Listas de cálculo 1 - UFPE

Física

•
UNIP

Wágner Duarte
04/06/2023
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Listas/2007.2 - lista 1.pdf
Departamento de Matemática - CCEN - UFPE
CÁLCULO I - ÁREA II- 2007/2
LISTA DE EXERCÍCIOS No. 1
1. Determine o limite caso exista.
1) lim
x→0
|3 + x| − |x| − 3
x
2) lim
x→0
[x]
|x|
3) lim
t→3
t2 − 9
t2 − t− 6 4) limx→−3
x2 + 5x + 6
x2 − x− 12
5) lim
y→−2
√
y2 − 4
y2 − 3y − 10 6) limx→0
(x + 1)
1
3 − 1
x
7) lim
x→0
[x] + [1− x] 8) lim
x→0
1−√1 + x
x
9) lim
x→1
f(x); f(x) =
{
x2 + 3 ;x ≤ 1
x + 2 ;x > 1
10) lim
x→8
√
2 + x1/3 − 2
x− 8
11) lim
x→1
[x]− 1
[−x] + 1 12) limx→+∞
3x2
9− x2
13) lim
x→+∞
x√
x2 + 4
14) lim
x→−∞
−2x√
x2 − 2
15) lim
x→−∞
(6− x3)1/3
2x
16) lim
x→+∞
|2x− 1|+ 1
|1− x|
17) lim
x→0
sin 4x
sin 8x
18) lim
x→0
1− cos 3x
x2
19) lim
x→π
2
sin cos x
cosx
20) lim
x→2
sin(4− x2)
x− 2
OBS: [.] = função maior inteiro.
2. Analise a continuidade das seguintes funções:
1)f(x) =



x− 3
|x− 3| ; x 6= 3
0 ;x = 3
2)f(x) =
{
x2 − 4 ;x ≤ 2
x ; x > 2
3)f(x) =



2x + 1 ;x ≤ 1
4− x ; 1 < x < 2
x = 1 ; 2 ≤ x
3. Determine constantes c e k para que a função f seja cont́ınua.
1)f(x) =



x2 − 1
x + 1
;x 6= −1
k ;x = −1
2)f(x) =
{
1 + kx ; x ≤ 2
kx2 − 3 ;x > 2
3)f(x) =



x + 2c ;x < −2
3cx + k ;−2 ≤ x ≤ 1
3c− 2k ; 1 < x
4. Usando a definição de limite mostre que:
1) lim
x→2
x3 = 8 2) lim
x→1
(x2 + 2x + 1) = 3
3) lim
x→2
√
x + 2 = 2 4) lim
x→1
1
x2 − 1 = +∞
5. Determine a derivada das seguintes funções:
1)f(x) = x3 − 2x2 + x− 5 2)f(x) = (x2 − x + 1)4
3)f(x) =
4
7x2 + 3x− 2 4)f(x) =
(
x + 1
x− 1
)2
5)f(x) =
2 + cosx
2− cosx 6)f(x) = x tan
2 2x
7)f(x) = cos
√
sin2 x + 1 8)f(x) =
x3 − 1
cosx
9)f(x) =
cosx
sinx + 1
10)f(x) =
[
sin(x2 +
√
x)− cos(x2 −√x)]4
11)f(x) = sin[sin(sinx)] 12)f(x) =
√√√
x
6. Seja f(x) = (ax + b) cos x + (cx + d) sinx. Determine as constantes a, b, c, d para que
f ′(x) = x cosx.
7. Determine a reta tangente e reta normal da função f no ponto dado:
1)f(x) = x2 + x− 1; (1, 1) e (0,−1) 2)f(x) = 2x + 1
x + 1
; (0, 1) e (1,
3
2
)
3)f(x) =
1
cosx + 1
; (0,
1
2
) e (
π
2
, 1)
8. Considere a função dada por f(x) = x3 + 2x2 − x− 2.
(a) Determine os pontos onde a reta tangente é horizontal.
(b) Ache a reta tangente e normal no ponto (0,−2).
(c) Ache as retas tangentes que são paralelas a reta y = −2x + 1.
(d) Determine os pontos tais que f(x) = 0 e calcule as derivadas nesses pontos. Usando
essa informação faça um esboço do gráfico da função f .
9. Em cada um dos casos determine a derivada impĺıcita:
1) x2 + y2 = 4 2)
1
x
+
1
y
= 2
3) cos(xy) + sin(xy) = 1 4) y2 + sin(y2 − 2y) = x
5)
x
y
+
y
x
= 1 6) (y + 1)2 + (y + 2)3 + (y + 3)4 = x
7)
√
x + y +
√
xy +
√
y
x
= sin x 8) x3y2 = x3 − y3
10. Considere a circunferência dada pela equação x2 + 2x + y2 + 2y = −1.
(a) Calcule y′.
(b) Determine a reta tangente nos pontos onde dita reta é paralela a y = −x.
Listas/2007.2 - lista 2.pdf
Departamento de Matemática - CCEN - UFPE
CÁLCULO I - ÁREA II
Lista de Exerćıcios No. 2
1. Use a derivação impĺıcita para calcular a derivada y′.
a) tan(x + y) =
x
1 + y2
b) sin(x + y) =
x
y2
c)
√
x + y = x sin y2 d)ex
2y2 = x + y2
2. Determine a reta tangente no ponto (1, 1) da curva dada pela equação x2 − xy2 =
y − 1.
3. Duas curvas C1 e C2 são ditas ortogonais no ponto (x0, y0) quando as retas tangentes
das curvas são ortogonais. Verifique que a elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 e a famı́lia de curvas
y = Cx
a2
b2 são ortogonais.
4. Ache a ecuação da tangente ao gráfico de f(x) = ln(tan 2x) no ponto x = π
8
.
5. Seja f uma função duas vezes diferenciável em R. Se g(x) = f(sin2 πx
2
) e f ′(1) = 1,
determine g′′(1).
6. Se x5 + y5 = 5xy, achar y′′.
7. Calcule y′ e y′′, onde y é definido implicitamente pela equação 2x2 + y2 = 2.
8. Calcule y′, y′′ e y′′′ para a curva definida por x2 − y2 = 1.
9. Determine f (n) se f(x) é definido por:
(a) f(x) = ex sin x.
(b) f(x) = sin2(2x).
(c) f(x) =
x
x− 1.
(d) f(x) =
1
x2 − 3x + 2.
(e) f(x) =
2x + 1
x(x + 1)
.
10. Determine f ′ e f ′′ se f(x) = xg(x2).
11. Suponha que F (x) = f(x)g(x). Mostre que
(a) F ′′ = f ′′ + 2f ′g′ + g′′.
(b) F ′′′ = f ′′′g + 3f ′′g′ + 3f ′g′′ + fg′′′.
(c) F (n) =
n∑
k=0
(
n
k
)
f (n−k)g(k), onde f (0) = f e g(0) = g.
12. Derive as seguintes funções:
a) y =
ln |x|
x3
b) y = xln x c) y = (ln x)cos x
d) y = ln | ln x| e) y = x 1x f) y = xex
g) y =
(ln x)x
xln x
h) y = (sin x)cos x + (cos x)sin x i) y = xe
x
j) y = xx
x
k)y = (arctan x)x k) y = xx
2(x+1)
13. Encontre os pontos cŕıticos da função:
a) f(x) = 2x3 − 2x2 − 16x + 1 b) f(x) = (x2 − 4)2/3
c) f(x) =
x
x2 − 4 d) f(x) = (x
3 − 3x2 + 4)1/3
14. Encontre as dimensões do cilindro circular reto de maior volume posśıvel que pode
ser inscrito numa esfera de raio 6 cm.
15. Dada a circunferência x2 + y2 = 9 encontre a menor e maior distancia do ponto
(4, 5) à circunferencia.
16. Um fabricante tem um lucro de R$ 20,00 por cada unidade se forem produzidos no
máximo 800 unidades. O lucro decresce 20 centavos por cada unidade que ultrapasse
800. Quantas unidades devem ser produzidas por semana para se obter o máximo
lucro.
17. Entre todos os retângulos com area 1. Qual tem o menor peŕımetro?
18. Encontre os pontos da parábola y = x2 mais próximos de (0,1).
19. Encontre as dimensões de um triângulo isósceles de maior área que pode ser inscrito
num ciculo de raio r.
20. Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
21. Mostre usando o teorema de Rolle que a equação x3 + 2x + c não pode ter mais que
uma raiz real.
22. Use o Teorema de Rolle para demonstrar que a equação 4x5 + 3x3 + 3x − 2 tem
exatamente uma raiz no itervalo (0, 1).
23. Achar os valores máximo e mı́nimo no intervalo.
a)f(x) = −x2 + 16, x ∈ [−1, 4] b)f(x) = x4 − 81x, x ∈ [−1, 1]
24. Achar os máximos e mı́nimos locais e absolutos das funções no intervalo [0, 2π].
a)f(x) = sin x + cos2 x b)f(x) = cos2 x
c)f(x) = tan x− 3x c)f(x) = 2 sec x− tan x
25. Determine o intervalo onde as funções são crescentes ou decrescentes
a)f(x) = −x3 + 12x + 1 b)f(x) = sin x + cos x
c)f(x) = x3 − 3x2 + 2 d)f(x) = x2e−x
26. Use a regra de L’Hôspital para calcular os limites.
a) lim
x→1
xn − 1
xm − 1 b) limx→0
e2x − 1
x
c) lim
x→0
ln senx
ln x
d) lim
x→+∞
ln x
x3
e) lim
x→+∞
x4 + 1
3x
f) lim
x→+∞
x sin(
1
x
)
g) lim
x→0+
x1/2 ln x h) lim
x→0+
xx
3
i) limx→0+ sin x ln x
27. Esboçar o gráfico das seguintes funções.
a)f(x) =
x2 − 4
(x− 2)2 b)f(x) =
2x
x + 4
c)f(x) =
x2√
x + 1
d)f(x) = sin x + cos x e)f(x) = x1/3
√
9− x2;−3 ≤ x ≤ 3 f)f(x) = x + 2 cos x
g)f(x) = x2 +
1
x− 1 h)f(x) =
x3 + 1
x2 − 1 i)f(x) =
x− 2
x + 2
28. Joga-se uma pedra num lago de águas tranqüilas formando-se ondas concêntricas.
Se o raio da região cresce a razão de 16 cm/seg, com que razão cresce a área da
região quando seu raio é de 4 cm?
29. Um carro viaja a uma velocidade de 15 m/seg em linha reta até um ponto de onde
se deve lançar um foguete. Quando o carro esta a 90m do lugar de lançamento o
foguete começa a subir e sua altura é dada por y = 4
25
t3m. Uma pessoa dentro do
carro esta fotografando o foguete. Com que rapidez muda o angulo de elevação da
câmera quando t = 5 seg?
Listas/2007.2 - lista 3.pdf
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CÁLCULO I - ÁREA II- 2007/2
Lista de Exerćıcios No. 3
1. Resolva as seguintes integrais indefinidas:
1)
∫
ln x
x3
dx 2)
∫
dx
1 +
√
x + 1
3)
∫
dx
cos2 x sinx
4)
∫
x2 arctanxdx
5)
∫
x3
x2 + 2x + 2
dx 6)
∫
cosxdx
cosx + sin x
7)
∫ 3√1 + lnx
x
dx 8)
∫
sec3(x− 2)dx
9)
∫
x arcsinxdx 10)
∫
sin(lnx)dx
11)
∫
x sec2 xdx 12)
∫
x lnx√
x2 − 4dx
2. Calcule as seguintes integrais definidas.
1)
∫ 5
1
√
x− 1dx 2)
∫ 0
−1/4
dx
1 + 2x
dx
3)
∫ π
0
(2x + 1) cos(2x)dx 4)
∫ 3
1
dx
x2(x2 + 1)
5)
∫ 3
2
√
x2 − 4
x4
dx 6)
∫ 5/3
2/3
dx
9x2 + 6x− 8
7)
∫ 4
3
dx
x3 + x2 − 6x 8)
∫ 0
−1
x + 2
x2 + 6x + 10
dx
3. Determine o valor de a)
∫ 2
−1
| |x| − 1|dx b)
∫ 1
−2
|x(x2 − 1)|dx.
4. Calcule
∫ 3
−3
f(x)dx se f(x) =



