Resumo de econometria 1 (Ibmec)

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econometria i O modelo de regress�o m�ltipla.doc
O modelo de regressão múltipla
O modelo populacional
Introdução
Relação teórica: 
Modelo populacional ou regressão linear múltipla: 
u: variáveis não observáveis, variáveis omitidas, forma funcional, erros de medida
Outras representações do modelo populacional ou regressão linear múltipla
, 
Notação
: variável dependente.
: regressores ou variáveis de controle.
: erro ou distúrbio aleatório.
: intercepto ou coeficiente linear da regressão.
: coeficientes angulares ou coeficientes de inclinação da regressão linear múltipla.
Interpretação dos coeficientes ou parâmetros
Primeiro fazemos, novamente, duas hipóteses sobre o erro, que serão as mesmas do modelo de regressão linear simples:
 (hipótese não restritiva)
 (hipótese restritiva)
�
Interpretação de 
Interpretação de 
O modelo amostral
Representações
, 
Notação
: estimador MQO de 
.
: estimadores MQO dos coeficientes angulares do modelo populacional.
: resíduo da regressão (estimador MQO do erro populacional).
Como encontrar os estimadores MQO?
Há duas maneiras de encontrar os estimadores MQO de um modelo de regressão linear múltipla. São elas:
Condições de momento amostrais equivalentes às condições de momento populacionais.
�
Método 1
Condições de momento populacionais
Condições de momento amostrais equivalentes
Resolução
Substituir 
 por 
 e resolver o sistema.
Método 2
Forma matricial
Devemos primeiro transformar o problema para a forma matricial:
Onde 
,
,
, 
�
Resolução
Problema
Condições de primeira ordem
Observação – Existência de 
Teorema da não tendenciosidade
Teorema
Se são válidas as hipóteses abaixo, então os estimadores MQO de uma regressão linear múltipla são não tendenciosos (ou não viesados). Ou seja, 
.
Hipóteses
O modelo é linear nos parâmetros;
Amostras aleatórias (cada observação é estatisticamente independente da outra);
; e
�
Demonstração
Teorema de 
Hipótese de homocedasticidade do erro
Para esse teorema, precisaremos de uma hipótese adicional, que será a hipótese de homocedasticidade do erro: 
Essa hipótese implica no seguinte: 
( Observe que a segunda implicação não ocorre devido à hipótese de homocedasticidade do erro, mas pela hipótese já feita anteriormente de amostras aleatórias.
Teorema
Se são válidas as quatro hipóteses do teorema da não tendenciosidade, assim como a hipótese de homocedasticidade do erro, então 
Demonstração
Observação
Estimador para σ2
Novamente, assim como na regressão linear simples, não sabemos 
. Portanto, na regressão linear múltipla também precisaremos definir um estimador para a variância do erro: 
.
	Onde n é o número de observações da amostra e k é o número de regressores.
Se são válidas todas as hipóteses feitas anteriormente, então 
 é um estimador não tendencioso de 
. Ou seja, 
.
R² (ou coeficiente de ajuste) de uma regressão linear múltipla
Definindo 
 (ou 
ajustado) na regressão linear múltipla
 ( 
R²
, onde 
( Perceba que o R² de uma regressão múltipla é idêntico ao R² da regressão simples; a única diferença passa a ser a definição de 
, que passa a ter mais de dois parâmetros.
�
Teorema de 
Expressão da variância condicional de um estimador βj qualquer
, onde:
	
;
	
; e
	
 é o 
 da seguinte regressão:
		
Observação
A regressão a partir da qual obtemos o 
 é chamada de regressão auxiliar do MQO. Vale ressaltar que não há o termo 
 na regressão.
Observação
Novamente, nosso problema com a expressão que encontramos é que dificilmente sabemos o valor de 
. Nesses casos, utilizaremos seu estimador 
.
Interpretação
Por motivos óbvios, o ideal é que a variância de qualquer estimador seja a menor possível. Para isso ocorrer, pela expressão encontrada acima, é necessário que:
 ( Menos incerteza
 ( Mais informação sobre a população
 ( Se 
, 
 será linearmente dependente dos demais regressores e não será possível fazer a regressão; se 
 temos que 
 será não-correlacionado com os demais regressores.
Observação
Na Economia, geralmente (e infelizmente) o 
 das regressões são elevados, uma vez que as diversas variáveis envolvidas quase sempre são correlacionadas.
Quando isso ocorre – ou seja, quando 
 – dizemos que temos um caso de multicolinearidade.
Teorema de Gauss-Markov
Teorema
Se valem as hipóteses de Gauss-Markov, então os estimadores MQO de uma regressão linear (simples ou múltipla) são do tipo B.L.U.E. (Best Linear Unbiased Estimator).
Esse teorema é relevante porque demonstra a importância do método MQO.
Observação – Definição de estimador
Estimador é uma variável aleatória de pontos amostrais.
Hipóteses
;
Amostra é aleatória;
;
;
Demonstração
Como já demonstramos que os estimadores MQO são não-viesados, devemos apenas demonstrar porque os estimadores MQO são os mais eficientes (Best).
�
Para isso, devemos definir um estimador linear não-viesado qualquer e mostrar que a variância condicional de cada um de seus elementos é maior ou igual à variância condicional dos estimadores MQO correspondentes.
 (estimador linear)
 ( 
 ( 
 (
 é não-viesado)
 ( 
 ( 
Precisamos mostrar que as variâncias condicionais de cada elemento do vetor 
 são menores ou iguais às variâncias condicionais dos elementos de 
. Para isso, basta mostrar que: 
 é uma matriz positiva semi-definida.
 ( 
 ( 
É possível mostrar que 
 é simétrica e idempotente. Logo, 
 é positiva semi-definida, pois 
 é simétrica e idempotente.
�
Viés de variável omitida
Caso particular
Modelo populacional verdadeiro: 
Modelo populacional falso: 
 é tendencioso 
? Depende!
	( 
Por que depende? Porque 
 é não tendencioso apenas quando:
 ( O modelo verdadeiro na verdade é o modelo falso; 
 não explica 
.
 ( 
 e 
 são independentes.
Assim, quando nenhuma das duas condições acima for atendida, o sinal do viés que existirá dependerá do sinal de 
 e 
.
Caso geral
Modelo populacional verdadeiro: 
Onde 
 é a matriz das variáveis que vão ficar na regressão, enquanto 
 é a matriz das variáveis omitidas.
Modelo populacional falso: 
	( 
 é não tendencioso apenas quando:
 ( O modelo verdadeiro na verdade é o modelo falso; 
 não explica 
.
 ( 
 e 
 são independentes.
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econometria i O modelo de regress�o simples.doc
O modelo de regressão simples
O modelo populacional
, onde:
�
 é a variável dependente, variável a ser explicada ou regressando;
 é o coeficiente (ou parâmetro) populacional linear ou intercepto da regressão;
 é o coeficiente (ou parâmetro) populacional angular ou inclinação da regressão;
 é a variável explicativa, variável de controle ou regressor; e
 é o erro ou distúrbio aleatório.
�
Esse modelo é populacional. Portanto: 
Onde 
 e representa uma determinada observação em um instante do tempo.
Objetivo
Estimar 
 e 
 – a relação populacional entre 
 e 
, utilizando uma base de dados aleatória em corte transversal.
A técnica econométrica utilizada para isso é conhecida como mínimos quadrados ordinários – MQO.
Modelo populacional X modelo amostral
Modelo populacional: 
, 
Modelo amostral: 
, 
, onde:
	
