ANPEC AULA 17 EQUILIBRIO GERAL II - Eficiencia Produtiva

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1
 
AULA 17 : EQUILIBRIO GERAL II : 
 Eficiência Produtiva 
 
 
 
1. Maximizaçao do bem estar social; 
2. Produçao: Resultados gerais 
 3. Eficiência produtiva; 
 4. Economia simplificada: equilíbrio geral; 
 5. Estática comparativa; 
 6. Bem estar na economia produtiva; 
 7. Bibliografia e Exercícios sugeridos. 
 
 
 
 
1. Maximizaçao do Bem Estar 
 
 
Vimos na aula anterior que o conceito da eficiência 
Pareto é de natureza técnica, e não qualitativa, de 
modo que ele não deve ser considerado como um 
critério plenamente adequado para avaliar questões 
normativas relacionadas à equidade social ou à 
justiça distributiva. 
 
Nesta seção definiremos a funçao de utilidade social 
como sendo a resultante de uma dada distribuição das 
utilidades privadas e então, veremos como o 
conceito da eficiência Pareto se conecta com a 
maximizaçao desta utilidade social ou seja, não com 
a questão distributiva propriamente dita, mas com o 
aspecto mais quantitativo do bem estar social. 
Iuu ,...,1
 
 
 
Maximizaçao da Utilidade Social 
 
 
Se representam as utilidades pessoais de 
Iuu ,...,1 I 
indivíduos que compõem a sociedade, define-se a 
Utilidade social pelo funcional: 
 2
 
 ),...,(),...,(:: 11 II
I uuWuuRRW →→
 
 
A interpretação mais natural que pode ser dada ao 
funcional W é a de que ele representa as preferências 
de um planejador central encarregado de tomar 
decisões alocativas de natureza social, que afetam 
diretamente o bem estar individual. 
 
Na tomada de decisão à respeito de um determinado 
projeto que redundará na alocação conjunta 
 dos bens da economia, o planejador 
considerará o funcional W , o qual indicará o peso 
atribuído pela sociedade à utilidade auferida 
pelo individuo com sua alocação 
),...,( 1 Ixxx = n
)( ii xu
i ix . 
 
Supoem-se que W seja fortemente crescente e cada 
um dos seus argumentos, de modo que se um 
individuo tiver seu nível de bem estar aumentado sem 
nenhuma piora no nível de bem estar dos outros, a 
utilidade social aumentará. 
 
Se o individuo tem dotação inicial i ikω do bem k 
entao o planejador central deve resolver o seguinte 
problema (P) : 
 
 
 sujeito à: ))(),...,(( 11
I
I xuxuMaxW ∑ ∑= =≤Ii Ii ikikx1 ω1
 
 nk ,...,1= . (P) 
 
 
 
As restrições são chamadas restrições 
dos recursos disponíveis. 
n ∑ ∑= =≤Ii Ii ikikx1 1ω
 
 
Temos entao a seguinte proposiçao: 
 
 
 3
 
 
Proposição 1: (Maximizaçao do Bem Estar e 
 Pareto Eficiencia) 
 
Se a alocação maximiza o bem estar )*,...,*(* 1 Ixxx =
social, entao *x é uma alocação Pareto Eficiente. 
 
 
Prova: Se *x não for Pareto eficiente, entao deve 
existir alguma outra alocação factível x′ tal que 
. Neste caso, teríamos 
 o que seria uma 
contradição com o fato que 
Ixuxu ii
i
i ,...,1)()(
* =>′
(((),...,(( 1
1
1 I xuWxuxuW >′
i;
))I′ ))*(),...,*1 II xu
*x maximizar a utilidade 
social. ⊕
 
O Segundo Teorema do Bem Estar visto na aula 
anterior nos assegura que toda alocação Pareto 
Eficiente é uma alocação Walrasiana de equilíbrio, 
de modo que, à luz da Proposição 1, o mesmo pode 
ser dito da alocação que maximiza a utilidade social: 
 
Toda alocação que maximiza a utilidade social é 
uma alocação Walrasiana de equilíbrio para alguma 
distribuição das dotações iniciais. 
 
A Proposição 2 estabelece as condiçoes sob as quais 
a recíproca da Proposição 1 é verdadeira. 
 
 
 
Proposição 2:(Pareto Eficiência e Maximizaçao do 
 Bem Estar) 
 
Suponha que *x seja uma alocação Pareto eficiente, 
com 0* >>ix , Ii ,...,1= . Suponha que as utilidades iu
sejam contínuas, fortemente crescentes e 
quasecöncavas. Suponha ainda que utilidade social 
seja uma combinação linear das utilidades 
individuais, W . Entao: ∑≡ Ii iiiII xuaxu )())(xu (( 1 ),...,1
 
 4
(i) Existe auma escolha adequada dos pesos tal *
la
 que *x maximiza a utilidade social ; 
 
(ii) Os pesos são tais que ** /1 lla λ= , onde *iλ é a 
utilidade marginal da renda ixp *.*im = do individuo i , 
avaliada pelo vetor de preços de equilíbrio *p . 
 
 
 
Prova: Se a alocação *x é Pareto Eficiente, entao ela 
é uma alocação Walrasiana de equilíbrio, para esta 
dotação inicial. 
 
Logo, existe um vetor de preços positivo 0* >>p com 
o qual cada agente maximiza sua utilidade no seu 
conjunto orçamentário. Isto significa que: 
 
 
 Iipxu i
i
i ,...,1;*)*( ==∇ λ (*) 
 
onde ∇ é o operador gradiente. 
 
