u2=4.21
u1=8.28u2=2.0
 
 
 
 
A Figura 2b abaixo mostra a curva de possibilidades 
de utilidade correspondente desta economia. 
 
 
 13
Fig.2b: Curva de Possibilidades de Utilidade 
 
01 10
10
C
B
A
3.87
6.57
6.25
4.21
8.28
2.0
u1
u2
 
 
 
 
Trocas de equilíbrio e Núcleo 
 
 
Mas o que ocorre se as dotações iniciais dos agentes 
estão fora da curva de contratos ? 
 
Suponha que a dotação inicial dos agentes seja 
),( 21 ωωω ≡ , como indicado na Figura 1. 
 
Neste caso, a utilidade máxima que o agente 1 pode 
obter é representada pela curva de indiferença de 
nível , ao passo que o máximo de utilidade do 
agente 2 será dada pela sua curva de indiferença de 
nível . 
0
1u
*2u
 
 14
Qualquer troca que resulte em uma alocaçao situadaabaixo da curva de indiferença de nível não será 
vantajosa para o agente 1 e este poderá bloquear esta 
alocaçao, recusando-se a realizar a troca. 
0
1u
 
Analogamente, toda troca que resulte em uma 
alocação situada abaixo da curva de indiferença de 
nível para o agente 2, será desvantajosa para ele, 
e ele poderá bloquear a alocação, recusando-se à 
troca. 
*2u
 
Todavia, as alocaçoes sobre a curva de contratos que 
se situam acima de e abaixo de ),( 00 yx *)*,( yx não são 
bloqueáveis por nenhum dos agentes. 
 
Qualquer troca que resulte em uma alocação de 
equilíbrio entre estes dois pontos será vantajosa para 
ambos os agentes. 
 
Tal região é chamada núcleo da economia de troca. 
 
 
Vamos na sequencia definir formalmente as coalizões 
bloqueadoras em um contexto mais geral, com I 
agentes e n bens e, em seguida, definiremos o núcleo. 
 
 
 
Definição 3: Coalizões bloqueadoras 
 
Suponha uma economia de trocas com I agentes e n 
bens. Seja o conjunto { }IN ...,,2,1= dos agentes os quais 
dispõem de dotação inicial ),...,( 1 Iωωω = sendo 
),...,( 1
i
n
ii ωωω = as quantidades alocadas ao agente i . 
Considere uma alocaçao factível ),...,( 1 Ixxx = para a 
dotaçao ω e NS ⊂ uma coalizão de agentes. 
 
 
Dizemos que a coalizão S bloqueia a alocação 
factível x se existe uma outra alocação tal ),...,( 1 Iyyy =
que: 
 15
 
(i) é internamente factível, i.e., y ∑ ∑∈ ∈=Si Si iiy ω ; 
 
(ii) é preferível à alocação y x para os membros da 
coalizão, i.e.: para todo iii xy ≥ Si∈ , com pelo menos 
uma preferência estrita. 
 
 
 
Óbviamente, em uma economia com 2 agentes, as 
coalizões bloqueadoras de uma dada alocação 
factível são compostas dos dois agentes ou de um 
único agente. 
 
 
 
Definição 4: Núcleo de uma economia de trocas 
 
O núcleo de uma economia de trocas com I agentes e 
n bens, com dotação inicial ),...,( 1 Iωωω = , é o conjunto 
das alocaçoes factíveis ),...,( 1 Ixxx = com a dotação 
inicial ω , que não podem ser bloqueadas por 
nenhuma coalizão. 
 
 
 
Como ele depende da dotação inicial dos agentes, 
notamos o núcleo por )(ωN . 
 
Assim, o núcleo de uma economia de trocas, com um 
dada alocação unicial ω , é o conjunto das alocaçoes 
factíveis para ω , e que não podem ser bloqueadas. 
 
Na Figura 1, o núcleo é o trecho da curva de 
contratos que intersecta a região elíptica entre as 
curvas de indiferença de níveis e . 0
1u *2u
 
Qualquer alocação situada no interior das curvas de 
indiferença de níveis e , como a alocação 0
1u *2u z 
por exemplo, pode ser bloqueada pela coalizão 
formada por ambos agentes, uma vez que trocas 
 16
implementadoras de melhoras Paretianas ainda são 
possíveis, dado que as taxas marginais de 
substituiçao entre os bens são ali distintas. 
 
Tal não é o caso da alocação situada sobre a curva 
de contratos. 
e
 
Esta é uma alocação Pareto eficiente, à partir da qual 
não há possibilidade de trocas adicionais, 
proporcionando ganhos mútuos aos agentes. 
 
Obviamente, a alocação é não bloqueável para a 
dotação inicial 
e
ω dos agentes, pois )(ωNe∈ . 
 