 é o estimador MQO do coeficiente linear 
;
	
 é o estimador MQO do coeficiente angular 
;
	
 é o estimador MQO do erro da regressão (resíduo).
Esquema do MQO
�
Hipóteses do MQO
As seguintes hipóteses são conhecidas na literatura como condições de momento populacionais. Essas hipóteses estão relacionadas ao erro u.
( Implica que é possível errar para mais ou menos, mas a soma dos erros deve ser zero.
( Não é uma hipótese restritiva: sempre podemos reescrever a regressão linear de modo que essa condição seja atendida (manipulando o 
).
�
( Implica que o erro é estatisticamente independente em relação a x. Outras maneiras de dizer isso é falar que x é exógeno, estritamente exógeno ou ainda ortogonal ao erro u.
( Essa hipótese é restritiva e a mais importante do MQO: se ela não for atendida, não podemos utilizar o método – precisaremos de outras técnicas econométricas.
( Outras implicações importantes:
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 	
Interpretação dos parâmetros
	( A média de y quando o regressor x é zero é o 
.
	( 
 é o intercepto da linha de regressão populacional – LRP – com o eixo y.
( 
 mede a variação ou efeito marginal de 
 dada uma variação marginal de x. Por esse motivo, esse parâmetro também é chamado de efeito marginal de x sobre y.
( 
 é a tangente do ângulo de inclinação da linha de regressão populacional – LRP.
Exemplo
	
A média do salário das pessoas com 12 anos de educação ao variar os anos de educação em 1 será aumentado em 
.
Encontrando os estimadores 
 e 
Hipóteses do modelo populacional
 
 
Hipóteses do modelo amostral (ou condições de momento amostral)
 
 
Observação
As condições de momento amostral também são conhecidas como condições de momento amostrais equivalentes às condições de momento populacionais ou simplesmente hipóteses do modelo amostral.
�
Resolução
Precisamos estimar 
 e 
. Para isso, utilizamos as duas condições de momento amostrais:
 
 
Temos agora um sistema de duas equações e duas incógnitas 
. Trata-se de um sistema linear. Vamos resolvê-lo por substituição:
 
 ( 
 
 ( 
Observações
Desenvolvendo o sistema para o 
, utilizamos as seguintes relações:
( 
( 
( 
( 
�
Observações importantes
Se 
 existe, então 
 ( x varia na amostra.
O sinal de 
 depende do sinal de 
.
Resolução alternativa
Uma forma equivalente de encontrar os estimadores MQO é encontrar uma linha de regressão amostral (ou LRA – 
) que minimize a distância dos pontos amostrais em relação a essa linha.
O conceito de distância que utilizamos em MQO é o 
. Portanto, o problema a ser resolvido passa a ser: 
.
Maneira alternativa de encontrar as condições de momento amostral
Condição de primeira ordem
	
 ( 
 ( 
Condição de segunda ordem
	
 ( 
 ( 
Variáveis aleatórias
; 
Podemos afirmar que 
 e 
 são variáveis aleatórias. Por quê?
Ambos são funções de y, que é uma variável aleatória (pois há uma incerteza envolvida em seu valor – o erro).
Da mesma forma (e pelo mesmo motivo) podemos afirmar que 
 e 
 também são variáveis aleatórias.
Coeficiente de ajuste (ou 
) da regressão
Definições
SQT = Somatório dos quadrados totais = 
SQE = Somatório dos quadrados explicados = 
SQR = Somatório dos quadrados dos resíduos = 
Significado
O 
 é uma estatística que nos dá uma ideia do ajuste da linha de regressão amostral em relação aos pontos amostrais.
É possível mostrar que o 
varia entre 0 e 1:
 ( Dizemos que a regressão estimada se ajusta perfeitamente aos pontos amostrais ( 
 ( A regressão estimada não explicada nada da variável dependente ( 
Portanto, quanto
mais próximo o 
 estiver de 1, melhor será o ajuste da regressão estimada.
Observação importante
O 
 é apenas uma estatística auxiliar no MQO.
Podemos ter regressões corretamente estimadas (condições de momento populacionais verdadeiras) com baixos valores de 
.
�
Teorema da não tendenciosidade dos estimadores MQO
Teorema
Se as hipóteses abaixo são válidas, então os estimadores MQO da regressão linear simples são não tendenciosos (ou não viesados). Isto é: 
Hipóteses
O modelo populacional é linear nos parâmetros;
A amostra é aleatória (elementos da amostra são estatisticamente independentes uns dos outros);
;
x varia na amostra (ou simplesmente não existe perfeita colinearidade).
Demonstração
Encontrando os estimadores
 
