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Controle Discreto _Jesus Bravo_

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Prévia do material em texto

Professor Lotufo: 
Os trechos marcados em azul, são trechos que fiquei com duvidas quanto a escrita, no xerox 
não está claro oque está escrito, por favor verificar se esta correto. 
Os trechos em amarelo estavam gerando ambiguidade, acabei mudando para evitar duvidas, 
favor verificar se as mudanças estão corretas. 
Os trechos em verde foram acrescentados por mim, achei que estavam faltando, favor 
verificar se o senhor concorda. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conteúdo programático 
1. Controle discreto 
1.1- Introdução 
1.2- Teoria de controle por computador 
1.3- Sistemas de dados amostrados 
1.4- Conversão de sinais 
 
2. Representação domínio do tempo de sistemas lineares discretos 
2.1- Equação à diferença linear 
2.2- Representação com variáveis de estado 
 
3. Transformada z 
3.1- Introdução 
3.2- Propriedades da transformada z 
3.3- Inversão da transformada z 
3.4- Relação entre a transformada z e transformada de Laplace 
 
4. Estabilidade de sistema de controle digital 
4.1- Analise de estabilidade 
4.2- Critério Routh 
4.3- Critério de Jury 
 
5. Técnicas de projeto de compensadores digitais 
5.1- Projeto através de root- locus 
5.2- Projeto algébrico 
5.3- Filtros digitais 
 
 
Bibliografia 
1. Castrucci, P; Sales, R. M. Controle Digital, Ed. Edgard Blücher, 1ª. Ed., 1990. 
2. Ogata, K. Engenharia de Controle Moderno, Prentice Hall, 1982. 
3. Astrom, K. J.; Wittenmark, B. Computer Controlled System, Prentice Hall, 1984. 
4. Franklin,. G. F.; Poweel, J.D. Digital Control of Dynamic Systems, Addison Wesley 
Publishing Company, 1980. 
5. Cadzol, J. A. Discrete-Time Systems, Prentice Hall, 1973. 
6. Hemerly, E. M. Controle por Computador de Sistemas Dinâmicos, Ed. Edgard Blücher, 
1996. 
 
1- Controle discreto 
Controle discreto – controle por meio de computador. 
- Metade da década de 50, custo final alto e baixa flexibilidade. 
- Inicio dos anos 60, aplicações restritas devido ao alto custo. 
- Década de 70, desenvolvimento desta área sustentada por dois motivos: 
a- Utilização de computadores possibilitou a melhoria da qualidade dos produtos e o 
aumento da produtividade. 
b- Custo sempre decrescente do hardware. 
- Atualmente: 
- vastíssimos recursos de software e hardware. 
- Microcontroladores e processadores digitais de sinais que permitem a 
implementação em tempo real de sofisticados algoritmos de controle, a baixo 
custo. 
 