 
Considere agora o problema da escolha da alocação 
 que maximiza a utilidade social, com as n 
restrições de recursos. Como as utilidades são quase 
côncavas, estas restrições podem ser tomadas como 
restrições de igualdade: 
),...,( 1 Ixxx =
 
 ∑∑ ∑ == = −+= Ii iIi Ii iiii xxxuaL 1 11 1 *11 )()( δ )(... 11 * ∑∑ == −++ Ii inIi inn xxδ
 
 
onde 
nδδ ,...,1 são os multiplicadores de Lagrange das 
restrições dos recursos disponíveis. Reunamos estes 
multiplicadores no vetor coluna: ),...,( 1 ′= nδδδ . 
 
A condiçao de primeira ordem deste problema é aqui 
necessária e suficiente para a maximizaçao da 
utilidade social. Para o indivíduo , esta condiçao 
poderá ser escrita como: 
i
 5
 
 Ii
a
xu
i
i
i ,...,1;
1)( ==∇ δ (**) 
 
 
Comparando estas condiçoes com as condiçoes (*) do 
equilíbrio Walrasiano vemos que se escolhermos 
iia λ/1= , entao podemos tomar *p=δ , de modo que 
*ii xx = , Ii ,...,1= e assim *x também maximizará a 
utilidade social. ⊕
 
A Proposição 2 oferece resultados que permitem uma 
rica e sensível interpretação econômica: 
 
 
(a) À partir do Lagrangeano do problema de Pareto, 
sabemos pelo teorema da envelope que 
i
i
i m
mpv
∂
∂= )*,(*λ é 
a utilidade marginal da riqueza do indivíduo i . 
 
 
Deste modo, se na alocação Paretiana o indivíduo 
tem riqueza elevada, sua utilidade marginal será 
baixa, de modo que seu peso na utilidade social 
i
** /1 iia λ= será elevado; 
 
 
(b) À partir do Lagrangeano do problema da 
maximizaçao da utilidade social, sabemos pelo 
teorema do envelope que nk
x
xW
k
k ,...,1;
*)(
*
* =∂
∂=δ é a 
utilidade marginal social do bem k . 
 
 
Assim, se ** /1 iia λ= e ** kkp δ= , o preço competitivo do 
bem k medirá o valor (marginal) social deste bem, 
isto é, o acréscimo marginal do bem estar social que 
é obtido com o aumento na dotaçao de uma unidade 
adicional do bem k . 
 
 6
 
Com base nos resultados obtidos na seçao 3 da Aula 
16 e nesta seção, resumiremos as relações existentes 
entre o equilíbrio do mercado, as alocaçoes Pareto 
eficientes e o máximo do bem estar social: 
 
 
 
1. O equilíbrio competitivo é Pareto Eficiente; 
 (Primeiro Teorema do Bem Estar) 
 
 
2. Alocaçoes Pareto eficientes são equilíbrios 
competitivos se as preferências são convexas, para 
uma certa redistibuiçao das dotações iniciais; 
 (Segundo Teorema do Bem Estar) 
 
 
3. Alocaçoes que maximizam o bem estar são Pareto 
 eficientes; (Proposição 1) 
 
 
4. Alocaçoes Pareto eficientes maximizam o bem 
 estar social sob a hipótese de concavidade das 
 funções de utilidade, para uma certa escolha dos 
 pesos atribuídos às utilidades individuais pela 
 funçao de utilidade social. (Proposição 2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Economia Produtiva: Resultados gerais 
 
 
Em uma economia com produçao, os produtos 
demandados pelos consumidores são produzidos por 
um determinado número 
n
K de firmas competitivas,maximizadoras de lucro. 
 
 7
Se designa a oferta ótima do produto )( py jk k pela 
firma j , quando o vetor de preços é )( 1,..., ′= npp
j
k p)(
p , a 
produçao agregada deste bem será . ∑ =Kj y1
 
Por outro lado, as firmas são privadas, de modo que 
seu lucro é apropriado pelos consumidores. 
 
Se )( pjπ é o lucro da firma j e se 10 ≤≤ ijθ designa a 
participação do indivíduo no lucro da firma i j , os 
dividendos totais recebidos pelo individúo serao: 
. 
i
∑ =Kj 1 )jij p(πθ
 
Deste modo, se a dotação inicial do individuo for i
iω , sua riqueza inicial, aos preços de mercado p será 
, onde o segundo termo representa 
sua participação nos lucros das 
)(. 1 pyp
jK
j
iji ∑ =+= θωmi
K firmas. 
 
 
O consumidor maximizará sua utilidade 
escolhendo a cesta 
i iu
ix no seu conjunto orçamentário 
. )p(.. 1pmxp
K
j
ijiii ∑ =+=≤ θω y j
 
Seja o vetor das demandas Marshallianas do 
consumidor i . 
))(,( pmpx ii
 
A demanda agregada da economia pelo bem k será: 
 ))(,(1 pmpx
ii
k
I
i∑ =
 
e a oferta agregada do bem k será: , de 
modo que a funçao excesso de demanda será: 
∑ ∑= =+Kj Ii ikjk py1 1)( ω
 
 
=)( pzk ))(,(1 pmpx iikIi∑ = ))(( 1 1∑ ∑= =+− Kj Ii ikjk py ω 
 
Neste nível, a análise do equilíbrio da economia com 
produçao prossegue de modo semelhante àquele 
 8
apresentado nas seções 2 e 3 da Aula 16, para as 
economia competitiva sem produçao. 
 