 
 
Exemplo 2 (continuação exemplo 1) 
 
 
Suponha que as dotaçoes iniciais dos dois agentes 
sejam )3,7(1 =ω e )7,3(2 =ω . 
 
Do exemplo 1, a curva de contratos tem equaçao 
100;
520
70
1
1
1
1 ≤≤+= xx
xy , ou 100;
570
20
2
2
2
2 ≤≤−= xx
xy 
 
 
Núcleo )(ωN : 
 
 É o trecho da curva de contratos entre as curvas de 
indiferença de níveis 868.3)3()7( 7.03.01 ==u e 
21.4)7()3( 4.06.02 ==u ,, entre os pontos A e B nas Figuras 
2a, 2b e na Figura 2c adiante. 
 
 
Equação das curvas de indiferença para estes níveis: 
 
Agente 1: 100;100;)868.3( 11
7
3
1
7.0
1
1 <<<<= yx
x
y 
 
 17
Agente 2: 100;100;)21.4( 22
2
3
2
4.0
1
2 <<≤<= yx
x
y . 
 
Os dois pontos que delimitam o núcleo estáo na 
interseçao da curva de contrato com as curvas de 
indiferença de nível. 
 
Assim, igualando a curva de indiferença com a curva 
de contratos, para cada agente, obtemos as seguintes 
alocaçoes: 
 
 
Agente 1: )94.4,18.2(),( 11 =yx
)
 e, em conseqüência 
, com os agentes alcançando 
utilidades 
06.5,82.7(),( 22 =yx
)567.6,868.3() =,( 21 uu . 
 
 
Agente 2: )70.2,65.5(),( 22 =yx
)
 e, em conseqüência, 
, com os agentes alcançando utilidades 30.7,35.4(),( 11 =yx
)21.4,25.6(),( 21 =uu . 
 
Como vemos, uma troca eficiente e equilibrada entre 
os agentes requer que o agente 1 deseje mais do bem 
y do que possui inicialmente, e o agente 2 deseje 
mais do bem x. 
 
As quantidades mínimas requeridas pelo agente 1 são 
de 2.18 unidades do bem x e 4.94 unidades do bem y. 
 
Como sua dotação inicial é de 7 unidades do bem x 
e 3 do bem y, ele estará disposto a ceder no máximo 
(7 - 2.18) = 4.82 unidades do bem x para obter, no 
mínimo, (4.94 – 3) = 1.94 unidades adicionais do 
bem y. 
 
Já as quantidades mínimas requeridas pelo agente 2 
são de 5.65 unidades do bem x e 2.70 unidades do 
bem y. 
 
Como sua dotação inicial é de 3 unidades do bem x 
e 7 do bem y, ele estará disposto a ceder no máximo 
 18
(7 – 2.70) = 4.30 unidades do bem y para obter, no 
mínimo, (5.65 – 3) = 2.65 unidades adicionais do 
bem x. 
 
A Figura 2c abaixo apresenta o diagrama da curva de 
contratos e das curvas de indiferença na caixa de 
Edgeworth. 
 
O núcleo é o trecho da curva de contratos entre os 
pontos A e B ali representados; os pontos A e B 
também aparecem nas Figuras 2a e 2b. 
 
 
 
Figura 2c: Curva de Contratos e Núcleo de uma 
 economia de trocas Cobb-Douglas 
 
 
01
02
10
10
10
10
ω
7
3
Curva de contratos
3
7
nu
cle
o
86.31 =u
21.42 =u
2.18
4.94
7.82
5.06
4.35
7.30
A
B
2.70
5.65
 
 
 
 
 
 
 19
 
2. Equilíbrio em Economias Perfeitamente 
Concorrenciais 
 
 
 
Definimos na seção anterior o equilíbrio em um 
sistema econômico um tanto primitivo, em que os 
agentes efetuam trocas puras, diretas entre eles. 
 
Entretanto, a implementação prática deste equilíbrio, 
sem vetor de preços, não vai sem dificuldades: 
 
(i) Os agentes individuais não tem contato direto uns 
com os outros; 
 
(ii) A formação de coalizões e a aquisição das 
informações necessárias para lograr a realização de 
trocas mutuamente benéficas não são tarefas 
gratuitas, mas custosas. 
 
Deste modo, a obtenção de alocaçoes no interior do 
núcleo da economia através das trocas voluntárias se 
apresenta como uma meta dificilmente atingível no 
mundo real. 
 
Nada espantoso entao que substanciais ganhos 
através das trocas acabem não sendo realizados na 
prática, jutamente em razão destas limitações. 
 
Nesta seção veremos como uma economia 
perfeitamente concorrencial pode gerar um vetor de 
preços que equilibra todos os mercados, ao mesmo 
tempo em que gera alocaçoes Pareto eficientes. 
 
Nesta economia, as trocas entre os agentes se dão 
não diretamente, mas através da mediação de 
mercados impessoais e particulares, um para cada 
bem. 
 
Veremos que o equilibro em cada mercado 
separadamente ocorrerá quando a totalidade das 
decisões dos vendedores são compatíveis com a 
totalidade das decisões dos compradores, 
relativamente aos preços propostos a eles. 
 20
 
Assim, o equilíbrio do mercado como um todo será 
alcançado quando a demanda dos compradores bate 
com a oferta dos vendedores aos preços vigentes, em 
cada mercado simultaneamente. 
 
A tomada de decisões em uma economia competitiva 
é de natureza descentralizada: cada agente 
individual, perfeitamente informado dos preços 
existentes em todos os mercados, demanda a cesta 
que atende o melhor sua própria preferência, 
independentementeda demanda dos outros agentes. 
 
Além disso, cada agente está perfeitamente seguro de 
que sua demanda será atendida, havendo produçao, 
isto é, oferta suficiente para isso. 
 
Analogamente, os produtores estão perfeitamente 
informados dos preços dos insumos e do seu produto, 
tomam decisões de produçao que maximizam seus 
lucros individuais, independentemente das decisões 
tomadas pelos outros produtores, na plena certeza de 
que haverá demanda para seus produtos. 
 
 
 
Equilíbrio no sistema concorrencial 
 
 
Como anteriormente, partimos de uma economia com 
Ii ,...,1= agentes, dispostos a comprar ou vender 
quantidades dos nk ,...,1= bens que possuem, cada um 
dispondo de uma dotação ),...,( 1
i
n
ii ωωω = destes n bens, 
onde i
kω são as quantidades do bem k possuídas pelo 
agente i . 
 
Os agentes atuam no mercado seja como 
compradores, seja como vendedores de suas dotações 
iniciais, cada um possuindo utilidade contínua, 
fortemente crescente e estritamente quase côncava. 
iu
Dado o vetor de preços ),...,( 1 nppp = estritamente 
positivo, cada agente Ii ,...,1= maximiza sua funçao de 
 21
utilidade escolhendo a cesta ótima 
composta dos n bens, sujeito à sua riqueza, dada pelo 
valor de mercado da sua dotação inicial: 
iu ),...,(
1
1 n
ii xxx =
 
 
 sujeito à )( ii
x
xuMax
i
ii ppx ω≤ 
 
Como sabemos da teoria do consumidor, a solução 
deste problema é a demanda Marshalliana );( ii ppx ω , a 
qual, pelas hipóteses feitas sobre a funçao de 
utilidade, será única e contínua no vetor dos preços 
p . 
 
Trata-se de um vetor de demandas para cada 
consumidor , uma vez que a demanda i );( ii ppx ω é 
composta das demandas da consumidor sobre cada 
bem k : ));(),...,;(() 1
ii
K
iiii ppxppxx p ωωω = . ;( p
 
Assim a demanda agregada pelo bem k será igual a 
soma horizontal das demandas dos I agentes por este 
bem: . ∑ =Ii ipp1 ); ωikx (
 
Por outro lado, a oferta agregada deste bem será 
igual à soma das dotaçoes existentes entre os 
agentes, uma vez que não existe produçao nesta 
economia: . ∑ =Ii ik1ω
 
A funçao excesso de demanda do bem k será definida 
entao como a diferença entre a demanda e a oferta 
deste bem: 
 
 ≡)( pzk −∑ =Ii iik ppx1 );( ω ∑ =Ii ik1ω
 
Quando , a demanda agregada pelo bem 0) >zk ( p k é 
maior que a dotação total deste bem existente na 
economia de modo que haverá excesso de 
demanda pelo bem 
∑ =Ii ik1ω
k . 
Quando , há excesso de oferta do bem 0<zk . )( p k
 
 22
O excesso de demanda agregada será entao uma 
correspondencia vetorial reunindo as funçoes excesso 
de demanda de cada bem: 
 
 ))(,...,)(()( 1 pzpzpZ n=
 
Sob as hipóteses correntes sobre a funçao de 
utilidade dos agentes, a funçao )( pZ possui as 
seguintes propriedades: 
 
1. Continuidade em p ; 
 
2. Homogeneidade 0 em p ; 
 
3. Lei de Walras: 0)(. =pZp . 
 
A segunda propriedade é uma conseqüência imediata 
da homogeneidade 0 das demandas Marshallianas 
com relaçao aos preços e à renda; 
 
A lei de Walras (1874) estabelece que o valor do 
excesso de demanda agregada é nulo. 
 
Com efeito, da restrição orçamentária do agente 
temos: . 
i
∑ ∑ ∑= = = =⇒=−⇒= Ii Ii nk kkiiii pzpxpppx 1 1 1 0)(0)( ωω
 
 
Conseqüência da lei de Walras 
 
 
Suponha que a economia tenha apenas dois bens: 
. 2=n
 
Pela lei de Walras teremos: )()( 2211 pzppzp −= . 
 
