Construção de Estradas

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Topografia
Sua Aplicação na Construção de Estradas
Profª: Alexandre Villaça Diniz
- 2003 - 
Índice
1Índice	�
2Topografia – Sua Aplicação na Construção de Estradas	�
21. Introdução	�
22. Etapas dos Trabalhos Topográficos	�
22.1 – Reconhecimento	�
32.1.1 – 1ª Hipótese	�
32.1.2 – 2ª Hipótese	�
52.2 – Exploração	�
52.2.1 – Método Clássico	�
82.2.1 – Método Aerofotogamétrico	�
92.3 – Projeto	�
92.3.1 – Fases do projeto	�
112.3.2 – Curva circular simples – Elementos principais	�
122.3.3 – Curva circular simples - Método das deflexões sobre a tangente	�
172.3.4 – Curva circular simples – Outros métodos de locação de curva	�
172.4 – Locação	�
192.4.1 – Locação dos trechos retos (tangentes) – Marcação dos PIs	�
202.4.2 – Cálculo das coordenadas dos PIs	�
242.4.3	– Cálculo das coordenadas dos PCs e PTs do mesmo exemplo do item 2.4.2	�
292.4.4	– Cálculo das coordenadas dos PCs e PTs do mesmo exemplo do item 2.4.2	�
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Topografia – Sua Aplicação na Construção de Estradas
1. Introdução
A Topografia tem grande aplicação na construção de estradas tanto no caso de rodovias como também de ferrovias. Sua participação vai desde os estudos iniciais até a fase final da construção.
Os trabalhos topográficos que têm por finalidade a construção de uma estrada podem ser distribuídos nas seguintes etapas:
Reconhecimento
Exploração
Projeto
Locação
Essas etapas não são totalmente estanques, sendo às vezes difícil definir onde termina uma e começa a seguinte.
2. Etapas dos Trabalhos Topográficos
Nesse item, analisaremos rapidamente cada uma dessas etapas.
2.1 – Reconhecimento
Consiste em escolher, sobre uma planta da região, ou no próprio local, os vales e as gargantas por onde deve passar a estrada. É a primeira fase na construção de uma estrada, e é antecedida pelos seguintes trabalhos:
Estudo sócio-econômico e político da região
Estudo de viabilidade
Especificações das características básicas da estrada
De posse desses dados, passamos ao reconhecimento, propriamente dito, da região.
2.1.1 – 1ª Hipótese 
Dispomos de uma planta planialtimétrica da região, mesmo em grande escala.
Procedimentos:
Checar a exatidão da planta
Marcar na planta os chamados Pontos Forçados, isto é, os pontos cuja passagem seja recomendável ou obrigatória (pontos em vales, gargantas, travessia de cursos d’agua, etc.)
Fazer o reconhecimento aéreo (sobrevoar a região) é também recomendável, para a obtenção de uma visão geral e uma verificação da confiabilidade da planta existente. Esse reconhecimento aéreo não implica aerofotogametria.
2.1.2 – 2ª Hipótese 
Não dispomos de uma planta planialtimétrica e, se dispusermos, ela não é confiável (ou sua escala não permite boa visualização).
Procedimentos:
Percorrer a região por qualquer meio de transporte possível, seguindo aproximadamente a diretriz dos dois pontos a ligar (início e final da estrada desejada).
Organizar um croquis do caminhamento expedido com a marcação dos Pontos Forçados e principais particularidades de todo o trajeto: relevos, cursos d’agua, lagos, pântanos, vegetação (matas, cultura, etc.), povoados tipos geológicos dos locais percorridos (marcação da posição de jazidas de pedras, cascalhos, areia, etc.), e ainda o levantamento de todos os proprietários das áreas passíveis de desapropriação.
Bússola ( dando a direção
Altímetro ( dando a altitude de pontos importantes
Podômetro ( medindo, aproximadamente, as distâncias percorridas
Sobrevoar a região para definir Pontos Forçados, vales, gargantas, pontos de travessia de cursos d’agua, etc. para termos uma visão mais real do provável traçado recomendado. A marcação de pontos forçados é feita através de sacos plásticos cheios de cal jogados de avião, que devido à grande altura deixarão marcas brancas e bem visíveis a grande distância.
Fazer o levantamento aerofotogamétrico do percurso, seguindo os pontos forçados marcados com cal, levantando uma faixa de terreno com largura suficiente, abrangendo os acidentes de importância. Esse levantamento deve permitir várias opções de traçado. Com isso, obtemos um esboço da região chamado de Mapa Base, que terá tido como apoio o mosaico fotográfico. Esse Mapa Base corresponde ao croquis feito pelo material tradicional.
Ainda nesta fase, podemos sugerir um ou mais traçados possíveis, levando em consideração os seguintes aspectos:
topografia; 
geologia;
natureza do solo;
terras de cultura;
matas e reservas florestais;
travessia de cursos d’agua;
condições de rampa e alinhamento;
custo provável;
condições de abastecimento, etc.;
Finalizando, podemos dizer que:
Como base para o Reconhecimento, são fornecidos o raio mínimo para as curvas e a rampa máxima.
