Prova Discursiva Estrutura Algébrica nov.2016

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PROVA DISCURSIVA REGULAR - ESTRUTURA ALGÉBRICA
Disciplina(s):
Estrutura
 
AlgébricaJONAS RAFAEL ALBOLEIA - RU: 1282557 Nota: 10	PROTOCOLO: 201611041282557D2F66F
	Data de início:
	04/11/2016 20:58
	Prazo máximo entrega:
	04/11/2016 22:13
	Data de entrega:
	25/11/2016 18:35
Questão 1/3 - Estrutura Algébrica
Considere os polinômios f(x) = x3 + ax + b e g(x) = 2x2 + 2x − 6. Determine os valores de a e de b para que a divisão de f(x) por g(x) seja exata?
Resposta:

Efetuando
 
a
 
divisão
 
de
 
f
(
x
)
 
por
 
g
(
x
),
 
obtemos
 
como
 
quociente
 
o
 
polinômio
 
dado
 
por
 
q
(
x
)
 
=
 
x
 
−
 
1
 
e
 
resto
r
(
x
)
 
=
 
(
a
 
+
 
4)
x
 
+
 
(
b
 
−
 
3).
 
Para
 
que
 
a
 
divisão
 
seja
 
exata,
 
devemos 
impor
 
que
 
r
(
x
)
 
=
 
0.
 
Disto,
 
teremos
a 
+ 4 = 0 e 
b 
− 3 = 0 
⟹ 
a 
= −4 e 
b 
= 3. 
Portanto, 
a 
= −4 e 
b 
= 3.
2
2
Questão 2/3 - Estrutura Algébrica
Seja (A, +, ⋅) um anel. Um subconjunto não vazio B ⊂ A é chamado subanel de A quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas:
se a, b ∈ B, então a − b ∈ B;
se a, b ∈ B, então a ⋅ b ∈ B.
O subconjunto B = {[ a	b ] ∈ M2 (R)} é subanel do anel das matrizes M2 (R)? Justifique sua resposta.
0
0
Resposta:

Consideremos 
duas 
matrizes 
X 
e 
Y 
pertencentes 
ao subconjunto 
B
. 
Então, 
X 
= 
[
a
0
b
0
]
 
e
 
Y
 
=
 
[
m 
 
n
0
0
]
.
 
N
o
t
a
m
o
s
 
qu
e
0
0
]
 
e
 
X
 
⋅
 
Y
 
=
 
[
am 
 
an
0
0
]
.
Segue daí que 
X 
− 
Y 
∈ 
B 
e 
X 
⋅ 
Y 
∈ 
B
. 
Logo, 
as 
propriedades 
(i) e 
(ii) 
são satisfeitas, o 
que garante que 
B 
é 
subanel de
M
2
(
R
).
Questão 3/3 - Estrutura Algébrica
Considere os anéis (A, +, ⋅) e (B, ∗, △). Dizemos que a função f : A → B é um homomorfismo quando as duas propriedades abaixo são satisfeitas:
(i) f(a + b) = f(a) ∗ f(b),
(ii) f(a ⋅ b) = f(a)△f(b),
para todos a, b ∈ A.
Mostre que a função f : (R, +, ⋅) → (R, ∗, △) definida por f(x) = x − 1 é um homomorfismo, onde
x ∗ y = x + y + 1 e x△y = x + y + xy.
 
Vamos
 
verificar
 
que
é
 
homomorfismo.
 
Dados 
,
 
b
 
∈
 
R
,
 
temos
f
a
f
(
a
 
+
 
b
)
 
=
 
a
 
+
 
b
 
−
 
1.
 
Por
 
outro
 
lado,
 
pela
 
definição
 
da
 
operação
 
∗
,
 
obtemos
f
(
a
) 
∗ 
f
(
b
) = (
a 
− 1) 
∗ 
(
b 
− 1) = 
a 
− 
1 
+ 
b 
− 
1 
+ 
1 
= 
a 
− 
b 
− 
1. 
Logo, 
f
(
a 
+ 
b
) = 
f
(
a
) 
∗ 
f
(
b
).
Observamos
 
também
 
que
 
f
(
ab
)
 
=
 
ab
 
−
 
1.
 
Além
 
disso,
 pela
 
definição
 
da
 
operação
 
△
,
 
temos
f
(
a
)
△
f
(
b
)
 
=
 
(
a
 
−
 
1)
△
(
b
 
−
 
1)
 
=
 
(
a
 
−
 
1)
 
+
 
(
b
 
−
 
1)
 
+
 
(
a
 
−
 
1)(
b
 
−
 
1)
 
=
 
ab
 
−
 
1.
 
Com
 
isso,
 
f
(
ab
)
 
=
 
f
(
a
)
△
f
(
b
).
Portanto, seguem dos itens (i) e (ii) que 
f 
é um homomorfismo.
Resposta: