Segundo estágio (Provas e exercicios)-Algebra Linear UFCG

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Segundo Est�gio/2� Lista Linear.pdf
Universidade Federal da Campina Grande
Departamento de Engenharia Ele´trica
A´lgebra Linear
Prof. Edmar Candeia Gurja˜o
Segunda Lista de Exerc´ıcios
Data: 02/08/2016
Problema 1 Determine quais dos seguintes conjuntos de vetores sa˜o linearmente depen-
dentes ou independentes:
a) {(1, 0, 1), (0, 1, 3)} ∈ R3;
b) {x2 + 3x− 1, 2x2 − x, x2 − 4x+ 1} ∈ P2
c) {
(
1 2 3
2 0 −1
)
,
(
0 1 −2
1 1 0
)
, {
(
2 1 0
−2 1 1
)
, {
(
1 2 3
2 0 −1
)
}.
a) a(1, 0, 1) + b(0, 1, 3) = (0, 0, 0) e (a, b, a + 3b) = (0, 0, 0), logo a = b = 0 e´ a u´nica
soluc¸a˜o, portanto os vetores sa˜o L.I.
b) a(x2+3x−1)+b(2x2−x)+c(x2−4x+1) = 0 e (a+2b+c)x2+(3z−b−4c)x−(a+c) = 0
obtemos
 1 2 1 03 −1 −4 0
−1 0 1 0
 escalonando
 1 2 1 00 −7 7 0
0 0 0 0
 e como pa = pc = n o
sistema tem infinitas soluc¸o˜es, e assim os vetores sa˜o L.D.
c) Ha´ vetores repetidos, logo o conjunto e´ L.D.
Problema 2 Determine se os conjuntos W abaixo sa˜o subespac¸os vetoriais do espac¸o
vetorial V dado, onde V e´ considerado com suas operac¸o˜es usuais.
a) V = R3 e W = {(x, y, z) ∈ R3|x = 3y, z = −y};
b) V = M2×2 e W = {A ∈M2×2|A e´ matriz sime´trica};
Problema 3 Determine se cada um dos conjunto abaixo e´ um espac¸o vetorial.
a) V = R2 com operac¸o˜es (a, b) + (c, d) = (a− c, b− d) e k(a, b) = (ka, kb).
b) V = M2×2 com operac¸o˜es A + B = A.B, A e B ∈ M2×2 e kA a multiplicac¸a˜o de
matriz por um escalar.
Problema 4 Seja V um o conjunto de pontos {(x, y)|x, y ∈ R}, com as operac¸o˜es
(x, y) + (z, w) = (x+ z, y + w);
e
k(x, y) = (kx, yk).
Determine se V e´ um espac¸o vetorial.
1
Problema 5 Determine se cada um dos conjuntos abaixo e´ uma base para P2(R) (con-
junto de polinoˆmios de grau menor ou igual a 2).
a) A = {1 + t, t+ t2};
b) B = {1,−1 + t, 1− 2t+ t2}.
Problema 6 (2,0 pontos) Sejam os vetores do tipo {(a − 2b + 5c, 2a + 5b − 8c,−a −
4b+ 7c, 3a+ b+ c)}.
a) Mostre que esses vetores formam um subespac¸o de R4.
b) Encontre uma base para esse subespac¸o.
Subespac¸o
Problema 7 seja A uma matriz m× n e seja W = {v ∈ Rn tal que Av = λv}. Mostre
que W e´ um subespac¸o de Rn.
Problema 8 Determine se cada um dos conjuntos abaixo e´ espac¸o vetorial.
a) O conjunto A = {(x, y) : x, y ∈ R} com (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e k(a, b) =
(k2a, k2b).
b) O conjunto B = {(x, y) : x, y ∈ R} com (a, b) + (c, d) = (a, d) e k(a, b) = (ka, kb).
a) Na˜o e´ espac¸o, pois (α + β)(a, b) 6= α(a, b+ +β(a, b)