O Reconhecimento tem por finalidade mostrar que é possível passar com uma estrada, nas condições que desejamos construí-la, dentro da faixa compreendida pela planta existente ou por estudos feitos no local.
2.2 – Exploração
Do reconhecimento obteremos a zona de passagem da estrada desejada, seguindo pelos Pontos Forçados:
2.2.1 – Método Clássico 
Seguindo o método clássico a exploração deverá ter os seguintes
Procedimentos:
Escolher, dentre as opções possíveis, a faixa de terreno em melhores condições de receber o leito da futura estrada.
Fazer o levantamento planimétrico daquela faixa de acordo com os seguintes procedimentos:
Lançar ma poligonal (linha de ensaio) seguindo um trajeto considerado pelo autor da exploração como o mais próximo do eixo ideal desejado; 
fazer um levantamento planimétrico complexo da faixa já definida, tomando como base o eixo de referência a poligonal descrita no item 1. Essa faixa deverá ter uma largura que poderá variar conforme particularidades do local e especificações da estrada;
o lançamento da estrada deverá ser precedido pelo lançamento de uma Rede de Triangulações ao longo da faixa.
Figura 1
Entre dois pontos forçados X e Y, por exemplo (ver figura 1), de passagem obrigatória da faixa de exploração lançamos previamente os vértices 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 de uma rede de triangulações. Os vértices são escolhidos em locais elevados, com boas condições de acesso e que permitam a intervisibilidade, podendo um desses vértices coincidir com X ou Y. Esta rede pode ser lançada de vários modos:
com Teodolito, sendo as distâncias calculadas em função da base e dos ângulos adjacentes;
com medidores eletrônicos de distância, sendo que, nesse caso, a rede de triangulação previa deverá ser substituída por uma Poligonal Eletrônica, ou seja, uma poligonal que atravesse a futura faixa e tenha seus lados medidos com distanciômetros.
OBS: Todos esse pontos, além de definidos planimetricamente, serão nivelados, obtendo-se as altitudes ou a cota de cada um. Serão sempre deixadas estacas de referência de nível (RN) no campo e assinaladas na caderneta.
Com a triangulação serão evitados erros acumulados na medição das distâncias e ângulos, no lançamento da futura Linha Base, pois essa linha será apoiada nos vértices da rede de triangulação, que, por sua vez, serão pontos de triangulação de coordenadas conhecidas.
Após a triangulação é que o explorador lançará a sua Poligonal, se possível com distanciômetro (se não com teodolito).
Atualmente, os lados da poligonal não são estaqueados, mas apenas são colocados piquetes, com estacas testemunhas, nos Vértices Numerados, que são os pontos de mudança de direção.
O explorador colocará o teodolito em cada um dos vértices da poligonal e medirá por Estadimetria, os lados dessa poligonal (fará a medição duas vezes, do vértice anterior para o seguinte e vice-versa) – serão obtidos melhores resultados desse trabalho caso sejam usados distanciômetros eletrônicos ou GPS, quando houverdisponibilidade de tais aparelhos.
Ainda com o teodolito instalado em cada um dos vértices, por irradiação e por estadimetria, serão amarrados os pontos e acidentes de importância. Continuando por estadimetria e em cada vértice, serão levantados os pontos de inflexão necessários à obtenção da planta altimétrica, com curvas de nível 1 em 1 metro.
A poligonal de exploração – ou de ensaio – deverá ser amarrada (ligada) à rede de triangulação já descrita ou a uma poligonal eletrônica, isto é, deverá partir e chegar de vértices de coordenadas já calculadas anteriormente. 
Se for possível, será lançada uma poligonal de retorno, para a verificação de possíveis erros de fechamento. Essa poligonal de retorno é feita por partes e vai sendo feita a medida que a poligonal de ensaio avança.
Figura 2
2.2.1 – Método Aerofotogamétrico 
Procedimentos:
Na fase de exploração, escolhermos a faixa mais conveniente para o projeto desejado.
Em seguida, fazemos um segundo levantamento aerofotogamétrico, mais detalhado e sobre a faixa escolhida, que já terá sido anteriormente sinalizada. É feito o levantamento planialtimétrico, geralmente na escala 1:10.000 baseado nas fotos aéreas. Caso os pontos sinalizados sejam insuficientes, podemos fazer o adensamento gráfico dos mesmos, por meio de aerotriangulação. A partir do levantamento aerofotogamétrico conforme descrito, serão desenhadas as plantas planialtimétricas nas escalas 1:1.000 ou 1:2.000, com curvas de nível espaçadas de 1 em 1 metro.
Lançar ma poligonal (linha de ensaio) seguindo um trajeto considerado pelo autor da exploração como o mais próximo do eixo ideal desejado; 
2.3 – Projeto
