Integração múlltipla

Prévia do material em texto

Sum�ario
1 Lista 2 2
1.1 Integra�c~ao m�ultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Respostas 5
2.1 Integra�c~ao m�ultipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Bibliogra�a 7
1
Cap��tulo 1
Lista 2
1.1 Integra�c~ao m�ultipla
1. Calcule as integrais (Sugest~ao: Esboce a regi~ao de integra�c~ao):
(a)
Z
2
1
Z
4
0
2xy dy dx
(b)
Z
3
0
Z
2
0
(4� y
2
) dy dx
(c)
Z
1
0
Z
1
0
y
1 + xy
dx dy
(d)
Z
ln(2)
1
Z
ln(5)
0
e
2x+y
dy dx
(e)
Z
2
�1
Z
�
2
0
ysen(x) dx dy
(f)
Z
0
�1
Z
1
�1
(x+ y + 1) dy dx
(g)
Z
�
0
Z
�
x
sen(y)
y
dy dx
(h)
Z
1
0
Z
1
y
x
2
e
xy
dx dy
(i)
Z
1
0
Z
4�2x
2
dy dx
2. Calcule a integral dupla
ZZ
R
f(x; y) dA em cada caso:
(a) f(x; y) = 6y
2
� 2x R : 0 � x � 1; 0 � y � 2
(b) f(x; y) = xycos(y) R : �1 � x � 1; 0 � y � �
2
1.1. INTEGRAC�
~
AO M
�
ULTIPLA 3
(c) f(x; y) = e
x�y
R : 0 � x � ln(2); 0 � y � ln(2)
(d) f(x; y) =
xy
3
x
2
+ 1
R : 0 � x � 1; 0 � y � 2
(e) f(x; y) =
x
y
; onde R �e a regi~ao delimitada pelas curvas y = x, y = 2x, x = 1, x = 2.
(f) f(x; y) = y �
p
x, onde R �e a regi~ao triangular cortada do primeiro quadrante do
plano xy pela reta x+ y = 1.
3. Encontre o volume da regi~ao delimitada superiormente pelo parabol�oide z = x
2
+ y
2
e
inferiormente pelo tria^ngulo delimitado pelas retas y = x, x = 0 e x+ y = 2 no plano xy.
4. Encontre o volume do s�olido cuja base seja a regi~ao do plano xy delimidata pela par�abola
y = 4�x
2
e pela reta y = 3x, enquanto o topo do s�olido �e delimitadi pelo plano z = x+4.
5. Mostre que a �area de uma circunfre^ncia de raio r �e dada por �r
2
.
6. Mostre que o volume de uma esfera de raio r �e dado por
4�r
3
3
.
7. Encontre o volume do s�olido no primeiro octante delimitado pelos planos coordenados,
pelo plano x = 3 e pelo cilindro parab�olico z = 4� y
2
.
8. Usando interais duplas, determine a �area das regi~oes:
(a) A curva y = e
x
e as retas y = 0, x = 0 e x = ln(2).
(b) Eixos coordenados e a reta x+ y = 2.
(c) As retas y = 2x, y =
x
2
, y = 3� x.
9. Resolva as integrais:
(a)
Z
1
�1
Z
p
1�x
2
0
dy dx
(b)
Z
2
0
Z
p
4�y
2
0
(x
2
+ y
2
) dx dy
(c)
Z
6
0
Z
y
0
x dx dy
(d)
Z
0
�1
Z
p
1�x
2
�
p
1�x
2
2
1 +
p
x
2
+ y
2
dy dx
(e)
Z
1
0
Z
p
2�x
2
x
(x+ 2y) dy dx
10. Calcule as integrais:
4 CAP
�
ITULO 1. LISTA 2
(a)
Z
1
0
Z
1
0
Z
1
0
(x
2
+ y
2
+ z
2
) dz dy dx
(b)
Z
e
1
Z
e
2
1
Z
e
3
1
1
xyz
dx dy dz
(c)
Z
�
6
0
Z
1
0
Z
3
�2
y sen(z) dx dy dz
(d)
Z
3
0
Z
p
9�x
2
0
Z
p
9�x
2
0
dz dy dx
(e)
Z
1
0
Z
2�x
0
Z
2�x�y
0
dz dy dx
(f)
Z
�
0
Z
�
0
Z
�
0
cos(x+ y + z) dx dy dz
Cap��tulo 2
Respostas
2.1 Integra�c~ao m�ultipla
1. (a) 24
(b) 16
(c) 2ln(2)� 1
(d)
3
2
(5� e)
(e)
3
2
(f) 1
(g) 2
(h)
e� 2
2
(i) ?????
2. (a) 14
(b) 0
(c)
1
2
(d) 2ln(2)
(e)
3
2
ln(2)
(f)
�1
10
3.
4
3
4.
625
12
5
6 CAP
�
ITULO 2. RESPOSTAS
5.
6.
7. 16
8. (a) 1
(b) 2
(c)
3
2
9. (a)
�
2
(b) 2�
(c) 36
(d) (1� ln(2))�
(e)
2(1 +
p
2)
3
10. (a) 1
(b) 6
(c)
5(2�
p
3)
4
(d) 18
(e)
7
6
(f) 0
Refere^ncias Bibliogr�a�cas
[1] Leithold, L. O c�alculo com geometria anal��tica - volume 2. Editora Harbra. Terceira
edi�c~ao, 1994.
[2] Thomas, G. B.; Weir, M. D.; Hass, J. C�alculo - volume 2. Editora Pearson. D�ecima
segunda edi�c~ao, 2012
7
	Lista 2
	Integração múltipla
	Respostas
	Integração múltipla
	Bibliografia