b) Na˜o e´ espac¸o, pois (a, b) + (c, d) 6= (c, d) + (a, b).
Problema 9 Seja V o conjunto de todos os pares (a, b), a, b ∈ R, com adic¸a˜o e multi-
plicac¸a˜o por escalar definidos por
(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) e k(a, b) = (ka, 0).
Esse conjunto e´ um espac¸o vetorial?
Problema 10 Seja V o conjunto de todos os pares (a, b), a, b ∈ R, com adic¸a˜o e multi-
plicac¸a˜o por escalar definidos por
(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) e k(a, b) = (ka, 0).
Esse conjunto e´ um espac¸o vetorial?
Problema 11 Determine se cada um dos conjuntos abaixo sa˜o subespac¸os vetoriais:
a) R+ = {x ∈ R, x > 0} ⊂ R com as operac¸o˜es x+ y = xy e λx = xλ.
b) W = {(a, b, c)|ab = 0} com operac¸o˜es de soma de vetores e multiplicac¸a˜o por escalar
usuais.
a) Falha em (α + β)a 6= αa+ βa, logo na˜o e´ uma subespac¸o vetorial.
2
b) Falha em u + v 6= v + u, logo na˜o e´ um subespac¸o vetorial.
Problema 12 Determine se o vetor b e´ um combinac¸a˜o linear dos vetores a1 = (2,−3, 4, 1),
a2 = (1, 6,−1, 2) e a3 = (−1,−1, 2, 3) e b = (3,−17, 17, 7). Caso b seja uma combinac¸a˜o
linear de a1, a2 e a3, expresse b como uma combinac¸a˜o linear de a1, a2 e a3.
Problema 13 Para quais valores de h o conjunto de vetores V = {(1, 4,−2), (−3,−7,−2), (−3, 3, h)}:]
e´ linearmente independente?
Problema 14 Determine se os conjuntos abaixo sa˜o subespac¸os de R3
a) W1 = {(a, b, c)|a = 2b}
b) W2 = {(a, b, c)|a ≤ b ≤ c}
c) W3 = {(a, b, c)|ab = 0}
d) W4 = {(a, b, c)|a = b = c}
Problema 15 O conjunto {(1 − t)3, (1 − t)2, 1 − t, 1} e´ uma base para o espac¸o dos
polinoˆmios de grau ≤ 3?
Primeiro, vamos testar se os vetores sa˜o LI a(1 − t)3 + b(1 − t(2+c(1 − t) + d = 0 ou
−at3 + (3a − b)t2 + (−3a − 2b − c)t + (b + c + d) = 0, e resolvendo o sistema chegamos
a a = b = c = d = 0, logo os vetores sa˜o LI. E como Dim(P3) = 4, e o conjunto tem 4
vetores, formam uma base.
Problema 16 Seja Ms o subespac¸o das matrizes 2 × 2, que consiste das sime´tricas.
Determine uma base e a dimensa˜o desse subespac¸o.
Problema 17 Seja um espac¸o vetorial W , com dim(W ) = n, e o conjunto de vetores
de W S = {u,v, 2u, 2v, 3u, 3v, ..., nu, nv}, responda:
1. O conjunto S pode ser uma base para o espac¸o W?
2. Caso n = 4, o que devemos considerar sobre os vetores de S e quais as modificac¸o˜es
(remoc¸o˜es, inserc¸o˜es) devem ser feitas para obter uma base para W?
Problema 18 Dada a matriz de mudanc¸a de base [I]BA =
 1 0 10 1 1
1 1 1
 determine:
a) [v]A, sabendo que [v]B =
 12
3