O projeto da futura estrada é executado por uma equipe técnica especializada, tendo por base as normas brasileiras que regem o assunto, bem como as exigências de âmbito federal, estadual e municipal. Dentre todas as exigências existentes, citaremos apenas duas principais: rampa máxima e raio mínimo permitidos nas curvas. As outras exigências e seus casos especiais serão estudados na disciplina Estradas e não em Topografia. Todo o trabalho está calçado na planta planialtimétrica da faixa de terreno obtida anteriormente, na fase de exploração.
2.3.1 – Fases do projeto 
Inicialmente, lançaremos sobre a planta uma linha pontilhada, que corte o menor número possível de curvas de nível e com uma declividade inferior à rampa máxima permitida. Essa linha é denominada Linha de Nível.
A linha de nível, que vai consecutivamente ligando os pontos forçados, será tomada como base para transformar o eixo definitivo do projeto da estrada em planta. Em resumo, o eixo do projeto será a linha construída de retas (chamadas de tangentes na disciplina Estradas), interligadas por curvas circulares simples ou, na maioria dos casos, curvas circulares com curvas de transição, de raios maiores que os mínimos exigidos.
O eixo definitivo da futura estrada é lançado levando-se em consideração que é necessário:
Obedecer as especificações de normas (raio mínimo, rampa máxima, etc.);
proporcionar o menor movimento de terra possível. Para isto, à medida que vai sendo traçado o eixo do projeto, desenha-se o perfil longitudinal projetado do eixo da estrada (ver figura 3). Esses traçados são chamados de Grades. Dentre as várias tentativas, é escolhida a solução que apresente maior compensação entre cortes e aterros.
Figura 3
Escolhido o traçado ideal, assinalamos os pontos, em planta, que ligam as retas (tangentes) às curvas circulares de concordância. Em resumo, assinalamos em planta os elementos principais que definem a série de tangentes e curvas que se seguem, uma a uma.
2.3.2 – Curva circular simples – Elementos principais 
A curva circular simples, na qual usamos um arco de circunferência para concordar duas tangentes, é muito utilizada em Estradas, em obras de forma circular, loteamentos, praças, etc. Por esse motivo, estudaremos em Topografia somente esta curva, deixando as demais, como curvas de transição e outras para a disciplina Estradas.
Serão vistos, na seqüência, os pontos principais de uma curva circular simples e suas denominações técnicas. Na figura 4 abaixo, temos:
Figura 4
O ( Centro da curva
R ( Raio
D ( Desenvolvimento da curva (isto é, comprimento total da curva, arco PC . PT).
PC ( Ponto de curvatura. Ponto inicial da curva. Pode ser:
PCD ( para curva à direita
PCE ( para curva à esquerda
PT ( Ponto de tangência: ponto final de curva.
PI ( Ponto de interseção: ponto encontro de duas tangentes a serem concordadas.
T ( Comprimento da tangência, isto é: 
T 
C ( Corda total ou corda do arco PC.PT, que é o comprimento 
.
AC ( Ângulo central que subentende o arco PC.PT da curva que é o mesmo ângulo A.PI.PT. deflexão da tangente 
 em relação à tangente 
.
AC = A . PI . PT = PC . O. PI
2.3.3 – Curva circular simples - Método das deflexões sobre a tangente
2.3.3.1 - Considerações gerais
Existem vários métodos para a obtenção de pontos de uma curva circular simples. Em Topografia estudaremos o Método das Deflexões Sobre a Tangente, por ser o de maior aplicação, não somente em Estradas, como também em Urbanismo, obras civis, etc.
A obtenção de uma curva no campo é feita locando-se pontos dessa curva, representados por estacas. O espaçamento entre estacas é definido em função do raio da curva e, geralmente, são adotados os seguintes valores:
Curvas de raio acima de 300 m : estacas de 20 em 20 m.
Curvas de raio entre 300 e 150 m: estacas de 10 em 10 m.
Curvas de raio abaixo de 150 m: estacas de 5 em 5 m.
Existem casos – como locação de curvas circulares simples de ruas, avenidas praças, pontos de obras civis, etc. – onde adotamos espaçamentos inferiores a 5 m, ficando esta definição a critério da equipe de projeto.
A seguir explicaremos a obtenção dos elementos necessários ao cálculo de uma curva, inclusive a dedução das fórmulas empregadas.
 - Definições – Fórmulas
AC – Ângulo Central
O ângulo central AC é obtido na planta em função dos eixos definitivos do projeto da estrada. Dois eixos consecutivos serão concordados por uma curva e a deflexão entre esses eixos fornecerá o ângulo central.
R – Raios da curva
Definido acima do raio mínimo permitido, no maior valor possível, que atenda às condições de segurança, conforto, relevo, economia, etc. 
T – Comprimento da tangente
Na figura 4, tendo em vista que o triângulo 
 é retângulo em PC, teremos:
T 
	como	
 = T
T 