1 , x < 0
x + 1 , 0 ≤ x < 1
−2x + 4 , x ≥ 1
5. Determine os valores de b para que
∫ b
0
(x2 − 2x− 8)dx = −24.
6. Sabendo que
∫ 5
−1
f(x)dx = 10,
∫ 3
0
f(x)dx = 4 e
∫ 5
3
f(x)dx = −2, determine o valor de
∫ 0
−1
f(x)dx e
∫ 5
0
f(x)dx.
7. Determine a área da região limitada pelas curvas.
(a) y = x e y = x2 − 2x + 3.
(b) y = x2, y = 0 e y = −x + 4.
(c) x = 0, y = x2 e y = (x− 2)2.
(d) x = y2 e y = x.
(e) x = y3 − 3y e y = 4y − y2.
(f) y = |x| e y = cosx.
(g) y = | sinx| e y = 4
π2
x2.
8. Determine a área da região limitada pelos gráficos de
f(x) =



x + 2 , x < 0
2 , 0 ≤ x < 2
−2x + 6 , x ≥ 2
e g(x) =
{ −x , x < 2/5
2(x− 1)/3 , x ≥ 2/5
9. a) Determine a área da região limitada por y = sin(ax), y = cos(ax) e x = 0.
b) Que acontece quando a → +∞?
10. Definimos a integral imprópria
∫ +∞
a
f(x)dx pondo
∫ +∞
a
f(x)dx = lim
b→+∞
∫ b
a
f(x)dx.
Quando o limite existe dizemos que a integral imprópria é convergente. Caso contrário
dizemos que é divergente.
a) Calcule
∫ +∞
0
e−kxdx, k = constante. Para que valores de k a integral é divergente?
b) Que condição deve satisfazer k para que
∫ +∞
0
dx
(1 + x)k
seja convergente?
11. Determine o volume do Toro sólido z2 + (R−
√
x2 + y2)2 = r2 com R > r.
toro
12. Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela região limitada por y = −x(x−4), y =
2x em torno de (a) o eixo X, (b) o eixo Y , (c) a reta y = 4 e (d) a reta x = 2.
13. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas,
em torno dos eixos espicificados.
(a) x = 0, y = ex, x = 1 em torno de y = 0 e x = 0.
(b) x = y(2− y), x = 0 em torno dos eixos x = 0 e x = 4.
(c) x = y(1− y), y = x + 1 em torno de y = 1.
(d) y = x2, y = sin(π2 x) em torno de x = 0 e x = −1.
Listas/Lista 1 - solução.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN–DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Cálculo 1 - 1 a Lista de Exerćıcios - Soluções
Prof. César Castilho
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1 - Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→2
(
x2 − 4 x
)
= −4 .
b) lim
x→−1
(
x3 + 2 x2 − 3 x− 4
)
= 0 .
c) lim
x→1
(3 x− 1)2
(x + 1)3
=
1
2
.
d) lim
x→0
3x − 3−x
3x + 3−x
=
30 − 30
30 + 30
=
1− 1
1 + 1
= 0 .
e) 1
3
.
f) lim
x→2
x2 − 4
x2 − 5 x + 6 = limx→2
(x− 2) (x + 2)
(x− 2) (x + 3) = limx→2
(x + 2)
(x + 3)
=
4
5
.
g) lim
x→−1
x2 + 3 x + 2
x2 + 4 x + 3
= lim
x→−1
(x + 1) (x + 2)
(x + 1) (x + 3)
= lim
x→−1
(x + 2)
(x + 3)
=
1
2
h) lim
x→2
x− 2
x2 − 4 = limx→2
x− 2
(x− 2) (x + 2) = limx→2
1
(x + 2)
=
1
4
.
i) lim
x→2
x− 2√
x2 − 4 = limx→2
√
x− 2√x− 2√
x− 2√x + 2 = limx→2
√
x− 2√
x + 2
= 0 .
j) lim
x→2+
√
x− 2
x2 − 4 = limx→2+
√
x− 2√
x− 2√x− 2 (x + 2) = limx→2+
1√
x− 2 (x + 2) = +∞ .
k) lim
h→0
(x + h)3 − x3
h
= lim
h→0
x3 + 3 x2 h + 3 xh2 + h3 − x3
h
= lim
h→0
h (3 x2 + 3 xh + h2)
h
=
= lim
h→0
(3 x2 + 3 xh + h2) = 3 x2 .
l) lim
x→1
x− 1√
x2 + 3− 2 = limx→1
(x− 1)
(
√
x2 + 3− 2)
(
√
x2 + 3 + 2)
(
√
x2 + 3 + 2)
= lim
x→1
(x− 1) (√x2 + 3 + 2)
(x2 − 1) =
= lim
x→1
(
√
x2 + 3 + 2)
(x + 1)
= 2.
2 - Calcule os seguintes limites:
1) lim
x→3
x2 − 2 x
x + 1
=
3
4
2) lim
x→0
6 x− 9
x3 − 12 x + 3 = −3
3) lim
t→−2
t3 + 8
t + 2
= lim
t→−2
(t + 2) (t2 − 2 t + 4)
t + 2
= lim
t→−2
(t2 − 2 t + 4) = 12 .
4) lim
t→−1
t3 + t2 − 5 t + 3
t2 − 3 t + 2 =
4
3
.
5) lim
x→4
x2 − 16
x− 4 = limx→4
(x− 4) (x + 4)
x− 4 = 8 .
6) lim
x→2
x2 − 4 x + 4
x2 + x− 6 = limx→2
(x− 2)2
(x + 3) (x− 2) = limx→2
(x− 2)
(x + 3)
= 0 .
7)lim
t→1
t3 + t2 − 5 t + 3
t3 − 3 t + 2 = limt→1
(t− 1)2 (t + 3)
(t− 1)2 (t + 2) = limt→1
(t + 3)
(t + 2)
=
4
3
.
8) lim
x→3+
x
x− 3 = +∞ .
9) lim
x→1+
x4 − 1
x− 1 = limx→1+
(x− 1) (x3 + x2 + x + 1)
x− 1 = limx→1+(x
3 + x2 + x + 1) = 4 .
10) lim
y→6+
y + 6
y2 + 36
=
1
6
.
11) lim
x→4−
3− x
x2 − 2 x− 8 = limx→4−
3− x
(x− 4) (x + 2) = +∞ .
12) lim
x→4+
3− x
x2 − 2 x− 8 = limx→4+
3− x
(x− 4) (x + 2) = −∞ .
13) lim
x→3−
1
|x− 3| = limx→3−
1
−(x− 3) = limx→3−
1
3− x = +∞ .
14)lim
y→4
4− y
2−√y = limy→4
(2−√y) (2 +√y)
2−√y = limy→4(2 +
√
y) = 4 .
15)lim
x→0
√
x + 4− 2
x
= lim
x→0
(
√
x + 4− 2)
x
(
√
x + 4 + 2)
(
√
x + 4 + 2)
= lim
x→0
1
(
√
x + 4 + 2)
=
1
4
.
16)lim
x→0
√
x2 + 4− 2
x
= lim
x→0
(
√
x2 + 4− 2)
x
(
√
x2 + 4 + 2)
(
√
x2 + 4 + 2)
= lim
x→0
x
(
√
x2 + 4 + 2)
= 0 .
17) lim
x→0+
1
x
= +∞ .
18)lim
x→9
x− 9√
x− 3 = limx→9
(
√
x− 3) (√x + 3)√
x− 3 = limx→9(
√
x + 3) = 12 .
19) lim
x→0
(
1
x
− 1
x2
)
= lim
x→0
(
x− 1
x2
)
= −∞ .
20) lim
x→0+
(
1
x
− 1
x3
)
= lim
x→0+
(
x2 − 1
x3
)
= −∞ .
21) lim
x→π−
1
x− π = −∞ .
3- Calcule os seguintes limites:
1) lim
x→∞
3 x + 1
2 x− 5 = limx→∞
3 x
2 x
= lim
x→∞
3
2
=
3
2
.
2) lim
y→−∞
3
y + 4
= lim
y→−∞
3
y
= 0 .
3) lim
x→∞
1
x− 12 = limx→∞
1
x
= 0 .
4) lim
x→−∞
x− 2
x2 + 2 x + 1
= lim
x→−∞
x
x2
= lim
x→−∞
1
x
= 0 .
5) lim
x→−∞
√
3 x4 + x
x2 − 8 = limx→−∞
√
3 x4
x2
= lim
x→−∞
√
3 x2
x2
= lim
x→−∞
√
3 =
√
3 .
6) lim
x→∞
7− 6 x5
x + 3
= lim
x→∞
−6 x5
x
= lim
x→∞−6 x
4 = −∞ .
7) lim
x→∞
5 x2 + 7
3 x2 − x = limx→∞
5 x2
3 x2
= lim
x→∞
5
3
=
5
3
.
8) lim
y→∞
2− y√
7 + 6 y2
= lim
y→∞
−y√
6 y2
= lim
y→+∞
−y√
6 |y| = limy→+∞
−1√
6
= −1
6
.
9) lim
x→∞
6− t3
7 t3 − 3 = limx→∞
−t3
7 t3
= lim
x→∞
−1
7
= −1
7
.
4- Calcule os seguintes limites:
1) lim
x→∞ cos(
1
x
) = 1 .
2) lim
h→0
sin(h)
2 h
=
1
2
lim
h→0
sin(h)
h
=
1
2
.
3) lim
x→0
sin2(x)
3 x2
=
1
3
lim
x→0
(
sin(x)
x
sin(x)
x
)
=
1
3
lim
x→0
(
sin(x)
x
)
lim
x→0
(
sin(x)
x
)
=
1
3
.
4) lim
x→0
tan(7 x)
sin(3 x)
= lim
x→0
1
cos(7 x)
sin(7 x)
sin(3 x)
= lim
x→0
1
cos(7 x)
(
7 x
3 x
) (
sin(7 x)
7 x
) (
3 x
sin(3 x)
)
=
7
3
lim
x→0
1
cos(7 x)
lim
x→0
(
sin(7 x)
7 x
)
lim
x→0
(
3 x
sin(3 x)
)
=
7
3
.
5) lim
x→0+
sin(x)
1− cos(h) = limx→0+
sin(x)
1− cos(h)
(1 + cos(h))
(1 + cos(h))
= lim
x→0+
sin(x) (1 + cos(h))
1− cos2(h) =
= lim
x→0+
sin(x) (1 + cos(h))
sin2(h)
= lim
x→0+
(1 + cos(h))
sin(h)
= +∞ .
6) lim
x→∞ sin(
2
x
) = 0 .
7) lim
θ→0
sin(3 θ)
θ
= lim
θ→0
3
sin(3 θ)
3 θ
= 3 lim
θ→0
sin(3 θ)
3 θ
= 3 .
8) lim
x→0+
sin(x)
5
√
x
=
1
5
lim
x→0+
sin(x)√
x
√
x√
x
=
1
5
lim
x→0+
√
x
sin(x)
x
=
1
5
lim
x→0+
√
x lim
x→0+
sin(x)
x
= 0 .
9) lim
θ→0
sin2(θ)
θ
= lim
θ→0
sin(θ)
sin(θ)
θ
= lim
θ→0
sin(θ) lim
θ→0
sin(θ)
θ
= 0 .
10) lim
θ→0
θ
cos(θ)
= 0 .
11) lim
x→∞ sin(
π x
2− 3 x) = − sin(
π
3
) = −
√
3
2
12) lim
θ→0+
sin(θ)
θ2
= lim
θ→0+
1
θ
sin(θ)
θ
= +∞ .
13) lim
x→0
sin(6 x)
sin(8 x)
= lim
x→0
8 x
6 x
6 x
8 x
sin(6 x)
sin(8 x)
=
6
8
lim
x→0
(
8 x
sin(8 x)
)
lim
x→0
(
sin(6 x)
6 x
)
=
3
4
.
14) lim
h→0
h
tan(h)
= lim
h→0
cos(h)
h
sin(h)
= lim
h→0
cos(h) lim
h→0
h
sin(h)
= 1 .
15) lim
t→0
t2
1− cos2(t) = limt→0
t2
sin2(t)
= lim
t→0
t
sin(t)
t
sin(t)
= lim
t→0
t
sin(t)
lim
t→0
t
sin(t)
= 1 .
16) lim
x→0
x
cos(π
2
− x) = limx→0
x
cos(π/2) cos(x) + sin(π/2) sin(x)
= lim
x→0
x
sin(x)
= 1 .
17) lim
h→0
1− cos(5 h)
cos(7 h)− 1 = limh→0
1− cos(5 h)
cos(7 h)− 1
(
1 + cos(5 h)
1 + cos(5 h)
) (
cos(7 h) + 1
cos(7 h) + 1
)
= lim
h→0
1− cos2(5 h)
cos2(7 h)− 1
(
cos(7 h) + 1
1 + cos(5 h)
)
= lim
h→0
sin2(5 h)
sin2(7 h)
(
cos(7 h) + 1
1 + cos(5 h)
)
.
= lim
h→0
sin2(5 h)
sin2(7 h)
lim
h→0
(
cos(7 h) + 1
1 + cos(5 h)
)
=
(
lim
h→0
sin(5 h)
sin(7 h)
)2
× 1 =
(
5
7
)2
=
25
49
.
18) lim
x→0
x2 − 3 sin(x)
x
= lim
x→0
(x− 3 sin(x)
x
) = lim
x→0
x− 3 lim
x→0
sin(x)
x
= −3 .
19) lim
x→0+
cos(
1
x
) = Não existe.
20) lim
x→0
2 x + sin(x)
x
= lim
x→0
2 + lim
x→0
sin(x)
x
= 2 + 1 = 3 .
5- Determine se a função f é cont́ınua no ponto c:
a) f(x) =
x− 1
x + 1
c = −1 .
Como f(x) não está definida no ponto x = −1, f(x) não pode ser cont́ınua neste
ponto.
b) f(x) =
x− 1
x + 1
c = 3 .
Temos que lim
x→3+
f(x) =
1
2
, lim
x→3−
f(x) =
1
2
Como os
limites são iguais a f(3) = 1
2
a
função é cont́ınua neste ponto.
c) f(x) = x sin(
1
x
) c = 0 .
Como f(x) não está definida no ponto x = −1, f(x) não pode ser cont́ınua neste
ponto.
d) f(x) =
{
x2 se x ≤ 1
x se 1 < x
c = 1
Temos que lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
x2 = 1 e lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
x = 1. Como os limites
laterais são iguais a f(1) = 1 a função é cont́ınua neste ponto.
e) f(x) =