Observações
Verificando o teorema
( Como sabemos o valor de x, 
 pode ser colocado em evidência, como se fosse uma constante.
( Novamente, como sabemos x, 
 pode ser colocado em evidência, como se fosse uma constante.
Observação – Viés
Hipótese da homocedasticidade do erro
Hipótese
 constante
Observações
Quando 
, 
;
Quando 
, dizemos que u é heterocedástico (ou existe heterocedasticidade).
Teorema de 
Teorema
Se são válidas as quatro hipóteses do teorema da não tendenciosidade, assim como a hipótese da homocedasticidade do erro, então 
.
Demonstração
 (teorema da não tendenciosidade de 
)
Observação – Outros conhecimentos necessários para a demonstração
( 
( 
Como a variância pode diminuir?
Há duas maneiras como a variância pode diminuir. São elas:
 ( 
 ( Menos incerteza
 ( Mais informação sobre os dados
�
Estimador para σ2
Como não conhecemos 
, precisamos substituí-lo por seu estimador 
.
Se são válidas as quatro hipóteses do teorema da não tendenciosidade, assim como a hipótese da homocedasticidade do erro, então um estimador não-tendencioso de 
 é:
Da equação para o estimador de 
 acima, podemos tirar outras estatísticas:
Base de dados
(corte transversal)
MQO
Modelo amostral
� EMBED Equation.3 ���
Modelo teórico
� EMBED Equation.3 ��� (linear ou não)
u
Variáveis não observáveis
Variáveis omitidas
Erros de medida
Função linear
Modelo populacional
� EMBED Equation.3 ���
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econometria i P1.doc
Regressão linear simples
Objetivo do método MQO
Estimar 
 e 
 – a relação populacional entre 
 e 
, utilizando uma base de dados aleatória em corte transversal.
�
Condições de momento populacionais | Condições de momento amostrais
 | 
 (hipóteses não-restritivas)
 | 
 (hipóteses restritivas)
( É possível encontrar os estimadores 
 e 
 resolvendo o sistema formado por essas duas condições de momento.
( Em geral, 
.
( Outra maneira alternativa de encontrar os estimadores MQO é por meio da resolução do problema de minimização do quadrado dos erros: 
.
�
Interpretação dos parâmetros
Na média, quando o regressor x é zero, y é igual a 
.
Na média, quando o regressor x varia em uma unidade, y varia em 
 unidades.
R² (ou coeficiente de ajuste) de uma regressão simples
( O 
 é apenas uma estatística auxiliar no MQO. Podemos ter regressões corretamente estimadas (condições de momento populacionais verdadeiras) com baixos valores de 
.
Teorema da não tendenciosidade: 
( Hipóteses:
O modelo é linear nos parâmetros;
A amostra é aleatória;
;
x varia na amostra (ou simplesmente não existe perfeita colinearidade).
( Demonstração:
Teorema da variância condicional de β1: 
( Hipóteses:
As quatro hipóteses do teorema da não tendenciosidade;
Homocedasticidade do erro: 
( Demonstração:
 (teorema da não tendenciosidade)
Estimador para a variância populacional
 ( 
Regressão linear múltipla
Encontrando os estimadores MQO – Forma matricial
Onde 
,
,
, 
 ( 
Teorema da não tendenciosidade: 
( Hipóteses:
O modelo é linear nos parâmetros;
Amostras
aleatórias (cada observação é estatisticamente independente da outra);
; e
( Demonstração:
Teorema da variância condicional dos estimadores β: 
( Hipóteses:
As quatro hipóteses do teorema da não tendenciosidade;
Homocedasticidade do erro: 
( Demonstração:
Observação
Estimador para a variância populacional
	Onde n é o número de observações da amostra e k é o número de regressores.
Teorema da variância de um estimador β qualquer
Onde:
	
;
	
; e
	
 é o 
 da seguinte regressão:
		
Observação
A regressão a partir da qual obtemos o 
 é chamada de regressão auxiliar do MQO. Vale ressaltar que não há o termo 
 na regressão.
Teorema de Gauss-Markov
( Teorema:
“Se valem as hipóteses de Gauss-Markov, então os estimadores MQO de uma regressão linear (simples ou múltipla) são do tipo B.L.U.E. (Best Linear Unbiased Estimator)”.
Esse teorema é relevante porque demonstra a importância do método MQO.
Observação – Definição de estimador
Estimador é uma variável aleatória de pontos amostrais.
( Hipóteses:
;
Amostra é aleatória;
;
;
( Demonstração:
Como já demonstramos que os estimadores MQO são não-viesados, devemos apenas demonstrar porque os estimadores MQO são os mais eficientes (Best).
Para isso, devemos definir um estimador linear não-viesado qualquer e mostrar que a variância condicional de cada um de seus elementos é maior ou igual à variância condicional dos estimadores MQO correspondentes.
 (estimador linear)
 ( 
 (
 (
 é não-viesado)
 ( 
 ( 
Precisamos mostrar que as variâncias condicionais de cada elemento do vetor 
 são menores ou iguais às variâncias condicionais dos elementos de 
. Para isso, basta mostrar que: 
 é uma matriz positiva semi-definida.
 ( 
 ( 
É possível mostrar que 
 é simétrica e idempotente. Logo, 
 é positiva semi-definida, pois 
 é simétrica e idempotente.
�
Viés de variável omitida
Modelo populacional verdadeiro: 
Modelo populacional falso: 
( Demonstração – Caso particular
	( 
( Demonstração – Caso geral
Modelo populacional verdadeiro: 
Onde 
 é a matriz das variáveis que vão ficar na regressão, enquanto 
 é a matriz das variáveis omitidas.
Modelo populacional falso: 
 ( 
Modelo populacional
� EMBED Equation.3 ���
u
Variáveis não observáveis
Variáveis omitidas
Erros de medida
Função linear
Modelo teórico
� EMBED Equation.3 ��� (linear ou não)
Modelo amostral
� EMBED Equation.3 ���
MQO
Base de dados
(corte transversal)
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econometria i Revis�o de �lgebra linear.doc
Revisão de álgebra linear
Multiplicação de matrizes
Propriedades
Transposta de uma matriz
Propriedades
Traço de uma matriz
Propriedades
Matriz inversa de 
Classificação
Se existe a matriz inversa de A, então A é uma matriz não singular ou inversível;
Se não existe a matriz inversa de A, então A é uma matriz singular.
Propriedades
Independência linear
Seja o vetor 
, 
 são linearmente independentes se e somente se 
 para todo 
.
Em outras palavras, se existir outra combinação de 
 em que a igualdade seja satisfeita, 
 são linearmente dependentes.
Posto de uma matriz
É o número de colunas linearmente independentes de uma matriz.
Se o posto for completo, então 
.
Propriedades
Se 
, então 
Se 
 e 
, então existe 
 (A é não singular)
Formas quadráticas
, onde 
 e 
.
Classificação
Matriz positiva definida ( uma matriz simétrica tal que 
 para todo 
.
Matriz positiva semidefinida ( uma matriz simétrica tal que 
 para todo 
.
Propriedades
Se A é positiva definida, então todos os elementos de sua diagonal principal são estritamente positivos;
Se A é positiva semidefinida, então todos os elementos de sua diagonal principal são positivos ou não-negativos;
Se A é positiva definida, então existe a matriz inversa de A, que também será positiva definida;
Seja a matriz 
, então 
 e 
 são matrizes do tipo positiva semidefinida;
Seja a matriz 
 e 
, 
 é uma matriz positiva definida.
Diferenciação de formas lineares e quadráticas
Seja 
, 
 e 
 ( 
Seja 
, 
 ( 
Matriz idempotente
Uma matriz A é idempotente se 
.
Produto de Kronecker (AxB)
Definição
Consiste em realizar o produto de cada elemento da matriz A por toda a matriz B.
O número de linhas/colunas da matriz resultante será o produto do número de linhas/colunas das duas matrizes utilizadas no produto.
Exemplo
Vetores e matrizes aleatórios e seus momentos
Vetor aleatório
 é um vetor aleatório
se e somente se 
, com i variando de 1 a N, é uma variável aleatória.
Valor esperado de um vetor aleatório
O valor esperado de um vetor aleatório é obtido substituindo-se as variáveis aleatórias que compõem o vetor por seus valores esperados.
Matriz aleatória
 é uma matriz aleatória se e somente se 
 é uma variável aleatória para todo i e j variando de 1 a N ou M.
Valor esperado de uma matriz aleatória
 Obtido da mesma forma que o valor esperado de um vetor aleatório.
Propriedades de valor esperado
Sejam duas matrizes determinísticas (elementos diferentes de variáveis aleatórias) 
 e 
, então 
;
Se 
 também for determinística, então 
.
Matriz variância e covariância 
Onde:
 é simétrica;
Propriedades
;
 é uma matriz positiva definida;
, onde 
;
Se 
, para todo i e j diferentes, variando entre 1 e N, e 
então: 
;
Distribuição normal multivariada
Seja 
 um vetor aleatório, 
 e 
 para todo i e j variando de 1 a N:
, 
 ( 
Propriedades
Se 
, então 
;
Se 
, então 
 é independente de 
 se e somente se 
.
Distribuição qui-quadrada
Seja 
, então 
, onde N são os graus de liberdade.
Propriedade
Se 
 e 
 é simétrica, idempotente e tem posto q, então 
Distribuição t de Student
Sejam 
, 
 é simétrica, idempotente, tem posto q, 
 e 
 um vetor coluna qualquer, então 
.
Distribuição F
Sejam 
, 
 e 
 simétricas, idempotentes, com 
, 
 e 
, então 
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econometria i Teste 4.doc
Capítulo 3 – Teorema de Gauss-Markov (demonstração)
Hipóteses
;
Amostra é aleatória;
;
;
Demonstração
Como já demonstramos que os estimadores MQO são não-viesados, devemos apenas demonstrar porque os estimadores MQO são os mais eficientes (Best).
 (estimador linear)
 ( 
 ( 
 