D – Desenvolvimento da curva
Sabemos, pela Geometria, que o comprimento do arco em uma curva de raio R, subententida por um ângulo central AC, é dado pela fórmula:
 D
Dt – Deflexão total
Deflexão total é o ângulo de deflexão que a corda 
 faz com a tangente 
. Pela figura 4 tiramos que, sendo o triângulo 
 isósceles, os ângulos :
 DT = PL . PC . PT = PL . PT . PC = 
 Dt =
Dm – Deflexão unitária ou deflexão por metro
Se para todod arco de curva de desenvolvimento (comprimento) D, temos a deflexão total, para um metro de curva teremos:
 Dm = 
 Dm =
Distância 
 = F
Na figura 4 temos o triângulo retângulo 
 PL.O.PC no qual 
mas 
 DT = PL . PC . PT = PL . PT . PC = 
 Dt =
OBS: Para a marcação de pontos sobre a curva - determinado o espaçamento entre eles - devemos recordar a seguinte propriedade das curvas circulares: consideremos a Figura 5, na qual colocamos pontos 1, 2, 3, etc., de igual espaçamento.
Figura 5
Partindo de PC teremos, portanto, os arcos PC.1 = 1.2 = 2.3 = etc., ligando os pontos 1, 2 e 3 ao centro O da curva: teremos os ângulos centrais : PC.O.1 = 1.O.2 = 2.O.3= X.
Ligando agora os mesmos pontos de PC, teremos os mesmos ângulos (tendo como vértice PC, ponto de curvatura) P1.PC.1 = 1.PC.2 = 2.PC.3 = 
.
Em outras palavras, arcos iguais subentendem ângulos centrais iguais, como também ângulos que tenham como vértice um ponto na circunferência. Esse segundo tipo de ângulo representa a metade do ângulo central. Esta propriedade somente é válida para ângulos menores que 90º. Quando consideramos para vértice o ponto PC, os ângulos na circunferência são as deflexões em relação à tangente.
2.3.4 – Curva circular simples – Outros métodos de locação de curva
Existem vários métodos para a locação de curvas: por ordenadas sobre a tangente, por ordenadas sobre a corda, etc. Entretanto, trabalharemos com o método das deflexões sobre a tangente, que é um método simples e que também atende fora da área de Estradas.
2.4 – Locação
É uma operação de campo, que consiste na marcação dos pontos do eixo da estrada projetada, necessários à sua execução. São cravados piquetes no terreno ao longo desse eixo, com espaçamentos definidos, tanto nos trechos retos (tangentes) como nos trechos curvos. Para facilitar a marcação desses piquetes, são cravados, ao lado, estacas-testemunhas que levam números de identificação.
Na figura 6, a seguir, temos o desenho de uma seção de uma estrada onde estão marcados os pontos principais.
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Figura 6
�
2.4.1 – Locação dos trechos retos (tangentes) – Marcação dos PIs
Figura 7
Toda estrada começa em um ponto de outra estrada ou em um ponto de uma cidade. Esse ponto é denominado OS – Ponto de Saída. As suas coordenadas são obtidas a partir de pontos ou marcos oficiais existentes nas proximidades do PS e de coordenadas já conhecidas. Partindo desses pontos, usando distanciômetros eletrônicos, medimos ângulos e distâncias até o OS e assim podemos calcular as suas coordenadas.
Definidas as coordenadas do PS, conhecida a distância entre PS, PI1, PI2, etc., e os azimutes correspondentes, poderemos calcular as coordenadas de todos os Pis de nossa estrada.
Do mesmo modo, em função do comprimento da tangente em cada curva e dos azimutes, poderemos calcular analiticamente as coordenadas do PC e do PT em cada curva.
Usando distanciômetros eletrônicos, marcando ângulos e distâncias (ver figura 7), partindo dos vértices da triangulação ou poligonal eletrônica usada como base e obtida na fase de exploração, poderemos fazer o estaqueamento dos trechos curvos e retos da estrada.
A seguir, mostraremos como é feito o cálculo das coordenadas dos PI e demais pontos notáveis.
Observação: Com a finalidade de conferir no local o valor das deflexões (que correspondem aos ângulos centrais de cada curva de concordância) lidas no projeto, procede-se do seguinte modo em cada PI:
Instala-se o teodolito num determinado PI.
Mede-se a deflexão da tangente seguinte ao vértice, em relação à tangente anterior.
Compara-se o valor encontrado com o valor do ângulo central daquela curva, que foi lido no projeto.
2.4.2 – Cálculo das coordenadas dos PIs
Dadas as coordenadas de partida (coordenadas do ponto OS), o comprimento de cada tangente com o seu respectivo azimute, poderemos calcular as coordenadas de cada PI.
Para melhor entendimento, vamos considerar o exemplo da figura 8:
Coordenadas de partida: estaca O = OS : N’ = 200.000
E’ = 100.000
Observação: Chamaremos sempre de N’ e E’ coordenadas do PI anterior e N e E coordenadas do PI em estudo.
AZ = azimute da tangente.
d = comprimento total entre dois PIs.
AC = ângulo central = Deflexão (D direita E esquerda).
�
Figura 8
�
- Definições – Fórmulas
	