b) A base B sabendo que A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1)}.
Problema 19 Determine se cada um dos conjuntos abaixo e´ um subespac¸o vetorial do
R3.
3
a) W = {(a, b, 0) : a, b ∈ R};
b) W1 = {(a, b, c) : a+ b+ c = 0}.
Problema 20 Considere os vetores u = (1,−3, 2) e v = (2,−1, 1) em R3.
a) O conjunto formado pelos vetores {(1, 7, 4),u,v} e´ L.I. ou L.D.? Prove sua res-
posta.
b) O conjunto formado pelos vetores {(2,−5, 4),u,v} e´ L.I. ou L.D.? Prove sua res-
posta.
c) Para que valor de k o conjunto {(1, k, 5),u,v} e´ L.D.?
Problema 21 Seja V o espac¸o de todas as matrizes 2 × 2 e w o subespac¸o gerado por[
1 −5
−4 2
]
,
[
1 1
−1 5
]
,
[
2 −4
−5 7
]
e
[
1 −7
−5 1
]
. Encontre uma base e a dimensa˜o
de W .
Problema 22 Sejam as bases do R3: {e1,= (1, 1, 1), e2 = (0, 2, 3) e3 = (0, 2, 1)} e
{f1,= (1, 1, 0), f2 = (1,−1, 0) f3 = (0, 0, 1)}
a) Dado o vetor v = (3, 5,−2) determine [v]e e [v]f
b) Determine [I]ef .
c) Como voceˆ pode verificar se a matriz do item anterior esta´ correta?
Problema 23 Determine se cada um dos conjuntos abaixo, com as respectivas operac¸o˜es
e´ um espac¸o vetorial
a) {(x, y) | x = 2y, x, y ∈ R} e as operac¸o˜es de soma e multiplicac¸a˜o por escalar
usuais.
b) {(x, y) | x, y ∈ R} com as operac¸o˜es (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e
k(x, y) = (x, ky).
Problema 24 Sejam {v1,v2, ...,vn} vetores LI e w ∈ W = [v1,v2, ...,vn]. Prove que:
a) {w,v1,v2, ...,vn} e´ LD,
b) {v2, ...,vn} e´ LI, e
c) [v2, ...,vn] 6= W .
Problema 25 W e´ um subespac¸o vetorial de dimensa˜o 4, os vetores (1, 0, 3, 4), (3, 0, 7, 9),
(2, 0, 6, 8) e (4, 0, 10, 13) pertencem a W , determine uma base para W .
Problema 26 Determine os coeficientes dos vetores abaixo com relac¸a˜o as bases apre-
sentadas e as respectivas matrizes de transformac¸a˜o dessa base para a base canoˆnica.
a) v = x3 − x, base B = {x3 + 2x, 4x3 − x2 + x+ 3, x3 + x− 1, x3 + x}
4
b) w = (1, 1, 1, 1), base β = {(0, 3, 1, 0), (1, 1,−1, 1), (0, 1, 0, 0), (2, 4− 1, 1)}.
Problema 27 Em um espac¸o vetorial de dimensa˜o n, dado β = {v1,v2, ...,vp} que
pertence a esse espac¸o, justifique as seguintes afirmativas:
a) Se p > n, enta˜o β na˜o e´ LI.
b) Se p < n, enta˜o β na˜o gerador do espac¸o.
c) Se p = n, enta˜o β e´ gerador do espac¸o se e so´ se´ LI.
Problema 28 Se B = {u,v,w} e´ base de um espac¸o vetorial V , verifique se C =
{u + v + w,v − 3w,u + 2v −w} tambe´m e´ base de V .
Problema 29 Dado um espac¸o vetorial de dimensa˜o n e um conjunto de vetores β com
p elementos. Quais as condic¸o˜es para que esse conjunto seja uma base para o espac¸o?
Problema
30 Determine se cada um dos conjuntos abaixo define um espac¸o vetorial. a)
V =
{[
a b
0 a+ b
]
|a, b ∈ R
}
b) W =
{[
a 0
0 1
]
|a ∈ R
}
ambos com adic¸a˜o de matrizes
e multiplicac¸a˜o por um escalar padra˜o.
Problema 31 Determine se o conjunto V de todas as func¸o˜es de polinoˆmios quadra´ticos
f(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0 com adic¸a˜o de func¸o˜es e multiplicac¸a˜o por um escalar padra˜o
e´ um espac¸o vetorial.
Exerc´ıcio 1, pp. 168. Thomas S. Shores
Problema 32 (1,0 ponto) Determine se o conjunto W = {(a, b, a− b+ 1)|a, b ∈ R} e´
um subespac¸o vetorial de V = R3.
Problema 33 Determine se o conjunto S = {(a, 0, a − b)|a, b ∈ R} e´ um subespac¸o
vetorial de V = R3.
Exerc´ıcio 3, pp. 168. Thomas S. Shores
Problema 34 Determine se o conjunto V =
{[
a b 0
b a 0
]
|a, b ∈ R
}
e´ um subespac¸o
vetorial de M2×3.
Problema 35 Quais dos seguintes conjuntos de vetores sa˜o LI em V = R4 ? a)