 
Neste ponto tem uma FIGURA que não consegui entender por completo 
 
1.1- Teoria de controle por computador 
- Necessidade de teorias para analise e projeto de sistemas de controle com 
realimentação realizado por computador; 
- Comportamento que se assemelha ao analógico e que inclua a novidade de 
transmissão do sinal periodicamente amostrado; 
- A teoria deve explicar muito bem as consequências do período de amostragem sobre 
estabilidade e a dinâmica dos sistemas, a rigor trabalha se com 2 tipos diferentes de 
modelos, para o mesmo subsistema. 
 - Modelos discretos no tempo , que servem para verificação da estabilidade 
para o calculo do transitório e para o projeto de algoritmos de controle a serem 
executados pelo computador. 
 - Modelos contínuos no tempo, que tem sua utilidade em questão de ruído e de 
espectros de frequência. 
1.2- Qualidade do controle discreto 
Vantagens 
- Maio flexibilidade na implementação do controlador ou compensador dinâmico da 
malha de realimentação: no campo basta programar o computador; 
- Maior facilidade para implementar controladores complexos, por exemplo, lineares 
multivariáveis, ou não lineares; 
- Facilidade para incluir no computador as funções de alarme, de comando para partida 
e para desligamento de processo, bem como supervisão global de processos 
complexos. 
 Desvantagens 
- Alto custo, especialmente dos conversores A/D no caso de controle de pequenos 
sinais SISO. 
- Analise e projetos mais complexos; 
- Perigos inerentes a engenharia de software em tempo real. 
1.3- Sinais e sistemas 
 Funcionamento dos computadores 
Transmissão de sinais em determinados instantes (transmissão de amostra de 
sinais) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O processo de amostragem de um sinal consiste em obter uma sequência (em sentido 
matemático) cujo os valores são iguais aos dos sinais analógicos original em instantes 
particulares, chamados em instantes de amostragem . 
Quando os instantes de amostragem são igualmente espaçados, tem se � � ��, onde � 
representa o período de amostragem. 
A seguinte nomenclatura é empregada: 
a- Sinais analógicos ou sinais contínuos no tempo 
Sinais definidos para todo instante � pertencente ao intervalo de tempo em que 
o sinal esta sendo observado matematicamente, um sinal analógico é 
representado por uma função ����, com � um certo intervalo de tempo da reta 
real. 
 b- Sinais discretos no tempo 
São sinais definidos em determinados instantes dentro do intervalo de tempo 
observado matematicamente, um sinal discreto no tempo é caracterizado como 
uma sequencia de números reais, �����, com k pertencente a um certo 
subconjunto dos números inteiros, sendo �� os instantes em que a sequencia e 
definida. Na prática, os sinais discretos no tempo podem ser originalmente 
discretos ou então resultantes de amostragem, em certos instantes ��, de um 
sinal analógico. Neste ultimo caso, o sinal discreto obtido é também chamado 
de sinal amostrado. 
 c- Sinais digitais ou sinais numéricos 
São sinais resultantes da conversão da amplitude de sinais discretos, no tempo, 
por meio de algum tipo de código binário (0 e 1). 
 d- Sinais de controle digital ou numérico 
São sistemas de controle formado de 2 subsistemas, um dinâmico e de sinais 
contínuos no tempo (planta ou processo a controlar) e o outro de sinais digitais. 
 
Sistemas de tempo discreto (sistemas discretos no tempo) 
 Um sistema de tempo discreto é um sistema que trabalha com uma entrada discreta 
produzindo uma saída discreta no tempo de acordo com leis definidas. 
 
 
 
 
 
y(k)u(k)
	
���� � conjunto de números ordenados por uma variável � que só toma valores inteiros. 
Exemplo: 	
���� � 
 u��2�, u��1�, u�0�, u�1�, … 
��2� � 1 
��1� � 1,5 
�1� � �2,1 
�2� � �0,7 
�3� � 2,3 
 
 
Sequencia Delta de Kronecker. 
���� � �1 ���� � � 0 0 ���� � � �1, �2, �3, …� 
 
��� � �� � �1 ���� � � �0 ���� � � �� 
 
Exemplo: Sequencia anterior expressa, usando delta de Kronecker 
��� � 1 ��� 2� � 1,5 ��� 1� 3 ���� � 2,1 ��� � 1� � 0,7 ��� � 2� 2,3 ��� � 3� 
- Sequencia degrau unitário 
��� � 0 ���� � � �1, �2, �3, …1 ���� � � 0, 1, 2, 3, … 
 
 
 
 
 
- Sequencia unitária alternante 
��� � � 0 ���� � � �1, �2, �3, …��1�! ���� � � 0, 1, 2, 3, …� 
 
 
 
 
 
- Sequencia rampa unitária 
��� � �0 ���� � � �1, �2, �3, …� ���� � � 0, 1, 2, 3, … � 
 
 
 
 
 
 
 
Álgebra de sinais discretos 
Como na álgebra de números reais ordinários, uma álgebra de sinais discretos será 
estruturada na teoria de sinais discretos. Esta álgebra será composta por três operações 
básicas, que são uma extensão das operações com números reais ordinários: 
1- Soma de duas sequencia de números: 
k
u(k)
0 1 2 3-3 -2 -1
-3
-2
-1
1
2
3
4
 
k
u(k)
0 1 2 3-3 -2 -1
-3
-2
-1
1
2
3
4
 
 
k
u(k)
0 1 2 3-3 -2 -1
-3
-2
-1
1
2
3
4
��� � 
"��� 
#��� 
�1� � 
"�1� 
#�2� 
�2� � 
"�2� 
#�2� 
2- Subtração de duas sequencias: 
	
