Série N1 - Revisão - Cálculo Integral II

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Parte I – Introdução à Funções de Várias Variáveis 
 
1. Dê o valor numérico das funções para os seguintes casos: 
a) 
2( , ) 2f x y x y 
 para 
( , ) (2,3)x y 
 
b) 
 3( , ) 3f x y x y 
 para 
( , ) (1,2)x y 
 
c) 
3 2 3 2( , ) 2f x y x x y y  
 para 
( , ) (2,1)x y 
 
 
2. Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê: 
a) O comprimento de uma escada apoiada como na figura abaixo: 
 
b) O volume de água necessário para encher uma piscina redonda de x metros de raio e y metros 
de altura. 
c) A quantidade de rodapé, em metros, necessária para se colocar numa sala retangular de largura 
a e comprimento b. 
d) A quantidade, em metros quadrados, de papel de parede necessária para revestir as paredes 
laterais de um quarto retangular de x metros de largura, y metros de comprimento, se a altura do 
quarto é z metros. 
e) O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões x, y e z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÉRIE N1 – REVISÃO 
Professor: Ana Flávia Guedes Greco 
Curso: Engenharias Disciplina: Cálculo Integral II 
 
 
 
 
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Parte II – Derivadas Parciais 
 
3. Calcule as seguintes derivadas parciais de 1ª ordem para fx e fy: 
a) 
10),( 22  yxyxf
 
k) 
1( , ) x yf x y e  
 
b) 
2( , ) 5f x y xy x 
 l) 
 ( , ) lnf x y x y 
 
c) 
22 3),( yyxyxf 
 m) 
 ( , ) 3f x y sen x y 
 
d) 
2( , ) 2 3 4f x y x y  
 n) 
 2( , ) cosf x y x y 
 
e) 
2 2( , )f x y x xy y  
 o) 
 2 2( , ) xf x y e x y 
 
f) 
 2 2 2 2( , )f x y x y x y   
 p) 
 ( , ) xf x y e sen x y 
 
g) 
( , )f x y xy
 q) 
 ( , ) lnxyf x y e y
 
h) 
 
2
( , ) 1f x y xy 
 
r) 2 2
2 2
( , )
x y
f x y
x y



 
i) 
 
3
( , ) 2 3f x y x y 
 
s) 
( , )
1
x y
f x y
xy



 
j) 
yxeyxf
2
),( 
 
t) 
( , )
xy
f x y
x y


 
 
4. Calcule as seguintes derivadas parciais de 1ª ordem para fx, fy e fz: 
a) 
2 2( , , ) 1 2f x y z xy z  
 e) 
( , , ) xzf x y z e
 
b) 
( , , )f x y z xy yz xz  
 
g)  2 2 2
( , , )
x y z
f x y z e
  

 
b) 
 
1/2
2 2 2( , , )f x y z x y z

  
 h) 
 2( , , )f x y z sen xy z 
 
c) 
 ( , , ) ln 2 3f x y z x y z  
 i) 
   ( , , ) cosf x y z xsen y z
 
d) 
 ( , , ) lnf x y z yz xy
 j) 
 ( , , ) 1 cos( )f x y z x y z  
 
 
 
 
 
 
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5. Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem superior (fx, fxx, fyx, fy, fyy, fxy) para as 
funções: 
a) 
2323 2),( yyxxyxf 
 c) 
2( , ) cos( ) ( )f x y x y y ysen x  
 
b) 
( , )f x y x y xy  
 d) 
( , ) 1yf x y xe y  
 
 
6. Uma função 
 ,z f x y
com derivadas parciais segundas contínuas e que satisfazem a 
equação de Laplace 2 2
2 2
0
z z
x y
 
 
 
é chamada de função harmônica. Mostre que a função 
  3 2, 3z x y x xy 
é harmônica. 
 
7. Quais das seguintes funções satisfazem a equação de Laplace? 
a) 
2 2( , )f x y x y 
 c) 
3 2( , ) 3f x y y xy 
 
b) 
2 2( , )f x y x y 
 d) 
( , ) ( )xf x y e sen y
 
 
8. Seja 
0.
x y z
    
  
  
 Verifique se as funções satisfazem à equação: 
a) 
 ( , , ) x y zx y z sen e e e   
 c) 
 2 2 2( , , ) cosx y z x y z   
 
b) 
 ( , , ) ln x y zx y z e e e   
 
 
 
Aplicação: Derivadas Parciais como Taxa de Variação 
 
9. Se a temperatura T depende do tempo t e da altitude h, de acordo com a regra: 
 
25 10
, 10,
36 3 100
t t h
T t h

   
então calcule: 
 
a) A taxa de variação da Temperatura em relação ao Tempo, no instante t0 = 12 horas e h0 = 100. 
b) A taxa de variação da Temperatura em relação à Altitude, no instante t0 = 12 horas e h0 = 100. 
 
 
 
 
 
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10. A lei de um gás confinado é 
8 ,PV T
onde a Pressão P (N/cm³), o Volume V (cm³) e a 
Temperatura (graus) Se o volume do gás é de 100 cm³ e a temperatura é de 90º, determine: 
 
a) A taxa de variação da Pressão em relação à Temperatura, se V permanecer fixo em 100 cm³. 
b) A taxa de variação do Volume em relação à Pressão, se T permanecer fixo em 90ºC. 
 
Parte III – Derivada Parcial de Função Composta (REGRA DA CADEIA) 
 
11. Usando Regra da Cadeia para 
 ,z f x y
e 
 , , ,f x y z 
calcule 
dz
dt
e 
d
dt

 
a) 
2( , ) 2 ( ); cos( )z x y x y com x sen t y t   
 
b) 
   ( , ) ln ln ;t tz x y x y xy com x e y e    
 
c) 
2 3( , , ) ; ; 1x y zx y z e com x t y t z t       
d) 
2 2 2 3( , , ) 3 1/ ; 1/ ; 1/x y z x y yz com x t y t z t      
 
12. Usando Regra da Cadeia para 
 ,z f x y
 calcule 
z
t


e 
z
s


 
a) 
2 2( , ) 3 ; 2z x y x y com x t s y t s     
 
b) 
2 2 2( , ) ; 2z x y x y com x s t y st   
 
 
Aplicação para Regra da Cadeia: 
 
13. Se o raio r e a altura h de um tanque cônico decrescem à razão 0,3 cm/h e 0,5 cm/h 
respectivamente, determine a razão de decrescimento do volume do tanque em função ao tempo 
quando r = 6 cm e h = 30 cm. Lembre-se: 
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3
cV r h
 
14. A voltagem V de um circuito elétrico está decrescendo à medida que a bateria se descarrega. 
A resistência R está aumentando devagar com o aumento de calor do resistor. Use a lei de Ohm, 
RIV  , para achar como a corrente I está variando no momento em que R = 30 ohms e estiver 
aumentando 0,15 ohms/s e V = 26 volts e estiver diminuindo 0,25 volts/s.