07 02 (Lista - Equação da Reta) Resolução

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Prof. Anderson Weber 
Matemática 
 
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Lista de Exercícios – Equação da Reta 
Gabarito e Resolução 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
Resposta da questão 2: 
 [E] 
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
Resposta da questão 5: 
a) 41 
 
b) 
 
 
Resposta da questão 6: 
a) y 2x 4.= − + 
b) 
−
= +
1 6 3
y x .
2 2
 
c) 
16
P , 0 .
9
 
=  
 
 
 
Resposta da questão 7: 
a) −3 3 .α 
 
b) 
 
Resposta da questão 8: [E] 
Resposta da questão 9: 
a) 5/4 
b) a=4 
 
Resposta da questão 10: 
a) 
7 14
, .
11 11
 
 
 
 
b) Demonstração 
 
Resolução: 
Resposta da questão 1: 
[B] 
 
A equação que descreve a relação entre a quantidade de 
combustível no tanque e a distância percorrida pelo 
automóvel é dada por 
x y x
1 y 50.
500 50 10
+ =  = − + 
 
Resposta da questão 2: 
 [E] 
De acordo com as informações, temos r : y 10x a= + e 
s : y 9x b.= + Logo, se x 6= é a abscissa do ponto de 
interseção de r e s, então 
 
10 6 a 9 6 b b a 6. + =  +  = + 
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
Desde que os pontos (0, 200000), (2, 240000) e 
1(10, y ) estão alinhados, vem 
 
1
1
1
0 2 10 0
0 2y 2000000 400000 2400000 0
200000 240000 y 200000
y R$ 400.000,00.
=  + − − =
 =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 4: 
 [D] 
A equação segmentária da reta AB é 
x y
2x 3y 12 1.
6 4
− =  + =
−
 
Desse modo, como A (6, 0)= e B (0, 4),= − segue-se que 
o ponto médio do segmento AB tem coordenadas 
 
6 0 0 ( 4)
, (3, 2).
2 2
+ + − 
= − 
 
 
 
Resposta da questão 5: 
 a) Se c 272 mm 27,2 cm,= = então 
5 27,2 28
n 41.
4
 +
= = 
 
b) Se 38 n 40,  então 
5c 28
38 40 152 5c 28 160
4
124 132
c
5 5
24,8 c 26,4.
+
    + 
  
  
 
 
Portanto, sendo 160 h 170,  com h em centímetros, 
podemos concluir que o conjunto de pares ordenados que 
satisfazem as condições corresponde à região indicada na 
figura seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 6: 
 a) Se OABC é quadrado, então OA OC 2= = e, portanto, 
A (2, 0).= Ademais, sendo E (0, 4),= vem 
x y
1 y 2x 4.
2 4
+ =  = − + 
 
A resposta é y 2x 4.= − + 
 
b) Desde que ECD 60 ,=  temos BCD 30 .=  Ademais, 
como CD 2,= vem 
D
3
x CD cos30 2 3.
2
=   =  = 
 
Se M é o ponto médio de CE, então 
1 1
CM CE 2 1.
2 2
=  =  = 
 
Logo, encontramos Dy OC CM 2 1 3.= + = + = 
A equação pedida é 
1 1 6 3
y 3 (x 3) y x .
2 2 2
−
− =  −  = + 
 
c) Seja P (k, 0),= com 0 k 2.  A equação que passa 
por E e por P é 
x y 4
1 y x 4.
k 4 k
+ =  = − + 
 
Seja Q ( , 2)β= o ponto em que EP intersecta CB. Logo, 
vem 
4 k
2 4 .
k 2
= −  +   = 
 
Portanto, segue que 
=    =  
 + =  + − −
 =   −
 =
k k
0 k 0 0 k 2 2 k1 1
(OPQC) 2 (PABQ) 22 2
2 2
0 0 2 2 0 0 0 2 2 0
| 2k k | 2 | 4 4 k 2k |
3k 2 (8 3k)
16
k .
9
 
 
A resposta é 
16
P , 0 .
9
 
=  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 7: 
 a) Sendo α o coeficiente angular da reta y x,=  temos 
tgAOD .α= Logo, como a abscissa do ponto D é Dx 5,= 
segue que a sua ordenada pode ser escrita sob a forma 
Dy 5 .α= Ademais, a equação da reta BC é dada por 
5 5
y 0 (x 8) y (x 8).
3 3
− = − −  = − − 
 
