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Superposic¸a˜o Teorema de The´venin Norton Ma´xima Transfereˆncia de Poteˆncia Exemplos Exerc´ıcios
BAC006 - Eletricidade
Universidade Federal de Itajuba´
Campus Itabira
Aula 06
Teoremas de Ana´lise de Circuitos em Corrente
Cont´ınua
Prof. Caio Fernandes de Paula
caiofernandes@unifei.edu.br
2◦ Semestre de 2013
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Superposic¸a˜o Teorema de The´venin Norton Ma´xima Transfereˆncia de Poteˆncia Exemplos Exerc´ıcios
Teorema da Superposic¸a˜o
O teorema da superposic¸a˜o e´ uma das ferramentas mais u´teis e poderosas na
ana´lise de circuitos, tanto em corrente cont´ınua quanto em corrente alternada.
Sua utilidade e´ ta˜o grande que frequentemente aplicamos este teorema sem
perceber que os resultados so´ sa˜o va´lidos apenas por causa deste teorema;
Basicamente o teorema da superposic¸a˜o diz que, em um circuito linear, a
tensa˜o e a corrente em um determinado elemento e´ igual a` soma alge´brica de
todas as tenso˜es e correntes produzidas por cada fonte independente indivi-
dualmente;
Desta forma, analisamos o circuito sob a perspectiva de apenas uma fonte por
vez;
Dada uma determinada fonte de interesse, devemos zerar todas as outras
fontes independentes. Isto significa curto-circuitar todas as outras fontes de
tensa˜o independentes e abrir todas as outras fontes de corrente independentes;
Em aplicac¸o˜es pra´ticas, o termo “curto-circuitar” deve ser entendido como
substituir a fonte de tensa˜o por um curto-circuito, enquanto que o termo
“abrir” deve ser entendido como trocar as fontes de corrente por um circuito
aberto;
Analisado o circuito sob o ponto de vista de cada fonte separadamente, a
tensa˜o e a corrente em cada elemento e´ igual a` soma alge´brica de todas as
tenso˜es e correntes produzidas por cada fonte individualmente naquele ele-
mento.
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Superposic¸a˜o Teorema de The´venin Norton Ma´xima Transfereˆncia de Poteˆncia Exemplos Exerc´ıcios
Teorema da Superposic¸a˜o
E´ importante lembrar que, caso a fonte de tensa˜o ou a fonte de corrente
possua uma resisteˆncia interna Rint, os efeitos dessa resisteˆncia devem
aparecer no circuito ao se zerar a fonte;
O teorema da superposic¸a˜o na˜o se aplica para o ca´lculo da poteˆncia,
uma vez que a relac¸a˜o entre poteˆncia e tensa˜o, ou poteˆncia e corrente,
em um elemento na˜o e´ linear - e sim quadra´tica!
Entretanto, a poteˆncia pode ser facilmente obtida se a tensa˜o ou cor-
rente em algum elemento for calculada via teorema da superposic¸a˜o;
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Teorema de The´venin
O teorema de The´venin e´, sem du´vida, o teorema de maior importaˆncia
na ana´lise de circuitos ele´tricos. Muitas das aplicac¸o˜es diretas da ana´lise
de circuitos ele´tricos sa˜o baseadas neste teorema;
Basicamente o teorema de The´venin diz que qualquer circuito, por mais
complexo que seja, pode ser substitu´ıdo por uma fonte de tensa˜o Eth
em se´rie com uma uma resisteˆncia Rth:
Eth e´ chamada de Tensa˜o The´venin e e´ a tensa˜o medida nos terminais
A e B em aberto. Tambe´m conhecida como tensa˜o de circuito aberto
(Voc);
Rth e´ chamada de Resisteˆncia The´venin e e´ a resisteˆncia medida nos
terminais A e B quando todas as fontes independentes no circuito esta˜o
zeradas (fontes de tensa˜o em curto-circuito e fontes de corrente em
circuito-aberto) - note que se as fontes possuem resisteˆncias internas
elas devem aparecer no circuito; 4 / 15
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Teorema de Norton
O teorema de Norton e´ um teorema ana´logo ao de The´venin;
Basicamente o teorema de Norton diz que qualquer circuito, por mais
complexo que seja, pode ser substitu´ıdo por uma fonte de corrente IN
em paralelo com uma resisteˆncia RN :
IN e´ chamada de Corrente Norton e e´ a corrente medida entre os ter-
minais A e B em curto. Tambe´m conhecida como corrente de curto-
circuito (Isc);
RN e´ chamada de Resisteˆncia Norton e e´ a resisteˆncia medida nos ter-
minais A e B quando todas as fontes independentes no circuito esta˜o
zeradas (fontes de tensa˜o em curto-circuito e fontes de corrente em
circuito-aberto) - note que se as fontes possuem resisteˆncias internas
elas devem aparecer no circuito;
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Teorema de Norton
Observe que de acordo com o teorema da conversa˜o entre fontes, um
equivalente The´venin pode ser convertido em um equivalente Norton e
vice-versa:
Rth = RN = R Eth = RIN R =
Eth
IN
=
Voc
Isc
.