Com efeito, se além das hipóteses feitas na aula 
anterior sobre as funções de utilidade dos 
consumidores acrescentarmos as hipóteses que os 
planos de produçao de cada firma j são: (i) fechados 
e limitados; (ii) estritamente convexos, entao: 
 
 
1) Existe um equilíbrio Walrasiano 0* >>p que zera 
o excesso de demanda agregada da economia 
isto é, que equilibra simultaneamente os n 
mercados; 
 
2) Toda alocação Walrasiana de equilíbrio é 
Pareto eficiente (Primeiro Teorema do Bem 
Estar); 
 
3) Se *)*,( yx é uma alocação Pareto eficiente, entao 
existe transferências de renda 
ITT ,...,1 satisfazendo 
 e um vetor de preços *∑ =I =i iT1 0 p tal que *)*,( yx é 
uma alocaçao Walrasiana de equilíbrio. 
 
 
Estes resultados não serao aqui detalhados e nem 
demonstrados, pois são de nível de mestrado. 
 
 
 
 
 
3. Eficiência Produtiva 
 
 
 
Vamos detalhar o problema do emprego eficiente dos 
fatores de produçao em uma economia que emprega 
dois fatores, trabalho L e capital K para produzir 2 
bens em quantidades x e . y
 
 9
Os fatores de produçao estão disponíveis em 
quantidades limitadas, L e K . 
 
As funções de produçao dos dois bens são 
e . 
),( xx KLfx =
),( yy KLgy =
 
Desconsiderando por ora os preços dos insumos 
e e dos preços dos produtos e , suponha que 
um planejador central deseje alocar eficientemente os 
recursos produtivos de modo a: 
Lp
Kp xp yp
 
 
(i) Assegurar o pleno emprego dos fatores; 
 
(ii) Maximizar a produçao total. 
 
 
O pleno emprego dos fatores L e K na produçao dos 
dois bens deve atender LLL yx =+ e KKK yx =+ . 
 
Inserindo esta condiçao na funçao objetivo, o 
planejador central escolherá e que maximizam: 
XL XK
 
 
 ),(),( XXXX KKLLgKLf −−+ 
 
 
Supondo que as funções sejam côncavas, a condiçao 
de primeira ordem é necessária e suficiente para 
assegurar um máximo da produçao total. 
 
Esta condiçao é: 
 
 
 Y
LK
X
LK TMSTTMST =
 
 
Isto é, a produçao total é maximizada quando a taxa 
marginal de substituiçao técnica dos fatores é 
idêntica na produçao dos dois bens. 
 
 10
 
Em uma caixa do tipo de Edgeworth, representamos 
na Fig. 1 abaixo o locus das alocaçoes eficientes dos 
fatores na produçao do bem x e do bem . y
 
 
Na figura, as alocaçoes eficientes aparecem ao longo 
da linha ligando à , para diferentes níveis de 
produçao do bem 
XO YO
x e do bem . y
 
 
No ponto 0E , unidades de trabalho e capital 
são utilizados para produzir 
),( XX KL
0x unidades do primeiro 
bem, e as unidades restantes de trabalho e capital 
)XK−,XL(),( YY KLKL −= , são utilizadas na produçao de 
unidades do segundo bem. 
0y
 
 
O ponto A sobre o isoquanta de nível 0x não assegura 
uma alocação eficiente dos recursos produtivos 
porque ali , de modo que o trabalho (o 
capital) é relativamente mais (menos) produtivo na 
fabricaçao de 
y
LK
x
LK TMSTTMST >
x do que na fabricaçao de . y
 
 
Há entao espaço para se aumentar a produçao do 
bem sem reduzir o nível de produçao de y 0xx = , 
transferindo-se unidades de trabalho utilizadas em 
para 
y
x e unidades de capital utilizadas em x para . y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11
Fig.1: Locus das alocaçoes eficientes dos fatores 
 
 
0X
0Y
L
L
K
K
Lx0
Kx0
Ly0 = L–Lx0
Ky0 = K –kx0
y0
A .
. E0
x0
x1
y1
x2
y2
E1
E2
 
 
 
Observações: 
 
1. Se os bens são produzidos de maneira 
descentralizada, por duas firmas competitivas que 
maximizam lucro ou minimizam custo para um dado 
nível de produçao, ambas demandarão quantidades 
ótimas de fatores tais que a igualdade das TMST 
entre os bens também será atendida, como vimos na 
teoria da firma competitiva. 
 
Para que isto ocorra, basta que haja perfeita 
mobilidade dos fatores e que o seu preço seja 
determinado de maneira competitiva. 
 
 12
 Neste caso, no equilíbrio das firmas teremos. 
mercado dos fatores seja 
K
LX
LK p
pTMST = e 
K
LY
LK p
pTMST = de 
modo que a condiçao da maximizaçao do produto 
agregado será atendida. Y
LK
X
LK TMSTTMST =
 
Todavia, nada assegura que o mercado fornecerá um 
vetor de preços que assegura o pleno emprego dos 
fatores como é suposto na caixa de Edgeworth da 
Figura 1. 
 
 
 
2. Na Figura 1 representamos uma curva de 
“contratos” convexa com relaçao à origem. 
 
Não há razão específica para isso, ela poderia ser 
perfeitamente côncava ou mesmo não monotönica. 
 
No caso figurado ali, a curva está abaixo da diagonal, 
de modo que o quociente capital / trabalho é menor 
na produçao de x do que na produçao de , isto é: 
. 
y
YYXX LKLK // <
 
Isto significa que, no conjunto das alocaçoes 
eficientes, a produçao de x é menos intensiva em 
capital e mais intensiva em trabalho do que a 
produçao de . y
 
 
Curva de Possibilidades de Produçao 
 
 
Dados os recursos totais existentes ),( KL , os pontos 
de tangencia apresentam diferentes níveis de 
produçao dos dois bens x e . y
 
Podemos entao representar estes níveis de produçao 
potencial no plano yx× , n curva de possibilidades de 
produçao.. 
 
