Trabalho 02 (Passei Direto)

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Binário
Binário é um sistema constituído de duas forças de mesma intensidade, mesma direção porém de sentidos opostos, cujas linhas de ação estão a uma certa distância.
Momento de binário
Um binário é um sistema constituído por duas forças de igual intensidade, com linhas de ação paralelas, mas de sentidos opostos. Um binário é representado por uma única grandeza vetorial, o momento binário. O momento binário é um vetor livre, têm o mesmo elemento independentemente do ponto do espaço. 
Os elementos de binário são: 
Plano do binário: - é o plano que contêm as duas linhas de ação; 
Sentido: - é o sentido de rotação das duas forças; 
Braço : a distância entre as duas linhas de ação; 
Intensidade: 
O resultante destas forças é nulo. 
O momento binário é a tendência de rotação das duas forças: 
Com: 
Direção: - perpendicular ao plano do binário; 
Sentido: - é obtido pela regra de mão direita; 
Intensidade: 
Binários equivalentes
Dois binários com o mesmo momento são equivalentes, isto é produzem o mesmo efeito. 
Operações que garantem a equivalência: 
Translação no plano do binário ou num plano paralelo; 
Rotação no plano do binário em torno de um eixo perpendicular ao plano; 
Deformação do binário - modificar o braço ou o modulo das forças mas sem modificar o momento binário. 
Soma dos binários: rege a regra de adição dos vetores (vetores binários). 
Adição de Binários
Na adição de vetores, cada par de vetores u e v corresponderá um vetor u+v que é a soma dos vetores u e v. para adicionar dois vetores pegaremos um representante qualquer (A, B) desse vetor u e do vetor v que tem origem em B e extremidade em C. Dessa forma teremos determinada um segmento orientado (AC), que por definição representa o vetor u+v que é a soma dos vetores u e v.
Da imagem acima concluímos que determinar o vetor u+v proveniente da soma do vetor u com o vetor v, precisamos apenas completar o triangulo, lembrando sempre de pôr a origem do vetor soma na origem do primeiro vetor, o segundo vetor deve ter a origem na extremidade do primeiro vetor.
 Na adição de vetores podemos utilizar de outra ferramenta, a regra do paralelogramo. Pegamos os representantes de u e v com a mesma origem A e construir e construir o paralelogramo ABCD. O vetor u+v é representado pelo seguimento orientado (A, D).
Propriedades
1) Propriedade Associativa
(U+v) +w = u+(v+w) (para qualquer u, v, w pertencentes a v³)
2) Propriedade Comutativa
u+v = v+u (para qualquer u, v pertencentes a v³)
3) Elemento Neutro
u+0 = u (para qualquer u pertencentes a v³)
4) Elemento Oposto
Para um dado vetor u qualquer, existe um vetor que quando somado a ele dará como resultado um vetor nulo. Este vetor é o vetor oposto a u, denominado de –u
 u+(-u) = AB +AB = AA = 0
 Observe que a subtração de vetores é simplesmente a soma de um vetor com um vetor oposto. Exemplo:
u-v = u+(-v) (para qualquer u, v pertencentes a v³)
Binários representados por vetores
O produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Pode ser denominado também como produto externo. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no facto que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais.
A notação do produto vetorial entre dois vetores a e b do espaço vetorial é a × b (em manuscritos, alguns matemáticos escrevem a ∧ b para evitar a confusão com a letra x). Podemos defini-lo como
onde θ é a medida do ângulo entre a e b (0° ≤ θ ≤ 180°) no plano definido pelos dois vetores, e é o vetor unitário perpendicular a tanto a quanto b.
O problema com esta definição é que existem dois vetores unitários que são perpendiculares a a e b simultaneamente: se é perpendicular, então também o é.
O resultado correto depende da orientação do espaço vetorial, i.e. da quiralidade do sistema de coordenadas (i, j, k). O produto vetorial a × b é definido de tal forma que (a, b, a × b) se torna destro se (i, j, k) é destro ou canhoto se (i, j, k) é canhoto.
Uma forma fácil de determinar o sentido do vetor resultante é a "regra da mão direita". Se um sistema de coordenadas é destro, basta apontar o indicador na direção do primeiro operando e o dedo médio na direção do segundo operando. Desta forma, o vetor resultante é dado pela direção do polegar.