Logo, se há excesso de demanda no primeiro 
mercado , haverá excesso de oferta no segundo 
mercado 
0)(1 >pz
.0)(2 <pz
 
 23
Analogamente, se o primeiro mercado estiver 
equilibrado, isto é 0)(1 =pz , entao o segundo mercado 
também estará equilibrado: .0)(2 =pz 
 
No caso genérico de mercados, podemos concluir 
que se mercados estiverem equilibrados, entao o 
 também estará. 
n
1−n
esimon
 
 
 
 
Equilíbrio Walrasiano 
 
 
Consideremos agora o sistema descrito por )( pZ , a 
correspondência das demandas agregadas 
excedentárias. 
 
 
Observações: 
 
(i) O excesso eventual de demanda no mercado do 
bem k , isto é , pode depender do preço praticado 
em todos os mercados, de modo que os mercados são 
interdependentes; 
)( pzk
 
(ii) Existe equilíbrio parcial no mercado do bem k se, 
aos preços p correntes, a demanda do bem iguala a 
sua oferta, de modo que .0)( =pzk 
 
(iii) Se para um dado vetor de preços p temos 
0)( =pZ , entao a oferta iguala a demanda em cada 
mercado e, neste caso, dizemos que o sistema de 
ercado está em equilíbrio geral. m
 
 
 
 
 
 
 
 24
 
Definição 5: Equilíbrio Walrasiano 
 
Um vetor de os é um equilíbrio preç nRp ++∈* 
Walrasiano se 0*)( =pZ .
 
 
 
A questão da existência de um vetor de preços 
estritamente positivo que equilibra todos os n 
mercados conjuntamente tem sido uma das questões 
centrais da teoria econômica em meados do século 
X. 
ith 
obre o funcionamento da economia de mercado. 
Gross , a ex
X
 
A centralidade desta questão torna-se óbvia se 
realizarmos que ela é a tradução matemática e 
coerente da lógica implícita à visão de A.Sm
s
 
eiramente istência do vetor de preços 
0* >>p tal que 0*)( =pZ , seria a própria comprovação 
 mao invisível de Adam Smith. da
 
 
Leon Walras havia tomado como um dado a 
existência do vetor de equilíbrio *p na falsa 
presunção de que um sistema contendo 
s deveria 
dmitir pelo menos uma solução. 
o erro Walras
 tem duas incógnitas mas não tem 
oluçao. 
estritivas sobre as preferências dos 
onsumidores. 
 
n
,...,1
equações 
nkpzk ,...,1;0)( == , em n incógnita mp p
a
 
Foi o sueco A.Wald (1936) quem primeiro observou 
de : por exemplo, as duas equaçoes 
022
2
1 =+ xx e 12221 =− xx
s
 
Wald ofereceu entao uma prova matemática correta 
da existência do vetor de preços de equilíbrio, mas a 
demonstração desta prova logo pareceu a alguns 
autores posteriores como baseada em hipóteses 
excessivamente r
c
 25
Por exemplo, Wald supôs que as preferências dos 
consumidores eram fortemente separáveis e que suas 
utilidades marginais eram decrescentes em todos os 
bens, hipóteses estas que de fato revelaram-se não 
necessárias. 
 
A prova geral da existência do equilíbrio Walrasiano 
foi dada por McKenzie (1954) e Arrow e Debreu 
(1954) em artigos simultâneos publicados na revista 
Econometrica. 
 
Para esta prova, ambos utilizam o teorema da 
existência do ponto de fixo de Brower. 
 
 
O teorema de Brower afirma que toda 
correspondência contínua f dentro de um conjunto 
nRS ⊂ não vazio, compacto e convexo, admite um 
ponto fixo neste conjunto. 
 
Formalmente, se SSf →: , ∅≠S , S compacto e 
convexo, então Sx ∈∃ * tal que **)( xxf = . 
 
Este ponto *x é chamado ponto fixo de f . 
 
 
Quais são as hipóteses mínimas sobre as funçoes 
excesso de demanda , que se mostraram 
suficientes para garantir o equilíbrio Walrasiano ? 
)( pzk
 
Duas destas hipóteses foram enunciadas acima: 
 
(i) A continuidade da funçao excesso de demanda 
agregada )( pZ ; 
 
(ii) A lei de Walras: 0)(. =pZp ; 
 
Uma terceira hipótese, de natureza mais técnica, tem 
um significado econômico mais fácilmente entendido 
quando descrita literariamente: 
 
 26
(iii) Se o preço de alguns bens, mas não todos, se 
aproximar arbitráriamente de 0, entao o excesso de 
demanda de pelo menos um destes bens aumenta 
ilimitadamente. 
 
