BC0005_aula_05_sExperiemento_2009-1c

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Aula 5 Gráficos de Polinômios – BC0005
Aula 5 Gráficos de Polinômios
Parte prática
Exemplo 1
Vamos iniciar plotando o gráfico da função 
))(tanh()( xesenxf =
Para mostrar a localização das raízes vamos usar os recursos de visualização de gráficos do BROffice. 
Teremos uma forma rápida de checarmos o lugar de raízes provenientes de expressões muitas vezes 
complicadas.
1. Abra o BROffice
2. Coloque na célula C3 o valor -5. Esta será a coluna do “x”.
3. Na célula C4 escreva a fórmula =C3+.4.
Ao terminar clique no símbolo “aceitar” 
4. Feito isso, aparecendo o valor -4.6, selecione esta célula e arraste o pontinho preto que aparece no extreme 
inferior direito até o ponto onde você enxerga o valor 5 (célula C28).
Com este recurso de arrastar a célula você facilmente consegue obter os valores desejados da variável 
independente, sem muito esforço.
5. Na célula E3 digite a expressão abaixo
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E clique no símbolo “aceitar” .
Você verá o resultado da expressão matemática na célula.
6. Faça o mesmo processo do passo 4, 
arrastando a célula E3 até o final da coluna 
(posição 28).
 Serão visualizadas duas colunas como mostrado 
ao lado.
 
Perceba que a coluna C representa o “x” e a 
coluna E o “f(x)”.
7. Para inserir o gráfico desses pontos você 
necessita selecionar o bloco de dados com o 
mouse. 
8. Em seguida, com o bloco selecionado, clique 
em Inserir/Gráfico
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9. Selecione “XY(Dispersão)”, “Linhas Uniformes” e “Pontos e Linhas”. Depois clique em “Próximo”.
A opção Dispersão mostrará os dados no formato variável independente no eixo x e demais variáveis 
dependentes no eixo y.
A opção Linhas Uniformes cria “splines” entre os pontos, fazendo com que as conexões entre os pontos 
sejam mais suaves.
10. No Segundo passo, clique simplesmente em Próximo. Por default, os dados serão assumidos pelo 
programa como fornecidos em colunas, como estamos trabalhando.
11. Clique em “Próximo” no segundo passo novamente. Aqui você estará indicando ao programa quais são 
as colunas que o gráfico mostrará.
13. Finalmente, no quarto passo, selecione “Exibir grades eixo x”. Você pode também colocar títulos e 
legendas nos eixos. Existe ainda o controle de onde será exibida a legenda no gráfico.
Depois clique em “Concluir”.
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14. Será fornecido pelo BRCalc algo como a 
figura ao lado.
Visualmente, podemos verificar que as raízes se 
encontram no intervalo de (0,2), (2,4) e assim 
por diante.
Podemos perceber que na faixa de (-4,0) temos 
um perfil próximo da função exponencial 
crescente.
Após esta faixa, percebemos um caráter 
oscilatório, típico de funções trigonométricas 
como seno.
Para obtermos uma vista mais clara do valor das raízes, precisaríamos dar um zoom na região onde a curva 
corta o eixo x.
Existem duas alternativas: ou fazemos outro gráfico, solicitando um conjunto de dados menor, em torno da 
região de interesse, ou simplesmente editamos o intervalo de dados do gráfico em questão.
15. Como uma raiz está no intervalo entre 0 e 2, 
selecione o intervalo a seguir.
Depois siga os passos anteriores e plote o 
gráfico apenas deste intervalo.
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16. Será visualizado o gráfico ao lado.
Percebemos que esta raiz está próxima de 1,1.
17. Para nos certificarmos, coloque 1,1 em um campo livre da planilha, e copie e cole a fórmula presente na 
célula E3.
Podemos perceber que o valor da função neste ponto é 0,14. Podemos refinar manualmente outro intervalo, 
de maneira a realizarmos o zoom numérico da função neste ponto.
Na figura percebemos que a raiz está entre 1,14 e 1,15.