Como o produto vetorial depende do sistema de coordenadas, seu resultado é referenciado como pseudovetor. Felizmente na natureza os produtos vetoriais aparecem aos pares, de maneira que a orientação do sistema de coordenadas é cancelado pelo segundo produto vetorial.
O produto vetorial pode ser representado graficamente, com respeito a um sistema de coordenadas destro, como se segue: 
 
O comprimento do produto vetorial, |a × b|, pode ser interpretado como a área do paralelogramo definido pelos vetores a e b. Isto significa que o produto misto (ou triplo-escalar) resulta no volume do paralelepípedo formado pelos vetores a, b e c.
Propriedades algébricas
O produto vetorial é anticomutativo,
a × b = -b × a,
distributivo sobre a adição,
a × (b + c) = a × b + a × c,
e compatível com a multiplicação escalar, tal que
(ra) × b = a × (rb) = r(a × b).
Não é associativo, mas satisfaz a identidade de Jacobi:
a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0
A distributividade, linearidade e identidade de Jacobi mostram que R3 junto com a adição de vetores e o produto vetorial formam uma álgebra de Lie.
Além disso, dois vetores não nulos a e b são paralelos se e somente se a × b = 0.
Fórmula de Lagrange
Esta é uma fórmula útil e bem conhecida,
a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b),
a qual é mais fácil de memorizar como “BAC menos CAB”. Esta fórmula é muito útil para simplificar cálculos com vetores na física. É importante notar, entretanto, que esta fórmula não se aplica quando do uso do operador nabla.
Um caso especial com respeito a gradiente em cálculo vetorial é:
Este é um caso especial da mais geral decomposição Hodge do Laplaciano Hodge.
Outra identidade útil de Lagrange é
Este é um caso especial da multiplicatividade da norma na álgebra de quaternion.
Notação Matricial
O vetor unitário i, j e k para uma dado sistema ortogonal de coordenadas satisfaz as seguintes igualdades:
i × j = k           j × k = i           k × i = j
Com estas regras, as coordenadas do resultado do produto vetorial de dois vetores podem ser calculadas facilmente, sem a necessidade de se determinar qualquer ângulo. Seja:
a = a1i + a2j + a3k = [a1, a2, a3]
e
b = b1i + b2j + b3k = [b1, b2, b3].
Então
a × b = [a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1].
A notação acima também pode ser escrita formalmente como o determinante de uma matriz:
O determinante de três vetores pode ser recuperado como
det (a, b, c) = a · (b × c).
Intuitivamente, o produto vetorial pode ser descrito pelo método de Sarrus, onde
Para os primeiros três vetores unitários, multiplique os elementos na diagonal da direita (ex. a primeira diagonal conteria i, a2, e b3). Para os três últimos vetores unitários, multiplique os elementos na diagonal da esquerda e então os multiplique por -1 (ex. a última diagonal conteria k, a2, e b1). O produto vetorial seria definido pela soma destes produtos:
O produto vetorial também pode ser descrito em termos de quaternions. Note por exemplo que as relações entre produtos vetoriais acima i, j, e k concordam com a relação multiplicativa entre os quaternions i, j, e k. Em geral, se representamos um vetor [a1, a2, a3] como o quaternion a1i + a2j + a3k, obtemos o produto vetorial tomando seus produtos e descartando a parte real do resultado (a parte real será o negativo do produto escalar de dois vetores). Mais sobre a conexão entre multiplicação de quaternion, operações de vetores e geometria pode ser encontrado em quaternions e rotação espacial.
Decomposição de uma força em uma força aplicada em O e um binário
Sistema Força-Conjugado:
(decomposiçãode uma força em uma força e um binário)
(Meriam e Kraige, 1999)
“O efeito de uma força que atua em um corpo, tem sido descrito em termos da tendência de empurrar ou puxar o corpo na direção da força, e da tendência de promover a rotação do corpo em torno de um eixo que não intercepte a linha de ação dessa força”.
“A representação desses dois efeitos pode ser facilitada através da substituição de uma determinada força por uma força idêntica e paralela e por um conjugado que compensará a mudança do momento da força original”.