"���� � 
"�1�, 
"�2�, 
"�3�, … 
	
#����� 
#�1�, 
#�2�, 
#�3�, … 
	
���� � 	
"���� � 	
#���� 
3- Multiplicação de uma sequência de números por uma constante 
	
"���� � 
"�1�, 
"�2�, 
"�3�, … 
�	
"���� � �
"�1�, �
"�2�, �
"�3�, … 
��� � �
"��� 
Processo de amostragem de uma sequência continua no tempo 
Um sinal discreto é frequentemente gerado através de um processo de amostragem de 
uma função continua no tempo: 
Um modelo para o processo de amostragem de uma função continua no tempo, u(t), e 
dado por: 
 
 
 
 
A chave de amostragem é analisada estando fechada nos instantes tk e aberta de outro 
modo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
u(t) u(tk)
tk
 
 
t
t1 t2 t3t0
u(t)
 
 
tk
t1 t2 t3t0
u(t0)
u(t1)
u(t2)
u(t3)
- Amostragem uniforme 
Um processo de amostragem mais frequentemente usado é um no qual a chave de 
amostragem é fechada a cada T segundos. Este processo é conhecido como amostragem 
uniforme. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A sequência de amostragem de amostragem obtida depende muito do período de 
amostragem T. Neste exemplo, todas as informações podem ter sido perdidas, quando se 
seleciona T muito grande, como no caso T=15. 
A sequência de amostragem obtida depende muito do período da amostragem T. Neste 
exemplo, todas as informações podem ter sido perdidas, quando se seleciona T muito grande, 
como no caso T = 1 [s] 
 
 
- Sistema de tempo discreto 
 
 
u(t) u(kt) u(k)
T
Período de amostragem
 
k
k-1 1 
t [s] 
b) T=1/4 [s] d) T=1 [s]
c) T=1/2 [s]a)
k0-1-2-3-4 1 2 3 4
-2 -1 1 20
0-1 1
 
 
 
y(k)u(k)
Sistema de tempo 
discreto
u(t)
Sinal 
contínuo
Sinal 
amostrado
 
 
 
 
 
 
É um dispositivo que opera com um sinal discreto para gerar outro sinal discreto de 
acordo com regras bem definidas. 
 
- Algoritmo para obter raiz quadrada de um número. 
$��� � 12 %$�� � 1� 
���
$�� � 1�& 
��� � �0 , � ' 03 , � ( 0� 
 
 
 
k u(k) y(k-1) y(k) 
0 3 1 2 
1 3 2 1,75 
2 3 1,75 1,7321 
3 3 1,7321 1,732 
 
 
 
y(k)u(k)
Sistema de tempo 
discreto
- Sistema discreto linear de 1° ordem. 
Sistemas lineares possuem propriedades as quais fazem seu estudo mais simples que 
os sistemas não lineares. A principal propriedade é dada pelo “principio da superposição”: se 
a resposta de um sistema linear ás entradas 
1��� e 
2���, aplicadas separadamente, são 
$1��� e $2��� , respectivamente, então a resposta desse sistema á entrada 
��� �
 �1
1��� �2
2��� é $��� � �1$1��� �2$2���, onde �1 e �2 são constantes 
arbitrarias. 
$��� � *+
���*" 
�� � 1��"$�� � 1� 
(equação á diferença linear de 1° ordem) 
onde *0, *1 e �1
 
são as constantes as constantes que determinam o acompanhamento 
dinâmico do sistema. 
 
 Neste sistema, a saída é calculada tornando se uma combinação linear da entrada 
��� 
mais seu valor anterior 
�� � 1� e $�� � 1�. 
 Para implementar a equação o circuito terá de ser capaz de: 
1- Armazenar os valores dos parâmetros a1, b0 e b1. 
2- Armazenar os valores anteriores dos sinais de entrada e saída 
�� � 1� e $�� �
1�, respectivamente 
3- Calcular o valor da combinação linear dada pela equação. 
 
��� � � 0 , � ' �� 0 , - ( �� 
$��� � *0 
��� *1 
�� � 1� – �1 $�� � 1�→ vai determinar a regra na condição inicial. 
 
- Sistema discreto linear geral 
$��� � *0 
��� *1 
�� � 1� … */ 
�� � /� – �1 $�� � 1� – �2 $�� � 2� � … � �0 $�� � 0� 
onde *0, *1, … , */, �1, �2, . . . , �0 são constantes e m e n inteiros não negativos. A expressão 
acima é dita uma equação à diferença linear de ordem n, isto porque a saída depende de 
valores $�� � 1� . . . $�� � 0� até n unidades de tempos discretos anteriores. 
 
