fundamentos de algebra

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Questão 1 de 10
A representação por meio de diagramas cabe a exemplos com pontos finitos, por isso aconselha-se a não usar diagramas para grandes quantidades de pontos. O diagrama de flechas recebe o nome de:
E - Diagrama de Venn;check_circle
Questão 2 de 10
Um número p ∈ Z é chamado número primo se:
(I)         p ≠ 0
(II)        p ≠ ± 1
(III)       Os únicos divisores de p são 1, -1, p, - p.
Um número inteiro não primo é chamado de número inteiro composto.
Sendo assim, é correto afirmar que:
E - O número 123 é compostocheck_circle
Questão 3 de 10
O Segundo princípio de Indução, ou indução completa, ou indução forte, decorre da seguinte proposição:
Proposição - Dado α ∈ Z, vamos supor que a cada inteiro n ≥ α esteja associada uma afirmação P(n).
Então, P(n) será verdadeira para todo n ≥ α desde que seja possível provar que:
(I)                P(a) é verdadeira
(II)              Dado r > α, Se P(k)  é verdadeira para todo k tal que α ≤ k < r,então P(r) também é verdadeira.
Ao relacionarmos o primeiro e o segundo princípio da indução podemos concluir que:
A -
Indução forte implica em indução fraca.
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Questão 4 de 10
No Primeiro princípio de Indução (ou indução fraca), dado α ∈ Z, vamos supor que a cada inteiro n ≥ α esteja associada uma afirmação P(n). Então, P(n) será verdadeira para todo n ≥ α desde que seja possível provar que:
(I)                P(a) é verdadeira
(II)              Se P(r) é verdadeira para , então P(r+1) também é verdadeira.
Podemos afirmar que:
E -
Sempre verificamos se P(a) é verdadeira. Depois, tentamos provar que para r ≥ α, então P(r+1) também é verdadeira. Se pudermos provar as sentenças I e II, então P(n) vale para qualquer inteiro positivo n.
Questão 5 de 10
Dizemos que Z , munido da soma e produto, é um domínio de integridade. Isso ocorre porque:
B -
Z satisfaz as propriedades associativa, existência do elemento neutro, existência do inverso aditivo e comutativa da soma e também as propriedades associativa, existência da unidade e comutativa do produto, distributiva do produto em relação à soma e Z não possui divisores de zero.
Questão 6 de 10
Relações entre dois elementos constituídos por pares ordenados são chamadas de:
B - relações binárias;check_circle
Questão 7 de 10
Alguns objetos matemáticos são admitidos de forma primitiva, não necessitando de definição Como exemplo, temos:
C - o ponto e a reta;check_circle
Questão 8 de 10
O  máximo divisor comum entre a e b é normalmente indicado por mdc(a, b). Sobre ele, podemos dizer que:
D -
Se d e d’ são máximos divisores comuns entre a e b, então d=d’.
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Questão 9 de 10
Para provar que, para qualquer inteiro positivo n, 1+3+5+...+(2n-1)=n2, devemos perceber que:
D -
Neste exemplo, a propriedade P(n) é que a soma de todos os inteiros ímpares de 1 até (2n-1) é verdadeira.
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Questão 10 de 10
Seja o exercício: Provar, por indução,  que n2 > 3n, para n ≥ 4.
E -
Neste caso, a hipótese de indução deve ser feita para n = 4
Questão 1 de 10
Determinar todas as aplicações de A = {1,2,3} em B = {5,6}
A -
{(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6)}
Questão 2 de 10
Seja a aplicação ƒ: N x N → N tal que ƒ(x,y) = mmc (x,y). Determinar ƒ(2,4), ƒ(5,12) e ƒ(6,12).
D -
ƒ(2,4) = 4, ƒ(5,12) = 60 e ƒ(6,14) = 42
Questão 3 de 10
Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas:
(I) As adições em N, Z, Q R e C satisfaçam a prioridade comutativa.
(II) A adição sobre as matrizes de ordem m x n, sendo os elementos dessas matrizes números reais, satisfazem a propriedade comutativa.
(III) A subtração no conjunto dos números reais não é comutativa.
Escolha a alternativa correta:
E -
I, II e III são verdadeiras.