 13
Cada ponto sobre esta curva indica os níveis 
máximos de produçao que podem ser obtidos com o 
emprego eficiente da totalidade dos recursos 
produtivos disponíveis na economia. 
),( ii yx
 
 
Fig.2: Curva de Possibilidades de Produçao 
 
 
01 YO
XO
E2
E0
E1
x1
y1
x0
y0
y2
x
y
x2
. A
 
 
 
Pontos abaixo da curva, como o ponto A, são 
ineficientes porque, com uma realocação mais 
eficiente dos fatores disponíveis, é possível obter 
uma produçao maior do bem , por exemplo , sem 
alterar o nível de produçao 
y 0y
0x do primeiro bem. 
 
Pontos acima da curva são óbviamente inacessíveis, 
pois demandariam o emprego de trabalho e capital em 
quantidades maiores que aquelas disponíveis. 
 
A curva tem inclinação negativa, significando que, 
sobre a fronteira eficiente, o aumento na produçao de 
 14
um bem não pode ser feito sem redução na produçao 
do outro. 
 
 
 
Taxa de Transformação do Produto (TTP) 
 
 
Esta taxa é definida pelo negativo da inclinaçao da 
reta tangente à curva de possibilidadesde produçao: 
 
 
YXXY OOdelongoaodx
dyTTP −= 
 
Assim, a Taxa de Transformação de x em informa 
como o bem 
y
x pode ser trocado pelo bem , 
mantendo-se os recursos de capital e trabalho 
eficientemente empregados. 
y
 
Por exemplo se TTPXY = 2, isto significa que será 
possível tecnicamente obter 2 unidades do bem Y 
renunciando-se à produçao de 1 unidade do bem X. 
 
A TTPXY é crescente em X, de modo que a curva de 
possibilidades de produçao é côncava com relaçao à 
origem. 
 
 
 
Concavidade da Curva 
 
 
A concavidade da curva de possibilidades de 
produçao pode resultar da ocorrência dos seguintes 
fatos: 
 
a) Rendimento marginal decrescente dos fatores; 
 
 
Com efeito, suponha que o custo social associado à 
produçao do par ),( yx seja ),( yxC . 
 
 15
Como sobre a fronteira de possibilidades de produçao 
a oferta dos fatores é fixa, a equação da fronteira 
pode ser escrita como: 
 
 .),( constyxC = 
 
Entao: 0=∂
∂+∂
∂= dy
y
Cdx
x
CdC , o que implica: 
 
 
)(
)(
/
/
yCmg
xCmg
yC
xC
dx
dyTTPXY =∂∂
∂∂=−≡ 
 
Isto é, a taxa de transformação do produto pode ser 
medida como a razão dos custos marginais incorridos 
na produçao dos bens. 
 
Com rendimentos decrescentes dos fatores, os custos 
marginais crescem com o aumento nas quantidades 
produzidas. 
 
Logo, se a produçao do bem x é aumentada sobre a 
curva de possibilidades, a produçao do bem será 
diminuída, de modo que o custo marginal de 
y
x 
aumentará e o custo marginal de diminuirá. y
 
Deste modo, a aumentará, significando que a 
curva de possibilidades de produçao é côncava. 
XYTTP
 
 
 
Exemplo 1: (Rendimento decrescente do fator) 
 
 Considere o caso em que a produçao dos bens 
é realizada únicamente com trabalho, o qual tem 
produtividade marginal decrescente: 
 
2/1)( XX LLfx == ; ; 2/1)( YY LLgy == 100=+ YX LL 
 
 
A curva de possibilidades de produçao será: 
222 100100 xyyx −=⇒=+ , que é uma curva côncava. 
 16
 
Além disso, a 
2100 x
x
dx
dyTTPXY −=−=
 aumenta com o 
aumento de x . 
 
 
b) Distintas intensidades no uso dos fatores 
 
 
 Mesmo que a produçao dos dois bens exiba 
retornos à escala constantes e que os fatores L e K 
sejam homogêneos, mesmo assim a curva de 
possibilidades de produçao pode ser côncava. 
 
Isto pode ocorrer se os fatores são utilizados em 
proporções distintas na fabricação dos bens. 
 
Por exemplo, x pode ser um bem agrícola e um bem 
industrial: a produçao do primeiro é relativamente 
mais intensiva em trabalho e o segundo relativamente 
mais intensivo em capital. 
y
 
Ou entao x pode ser um software relativamente mais 
intensivo em trabalho e capital humano e uma 
geladeira, que é relativamente mais intensiva em 
capital físico. 
y
 
Quando os fatores são utilizados em proporções 
fixas, a curva de possibilidades de produçao será 
linear. 
 
O uso de diferentes intensidades de fatores na 
produçao de x e é que gera curvas de eficiência 
 (Figura 1) não lineares. 
y
YX OO
 
 
Exemplo 2: (Distintas intensidades dos fatores) 
 
A produçao dos bens utiliza trabalho e capital mas 
em proporções distintas: 
 
 
 17
 , . 2/12/1),( XXXX KLKLfx == 4/14/3),( YYYY KLKLgy ==
 
com 100=+ YX LL e 100=+ YX KK . 
 
Temos: 
X
X
L
KxTMST =)( e 
Y
Y
L
KyTMST 3)( = . Logo, sobre a 
curva de possibilidades de produçao: 
Y
Y
X
X
L
K
L
K 3= e a 
produçao de x é três vezes mais intensiva em capital 
que a produçao de . y
 
Coloquemos 
YX
X
LL
L
+≡α , que a intensidade de trabalho 
na produçao de x , de modo que α−1 é a intensidade 
de trabalho na produçao de . y
 
Usando a restrição de factibilidade: 
 
.1
100
100 ==+++=+
+
YX
Y
YX
X
YX
YX
LL
K
LL
K
LL
KK 
 
Se colocarmos 
X
X
X L
Kk = e 
Y
Y
Y L
Kk = para as intensidades 
de capital na produçao dos dois bens teremos, da 
última igualdade acima e da igualdades das TMST:: 
 
 
YXYX kkekk 31)1( ==−+ αα o que implica: 12
1
+= αYk . 
 