$��� _ $�� � 1� . . . $�� � 0� 
�� � 1� . . . 
�� � /� 
�1 . . . �0 
*2 . . . *0
 
 
� / 0 1 324�53540�46/ 0 7�82�46 ��é7526 9 2�/ 0� 1 
 
�/ 0 1 /
8�5�853�çõ46/ 0 �<5çõ46 9 /�56 �4/�2 <4 32/�
��çã2 
 
320<5çõ46 50535�56 
��� � � 0 , � ' �� 0 , � ( �� 
 
$��� � *0 
��� – �1 $�� � 1� � 
 � �0 $�� � 0� são as n condições iniciais 
 
- Sistemas discretos não lineares 
 Um sistema discreto é dito não linear se sua saída atual não é uma combinação linear 
dos sinais de entrada e saída passados 
$��� � 12 %$�� � 1� 
���$�� � 1�& 
- Sistema variante no tempo 
 Um sistema é invariante no tempo se seus coeficientes �1, �2 , �3, . . . , *0, *1, . . . , *0
 
são constantes. Por outro lado se os coeficientes são funções discretas do tempo k então o 
sistema é dito variante no tempo. 
- Unidades básicas do sistema linear discreto 
 Representação em diagrama de blocos de sistemas: 
 - Interpretação visual das características dinâmicas do sistema; 
- Permite visualizar possíveis métodos de implementação da equação à diferença 
linear do sistema. 
- Três unidades básicas 
 - Unidade de atraso 
 - Multiplicadora 
 - Unidade de adição 
Unidade de atraso 
 A unidade de atraso é um circuito que atua sobre um sinal discreto de entrada para 
gerar outro sinal discreto de saída idêntico ao sinal de entrada exceto que está atrasado por 
uma unidade de tempo discreto. 
 
 
 
 
Unidade multiplicadora 
 É um circuito que atua sobre uma sequência de números para gerar uma outra 
sequência de saída idêntica a entrada só que multiplicada por uma constante 
 
 
 
Unidade de adição 
 É um circuito que soma dois ou mais sinais discretos para gerar um novo sinal 
discreto. 
 
- Unidade de atraso é uma memória no qual um número é armazenado no tempo discreto (k-1) 
e renomeado para o tempo discreto k. 
- Unidade multiplicadora tem de ser capaz de realizar uma operação de multiplicação do sinal 
por uma constante, assim exige uma memória para armazenar a constantes. 
- Unidade de adição não requer memória. 
- Representação de um sistema discreto linear com unidades básicas. 
$��� � *0 
��� *1 
�� � 1� – �1 $�� � 1� 
 
 
- Representação alternativa 
4��� � 
��� � �4�� � 1� 
 
$��� � *
��� 34�� � 1� 
 
Sendo: 
4�� � 1� � FG"4��� 
Assim: 
4��� � 
��� � �FG"4��� 
4��� � % 11 �FG"& 
Portanto: 
$��� � *
��� 3FG"% 11 �FG"&
��� 
Assim: 
$���%1 �FG"& � *%1 �FG"&
��� 3FG"
��� 
$��� � *
��� �*� 3�
�� � 1� � �$�� � 1� 
 
 
 
Solução da equação à diferença 
 Métodos análogos àqueles disponíveis para equações diferenciais 
a- Solução da equação homogênea 
$��� �"$�� � 1� �#�� � 2� 
 �H�� � 0� � 0 
Admitindo-se 
$��� � I!, I J K, � J F 
Então: 
I! �"I!G" 
 �HI!GH � 0 
I!GH�IH �"IHG" 
 �H� � 0 
Equação característica 
$��� � L M5IN!N 
Onde: IN é a i-nésima raiz da equação característica. 
Exemplo: 
$��� 2$�� � 1� � 8$�� � 2� � 0 
$��� � I! � $�� � 1� � I!G" � $�� � 2� � I!G# 
I! � 2I!G" � 8I!G# � 0 
I!G#�I# 2I � 8� � 0 
I# 2I � 8 � 0 
I" � 2 
I# � �4 
$��� � M"�2�! M#��4�! 
Onde M" e M# � � $�� � 1$�� � 2�Q!R+ �S�G"��S�G#� 
 
