exercicios com integrais comentado

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Use mudança de variável ou método da substituição para calcular as integrais a seguir. 
 
a) ∫ √5𝑥 + 3 𝑑𝑥 
Resolução: 𝑢 = 5𝑥 + 3 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 5 ou 
𝑑𝑢
5
= 𝑑𝑥 
Fazendo a mudança de variável: 
∫ √5𝑥 + 3 𝑑𝑥 = ∫ √𝑢 .
𝑑𝑢
5
=
1
5
∫ 𝑢
1
2 𝑑𝑢 =
1
5
𝑢
3
2
3
2
+ 𝐶 =
1
5
.
2
3
. 𝑢
3
2 + 𝐶 =
2
15
. 𝑢
3
2 + 𝐶 
Voltando a variável x, obtém-se 
=
2
15
 . (5𝑥 + 3)
3
2 + 𝐶 =
2
15
. √(5𝑥 + 3)3 + 𝐶 
 
b) ∫ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥 + 1) 𝑑𝑥 
 
Resolução: 𝑢 = 4𝑥 + 1 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 4 ou 
𝑑𝑢
4
= 𝑑𝑥 
Fazendo a mudança de variável: 
∫ 𝑠𝑒𝑛(4𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑢).
𝑑𝑢
4
=
1
4
 ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑢) 𝑑𝑢 = −
1
4
cos(𝑢) + 𝐶 
 
Voltando a variável x, obtém-se: 
= −
1
4
cos(4𝑥 + 1) + 𝐶 
 
 
c) ∫ 𝑒5−3𝑥 𝑑𝑥 
 
Resolução: 𝑢 = 5 − 3𝑥 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −3 ou 
𝑑𝑢
−3
= 𝑑𝑥 
Fazendo a mudança de variável: 
∫ 𝑒5−3𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑒𝑢 .
𝑑𝑢
−3
=
1
−3
. ∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢 = −
1
3
. 𝑒𝑢 + 𝐶 
 
Voltando a variável x, obtém-se 
= −
1
3
. 𝑒5−3𝑥 + 𝐶 
 
d) ∫(3𝑥2 + 5)4 . 𝑥 𝑑𝑥 
 
Resolução: 𝑢 = 3𝑥2 + 5 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 6𝑥 ou 
𝑑𝑢
6
= 𝑥 𝑑𝑥 
Fazendo a mudança de variável: 
∫(3𝑥2 + 5)4 . 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢4.
𝑑𝑢
6
=
1
6
∫ 𝑢4. 𝑑𝑢 =
1
6
.
𝑢5
5
+ 𝐶 =
𝑢5
30
+ 𝐶 
 
Voltando a variável x, obtém-se 
=
(3𝑥2 + 5)5
30
+ 𝐶 
 
e) ∫ 𝑥. √4 − 𝑥2𝑑𝑥 = ∫ √4 − 𝑥2 . 𝑥 𝑑𝑥 
 
Resolução: 𝑢 = 4 − 𝑥2 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −2𝑥 ou 
𝑑𝑢
−2
= 𝑥 𝑑𝑥 
Fazendo a mudança de variável: 
∫ √4 − 𝑥2 . 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ √𝑢 .
𝑑𝑢
−2
=
1
−2
∫ √𝑢. 𝑑𝑢 = −
1
2
 . ∫ 𝑢
1
2 𝑑𝑢 = −
1
2
.
𝑢
3
2
3
2
+ 𝐶
= −
1
2
.
2
3
. 𝑢
3
2 + 𝐶 = −
1
3
. 𝑢
3
2 + 𝐶 
Voltando a variável x, obtém-se 
= −
(4 − 𝑥2)
3
2
3
+ 𝐶 = −
√(4 − 𝑥2)3
3
+ 𝐶 
f) ∫
1−𝑥2
𝑥3−3𝑥+5
 𝑑𝑥 
 
Resolução: 𝑢 = 𝑥3 − 3𝑥 + 5 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 3𝑥2 − 3 = 3(𝑥2 − 1) = −3(1 − 𝑥2) 
 ou 
𝑑𝑢
−3
= (1 − 𝑥2)𝑑𝑥 
 
Fazendo a mudança de variável: 
∫
1 − 𝑥2
𝑥3 − 3𝑥 + 5
 𝑑𝑥 = ∫
1
𝑢
.
𝑑𝑢
−3
= −
1
3
∫
1
𝑢
. 𝑑𝑢 = −
1
3
ln|𝑢| + 𝐶 = 𝑙𝑛|𝑢|−
1
3 + 𝐶
= ln |
1
√𝑢
3
| + 𝐶 
 