• O vetor força F não pode ser simplesmente movido para O sem modificar sua ação no corpo.
• Ao se aplicar vetores força iguais e opostos em O não se altera o efeito original sobre o corpo.
• As três forces podem ser substituídas por um vetor força equivalente e um vetor binário, i.e, em um sistema força-binário.
• Mover F a partir de A para um ponto diferente O’ requer a adição de um vetor binário diferente .
• Os momentos de F com relação à O e O’ são relacionados:
• Mover o sistema força-binário a partir de O para O’ requer a adição do momento da força em O com relação à O’.
Redução de um sistema de forças
Existem situações em que convêm substituir um sistema de forças - que atuam sobre um corpo rígido - por outra equivalente (no efeito), às vezes mais simples. Esta operação chama-se redução. 
Substituição de uma força aplicada num ponto por um sistema força-binário que atua num outro ponto 
Seja uma força aplicada no ponto de um corpo rígido. No ponto aplicam-se duas forças iguais mas de sentidos opostos com linha de ação paralela a da força , o que não altera o estado de equilíbrio ou movimento. 
O par das forças e aplicadas nos pontos e respectivamente forma um binário de momento: sendo vetor livre pode ser aplicado no ponto juntamente com o vetor que é ``deslocada'' para esse ponto. 
Qualquer força atuante no ponto pode ser ``deslocada'' para um ponto arbitrário desde que seja acrescentado um binário de momento igual ao momento do em relação ao ponto . 
No ponto temos um sistema força-binário. 
Redução de um sistema de forças num dado ponto 
Definição: Qualquer sistema de forças deslizantes () pode ser reduzido a uma força e um binário equivalentes, atuantes num dado ponto . 
Força resultante: 
Momento resultante: 
O vetor força resultante é um vetor livre pelo que será representada sem índice, , enquanto o vetor momento resultante ou é um vetor aplicado. 
O sistema força-binário, equivalente ao sistema de vetores iniciais, forma os elementos de redução em : . 
Os elementos de redução podem ser obtidos analiticamente, utilizando a representação dos vetores pelas suas componentes cartesianas. 
		
		
Sistemas equivalentes de força
Dois sistemas de forças são equivalentes se puderem ser reduzidos ao mesmo sistema força-binário, ou seja, 
São equivalentes se e somente se a soma das forças e a soma dos momentos das forças, em relação a um dado ponto O, dos dois sistemas forem respectivamente iguais.
Decompondo as forças e os momentos nas suas componentes cartesianas, as condições necessárias e suficientes para a equivalência dos dois sistemas de forças escrevem-se
Estas equações têm um significado físico simples: dois sistemas de forças são equivalentes se tendem a produzir no corpo rígido a mesma translação segundo os eixos Ox, Oy e Oz, respectivamente, e a mesma rotação em relação aos eixos Ox, Oy e Oz, respectivamente.
Em conclusão, dois sistemas de forças aplicados ao mesmo corpo dizem-se equivalentes se tiverem a mesma resultante (equivalência quanto à translação) e o mesmo momento em relação a um ponto O (equivalência quanto à rotação).
Mostra-se que um sistema de forças aplicado a um corpo rígido é sempre redutível: ou a uma única força ;
 ou a um sistema forçabinário; 
 ou ainda apenas a um binário .
 .
Sistemas equipolentes de vetores
Geralmente, quando dois sistemas de vetores satisfazem as equações , ou seja, quando suas resultantes e seus momentos resultantes em relação a um ponto arbitrário O são respectivamente iguais, diz-se que os dois sistemas são equiponentes. O resultando estabelecido na seção anterior pode então ser escrito do seguinte modo: Se dois sistemas de forças que atuam sobre um corpo rígido forem equipolentes, então eles serão também equipolentes.
É importante observar que esse enunciado não se aplica a qulaquer sistema de vetores. Considere, por exemplo, o sistema de forças que atua sobre um conjunto de partículas independentes que não forma um corpo rígido. Pode acontecer de um sistema de forças diferentes que atua sobre as mesmas partículas ser equipolentes ao primeiro: ou seja, ele pode ter a mesma resultante e o mesmo momento resultante. Todavia, como forças diferentes irão agora atuar sobre as várias partículas, seus efeitos sobre elas serão diferentes: os dois sistemas, embora equipolentes, não são equivalentes.
