Aula 10

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Números adimensionais 
1 
 
1 Números adimensionais 
 
Caminhando para o dimensionamento dos trocadores de calor, vamos estudar a 
convecção interna, dentro de tubos ou em bancos de tubos. Em estudos de 
convecção é prática comum adimensionalizar as equações e combinar as variáveis 
em Números Adimensionais. Os mais utilizados estão apresentados a seguir, bem 
como suas definições: 
 
a) Nusselt – Nu 
������ = ℎ∆
					�					�����
 = �� ∆
 
 
������
�����
 =
ℎ∆
�
� ∆
= ℎ�� = �� 
 
Figura 1 
 
- homenagem a Wilhelm Nusselt, que propôs importantes contribuições para o 
assunto na primeira metade do século XX; 
- é visto como o “coeficiente adimensional de transferência de calor por 
convecção”; 
- representa o “aumento da transferência de calor através de uma camada de 
fluido como resultado da convecção” em relação “à condução do mesmo 
fluido em toda a camada”; 
- quanto maior for Nu, maior será a convecção; 
- quando Nu=1 considera-se apenas condução ao longo de toda a camada de 
fluido; 
- quando conhecido Nu, pode-se obter o coeficiente de película (h), parâmetro 
de difícil determinação, como já visto em convecção. 
 
b) Prandtl – Pr 
�� =
� ������������	������������	��	����������
 ������������	��	!�"��# =
$
% 
 
$ = &' 							�							% =
�
'() 
 
�� = &()� 
Figura 2 
 
Números adimensionais 
2 
 
- homenagem a Ludwig Prandtl, que introduziu o conceito de camada limite em 
1904; 
- descreve a espessura relativa entre a camada limite hidrodinâmica e a 
térmica. 
 
Comportamento dos fluidos com relação ao número de Pr: 
Fluido Pr Observações 
Metais líquidos 0,004 a 0,03 Rápida difusão de calor 
Gases 0,7 a 1,0 QM e calor difundem sob taxas 
iguais 
Água 1,7 a 13,7 
Fluidos orgânicos leves 5 a 50 
Óleos 50 a 100.000 
Glicerinas 2.000 a 100.000 Lenta difusão de calor 
 
Observações: 
- nos gases a transferência de calor e de quantidade de movimento se 
difundem com taxas muito próximas, sendo Pr≌1; 
- nos metais líquidos, o calor se difunde de forma muito mais rápida do que a 
quantidade de movimento, sendo Pr muito pequeno: apenas 5% da variação 
de temperatura acontece na camada limite; 
 
 
 (a) (b) 
Figura 3 – Distribuição de temperatura (a) em metais líquidos e (b) em glicerinas 
 
- nas glicerinas ocorre o oposto, sendo Pr muito grande, onde a taxa de difusão 
de calor é muito pequena em relação à difusão de quantidade de movimento: 
em torno de 95% da variação de temperatura acontece na camada limite. 
 
c) Reynolds – Re 
+� = ���ç��	��	��é�!�����ç��	���!���� =
.��
$ =
'.��
& 
 
- estudado por Osborn Reynolds; 
Números adimensionais 
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- define o regime do escoamento, podendo ser laminar, de transição ou 
turbulento; 
- apresenta parâmetros diferentes para configurações diferentes: se o 
escoamento é forçado, livre, rugoso, externo, dentre outras características 
(ver item 2 a seguir). 
Na equação, LC é um comprimento característico, que varia segundo a geometria do 
escoamento: 
- se o escoamento é forçado, Lc=D; 
- se o escoamento é sobre uma placa plana, Lc=x (x=comprimento da placa); 
- se o escoamento é livre, Lc=Raio hidráulico (Rh). 
 
d) Stanton – St 
/� = ��+� ∙ �� 
É considerado um coeficiente de transferência de calor adimensional. 
 
