CAP 07 A CUSTO DE PRODUÇÃO

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Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice
CAPÍTULO 7
TEORIAS DE PRODUÇÃO E CUSTO —
TRATAMENTO ALGÉBRICO 
EXERCÍCIOS
1.   Dentre as funções de produção a seguir, quais apresentam rendimentos
crescentes, constantes ou decrescentes de escala? 
a. F(K, L) = K2 L
b. F(K, L) = 10K + 5L
c. F(K, L) = (KL)0,5
Os rendimentos de escala referem­se à relação existente entre nível de
produção   e   aumentos   proporcionais   de   todos   os   seus   insumos.
Representamos esta relação da seguinte forma:
F(K, L) > F(K, L) implica rendimentos crescentes de escala;
F(K, L) = F(K, L) implica rendimentos constantes de escala; e
F(K, L) < F(K, L) implica rendimentos decrescentes de escala.
a.  Aplicando estas relações à equação F(K, L) = K2L,
F(K, L) = (K)2 (L) = 3K2L = 3F(K, L).
que é maior que F(K, L); portanto, essa função de produção apresenta
rendimentos crescentes de escala.
b.  Aplicando a mesma técnica a F(K, L) = 10K + 5L,
F(K, L) = 10K + 5L = F(K, L).
A função de produção apresenta rendimentos constantes de escala.
c.  Aplicando a mesma técnica a F(K, L) = (KL)0.5,
F(K, L) = (K L)0.5 = (2)0.5 (KL)0.5 = (KL)0.5 = F(K, L).
Essa função de produção apresenta rendimentos constantes de escala..
2.  A função de produção de um determinado produto é dada por Q = 100KL.
Sendo o custo do capital de $120 por dia e o do trabalho $30 por dia, qual
será o custo mínimo de produção para 1000 unidades de produto?
A combinação de capital e mão­de­obra minimizadora de custos é aquela
onde
r
w
PMg
PMgTMST
K
L  .
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O produto marginal da mão­de­obra é   dQ
dL
K100 .   O produto marginal
do   capital   é  
dQ
dK
100L .     Portanto,   a   taxa  marginal   de   substituição
técnica é
100
100
K
L
K
L
 .
Para determinar a razão ótima entre capital e mão­de­obra, considere a
taxa marginal de substituição técnica igual à razão entre a remuneração
da mão­de­obra e a taxa de locação do capital:
K
L

30
120
, ou L = 4K.
Substitua esse valor de L na função de produção e resolva para o K que
gera uma produção de 1.000 unidades:
1.000 = (100)(K)(4K), ou K = 1,58.
Como L é igual a 4K, L é igual a 6,32.
Com esses níveis para os dois insumos, o custo total é:
CT = wL + rK, ou
CT = (30)(6,32) + (120)(1,58) = $379,20.
Para verificar se  K  = 1,58 e  L  = 6,32 são os níveis minimizadores de
custo dos insumos, considere pequenas mudanças em K e L. em torno de
1,58 e 6,32.  Para K = 1.6 e L = 6.32, o custo total é $381,60, e para K =
1,58 e  L  = 6,4, o custo total é $381,6, ambos maiores do que $379,20.
Logo,  concluímos que os níveis  calculados de  K  e  L  são aqueles que
minimizam o custo.
3.  Suponha que uma função de produção tenha a expressão F(K, L) = KL2 e
que  o   custo  do  capital   seja  $10  e  o  do   trabalho   seja  $15.    Qual   será   a
combinação de trabalho e capital capaz de minimizar o custo de produção
para qualquer quantidade de produto?
A combinação de  capital  e   trabalho que minimiza o  custo  satisfaz  a
condição
r
w
PMg
PMgTMST
K
L  .
O produto marginal do trabalho é   dQ
dL
KL2 .    O produto marginal do
capital é  dQ
dK
L 2 .
Para determinar a razão ótima entre capital e trabalho, iguale a taxa
marginal de substituição técnica à razão entre os preços dos insumos:
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Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice
2 15
102
KL
L
 , ou K = 0.75L.
Logo,  a  razão capital­trabalho deve ser  de 0,75 para que o  custo de
produzir qualquer nível de produto seja minimizado.
4.    Suponha   que   o   processo   de   produção   de   agasalhos   esportivos   da
empresa Polly’s Parkas seja descrito pela função:
Q = 10K0,8(L ­ 40)0,2
em que  Q é  o número de agasalhos produzidos,  K é  o número de horas­
máquina e L é o número de horas de trabalho.  Além de capital e trabalho,
$10 de matérias­primas são consumidos na produção de cada agasalho.
Conhecemos a função de produção:  Q = F(K,L) = 10K.8(L ­ 40).2
Também sabemos que o custo de produção inclui, além dos custos do
capital e do trabalho, $10 de matérias primas por unidade produzida.
Logo, a função de custo total é:
CT(Q) = wL + rK + 10Q
a.  Minimizando o custo sujeito à função de produção, derive as demandas
de K e L como função do produto (Q), salários (w), e aluguel das máquinas
(r).   Derive a função de custo total, (custos como função de  Q,  r,  w  e da
constante referente aos $10 de matéria­prima por unidade produzida).
Precisamos encontrar as combinações de K e L que minimizam tal 
função de custo para qualquer nível de produção Q e preços dos 
insumos r e w.  Para tanto, montamos o Lagrangeano:
 = wL + rK + 10Q ­ [10K.8 (L ­ 40).2 ­ Q]
Derivando com relação a K, L, e , e igualando a zero:
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(1)
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∂Φ
∂K
=r−10λ(.8)K−.2(L−40).2=091
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(2)
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∂Φ
∂L
=w−10λK.8(.2)(L−40)−.8=093
Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice
(3)
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∂Φ
∂λ
=10K.8(L−40).2−Q=0.
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As primeiras duas equações implicam:
2,02,0 )40()8,0(10   LKr   e  8,08,0 )40)(2,0(10  LKw 
ou 
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r
w
=
4(L−40)
K
.
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Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice
que pode ser reescrito da seguinte forma:
r
LwK )40(4   e 
w
rKL
4
40  .
Inserindo as equações acima na equação (3), obtemos soluções para K e
L:
2,08,0
8,0
)40()40(
4
10 