 
b- Solução particular 
- Métodos dos coeficientes a determinar ou variação de parâmetros; 
- No caso de sistemas lineares e invariantes no tempo, a solução particular pode ser 
determinada de modo conveniente utilizando se a transformada z inversa. 
T�6� � U V�W� XU Y�� � W�4GZ[<�\] ^ <W
\
+ 
O uso da transformada de Laplace implica que uma entrada x(t) = 0 para t < 0. Para 
um sistema físico, a resultante terá de ter a propriedade y(t) = 0 para t < 0, tal sistema é 
dito causal . 
Para um sistema causal desde que ���� � 0 � � ' 0, a resposta Y��� � 0 para � ' 0. 
Y�� � W� � 0 ���� � � W ' 0 2
 � ' W 
U Y�� � W�4GZ[<�� U Y�� � W�4GZ[<� U Y�� � W�4GZ[<�\]
]
+
\
+ 
T�6� � U V��� XU Y�� � W�4GZ[<�\+ ^ <W
\
+ 
T�6� � U V��� XU V���Y�� � W�4GZ[<W\+ ^ 4GZ[<�
\
+ 
T�6� � U $���4GZ[<�\+ 
$��� � _ V���Y�� � W�<W\+ (Integral de convolução) 
$��� � U V�� � W�Y�W�<W\+ 
Conceito similar á resposta ao impulso de sistemas contínuos é a sequencia de 
ponderação de sistemas discretos. 
 Seja: 
 $��� �" $�� � 1� �#" $�� � 2� � *+ 
��� 
 
Admitindo o sistema relaxado em � � 0, isto é, $��� � 0 para todo � ' 0 e que 
��� seja a função delta de Kronecker. 
 
Exemplo: 
 
�� � 8� � �1 ���� � � 80 ���� � � 8� 
 
� 
��� � ���� y(k-1) y(k-2) y(k) 0 1 $��1� � 0 $��2� � 0 $�0� � *+ 1 0 $�0� � *+ $��1� � 0 $�1� � ��"*+ 2 0 $�1� � ��"*+ $�0� � *+ $�2� � ��"#*+ � �#*+ 
 
A resposta 	`���, � a� 0� � 	$���, � a� 0� e denominada sequencia de ponderação. 
Uma vez que o sistema é relaxado, temos `��� � 0, para todo � ' 0. 
Para uma entrada qualquer: 
��� , antes porem: 
1- Caso se faça 
��� � 3���� � $��� � 3`��� 
2- Para função 
��� � ��� � 8�, temos: 
 $��� � 0 $�8� � *+ $�8 1� � ��"*+ 
Podemos escrever: 
��� � 
�0����� 
�1���� � 1� 
 
�/���� � /� 
Onde: 
��� � 
�0�`��� 
�1�`�� � 1� 
 
�/�`�� � /� 
$��� � L 
�8�`�� � 8�\bR+ � $��� � L `�5�
�� � 5�
\
bR+ � � 0,1,2,3,4 … 
 
Para sistemas discretos não antecipatórios, ou fisicamente realizáveis devemos ter `�� � 8� � 0, ���� 8 a �. 
 $��� � L `�� � 8�!bR+ 
�8� 
 
Exemplo: Determinar a resposta ao degrau: 
��� � �2 ���� � ( 00 ���� � ' 0c 
De um sistema representado por: 
$��� � 0.5$�� � 1� � 
��� 
 
Determinar a sequência de ponderação; 
� 
��� � ���� $�� � 1� $��� � `��� 0 1 0 1 1 0 1 0,5 2 0 0,5 0,25 3 0 0,25 0,125 4 0 0,125 0,0625 
 
$��� � L `�5�
�� � 5�\NR+ 
`��� � 0,5! 
$��� � L 0,5N 2!NR+ � 2 L 0,5N 
!
NR+ 
6 � �"�1 � eH�1 � e 
$��� � 2 X1 �1 � 0,5!f"�1 � 0,5 ^ � $��� � 4�1 � 0.5!f"� 
 
$��� � 4�1 � 0.5!f"� $��� � 
��� 0.5$�� � 1� � $��� � 
��� $�� � 1� $��� 0 2 0 2 0 2 1 3 1 2 2 3 2 3,5 2 2 3 3,5 
 
