P1 2016.1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Instituto de Matemca
PRIMEIRA PROVA – CLCULO I
01/06/2016.
1a Questa˜o. (3 pontos). Encontre:
a) a e b de modo que f ′(1) exista se
f(x) =
{
ax2 + b se x ≤ 1
1
x2
se x > 1.
b) lim
x→0
(
1
x
− 1
tanx
)
.
c) a equac¸a˜o da reta tangente a curva xy = yx no ponto em que x = 1.
2a Questa˜o. (3,0 pontos). Considere a func¸a˜o definida por f(x) = e
x
1−x . Determine, caso
existam:
a) O domı´nio e as intersec¸o˜es do gra´fico de y = f(x) com os eixos coordenados.
b) As ass´ıntotas verticais e horizontais.
c) Os intervalos de crescimento e decrescimento.
d) Os ma´ximos e mı´nimos locais e/ou absolutos.
e) Os intervalos onde f(x) e´ coˆncava para cima, onde e´ coˆncava para baixo e os pontos
de inflexa˜o.
f) O esboc¸o do gra´fico.
3a Questa˜o. (2,0 pontos). Uma mulher de 1, 80m de altura caminha em direc¸a˜o a um
muro a uma velocidade de 4m/s. Diretamente atra´s dela a 40 metros do muro esta´ um
refletor 3m acima do n´ıvel do solo. Qua˜o ra´pido o comprimento da sombra da mulher
estara´ variando no muro quando ela estiver a meio caminho do muro? A sombra esta´
aumentando ou diminuindo?
4a Questa˜o. (1,5 pontos). Considere a func¸a˜o f(x) = x3 − x2 + x− 1.
a) Mostre que f(x) possui raiz real.
b) Mostre que esta raiz e´ u´nica.