x2 se x ≤ 1
2 x se 1 < x
c = 1
Temos que lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
2 x = 1 e lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
x = 1. Como os limites
laterais são diferentes a função é descont́ınua em x = 1.
f) f(x) =



sin(x) se x ≤ π
x− π se π < x
c = π
Temos que lim
x→π+
f(x) = lim
x→π+
(x − π) = 0 e lim
x→π−
f(x) = lim
x→π−
sin(x) = 0. Como os
limites laterais iguais a f(π) = 0 a função é cont́ınua em x = π.
g) f(x) =



2 x + 3 se x ≤ 4
7 + 16
x
se 4 < x
c = 4
Temos que lim
x→4+
f(x) = lim
x→4+
(7 +
16
x
) = 11 e lim
x→4−
f(x) = lim
x→4−
(2 x + 3) = 11. Como
os limites laterais são iguais a f(4) = 11 a função é cont́ınua em x = 4.
6- Encontre um valor para a constante k, se posśıvel, que fará a função cont́ınua.
a) f(x) =



7 x− 2 se x ≤ 1
k x2 se 1 < x
Para termos continuidade devemos ter que lim
x→1−
f(x) = lim
x→1+
f(x) isto é
lim
x→1+
k x2 = lim
x→1−
(7 x− 2) ,
k = 5 .
b) f(x) =



k x2 se x ≤ 2
2 x + k se 2 < x
Para termos continuidade devemos ter que lim
x→2−
f(x) = lim
x→2+
f(x) isto é
lim
x→2+
(2 x + k) = lim
x→2−
k x2 ,
4 + k = 4 k
e portanto
k =
4
3
.
7- Use o Teorema do Confronto para mostrar que:
a) lim
x→0
x cos(
50 π
x
) = 0 .
Temos que
−|x| ≤ x cos(50 π
x
)| ≤ |x|
e portanto
− lim
x→0
|x| ≤ lim
x→0
x cos(
50 π
x
)| ≤ lim
x→0
|x|
o que implica que lim
x→0
x cos(
50 π
x
) = 0 como desejado.
b) lim
x→0
x2 cos(
50 π
x
1
3
) = 0 .
Temos que
−x2 ≤ x2 cos(50 π
x
1
3
)| ≤ x2
e portanto
− lim
x→0
x2 ≤ lim
x→0
x2 cos(
50 π
x
1
3
)| ≤ lim
x→0
x2
o que implica que lim
x→0
x2 cos(
50 π
x
1
3
) = 0 como desejado.
Listas/Lista 1.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN–DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Cálculo 1 - 1 a Lista de Exerćıcios
1 - Calcule o seguintes limites:
a) lim
x→2
(
x2 − 4 x
)
e) lim
x→2
x− 1
x2 − 1 i) limx→2
x− 2√
x2 − 4
b) lim
x→−1
(
x3 + 2 x2 − 3 x− 4
)
f) lim
x→2
x2 − 4
x2 − 5 x + 6 j) limx→2
√
x− 2
x2 − 4
c) lim
x→1
(3 x− 1)2
(x + 1)3
g) lim
x→−1
x2 + 3 x + 2
x2 + 4 x + 3
k) lim
x→0
(x + h)3 − x3
h
d) lim
x→0
3x − 3−x
3x + 3−x
h) lim
x→2
x− 2
x2 − 4 l) limx→1
x− 1√
x2 + 3− 2
2 - Calcule os seguintes limites:
1) lim
x→3
x2 − 2 x
x + 1
8) lim
x→3+
x
x− 3 15)limx→0
√
x + 4− 2
x
2) lim
x→0
6 x− 9
x3 − 12 x + 3 9) limx→1+
x4 − 1
x− 1 16)limx→0
√
x2 + 4− 2
x
3) lim
t→−2
t3 + 8
t + 2
10) lim
y→6+
y + 6
y2 + 36
17) lim
x→0+
1
x
4) lim
t→−1
t3 + t2 − 5 t + 3
t2 − 3 t + 2 11) limx→4−
3− x
x2 − 2 x− 8 18)limx→9
x− 9√
x− 3
5) lim
x→4
x2 − 16
x− 4 12) limx→4+
3− x
x2 − 2 x− 8 19) limx→0
(
1
x
− 1
x2
)
6) lim
x→2
x2 − 4 x + 4
x2 + x− 6 13) limx→3−
1
|x− 3| 20) limx→0+
(
1
x
− 1
x3
)
7)lim
t→1
t3 + t2 − 5 t + 3
t3 − 3 t + 2 14)limy→4
4− y
2−√y 21) limx→π−
1
x− π
3- Calcule os seguintes limites:
1) lim
x→∞
3 x + 1
2 x− 5 4) limx→−∞
x− 2
x2 + 2 x + 1
7) lim
x→∞
5 x2 + 7
3 x2 − x
2) lim
y→−∞
3
y + 4
5) lim
x→−∞
√
3 x4 + x
x2 − 8 8) limy→∞
2− y√
7 + 6 y2
3) lim
x→∞
1
x− 12 6) limx→∞
7− 6 x5
x + 3
9) lim
x→∞
6− t3
7 t3 − 3
4- Calcule os seguintes limites:
1) lim
x→∞ cos(
1
x
) 6) lim
x→∞ sin(
2
x
) 11) lim
x→∞ sin(
π x
2− 3 x) 16) limx→0
x
cos(π
2
− x)
2) lim
h→0
sin(h)
2 h
7) lim
θ→0
sin(3 θ)
θ
12) lim
θ→0+
sin(θ)
θ2
17) lim
h→0
1− cos(5 h)
cos(7 h)− 1
3) lim
x→0
sin2(x)
3 x2
8) lim
x→0+
sin(x)
5
√
x
13) lim
x→0
sin(6 x)
sin(8 x)
18) lim
x→0
x2 − 3 sin(x)
x
4) lim
x→0
tan(7 x)
sin(3 x)
9) lim
θ→0
sin2(θ)
θ
14) lim
h→0
h
tan(h)
19) lim
x→0+
cos(
1
x
)
5) lim
x→0
sin(x)
1− cos(h) 10) limθ→0
θ
cos(θ)
15) lim
t→0
t2
1− cos2(t) 20) limx→0
2 x + sin(x)
x
5- Determine se a função f é cont́ınua no ponto c:
a) f(x) =
x− 1
x + 1
c = −1 .
b) f(x) =
x− 1
x + 1
c = 3 .
c) f(x) = x sin(
1
x
) c = 0 .
d) f(x) =



x2 se x ≤ 1
x se 1 < x
c = 1
e) f(x) =



x2 se 2 x ≤ 1
x se 1 < x
c = 1
f) f(x) =



sin(x) se x ≤ π
x− π se π < x
c = π
g) f(x) =



2 x + 3 se x ≤ 4
7 + 16
x
se 4 < x
c = 4
6- Encontre um valor para a constante k, se posśıvel, que fará a função cont́ınua.
a) f(x) =