 ( 
 ( 
 ( 
 ( 
É possível mostrar que 
 é simétrica e idempotente. Logo, 
 é positiva semi-definida, pois 
 é simétrica e idempotente.
Capítulo 4
Estimadores e estatísticas
 
 
Testes de Wald na forma matricial
	
	
Teste t de student
, 
 e 
Teste F
, 
 e 
�
Capítulo 8
Correção de White
MQP
MQGF
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econometria P1.doc
Regressão linear simples
Objetivo do método MQO
Estimar 
 e 
 – a relação populacional entre 
 e 
, utilizando uma base de dados aleatória em corte transversal.
�
Condições de momento populacionais | Condições de momento amostrais
 | 
 (hipóteses não-restritivas)
 | 
 (hipóteses restritivas)
( É possível encontrar os estimadores 
 e 
 resolvendo o sistema formado por essas duas condições de momento.
( Em geral, 
.
( Outra maneira alternativa de encontrar os estimadores MQO é por meio da resolução do problema de minimização do quadrado dos erros: 
.
�
Interpretação dos parâmetros
Na média, quando o regressor x é zero, y é igual a 
.
Na média, quando o regressor x varia em uma unidade, y varia em 
 unidades.
R² (ou coeficiente de ajuste) de uma regressão simples
( O 
 é apenas uma estatística auxiliar no MQO. Podemos ter regressões corretamente estimadas (condições de momento populacionais verdadeiras) com baixos valores de 
.
Teorema da não tendenciosidade: 
( Hipóteses:
O modelo é linear nos parâmetros;
A amostra é aleatória;
;
x varia na amostra (ou simplesmente não existe perfeita colinearidade).
( Demonstração:
Teorema da variância condicional de β1: 
( Hipóteses:
As quatro hipóteses do teorema da não tendenciosidade;
Homocedasticidade do erro: 
( Demonstração:
 (teorema da não tendenciosidade)
Estimador para a variância populacional
 ( 
Regressão linear múltipla
Encontrando os estimadores MQO – Forma matricial
Onde 
,
,
, 
 ( 
Teorema da não tendenciosidade: 
( Hipóteses:
O modelo é linear nos parâmetros;
Amostras aleatórias (cada observação é estatisticamente independente da outra);
; e
( Demonstração:
Teorema da variância condicional dos estimadores β: 
( Hipóteses:
As quatro hipóteses do teorema da não tendenciosidade;
Homocedasticidade do erro: 
( Demonstração:
Observação
Estimador para a variância populacional
	Onde n é o número de observações da amostra e k é o número de regressores.
Teorema da variância de um estimador β qualquer
Onde:
	
;
	
; e
	
 é o 
 da seguinte regressão:
		
Observação
A regressão a partir da qual obtemos o 
 é chamada de regressão auxiliar do MQO. Vale ressaltar que não há o termo 
 na regressão.
Teorema de Gauss-Markov
( Teorema:
“Se valem as hipóteses de Gauss-Markov, então os estimadores MQO de uma regressão linear (simples ou múltipla) são do tipo B.L.U.E. (Best Linear Unbiased Estimator)”.
Esse teorema é relevante porque demonstra a importância do método MQO.
Observação – Definição de estimador
Estimador é uma variável aleatória de pontos amostrais.
( Hipóteses:
;
Amostra é aleatória;
;
;
( Demonstração:
Como já demonstramos que os estimadores MQO são não-viesados, devemos apenas demonstrar porque os estimadores MQO são os mais eficientes (Best).
Para isso, devemos definir um estimador linear não-viesado qualquer e mostrar que a variância condicional de cada um de seus elementos é maior ou igual à variância condicional dos estimadores MQO correspondentes.
 (estimador linear)
 ( 
 (
 (
 é não-viesado)
 ( 
 ( 
Precisamos mostrar que as variâncias condicionais de cada elemento do vetor 
 são menores ou iguais às variâncias condicionais dos elementos de 
. Para isso, basta mostrar que: 
 é uma matriz positiva semi-definida.
 ( 
 ( 
É possível mostrar que 
 é simétrica e idempotente. Logo, 
 é positiva semi-definida, pois 
 é simétrica e idempotente.
�
Viés de variável omitida
Modelo populacional verdadeiro: 
Modelo populacional falso: 
( Demonstração – Caso particular
	( 
( Demonstração – Caso geral
Modelo populacional verdadeiro: 
Onde 
 é a matriz das variáveis que vão ficar na regressão, enquanto 
 é a matriz das variáveis omitidas.
Modelo populacional falso: 
 ( 
Modelo populacional
� EMBED Equation.3 ���
u
Variáveis não observáveis
Variáveis omitidas
Erros de medida
Função linear
Modelo teórico
� EMBED Equation.3 ��� (linear ou não)
Modelo amostral
� EMBED Equation.3 ���
MQO
Base de dados
(corte transversal)
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_1347005826.unknown
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_1347005506.unknown
_1347005617.unknown
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_1347005105.unknown
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_1347004945.unknown
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econometria i Cap�tulo 2.doc
Capítulo 2 – O modelo de regressão simples [Livro]
2.1 – Definição do modelo de regressão simples
O modelo
u
A variável u, chamada de erro ou distúrbio na relação, representa outros fatores que não x que afetam y. Uma análise de regressão simples trata todos esses fatores que afetam y que não sejam x como sendo não-observáveis. Você pode apropriadamente pensar a variável u como sendo u de “unobserved”.
Problema para a interpretação do modelo
, se 
( A parte mais difícil é saber se o modelo realmente nos permite tirar conclusões ceteris paribus sobre como x afeta y. Podemos ver na equação acima que 
 mede de fato o efeito de x sobre y, mantendo-se todos os outros fatores (em u) fixos.
( Esse é o fim da questão da causalidade? Infelizmente não. Como podemos esperar entender em geral sobre o efeito ceteris paribus de x sobre y, mantendo-se todos os demais fatores fixos, quando estamos ignorando todos esses outros fatores?
( A seção 2.5 mostrará que nós somente conseguiremos estimadores confiáveis de 
 e 
 de uma amostra aleatória de dados quando fazemos uma suposição restringindo como a variável u está relacionada à variável explicativa x. Sem tal restrição, não seremos capazes de estimar o efeito ceteris paribus, 
.
�
Hipóteses para a interpretação do modelo
Uma vez que u e x são variáveis aleatórias, precisaremos de um conceito centrado em probabilidade. A hipótese inicial que faremos será a seguinte: 
.
( Essa hipótese é não restritiva, uma vez que pode ser demonstrado que sempre podemos alterar o intercepto da regressão de forma a que essa condição seja atendida.
Agora precisamos voltar à questão de como u e x estão relacionados.
Uma medida natural de associação entre duas variáveis aleatórias é o coeficiente de correlação. No entanto, esse conceito apenas mede a dependência
linear entre u e x. A correlação tem uma característica um tanto quanto contra-intuitiva: é possível que u seja não-correlacionado com x, mas seja correlacionado com funções de x. Essa possibilidade não é aceitável para a maioria dos objetivos da regressão, pois causa problemas para a interpretação do modelo e para derivar propriedades estatísticas.
Uma hipótese melhor envolve o valor esperado de u dado x. Uma vez que u e x são variáveis aleatórias, podemos definir a distribuição condicional de u dado qualquer valor de x. Em particular, para qualquer x, podemos obter o valor esperado (ou média) de u para aquela parcela da população descrita pelo valor de x.
( A hipótese crucial é a de que o valor médio de u não depende do valor de x. Podemos escrever isso da seguinte forma: 
.
Exemplo de interpretação do modelo
Suponha que queremos explicar o salário recebido em função dos anos de estudo.
Para simplificar a discussão, assuma que u signifique a habilidade inata da pessoa. 
( Então, a hipótese que fizemos acima requer que o nível médio de habilidade seja o mesmo independentemente dos anos de educação. Se 
 denota a habilidade média para o grupo de todas as pessoas com oito anos de educação e 
 denota a habilidade média entre pessoas na população com 16 anos de estudo, então a nossa hipótese implica que essas médias devem ser as mesmas.
( Na realidade, o nível de habilidade média precisa ser o mesmo para todos os níveis de educação. Se, por exemplo, pensarmos que a habilidade média aumenta com os anos de educação, então a nossa hipótese será falsa.
Outra interpretação para β1
A hipótese que fizemos acima nos dá ainda outra interpretação para 
 que é frequentemente útil.
Tomando o valor esperado de y dado x e utilizando 
, temos que 
, expressão também chamada de função de regressão populacional (FRP), onde 
 é uma função linear de x.
A linearidade significa que um aumento em uma unidade de x altera a o valor esperado de y na quantidade 
.
2.2 – Derivando os estimadores MQO
Para poder estimar os parâmetros 
 e 
 do modelo de regressão simples, precisaremos de uma amostra da população: 
. Há várias maneiras de fazer a estimação.
Método 1 – Condições de momento amostrais
Utilizaremos duas importantes implicações da hipótese 
: na população, u tem média zero e é não-correlacionado com x. Portanto:
 e 
.
Em termos das variáveis observáveis x e y e dos parâmetros desconhecidos 
 e 
, as duas equações acima podem ser escritas da seguinte maneira:
 e 
.
( As duas expressões acima implicam duas restrições na distribuição de probabilidade conjunta de x e y na distribuição. Uma vez que há dois parâmetros desconhecidos para estimar, essas duas equações podem ser utilizadas para obter bons estimadores de 
 e 
, eliminando o valor esperado delas:
 e 
Portanto, sabendo-se que 
, temos que os estimadores 
 e 
 serão:
 e 
( O estimador 
 acima é simplesmente a covariância amostral entre x e y dividida pela variância amostral de x (dividir o numerador e o denominador por 
 não faz diferença). Isso faz sentido porque 
 iguala a covariância da população dividida pela variância de x quando 
 e 
.
( Uma implicação imediata disso é que, se x e y são positivamente correlacionados na amostra, então 
; se eles são negativamente correlacionados, 
.
Embora esse método para obter as expressões para 
 e 
 seja consequência da hipótese 
, única hipótese necessária para obter os estimadores para uma amostra é a condição 
, o que dificilmente é uma hipótese, a menos que todos os valores de x sejam iguais na amostra.
( Continuando com o exemplo da outra seção entre salário e anos de estudo, essa hipótese falha somente se todos na amostra têm a mesma quantidade de anos de educação. Se apenas uma pessoa tiver um nível de educação diferente, a hipótese estará automaticamente atendida e os estimadores MQO podem ser obtidos.
�
Método 2 – Minimização do soma dos quadrados dos resíduos
Os estimadores obtidos nessa seção são chamados de estimadores de mínimos quadrados ordinários – MQO – de 
 e 
. Para justificar esse nome, defina um valor estimado para y quando 
: 
.
O resíduo da regressão para cada observação i será a diferença entre o y real e o y estimado: 
.
Agora suponha que escolhemos 
 e 
 de forma a minimizar a soma dos quadrados dos resíduos: 
. É possível mostrar que as condições de primeira ordem para esse problema são exatamente as mesmas que as que utilizamor anteriormente para encontrar os estimadores 
 e 
, só que sem dividir por n.
Ou seja, os estimadores que obteremos por esse método serão idênticos aos que já calculamos e por isso eles são comumente chamados de estimadores MQO, uma vez que eles minimizam a soma dos quadrados dos resíduos.
Por que não minimizar outra função dos resíduos, como o valor absoluto deles?
( Por dois motivos, basicamente: o primeiro é que, utilizando-se outra função, o cálculo se torna muito complicado e o outro é que, com o MQO, somos capazes de derivar estimadores não-viesados, consistentes e com outras propriedades estatísticas importantes de maneira relativamente fácil.
( Além disso, como algumas das várias equações que vimos até agora sugerem, e como veremos na seção 2.5, o MQO é apropriado para estimar parâmetros aparecendo na função de média condicional 
.
Linha de regressão MQO ou função de regressão simples
Obtidos os estimadores MQO de 
 e 
, formamos a linha de regressão MQO: 
. Essa equação também é chamada de função de regressão simples porque é a versão estimada da função de regressão populacional 
.
( É importante lembrar que a função de regressão populacional é algo fixo, mas desconhecido, na população. Uma vez que a função de regressão simples é obtida a partir de uma dada amostra, uma nova amostra irá gerar novos estimadores na equação 
.
2.3.2 – Propriedades algébricas do MQO
Propriedade úteis
Há várias propriedades algébricas úteis dos estimadores MQO e de suas estatísticas associadas. Nós cobriremos as três mais importantes dessas propriedades.
A soma e, portanto, a média amostral dos resíduos MQO é zero: 
.
Essa propriedade não precisa ser provada. Ela é derivada imediatamente das condições primeira ordem do MQO quando lembramos que os resíduos são definidos por 
.
A covariância amostral entre os regressores e os resíduos MQO é zero.
Essa propriedade vem da segunda condição de primeira ordem 
, que pode ser escrita em termos do resíduo como: 
.
O ponto 
 sempre está contido na linha de regressão MQO.
Implicações
( Da propriedade 1, temos que a média dos resíduos é zero; de forma equivalente, a média amostral dos valores estimados, 
, é a mesma média amostral de 
.
( Além disso, propriedades 1 e 2 podem ser utilizadas para mostrar que a covariância amostral entre 
 e 
 é zero.
�
SQT, SQE e SQR
Podemos ver o resultado do MQO decompondo 
 em duas partes, um valor estimado e um resíduo. Os dois são não-correlacionados na amostra.
Definindo-se a soma dos quadrados total (SQT ou SST), a soma dos quadrados explicada (SQE ou SSE) e a soma dos quadrados dos resíduos (SQR ou SSR), temos:
( A SQT é uma medida da variação total de 
 na amostra; isto é, ela mede o quão dispersos estão os 
 na amostra.
Se dividirmos a SQT por 
, obtemos a variância amostral de y.
( Similarmente, a SQE mede a variação de 
 na amostra e a SQR mede a variação de 
 na amostra.
A variação total de y pode ser sempre expressa como a soma da variação explicada e da variação não-explicada: 
.
Essa expressão é válida apenas se conseguirmos mostrar que
. Mas nós já falamos que a covariância amostral entre os resíduos e os valores estimados é zero, que, multiplicada por 
 dá nessa expressão. Portanto, ela está provada.
2.3.3 – Qualidade do ajuste
Até agora, não temos nenhuma maneira de medir o quão bem a variável explicativa ou independente x explica a variável dependente y, mas frequentemente é útil calcular um número que resume o quanto a regressão MQO se ajusta aos dados.
Supondo que a SQT é diferente de zero – o que é verdade, exceto no caso improvável em que todos os 
 têm o mesmo valor –, podemos dividir toda a expressão que representa a SQT pela própria SQT, obtendo 
.
R²
O R² da regressão, também chamado de coeficiente de determinação, é definido da seguinte maneira: 
.
( O R² é a taxa da variação explicada comparada à variação total. Portanto, ele é interpretando como sendo a fração da variação de y na amostra que é explicada por x.
( Pode-se mostrar que, na realidade, o R² é igual ao quadrado do coeficiente de correlação amostral entre 
 e 
.
R² e a qualidade dos estimadores
Em ciências sociais, R² baixos em equações de regressão não são raros, especialmente em análise de cortes transversais.
Discutiremos esse assunto mais detalhadamente na análise da regressão múltipla, mas vale a pena enfatizar agora que um R² aparentemente baixo não necessariamente significa que uma equação MQO é inútil – ainda é possível que ela seja uma boa estimativa da relação ceteris paribus entre as variáveis; e se isso é verdade ou não independe do tamanho de R².
�
2.4.2 – Incorporando não-linearidades na regressão simples
Na tabela abaixo, estão resumidas as formas funcionais envolvendo logaritmos, que podem fazer com que eventualmente a equação de regressão simples MQO não tenha uma forma linear:
		Modelo
		Variável dependente
		Variável independente
		Interpretação de 
		Nível-nível
		y
		x
		