1
−1
0
1
,

−2
2
1
1
 b)

1
1
0
0
,

1
0
1
0
,

1
0
0
1
,

−1
1
−2
0
 c)

0
1
−1
2
,

0
1
3
4
,

0
2
2
6
 b)

1
1
1
1
,

0
2
0
0
,

0
2
1
1

5
Problema 36 Encontre as coordenadas de v com respeito a`s seguintes bases:
a) v =
[
1
−1
]
, base
[
2
1
]
,
[
2
−1
]
de R2
b) v = 2 + x2, base 1 + x, x+ x2, 1− x de P2
c) v =
[
a b
b c
]
, base
[
0 1
1 0
]
,
[
1 0
0 0
]
,
[
0 0
0 1
]
de M2×2
Problema 37 Para quais valores de k o conjunto de vetores (1, 1, k), (2, k, 4) e (3k +
1, 3,−4) em R3 e´ LI?
Problema 38 Assuma que S = {v1,v2, ...,vk} ⊆ V , sendo V um espac¸o vetorial de
dimensa˜o n. Diga se as seguintes afirmativas sa˜o verdadeiras ou falsas, e justifique as
suas respostas.
1. Se S e´ uma base de V enta˜o k = n.
2. Se S e´ LI enta˜o k ≤ n.
3. Se S e´ LI e k = n enta˜o S e´ uma base de V .
Problema 39 Considere as bases B = {e1, e2, e3} e C = {g1,g2,g3} de R3 assim rela-
cionadas:
g1 = e1 − e2 − e3
g2 = 2e2 + 3e3
g3 = 3e1 + e3
(1)
1. Determinar as matrizes de mudanc¸a de base de B para C e de C para B.
2. Se um vetor u de R3 apresentar as coordenadas 1, 2 e 3 em relac¸a˜o a base B, quais
as suas coordenadas em relac¸a˜o a C?
Problema 40 Mostre que o subconjunto de vetores {(0, 2, 2), (0, 4, 1)} e´ uma base do
subespac¸o vetorial de R3 U = {(x, y, z) ∈ R3|x = 0}.
Problema 41 Seja W um subespac¸o de R4 gerado pelos vetores (1,−2, 5, 3), (2, 3, 1,−4),
e ,(3, 8,−3,−5).
1. Encontre a base e a dimensa˜o de W .
2. Estenda a base de W para que ela se torne a base de R4.
Problema 42 Suponha que v, u e w formam um conjunto de vetores LI. Mostre que
1. u + v − 2w, u− v −w sa˜o LI.
2. u + v − 3w, u + 3v e v = w sa˜o LD.
6
Problema 43 Determinar se cada um dos seguintes conjuntos e´ um espac¸o vetorial:
a) Conjnto V consistindo de todos os polinoˆmios quadra´ticos f(x) = ax2 + bx+ c com
a 6= 0 e adic¸a˜o de func¸o˜es e multiplicac¸a˜o por um escalar padro˜es.
b) O conjunto Sn do todas as matrizes n × n sime´tricas com a adic¸a˜o de matrizes e
multiplicac¸a˜o por um escalar padro˜es.
Problema 44 Quais dos seguintes subconjuntos sa˜o subespac¸os vetoriais de R3?
a) W1 = {(x, y, z)| x, y, z positivos}.
b) W2 = {(x, y, z)| x2 − y = 0}.
Problema 45 Prove que uma lista de vetores v1,v2, ...,vn com vetores repetidos e´ line-
armente dependente
Problema 46 Determine quais dos conjuntos vetores abaixo sa˜o linearmente indepen-
dentes ou linearmente dependentes.
a) A =
[
1 −2 3
2 4 −1
]
, B =
[
1 −2 4
4 5 −2
]
e D =
[
3 −8 7
2 10 −1
]
,
b) u = t3 − 4t2 + 2t+ 3, v = t3 + 2t2 + 4t− 1 e w = 2t3 − t2 − 3t+ 5.
Problema 47 Seja W o espac¸o gerado pelos polinoˆmios: v1 = t
3 − 2t2 + 4t + 1, v2 =
t3 + 6t − 5, v3 = 2t3 − 3t2 + 9t − 1 e v4 = 2t3 − 5t2 + 7t + 5. Encontre uma base e a
dimensa˜o de W .
Problema 48 Encontre o nu´cleo da transformac¸a˜o T : R3 → R3 sendo
T (x1, x2, x3) =
 x1 − 2x2 + x3x1 + x2 + x3
2x1 − x2 + 2x3
 .
7
Segundo Est�gio/2aListaExercicios.pdf
Universidade Federal da Campina Grande
Departamento de Engenharia Ele´trica
A´lgebra Linear
Prof. Edmar Candeia Gurja˜o
2a Lista de Exerc´ıcios
Data: 20/05/2015
Problema 1 Determine se cada um dos conjuntos abaixo e´ espac¸o vetorial.
a) O conjunto A = {(x, y) : x, y ∈ R} com (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e k(a, b) =
(k2a, k2b).
b) O conjunto B = {(x, y) : x, y ∈ R} com (a, b) + (c, d) = (a, d) e k(a, b) = (ka, kb).
Problema 2 (2,0 pontos) Seja V o conjunto de todos os pares (a, b), a, b ∈ R, com
adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar definidos por
(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) e k(a, b) = (ka, 0).
Esse conjunto e´ um espac¸o vetorial?
Problema 3 Determine se os conjuntos abaixo sa˜o subespac¸os de R3
a) W1 = {(a, b, c)|a = 2b}
b) W2 = {(a, b, c)|a ≤ b ≤ c}
c) W3 = {(a, b, c)|ab = 0}
d) W4 = {(a, b, c)|a = b = c}
Problema 4 O conjunto {(1 − t)3, (1 − t)2, 1 − t, 1} e´ uma base para o espac¸o dos po-
linoˆmios de grau ≤ 3?
Problema 5 Seja um espac¸o vetorial W , com dim(W ) = n, e o conjunto de vetores de
W S = {u,v, 2u, 2v, 3u, 3v, ..., nu, nv}, responda:
1. O conjunto S pode ser uma base para o espac¸o W?
2. Caso n = 4, o que devemos considerar sobre os vetores de S e quais as modificac¸o˜es
(remoc¸o˜es, inserc¸o˜es) devem ser feitas para obter uma base para W?
Problema 6 Dada a matriz de mudanc¸a de base [I]BA =
 1 0 10 1 1
1 1 1
 determine:
a) [v]A, sabendo que [v]B =
 12
3