Questão 4 de 10
Seja (G,å) um grupo e seja M um subconjunto não vazio do conjunto G. Dizemos que (M, å) é um subconjunto de (G,å) se, e somente se:
E -
M é fechado para a lei de composição interna de G, ou seja, para qualquer operação efetuada em (M,å), o resultado estará no subconjunto M, e se (M,å) também é um grupo.
Questão 5 de 10
Considerando os números complexos M e N, onde M e N são representados como M = α + bi e N = c + di. No conjunto dos números complexos, a soma é definida por:
E -
M + N = (a + c) + (b + d) i
Questão 6 de 10
Considere a relação de R em R, tal que R = {(x,y) ∈ R2|x2 + y2 = 9} e indique a alternativa correta:
C -
R representa uma circunferência com centro na origem e raio igual a 3
Questão 7 de 10
E -
ƒ({0,1}) = {α,c}, ƒ(2) = {e}, ƒ(A) = {α,c,e} ƒ-1(d) = { } e ƒ-1(c) = {1}
Questão 8 de 10
Verificar se a função ƒ:R→R, dada por ƒ(x) = 2x + 1 é bijetora. Caso seja, encontrar sua função inversa.
C -
ƒ(x) é bijetora, e sua função inversa é ƒ-1(x) = x-1 / 2
Questão 9 de 10
Seja P um conjunto não vazio. com relação às aplicações, temos:
∀ƒ, g ∈ F(P),(ƒ,g)→ƒ ○ g em que F(P) representa o conjunto de todas as bijeções de P. Então:
A -
O grupo (F(P),○) é chamado de grupo das permutações sobre P quando for associativo, existir elemento neutro, simétrico e for comutativo.
Questão 10 de 10
Seja ƒ: R → R tal que ƒ(x) = kx2. Determine k para que ƒ○ƒ(x) = 27x4.
B -
k = 3
Questão 1 de 8
Os números racionais foram idealizados para resolver problemas que não tinham solução no conjunto dos inteiros. O conjunto dos números racionais, Q = {m/n|m,n ∈ Z, n ≠ 0}, é um corpo de frações, isto é, é o corpo de frações de Z.
Analise as afirmações abaixo e marque a alternativa correta:
D -
Se b é um divisor de a, então a - nb para algum inteiro n e a/b é um número inteiro, pois a/b = nb/b = n.
Questão 2 de 8
Seja p(x) = (α1) tal que α1 = 2i e q(x) = (bi) tal que bi = i + j, determina a soma h(x) = (ci) dada por ci = αi + bi.
A -
ci = 3i + j
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Questão 3 de 8
Se p = (2,1,0,0,0,...,0,...) e q = (1,1,1,1,1,...,1,...). Assinale a alternativa que representa h = p + q.
D -
h = (3,2,1,1,1,...,1,...)
Questão 4 de 8
Seja p = (α1) tal que α1 = 3i e q = (bj) tal que bj = j sobre R. Determine os quatro primeiros termos iniciais do produto da sequência.
C -
h = (0,0,3,12,...)
Questão 5 de 8
Dados os polinômios p(x) = 3x2 - 4x + 2 e q(x) = 3x2 + 2x + 7. Qual o valor de p(x) + q(x).
C -
p(x) + q(x) = 6x2 -2x +9
Questão 6 de 8
Determine o resto da divisão do polinômio 2x3 - 3x2 + x - 3 por 2x2 - x + 1 sobre o corpo K=C.
D -
-x-2
Questão 7 de 8
A multiplicação num anel ordenado satisfaz algumas propriedades relacionadas com “regras de sinal da multiplicação”. Considere as afirmações:
(I)            Se α ≥ 0, então -α ≤ 0.
(II)           Se α ≤ 0, então -α ≤ 0.
(III)          Se α ≥ 0 e b ≥ 0, então αb ≥ 0.
(IV)          Se α ≥ 0 e b ≤ 0, então αb ≤ 0.
(V)           Se α ≤ 0 e b ≤ 0, então αb ≤ 0
Escolha a alternativa correta:
E - I, III e IV são verdadeiras.
Questão 8 de 8
Considere as afirmações abaixo, sobre ideais gerados e ideais principais e marque a alternativa INCORRETA:
E -
Seja A um anel comutativo com unidade. Os únicos ideais em A são os triviais se, e somente se, A é um conjunto limitado.