7 x− 2 se x ≤ 1
k x2 se 1 < x
b) f(x) =



k x2 se x ≤ 2
2 x + k se 2 < x
7- Use o Teorema do Confronto para mostrar que:
a) lim
x→0
x cos(
50 π
x
) = 0 .
b) lim
x→0
x2 cos(
50 π
x
1
3
) = 0 .
Listas/Lista 2 - solução.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN–DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Cálculo 1 - 2 a Lista de Exerćıcios - Soluções
Prof. César Castilho
Enviar correções para castilho@dmat.ufpe.br
1 - Calcule dy
dx
:
a) y = x2 − 4 x, y′ = 2 x− 4 .
b) y = −5 x12, y′ = −60 x11 .
c) y = 2 x9 − 3 x + 2, y′ = 18 x8 − 3 .
d) y =
√
2 x− 1
x
, y′ =
√
2 +
1
x2
.
e) y =
1
d
(
a x3 − 1
b
x + c
)
, y′ =
1
d
(
3 a x2 − 1
b
)
.
f) y = 7 x−6 − 5 x−2, y′ = −42 x−7 + 10 x−3.
g) y = x−2 +
5
x6
, y′ = −2, x−3 + 6
5
x5.
h) y =
x3 + 3 x7
x2
, Simplificando:y = x + 3 x5 → y′ = 1 + 15 x4 .
i) y = π3, y′ = 0 .
j) y = x
1
3 + 3 x
5
7 , y′ =
1
3
x−
2
3 + 15 x−
2
5 .
k) y =
x2 + 1
x
+
1
x3
, Simplificando:y = x + x−1 + x−3 → y′ = 1− x−2− 3 x−4 .
l) y = (
1
x
+
1
x8
) (3 x2 + 27), Simplificando:y = 3 x + 3 x−6 + 27 x−1 + 27 x−8 →
y′ = 3− 18 x−7 − 27 x−2 − 216 x−9 .
2- Calcule d
2y
dx2
:
1) y = 7 x3 − 5 x2 + x, dy
dx
= 21 x2 − 10 x + 1 , d
2y
dx2
= 42 x− 10 .
2) y =
x + 1
x
,
dy
dx
= − 1
x2
,
d2y
dx2
=
2
x3
.
3) y =
3 x− 2
5 x
,
dy
dx
=
2
5 x2
,
d2y
dx2
= − 4
5 x3
.
4) y = (5 x2− 3) (7 x3 +x), dy
dx
= 175 x4− 48 x2− 3 , d
2y
dx2
= 700 x3− 96 x .
5) y =
1
x
− 1
x2
,
dy
dx
= −x−2 + 2 x−3 , d
2y
dx2
= 2 x−3 − 6 x−4 .
6) y = x
2
3 − x−3, dy
dx
=
2
3
x−
1
3 + 3 x−4 ,
d2y
dx2
= −2
9
x−
4
3 − 12 x−5.
7) y = xa + 2 xb,
dy
dx
= a xa−1 + 2 b xb−1 ,
d2y
dx2
= a (a− 1) xa−2 + 2 b (b− 1) xb−2 .
8) y = (x2)7 − 2 (x7)3, dy
dx
= 14 x13 − 42 x20, d
2y
dx2
= 182 x12 − 840 x19 .
9) y =
1
x
+
1
xa
,
dy
dx
= −x−2 − a x−a−1 , d
2y
dx2
= 2 x−3 + a (a + 1) x−a−2 .
3- Calcule y′:
1) y = (x2 − 3) (x5 − 2 x− 3)
Pela regra do produto
y′ = (x2 − 3)′ (x5 − 2 x− 3) + (x2 − 3) (x5 − 2 x− 3)′ ,
y′ = 2 x (x5 − 2 x− 3) + (x2 − 3) (5 x4 − 2) .
2) y =
(x2 − 3)
(x5 − 2 x− 3)
Pela regra do quociente
y′ =
(x2 − 3)′ (x5 − 2 x− 3)− (x2 − 3) (x5 − 2 x− 3)′
(x5 − 2 x− 3)2
y′ =
2 x (x5 − 2 x− 3)− (x2 − 3) (5 x4 − 2)
(x5 − 2 x− 3)2
3) y =
(x5 − 2 x− 3)
(x2 − 3)
Pela regra do quociente
y′ =
(x5 − 2 x− 3)′ (x2 − 3)− (x5 − 2 x− 3) (x2 − 3)′
(x2 − 3)2
y′ =
(5 x4 − 2) (x2 − 3)− (x5 − 2 x− 3) 2 x
(x2 − 3)2
4) y =
(x5 − 2 x− 3)
(x2 − 3)3
Pela regra do quociente
y′ =
(x5 − 2 x− 3)′ (x2 − 3)3 − (x5 − 2 x− 3) ((x2 − 3)3)′
(x2 − 3)6
Como pela regra do produto
(
(x2 − 3)3
)′
= (x2−3)′ (x2−3) (x2−3)+(x2−3) (x2−3)′ (x2−3)+(x2−3) (x2−3) (x2−3)′
(
(x2 − 3)3
)′
= 3 (x2 − 3)2 2 x = 6 x (x2 − 3)2
segue que
y′ =
(5 x4 − 2) (x2 − 3)3 − (x5 − 2 x− 3) 6 x (x2 − 3)2
(x2 − 3)6
5) y =
(x2 − 3)3
(x5 − 2 x− 3)
Pela regra do quociente
y′ =
((x2 − 3)3)′ (x5 − 2 x− 3)− (x2 − 3)3 (x5 − 2 x− 3)′
(x5 − 2 x− 3)2
Como pela regra do produto
(
(x2 − 3)3
)′
= (x2−3)′ (x2−3) (x2−3)+(x2−3) (x2−3)′ (x2−3)+(x2−3) (x2−3) (x2−3)′
(
(x2 − 3)3
)′
= 3 (x2 − 3)2 2 x = 6 x (x2 − 3)2
segue que
y′ =
6 x (x2 − 3)2(x5 − 2 x− 3)− (x2 − 3)3 (5 x4 − 2)
(x5 − 2 x− 3)2
6) y = (x + 1) (x7 − 5 x + 1) (x3 − 2 x2 − 3)
Pela regra do produto
y = (x7 − 5 x + 1) (x3 − 2 x2 − 3) + (x + 1) (7 x6 − 5) (x3 − 2 x2 − 3)
+(x + 1) (x7 − 5 x + 1) (3 x2 − 4 x)
7) y =
x2 + 3
x3 − x2+3
x5+2 x−1
Primeiro observe que
y =
x2 + 3
x3 − x2+3
x5+2 x−1
=
(x2 + 3) (x5 + 2 x− 1)
x8
+ 2 x4 − x3 − x2 − 3
Pela regra do quociente
y′ =
[(x2 + 3) (x5 + 2 x− 1)]′ (x8 + 2 x4 − x3 − x2 − 3)− (x2 + 3) (x5 + 2 x− 1) (x8 + 2 x4 − x3 − x2 − 3)′
(x8 + 2 x4 − x3 − x2 − 3)2
onde [
(x2 + 3) (x5 + 2 x− 1)
]′
= 2 x (x5 + 2 x− 1) + (x2 + 3) (5 x4 + 2) .
(x8 + 2 x4 − x3 − x2 − 3)′ = 8 x7 + 8 x3 − 3 x2 − 2 x .
8) y =
1
1 + 1
2 x−1
Primeiro observe que
y =
1
1 + 1
2 x−1
=
2 x− 1
2 x
= 1− 1
2 x
,
y′ =
1
2 x2
.
9) y =
x−2 + 2 x3 − 2
1 + 3 x−3 + x2
Pela regra do quociente
y′ =
(x−2 + 2 x3 − 2)′(1 + 3 x−3 + x2)− (x−2 + 2 x3 − 2) (1 + 3 x−3 + x2)′
(1 + 3 x−3 + x2)2
y′ =
(−2 x−3 + 6 x2)(1 + 3 x−3 + x2)− (x−2 + 2 x3 − 2) (−9 x−4 + 2 x)
(1 + 3 x−3 + x2)2
10) y =
1
1− 1
1+ 1
1− 1x
Simplificando temos que y = 2− 1
x
e portanto y′ = 1
x2
.
4- Resolva os seguintes problemas:
a) Ache uma função y = a x2+b x+c cujo gráfico tem um intercepto x de 1, um intercepto
y de -2 e tem uma reta tangente com inclinação de -1 no intercepto y.
Intercepto x de 1 implica que y = 0 quando x = 1 isto é
0 = a + b + c.
Intercepto y de -2 implica que y = −2 quando x = 0 isto é
−2 = c.
A inclinação da reta tangente é dada por y′ = 2 a x + b. Como a reta tangente tem
inclinação de -1 no intercepto y temos que y′ = −1 quando x = 0 isto é
−1 = b.
Assim segue que a = 3, b = −1 e c = −2. A função é dada por
y = 3 x2 − x− 2 .
b) Ache k se a reta y = x2 + k é tangente à reta y = 2 x
Se as curvas se interceptam no ponto (x0, y0) temos que
x20 + k = 2 x0.
Por hipótese as curvas são tangentes nesse ponto, isto é, suas retas tangentes nesse ponto
possuem a mesma inclinação. Como a inclinação da reta tangente a y = x2 +k é yprime =
2 x e a inclinação da reta tangente ay = 2 x é y′ = 2 segue que
2 x0 = 2
Segue portanto que x0 = 1 e pela primeira equação
12 + k = 2
e portanto k = 1.