1
b) A base B sabendo que A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1)}.
Problema 7 Determine se cada um dos conjuntos abaixo e´ um subespac¸o vetorial do R3.
a) W = {(a, b, 0) : a, b ∈ R};
b) W1 = {(a, b, c) : a+ b+ c = 0}.
Problema 8 (2,0 pontos) Considere os vetores u = (1,−3, 2) e v = (2,−1, 1) em R3.
a) O conjunto formado pelos vetores {(1, 7, 4),u,v} e´ L.I. ou L.D.? Prove sua res-
posta.
b) O conjunto formado pelos vetores {(2,−5, 4),u,v} e´ L.I. ou L.D.? Prove sua res-
posta.
c) Para que valor de k o conjunto {(1, k, 5),u,v} e´ L.D.?
Problema 9 Seja V o espac¸o de todas as matrizes 2 × 2 e w o subespac¸o gerado por[
1 −5
−4 2
]
,
[
1 1
−1 5
]
,
[
2 −4
−5 7
]
e
[
1 −7
−5 1
]
. Encontre uma base e a dimensa˜o
de W .
Problema 10 Sejam as bases do R3: {e1,= (1, 1, 1), e2 = (0, 2, 3) e3 = (0, 2, 1)} e
{f1,= (1, 1, 0), f2 = (1,−1, 0) f3 = (0, 0, 1)}
a) Dado o vetor v = (3, 5,−2) determine [v]e e [v]f
b) Determine [I]ef .
c) Como voceˆ pode verificar se a matriz do item anterior esta´ correta?
Problema 11 Determine se cada um dos conjuntos abaixo, com as respectivas operac¸o˜es
e´ um espac¸o vetorial
a) {(x, y) | x = 2y, x, y ∈ R} e as operac¸o˜es de soma e multiplicac¸a˜o por escalar
usuais.
b) {(x, y) | x, y ∈ R} com as operac¸o˜es (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e
k(x, y) = (x, ky).
Cabral, pp. 87 Prob 3.12 Vetores LI e LD
Problema 12 Sejam {v1,v2, ...,vn} vetores LI e w ∈ W = [v1,v2, ...,vn]. Prove que:
a) {w,v1,v2, ...,vn} e´ LD,
b) {v2, ...,vn} e´ LI, e
c) [v2, ...,vn] 6= W .
2
Problema 13 Verifique se W = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x− 2z = 0 e y = t} e´ um subespac¸o
vetorial de R4.
Problema 14 W e´ um subespac¸o vetorial de dimensa˜o 4, os vetores (1, 0, 3, 4), (3, 0, 7, 9),
(2, 0, 6, 8) e (4, 0, 10, 13) pertencem a W , determine uma base para W .
Problema 15 Determine os coeficientes
dos vetores abaixo com relac¸a˜o as bases apre-
sentadas e as respectivas matrizes de transformac¸a˜o dessa base para a base canoˆnica.
a) v = x3 − x, base B = {x3 + 2x, 4x3 − x2 + x+ 3, x3 + x− 1, x3 + x}
b) w = (1, 1, 1, 1), base β = {(0, 3, 1, 0), (1, 1,−1, 1), (0, 1, 0, 0), (2, 4− 1, 1)}.
Problema 16 Em um espac¸o vetorial de dimensa˜o n, dado β = {v1,v2, ...,vp} que
pertence a esse espac¸o, justifique as seguintes afirmativas:
a) Se p > n, enta˜o β na˜o e´ LI.
b) Se p < n, enta˜o β na˜o gerador do espac¸o.
c) Se p = n, enta˜o β e´ gerador do espac¸o se e so´ se´ LI.
Retirado de prova do 2o esta´gio per´ıodo 10.2
Problema 17 (2,0 pontos) Se B = {u,v,w} e´ base de um espac¸o vetorial V , verifique
se C = {u + v + w,v − 3w,u + 2v −w} tambe´m e´ base de V .
Problema 18 Dado um espac¸o vetorial de dimensa˜o n e um conjunto de vetores β com
p elementos. Quais as condic¸o˜es para que esse conjunto seja uma base para o espac¸o?
Problema 19 Determine se cada um dos conjuntos abaixo define um espac¸o vetorial. a)
V =
{[
a b
0 a+ b
]
|a, b ∈ R
}
b) W =
{[
a 0
0 1
]
|a ∈ R
}
ambos com adic¸a˜o de matrizes
e multiplicac¸a˜o por um escalar padra˜o.
Problema 20 Determine se o conjunto V de todas as func¸o˜es de polinoˆmios quadra´ticos
f(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0 com adic¸a˜o de func¸o˜es e multiplicac¸a˜o por um escalar padra˜o
e´ um espac¸o vetorial.
Problema 21 Determine se o conjunto W = {(a, b, a− b+ 1)|a, b ∈ R} e´ um subespac¸o
vetorial de V = R3.
Problema 22 Determine se o conjunto S = {(a, 0, a − b)|a, b ∈ R} e´ um subespac¸o
vetorial de V = R3.
Exerc´ıcio 3, pp. 168. Thomas S. Shores
Problema 23 Determine se o conjunto V =
{[
a b 0
b a 0
]
|a, b ∈ R
}
e´ um subespac¸o
vetorial de M2×3.
3
Problema 24 Quais dos seguintes conjuntos de vetores sa˜o LI em V = R4 ? a)

1
−1
0
1
,

−2
2
1
1
 b)

1
1
0
0
,

1
0
1
0
,

1
0
0
1
,

−1
1
−2
0
 c)

0
1
−1
2
,

0
1
3
4
,

0
2
2
6
 b)