Exemplo 2
Polinômios de Chebyshev
Vamos neste exemplo criar os gráficos dos polinômios de Chebyshev.
1. No BROffice, queremos criar uma lista de -1 a 1. Contudo, o programa automaticamente soma valores de 
1 a 1. O que faremos: uma lista inicial de -10 a 10, feita automaticamente, e depois dividimos esta coluna por 
10.
Na posição D18 digite -10. Em seguida 
selecione a célula a ponto de ser visualizado 
algo como a figura:
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Em seguida “arraste” com o 
mouse o quadradinho no canto 
inferior direito. Será mostrado 
inclusive o valor atual da célula 
na posição corrente. Pare 
quando chegar em 10.
2. Agora basta dividir a coluna inteira por 10. Na célula E18 escreva a fórmula abaixo. Depois clique no 
ícone “aceitar”. 
3. Como verificamos na parte teórica, existem coeficientes para cada polinômio. Uma maneira simples para 
acessarmos esses valores seria colocá-los em uma tabela separada, e depois chamamos esses valores.
Contudo, temos de ter cuidado para que ao copiarmos e colarmos as fórmulas no BROffice ou Excel, os 
endereços não sejam relativos. Para dizermos ao programa de planilha eletrônica que estamos tratando de 
endereços absolutos temos de usar a notação com o símbolo cifrão $.
Digite os valores abaixo na planilha. Procure observar a analogia dos coeficientes na tabela com aqueles 
vistos em classe. Por exemplo, ordem 2 temos os coeficientes 2 e 1. O polinômio correspondente é 2x2-1.
4. Agora podemos escrever os polinômios. Escreva na célula F18 a fórmula abaixo.
Depois clique no ícone “aceitar”. 
Perceba que implementamos a fórmula 2x2-1 acima! 
5. O resultado deve ser “1”. Agora podemos arrastar a fórmula para baixo, copiando. Teremos o seguinte 
resultado.
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Clicando em uma célula no meio da última coluna, observamos algo interessante. Em F26 lemos 
 . Se compararmos com o que originalmente digitamos na F18, vemos que as células 
marcadas com $ ficam inalteradas ao copiarmos. Já aquelas sem esse símbolo são automaticamente alteradas.
6. Vamos agora fazer o mesmo para polinômios de Chebyshev de ordem 6 e 9. Digite o seguinte nas colunas 
G e H.
Ao finalizar cada uma das equações, clique no ícone “aceitar”. 
Procure analisar quais funções estão sendo implementadas. Identifique os termos usados se estão 
implementando corretamente as funções desejadas.
Relembrando as funções que procuramos visualizar são :
7. Finalizados os passos da etapa anterior, podemos “arrastar” as duas equações para obtermos os demais 
resultados. Teremos algo como na figura abaixo.
Coloque também acima das colunas os “nomes” de cada conjunto de dados. Isso ajudará no gráfico 
posteriormente.
Lembrando que os polinômios de Chebyshev oscilam no intervalo [-1,1], podemos usar essa informação para 
checar se nossa planilha está correta, ajudando a corrigir erros de digitação.
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8. Para obter o gráfico, selecione as colunas como ao lado. Depois selecione a função Inserir/Gráfico.
9. Em seguida temos os ajustes como vistos no exemplo anterior.
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Como resultado, visualizamos algo do tipo:
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Notamos que o gráfico mostra os 3 diferentes polinômios, mas alguns itens estão ruins.
10. Vamos começar a solicitar que não sejam mostrados os pontos, para tornar mais claro o conjunto. Clique 
duas vezes no gráfico, ao visualizar algo do tipo abaixo 
Então selecione a função formatar/tipo de gráfico.
11. Então vamos solicitar a opção Somente Linhas.
12. Vemos, além disso, que a fonte e os eixos estão muito pequenos. Isso é muito comum em apresentações 
mesmo profissionais, em conferências e artigos científicos. Selecione o gráfico novamente, como na figura 
anterior, e depois clique na função Formatar/Eixo/Todos os Eixos.