 LL
r
wQ  e 
2,0
8,0
4
10 





w
rKKQ .
ou
40
3,30 8,0
8,0

w
QrL  e  2,0
2,0
6,7 r
QwK 
Estes são os valores de K e L que minimizam o custo. Inserindo tais 
valores na função de custo total, podemos obter a função de custo em 
função de r,w, e Q:
QrKwLQCT 10)( 
QQwrwQrwQCT
Q
r
Qrww
w
QwrQCT
10
6,7
40
3,30
)(
10
6,7
40
3,30
)(
2,08,08,02,0
2,0
2,0
8,0
8,0


b.   Este processo requer trabalhadores qualificados que ganham $32 por
hora. O valor do aluguel das máquinas é de $64 por hora.  Sendo estes os
preços dos fatores, qual é o custo total como função de Q?  Esta tecnologia
apresenta rendimentos crescentes, decrescentes ou constantes de escala?
Dados os valores w = 32 e r = 64, a função de custo total pode ser 
escrita da seguinte forma:
CT(Q)=19,2Q+1280.
A função de custo médio é dada por
CMe(Q) = 19,2 + 1280/Q.
Para determinar o tipo de rendimentos de escala, inicialmente escolha
uma combinação de insumos e calcule o nível de produção; em seguida,
dobre   as  quantidades  de   todos   os   insumos   calcule   o   novo  nível  de
produção e compare com o nível  original.    Supondo K=50 e L=60, o
nível   de   produção  é  Q1=   10(50)0.8(60­40)0.2  =   416.3.     Para  K=100   e
L=120, o nível de produção passa a ser Q2= 10(100)0.8(120­40)0.2 = 956.
Dado   que  Q2/Q1  >   2,   a   função   de   produção   apresenta   rendimentos
crescentes de escala.
c.   A empresa Polly’s Parkas planeja produzir 2000 unidades por semana.
Com   o   preço   dos   fatores   indicados   acima,   quantos   trabalhadores   eles
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Capítulo 7: Teorias de Produção e Custo—Apêndice
deveriam contratar (considere 40 horas de trabalho semanal)  e quantas
máquinas   deveriam   alugar   (também   considere   utilização   de   40   horas
semanais)? Quais os custos marginal e médio neste nível de produção?
Dado Q = 2.000 por semana, podemos calcularas quantidades 
necessárias dos insumos K e L a partir das fórmulas obtidas no item 
(a):
40
3,30 8,0
8,0

w
QrL  e  2,0
2,0
6,7 r
QwK 
Logo, L = 154,9 horas de trabalho e K = 2.000/8,7 = 229,9 horas de 
máquina.  Supondo uma semana de trabalho de 40 horas, obtemos L = 
154,9/40 = 3,87 trabalhadores por semana e K = 229,9/40 = 5,74 
máquinas por semana.  Polly’s Parkas deveria contratar 4 
trabalhadores e alugar 6 máquinas por semana.  
Sabemos que as funções de custo total e custo médio são dadas por:
CT(Q) = 19,2Q + 1280
CMe(Q) = 19,2 + 1280/Q
de modo que a função de custo marginal é
CMg(Q) = d CT(Q) / d Q = 19,2.
O custo marginal é constante e igual  a $19,2 por agasalho e o custo 
médio é 19,2+1280/2000 = $19,84 por agasalho.
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