Deste modo, podemos expressar as produções de x : 
 
 
e , sobre a curva de possibilidades de produçao, 
únicamente em funçao do parâmetro 
y
α , da 
intensidade de trabalho na produçao de α : 
 
 18
 
2/1
2/1
12
3100 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+== ααXX KLx 
 
 
 
4/1
4/1
12
1)1(100 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+−== ααYY KLy 
 
Diferenciando-se separadamente as duas equações 
acima e tomando-se o negativo do quociente entre as 
duas diferenciais obtemos, após simplificações: 
 
 4/1)12(3
2
1 +=−= α
dx
dyTTPXY 
 
 
Como vemos, apesar dos retornos à escala serem 
constantes na produçao e dos fatores serem 
homogêneos, a TTP cresce com o aumento da 
proporçao do trabalho alocado na produçao de x , e a 
curva de possibilidades de produçao é assim, 
côncava. 
 
 
 
Custo de Oportunidade 
 
 
A TTPXY permite uma avaliação efetiva do custo de 
oportunidade da produçao de um bem. 
 
Visto que sobre a curva de possibilidades a produçao 
de x não pode ser aumentada sem a redução na 
quantidade produzida de , o custo de oportunidade 
de uma produçao adicional de 
y
x é melhor medida 
pela , uma vez que ela representa de fato o 
quanto da produçao de deverá ser sacrificada para 
que este aumento de 
XYTTP
y
x seja possível. 
 
 
O fato de que este custo aumenta à medida que a 
produçao de x aumenta oferece uma ilustração 
 19
sensível dos custos sociais envolvidos no aumento da 
oferta de um bem, em uma situação de equilíbrio 
geral. 
 
 
 
4. Economia simplificada: equilibrio geral 
 
 
 
Vamos agora acrescentar à economia simplificada da 
seção anterior um consumidor representativo que 
aufere utilidade no consumo dos bens x e 
produzidos eficientemente, com pleno emprego dos 
fatores, nesta economia. 
y
 
Se ),( yxu é a utilidade do consumidor, sabemos que 
ele maximiza sua utilidade no consumo dos bens onde 
sua taxa marginal de substituiçao iguala o preço 
relativo destes bens: 
 
 
Y
X
XY p
p
yyxu
xyxuindifcurva
dx
dyTMS =∂∂
∂∂=−=
/),(
/),(. 
 
 
Equilíbrio: 
O preço relativo de equilíbrio 
*
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
Y
X
p
p ocorre quando a 
taxa de transformação na produçao iguala a taxa 
marginal de substituiçao no consumo: 
 
 
 
*
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛==
Y
X
XYXY p
pTMSTTP 
 
 
Como vimos na aula anterior, no equilíbrio 
Walrasiano, somente o preço relativo fica 
determinado, não o nível absoluto dos preços, pois 
tanto produtores como consumidores alocam 
 20
eficientemente seus recursos com base nos preços 
relativos, dos fatores e dos produtos. 
 
A Figura 3 apresenta o mecanismo da formação do 
preço de equilíbrio no caso de uma firma que produz 
separadamente dois bens e de um consumidor 
representativo da economia. 
 
 
Fig.3: Equilíbrio geral na economia simplificada 
 
01 YO
XO
E* Ec
E0
x0
y0
x*
y*
yc
x
y
xc
p*
p0
 
 
 
Na situação inicial E0, o vetor de preços da economia 
é p0 e as firmas ofertam x0 unidades do primeiro bem 
e y0 unidades do segundo. 
 
Todavia, o preço relativo do bem x é muito baixo, de 
modo que o equilíbrio do consumidor representativo 
é Ec, onde ele demanda xc do primeiro bem e yc do 
segundo bem. 
 
 21
Há, portanto, um excesso de demanda do bem x igual 
à (xc - x0) e um excesso de oferta do bem y igual à 
(y0 – yc). 
 
Isto mostra que o vetor de preços p0não é um vetor 
de preços de equilíbrio: o excesso de demanda por x 
pressionará pelo aumento do seu preço e o excesso 
de oferta de y pressionará pela queda no seu preço. 
 
Por fim, o vetor de preço de equilíbrio será p*, com 
(px/py)* > (px/py)0 o qual equilibra a oferta e a 
demanda dos bens x e y em x* e y* isto é, no ponto 
E* da Figura 1. 
 
Neste ponto, a a curva de indiferença é tangente à 
curva de possibilidades de produçao. 
 
 
Vamos ilustrar numéricamente o equilíbrio no 
exemplo seguinte, que retoma a economia do exemplo 
2: 
 
 
 
Exemplo 3: (Economia Cobb-Douglas) 
 
Suponha que na economia do exemplo 2 anterior o 
consumidor representativo tenha utilidade Cobb-
Douglas: 
 
 3/23/1),( yxyxu = 
 
O consumidor demanda a cesta que maximiza 
sua utilidade, para uma dada renda 
),( cc yx
R a qual, neste 
caso, é composta da remuneraçao do trabalho mais o 
lucro da firma. 
 
Suas demandas ótimas são: 
x
c
p
Rx
3
1= e 
y
c
p
Ry
3
2= . 
 
Vamos determinar o preço relativo ( )*/ YX pp que iguala 
a oferta com aquelas demandas. 
 
 22
 
A taxa marginal de substituiçao no consumo é: 
c
c
XY x
yTMS
2
1= . 
 