A partir das condiçoes (i), (ii) e (iii), uma forma 
particular de definir o conjunto de preços S e as 
correspondências para cada bem )( pfk k , além do uso 
do teorema do ponto fixo de Brower, tudo reunido 
leva à prova da existência de um vetor de preços 
normalizado *p que equilibra o mercado dos bens,. n
 
Esta prova é de nívelde mestrado, e não será 
reproduzida aqui. 
 
Veja o livro de Jehle e Reny, pp.192-94. 
 
Entretanto, pode-se substituir as condiçoes (i)-(iii) 
sobre as funções excesso de demanda por outras 
condiçoes mais próximas dos fundamentos 
microeconômicos do mercado competitivo. 
 
Estas condiçoes se expressam únicamente em termos 
das funções de utilidade dos consumidores e da 
positividade das dotações iniciais em todos os bens. 
 
Pode-se provar que estas últimas hipóteses implicam 
as condiçoes (i)-(iii) mencionadas acima. 
 
 
 
Teorema 1: Existencia do equilíbrio Walrasiano 
 
 
Se as funções de utilidade de todos os agentes iu
Ii ,...,1= forem contínuas, fortemente crescentes e 
estritamente quasecôncavas no , e se as dotações nR+
agregadas de todos os bens da economia forem 
estritamente positivas, i.e. ∑ , entao existe ao =Ii 1ω >>i 0
menos um vetor de preços 0>>*p tal que .0*)( =pZ 
 
 
 27
 
Observações: 
 
(i) A funçao é dita fortemente crescente se o 
aumento em um dos seus argumentos quaisquer, sem 
diminuição nos outros argumentos, aumenta 
estritamente o valor da funçao. 
Iu
 
Observe que a funçao Cobb-Douglas não tem esta 
propriedade, pois se um dos seus argumentos for 
zerado e o outro aumentar, a funçao não aumenta 
estritamente, continuará valendo 0. 
 
 
(ii) Suponha por exemplo, uma economia com 2 bens 
e 2 consumidores os quais tem utilidade CES, 
10;),( 2121 <<+= ρρρ xxxxui ; 2,1=i . 
 
Como a utilidade é fortemente crescente e 
estritamente quasecöncava, se a dotação inicial dos 
dois bens for estritamente positiva, i.e. 021
1
1 >+ωω e 
022
1
2 >+ωω , entao existirá um equilíbrio Walrasiano. 
 
 Veja o exemplo 3 abaixo. 
 
 
(iii) A demonstração de que as hipóteses do teorema 
1 implicam as condiçoes (i) e (ii) das funçoes 
excesso de demanda é imediata; para a condiçao (iii) 
a prova é mais longo e, por isso, não será 
reproduzida aqui. 
 
 
(iv) Vimos anteriormente que a funçao excesso de 
demanda agregada é homogênea de grau zero. 
 
Isto significa que se *p é o equilíbrio Walrasiano e 
0>λ entao 0(*)( *) == pZpZ λ de modo que se existe um 
vetor de preços que equilibra todos os mercados, 
qualquer múltiplo positivo deste vetor também 
equilibra todos os mercados. 
 
 28
Esta propriedade é conseqüência do fato que, para a 
escolha dos consumidores, sòmente os preços 
relativos contam. 
 
Ela tem conseqüências práticas úteis e poderá ser 
utilizada para simplificar no cálculo para encontrar o 
vetor de preços de equilíbrio. 
 
 
A Figura 3 abaixo mostra o equilíbrio Walrasiano 
para uma economia de dois bens dois agentes, na 
caixa de Edgeworth 
 
 
Fig.3: Equilíbrio Walrasiano 
 
 
01
02
ω
ω11
ω21ω22
ω12
p*
x*
x11
x12
x21x22
ω11 – x11
x12 - ω12
C.Contratosu2
u1
x1
x2
u1*u2*
 
As dotações totais dos bens 1 e 2 são 2
1
1
1 ωω + e 2212 ωω + 
respectivamente. 
 
 29
Com as dotações iniciais ),( 12
1
1
1 ωωω = e ),( 22212 ωωω =
1u
, os 
agentes 1 e 2 alcançam os níveis de utilidade e , 
respectivamente. 
2u
 
Entretanto, este não é o maior nível de utilidade que 
podem alcançar, uma vez que : há 
possibilidade de trocas mutuamente benéficas para 
ambos, com o agente 1 trocando o bem 1 pelo bem 2 
com o agente 2, uma vez que o agente 1 valora menos 
o bem 1 do que o agente 2. 
2
12
1
12 TMSTMS <
 
Entretanto, diferentemente da economia de trocas 
puras, vista anteriormente, no mercado concorrencial 
a relaçao entre os agentes é “impessoal”, no sentido 
em que ela se dá no mercado. 
 
Antes de colocar suas demandas e ofertas no 
mercado, os agentes tem de conhecer o vetor de 
preços com o qual os bens são ali transacionados. 
 