1
1
1
1
,

0
2
0
0
,

0
2
1
1

Problema 25 (2,0 pontos) Encontre as coordenadas de v com respeito a`s seguintes
bases:
a) v =
[
1
−1
]
, base
[
2
1
]
,
[
2
−1
]
de R2
b) v = 2 + x2, base 1 + x, x+ x2, 1− x de P2
c) v =
[
a b
b c
]
, base
[
0 1
1 0
]
,
[
1 0
0 0
]
,
[
0 0
0 1
]
de M2×2
Problema 26 Para quais valores de k o conjunto de vetores (1, 1, k), (2, k, 4) e (3k +
1, 3,−4) em R3 e´ LI?
Problema 27 Assuma que S = {v1,v2, ...,vk} ⊆ V , sendo V um espac¸o vetorial de
dimensa˜o n. Diga se as seguintes afirmativas sa˜o verdadeiras ou falsas, e justifique as
suas respostas.
1. Se S e´ uma base de V enta˜o k = n.
2. Se S e´ LI enta˜o k ≤ n.
3. Se S e´ LI e k = n enta˜o S e´ uma base de V .
Problema 28 Considere as bases B = {e1, e2, e3} e C = {g1,g2,g3} de R3 assim rela-
cionadas:
g1 = e1 − e2 − e3
g2 = 2e2 + 3e3
g3 = 3e1 + e3
(1)
1. Determinar as matrizes de mudanc¸a de base de B para C e de C para B.
2. Se um vetor u de R3 apresentar as coordenadas 1, 2 e 3 em relac¸a˜o a base B, quas
as suas coordenadas em relac¸a˜o a C?
4
Problema 29 Mostre que o subconjunto de vetores {(0, 2, 2), (0, 4, 1)} e´ uma base do
subespac¸o vetorial de R3 U = {(x, y, z) ∈ R3|x = 0}.
Problema 30 Seja W um subespac¸o de R4 gerado pelos vetores (1,−2, 5, 3), (2, 3, 1,−4),
e ,(3, 8,−3,−5).
1. Encontre a base e a dimensa˜o de W .
2. Estenda a base de W para que ela se torne a base de R4.
Problema 31 (2,0 pontos) Suponha que v, u e w formam um conjunto de vetores LI.
Mostre que
1. u + v − 2w, u− v −w sa˜o LI.
2. u + v − 3w, u + 3v e v = w sa˜o LD.
Problema 32 Determinar se cada um dos seguintes conjuntos e´ um espac¸o vetorial:
a) Conjnto V consistindo de todos os polinoˆmios quadra´ticos f(x) = ax2 + bx+ c com
a 6= 0 e adic¸a˜o de func¸o˜es e multiplicac¸a˜o por um escalar padro˜es.
b) O conjunto Sn do todas as matrizes n × n sime´tricas com a adic¸a˜o de matrizes e
multiplicac¸a˜o por um escalar padro˜es.
Problema 33 Quais dos seguintes subconjuntos sa˜o subespac¸os vetoriais de R3?
a) W1 = {(x, y, z)| x, y, z positivos}.
b) W2 = {(x, y, z)| x2 − y = 0}.
Problema 34 Prove que uma lista de vetores v1,v2, ...,vn com vetores repetidos e´ line-
armente dependente
Problema 35 Determine quais dos conjuntos vetores abaixo sa˜o linearmente indepen-
dentes ou linearmente dependentes.
a) A =
[
1 −2 3
2 4 −1
]
, B =
[
1 −2 4
4 5 −2
]
e D =
[
3 −8 7
2 10 −1
]
,
b) u = t3 − 4t2 + 2t+ 3, v = t3 + 2t2 + 4t− 1 e w = 2t3 − t2 − 3t+ 5.
Exerc´ıcio 5.23, p. 103. Colec¸a˜o Schaum.
Problema 36 Seja W o espac¸o gerado pelos polinoˆmios: v1 = t
3 − 2t2 + 4t + 1, v2 =
t3 + 6t − 5, v3 = 2t3 − 3t2 + 9t − 1 e v4 = 2t3 − 5t2 + 7t + 5. Encontre uma base e a
dimensa˜o de W .
5
Segundo Est�gio/2� Estagio - 2015.1.pdf
Segundo Est�gio/Exerc�cios - Espa�o Vetorial, Subespa�o Vetorial, Transforma��es Lineares.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
UNIDADE ACADEˆMICA DE MATEMA´TICA
Disciplina: A´lgebra Linear
Segunda Lista de Exerc´ıcios
1 - Determine se os subconjuntos abaixo sa˜o subespac¸os vetoriais de R3:
a) S = {(x, y, z) ∈ R3; x = 4y e z = 0}
b) S = {(x, yz) ∈ R3;x+ y + z = 0}
c) S = {(x, y, z) ∈ R3; y = x+ 2}
d) S = {(x, y, z) ∈ R3; x = z2}
e) S = {(x,−3x, 4x);x ∈ R}
2 - Determine quais dos subconuntos abaixos sa˜o subespac¸o vetorial de M(2, 2):
a) S =