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Então selecione a fonte de número 14.
13. Podemos fazer o mesmo, modificara fonte dos títulos e da legenda. Sempre depois de selecionado o 
gráfico, realize os seguintes ajustes.
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O resultado final:
Exemplo 3
Série de Taylor da função exponencial
Vamos agora visualizar a expansão em série de Taylor-Maclaurin da função exponencial. Relembrando a 
expansão
A idéia seria visualizar como a aproximação por série de potência da função exponencial se assemelha a 
função original ao aumentarmos o número de termos. 
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∑ ∞
=
=+++++=
0
32
!!
...
!3!2
1
n
nn
x
n
x
n
xxxxe
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1.Abra o BRCalc. Na posição D4 digite 0. Em D5 digite a expressão “=D4+0,1”
Em seguida clique no ícone “aceitar” 
2. Simplesmente arraste a última célula para baixo, até 
a posição D23 (atingindo o valor 1.9). Coloque em D3 
o título “x”.
3. Na posição E4 digite a expressão
 
e clique em “aceitar”. 
Novamente, arraste depois essa última linha até a 
última posição E23.
Coloque também um título na primeira linha 
“exp(x)”.
4. O primeiro termo da nossa expansão é 1+x. Assim 
temos que escrever essa expressão na célula F4.
Na posição F4 digite a expressão
 
e clique em “aceitar”. 
Novamente, arraste depois essa última linha até a 
última posição F23.
Coloque também um título na primeira linha “Taylor 
2 termos”.
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5. O segundo termo da nossa expansão é 1+ x + 0.5x2. 
Assim temos que escrever essa expressão na célula G4.
Na posição G4 digite a expressão
 
e clique em “aceitar”. 
Novamente, arraste depois essa última linha até a última 
posição G23.
Coloque também um título na primeira linha “Taylor 3 
termos”.
6. O terceiro termo da nossa expansão é 1+ x + 0.5x2 + 
(1/6)*x3. Assim temos que escrever essa expressão na 
célula H4.
Na posição H4 digite a expressão
 
e clique em “aceitar”. 
Novamente, arraste depois essa última linha até a última 
posição H23.
Coloque também um título na primeira linha “Taylor 4 
termos”.
7. Finalmente, nosso quarto termo é 1+ x + 0.5x2 + (1/6)*x3 + (1/4!)x4. Assim temos que escrever essa 
expressão na célula I4. Contudo, podemos usar os termos digitados na coluna anterior!
Na posição I4 digite a expressão
 e clique em “aceitar”. 
Perceba que estamos usando a função interna do BROffice Fatorial. Além disso, estamos usando os termos 
anteriores lendo da célula H4.
Novamente, arraste depois essa última linha até a última posição I23.
Coloque também um título na primeira linha “Taylor 5 termos”.
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Perceba agora como ao aumentarmos o número de termos, nos aproximamos da função original. 
8. Vamos agora visualizar em um gráfico essas colunas. Selecione todo o conjunto como na figura, com o 
mouse.
9. Em seguida selecione Inserir/Gráfico
10. Selecione no primeiro passo as opções abaixo: 
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Depois clique em Próximo.
11. Clique em Próximo.
12. Clique em Próximo.
13. Selecione no último passo as opções abaixo. Depois clique em concluir.
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14. Como no caso anterior, vamos aumentar a fonte. Siga os passos anteriores (escolhendo fonte como na 
figura abaixo, fonte 14 e negrito).
15. Será visualizado algo como:
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Perceba que a expansão aumenta sua semelhança com a função original ao aumentarmos o número de 
termos. 
16. Vamos supor agora que queremos ressaltar a curva da função original, deixando-a mais grossa. Com o 
mouse selecionamos a mesma, clicando em cima dela. 
Perceba que o programa seleciona a curva e simultaneamente as colunas que geram a respectiva curva.
17. Selecione então Formatar/Propriedades do 
Objeto.
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18. Modifique a largura da linha, na aba Linha desta 
janela.