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Teorema da Ma´xima Transfereˆncia de Poteˆncia
O teorema da Ma´xima Transfereˆncia de Poteˆncia esta´ relacionado com a
maximizac¸a˜o da poteˆncia fornecida por um circuito em particular a uma
determinada carga. Em geral, duas situac¸o˜es podem ser encontradas:
Dada um determinado circuito, qual deve ser o valor da carga
RL de forma que o circuito fornec¸a o ma´ximo de poteˆncia a esta
carga?
Dada uma determinada carga RL, qual deve ser as condic¸o˜es do
circuito (em especial, das fontes de alimentac¸a˜o) para que a carga
receba o ma´ximo de poteˆncia?
Inicialmente, considere que temos um circuito complexo linear que esta´
alimentando uma carga RL:
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Teorema da Ma´xima Transfereˆncia de Poteˆncia
Vamos substituir o circuito linear que alimenta a carga pelo seu equi-
valente The´venin:
A corrente na carga RL e´ dada por:
IL =
Eth
Rth +RL
;
Portanto, a poteˆncia na carga e´ dada por:
PL = RLIL
2 = RL
[
Eth
2
(Rth +RL)
2
]
;
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Teorema da Ma´xima Transfereˆncia de Poteˆncia
Uma vez que Eth e Rth sa˜o fixos, temos uma func¸a˜o que consiste da
poteˆncia na carga PL em func¸a˜o da resisteˆncia de carga RL, ou seja,
PL = f(RL). Se pudeˆssemos plotar um gra´fico desta func¸a˜o, ver´ıamos
que ela possui um ponto de ma´ximo. De acordo com a teoria de Ca´lculo,
esse ponto pode ser calculado derivando-se a func¸a˜o e igualando-a a
zero:
dPL
dRL
= 0 ;
Resolvendo-se a equac¸a˜o acima, chega-se a conclusa˜o que o ponto de
ma´ximo e´ dado por:
RL = Rth ;
Em outras palavras, a poteˆncia ma´xima que o circuito fornece a carga
ocorre quando o valor da carga e´ igual a resisteˆncia The´venin do circuito!
Com isso, a poteˆncia ma´xima que o circuito pode transferir a` carga e´:
Pmax =
Eth
2
4Rth
.
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Teorema da Ma´xima Transfereˆncia de Poteˆncia
O rendimento (ou eficieˆncia operacional) e´ definido como a parcela da
poteˆncia fornecida pela fonte que efetivamente chega a` carga, ou seja:
η =
PL
PS
× 100% ;
Toda poteˆncia que a fonte fornece que na˜o chega a carga e´ “perdida”
na resisteˆncia The´venin;
Em qualquer condic¸a˜o:
η =
RLIL
2
EthIL
=
RLIL
2
(Rth +RL)IL
2 =
RL
Rth +RL
× 100%
Nas condic¸o˜es de ma´xima transfereˆncia de poteˆncia:
η =
Rth
2Rth
= 50%
O rendimento aumenta conforme a resisteˆncia de carga RL aumenta em
relac¸a˜o a` resisteˆncia The´venin Rth, no entanto em valores absolutos a
poteˆncia que e´ entregue a carga so´ e´ ma´xima quando RL = Rth.
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Exemplos
Exemplo 6.1
No circuito da figura abaixo, aplique o teorema da superposic¸a˜o para calcular
a tensa˜o Vx e a corrente Iy.
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Exemplos
Exemplo 6.2
Calcule o equivalente The´venin dos terminais a e b do circuito da figura
abaixo.
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Exemplos
Exemplo 6.3
Calcule o equivalente Norton dos terminais a e b do circuito da figura abaixo.
Confirme o resultado calculando o equivalente The´venin e fazendo a conversa˜o
entre as fontes.
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Exemplos
Exemplo 6.4
Dado o circuito da figura abaixo:
(a) Determine o valor de RL para que ocorra a ma´xima transfereˆncia de
poteˆncia;
(b) Calcule a ma´xima poteˆncia que pode ser transferida a` carga;
(c) Determine RL para que o rendimento seja de 75%;
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Boylestad 12a Edic¸a˜o
Cap´ıtulo 9: 3, 4, 7, 10, 15, 16, 24, 26, 27, 31, 34, 37.
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	Superposição
	Teorema de Thévenin
	Norton
	Máxima Transferência de Potência
	Exemplos