		
	
	
Figura 9
 Fórmulas:		
	
N = 199.969,164
E = 100.293,384 
Coordenadas de PI (1
– Coordenadas de PI (2
	
		
	
	
Figura 10
N = 199.969,164
E = 100.293,384 
Coordenadas de PI (1
Cálculo de AZ2: AZ2 = AZ1 + AC1 = 96º + 17º = 113º 00’ 00”
 
N = 199.969.164 – 170.750 = 199.798.414 m
E = 100.293384 + 402.261 = 100.695.645 m
N = 199.798,414
E = 100.695,645
– Coordenadas de PI (3
	
		
	
	
Figura 11
N’ = 199.798,414
E’ = 100.695,645 
Cálculo de AZ3: AZ3 = AZ2 - AC2 = 113º - 61º = 52º
AZ3 = 52º 00’ 00”
Dist = 480 m
 
N = 199.798.414 + 295.518 = 200.093,932 m
E = 100.695,645 + 378,245 = 101.073,890 m
N = 200.093,932
E = 101.073,890 
– Cálculo das coordenadas dos PCs e PTs do mesmo exemplo do item 2.4.2 
 – Cálculo dos elementos da 1ª curva PI (1
Cálculo dos elementos da curva (T, D e F)
T = 101,627 m ( comprimento da tangente
D = 201,760 m ( comprimento da curva
C = 7,552 m ( distância 
Coordenadas de PCD
Figura 12
N’ = 199.969,164 m
E’ = 100.293,384 m
Coordenadas PCD
N = N’ + (N
E = E’ + (E
Como: 
N = 199.964,164 + 10,623 = 199.979,787
E = 100.293,384 – 101,070 = 100.192,314
N = 199.979,787
E = 100.192,314 
Coordenadas de PCD
N = N’ + (N
E = E’ 
Como:
N = 101.627 cos 113º = -39,709
	E = 101.627 sem 113º = 93,548
N = 199.969,164 – 39,709
E = 100.293,384 + 93,5489
N = 199.92,455
E = 100.386,32
– Cálculo dos elementos da 2ª curva PI (2
Cálculo dos elementos da curva (T, D e F)
T = 129,590 m ( comprimento da tangente
D = 234,223 m ( comprimento da curva
F = 35,330 m ( distância 
b) Coordenadas de PCE
N’ = 199.798,414 
E’ = 100.695,645 
Figura 13
N = N’ ( (N
E = E’ ( (E
(N = T . cos AZ = 129.590 . cos 293º
(E = T . sen AZ = 129.590 . sen 293º
(N = 50,635 m
(E = 119,288 m
N = 199.798.414 + 50,635 = 199.849,049
E = 100.695.645 – 119,228 = 100.576,357
N = 199.849,049
E = 100.576,357
b) Coordenadas de PCE
N = N’ ( (N
E = E’ ( (E
(N = T . cos AZ = 129.590 . cos 52º = + 79,784 m
(E = T . sen AZ = 129.590 . sen 52º = + 102.118 m
N = 199.798.414 + 79,784 = 199.878,198 m
E = 100.695.645 + 102,118 = 100.797,763 m
N = 199.878,198
E = 100.797,763
– Cálculo das coordenadas dos PCs e PTs do mesmo exemplo do item 2.4.2 
Estando todos os PIs marcados no terreno, passa-se ao estqueamento do eixo da estrada, de 20 em 20 m, a partir do ponto inicial, que será definido como ponto inicial, estaca zero ou PS: ponto de saída.
O teodolito é colocado nessa estaca zero e visa-se ao primeiro PI (1. Medindo-se com trena, sempre na posição horizontal, e seguindo a direção do Ponto PI (1, são cravados piquetes de 20 em 20 m. Esses piquetes receberão números segundo a série natural, escritos em estacas testemunhas (já vimos o sistema de estaqueamento de uma poligonal qualquer).
 
 a) Estaqueamento da primeira tangente 
Figura 14
Um teodolito é instalado no ponto PS e visamos ao ponto PI (I ou a sua direção. Nesta direção dada pelo teodolito, sempre marcando com uma trena de 20 em 20 m (lembrando que são 20 metros na horizontal e, portanto, a trena deverá ficar sempre nesta posição), são colocados piquetes identificados por estacas-testemunhas numeradas.
 comprimento 
 = 295 m
TEMOS 
 comprimento da tangente T = 101,627 m
Figura 15
Logo, a distância de PS a PCD será 295.000 – 101.627 = 193.373 m. Nessa primeira tangente cravamos as estacas 1 a 9 (trecho reto) e a distância da estaca 9 ao PCD será 193.373 – (20 x 9) = 13,373 m. A numeração da estaca PCD será 9 + 13,373.Estaqueamento da 1ª curva 
A primeira curva calculada começou no ponto PCD (estaca 9 + 13,373) e têm um desenvolvimento de 201.760 m. Entre a estaca 9, na tangente, e a 10 (1º ponto da curva) devemos ter 20 m: logo, o comprimento do arco PCD . 10 será 20.000 – 13. 376 m = 6,627 m.
Continua-se o estaqueamento da curva para arcos de 20 m (o procedimento no campo será explicado após os cálculos necessários) até a estaca 19. Como o desenvolvimento da curva é igual a 201.760 m, teremos: 201,760 – 6,627 – (9 x 20) = 15,133 m, que é o comprimento do arco entre a estaca 19 e o PT.
Estaqueamento do trecho retilíneo da 2ª tangente 
O teodolito é colocado no PT (1ª curva) ou no PI 
 (ambos já locados) e visamos ao PCE ou PI 2 (também já locados). Nessa direção (e como já sabemos antecipadamente que a distância de PT até a estaca 20 é de 4,867 m), repetimos as operações descritas anteriormente e locamos as estacas 21 a 30.
Figura 16
A distância 
 = 437.000 – 101.627 – 129.590 = 205.783 m 
Dist. 
T da 1ª curva
T da 2ª curva
Dist. 
A distância da estaca 30 ao PCE será 205.783 – 4,867 – (10 x 20) = 0,916m
Logo a estaca PCE será 30 + 0,916 m.
Estaca PCE = 30 + 0,916
Estaqueamento da 2ª curva
Embora a 2ª curva tenha um raio R2 = 220 m (portanto, menor que 300 m), vamos para efeito didático, continuar com o estaqueamento de 20 em 20 m.
A 2ª curva calculada começou no ponto PCE (estaca 30 + 0,916) e tem um desenvolvimento de 234.223 m. Entre a estaca 30 (sobre o trecho reto e a estaca 31 (1º ponto da curva) temos 20 m. Como o PCE está a 0,916 à frente da estaca 30 (PCE estaca 30 + 0,916), o ponto 31 estará a 20.00 – 0,916 = 19,084 do PCE (é o comprimento do arco PCE . 31.
Continuamos o estaqueamento da curva para arcos de 20 m até a estaca 41. Como o desenvolvimento da curva é igual a:
 234,223m, teremos 234,223 – 19,084 – (10 x 20) = 15,139 m
que é o comprimento do arco entre as estacas 41 e o PT.
Estaqueamento do trecho retilíneo da 3ª tangente PI (2 e PI (3
Colocamos o teodolito do PT (2ª curva) ou no PI (2 (ambos já locados) e visamos ao PI (3 (também já colocado). Nessa direção, a partir da estaca 42, na mesma direção, e de 20 em 20 m, 43, 44, 45, 46 .... 59. A distância da estaca 59 ao PI (3 será 480 – 129,59 – 4,861 – (17 x 20,00) = 5,549 m.
Logo, a PI (3 será 59 + 5,549.
 