c) Ache a coordenada x do ponto sobre o gráfico de y = x2 no qual a reta tangente
é paralela à reta secante que corta a curva em x = −1 e x = 2.
A inclinação da secante é dada por
mc =
22 − (−1)2
2− (−1) = 1
A reta tangente será paralela a secante quando y′ = 1 isto é quando
2 x = 1
e portanto x = 1
2
.
d) Ache as coordenadas dos pontos sobre o gráfico de y = 2 x3 − x2 + 1 nos quais as
retas tangentes são paralelas à reta secante que corta a curva em x = 1 e x = 4.
Como y(4) = 113 e y(1) = 2 a inclinação da secante é dada por
mc =
113− 2
4− 1 =
111
3
.
A tangente será paralela a secante quando y′ = mc isto é, quando
6 x2 − 2 x = 111
3
As coordenadas desejadas serão dadas como as ráızes dessa equação de segundo grau.
x =
6±√8028
36
e) Ache as coordenadas de todos os pontos sobre o gráfico de y = 1− x2 nos quais a reta
tangente passa pelo ponto (2, 0).
A reta tangente ao gráfico de y(x) no ponto (x0, 1− x20) é dada por
y = 1− x20 − 2 x0 (x− x0) .
Para que esta reta passe pelo ponto (2, 0) temos de ter
0 = 1− x20 − 2 x0 (2− x0)
isto é
x20 − 4 x0 + 1 = 0 .
x0 =
4±√12
2
.
f) Mostre que qualquer par de retas tangentes à parábola y = a x2, a 6= 0, intercepta-se
num ponto que está sobre uma reta vertical passando pelo ponto médio dos pontos de
tangência.
Considere dois pontos arbitrários sobre a parábola: P0 = (x0, a x
2
0) e P1 = (x1, a x
2
1).
A reta vertical passando pelo ponto médio de P0 e P1 tem equação x =
x0+x1
2
.
Reta tangente por x0 :
y = a x20 + 2 a x0 (x− x0) .
Reta tangente por x1 :
y = a x21 + 2 a x1 (x− x1) .
As retas se interceptam no ponto
a x20 + 2 a x0 (x− x0) = a x21 + 2 a x1 (x− x1)
Rseolvendo esta equação para x obtemos que
x =
x0 + x1
2
o que pova o resultado.
g) Seja L a reta tangente ao gráfico de y = a x3 + b x em x = x0. Ache a coordenada
x do ponto onde L intercepta o gráfico uma segunda vez.
Equação da reta L tangente ao gráfico:
y = y0 + (3 a x
2
0 + b) (x− x0)
Para que a reta L intercepte a cúbica devemos ter que
y0 + (3 a x
2
0 + b) (x− x0) = a x3 + b x .
Como y0 = a x
3
0 + b x0
a x30 + b x0 + (3 a x
2
0 + b) (x− x0) = a x3 + b x ,
que escrevemos como
a (x3 − x30) + b (x− x0)− (3 a x20 + b) (x− x0) = 0
(x− x0)
[
a (x2 + xx0 + x
2
0) + b− (3 a x20 + b)
]
= 0
a (x− x0)
[
x2 + xx0 − 2 x20
]
= 0
a (x− x0)2 [x + 2 x0] = 0
Como não estamos interssados na solução x = x0 (por quê ?) temos que
x = −2 x0 .
h) Mostre que o segmento de reta tangente ao gráfico de y = 1
x
que é cortado fora
pelos eixos coordenados é bissectado pelo ponto de tangência.
A reta tangente ao gráfico de y que passa pelo ponto P = (x0,
1
x0
) dada por
y =
1
x0
− 1
x20
(x− x0).
Esta reta intersecta o eixo y no ponto Py = (0,
2
x0
) e o eixo x no ponto Px = (2 x0, 0) A
distância d1 entre os pontos P e Py é dada por
d21 = (x0 − 0)2 + (
1
x0
− 2
x0
)2 = x20 +
1
x20
.
A distância d2 entre os pontos P e Px é dada por
d22 = (x0 − 2 x0)2 + (
1
x0
− 0)2 = 1
x20
+ x20 .
Como d1 = d2 provamos o resultado.
i) Mostre que o triângulo formado por qualquer reta tangente ao gráfico de y = 1
x
e pelos
eixos coordenados tem uma área de 2 unidades quadradas.
Usando o exerćıcio anterior temos que a área A do triângulo é dada por
A =
base× altura
2
=
1
2
2 x0
2
x0
= 2 .
j) Ache as condições sobre a, b, c e d para que o gráfico do polinômio f(x) = a x3 + b x2 +
c x + d tenha:
A inclinação da tangente é dada por
f ′ = 3 a x2 + 2 b x + c
Seja
∆ = 4 b2 − 12 a c.
i) exatamente duas tangentes horizontais.
Queremos que a equação f ′ = 0 tenha duas soluções reais. Basta que
∆ > 0
ii) exatamente uma tangente horizontal.
Queremos que a equação f ′ = 0 tenha uma solução real. Basta que
∆ = 0
iii) não tenha tangentes horizontais.
Queremos que a equação f ′ = 0 não admita solução real. Basta que
∆ < 0
Listas/Lista 2.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN–DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Cálculo 1 - 2 a Lista de Exerćıcios
1 - Calcule dy
dx
:
a) y = x2 − 4 x e) y = 1
d
(
a x3 − 1
b
x + c
)
i) y = π3
b) y = −5 x12 f) y = 7 x−6 − 5 x−2 j) y = x 13 + 3 x 57
c) y = 2 x9 − 3 x + 2 g) y = x−2 + 5
x6
k) y =
x2 + 1
x
+
1
x3
d) y =
√
2 x− 1
x
h) y =
x3 + 3 x7
x2
l) y = (
1
x
+
1
x8
) (3 x2 + 27)
2- Calcule d
2y
dx2
:
1) y = 7 x3 − 5 x2 + x 4) y = (5 x2 − 3) (7 x3 + x) 7) y = xa + 2 xb
2) y =
x + 1
x
5) y =
1
x
− 1
x2
8) y = (x2)7 − 2 (x7)3
3) y =
3 x− 2
5 x
6) y = x
2
3 − x−3 9) y = 1
x
+
1
xa
3- Calcule y′:
1) y = (x2 − 3) (x5 − 2 x− 3) 6) y = (x + 1) (x7 − 5 x + 1) (x3 − 2 x2 − 3)
2) y =
(x2 − 3)
(x5 − 2 x− 3) 7) y =
x2 + 3
x3 − x2+3
x5+2 x−1
3) y =
(x5 − 2 x− 3)
(x2 − 3) 8) y =
1
1 + 1
2 x−1
4) y =
(x5 − 2 x− 3)
(x2 − 3)3 9) y =
x−2 + 2 x3 − 2
1 + 3 x−3 + x2
5) y =
(x2 − 3)3
(x5 − 2 x− 3) 10) y =
1
1− 1
1+ 1
1− 1x
4- Resolva os seguintes problemas:
a) Ache uma função y = a x2+b x+c cujo gráfico tem um intercepto x de 1, um intercepto
y de -2 e tem uma reta tangente com inclinação de -1 no intercepto y.
b) Ache k se a reta y = x2 + k é tangente à reta y = 2 x
c) Ache a coordenada x do ponto sobre o gráfico de y = x2 no qual a reta tangente
é paralela à reta secante que corta a curva em x = −1 e x = 2.
d) Ache as coordenadas dos pontos sobre o gráfico de y = 2 x3 − x2 + 1 nos quais as
