1ª Verificação de Aprendizagem + Gabarito - 2016.2 - SI

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UNIVERSIDADE FEDEREAL RURAL DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
SEMESTRE: 2016.2
DISCIPLINA: A´LGEBRA VETORIAL E LINEAR PARA COMPUTAC¸A˜O
TURMA: BACHARELADO EM SISTEMAS DE INFORMAC¸A˜O
PROFESSOR: GILSON SIMO˜ES
1a VERIFICAC¸A˜O DE APRENDIZAGEM - 10/10/2016
NOME: CPF:
ATENC¸A˜O:
-Na˜o e´ permitido o uso de calculadoras e celulares.
-Leia cada enunciado com atenc¸a˜o antes de iniciar uma resoluc¸a˜o.
-Na˜o esquec¸a de justificar todas as suas respostas.
-Escreva todos os detalhes dos ca´lculos que o levarem a uma soluc¸a˜o.
Questa˜o 1 . (2,5 pontos) Determine x e y de modo que as matrizes
A =
[
1 2
1 0
]
, B =
[
0 1
x y
]
comutem (isto e´, de modo que AB = BA ).
Soluc¸a˜o.
Temos que
AB =
[
1 2
1 0
] [
0 1
x y
]
=
[
2x 1 + 2y
0 1
]
e
BA =
[
0 1
x y
] [
1 2
1 0
]
=
[
1 0
x+ y 2x
]
.
Logo, AB = BA quando  2x = 11 + 2y = 0
0 = x+ y
,
isto e´, quando x =
1
2
e y = −1
2
�
Questa˜o 2 . Considere o seguinte sistema linear homogeˆneo com 3 equac¸o˜es e 3 icognitas x − y − z = 0x − 2y − 2z = 0
2x + ky + z = 0
a) (0,5 pontos) Este sistema admite pelo menos uma soluc¸a˜o (chamada de soluc¸a˜o trivial). Qual e´ ela?
b) (1,5 pontos) Determine o valor de k ∈ R para que o sistema admita uma soluc¸a˜o distinta da soluc¸a˜o trivial.
c) (0,5 pontos) Para o valor de k encontrado no item b) determine a soluc¸a˜o do sistema.
Soluc¸a˜o.
a) Para qualquer k ∈ R, claramente x = y = z = 0 e´ soluc¸a˜o do sistema. Esta e´ a soluc¸a˜o trivial do sistema
linear homogeˆneo.
1
b) Vamos considerar a matriz ampliada do sistema e fazer operac¸o˜es elemntares sobre as linhas desta matriz. 1 −1 −1 01 −2 −2 0
2 k 1 0
 L2→L2−L1→
 1 −1 −1 00 −1 −1 0
2 k 1 0
 L3→L3−2L1→
 1 −1 −1 00 −1 −1 0
0 k + 2 3 0

Note que, se k = −2, enta˜o o posto da matriz ampliada e o posto da matriz dos coeficientes e´ 3. Como o
nu´mero de varia´veis do problema tambe´m e´ 3, enta˜o o sistema tera´ uma u´nica soluc¸a˜o e esta sera´ a soluc¸a˜o
trivial x = y = z = 0. Assim, para o sistema ter uma soluc¸a˜o distinta da soluc¸a˜o trivial, devemos exigir
que k 6= −2 e continuar fazendo operac¸o˜es sobre as linhas da matriz ampliada do sistema. Continuando,
temos que 1 −1 −1 00 −1 −1 0
0 k + 2 3 0
 L2→−L2→
 1 −1 −1 00 1 1 0
0 k + 2 3 0
 L2→L3−(k+2)L2→
 1 −1 −1 00 1 1 0
0 0 1− k 0

Agora, se k = 1, enta˜o o posto da matriz ampliada e o posto da matriz dos coeficintes e´ 2. Neste caso,
como o nu´mero de varia´vel do sistema e´ 3, temos que o sistema tera´ uma soluc¸a˜o distinta da soluc¸a˜o
trivial (de fato, neste caso teremos infinitas soluc¸o˜es).
c) Para k = 1, o sistema associado a ultima matriz obtida no escalonamento e´{
x − y − z = 0
y + z = 0
Fazendo z = t, t ∈ R temos que a soluc¸a˜o do sistema e´ x = 0y = −t
z = t
, t ∈ R
�
Questa˜o 3 . Considere a matriz M abaixo
M =
 x− 2 1 x− 1−2 x+ 1 0
3 0 1