2 Caracterização dos escoamentos 
 
2.1 Pressão reinante no conduto 
 
a) Forçado → pressão não é a pressão atmosférica; 
 → conduto é totalmente fechado; 
 → fluido ocupa toda a seção transversal do conduto, 
escoando sob pressão. 
Exemplo: tubulações de recalque e sucção de bombas, tubulações de redes de 
abastecimento de água, tubulações de ar comprimido em empresas, gases em 
hospitais, etc. 
 
b) Livre → conduto pode ser aberto ou fechado; 
 → apresenta uma superfície livre onde reina a patm. 
Exemplo: canais fluviais, rios naturais, canaletas, calhas, drenos, interceptores de 
esgoto, etc. 
 
 
Figura 4 – Escoamentos livres e forçados (http://dc219.4shared.com/doc/fH_6mzCn/preview.html) 
 
Números adimensionais 
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2.2 Trajetória das partículas 
 
a) Laminar → a estrutura do escoamento é caracterizada pelo suave movimento 
do fluido em camadas ou lâminas que não se misturam. 
b) Turbulento → a estrutura do escoamento caracteriza-se pelo movimento 
caótico das partículas que se superpõe ao movimento médio. Existem 
partículas em sentido contrário ao escoamento, partículas em sentido 
transversal ao escoamento, partículas mais lentas, mais rápidas. 
 
Experiência de Osborn Reynolds (1842-1912) 
 
Figura 5 - Experiência do Reynolds (http://www.ebah.com.br/content/ABAAAABN4AH/relatorio-
fisica-industrial-viscosidade) 
 
Número de Reynolds (Re) → adimensional 
+� = '.��& =
.��
$ 
' é a massa específica (kg/m³), U é a velocidade média do escoamento (m/s), Lc é a 
dimensão geométrica característica (m), & é a viscosidade dinâmica (kg/m⋅s) e $ é a 
viscosidade cinemática (m²/s). 
 
Tabela 1 – Número de Reynolds 
Condutos Livres Forçados 
Lc Rh – raio hidráulico D – diâmetro 
Laminar <500 <2300 
Transição 500 a 1000 2300 a 4000 
Turbulento >1000 >4000 
 
Exemplo: a fumaça de um cigarro ou de uma vela apresenta um escoamento 
variando de laminar a turbulento. 
(a) (b) 
Figura 6 – Fumaça de um cigarro (a) e de uma vela (b) 
(a-http://infofluidos.blogspot.com.br/2010/05/escoamento-laminar-turbulencia-e-numero.html e b-
http://discmarcioarthurhotmailcom.blogspot.com.br/2012/12/a-fabula-das-quatro-velas.html) 
 
2.3 Variações no tempo 
 
a) Permanente → as características do escoamento n
 
b) Transientes ou trans
escoamento com o tempo. 
 
2.4 Trajetória do escoamento
 
a) Uniforme → o vetor velocidade é constante em módulo, direç
todos os pontos do escoamento.
Exemplo: em condutos de seção constante, grande extensão e declividade zero a 
altura da lâmina d’água é sempre constante.
 
b) Variado → a velocidade varia ao longo do escoamento.
Exemplo: condutos com vários diâmetros, canais com seções diferenciadas e 
declividades variadas. 
 
2.5 Número de dimensões envolvidas
 
Todos os escoamentos são 
podemos considera-los: 
a) Unidimensionais → as variaç
escoamento são desprezíveis ou podem ser tomados seus valores médios.
Exemplo: escoamento em condutos forçados.
Figura 7
(a-alegria.colorir.com/profissoes/bombeiros/bombeiro
93332.html e b
 
b) Bidimensionais → as variaç
duas coordenadas apenas, ou seja, num plano paralelo ao d
Exemplo: escoamento sobre vertedores ou asas de aviões.
Números adimensionais
→ as características do escoamento não variam com o tempo.
2.
2� = 0					
24
2� = 0					
2'
2� = 0 
Transientes ou transitórios → há variações das características do 
Trajetória do escoamento ⇒ velocidades 
→ o vetor velocidade é constante em módulo, direção e sentido, em 
todos os pontos do escoamento. 
2.
2� = 0 
de seção constante, grande extensão e declividade zero a 
altura da lâmina d’água é sempre constante. 
→ a velocidade varia ao longo do escoamento. 
2.
2� 6 0 
Exemplo: condutos com vários diâmetros, canais com seções diferenciadas e 
Número de dimensões envolvidas 
Todos os escoamentos são tridimensionais, porém, por meio de simplificações, 
→ as variações das grandezas na direção transversal ao 
escoamento são desprezíveis ou podem ser tomados seus valores médios.
Exemplo: escoamento em condutos forçados. 
 (a) (b)
Figura 7 – Escoamentos unidimensionais 
soes/bombeiros/bombeiro-com-mangueira-de-agua-pintado
93332.htmle b- multiflorafernandopolis.blogspot.com) 
→ as variações das grandezas podem ser expressas em função de 
duas coordenadas apenas, ou seja, num plano paralelo ao do escoamento.
Exemplo: escoamento sobre vertedores ou asas de aviões. 
Números adimensionais 
5 
ão variam com o tempo. 
ões das características do 
ão e sentido, em 
de seção constante, grande extensão e declividade zero a 
Exemplo: condutos com vários diâmetros, canais com seções diferenciadas e 
, porém, por meio de simplificações, 
ões das grandezas na direção transversal ao 
escoamento são desprezíveis ou podem ser tomados seus valores médios. 
(b) 
pintado-por-peter-
ões das grandezas podem ser expressas em função de 
o escoamento. 
Números adimensionais 
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 (a) (b) 
Figura 8 – Escoamentos bidimensionais 
(a-http://rotadosconcursos.com.br e b- http://diariodebordohofmann.blogspot.com.br) 
 
Os escoamentos tridimensionais exigem para sua análise métodos matemáticos 
complexos. 
Exemplo: um rio. 
 
Figura 9 – Um rio escoando 
(http://www.amigrace.org/images/BXK324
56_corredeiras-6800.jpg) 
 
2.6 Velocidade angular das partículas 
 
a) Rotacionais → 7≠0 
b) Irrotacionais → 7=0 
 
2.7 Variação da massa específica do fluido 
 
a) Incompressíveis → as variações são desprezíveis ⇒ maioria dos líquidos. 
Exceção: fenômeno da cavitação 
 
b) Compressíveis → as variações da massa específica não são desprezíveis ⇒ 
maioria dos gases. 
 
2.8 Viscosidade 
a) Viscosos → todos os escoamentos são viscosos; 
 
b) Não viscosos → simplificação razoável (&=0) onde o fluido é chamado ideal. 
 
2.9 Posição onde ocorrem 
 
 
a) Internos → completamente limitados por superfícies sólidas.
Exemplo: escoamento em condutos
Foco dos estudos: perdas de energia, quedas de pressão e cavitação.
Figura 10 – Escoamentos internos
http://www.adasasistemas.com)
 
b) Externos → ocorrem no entorno de corpos imersos em fluidos ilimitados.
Foco dos estudos: campos de velocidade, sustentação e arrasto.
Figura 11 – Escoamentos externos
Números adimensionais
→ completamente limitados por superfícies sólidas. 
Exemplo: escoamento em condutos 
Foco dos estudos: perdas de energia, quedas de pressão e cavitação. 
 (a) (b) 
Escoamentos internos (a- http://voies-hydrauliques.wallonie.be
http://www.adasasistemas.com) 
→ ocorrem no entorno de corpos imersos em fluidos ilimitados.
Foco dos estudos: campos de velocidade, sustentação e arrasto. 
(a) 
Escoamentos externos (a- http://www.ebah.com.br e b- http://www.kboing.com.br)
Números adimensionais 
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hydrauliques.wallonie.be e b- 
→ ocorrem no entorno de corpos imersos em fluidos ilimitados. 
 (b) 
http://www.kboing.com.br)