retas tangentes são paralelas à reta secante que corta a curva em x = 1 e x = 4.
e) Ache as coordenadas de todos os pontos sobre o gráfico de y = 1 − x2 nos quais a
reta tangente passa pelo ponto (2, 0).
f) Mostre que qualquer par de retas tangentes à parábola y = a x2, a 6= 0, intercepta-se
num ponto que está sobre uma reta vertical passando pelo ponto médio dos pontos de
tangência.
g) Seja L a reta tangente ao gráfico de y = a x3 + b x em x = x0. Ache a coorde-
nada x do ponto onde L intercepta o gráfico uma segunda vez.
h) Mostre que o segmento de reta tangente ao gráfico de y = 1
x
que é cortado fora
pelos eixos coordenados é bissectado pelo ponto de tangência.
i) Mostre que o triângulo formado por qualquer reta tangente ao gráfico de y = 1
x
e
pelos eixos coordenados tem uma área de 2 unidades
quadradas.
j) Ache as condições sobre a, b, c e d para que o gráfico do polinômio f(x) = a x3 +
b x2 + c x + d tenha:
i) exatamente duas tangentes horizontais.
ii) exatamente uma tangente horizontal.
iii) não tenha tangentes horizontais.
Listas/Lista 4.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN–DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Cálculo 1 - 4 a Lista de Exerćıcios
1 - Calcule y′ usando diferenciação impĺıcita :
a) 15 x = 15 y + 5 y3 + 3 y5 . e) b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 i) 3 x6 + 2 x3 y − y7 x = 10
b) x =
√
y + y
1
3 f)
√
x +
√
y =
√
a j) y5 − cos(x y) + 3 = y2
c) y2 = 2 p x g) x
2
3 + y
2
3 = a
2
3 k) x + 2
√
x y + y = a
d) x2 + y2 = r2 h) x3 − 3 a x y + y3 = 0 . l)
√
y
x
+
√
x
y
= 6
2- Calcule y′:
1) y = ln(a x + b) 6) y = ln(x +
√
1 + x2) 11) y =
ex
x
2) y = ln(a x2 + b) 7) y = ln(
√
a + b x
a− b x) 12) y =
ex − 1
ex + 1
3) y = ln(a x + b)2 8) y = en x 12) y = ln(x2 ex)
4) y = ln3((a x + b)2) 9) y = ex
2
14) y =
ex − e−x
ex + e−x
5) y = x ln(a x) 10) y = e
√
x 15) y = ln
(√
x2 − 1− x√
x2 − 1 + x
)
3- Resolva os seguintes problemas:
a) Mostrar que a circunferência x2 + y2 − 12 x − 6 y + 25 = 0 é tangente a circun-
ferência x2 + y2 + 2 x + y = 10 no ponto (2, 1) .
b) Qual o ângulo que a reta y = 2 x faz com a curva x2 − x y + 2 y2 = 28 ?
c) Em que pontos a reta tangente a curva y2 = 2 x3 é perpendicular à reta 4 x −
3 y + 1 = 0 ?
d) Ache os valores de a e b para a curva x2 y + a y2 = b se o ponto (1, 1) está no seu
gráfico e a reta tangente em (1, 1) tem a equação 4 x + 3 y = 7 .
e) Ache as coordenadas do ponto no primeiro quadrante, no qual a reta a reta tan-
gente á curva x3 − x y + y3 = 0 é paralela ao eixo x.
f) Ache as equações para duas retas que passam pela origem e são tangentes à curva
x2 − 4 x + y2 + 3 = 0 .
g) Use a diferenciação impĺıcita para mostrar que a equação da reta tangente à curva
y2 = k x em (x0, y0) é
y0 y =
1
2
k (x + x0) .
Listas/Lista 5.pdf
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN–DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Cálculo 1 - 5 a Lista de Exerćıcios
1 - Calcule os limites usando a regra de L’Hôpital :
a) lim
x→1
ln(x)
x− 1 . e) limθ→0
tan(θ)
θ
i) lim
x→0
x− arctan(x)
x3
b) lim
x→0
sin(2 x)
sin(5 x)
f) lim
t→0
t et
1− et j) limx→+∞x sin(π/x)
c) lim
x→0
ex − 1
sin(x)
g) lim
x→0+
sin(x)
x2
k) lim
x→∞(1− 3/x)
x
d) lim
x→3
x− 3
3 x2 − 13 x + 12 h) limx→+∞
x100
ex
. l) lim
x→0
(
1
x
− 1
ex − 2
)
2- Calcule y′ (obs: simplifique a expressão obtida !):
1) y = arctan(a x2) 6) y = x2 arccos(x)
2) y = arcsin(3 x− 4 x3) 7) y = arctan
(
a + x
1− a x
)
3) y = arcsec
(
x2 + 1
x2 − 1
)
8) y = x
√
a2 − x2 + a2 arcsin(x/a)
4) y = arccos(x/a) 9) y =
√
a2 − x2 + a arcsin(x/a)
5) y = x arcsin(2 x) 10) y = a2 arcsin(x/a)− x
√
a2 − x2
11) y = arctan(x2)
12) y =
x√
a2 − x2 − arcsin(x/a)
13) y = arcsin(x/a) +
√
a2 − x2
x
.
14) y = a arccos(1− x/a) +
√
2 a x− x2
15) y =
x3
3
arctan(x) +
1
6
ln(x2 + 1)− x
2
6
.
3- Ache os pontos de máximo, de mı́nimo e de inflexão sobre as curvas abaixo e trace o
gráfico de cada uma delas:
a) y = x ln(x).
b) y = x
ln(x)
c) y = ln(8 x− x2)
d) y = x ex
e) y = x2 e−x
f) y = x
2
− sin(x) para x ∈ [0, 2π] .
g) y = 2 x− tan(x) para x ∈ [0, π] .
h) y = tan(x)− 4 x para x ∈ [0, π] .
i) y = 3 sin(x)− 4 cos(x) para x ∈ [0, 2π] .
Listas/Lista de revisão EE1.pdf
Universidade Federal de Pernambuco.
Departamento de Matemática.
Lista de Revisão 1º exerćıcio escolar
Questão 1 Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→2
xp/q − 2p/q
x− 2 .
b) lim
t→π
sin(t) cos(t)
t− π − sin(t) .
c) lim
x→1
tan(x− 1)
x2 − 1 .
d) lim
x→2
x2 − 3x− 3
x2 − 5x + 6 .
e) lim
x→1
|x3 − 1|
x3 − 1 .
f) lim
x→∞
√
3x4 + x2 + 1
x2 + 3
.
g) lim
x→1
xn − 3n
x− 3 .
h) lim
x→∞
x2 − x.
Questão 2 Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que f 2(x) + g2(x) = 4 para
todo x ∈ R. Calcule:
a) lim
x→0
x3g(x).
b) lim
x→3
f(x)
3
√
x2 − 9
Questão 3 Seja f uma função tal que |f(x)− f(1)| ≤ (x− 1)2, para todo x ∈ R. Mostre
que f é cont́ınua em x = 1.
Questão 4 Determine o conjunto de pontos onde a função f = bxc é cont́ınua, onde bxc
denota a função maior inteiro menor ou igual a x.
Questão 5 Calcule o seguinte limite:
lim
x→∞
bxc
x2
.
Questão 6 Determine se as seguintes funções são diferenciáveis nos pontos p e q.
a)
f(x) =



x2sen 1
x
, x 6= 0,
0, x = 0.
, p = 0.
b) g(x) = |x2 − 4x + 4|, com q = 2.
Questão 7 Calcule as derivadas das seguintes funções:
a) f(x) = ln(ln(ln(x))).
b) f(x) =
√
x2 + e
√
x.
c) f(x) = x
√
x.
d) f(x) = tan(xsec x).
e) f(x) =
√
arcsen(x4).
Questão 8 Calcule f ′(0), onde ef(x) + f(x) = x + 1 e f(0) = 0.
Boa diversão!
2
Listas/Listas 1 e 2 de limites.pdf
- Cálculo 1 - Limites -
1. Calcule, se existirem, os seguintes limites:
(a) lim
x→1
(x3 − 3); (h) lim
x→ 32
√
8t3 − 27
4t2 − 9 ;
(b) lim
x→2
√
x4 − 8; (i) lim
x→3
2x3 − 5x2 − 2x− 3
4x3 − 13x2 + 4x− 3 ;
(c) lim
x→2
√
x3 + 2x+ 3
x2 + 5
; (j) lim
y→−3
√
y2 − 9
2y2 + 7y + 3
;
(d) lim
x→−3
x2 − 9
x+ 3
; (k) lim
h→5
h√
5 + h−
√
5
;
(e) lim
x→ 13
3x2 − x
3x− 1 ; (l) limh→0
√
3 + 3h−
√
3
h
;
(f) lim
x→3
x3 − 27
x− 3 ; (m) limx→2
x4 − 16
x− 2 ;
(g) lim
x→0
√
x+ 3−
√
3
x
; (n) lim
x→1
x− 1
x2 − 1 .
2. Faça o esboço do gráfico de f(x) =



|x| se x < 4
6 se x = 4
−4x+ 20 se x > 4
e observe no gráfico o valor de lim
x→4
f(x). Há alguma diferença
entre lim
x→4
f(x) e f(4)?
3. Seja f a função definida por f(x) =
{
2x− 1 se x ̸= 2
1 se x = 2
(a) Encontre lim
x→2
f(x) e verifique que lim
x→2
f(x) ̸= f(2).
(b) Faça um esboço do gráfico de f .
4. Seja f a função definida por f(x) =
{
x2 − 9 se x ̸= −3
4 se x = −3
(a) Encontre lim
x→−3
f(x) e verifique que lim
x→−3
f(x) ̸= f(3)
(b) Faça um esboço do gráfico de f .
5. Determine o valor de lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
quando
a) f(x) = x b) f(x) = x2 c) f(x) = x3.
6. Nos ı́tens a seguir, calcule os limites laterais pedidos e verifique se o limite (bilateral) existe. Caso exista dê seu valor.
(a) f(x) = |x|x , lim
x→0+
f(x), lim
x→0−
f(x), lim
x→0
f(x).
(b) f(x) =



