Lista de Retas e Planos

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Recoˆncavo da Bahia - UFRB
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas - CETEC
CET 061 Geometria Anali´tica - PGMAT
Professor: Danilo Almeida
Lista Retas, Planos e Distâncias - Geometria Analítica
Questão 1: Determine uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A(2,−3, 4) e
B(1,−1, 2) e verifique se os pontos C( 52 ,−4, 5) e D(−1, 3, 4) pertencem a r.
Questão 2: Seja r a reta determinada pelos pontos A(1, 0, 1) e B(3,−2, 3).
a) Determine a equação de r nas formas vetorial, paramétrica e simétrica.
b) Verifique se o ponto P(−9, 10,−9) pertence a r
c) Obtenha dois vetores diretores de r e dois pontos de r, distintos de A e B.
Questão 3: Para cada um dos casos abaixo encontre a equação paramétrica e equação
simétrica para a reta r
a) A reta r passa pelos pontos A(1, 0, 1) e B(2, 3, 1).
b) A reta tem vetor diretor v = (1, 1,−1) e passa pelo ponto A(0, 1, 7).
c) A reta r passa pelo ponto A(1,-1,1) e é paralela a reta s : x − 1 = y+23 = z−15 .
d) A reta r é perpendicular ao plano 2x − y + 2z = 4 e passa pelo ponto de interseção das retas
r1 e r2 dadas por:
r1 :

x = t
y = 2 + t, t ∈ R
z = 1 + t
e r2 :

x = −1 + 2s
y = 1 + s, s ∈ R
z = 0
e) A reta r é a interseção dos planos pi1 : x + y + 2z − 1 = 0 e pi2 : 2x − y + z − 2 = 0
f) A reta r passa pelo
ponto de interseção de r1 e r2 e é ortogonal a r1 e r2, onde r1 : x−2 = y+12 = z3 e r2 : −x+1 = y = z−22 .
Questão 4: Determine uma equação geral do plano que passa pelo ponto A(−1, 2,−1) e é
paralelo as retas r1 : y = x, z = 1 − 3x e r2 : 2x = y = 3z
Questão 5: Encontre uma equação geral do plano pi1, onde pi1 é paralelo ao plano
pi : 2x − 3y − z + 5 = 0 e contenha o ponto A(4,−2, 1).
1
Questão 6: Determine o ângulo entre as seguintes retas:
a)
r1 :

x = −2 − t
y = t, t ∈ R
z = 3 − 2t
e r2 :
x
2
=
y + 6
1
=
z − 1
1
b)
r1 :
{
y = −2x + 3
z = x − 2 e r2 : y =
z + 1
−1 ; x = 4
c)
r1 :

x = 1 +
√
2t
y = t, t ∈ R
z = 5 − 3t
e r2 :
{
x = 3
y = 2,
d)
r1 :
{
x = 1
y
4 =
z−2
3
e r2 :
x − 4
2
=
y
−1 =
z + 1
−2
Questão 7: Determine uma equação geral do plano pi que passa pelo ponto A(−1, 2, 5) e é
perpendicular à interseção dos planos pi1 : 2x − y + 3z − 4 = 0 e pi2 : x + 2y − 4z + 1− = 0
Questão 8: Determine o ângulo entre os seguintes planos:
a) pi1 : x − 2y + z − 6 = 0 e pi2 : 2x − y − z + 3 = 0
b) pi1 : x − y + 4 = 0 e pi2 : 2x − y − z = 0
c) pi1 :

x = 1 + h − t
y = h + 2t, t ∈ R
z = h
e pi2 :

x = 2 + t
y = −2h
z = h + t
Questão 9: Determine a interseção entre os planos pi : x − y + z − 3 = 0 e β : 2x + 2z = 0.
Questão 10: Determine o valor de m e n para que a reta r esteja contidano plano pi:
a)
r :

x = −2 + t
y = 3 − 2t, t ∈ R
z = 2t
e pi : mx + 2y − 3z + n = 0
2
b)
r :
{
y = 2x − 1
z = −x + m e pi : 5x − ny + z + 2 = 0
c)
r :

