Volume Controle - Mecânica dos Fluidos

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MECÂNICA DOS FLUIDOS: EQUAÇÕES 
BÁSICAS NA FORMA INTEGRAL PARA 
VOLUMES DE CONTROLE
Rogério Campos, Ph.D.
Volume de Controle
■ Fluidos são sujeitos a distorção e deformação contínuas.
■ Complexo identificar e acompanhar uma massa de fluido.
■ Na prática: verificar o efeito do movimento do fluido em uma máquina de fluxo
(bombas, turbinas, compressores, etc.), ou numa estrutura (tubulações, bocais,
etc.), entre outros.
■ É mais conveniente aplicar as leis básicas a um volume fixo de espaço, ao invés de 
a uma massa fixa e definida de fluido
Volume de Controle
Fonte: Barbosa Jr., J. B., Capítulo 4, Apostila, 2010. 
Equações para um Sistema
■ Conservação da massa (sem reações químicas): a massa, M, de um sistema é
constante
𝑀"#"$%&'=∫ 𝑑𝑚&'""'	,-	"#"$%&' = 	∫ 𝜌𝑑𝑉1-23&%	,-	"#"$%&'
0
dt
dm
Sistema
=÷
ø
ö
Equações para um Sistema
■ Conservação da quantidade de movimento: 
– Segunda lei de Newton: ”Para um sistema movendo-se relativo a um referencial
inercial, a soma de todas as forças externas atuando no sistema é igual à taxa de
variação da quantidade de movimento linear do sistema com o tempo”
Sistema
dt
PdF ÷÷
ø
ö
=
!
!
Força resultante
ò= Sistema dmVP
!!
Quantidade de movimento:
Equações para o Sistema
■ Conservação da quantidade de movimento angular (Segunda lei de Newton-
sistemas em rotação):
𝐻 = ∫ 𝑟×𝑉𝑑𝑚898:;<= Sistema
dt
HdT ÷÷
ø
ö
=
!
!
Torque resultante
Quantidade de movimento angular:
Equações para o Sistema
■ Conservação da energia: Primeira Lei da Termodinâmica
Sistemadt
dEQW ÷
ø
ö=- !! (Energia total)
òò r++== Sistema
2
Sistema
dV)gz
2
Vu(dmeE
Equações para o Sistema
■ Relação entre as equações para sistema e a 
formulação para volume de controle:
òò rh=h= SistemaSistema dVdmN
Propriedade Extensiva - N Propriedade Intensiva - h
mN =Massa 1=h
VmPN
!!
==Quantidade de movimento V
!
=h
)Vxr(mHN
!!!
==Quantidade de 
movimento angular Vxr
!!
=h
EN =Energia gz
2
Vue
2
++==h
Teorema de Transporte de Reynolds
Ad.V
t
dV
dt
dN
SC
VC
Sistema
!!
ò
ò hr+
¶
rh¶
=÷
ø
ö
fluxo da propriedade N 
através da superfície 
de controle
taxa de variação da 
propriedade N no 
volume de controle
taxa de variação da 
propriedade N para 
sistemas
Conservação da Massa para Volume de 
Controle
( )
ò
ò r+
¶
r¶
==÷
ø
ö
SC
VC
.Sist
Ad.V
t
dV
0
dt
dm !!
fluxo de massa 
através da superfície 
de controle
taxa de variação da 
massa no volume de 
controle
taxa de variação 
da massa para 
sistemas é zero
Equação da Conservação da Massa 
Escoamento uniforme
( uma entrada / uma saída ): eeesssSC
AVAVAd.V r-r=rò
!!
Ad
!
V
! Velocidade paralela ao vetor área
(sempre para o exterior do V.C.):
0Ad.V >
!!
0Ad.V <
!!
saídas
entradas
ò
ò r+
¶
r¶
=
SC
VC Ad.V
t
dV
0
!!
Conservação da Quantidade de Movimento 
para Volume de Controle Inercial
( )
ò
ò r+
¶
r¶
=+==÷
÷
ø
ö
SC
VC
SC
.Sist
Ad.VV
t
dVV
FFF
dt
)Vm(d !!!
!
!!!
!
Exemplo típico: Curva de 90o
1V
!Mudança de quantidade de 
movimento do escoamento de
para através da aplicação da 
força externa 
2V
!
F
!
Conservação da Quantidade de Movimento 
para Volume de Controle Inercial
ò
ò r+
¶
r¶
=+=
SC
VC
SC Ad.VVt
dVV
FFF
!!!
!
!!!
fluxo da quantidade de
movimento através da
superfície de controle
taxa de variação da
quantidade de movimento
no volume de controle
taxa de variação da quantidade de
movimento para sistemas é igual a força
externa aplicada (soma das forças de campo
e de superfície)
Análise do Volume de Controle 
Diferencial
+
Equação da Quant. de Mov. 
em regime permanente
Equação da Conservação da 
Massa em regime permanente
0dzg
2
Vddp
2
s =+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
r
Volume de Controle Movendo em 
Velocidade Constante
■ Volume de controle, fixo em relação a um sistema de referência xyz.
■ O VC move-se a velocidade constante, Vrf, em relação a um sistema de referência
fixo xyz, inercial.
xyz
XYZ
Vrf
Volume de Controle Movendo em 
Velocidade Constante
òò r+r¶
¶
=+=
SC xyzxyzVC xyzSC
Ad.VVdVV
t
FFF
!!!!!!!
Velocidades no volume de controle em 
relação ao sistema de referência xyz (móvel)xyzV
!
Equação da Energia para Regime 
Permanente
■ Se a troca de calor e o trabalho de eixo forem iguais a zero:
Ad.Vgz
2
VhWQ
SC
2
e
!!"" ò r÷÷
ø
ö
çç
è
æ
++=-
Ad.Vgz
2
Vh0
SC
2 !!
ò r÷÷
ø
ö
çç
è
æ
++=
Equação da Energia para Regime 
Permanente
■ Para um VC com uma entrada e uma saída, em escoamento uniforme:
E
2
S
2
gz
2
Vhmgz
2
Vhm0 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
++-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
++= !!
E
2
S
2
gz
2
Vpugz
2
Vpu ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
++
r
+=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
++
r
+
Equação da Energia para Regime 
Permanente
■ Em temperatura constante: 
2
2
22
1
2
11 gz
2
Vpgz
2
Vp
++
r
=++
r
Equação de 
Bernoulli