Figura 17
Cálculo da 1ª curva para efeito de locação
Continuando os cálculos do item 2.4.3.1 desta curva de AC1 = 17º.
R1 = 680 m.
quando tínhamos obtido T = 101.627 m
D = 201.760 m
F = 7,552 m
Obteremos agora os demais elementos:
Deflexão total: 
Deflexão por metro: 
CADERNETA 1
	PONTO
	ARCO
	DEFLEXÃO
	CORDA
	10
	6,627
	0º, 27919054
0º 16’ 45” .09
	6,527 m
	11
	26,627
	1º, 121 775 53
1º 07’ 18” .39
	26,625 m
	12
	46,627
	1º, 964 360 52
1º 57’ 51” .70
	46,618 m
	13
	66,627
	2º, 806 94 552
2º 48’ 25” .00
	66,600 m
	14
	86,627
	3º, 64 953 051
3º 38’ 58” .31
	86,568 m
	15
	106,627
	4º, 492 11 550
4º 29’ 31” .62
	106,518 m
	16
	126,627
	5º, 33 470 049
5º 20’ 04” .92
	126,444 m
	17
	146,627
	6º, 117 28 549
6º 10’ 38” .23
	146,343 m
	18
	166,627
	7º, 01987048
7º 01’ 11” .53
	166,210 m
	19
	186,627
	7º, 862 455 47
7º 51’ 44” .84
	186,042 m
	PT
	201,760
	8º, 49999 741
8º 30’
	201,021 m
Cálculo da 2ª curva para efeito da locação
Continuando os cálculos do item 2.4.3.2 desta curva de AC2 = 61º.
R2 = 220 m.
quando tínhamos obtido T = 129.590 m
D = 234.233 m
F = 35,330 m
Obteremos agora os demais elementos:
Deflexão total: 
Deflexão por metro: 
CADERNETA 2
	PONTO
	ARCO
	DEFLEXÃO
	CORDA
	31
	19,084
	2º, 48507422
2º 29’ 06” .27
	19,078 m
	32
	39,084
	5º 5’ 21” .94
5º .08942783
	39,033 m
	33
	59,084
	7º 41’ 37” .61
7º .69378145
	58,906 m
	34
	79,084
	10º 17’ 53” .29
10º .29813506
	78,659 m
	35
	99,084
	12º 54’ 8” .96
12º .90248868
	98,249 m
	36
	119,084
	15º 30’ 24” .63
15º .50684229
	117,635 m
	37
	139,084
	18º 6’ 40” .31
18º .11119590
	136,779 m
	38
	159,084
	20º 42’ 55” .98
20º .71554952
	155,641 m
	39
	179,084
	23º 19’ 11” .65
23º .31990313
	174,181 m
	40
	199,084
	25º 55’ 27” .32
25º .924255
	192,360 m
	41
	219,084
	28º 31’ 43” .99
28º .52861036
	210,143 m
	PT
	234,223
	30º 29’ 59” .91
30º .49997553
	223,317 m
Locação, no campo, das estacas da 1ª curva
Para a locação no campo das estacas da 1ª curva, procede-se do seguinte modo:
Instala-se o distânciomêtro eletrônico (ou teodolito) no PCD, já locado, e visa-se ao PI (1, também já locado, com aparelho zerado.
Marca-se a deflexão sobre a tangente da estaca 10, que é o ângulo 0º 16’ 45” 09. Nessa direção marca-se a corda 6,627 m e obtém-se a estaca 10. 1º ponto da curva (ver caderneta 1).
Marca-se a deflexão sobre a tangente da estaca 11, que é o ângulo 1º 07’ 18” .39; nesta direção marca-se a corda 26.625 m, obtendo-se a estaca 11, 2º ponto da curva.
Repete-se a operação para os pontos 12 a 19, segundo a caderneta 1.
Figura 18
Para uma verificação, marca-se a deflexão total DT = 8º 30’ do ponto PT e, nesta direção, marcamos a corda 201.021 m. Deveríamos chegar, obrigatoriamente, ao PT já previamente locado nas fases anteriores. Entretanto, há sempre um deslocamento entre um e outro.
Se o deslocamento estiver dentro dos limites fixados para a nossa entrada, continuamos nosso trabalho. Caso contrário, a curva deverá ser novamente locada, fazendo um avanço ou recuo de PCD, seguindo a direção da tangente, até que haja coincidência do PT.
Locação, no campo, das estacas da 1ª curva
Para a locação no campo das estacas da 2ª curva, repetimos todas as operações realizadas na locação da 1ª curva, considerando, neste caso, os dados retirados da Caderneta 2.
Se em uma curva circular qualquer, com o aparelho instalado no PCD, não for possível visar a um ou mais pontos da curva, poderemos operar do seguinte modo:
I – Consideremos a figura seguinte, na qual, a partir do PCD calcularmos os pontos a serem locados 1, 2, e, et., com arcos iguais, isto é: PCD . 1 = 1 . 2 = 2. 3 = 3 . 4, etc.
Figura 19
II – Com o aparelho no PCD, locamos os pontos 1, 2, 3, 6 e PT, do seguinte modo:
III – ( Ponto 1 – Deflexão D1 – corda 
 ( Ponto 2 – Deflexão D2 – corda 
 ( Ponto 3 – Deflexão D3 – corda 
 ( Ponto 6 – Deflexão D6 – corda 
 ( Ponto PT – Deflexão Total – corda 
OBS: Devido à existência do obstáculo da figura, não foi possível locar os pontos 4 e 5.
IV – Deslocamos o aparelho para 3 (ponto locado com o aparelho em PCD), nivelamos e zeramos.
V – Com a luneta invertida, visamos o ponto 2, ponto anterior ao 3.
VI – Voltamos com a luneta para a posição normal. Estaríamos apontando para o prolongamento de 2,3 e com o aparelho zerado.
VII – Damos a deflexão no mesmo valor de 
 e temos o ponto 4.
VIII – Damos a deflexão no mesmo valor de 
 e obtemos o último ponto que faltava para completar nossa curva.
OBS: Com a finalidade de facilitar os cálculos e as locações, podemos escolher raios de curva, de medidas não inteiras, que irão possibilitar deflexão por metros com número inteiro de minutos.
Pela fórmula, temos: 
Fazemos os cálculos para a deflexão por metro, variando de 1 em 1 minuto a partir do valor 1’: teremos os seguintes raios de curva:
Tabela 1
	RAIOS
	PARA dms
	