Voltando a variável x, obtém-se: 
= ln |
1
√𝑥3 − 3𝑥 + 5
3
| + 𝐶 
g) ∫
𝑠𝑒𝑛(√𝑥)
−3√𝑥
𝑑𝑥 = −
1
3
 ∫
𝑠𝑒𝑛(√𝑥)
√𝑥
 𝑑𝑥 
 
Resolução: 𝑢 = √𝑥 = 𝑥
1
2 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
2
. 𝑥−
1
2 =
1
2√𝑥
 ou 2. 𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
√𝑥
 
Fazendo a mudança de variável: 
= −
1
3
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑢). 2 𝑑𝑢 = −
2
3
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑢) 𝑑𝑢 =
2
3
 . cos(𝑢) + 𝐶 
Voltando a variável x, obtém-se: 
=
2
3
cos(√𝑥) + 𝐶 
 
 
h) ∫ 𝑠𝑒𝑛4(2𝑥 − 1). cos(2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = ∫(𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 1))
4
. cos(2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 
 
Resolução: 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 1) 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= cos(2𝑥 − 1). 2 ou 
𝑑𝑢
2
= cos(2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 
Fazendo a mudança de variável: 
= ∫ 𝑢4 .
𝑑𝑢
2
=
1
2
 ∫ 𝑢4 . 𝑑𝑢 =
1
2
.
𝑢5
5
+ 𝐶 =
𝑢5
10
+ 𝐶 
Voltando a variável x, obtém-se: 
=
(𝑠𝑒𝑛(2𝑥 − 1))
5
10
+ 𝐶 
i) ∫ 4 . cos (
𝑥
2
) 𝑑𝑥 = 4 . ∫ cos (
𝑥
2
) 𝑑𝑥 
 
Resolução: 𝑢 =
𝑥
2
=
1
2
. 𝑥 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
2
 ou 2 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
Fazendo a mudança de variável: 
= 4 . ∫ cos(𝑢) . 2 𝑑𝑢 = 4 . 2 ∫ cos(𝑢)𝑑𝑢 = 8 ∫ cos(𝑢) 𝑑𝑢 = 8 𝑠𝑒𝑛(𝑢) + 𝐶 
Voltando a variável x, obtém-se: 
= 8 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
2
) + 𝐶 
 
j) ∫
3
√4−5𝑥
𝑑𝑥 = 3 . ∫(4 − 5𝑥)
−
1
2 𝑑𝑥 
 
Resolução: 𝑢 = 4 − 5𝑥 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −5 ou 
𝑑𝑢
−5
= 𝑑𝑥 
Fazendo a mudança de variável: 
= 3 . ∫ 𝑢−
1
2 .
𝑑𝑢
−5
=
3
−5
 . ∫ 𝑢−
1
2 𝑑𝑢 = −
3
5
 .
𝑢
1
2
1
2
+ 𝐶 = −
3
5
.
2
1
. 𝑢
1
2 + 𝐶 = −
6
5
 . 𝑢
1
2 + 𝐶 
Voltando a variável x, obtém-se 
= −
6
5
 (4 − 5𝑥)
1
2 + 𝐶 = −
6√4 − 5𝑥
5
+ 𝐶 
k) ∫
2𝑥2
√4+3𝑥3
3 𝑑𝑥 = 2 ∫(4 + 3𝑥
3)−
1
3 . 𝑥2𝑑𝑥 
 
Resolução: 𝑢 = 4 + 3𝑥3 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 9𝑥2 ou 
𝑑𝑢
9
= 𝑥2𝑑𝑥 
Fazendo a mudança de variável: 
= 2 ∫ 𝑢−
1
3 .
𝑑𝑢
9
=
2
9
 . ∫ 𝑢−
1
3 𝑑𝑢 =
2
9
 .
𝑢
2
3
2
3
+ 𝐶 =
2
9
.
3
2
. 𝑢
2
3 + 𝐶 =
1
3
𝑢
2
3 + 𝐶 
Voltando a variável x, obtém-se: 
=
1
3
 . (4 + 3𝑥3)
2
3 + 𝐶 =
√(4 + 3𝑥3)2
3
3
+ 𝐶