19. Muitas vezes é necessário publicar algo apenas em preto e branco. Nesses casos, temos que modificar de 
cores para linhas interrompidas. Podemos usar o recurso anterior, ajustando a cor para preto e usando linhas 
interrompidas. Procure manipular os recursos para observar algo como a figura abaixo.
20. Algo muito útil, especialmente em aplicações de estatística e matemática financeira, são as chamadas 
linhas de tendência.
Muitas vezes temos dados tomados de experimentos, ou de eventos periódicos (como a cotação do dólar). 
Desejamos obter uma fórmula matemática que nos permita achar valores em intervalos não cobertos pela 
série de dados (por exemplo, tenho a cotação do dólar Norte Americano todo último dia útil, mas por algum 
motivo desejo no meio do mês). 
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Essas funções matemáticas que servem para aproximar a série de dados podem ser de vários 
tipos – exponenciais, séries lineares, logaritmos, etc. O computador automaticamente segue algumas rotinas 
para achar a melhor função que se ajuste aos dados.
No BROffice, selecione apenas as colunas x e exp(x), (de índices D e E). Plote o gráfico desses dois dados, 
selecionando os mesmos settings usados anteriormente.
Depois, no gráfico clique duas vezes no mesmo. Em seguida, acesse Inserir/Linhas de tendência.
21. Será observada uma janela com várias opções. São as diferentes funções que aproximarão as nossas 
curvas plotadas.
Escolha linear, solicitando que o programa mostre a equação e o coeficiente R2.
Obs. Por algum motivo, da primeira vez os checkboxes embaixo não estão ativos. Clique em nenhuma, e 
depois selecione Linear. Então funcionará!
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O resultado aparece na figura abaixo. Perceba que temos a expressão da curva linear que 
melhor se aproxima da exponencial. 
Veja que existe uma diferença entre essa função calculada pelo BRCalc (2.85x + 0.33) diferente da função 
aproximada pela nossa série de Taylor (1+x).
Isso porque enquanto o BRCalc procura “casar” (em inglês fit) a função em toda faixa, a série de Taylor está 
casada em um ponto específico – no nosso caso em x=0 (razão pela qual ela é chamada Taylor-Maclaurin).
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Atividades Extras
1. No último exemplo (Expansão em série de Taylor-Maclaurin) solicite que o programa BRCalc 
compute linhas de tendência também com outras funções. Experimente com a exponencial na opção 
“Tipo de Regressão”. O que aconteceu? Explique por que tivemos um casamento perfeito entre as 
duas curvas (coeficiente R2 unitário).
Ao tentar as opções “logarítmica” e “geométrica” perceba que o casamento não é tão bom. 
2. Abaixo vemos a cotação do USD versus real (fonte: http://www.data360.org/dsg.aspx?
Data_Set_Group_Id=59)
Mostre o gráfico desta variação no BRCalc.
Procure acertar os limites do eixo y (começando de 1.5 em vez de zero). Para tanto clique duas vezes no eixo 
y e na tabela “escala” 
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Procure depois achar a melhor linha de tendência que se ajuste aos pontos dados. Procure observar o 
coeficiente R2 para cada caso (varia entre 0 – séries totalmente diferentes a 1 – séries absolutamente iguais).
Manipule o gráfico “cosmeticamente” (fonte, cores, título, legenda, etc.) de maneira a obter uma boa 
apresentação.
3. Uma importante aplicação de planilhas eletrônicas se dá em matemática financeira. Suponha que 
depositamos no primeiro mês R$500,00 na aplicação renda fixa, cujo rendimento está em torno de 
0.8% a.m.
Coloque numa tabela o resultado dessa aplicação.
Perceba que temos uma regra de formação do tipo (r representa rendimento mensal).
1
11 )1()1(
−
−
+=+= nnn rMrMM
Implemente no BRCalc uma série que mostre o rendimento. Procure determinar quanto teremos ao fim 
de um ano (RespostaR$545.8,00).
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4. No exemplo anterior, suponha que todo mês seja investido R$500,00. Qual será o 
total obtido após um ano e dois anos?
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