	ATÉ
	MINUTOS
	Raio m
	dm
	
	Raios m
	dm
	10,42
	2º 45’
	
	11,45
	2º 30’
	12,73
	2º 15’
	
	14,32
	2º 00’
	22,92
	1º 15’
	
	24,56
	1º 10’
	26,44
	1º 05’
	
	28,65
	1º 00’
	31,25
	0º 55’
	
	34,38
	0º 50’
	38,20
	0º 45
	
	42,97
	0º 40’
	46,46
	0º 37’
	
	49,11
	0º 35’
	57,300º 30’
	
	59,27
	0º 29’
	61,39
	0º 28’
	
	63,66
	0º 27’
	66,11
	0º 26’
	
	68,75
	0º 25’
	71,62
	0º 24’
	
	77,73
	0º 23
	78,13
	0º 22’
	
	81,85
	0º 21
	85,94
	0º 20’
	
	90,47
	0º 19’
	95,49
	0º 18’
	
	101,11
	0º 17’
	107,43
	0º 16’
	
	114,59
	0º 15’
	122,78
	0º 14’
	
	132,22
	0º 13’
	144,24
	0º 12’
	
	156,26
	0º 11’
	171,89
	0º 10’
	
	190,99
	0º 09’
	214,86
	0º 08’
	
	245,55
	0º 07’
	286,48
	0º 06’
	
	343,77
	0º 05’
	429,72
	0º 04’
	
	572,96
	0º 03’
	859,44
	0º 02’
	