a b
c d
; c = a+ b e d = 0

b) S =

 a a+ b
a− b b
; a, b ∈ R

c) S =

a 1
a b
; a, b ∈ R

3 - Considere u = (2,−3, 2) e v = (−1, 2, 4) vetores em R3.
a) Escreva o vetor w = (7,−11, 2) como combinac¸a˜o linear de u e v.
b) Para que valor de k o vetor (−8, 14, k) e´ combinac¸a˜o linear de u e v?
c) Determine o subespac¸o de R3 gerado por u e v.
1
4 - Seja P2 = {at2+bt+c; a, b, c ∈ R} o espac¸o vetorial dos polinoˆmios com grau menor
ou igual que 2. Considere p1 = t
2 − 2t+ 1, p2 = t+ 2 e p3 = 2t2 − t.
a) Escreva o vetor p = 5t2 − 5t+ 7 como combinac¸a˜o linear de p1, p2 e p3.
b) Escreva o vetor p = 5t2 − 5t+ 7 como combinac¸a˜o linear de p1 e p2.
c) Determine uma condic¸a˜o para a, b e c de modo que o vetor at2 + bt + c seja
combinac¸a˜o linear de p2 e p3.
d) E´ poss´ıvel escrever p1 como combinac¸a˜o linear de p2 e p3.
5 - Considere V = M(2, 2) o espac¸o vetorial das matrizes de ordem 2× 2 e os vetores
v1 =
1 0
1 1
, v2 =
−1 2
0 1
 e v3 =
0 −1
2 1
.
Escreva o vetor v =
1 8
0 5
 como combinac¸a˜o linear dos vetores v1, v2 e v3.
6 - Sejam v1 = (−1, 3, 1) e v2 = (1,−2, 4) vetores em R3.
a) Determine [v1, v2].
b) Para qual valor de k o vetor v = (5, k, 11) pertence a [v1, v2].
7 - Determine o subespac¸o de R3 gerado pelos seguintes vetores:
a) A = {(2,−1, 3)}
b) A = {(−1, 3, 2), (2,−2, 1)}
c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (−1, 1, 0)}
d) A = {(−1, 1, 0), (0, 1,−2), (−2, 3, 1)}
2
8 - Seja V = M(2, 2) o espac¸o das matrizes de ordem 2× 2. Determine o subespac¸o de
V gerado pelos vetores:
a) v1 =
−1 2
1 0
 e v2 =
 2 1
−1 −1

b) v1 =
−1 0
0 1
, v2 =
1 −1
0 0
 e v3 =
0 1
1 0

9 - Determine o subespac¸o de P3 = {a0 + a1t + a2t2 + a3t3; a0, a1, a2, a3 ∈ R} gerado
pelos vetores p1 = t
3 + 2t2 − t+ 3 e p2 = −2t3 − t2 + 3t+ 2.
10 - Classifique os subconjuntos abaixo como LI ou LD:
a) {(1, 3), (2, 6)}
b) {(2,−1), (3, 5)}
c) {(2,−1, 0), (−1, 3, 0), (3, 5, 0)}
d) {(2, 1, 3), (0, 0, 0), (1, 5, 2)}
e) {(1, 2,−1), (2, 4,−2), (1, 3, 0)}
f) {(1,−1,−2), (2, 1, 1), (−1, 0, 3)}
g) {(2, 1, 0, 0), (1, 0, 2, 1), (−1, 2, 0,−1)}
h) {(0, 1, 0,−1), (1, 1, 1, 1), (−1, 2, 0, 1), (1, 2, 1, 0)}
j) {(1,−1, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1,−1), (1, 2, 1,−2)}
k) {2 + x− x2,−4− x+ 4x2, x+ 2x2}
l) {1− x+ 2x2, x− x2, x2}
m)

−1 2 1
3 −2 4
,
 0 −1 2
−2 1 0
,
−1 0 5
−1 0 3

11 - Considere dois vetores (a, b) e (c, d) no plano. Se ad − bc = 0, mostre que eles sa˜o
LD. Se ad− bc 6= 0 mostre que eles sa˜o LI.
3
12 - Determine o valor de k para que o conjunto {(−1, 0, 2), (1, 1, 1), (k,−2, 0)} seja LI.
13 - Determine k para que o conjunto
1 0
1 0
,
1 1
0 0
,
2 −1
k 0

seja LD.
14 - Para quais valores de k o conjunto β = {(1, k), (k, 4)} e´ base de R2?
15 - Encontre uma base de R3 que conte´m os vetores u = (1, 2, 3) e v = (4, 1, 2).
16 - Seja U o subespac¸o de R4 gerado pelos vetores (1,−2, 5, 3), (2, 3, 1,−4) e (3, 8,−3,−5).
a) Encontre uma base e a dimensa˜o de U .
b) Estenda a base de U para uma base de R4.
17 - Mostre que o conjunto {2, 1− x, 1 + x2} e´ uma base de P2.
18 - Seja U o subespac¸o de R3 gerado por (1, 0, 0) e W o subespac¸o de R3 gerador por
(1, 1, 0) e (0, 1, 1). Mostre que R3 = U ⊕W .
19 - Sejam W1 = {(x, y, z, t) ∈ R4;x + y = 0 e z − t = 0} e W2 = {(x, y, z, t) ∈
R4;x− y − z + t = 0} subespac¸os de R4.
a) Determine W1 ∩W2.
b) Exiba uma base para W1 ∩W2.
c) Determine W1 +W2.
d) W1 +W2 e´ soma direta? Justifique.
e) W1 +W2 = R4?
4
20 - Determine a dimensa˜o e uma base para cada um dos seguintes espac¸os vetoriais:
a) {(x, y, z) ∈ R3, y = 5x e z = 0}
b) {(x, y) ∈ R2;x+ y = 0}
c) {(x, y, z) ∈ R3;x = 3y e z = −y}
d) {(x, y, z) ∈ R3; 2x− y + 3z = 0}
e)