		Nível-log
		y
		
		
		Log-nível
		
		x
		
		Log-log
		
		
		
2.4.3 – O significado da regressão “linear”
O modelo de regressão simples que estudamos nesse capítulo também é chamado de modelo de regressão linear. Ainda assim, podemos ver na seção anterior que o modelo geral também permite certas relações não-lineares.
Então o que exatamente significa linear aqui?
A chave para entender isso é analisar a equação 
 e perceber que ela é linear nos parâmetros. Não há restrições sobre como y e x se relacionam.
Há ainda assim vários modelos que não podem ser considerados de regressão linear porque eles não são lineares nos parâmetros, como 
.
Interpretação dos parâmetros
No entanto, embora a mecânica da regressão simples não dependa de como y e x são definidos, a interpretação dos coeficientes depende dessas definições. Para obter sucesso em um trabalho empírico, é muito mais importante se acostumar a interpretar os coeficientes do que ser eficiente em calculá-los.
2.5 – Valor esperado e variância dos estimadores MQO
Na seção 2.1 definimos o modelo de regressão populacional 
 e fizemos a suposição chave para a análise de regressão simples ser útil que é o valor esperado de u dado x ser igual a zero.
Já nas seções 2.2, 2.3 e 2.4, discutimos a propriedades algébricas da estimação MQO.
Agora nós retornamos para o modelo populacional e estudamos as propriedades estatísticas do MQO. Isso significa que nós estudaremos as propriedades das distribuições de 
 e 
 nas diferentes amostras aleatórias da população.
2.5.1 – Não-viesamento do MQO
Hipóteses
Começaremos estabelecendo o não-viesamento do MQO sob uma série de hipóteses. São elas:
Linearidade nos parâmetros: 
( Para ser realista, y, x e u serão todos vistos como sendo variáveis aleatórias no modelo populacional acima.
Amostras aleatórias
( Nem todas as amostras de cortes transversais podem ser vistas como sendo amostras aleatórias, mas muitas podem.
Média condicional zero: 
( Além de restringir a relação entre u e x na população, essa hipótese – mais a hipótese de amostras aleatórias – permite uma conveniente simplificação técnica. Mais especificamente, podemos derivar as propriedades estatísticas dos estimadores MQO de forma condicional aos valores de x em nossa amostra.
( Exemplo: primeiro escolhemos n valores amostrais para 
; dados esses valores, obtemos uma amostra de y; depois, outra amostra de y é obtida, utilizando-se os mesmos valores para 
; após isso, outra amostra de y é obtida, novamente utilizando-se os mesmos valores para 
, e assim em diante.
( Uma vez que assumimos que 
 e que temos amostras aleatórias, nada é perdido nas derivações ao tratar x como sendo não-aleatório. O perigo é que tornar x fixo nessa hipótese sempre implica que x e u são independentes. Ao decidir quando uma análise de regressão simples produzirá estimadores não-viesados, é fundamental pensar nessa hipótese.
Variação da variável independente dentro amostra
( Equivale à hipótese 
 feita anteriormente.
( Das quatro hipóteses feitas até agora, essa é a menos importante, pois nunca falha em aplicações interessantes; se essa hipótese falhar, não podemos calcular os estimadores MQO, o que torna a análise estatística irrelevante.
Implicação das hipóteses
Sob as hipóteses feitas acima, podemos chegar à seguinte expressão para o 
:
 é igual ao coeficiente angular 
 do modelo populacional mais um termo que é uma combinação linear dos erros 
. Condicionado a x, a aleatoriedade de 
 deve-se inteiramente aos erros na amostra.
Portanto, o fato de esses erros serem geralmente diferentes de zero é o que provoca a diferença entre 
 e 
.
Provando o não-viesamento dos estimadores MQO
Finalmente, com a expressão obtida acima, podemos provar o não-viesamento dos estimadores MQO:
Para 
: 
Para 
: 
Conclusões
O não-viesamento do MQO falha se qualquer uma das quatro hipóteses que adotamos falha. Isso significa que é importante pensar sobre a veracidade de cada uma delas para uma aplicação em particular.
No entanto, a hipótese em que devemos nos concentrar mais por enquanto é a terceira. Podemos afirmar que, se ela for verdadeira, os estimadores MQO serão não-viesados. Analogamente, se essa hipótese falhar, os estimadores MQO geralmente serão viesados.
�
2.5.2 – Variância dos estimadores MQO
Importância de conhecer a variância dos estimadores
Além de saber que a distribuição amostral de 
 é centrada em 
 (por ser não-viesado), é importante saber o quanto esperamos que 
 esteja distante de 
 na média. Entre outras coisas, isso nos permite escolher o melhor estimador entre todos, ou ao menos entre aqueles que sejam não-viesados.
A medida de dispersão mais fácil de se trabalhar na distribuição de 
 (e 
) é a variância, ou o desvio-padrão.
Hipótese adicional - Homocedasticidade
A variância dos estimadores MQO pode ser calculada sob as hipóteses feitas na seção anterior para provar que os estimadores MQO eram não-viesados. No entanto, essas expressões seriam um tanto complicadas.
Ao invés disso, adicionamos outra hipótese tradicional para análise de cortes transversais. Essa hipótese afirma que a variância condicional de u é constante. Ela é conhecida como hipótese de homocedasticidade ou da variância constante: 
.
Por que adotar a hipótese de homocedasticidade?
Lembre-se de que estabelecemos o não-viesamento do MQO sem essa hipótese: ela não tem papel nenhum em mostrar que 
 e 
 são não-viesados.
Simplesmente a adicionamos porque ela simplifica os cálculos para a variância de 
 e 
 e também porque ela implica que o MQO tenha certas propriedades
que veremos no capítulo 3.
Além disso, se apenas assumirmos que u e x são independentes, então a distribuição de u dado x não depende de x e, portanto, 
 e 
. No entanto, independência é às vezes uma hipótese muito forte.
Variância amostral dos estimadores MQO (dado x)
Com a hipótese de homocedasticidade (além das quatro outras hipóteses utilizadas para provar a não-tendenciosidade dos estimadores MQO) estamos prontos para mostrar a variância amostral dos estimadores MQO:
Demonstração
 ( 
* Podemos tratar 
 e 
 como constantes porque dependem de x e a variância que estamos calculando é condicional a x.
As equações para a variância de 
 e 
 que mostramos acima são as fórmulas “padrão” para a análise de regressão simples, as quais são inválidas na presença de heterocedasticidade. Isso será importante quando nos voltarmos para intervalos de confinaça e testes de hipóteses em análise de regressão múltipla.
Interpretações
Quanto maior a variância do erro, maior será 
. Isso faz sentido uma vez que mais variação nas variáveis não-observáveis afetando y torna mais difícil estimar precisamente 
.
Por outro lado, mais variabilidade na variável independente é desejável: quando a variabilidade em x aumenta, 
 diminui. Isso também é intuitivo, pois quanto mais dispersa for a amostra de variáveis independentes, mais fácil será traçar a relação entre 
 e x. Ou seja, mais fácil será estimar 
.
Conforme o tamanho da amostra aumenta, também aumenta a variação total em 
. Portanto, uma amostra maior resulta em uma menor variância para 
. Essa análise mostra que, se estamos interessados em 
 e temos uma escolha, então devemos escolher de forma a que 
 seja o mais disperso possível.
2.5.3 – Estimando a variância do erro
Por que estimar a variância do erro?