 
O teorema 1 nos garante que este vetor de preços 
 existe, e que ele efetivamente permite que 
as transações sejam realizadas ótimamente, de modo 
que as demandas excedentárias do agente 1 pelo bem 
2 e do agente 2 pelo bem 1 sejam eliminadas. 
),(* 21 ppp =
 
 
Face ao preço relativo de equilíbrio , o valor 
relativo da dotação do agente 1 é 
21 / pp
21 )/
1
2
1
1( ωω +pp e sua 
demanda ótima é ),( 12
1
1
1 xxx = ; para o agente 2, sua 
riqueza relativa é 2
2(
2
121 )/ ωω +pp e sua demanda ótima é 
. ),( 22
2
1
2 xxx =
 
 
A alocação Walrasiana de equilíbrio é , 
onde as taxas marginais de substituiçao de ambos 
agentes se igualam ao preço relativo: 
, isto é, sobre a curva de contratos. 
),(* 21 xxx =
2
1221
1
12 / TMSppTMS ==
 
 30
 
Logo, é um ponto Pareto eficiente. 
 
 
Neste ponto, os agentes 1 e 2 alcançam o maior nível 
de utilidade permitida pela dotaçao inicial ω , a saber, 
 e , respectivamente. *1u *2u
 
O agente 1 terá vendido 1
1
1
1 x−ω unidades do bem 1 ao 
agente 2 e terá adquirido 2
2
2
2 x−ω unidades do bem 2 do 
agente 2. 
 
 
 
 
Exemplo 3: (numérico) 
 
Agente 1: utilidade 2
1
1
2
1
1111 ),( yxyxu += e dotação )2,1(1 =ω ; 
 
Agente 2: utilidade 3
2
1
3
2
1222 ),( yxyxu += e dotação )1,2(1 =ω ; 
 
 
Demandas Marshallianas: 
 
 
Agente 1: 
21
2/1
11 /)/( ppyxTMSxy == 12211 )/( xppy =⇒ . 
 
 Restrição orçamentária: 
211211 2 ppypxp +=+ 
 
 
)/1)(/(
/2
2121
21
1 pppp
ppx +
+= 
 
 
Agente 2: 
21
3/1
22 /)/( ppyxTMSxy == 23212 )/( xppy =⇒ . 
 
 Restrição orçamentária: 
212221 2 ppypxp +=+ 
 
 31
 
))/(1)(/(
)/(21
2
2121
21
2 pppp
ppx +
+= 
 
 
Como as demandas so dependem do preço relativo, 
coloquemos 
21 / ppp = . 
 
 
Funçao excesso de demanda do bem denominado x : 
 
 =−+= 3)( 21 xxpzx )1(
2
pp
p
+
+ 3
)1(
21
2
−+
++
pp
p 
 
Zerando o excesso de demanda pelo bem x : 
 
 
Note que 03230)( 432 =−−++⇒= pppppzx . 
 
 
Esta equaçao tem 4 soluçoes, 2 complexas, com parte 
real negativa e 2 reais, 1 negativa e 1 positiva. 
 
 
A única solução admissível é 1=p , isto é: 21 pp =
 
Pela lei de Walras, a igualdade de preços dos dois 
bens, também igualará a oferta e a demanda do bem 
denominado , de modo que: y
 
 0;
1
1
* >⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= λλp 
 
é o equilíbrio Walrasiano desta economia. 
 
 
Observe que com este preço relativo, a demanda 
ótima do agente 1 pelos dois bens, será: )
2
3,
2
3(),( 11 =yx , 
o que lhe permite alcançar o nível de utilidade 
 32
45.2)2/3(2* 2/11 ==u
.2)2()1( 2/12/11
, valor 1.66% superior ao nível inicial 
41=+=u . 
 
 
Análogamente, a demanda ótima do agente 2 será 
também )
2
3,
2
3(
1(
),( 22 =yx
62.2)2/3(2* 3/22 ==u
)2( 3/21 +=u
, seu nível de utilidade máxima 
, o qual é 1.55% superior ao nível 
inicial . 58.2) 3/2 =
 
 
 
 
 
3. Eficiência do Mercado Concorrencial 
 
 
 
O exemplo anterior evidenciou algumas 
características gerais do equilíbrio Walrasiano: 
 
 
(i) A demanda e oferta dos consumidores não 
depende do nível absoluto dos preços, mas 
únicamente do seu nível relativo. 
Isto significa que se todos os preços dobrarem ou 
triplicarem, não haverá alteração nos conjuntos 
orçamentários dos consumidores, nem nas suas 
demandas e ofertas ótimas. 
 
 
(ii) A Figura 3 reforça o entendimento de que o 
equilíbrio do mercado é o resultado de ações 
independentes que se harmonizam apesar das 
restrições distintas que as limitam, mercê do 
propósito maximizador comum dos agentes 
individuais. 
 