a) (1,0 ponto) Determine o(s) valor(es) de x para que M na˜o seja invers´ıvel
b) (1,5 pontos) Para x = −1 determine a inversa de M.
Soluc¸a˜o.
a) A matriz M e´ invers´ıvel se, e somente se, det M 6= 0. Assim, a fim de que M na˜o seja invers´ıvel,
devemos exigir que det M = 0. Usando o desenvolvimento de Laplace na terceira lina da matriz M,
temos
det M = 3∆31 + 0∆32 + 1∆33
= 3(−1)3+1 det
[
1 x− 1
x+ 1 0
]
+ 1(−1)3+3 det
[
x− 2 1
−2 x+ 1
]
= −2x2 + x+ 1
Logo, det M = 0 se, e somente se, −2x2 + x+ 1 = 0. Usando a fo´rmula de bhaskara, temos que
x1,2 =
−(−1)±√(−1)2 − 4(−2)1
2(−1) ,
isto e´, x1 − 2 = ou x2 = 1. Portanto, a matriz M na˜o e´ invers´ıvel para x = −2 ou x = 1.
2
b) Para x = −1 temos que
M =
 −3 1 −2−2 0 0
3 0 1

Usando o procedimento de inversa˜o de matrizes (que usa operac¸a˜o sobre as linhas da matriz), temos −3 1 −2−2 0 0
3 0 1
∣∣∣∣∣ 1 0 00 1 0
0 0 1
 L2→L1−→
 −2 0 0−3 1 −2
3 0 1
∣∣∣∣∣ 0 1 01 0 0
0 0 1
 L1→− 12L1−→
 1 0 0−3 1 −2
3 0 1
∣∣∣∣∣ 0 −1/2 01 0 0
0 0 1

 1 0 0−3 1 −2
3 0 1
∣∣∣∣∣ 0 −1/2 01 0 0
0 0 1
 L2→L2+3L1−→
L3→L3−3L1
 1 0 00 1 −2
0 0 1
∣∣∣∣∣ 0 −1/2 01 −3/2 0
0 3/2 1

L2→L2+2L3−→
 1 0 00 1 0
0 0 1
∣∣∣∣∣ 0 −1/2 01 3/2 2
0 3/2 1

Portanto
M−1 =
 0 −1/2 01 3/2 2
0 3/2 1

�
Questa˜o 4 . Julque como verdadeira ou falsa cada uma das afirmac¸o˜es a seguir. Justifique.
a) (0,5 pontos) O disco unita´rio D = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1} na˜o e´ um subespac¸o vetorial de R2.
b) (0,5 pontos) O conjunto S =
{
A =
[
a b
c d
]
; det A 6= 0
}
e´ um subespac¸o vetorial de M2×2.
c) (1,0 pontos) O conjunto S =
{
A =
[
a b
c d
]
; det A = 0
}
e´ um subespac¸o vetorial de M2×2.
d) (0,5 pontos) A para´bola P = {(x, y) ∈ R2/y = x2} e´ um subespac¸o vetorial de R2.
Soluc¸a˜o.
a) Note que os vetores u = (1, 0), v = (0, 1) ∈ D, mas o vetor u+ v = (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) /∈ D. Portanto
D na˜o e´ um subespac¸o de R2 e assim a afirmac¸a˜o e´ VERDADEIRA.
b) Note que a matriz nula de ordem 2,
02 =
[
0 0
0 0
]
/∈ S,
pois seu determinante e´ 0. Portanto S na˜o e´ um subespac¸o de M2×2 e assim a afirmac¸a˜o e´ FALSA.
c) Note que a matriz nula,
02 =
[
0 0
0 0
]
inS,
pois seu determinante e´ 0. Agora, dada as matrizes A,B ∈ S e λ ∈ R, temos que
det (A+B) = det A+ det B = 0 + 0 = 0
det kA = k2det A,
pelas propriedades do determinante. Logo A + B, λA ∈ S para toda matriz A,B ∈ S e todo escalar
λ ∈ R. Portanto S e´ um subespac¸o de M2×2 e assim a afirmac¸a˜o e´ VERDADEIRA.
3
d) Note que os vetores u = (2, 4), v = (3, 9) ∈ P, mas o vetor u+ v = (2, 4) + (3, 9) = (5, 13) /∈ P. Portanto
P na˜o e´ um subespac¸o de R2 e assim a afirmac¸a˜o e´ FALSA.
�
BOA PROVA!
4