As fórmulas mostradas na seção anterior para 
 e 
 nos permitem isolar os fatores que as influenciam. No entanto, essas fórmulas são desconhecidas, exceto no caso extremamente raro em que 
 é conhecido, mas podemos utilizar os dados para estimar 
, o que por sua vez nos permitirá estimar 
 e 
.
Diferença entre erro e resíduo
Essa também é uma boa hora para enfatizar a diferença entre os erros (ou distúrbios) e os resíduos, uma vez que essa distinção é essencial para construir um estimador de 
. 
Sabemos como escrever o modelo populacional em termos de uma amostra aleatória como 
, onde 
 é o erro para a observação i. Também podemos expressar 
 em termos de seu valor estimado e resíduo como 
. Comparando essas duas equações, vemos que o erro aparece na equação contendo os parâmetros populacionais, 
 e 
. Por outro lado, os resíduos aparecem na equação estimada com 
 e 
.
Portanto, os erros nunca são observados, enquanto os resíduos são calculados a partir dos dados. Podemos escrever os resíduos como uma função dos erros:
 ( 
Apesar de o valor esperado de 
 ser igual ao de 
, e o mesmo valer para 
, 
 não é o mesmo que 
. a diferença entre eles é que tem um valor esperado zero.
Encontrando um estimador para a variância do erro
Agora que entendemos a diferença entre erros e resíduos, podemos retornar ao problema de estimar 
.
Primeiro, 
, então um estimador não-viesado de 
 é 
. Infelizmente, esse não é um estimador de verdade, pois não observamos os erros 
.
No entanto, nós temos os estimadores de 
, chamados de resíduos 
. Se substituirmos os erros pelos resíduos, teremos 
. Esse é um estimador de verdade, pois ele fornece uma regra de cálculo para qualquer amostra de dados com x e y.
Um contra desse estimador é que ele é viesado (apesar de para n muito grandes esse viés ser pequeno). Uma vez que é fácil calcular um estimador não-viesado, usaremos um viesado em vez desse:
( O estimador 
 é viesado essencialmente porque ele não conta com duas restrições que precisam ser satisfeitas pelos resíduos MQO, que são dadas pelas duas condições de primeira ordem do MQO: 
.
( O estimador não-viesado de 
 que utilizaremos faz um ajuste de graus de liberdade: 
. Esse estimador é às vezes chamado de 
, mas continuaremos usando a convenção de colocar ‘^’ nos estimadores.
Encontrando um estimador para o desvio-padrão do erro
Se 
 é inserido nas fórmulas para 
 e 
, então teremos estimadores não-vi
 e 
. Mais tarde, precisaremos de estimadores do desvio-padrão de 
 e 
, e isso requer estimar 
. O estimador natural para 
 é: 
.
Apesar de 
 ser um estimador viesado de 
, podemos mostrar que ele é um estimador consistente de 
 e isso servirá para os nossos propósitos.
O estimador 
 é interessante porque é um estimador do desvio-padrão das variáveis não-observáveis afetando y; de forma equivalente, ele estima o desvio-padrão em y após retirar-se o efeito de x.
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econometria i Cap�tulo 3.doc
Capítulo 3 – O modelo de regressão múltipla: estimação [Livro]
Desvantagens da regressão linear simples
No capítulo 2, aprendemos como utilizar a análise de regressão simples para explicar a variável dependente y em função de uma única variável independente x.
O principal ponto negativo em usar análise de regressão simples para trabalhos empíricos é que é muito difícil chegar a conclusões ceteris paribus sobre como x afeta y: a suposição chave (média condicional zero) – a de que todos os outros fatores afetando y são não-correlacionados com x – é frequentemente irrealista.
Vantagens da regressão linear múltipla
Naturalmente, se adicionarmos mais fatores ao nosso modelo que sejam úteis para explicar y, uma maior parte da variação de y poderá ser explicada. Assim, a análise de regressão múltipla pode ser utilizada para construir melhores modelos para fazer previsões sobre a variável dependente.
Uma vantagem adicional da análise de regressão múltipla é que ela pode incorporar relações de formas funcionais bem gerais. No modelo de regressão simples, somente uma função de uma única variável explicativa podia aparecer na equação.
3.1.1 – O modelo com duas variáveis independentes
Interpretando o modelo com um exemplo
Suponha a seguinte regressão múltipla: 
.
Comparado a uma análise de regressão simples envolvendo apenas wage e educ, a equação acima efetivamente tira exp do termo de erro u e a coloca explicitamente na equação. Uma vez que ela aparece na equação, seu coeficiente, 
, mede o efeito ceteris paribus de exp sobre wage, o que também é de nosso interesse.
Assim como na regressão simples, o que não é surpreendente, teremos que fazer hipóteses sobre como u na equação acima está relacionado com as variáveis independentes, educ e exp.
No entanto, como veremos na seção 3.2, há uma coisa da qual podemos ter certeza: uma vez que a equação contém exp explicitamente, seremos capazes de medir o efeito de educ sobre wage, mantendo exp fixo. Em uma análise de regressão simples – a qual coloca exp no termo de erro – teríamos que assumir que exp é não-correlacionada com educ, uma hipótese mais ‘tênue’.
Outro exemplo
Suponha a seguinte regressão múltipla: 
O coeficiente de interesse para propósitos de política econômica é 
, o efeito ceteris paribus dos gastos (expend) no avgscore. Incluindo avginc explicitamente no modelo, somos capazes de controlar seu efeito em avgscore. Isso é provavelmente importante porque avginc tende a ser correlacionado com expend: níveis de gastos é frequentemente determinado pela renda familiar.
Na análise de regressão simples, avginc seria incluída no termo de erro, o qual provavelmente seria correlacionado com expend, fazendo com que o estimador MQO de 
 no modelo de duas variáveis fosse viesado.
Hipótese fundamental
No modelo com duas variáveis independentes, a hipótese chave sobre como u está relacionado com 
 e 
 é a seguinte: 
.
A interpretação dessa condição é similar à interpretação da hipótese similar a essa que fizemos para a análise de regressão simples. Ela significa que, para quaisquer valores de 
 e 
 na população, a média das variáveis não-observáveis é igual a zero.
Assim como na regressão simples, a parte importante dessa hipótese é a de que o valor esperado de u é o mesmo para todas as combinações de 
 e 
; afirmar que esse valor em comum é zero está longe de ser apenas uma hipótese enquanto o intercepto 
 estiver incluído no modelo.
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econometria i Cap�tulo 4 - Infer�ncia estat�stica utilizando estimadores MQO.doc
Capítulo 4 – Inferência estatística utilizando MQO
Introdução
Nosso objetivo em Econometria é entender as relações populacionais entre uma variável dependente e um conjunto de regressores. Uma das maneiras de fazer isso é por meio da inferência estatística ou testes de hipóteses relacionadas aos parâmetros populacionais.
Para construir testes de hipóteses, utilizamos os estimadores MQO dos regressores e, com esses estimadores, também podemos construir intervalos de confiança para os parâmetros populacionais.
Hipótese da normalidade condicional do erro
Para fazer inferência em pequenas amostras 
, precisaremos acrescentar às hipóteses de Gauss-Markov uma sexta hipótese, que é a hipótese da normalidade condicional do erro, que consiste no seguinte:
	Em notação escalar: 
 