 
(iii) No mercado concorrencial, os agentes partem 
com uma dada dotação inicial de bens ),( 21 ωωω = e, 
após realizarem seu comercio de maneira ótima, 
 33
terminamcom uma outra dotação de bens, a alocação 
Walrasiana . ),(* 21 xxx =
(
 
No exemplo 2, os agentes 1 e 2 partem com suas 
dotações iniciais e respectivamente, e 
terminam com a alocação a mesma alocação 
)2,1 )1,2(
)
2
3,
2
3( . 
 
Ambos estão melhor com a alocaçao Walrasiana do 
que com a alocação inicial. 
 
Observe que isto não poderia ser diferente, pois as 
transações são livres e voluntárias, de modo que se a 
compra ou a venda forem prejudiciais à um agente, 
este sempre tem a opção de recusar sua participaçao. 
 
 
(iv) Além do mercado concorrencial proporcionar 
uma redistribuição mais eficiente dos recursos 
disponíveis, no equilíbrio não há possibilidades de 
algum agente melhorar sua alocação. 
 
Isto significa que a alocação Walrasiana é uma 
alocação que não pode ser bloqueada, de modo que 
ela pertence ao núcleo da economia. 
 
 
(v) A alocação Walrasiana de equilíbrio em uma 
economia com agentes pode ser escrita como: I
 
 )).**,(....,,).**,( 11 II ppxppx (*)(* pxx ωω=≡
 
onde *p é o preço de equilíbrio. 
 
 
A Figura 4 abaixo mostra, na caixa de Edgeworth que 
não há razão para se crer que, quando o equilíbrio 
Walrasiano existe, ele seja único. 
 
 
 
 
 
 34
Fig.4: Multiplos equilíbrios Walrasianos 
 
 
01
02
ω.
.
. .
x1
x2
 
Se designarmos por )(ωW para o conjunto das 
alocaçoes Walrasianas de equilíbrio, compatíveis 
com a dotação inicial ω , vamos provar o seguinte 
teorema: 
 
 
Teorema 2: Núcleo e Equilíbrio competitivo 
 
Em uma economia de trocas ),( iiu ω , Ii ,...,1= na qual as 
funções de utilidade são todas estritamente iu
crescentes, toda alocação Walrasiana de equilíbrio 
está dentro do núcleo. 
 
Formalmente: )()( ωω NW ⊂ 
 
 
A prova deste teorema é simples: 
 
 35
Suponha que não seja assim, isto é, que )()( ωω NW ⊄ . 
Entao existe uma coalizão S capaz de bloquear a 
alocação Walrasiana de equilíbrio )**,( ωppx . 
Isto significa que existe uma outra alocação tal 
que: 
z
 
 ∑ ∑∈ ∈=Si i iiz Sω (*) 
e 
 
 )).**,(()( iiiii ppxuzu ω≥ (**) 
 
para todo Si∈ , com ao menos uma desigualdade 
estrita. 
 
Ora, (*) implica: ∑ ∑∈ ∈=Si Si ii pzp ω.*.* (***) 
 
e, como )**,( ωppx é um equilibrio Walrasiano, (**) 
implica: 
 
 iiii pppxpzp ωω .*).**,(.*.* =≥ 
 
com pelo menos uma desigualdade estrita. 
 
Somando ambos os lados da última desigualdade para 
todos os agentes da coalizão vem: 
 
 ∑ ∑∈ ∈>Si Si ii pzp ω.*.* 
 
o que contradiz a igualdade (***). 
 
Logo, )()**,( ωω Nppx ∈ , e o teorema está provado ⊕ . 
 
 
Significado do Teorema 2 
 
1. Contráriamente ao que ocorre na economia de 
trocas puras, o teorema 2 informa que, através do 
mercado concorrencial, podemos obter alocaçoes no 
núcleo da economia sem a intervenção de um 
planejador central. 
 36
 
Aqui, os agentes prescindem de qualquer ajuda ou 
opinião de outros para tomarem suas decisões: eles 
simplesmente observam os preços praticados no 
mercado e levam para ali as demandas e ofertas que 
aximizam sua utilidade individual. 
amento do mercado 
oncorrencial é descentralizado. 
ntes, as alocaçoes do núcleo são 
ão bloqueáveis. 
 de deixar pelo menos um 
eles em posição melhor. 
 núcleo está 
obre a curva (superfície) de contratos. 
ogo, ela é Pareto eficiente. 
 seguinte, 
hamada Primeiro Teorema do Bem Estar. 
m
 
Portanto, o mecanismo de funcion
c
 
2. Como vimos a
n
 
Logo, se uma alocação do núcleo é alcançada, 
nenhuma redistribuição factível dos bens entre um 
grupo de agentes será capaz
d
 
Como ninguém pode obter uma alocação melhor com 
os recursos disponíveis, a alocação do
s
 
L
 
 
3. O teorema 3 fundamenta a proposição
c
 
 
 
Teorema 3: Primeiro Teorema do Bem Estar 
 
Nas hipóteses do Teorema 2, toda alocação 
Walrasiana de equilíbrio é Pareto eficiente. 
 