Igualando este quociente com a razão das ofertas 
ótimas obtidas no exemplo 2, obtemos: 
 
4/1
2/1
4/1
)12(1
32
1
12
3100
12
1)1(100
2
1 +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+−= αα
α
αα
αα
XYTMS onde a 
YX
X
LL
L
+≡α é a parcela da dotaçao de trabalho da 
economia que é empregada na produçao de x. 
 
 
 
O equilíbrio requer que a TMS iguale a taxa de 
transformação do produto 4/1)12(3
2
1 += αXYTTP já obtida 
no exemplo 2, de modo que, desta igualdade, 
obtemos. 
 4/1)12(3
2
1 +α 4/1)12(1
32
1 +⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= αα
α
4
113 =⇒−=⇒ αα
α . 
 
Como a TTP e a TMS devem igualar o preço relativo 
do bem x , de modo que, substituindo o valor de α na 
TTP (por exemplo) obtemos: 
 
 =*)(
Y
X
p
p 958.0)1
4
12(3
2
1 4/1 =+ 
 
Podemos arbitrar 1=Yp , de modo que 958.0* =Xp . 
 
Observe que para este valor de α obtemos as 
seguintes alocaçoes eficientes dos fatores: 
50;25 == XX KL e 50;75 == YY KL . 
 
 23
Deste modo, as ofertas eficientes são: 
 
 e 36.35)50()25( 2/12/10 ==x 76.67)50()75( 4/14/30 ==y 
 
 
Estas ofertas igualam óbviamente as demandas 
ótimas dos consumidores. 
 
Com efeito, o lucro total obtido com a produçao de x 
e y é: 
 
 
KLKL pppp 10010064.101100100)36.35)(958.0(77.67 −−=−−+=π , 
 
onde e são os preços do trabalho e do capital, 
respectivamente. 
Lp Kp
 
Logo, a renda dos consumidores é: 
 
 
 64.101)10010064.101()100100( =−−++= KLKL ppppR 
 
 
 
Substituindo este valor nas demandas ótimas 
obtemos: 
 
 36.35)
958.0
64.101(
3
1 ==cx e 76.67)
1
64.101(
3
2 ==cy 
 
 
Vemos assim que, com este vetor de preços, as 
demandas ótimas igualam, como esperado, as ofertas 
eficientes obtidas acima. 
 
 
Na sequencia examinaremos como deslocamentos do 
equilíbrio geral podem ocorrer, de acordo com 
mudança nas preferências dos consumidores ou nas 
técnicas de produçao. 
 
 
 
 
 24
 
 
5. Estática comparativa 
 
 
 
 Vamos agora analisar as mudanças no equilíbrio 
geral em decorrência de mudanças nas preferências 
dos consumidores e, em seguida, na tecnologia de 
produçao. 
 
Para tanto, retomaremos a economia do exemplo 1 
para obtermos uma ilustração quantificada dos 
principais efeitos destas mudanças do equilíbrio 
original. 
 
Na economia do exemplo 1, suporemos que existe um 
consumidor representativo com preferências Cobb-
Douglas dadas por: 2/12/1),( yxyxu = . 
 
Lembremos que nesta economia a produçao depende 
apenas do trabalho: , , 
disponível de acordo com 
2/1)( XX LLfx ==
100
2/1)( YY LLgy ==
=+ YX LL , que a curva de 
possibilidades de produçao é 2x−100y = e a taxa 
marginal de transformação do produto é 
y
x
x
xTTPXY =−= 2100
. 
 
Igualando a 
x
yTMSXY = com TTP vem: . Como 
, a oferta iguala a demanda para 
22 yx =
10022 =+ yx
07.75000 === yx , e o preço relativo de equilibrio será: 
. 1)/( 0 =YX pp
 
Evidentemente, 
YX LL == 50 e o custo da produçao de x 
é , de modo que o custo médio será: 2)( xpLpxC LXL ==
=)(xCM xpL , e o custo marginal xpxCmg L2)( = . 
 
Os resultados são simétricos para a produçao de . y
 25
 
Como a firma maximiza lucro igualando o preço do 
produto ao custo marginal temos, no equilíbrio: 
 
00 502 YLX ppp ==
produçao 
, de modo que o lucro obtido na 
dos dois produtos será: 
LLLYX ppp 5050)50502(
00 =−== ππ . 
 
 renda dos consumidores será: 
 
o equilibrio, eles auferem utilidade 
A
LLL pppR 200100100
0 =+= . 
 
N
 
 07.750)5050( 2/1 0 ===u
 Figura 4 abaixo ilustra o equilíbrio inicial desta 
) Mudança nas Preferencias 
uponha um aumento da preferência dos 
 
 
A
economia, no ponto E0. 
 
 
 
 
 
a
 
 
S
consumidores pelo bem y , de modo que a utilidade do 
consumidor representativo seja agora: 
 
 10/910/1 
1 ),( yxyxu =
 
 
A curva de possibilidades de produçao permanecerá 
inalterada, mas agora a TMS será igual à 
x
y1 , de 
9
modo que, igualando com a TTP vem: yx
3
1= . 
 
 
 26
Usando a restrição do pleno emprego, , a 10022 =+ yx
oferta iguala a demanda para 48.9901 ==y , 16.31 =x , e 
o preço relativo de equilibrio que iguala a oferta com 
a demanda será: 
3
1)/( 1 =pp . YX
 
 maior parte do trabalho será alocada na produçao 
ara salários inalterados, é fácil verificar que o lucro 
A
de y : 90=YL e 10=XL . 
 
 
P
auferido na produçao de y será igual à Lp90 , valor 
este nove vezes maior que o lucro auferido com a 
produçao de x . 
 