a b
c d
; b = a+ c e d = c

f)

a b
c d
; b = a+ c

g)

a b
c d
; c = a− 3b e d = 0

21 - a) Dado o subespac¸o V1 = {(x, y, z) ∈ R3;x + 2y + z = 0} ache um subespac¸o V2
tal que R3 = V1 ⊕ V2.
b) Deˆ exemplos de dois subespac¸os de dimensa˜o dois de R3 tais que R3 = V1 ⊕ V2.
A soma e´ direta?
22 - Determine as coordenadas do vetor v = (6, 2) nas bases β = {(3, 0), (0, 2)} e α =
{(1, 2), (2, 1)}.
23 - Sejam β = {(1, 0), (0, 1)} e α = {(−1, 1), (1, 1)} bases de R2.
a) Encontre as matrizes [I]βα e [I]
α
β .
b) Quais sa˜o as coordenadas do vetor v = (3,−2) em relac¸a˜o a base α.
24 - Se [I]βα =

1 1 0
0 −1 1
1 0 −1
 encontre:
5
a) [v]α onde [v]β =

−1
2
3
 b) [v]β onde [v]α =

−1
2
3

25 - Verifique quais das seguintes func¸o˜es sa˜o lineares:
a) T : R2 −→ R2; T (x, y) = (x− 3y, 2x+ 5y)
b) T : R2 −→ R2; T (x, y) = (x+ 1, y)
c) T : R2 −→ R3; T (x, y) = (x− y, 3x,−2y)
d) T : R3 −→ R; T (x, y, z) = −3x+ 2y − z
e) T : R2 −→M(2, 2); T (x, y) =
2y 3x
−y x+ 2y

f) T : M(2, 2) −→ R2; T
a b
c d
 = (a− c, b+ c)
e) T : M(2, 2) −→ R; T
a b
c d
 = det
a b
c d

26 - a) Determine a transformac¸a˜o linear T : R2 −→ R3 tal que T (−1, 1) = (3, 2, 1) e
T (0, 1) = (1, 1, 0).
b) Encontre v ∈ R2 tal que T (v) = (−2, 1,−3).
27 - Seja T : R3 −→ R2 a transformac¸a˜o linear definida por T (1, 1, 1) = (1, 2), T (1, 1, 0) =
(2, 3) e T (1, 0, 0) = (3, 4).
a) Determine T (x, y, z).
b) Determine v ∈ R3 tal que T (v) = (−3,−2).
c) Determine v ∈ R3 tal que T (v) = (0, 0).
6
28 - Seja T a transformac¸a˜o linear T : P2 −→ P2 tal que T (1) = x, T (x) = 1 − x2 e
T (x2) = x+ 2x2.
29 - Para cada transformac¸a˜o linear determine o nu´cleo, uma base para o nu´cleo, a
imagem e uma base para a imagem.
a) T : R2 −→ R2; T (x, y) = (3x− y,−3x+ y)
b) T : R2 −→ R3; T (x, y) = (x+ y, x, 2y)
c) T : R3 −→ R2; T (x, y, z) = (x+ 2y − z, 2x− y + z)
d) T : R3 −→ R3; T (x, y, z) = (x− y − 2z,−x+ 2y + z, x− 3z)
e) T : R3 −→ R3; T (x, y, z) = (x− 3y, x− z, z − x)
f) T : P1 −→ R3; T (at+ b) = (a, 2a, a− b)
g) T : M(2, 2) −→ R2; T
a b
c d
 = (a− b, a+ b)
30 - Seja T : R2 −→ R3 a transformac¸a˜o linear tal que T (−2, 3) = (−1, 0, 1) e T (1,−2) =
(0,−1, 0).
a) Determine T (x, y, z).
b) Determine o nu´cleo e a imagem de T .
c) T e´ injetora? T e´ sobrejetora?
31 - Encontre uma transformac¸a˜o linear T : R3 −→ R3 cujo o nu´cleo e´ gerado por
(1, 2,−1) e (1,−1, 0).
32 - Encontre uma transformac¸a˜o linear T : R3 −→ R4 cuja a imagem e´ gerada por
(1, 3,−1, 2) e (2, 0, 1,−1).
33 - Determine a transformac¸a˜o linear T : R3 −→ R3 tal que N(T ) = [(0, 1, 1), (1,−1, 1)]
e T (1, 1, 0) = (1, 3,−1).
7
Segundo Est�gio/Prova 2 - Algebra Linear.jpg
Segundo Est�gio/Prova de 2� Est�gio - �lgebra linear.rar
Segundo Est�gio/Reposi��o 2�Est�gio - 2014.2.pdf
Segundo Est�gio/Reposi��o �lgebra linear - 2� est�gio (tarde).jpg