Sabendo que DE é paralelo a AB, vem 
E
5
5 (x 8) x 8 3 .
3
α α= − −  = − 
 
Por conseguinte, a resposta é 
E DDE x x
8 3 5
3 3 .
α
α
= −
= − −
= −
 
 
b) Tem-se que 
1 15
f( ) (DE AB) AD ( 2),
2 2
α α α=  +  = −   − 
 
com 0 1.α  
 
Logo, o gráfico de f é um arco de parábola, cujas 
interseções com o eixo x são os pontos de abscissa zero 
e 2, e vértice em 
15
1, .
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta da questão 8: 
 [E] 
 
Seja E o ponto de interseção da reta que passa pelos 
pontos C e D com o eixo das ordenadas. A equação de 
tal reta é dada por 
k 0 k
y 0 (x 1) y (x 1).
k 1 k 1
− −
− =  −  =  −
− − +
 
 
Em consequência, vem 
k
E 0,
k 1
 
= − 
 + 
 e, portanto, sendo 
k 0, temos 
2
1 k 1 k
(ADE) (ABCE) 1 k 1 1 1
2 k 1 2 k 1
k k 1 0
1 5
k .
2
   
=   +  =  + +    
 +   + 
 − − =
+
 =
 
 
Resposta da questão 9: 
 a) Se a abscissa do ponto P é igual a 1, então pela 
função f(x) dada, P terá coordenadas (1,1). 
Analogamente, se a 2,= então pela função f(x) dada, Q 
terá coordenadas ( 2,1 2). Assim, a área do quadrilátero 
T será: 
T T
111 1 1 1 52S 1 1 S
2 2 2 4 4

= + +  = +  = 
 
Calculando o quadrado da distância entre P e Q, tem-se: 
( ) ( ) ( )
2 22
PQ PQ PQ
1 5 51d 1 2 1 1 d d
2 4 4 4
= − + − = +  =  = 
 
b) Seja I o ponto de intersecção entre a reta r e a função 
f(x). Se sua coordenada y é igual a a 2, então, pela 
função f(x) sua coordenada x será 2 a. Ou seja, o ponto 
I tem coordenadas ( )2 a,a 2 . 
 
Considerando como s a reta que passa por P e Q, tem-se 
que as coordenadas do ponto P são (1,1), e do ponto Q 
são (a, 1 a). O coeficiente angular desta reta será: 
s
1 1 1a
a 1 a
α
−
= = −
−
 
 
Logo, o coeficiente angular da reta r que passa pela 
origem e é ortogonal à reta que contém P e Q será igual 
a r aα = (condição de perpendicularidade). 
 
Assim, a equação da reta r pode ser escrita como: 
y 0 a (x 0)
reta r y ax
− =  −
 =
 
 
 
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Como o ponto I pertence à reta r e tem suas 
coordenadas ( )2 a, a 2 , pode-se escrever: 
a 2
y ax a a 4
2 a
=  =   = 
 
Resposta da questão 10: 
 a) A reta r tem coeficiente angular igual a: 
r
7
2
3,5
α = = 
 
Logo, a equação da reta r é igual a y 2x.= 
A reta s tem coeficiente angular igual a: 
s
7 3,5 7
8 3,5 9
α
−
= =
−
 
 
Logo, a equação da reta r é igual a: 
7
y 7 (x 8) 7x 9y 7 0
9
− =  −  − + = 
 
O ponto de intersecção destas retas será igual a resolução 
do sistema formado pelas duas equações de reta. 
Reorganizando as equações, pode-se escrever: 
2x y 0 14x 7y 0 14
11y 14 y
7x 9y 7 14x 18y 14 11
14 7
y 2x 2x x
11 11
− + = − + = 
  − = −  = 
− = − − = − 
=  =  =
 
 
O ponto de intersecção será 
7 14
, .
11 11
 
 
 
 
 
b) Sabendo que a reta t é paralela à reta s e passa pela 
origem, pode-se deduzir sua equação: 
7
y x
9
= 
 
O ponto S pertence à reta t e tem y 3,5.= Sua 
coordenada x será 
7
3,5 x x 4,5.
9
=  = 
 
Assim, o segmento RS mede 4,5 3,5 1.− = 
 
O ponto P pertence à reta t e tem x 8.= Sua coordenada 
y será 
7 56
y 8 x .
9 9
=   = 
Assim, o segmento PQ mede 
56 7
7 .
9 9
− = 
Logo, como RS PQ o trapézio PQRS não é isósceles.