	1718,77
	0º 01’
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
19
100.700
100.800
off-set
terreno natural
18
20
E P
aterroe
corte
1% (2 a 3%)
1% (2 a 3%)
obstáculo
PCD
PT
AC
1
D1
D6
2
D2
3
DT
D3
4
D1
D2
5
6
PT
7
8
9
012
11
21
10
1º 07’ 18” ,39
direção de pi (i
22
0º 16’ 43” ,09
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
44
43
42
dds
acostamento
dds
41
40
41 + 15,138
off-set
pt - estaca
480 m
T = 129,590 m
pt
PI (2
R2 = 280 m
acostamento
205.783 m
27 m
4.461
pista
T = 129,590 m
0 = 234,223 m
15.139
437
10.084
0.916
pt 
4.867
15.133
pce 
19 + 15.133
pt - estaca
30 + 0.918
pce - estaca
100.900
100.800
100.700
100.600
100.500
100.400
R1 = 880 m
P�
20�
4,867
15,133
pi (i
PCD
D = 201,706 m
T = 101,627 m
T = 101,627 m
6,627
193.373 m
295 m
13,373
19�
18�
17�
16�
15�
14�
13�
12�
11�
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
P.S.
P.S.
100.000
39
PCD = ESTACA: 9 + 13.373
1
1
2
3
3,50 m
34
35
PCD
corda = 26,625 m
corda = 6,627 m
38
37
36
T = 129.590 m
234.223 m
15.139
� EMBED CorelDraw.Graphic.8 ���
200.000
9 + 13.373
pcd - estaca
pt
41 + 1.130
pt - estaca
350.410 m
450 m
4.861
59 + 5.549
pi03 - estaca
PI (3
5.549
escala – 1:2.500
PI (2
101.200
101.100
101.000
100.900
47
3,50 m
46
45
44
43
plataforma
100.300
100.200
100.100
100.000
199.700
199.800
199.900
200.000
200.100
200.200
R1 = 680 m
D = 201.760 m
T = 101.627 m
T = 101.627 m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
193.373 m
295 m
PCD
PS
15
PT
19
16
17
18
20
21
22
23
24
25
26
PI (I
205.783 m
437 m
4.867
6.627
:3.373
15.133
19 – 15.133
pt - estaca
9 – 13.373
pcd - estaca
P.S.
100.000
200.000
100.300
100.400
100.300
100.200
100.100
100.000
199.700
199.800
199.900
Coordenadas de PT
200.000
PI (I
T = 129,590
Coordenadas do PCE
AZ3 = 52º
PI (2
293º
PT
N
AZ = 293º
E
E
PCE
N
AZ3 = 52º
AZ2 = 113º
AZ2 = 113º
 E = 100.576,357
 N = 199.849,049
 E = 100.695,645
 N = 199.798,414
 E = 100.797,763
 N = 199.878.198
PI ( 2
Coordenadas do PT
Coordenadas de PI ( 1
Coordenadas de PCD
PCD
T = 101,627
AZ2 = 113º
PI (I
276º
PT
AZ = 267º
AZ1 = 96º
E
E
PS
N
N
AZ1 = 96º
AZ2 = 113º
 E = 100.192,314
 N = 199.979,787
 E = 100.293,384
 N = 199.969,164
 E = 100.386,932
 N = 199.929.455
Coordenadas de PI ( 3
Coordenadas de PI ( 2
E
Dist. = 480 m
PI (2 (N’, E’)
(N
( = 38º
(E
PI (3 (N, E)
AZ3 = 52º
E’ = 100.695.645
N’ = 199.798.414
N
Coordenadas de PI ( 2
E
Dist. = 437 m
PI(l (N, E)
(N
( = 23º
(E
PI (I (N’, E’)
AZ2 = 113º
E’ = 100.293.384
N’ = 199.969.164
N
E
Dist. = 295 m
PI(l (N, E)
(N
f( = 6º
(E
P.S (N’, E’)
AZ1 = 96º
E’ = 100.000
N’ = 200.000
N
f( = 6º
Marcos Oficiais para triângulação
PI04
PI03
PI01
PI02
AC2
d1
AC3
d4
d3
AC1
9
10
8
6
5
2
I
PS
7
d2
4
3
O
R
PC
x
x
x
2
x/2
x/2
x/2
AC
R
PI
PT
AC
O
R
PCC
T
AC
AC/2
AC/2
AC/2
R
C
AC/2
V
F
PT
AC
P I
T
A
Aterros
Perfil Natural do Terreno
Ponto
 Forçado
Perfil Longitudinal do 
projeto (Grade)
Cortes
Ponto
 Forçado
Poligonal
de Retorno
Articulação
Poligonal de Exploração
ou de Ensaio
C
20
21
19
22
18
23
24
17
16
15
14
25
13
26
27
28
B
5
4
3
7
6
8
9
10
11
2
12
 A
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Y
X
declividade do talude de corte
d.d.s. - dispositivo de drenagem superficial
declividade do talude de aterro
declividade transversal para escoamento de águas superficiais
Escala : 1:5 000
d = 480 m
AZ3
R2 = 220,00
AC2 = 61º E
d = 437 m
AZ2
ACI = 17”D
RI = 680,00
AZ1 = 96”00’00”
d = 295 m
PI0I
E = 100.000
N = 200.000
PS
101.100
101.000
100.900
100.800
100.700
100.600
100.500
100.400
100.300
100.200
100.100
100.000
199.700
199.800
199.900
200.000
200.100
200.200
Topografia – Sua Aplicação na Construção de Estradas
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