x = 1 + 3t
y = −2 + mt, t ∈ R
z = n − 4t
e pi : 3x − 3y + z − 7 = 0
Questão 11: Considere os planos α : x − y + z − 3 = 0 e β : 2m2x − (m + 1)y + 2z = 0:
a) Determine m, para que os planos alpha e β sejam paralelos:
b) Para m = −1 encontre a equação da reta interseção entre α e β.
Questão 12: Mostre que a reta r :
{
y = x + z
z = 2x + y − 1 . Está contida no plano pi : (x, y, z) =
(0, 12 , 0) + t(0,− 12 , 0) + h(0, 1, 1)
Questão 13: Verifique se a reta r e o plano pi são perpendiculares.
a) r : (x, y, z) = (0, 1, 0) + t(1, 1, 3) pi : (x, y, z) = (3, 4, 5) + t(6, 7, 8) + h(9, 10, 11)
b) r :
{
y = 2x − z − 2
z = 2x + y − 2 pi : x + 2z − 14 = 0
c) r : (x, y, z) = (0, 0, 4) + t(1,−1, 1) pi : (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(1, 2, 1) + h(1, 0, 1)
d) r : (x, y, z) = (3, 1, 4) + t(−1, 0, 1) pi : (x, y, z) = (1, 1, 1) + t(0, 2, 0) + h(1, 1, 1)
¨Questão 14: Calcule a distância entre os pontos P e Q nos casos:
a) P(0,−1, 0), Q(−1, 1, 0))
b) P(−1,−3, 4), Q(1, 2,−8)
c) P(0, 0, 4), Q(1,−1, 1)
d) (3, 1, 4), (−1, 0, 1)
Questão 15: Obtenha os pontos da reta r : 2y + z = x + y = 2 que distam 3 do ponto A(0, 2, 1)
Questão 16: Obtenha os pontos da reta r que equidistam de A e B.
3
a) r : x − 1 = 2y = z A(1, 1, 0) B(0, 1, 1)
b) r : (x, y, z) = (0, 0, 4) + t(4, 2,−3) A(2, 2, 5) B(0, 0, 1)
c) r : (x, y, z) = (2, 3,−3) + t(1, 1, 1) A(1, 1, 0) B(2, 2, 4)
Questão 17: Calcule a distância do ponto P ao plano pi.
a) P(0, 0,−6) pi : x − 2y − 2z − 6 = 0
b) P(1, 1, 15/6) pi : 4x − 6y + 12z + 21 = 0
c) P(1, 1, 1) pi : 2x − y + 2z − 3 = 0
Questão 18: Calcule a distância do ponto de interseção de r e s ao plano determinado
pelas retas t e h. Onde r : (x, y, z) = (1, 3, 4) + λ(1, 2, 3), s : (x, y, z) = (1, 1, 0) + λ(−1, 0, 1) e
t : (x, y, z) = (0, 1, 0) + λ(0, 6, 1) e h : x = y − 6z + 8 = 2x − 3.
Questão 19: Obtenha os pontos da reta r : x = 2 − y = y + z que distam √6 do plano
pi : x − 2y − z = 1.
Questão 20: Determine a distância entre r1 e r2 nos seguintes casos:
a)
r1 :

x = 2 − t
y = 3 + t, t ∈ R
z = 1 − 2t
e r2 :
x
1
=
y + 1
3
=
z
2
b)
r1 :
{
y = x + 1
z = 2x − 1 e r2 :
x
1
=
y
1
=
z
1
4
Resposta
Questão 1:
(x, y, z) = (2,−3, 4) + t(−1, 2,−2) C ∈ r e D < r
Questão 2:
a)
• Vetorial (x, y, z) = (1, 01) + t(−2, 2,−2)
• Paramétrica 
x = 1 − 2t
y = 2t
z = 4 + 2t
• Simétrica
x − 1
−2 =
y
2
=
z − 1
−2
b) P(−9, 10,−9) ∈ r
Questão 3:
f)
• Paramétrica
x = 2 + t
y = −1 − 5t
z = 3t
• Simétrica
x − 2 = y + 1−5 =
z
3
Questão 4:
pi : 20x − 11y + 3z + 45 = 0
Questão 5:
pi : 2x − 3y − z − 13
Questão 6:
a) 60o b) 30o c) 30o d)θ = arccos( 23 ) e) 26 f)
5
16 g) − 14
Questão 7:
5
Π : 2x − 11y − 5z + 49 = 0
Questão 8:
a) 60o b) 30o c) arccos 3√
14
Questão 10:
a) m = 10 e n = 14 b) m = −4 e n = 2 c) m = 53 e n = −2
Questão 11:
a) m = 1 b) r : (x, y, z) = (2, 0, 2) + t(−2, 0, 2) t ∈ R
Questão 13:
a) Não são perpendiculares. b) São perpendiculares. c) Não são perpendiculares.
d)São perpendiculares. Questão 14:
a)
√
5 b)
√
173. c) 3. d)
√
26.
Questão 15:
a) P1(0, 2,−2) e P2(2, 0, 2). Questão 16:
a) Não existem tais pontos, pois r é paralela ao pla no mediador AB.
b) Qualquer ponto de r é solução, pois r está contida no plano mediador de AB.
c) (5, 6, 0), pois é a interseção de r com o plano mediador.
Questão 17:
a) 2 b) 7/2. c) 0.
. Questão 18:
a) 6√
41
.
Questão 19:
a) P1(−3, 5, 8) e P2(9,−7, 16).
Questão 20:
a) 3√
5
b) 1√
2
.
6