 
 
Este teorema do bem estar fornece entao suporte para 
o enunciado de A.Smith de que o interesse social é 
de um certo modo atendido quando as ações de 
indivíduos independentes e auto-motivados são 
ediadas pelo mercado. m
 
 37
Se as condiçoes são suficientes para assegurar a 
existencia do equilíbrio Walrasiano entao, qualquer 
sejam os recursos iniciais dos agentes, a alocação 
este 
esultado para não se incorrer no erro de ver nele 
a como “socialmente ótima”, no 
entido dela atender critérios de equidade ou de 
porta alocaçoes tanto 
ualitárias como extremamente inegualitárias, do 
ois que sempre seria possível, à 
artir dela, melhorar a posição de alguém sem piorar 
 socialmente desejável, que seja 
areto eficiente, pode ser uma alocação Walrasiana 
e equilíbrio. 
realizada no equilíbrio do mercado é Pareto eficiente. 
 
Entretanto, é preciso entender as limitações d
r
mais significado do que ele realmente comporta. 
 
A). Uma alocação Pareto eficiente não deve ser 
necessáriamente vist
s
justiça distributiva. 
 
A eficiência Pareto com
ig
ponto de vista distributivo. 
 
B). Entretanto, uma alocação que não seja Pareto 
eficiente sequer deveria ser considerada candidata à 
otimalidade social, p
p
a situação de outro. 
 
O teorema seguinte, chamado Segundo Teorema do 
Bem Estar, estabelece as condiçoes sob as quais uma 
dada alocação
P
d
 
 
 
Teorema 4: Segundo Teorema do Bem Estar 
 
Se as funções de utilidade dos agentes forem 
contínuas, fortemente crescentes e estritamente 
quasecöncavas, e se *x é uma alocação Pareto 
eficiente, entao *x é uma alocação Walrasiana de 
equilíbrio para algum vetor de preços de equ brio ilí
*p após a redistribuição adequada das do ções ta
iniciais ω para uma outra dotação factível *ω , tal 
que ixpp *.*.* =i*ω , Ii 1,...,= . 
 
 38
 
A lógica deste teorema pode ser melhor entendida à 
partir da Figura 5 abaixo, no caso usual de 2 agentes, 
 bens, bem 1 e bem 2. 
ç
2
 
 
Suponha que na situação inicial tenham dota ão oω e 
a alocação Walrasiana de equilíbrio seja ox , como 
mostrado na Figura 5. 
r 
 
Entretanto, imagine que um planejador central, 
amigo do agente 2, argumente que a alocação de 
equilíbrio atribui ao agente 2 muito pouco de ambos 
os bens, e que a alocação socialmente desejável 
deveria se *x , distinta da alocação de equilíbrio 
riginal. 
 ótima e Alocação do 
 mercado competitivo 
 
o
 
Fig.5 : Alocação Socialmente
 
 
01
02
oω
. xo
x* .
*ω•
p* C.Contratos
x1
x2
 
 
 39
É possível obter esta alocação julgada socialmente 
ótima únicamente via mercado, sem nenhuma 
intervenção externa aos dois agentes ? 
 
A resposta evidente é não, à menos que se possa 
efetuar uma redistribuição das dotações iniciais. 
 
Como mostrado na figura acima, se a dotação inicial 
for *ω no lugar de oω , na qual o agente 1 tem sua 
quantidades iniciais dos dois bens reduzidas, o 
teorema 2 nos garante que existe um vetor de preços 
de equilíbrio *p que suporta a alocação desejada *x 
como uma alocação Walrasiana de equilíbrio. 
 
Portanto, a obtenção do resultado socialmente ótimo 
via mercado competitivo fica suspensa à uma 
redistribuição adequada das dotações iniciais. 
 
Esta redistribuição pode ser efetuada por via direta, 
com a transferência das unidades necessárias de um 
agente para o outro ou por via indireta e 
compulsória, através de taxação e posterior 
transferência aos agentes dos valores arrecadados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 40
 
5. Bibliografia e Exercícios sugeridos 
 
 
Bibliografia: 
 
[SN] Cap. 13 ; 
[N] Cap. 12 ; 
[VO] Cap. 18,19 ; 
[PR] Cap. 16 ; 
[JR] Sec. 5.1 e 5.2. 
 
 
ExercíciosSugeridos 
 
Anpec: 2012/ Q11;2011/Q04; 2010/Q08; 
 2009/Q06;2008/Q07;2007/Q08; 
 2006/Q07,Q15; 2005/Q08;2004/Q07; 
 2003/Q10;2002/Q07; 2001/Q09,Q10. 
 
 
[SN]: 13.11 (analytical)