	Em notação matricial: 
O modelo clássico linear e sua aplicabilidade
As cinco hipóteses de Gauss-Markov mais a hipótese da normalidade condicional do erro constituem o chamado modelo clássico linear.
A distribuição condicional da variável dependente no modelo clássico linear é a seguinte:
Observe que o fato de a variável dependente também apresentar uma distribuição normal limita significativamente a aplicabilidade do modelo clássico linear, afinal raros são os casos em que temos uma distribuição normal exata.
No entanto, veremos mais adiante que esse problema pode ser resolvido, pois vamoas mostrar que não precisamos da hipótese da normalidade condicional do erro para utilizar o modelo clássico linear.
Teorema da normalidade de 
Finalmente, para começar a fazer inferência precisaremos apenas do teorema da normalidade de 
 e do teorema da distribuição t de 
, que veremos logo a seguir.
Supondo que as hipóteses do modelo clássico linear sejam válidas, o teorema da normalidade de 
 consiste no seguinte:
	
Esse teorema é facilmente demonstrado utilizando apenas três conhecimentos, sendo que já demonstramos os dois primeiros em capítulos anteriores:
 
 segue uma distribuição normal, já que depende de 
, que também apresenta distribuição normal.
De novo, como fizemos anteriormente, se desejarmos fazer inferência estatística com amostras, precisaremos utilizar o estimador da variância populacional 
, que é dado por: 
.
Teorema da distribuição t de 
Supondo que as hipóteses do modelo clássico linear sejam válidas, e utilizamos 
 em vez de 
, o teorema da distribuição t de 
 consiste no seguinte:
, onde 
 representa o desvio-padrão amostral, que é dado por 
, onde:
	
�
; e
	
 é o 
 da regressão auxiliar:
Observação – Principal