 
Entretanto, o lucro agregado permanece inalterado, 
pesar da geraçao do valor (salários + lucros) 
 
 fato mais notável é o aumento do preço relativo de 
 
o novo equilibrio, a utilidade dos consumidores é: 
 
igual à 
LLL ppp 1009010 =+ . 
 
A
deslocar-se da produçao de x para a produçao de y, a 
renda agregada dos consumidores não será alterada: 
LpRR 200
0! == . 
 
O
y , o qual triplica, relativamente à situação inicial. 
 
N
 
 5.8)90()10( 10/910/11 ==u 
 
 
Observe entretanto que este valor não é comparável 
com o valor 07.7 obtido anteriormente, antes das 
preferências se alterarem, de modo que não podemos 
afirmar que o nível de bem estar tenha melhorado ou 
piorado. 
 
 
 27
O novo equilíbrio é representado no ponto E1 na 
ig.4: Deslocamentos do Equilíbrio: Aumento na 
Figura 4 abaixo. 
 
 
 
F
 Preferência dos consumidores pelo bem y 
 
 
01
E1
E0
3.16
9.48
7.07
x
y
p0
10
10
7.07
p1
u0 =7.04
u1 =8.5
 
 
) Mudança na tecnologia 
 
ponha agora um aumento da eficiencia na 
sto é, com a mesma quantidade de trabalho, a nova 
tecnologia permite produzir o dobro das unidades de 
 que eram produzidas anteriormente. 
 
 
 
 
b
 
 
 Su
produçao do bem y , de modo que agora: 2/12 YLy = . 
 
I
y
 28
 
A tecnologia de produçao de x e as preferências dos 
consumidores permanecem inalteradas. 
 produçao se 
quilíbrio do mercado, o deslocamento para cima da 
 
 
Neste caso, a curva de possibilidades de
xpande na direção do produto , o que permite, no e y
e
curva de indiferença dos consumidores, com aumento 
do nível de bem estar. 
 
Fronteira de produçao: 222 10021001 xyyx −=⇒=+ 
4
ção é 
y
xTTPXY 4=A taxa de transforma . 
 
temos: 
Igualandocom a taxa de subsitutiçao no consumo 
xy
x
y
y
x 24 =⇒= . Usando entao a equação da 
fronteira de produçao obtemos: 
14.14501 ==x . 
Vemos entao que, com relaçao à situaçao inicial, a 
502,07.7 1 ==y
 
produçao de x permanece inalterada, mas a produçao 
e y dobra. 
 
d
 
O preço relativo de equilíbrio de x também dobra: 
 
 2 
502
44)/(
1
===
y
pp YX
5011 x 
im que, contrariamen e ao caso anterior em 
que o aumento na preferência por y resultou em um 
umento no seu preço relativo, aqui a inovação 
 
Vemos ass t
a
tecnológica que aumenta a eficiência do trabalho na 
produçao de y, no equilíbrio, reduz seu preço 
relativo à metade do seu valor anterior. 
 
 
A alocação do trabalho na produçao dos dois bens 
ermanecerá inalterada: 50p e 50= . XL YL=
 29
 
É fácil também verificar que o lucro auferido na 
produçao de x e de y será identico à situação inicial, 
 para cada bem. 
será
Lp05
 
Também, a renda agregada dos consumidores não 
 alterada: RR 0! Lp200== . 
pela metad relativamente à situação 
nicial, como mencionado anteriormente. 
 
idores é: 
 
 
O fato mais notável é a redução no preço relativo de 
y , o qual cai e, 
i
 
No novo equilibrio, a utilidade dos consum
 
 10)502()50( 2/12/11 ==u 
 
 
Este valor é comparável com o valor obtido 
nteriormente, uma vez que as preferencias dos 
onsumidores não se alteraram. 
ermos percentuais, de 41% na escala de bem estar 
 
danças de natureza financeira ou 
istributiva. 
ais com o mesmo estoque de mao de obra) e à 
brio resultante 
07.7
a
c
 
 
Há assim um aumento no bem estar igual à 
93 unidades de utilidade ou seja, em .207.71001 =−=− uu
t
dos consumidores. 
 
Com vemos, neste método simplificado, o progresso 
écnico não gera mut
d
 
O aumento no bem estar é devido únicamento ao 
aumento da produçao do bem y (pode-se agora fazer 
m
redução no preço relativo deste bem. 
 
 
A Figura 5 abaixo representa, junto com o equilíbrio 
nicial E0 , o ponto E1 do novo equilíi
 30
da inovação técnica introduzida na produçao do bem 
y. 
 
 
Fig.5: Deslocamentos do Equilíbrio: Progresso 
 técnico na produçao do bem y 
 
 
01
E1
E0
7.07
14.14
7.07
x
y
p0
10
20
p1
u0 =7.04
u1 = 10
 
 
 
xemplo 4
 
E : (Oferta de trabalho endógena) 
 consumidor aufere utilidade no consumo de um 
em quantidades
 
 
O
b x e na quantidade de lazer que ele 
 
z
dispõe à partir de uma dotação inicial de tempo igual 
à 1. 
 31
Sua funçao de utilidade é do tipo Cobb-Douglas: 
 
 zaxazxu ln)1(ln),( −+= 
 
Sendo o parâmetro que mede sua preferência 
 do bem. 
 é pr
10 ≤≤ a
pelo consumo
 
O bem oduzido únicamente com trabalho L , 
ofertado pelo consumidor, e a tecnologia tem retornos 
 escala decrescentes: à
 
 2/1Lx = 
 
O preço de x 
u l
é normalizado em , de modo que a 
a a quantidade e trabalho que 
aximiza se ucro, dado o salário : 
 fácil verificar que a solução deste problema leva à 
anda ótima de trabalho: 
1
d
p
firma demand 
m
L
 
 )max( 2/1 LpL L− 
 
É
seguinte dem
 
 
24
1
L
D
p
L = 
 
e oferta ótima o do pr duto: 
 
 
L
O
p
x
2
= 1
 lucro a firma será: 
 
 
Deste modo, o d
 =π
L
1
LL
L pp
p
44 2
=− 
p2
11
 
 
 
 32
Por outro lado, além do salário , a renda do 
consumidor inclui o lucro da firma, de modo que 
Lp
L
L p
pR
4
1+= . 
 
As demandas ótimas do consumidor pelo bem x e 
pelo lazer são: z
 
 aR
p
Rax
x
D == e 
L
D
p
Raz )1( −= 
 
 Como 1=+ Lz a oferta de trabalho será: 
 
 
L
O
p
RaL )1(1 −−= 
 
ou, substituindo o valor da renda: 
 
 )
4
11)(1(1)4/1()1(1
2
LL
LLO
p
a
p
ppaL +−−=+−−= 
 
Pela lei de Walras, determinamos o salário que 
equilibra o mercado de trabalho: 
 
 ⇒= OD LL
24
1
Lp
)
4
11)(1(1
2
Lp
a +−−= 
 
A solução desta equação dá: 
 
 
 
2/1
4
2* ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
a
apL 
 
 
 
a
aL −= 2*
 ; 
2/1
2
* ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−= a
ax ; 
2/1
4
2
4
1*
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
a
aπ 
 
 
 33
Vemos que no equilíbrio desta economia em que o 
preço do consumo é fixo, quanto maior a preferência 
do indivíduo pelo bem x isto é, maior o valor do 
parämetro , maior será a oferta de trabalho, maior o 
consumo, menor o salário e maior o lucro da firma. 
a
 
 
(Este exemplo aparece no livro de Hal R. Varian, 
Microeconomic Analysis, pp.352s) 
 
 
 
Exercício: O que ocorre com o consumo, o salário e 
o lucro no equilíbrio da economia acima se há um 
progresso tecnológico que dobra a eficiência na 
produçao do bem x : 2/12Lx = ? 
 
 
 
 
 
6. Bem Estar na Economia Produtiva 
 
 
 
Vimos na primeira seção a relaçao existente entre o 
equilíbrio de uma economia de trocas e a 
maximizaçao da utilidade social. 
 
Nesta seção faremos o mesmo, mostrando como a 
condiçao para a eficiência alocativa dos fatores em 
uma economia produtiva se relaciona com a 
maximizaçao do bem estar social. 
 
Mais precisamente, veremos como a tangencia das 
curvas de indiferença com a curva de possibilidades 
de produçao, para cada dois bens, também é uma 
condiçao necessária para que a utilidade social seja 
maximizada. 
 
A análise é muito semelhante àquela feita para uma 
economia de trocas, a única diferença relevante 
consiste na maneira de descrever o conjunto das 
alocaçoes factíveis no caso da economia produtiva. 
 34
 
Vimos na teoria da firma que os planos de produçao 
eficientes podem ser definidos por uma funçao de 
transformação 
y
F de modo que se for eficiente 
entao 
y
.)(y 0=F 
 
Como anteriormente, para a tomada de decisão à 
respeito de um determinado projeto que leva à 
alocação conjunta ),...,( 1 Ixxx = dos n bens da economia, 
o planejador central considerará o funcional , o 
qual medirá o peso acordado pela sociedade à 
utilidade auferida pelo individuo i da sua 
alocação 
W
)( ii xu
ix . 
 
Definimos aqui a demanda agregada pelo bem i como 
, de modo que a funçao de transformação ∑ == Ii ikk xX 1 F 
incluirá os planos de produçao dos n bens da 
economia. 
 
Note-se que as dotações iniciais de recursos podem 
ser incorporados na definição da funçao de 
transformação. 
 
 
O problema da maximizaçao da utilidade social será 
entao: 
 
 
 
 sujeito à: ))(),...,(( 11
I
I xuxuMaxW 0),...,( 1 =nXXF 
 
 
 
O Lagrangeano deste problema escreve-se: 
 
 
 =L ),...,())(),...,(( 111 nII XXFxuxuW λ+ 
 
As condiçoes de primeira ordem são: 
 
 
 35
 nkIi
X
XXF
x
xu
u
W
k
ni
i
k
i
i
i
,...,1;,...,10),...,()( ===∂
∂−∂
∂
∂
∂ λ 
 
 
Para dois bens h e k podemos reescrever a condiçao 
acima como: 
 
 
 nkhIi
X
XXF
X
XXF
x
xu
x
xu
k
n
h
ni
i
k
i
i
i
h
i
i
,...,1,;,...,1),...,(
),...,(
)(
)(
1
==
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
 
 
 
Isto é, para cada individuo i , devemos ter: 
 
 
 
HK
i
HK TTPTMS =
 
 
Vemos assim que a maximizaçao do bem estar social 
requererá que a Taxa Marginal de Substituiçao entre 
dois bens quisquer e h k , deve ser igual à Taxa de 
Transformação destes produtos.36
 
7. Bibliografia e Exercícios sugeridos 
 
 
Bibliografia: 
 
[SN] Cap. 13 ; 
[N] Cap. 12 ; 
[VO] Cap. 18,19 ; 
[PR] Cap. 16 ; 
[JR] Sec. 5.1 e 5.2. 
 
 
Exercícios Sugeridos 
 
 
 
Anpec: 2012/ Q07,Q15;2011/Q10, Q13; 
 2010/Q07;2007/Q06,Q07,Q12; 
 2006/Q05;2005/Q06; 
 2004/Q12;2003/Q05,Q08,Q15; 
 2002/Q04,Q10,Q14; . 
 
 
[SN]: 12.5 - 12.8 e 12.9-12.11 (analytical)