Casos particulares de redução de um sistema de forças
Quando , o sistema força-binário reduz-se ao vector binário, O sistema de forças dado pode então ser reduzido a um só binário, denominado binário resultante do sistema. Vejamos de seguida as condições nas quais um determinado sistema de forças pode ser reduzido a uma única força ou resultante. São sistemas para os quais a força e o vector são mutuamente perpendiculares. Embora esta condição não seja geralmente satisfeita pelos sistemas de forças no espaço, será satisfeita em alguns casos particulares, nomeadamente pelos sistemas constituídos por:
• Forças concorrentes;
• Forças complanares;
• Forças paralelas.
Forças concorrentes
São forças aplicadas num mesmo ponto e podem então ser adicionadas diretamente para a obtenção da resultante, . As forças concorrentes foram já largamente discutidas.
Forças complanares
A forças atuam todas no mesmo plano e portanto a resultante das forças do sistema também estará contida no plano definido pelas forças, enquanto o momento de cada força em relação a O, e portanto o momento resultante, será normal a esse plano. Neste caso, o sistema força-binário em O consiste numa força e num vector binário mutuamente perpendiculares.
Pode ainda mostrar-se que o sistema força-binário é redutível a uma única força, , deslocando-se no plano da figura para um ponto A onde o seu momento em relação a O se torne igual a . A distância de O à linha de ação de é
Recordando a expressão do momento, escrita em termos das suas componentes cartesianas, tem-se , no caso bidimensional (força no plano xOy). Torna-se assim possível determinar as coordenadas x e y do ponto de aplicação A da resultante.
	
Forças paralelas
Como o nome indica, trata-se agora do estudo do caso em que as forças têm linhas de ação paralelas e podem, ou não, ter o mesmo sentido. Admitindo que as forças são paralelas ao eixo Oy, a sua resultante, ,será obviamente paralela ao eixo Oy. Por outro lado, como o momento de cada força é normal a essa força, o momento resultante em relação a, , estará situado no plano zOx. O sistema força-binário em O consiste, portanto, numa força, , e num vector binário, , que são mutuamente perpendiculares.
Analogamente, eles podem então ser reduzidos a uma única força, , pelo deslocamento de para um novo ponto de aplicação A(x,0,z) escolhido de modo que o momento de em relação a O seja igual a .
.No caso particular de . O sistema de forças será redutível a um único binário de momento .
Redução de um sistema de forças a um torsor
Em geral um sistema de forças , que atuam sobre os pontos , distintos, de um corpo rígido, não pode reduzir-se apenas à resultante das forças aplicadas sobre o corpo: é necessário considerar os dois efeitos, o de translação e o de rotação. Verifica-se, no entanto, que um sistema deforças nestas condições poderá reduzir-se sempre a um sistema força-binário: para que o efeito de translação seja equivalente, escolhe-se como força a resultante das forças aplicadas sobre o corpo rígido, aplicada no ponto onde se irão calcular os momentos (garante-se assim que o momento da resultante será nulo); e para que a rotação seja também equivalente, escolhe-se um binário cujo momento seja igual ao momento resultante do sistema de forças.
Consideremos então um sistema de forças , que atuam sobre os pontos , distintos, de um corpo rígido, definidos pelos vetores posição Podemos então deslocar cada uma das forças para um ponto arbitrário O, desde que seja acrescentado um binário de momento em relação a O. Repetindo este procedimento para as restantes forças, obtém-se o sistema ilustrado, constituído de forças que atuam em O e de binários. Note-se que os momentos mas que não é normal a .
Como as forças são agora concorrentes, podemos somá-las vetorialmente e substitui-las pela resultante. Analogamente, os momentos podem ser substituídos por um único vector binário, , o momento resultante.
Qualquer sistema de forças, por mais complexo que seja, pode assim ser reduzido a um sistema força-binário equivalente, que atua num dado ponto O, e é definido pelas equações.
Este sistema força-binário equivalente caracteriza completamente o efeito do sistema de forças sobre o corpo rígido.