 
Transformada z 
A transformada Z é o método de analise de sistema discreto análogo a transformada de 
Laplace para sistemas contínuos. 
Hurewicz foi um dos primeiros a utiliza-la, 1947. A designação transformada z se deve a 
Ragazzini e Zodeh, em 1952. 
Quanto ao seu aspecto qualitativo, podemos dizer que a transformada z transforma uma 
sequência de números em uma função de variável complexa z. 
Para motivar a introdução da transformada z, considere o sinal discreto: 
 
��� �
ghi
hj k14l! , � ( 0
k19lG! , � ' 0
�
 
Esse sinal pode ser representado por uma sequencia infinita 
n" � 	… , k19l# W#, k19l W", 1, k14l WG", k14l# WG#, … � 
Onde a variável z pode ser encarada como um marcador. 
Usando a progressão geométrica: 
6 � �"�1 � eH�1 � e 
Para e ' 0 e 0 � ∞: 
6 � �"1 � e 
A utilidade de S2 para representar o sinal discreto $��� está no fato de que, para 
valores de z para os quais S2 converge, podemos obter uma representação compacta do 
sinal $���. 
n# � n#p n#pp � 1 
n#p � 1 k19l W k19l# W# 
 
n#pp � 1 k14l WG" k14l# WG# 
 
n#p � 11 � W/9 � |e| ' 1 � |W/9| ' 1 � |W| ' 9 
n#pp � 11 � 1/4W � |1/4W| ' 1 � |W| a 1/4 
n#p � 11 � W/9 11 � 1/4W � 1 � 35W�9 � W��4W � 1� 
 
 
 
A série dada é uma forma alternativa de representar o sinal discreto 	$����, e é 
denominada transformada z de $��� , sendo representado por F%$���& � T�W� 
Definição: A transformada z de um sinal discreto $��� é definida como sendo: 
 
F%$���& � L $���WG!\G\ 
F%$����& � L $����WG!\G\ 
$��� � 4Gs|[|, M a 0 
$��� � 4Gs|!t| 
$��� � �4Gs|!t| , � ( 04s|!t| , � ' 0 c 
F%$����& � L 4Gs|!t|\G\ WG! � L 4Gs|!t|
+
G\ WG! L 4Gs|!t|
\
+ WG! � 1 
$��� � L 4Gs|!t|\+ W! L 4Gs|!t|
\
+ WG! � 1 
np � L 4Gs|!t|\+ W! �
11 � W4Gst 
npp � L 4Gs|!t|\+ WG! �
11 � W4Gst 
$��� � 11 � W4Gst 11 � 1W4st � 1 � W 
4Gst � 4st�W � 4st��W � 4Gst� 
np � |W4Gst| ' 1 � |W| ' 4st 
npp � Q 1W4stQ ' 1 � |W| a 14st 
Exemplo: 
 
$��� � uk14l! � 9! , � ( 00 , � ' 0� 
F%$���& � L $���\G\ WG! � L Xk
14l! � 9! ^
\
+ WG! � L k
14l WG! � L 9! WG!
\
+
\
+ 
n" � L k14l WG! � L k 14Wl! �
\
+ 1 
14W 
\
+ k
14Wl# 
 � e � 14W � Q 14WQ ' 1 
n# � L 9!WG! � L k9Wl! �
\
+ 1 
9W 
\
+ k
9Wl# 
 � e � 9W � Q9WQ ' 1 
n" � 11 � 1/4W 
n# � 11 � 9/W 
F%$���& � 11 � 14W �
11 � 9W �
4W4W � 1 � WW � 9 � 4W# � 36W � 4W# W�4W � 1��W � 9� � 35W�4W � 1��W � 9� 
 
F%$���& � 35W�4W � 1��W � 9� 
|W| a 9 
 
Exercício: Determinar a transformada z explicitando a região de convergência do seguinte 
sinal discreto: 
$��� � ��3�! , � ( 0�5�! , � ' 0� 
- Propriedades da transformada z 
A partir de agora iremos considerar apenas a transformada z unilateral, que é 
apropriada para representar sinais discretos como $��� � 0, para todo � ' � v, com � v 
finito. Este usualmente é o caso quando $��� é gerado por sistemas invariantes no tempo 
e relaxado, caso em que podemos considerar � v� 0. 
 Como exemplo da relativa complexidade da transformada z unilateral, consideramos a 
seguinte transformada: 
F%$�� /�& / ( 0, em função de F%$���& 
- Transformada unilateral F
 
