1.13. Asociatividad de la diferencia simétrica Sean A,B,C subconjuntos de un conjunto universal X. Usando propiedades de la función caracteŕısti...
Sean A,B,C subconjuntos de un conjunto universal X. Usando propiedades de la función caracteŕıstica, demostrar la propiedad asociativa de la diferen- cia simétrica, es decir (A∆B)∆C = A∆(B∆C).
Solución. Para cualquier par de subconjuntos M y N de X, sabemos que M = N si y sólo si 1M = 1N . Bastará pues demostrar que 1(A∆B)∆C = 1A∆(B∆C). (1)
Sabemos también que 1M∆N = 1M + 1N − 2 · 1M · 1N .
Desarrollemos separadamente 1(A∆B)∆C y 1A∆(B∆C) :
1(A∆B)∆C = 1(A∆B) + 1C − 2 · 1(A∆B) · 1C
= 1A + 1B − 2 · 1A · 1B + 1C − 2 (1A + 1B − 2 · 1A · 1B) · 1C
= 1A + 1B + 1C − 2 · 1A · 1B − 2 · 1A · 1C − 2 · 1B · 1C + 4 · 1A · 1B · 1C .
1A∆(B∆C) = 1A + 1(B∆C) − 2 · 1A · 1(B∆C)
= 1A + 1B + 1C − 2 · 1B · 1C − 2 · 1A (1B + 1C − 2 · 1B · 1C)
= 1A + 1B + 1C − 2 · 1A · 1B − 2 · 1A · 1C − 2 · 1B · 1C + 4 · 1A · 1B · 1C .
Se verifica (1), por tanto (A∆B)∆C = A∆(B∆C).
💡 1 Resposta
Ed 
A propriedade associativa da diferença simétrica, (A∆B)∆C = A∆(B∆C), pode ser demonstrada usando propriedades da função característica. Sabemos que para qualquer par de subconjuntos M e N de X, M = N se e somente se 1M = 1N. Portanto, precisamos mostrar que 1(A∆B)∆C = 1A∆(B∆C). Também sabemos que 1M∆N = 1M + 1N - 2 · 1M · 1N. Vamos desenvolver separadamente 1(A∆B)∆C e 1A∆(B∆C): 1(A∆B)∆C = 1(A∆B) + 1C - 2 · 1(A∆B) · 1C = 1A + 1B - 2 · 1A · 1B + 1C - 2(1A + 1B - 2 · 1A · 1B) · 1C = 1A + 1B + 1C - 2 · 1A · 1B - 2 · 1A · 1C - 2 · 1B · 1C + 4 · 1A · 1B · 1C. 1A∆(B∆C) = 1A + 1(B∆C) - 2 · 1A · 1(B∆C) = 1A + 1B + 1C - 2 · 1B · 1C - 2 · 1A(1B + 1C - 2 · 1B · 1C) = 1A + 1B + 1C - 2 · 1A · 1B - 2 · 1A · 1C - 2 · 1B · 1C + 4 · 1A · 1B · 1C. Podemos verificar que (A∆B)∆C = A∆(B∆C), portanto, a propriedade associativa da diferença simétrica é válida.
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