2 se x < 1
−1 se x = 1
−3 se x > 1
; lim
x→1+
f(x), lim
x→1−
f(x), lim
x→1
f(x)
(c) f(r) =



2r + 3 se r < 1
2 se r = 1
7− 2r se r > 1
; lim
r→1+
f(r), lim
r→1−
f(r), lim
r→1
f(r)
(d) g(x) =



2 + x2 se x < −2
0 se x = −2
11− x2 se x > −2
; lim
x→−2+
f(x), lim
x→−2−
f(x), lim
x→−2
f(x)
7. Dada f(x) = |x|+xx . Existe limx→0
f(x)?
8. Dada f(x) = |x
2+x|
x . Verifique se existem os limites abaixo e, caso existam, determine seus valores:
a) lim
x→−1
f(x) b) lim
x→0
f(x).
- Cálculo 1 - Limites - Lista 2
1. Determine, caso existam, os seguintes limites:
a) lim
x→0+
(3−√x) b) lim
x→2+
√
x2 − 4 c) lim
x→−5
x− 5
|x− 5| d) limx→5
x− 5
|x− 5|
e) lim
x→2−
1√
2− x f) limx→−2
1√
2− x g) limx→−2
2− x√
x− 2 h) limx→3
√
x−
√
3
x− 3
i) lim
x→9
√
x− 3√
x2 − 9x
j) lim
x→5
1
y − 15
y − 5 k) limx→0+
(
1
x
− 1
x2
)
l) lim
x→+∞
(x3 − x2 − x+ 1)
m) lim
x→−∞
(x3 − x2 − x+ 1) n) lim
x→−∞
(−2x6 − x3 − 12x2 + 1) o) lim
x→+∞
2x2 + x+ 1
x3 + 2x2 − 25 p) limx→+∞
x7 + 2x+ 1
5x3 − 2x2 − 900
q) lim
x→+∞
1
1− x r) limx→+∞
2x2 + x− 21
x3 − 2x2 + 9 s) limx→−∞
√
x2 + 4
x+ 4
t) lim
x→−∞
(
√
x2 + 1− x)
u) lim
x→+∞
(
√
x2 + x− x) v) lim
x→+∞
x4 − 24
2− x w) limx→2+
(
1
x− 2 −
3
x2 − 4
)
x) lim
x→0+
√
3 + x2
x
y) lim
x→0
|x|
x2
z) lim
x→+∞
√
x2 + 4
x+ 4
α) lim
x→−∞
√
x2 + 9
x+ 6
β) lim
x→−∞
(
√
x2 + x− x4)
γ) lim
x→5
x+ 2
x− 4 δ) limx→2
2x2 − 5x+ 2
5x2 − 7x− 6 ϵ) limt→0
√
a2 + bt− a
t
ε) lim
x→2
z − 4
z2 − 2z − 8
ζ) lim
x→0
2
|x| η) limx→−∞
√
2x2 − 7
x+ 3
θ) lim
x→5
1
x − 15
x− 5 ϑ) limx→−∞
5x2 + 8x− 3
7x3 − 4x− 17
2. Sejam f(x) =
{
x2 + 3 se x ≤ 1
x+ 1 se x > 1.
e g(x) =
{
x2 se x ≤ 1
2 se x > 1.
(a) Existe lim
x→1
f(x)?
(b) Encontre uma expressão para f(x).g(x) e mostre que existe lim
x→1
(
f(x).g(x)
)
3. Considere a função definida por: f(x) =



2x+ 2 , x < 0
x2 , 0 ≤
x < 2
1 , x ≥ 2
a) Faça o gráfico da função f .
b) Determine: lim
x→0−
f(x) lim
x→0+
f(x) lim
x→0
f(x) lim
x→2−
f(x) lim
x→2−
f(x) lim
x→2
f(x)
4. Calcule lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
, quando: a) f(x) = senx b) f(x) = cosx c) f(x) = 1x .
5. Sabendo-se que lim
x→0
senx
x
= 1 e que cosx = 1− sen2(x2 ), calcule: a) limx→0
sen(2x)
5x
b) lim
x→0
1− cosx
x
.
6. Sabendo-se que as desigualdades 1 − x
2
6
<
xsen(x)
2− 2cos(x) < 1 valem para todos os valores de x próximos de zero, calcule
lim
x→0
xsen(x)
2− 2cos(x) .
7. Mostre que se |f(x)| ≤ M e lim
x→a
g(x) = 0 então lim
x→a
(
f(x).g(x)
)
= 0
8. Use o item anterior para mostrar que lim
x→+∞
senx
x
= 0.
9. Encontre as asśıntotas verticais e/ou horizontais das seguintes funções:
(a) f(x) = xx2−9 ; (b) g(x) =
1
x−1 ; (c) h(x) =
x+3
x+2 ;
(d) ψ(x) = x
4+1
x2 ; (e) ϕ(x) =
x2−x+1
x−1 ; (f) φ(x) = x
3 + 3x .
10. Observando o gráfico das funções exponenciais conclua que
lim
x→+∞
ax =
{
+∞, se a > 1
0, se 0 < a < 1
e lim
x→−∞
ax =
{
0, se a > 1
+∞, se 0 < a < 1
11. Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→+∞
(
3
2
)x
(b) lim
x→+∞
(
1
2
)x
(c) lim
x→+∞
(2x − 2−x) (d) lim
x→−∞
(2x − 2−x) (e) lim
x→+∞
(2x − 3x).
12. Seja f(x) =



−x− 1 se x ≤ −1
x2 − 1 se − 1 < x ≤ 1
2 se x > 1
f é cont́ınua em x = 1? Em x = −1? Em x = 2? Em x = −3?
13. Seja f(x) =
{
2x+ 3 se x ≤ 4
7 + 16x se x > 4
f é cont́ınua em x = 4?
14. Seja f(x) =
{
3
x−1 se x ̸= 1
3 se x = 1
f é cont́ınua em x = 1?
15. Encontre os pontos x, caso existam, nos quais f é descont́ınua e dê as razões para esta posśıvel descontinuidade:
(a) f(x) = 3
√
x− 8;
(b) f(x) = x+2x2−4 ;
(c) f(x) = 1x +
x−1
x2−1
(d) f(x) = x
2+9
|x|+3
16. Verifique se as funções a seguir são cont́ınuas nos pontos indicados. Caso não sejam, determine as razões da descontinuidade.
(a) f(x) = |x+ 1|− 3 em x = −1;
(b) f(x) = xx2−1 em x = −2 e em x = 1;
(c) f(x) =
{
−x− 2 se x ̸= 3
−5 se x = 3 em x = 3.
17. Encontre um valor para a constante k, se posśıvel, para que a função seja cont́ınua para todo x ∈ R.
(a) f(x) =
{
7x− 2 se x ≤ 1
kx2 se x > 1
(b) f(x) =
{
kx2 se x ≤ 2
2x+ k se x > 2
18. Encontre os valores das constantes k e m, se posśıvel, que para que seja cont́ınua para todo x ∈ R a função
f(x) =



x2 + 5, se x > 2,
m(x+ 1) + k, se − 1 < x ≤ 2,
2x3 + x+ 7, se x ≤ −1.
19. Dê exemplo de duas funções f e g descont́ınuas em um certo ponto x = c tal que f + g seja cont́ınua neste ponto.
20. É verdade que uma função cont́ınua que nunca é zero em um intervalo nunca muda de sinal nesse intervalo? Justifique sua
resposta.
21. Utilize o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação x3 + x2 − 2x + 1 = 0 possui pelo menos uma solução
no intervalo [−1, 1].
22. Mostre que, se p(x) é um polinômio de grau ı́mpar, então e equação p(x) = 0 possui pelo menos uma solução real.
23. (Contração de Lorentz) De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de um objeto, por exemplo, de um foguete,
parece a um observador depender da velocidade com que o objeto se desloca em relação a esse observador. Se ele medir o
comprimento L0 do foguete em repouso e em seguida com a velocidade v, o comprimento parecerá ser L = L0
√
1− v2c2 , sendo
c a velocidade da luz no vácuo. O que acontece com L à medida que v aumenta? Calcule lim
v→c−
L. Por que é necessário tomar
o limite lateral à esquerda?