P2 e Maple 2013.1 de Cálculo 2

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P2 de Cálculo a Várias Variáveis I
MAT 1162 - 2013.1
Data: 22 de junho de 2013
Nome:~Q~~.
Assinatura: ~1.Q!&b ~ ~
Matrícula: ~q5G
TUrma: ~23A~L- _
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Questão Valor Nota Revisão
1 5.0 5,0
2 3.0 ~,4
Teste 2.0 c2,o
Total 10.0 '1 4
Instruções
• Mantenha seu celular desligado durante toda a prova.
• Não é permitido usar nenhum tipo de calculadora ou dispositivo eletrônico.
• Não destaque as folhas da prova.
• A prova pode ser resolvida a lápis, caneta azul ou caneta preta. Não é permitido
usar caneta vermelha ou verde.
• Você não tem o direito de consultar anotações.
• RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NÃO SERÃO CONSIDERADAS.
2. Seja U a região do espaço definida por
U = { (x, y, z) E ]R.3 I Z2 2:: x2 + y2 , x2 + y2 + Z2 :::;2 , z 2:: O} .
Considere a função
1. Considere (em todos os itens desta questão) a função
f(x, y, z) = x2 + 2xy + 2yz + Z2 + 10
e a superfície de nível
s = {(x,y,z) E]R.3 I f(x,y,z) = 11} .
(a) (1.5) Classifique os pontos críticos da função f(x, y, z), determinando se são má-
ximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
(b) (1.0) Escreva a aproximação quadrática Q(x y, z) da função f(x, y, z) no ponto
(O, O, O).
(c) (1.5) Determine e S é um elipsoide, ou um paraboloide hiperbólico (sela), ou
um hiperboloide de uma folha ou um hiperboloide de duas folhas, justificando sua
resposta.
Dica: Para este item, leve em conta que a matriz
u~n
tem autovalores 1, 2 e -1.
(d) (1.0) Determine um vetor não nulo v = (a,b,c) de maneira que todo plano te
ortogonal a v corta S ao longo de elipse , isto é
7r nS é uma elipse.
e a integral tripla
1=J J lu f(x, y, z) dxdydz.
(a) (1.0) E creva I na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coor-
denadas cilíndricas (r, 8, z). (Neste item não é pedido o cálculo da integral.)
(b) (1.0) Escreva I na forma de uma integral iterada, usando obrigatoriamente coor-
denadas esféricas (p, ip, 8). (Neste item não é pedido o cálculo da integral.)
(c) (1.0) Calcule I (usando o método que preferir).
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T3 de Cálculo a Várias Variáveis I
MAT 1162 - 2013.1
Data: 21 de junho de 2013
:\ome: ~A' O~O ~~ RUl7?z>\\. .
Assinatura: ~,.o..o.D~ R..~
Matrícula: -\J2,:-\--\956
TUrma: ~~~~ _
Questão Valor Nota Revisão
l.a 0.8 olg
l.b 0.4 °14l.c 0.8 °l~
Total 2.0 ~O
Instruções
• Mantenha seu celular desligado durante todo o teste.
• Não é permitido usar nenhum tipo de calculadora ou dispositivo eletrônico.
• Não destaque as folhas do teste.
• O teste pode ser resolvido a lápis, caneta azul ou caneta preta. Não é permitido usar
caneta vermelha ou verde.
• Você não tem o direito de consultar anotações.
• Desenvolva a solução de cada questão, de maneira clara e objetiva, na folha em que
a mesma está enunciada. Utilize o verso da folha se necessário.
• Todos os comandos de Maple utilizados na resolução do teste e as respostas fornecidas
pelo programa devem ser escritos no papel.
• RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVAS NÃO SERÃO CONSIDERADAS.
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1. Considere a seguinte região espacial:
u = { (x, y, z) E IR.3 I x2 + y2 + Z2 ~ 9, z 2: V x2 + y2 Y > O _ > O 1 }3 ' - ,y x_ ,z2:2
eo~ 5 \Óey-QyOo ~ CX I 'b .I ~ ")::: X J.. •
Q.. J... J..
X -I-~ +"Zl s: q e5~e'("'"o..
Seja
1=JJ lu x2 exp(x2 + y2 + Z2) dxdydz.
(a) (0.8) Escreva I utilizando coordenadas esféricas.
(b) (0.4) Escreva I utilizando coordenadas cilíndricas.
(c) (0.8) Calcule I.
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