Fw%$�� /�& � L $�� /�WG"\!R+ � Wx L $�� /�W�!fx�
\
!R+ 
Fazendo: 
 � / � 8 
y� � 0 � 8 � /� � ∞ � 8 � 0z 
� � 8 � / 
Resulta: 
Fw%$�� /�& � Wx L $�8�WGb\bRx 
Fw%$�� /�& � Wx L $�8�WGb\bR+ W � L $�8�WGb
xG"
bR+ 
Fw%$�� /�& � Wx L $�8�WGb\bR+ � Wx L $�8�WGb
xG"
bR+ 
Fw%$�� /�& � Wx$w�W� � Wx L $���WG!xG"bR+ 
 
- Transformada bilateral F{ 
F|%$�� /�& � L $�� /�WG"\G\ � Wx L $�� /�W�!fx�
\
G\ 
 
Fazendo: 
 � / � 8 
y� � �∞ � 8 � �∞� � ∞ � 8 � ∞z 
� � 8 � / 
Resulta: 
F{%$�� /�& � Wx L $�8�WGb\G\ 
F{%$�� /�& � Wx${ 
Que é mais simples que a expressão anterior. 
- As principais propriedades da transformada z são: 
 -Linearidade 
 Sejam � e * J } 
F%�$��� *
���& � L%�$��� *
���&WG! � L �$���WG! L *
���WG!\!R+
\
!R+
\
!R+ 
F%�$��� *
���& � � L $���WG! * L 
���WG!\!R+
\
!R+ � �T�W� *~�W� 
F%�$��� *
���& � �T�W� *~�W� 
 
-Translação �/ ( 0� 
 -Caso forward shift 
F%$�� /�& � WxT�W� � Wx L $���xG"!R+ WG! 
-Caso backward shift 
F%$�� � /�& � L $�� � /�\!R+ WG! � Wx L $�� � /�
xG"
!R+ WG�!Gx� � WGx L $�8�WGb �
\
bRGx 
� WGx L $�8�WGb L $�8�WGbG"bRGx � F%$�� � 8�& � WGbT�W�
\
bR+ 
Pois: 
L $�8�WGbG"bRGx � 0 
Uma vez que $�8� � 0, para 8 ' 0. 
Exemplo: 
 
F%$���& � T�W� F%$�� � 1�& � WG"T�W� 
F%$��� �"$�� � 1� �#$�� � 2�& � F%*+
��� *"
�� � 1�& 
F%$���& �"F%$�� � 1�& �#F%$�� � 2�& � *+F%
���& *"F%
�� � 1�& 
T�W� �"WG"T�W� �#WG#T�W� � *+~�W� *"WG"~�W� 
T�W�%1 �"WG" �#WG#& � ~�W�%*+ *"WG"& 
T�W�~�W� � %*+ *"WG"&%1 �"WG" �#WG#& 
 
-Escalonamento no plano z (multiplicação por �!) 
F%�!$���& � L �!$���\!R+ WG! � L $��� 
W�€!
\
!R+ � T 
W�€ 
 
-Multiplicação por k (diferenciação) 
<<W F%$���& � <<W L $���
\
!R+ WG! � L $���� 
W�€G!G" $���
\
!R+ � 
� �WG" L �$���\!R+ WG! � �WG"F%�$���& �
<<W F%$���& � �1W F%�$���& 
F%�$���& � �W <<W T�W� 
- Teorema do valor inicial 
Se a função y(k) possuir Y(z) e o limite lim]�\ T�W� existir, então: 
$�0� � lim]�\ T�W� 
Verificação: 
lim]�\ T�W� � lim]�\ L $���WG! �
\
!R+ lim]�\%$�0� 
$�1�W $�2�W# 
 & � $�0� 
 
- Teorema do valor final 
 Se transformada z de $��� for tal que �1 � WG"� $�W� seja analítica em |W| ( 1, isto é, 
todos os pólos de �1 � WG"� $�W� estejam dentro do circulo unitário, com possível 
exceção de um único pólo em W � 1, então: 
lim!�\ $��� � lim]�"�1 � WG"�T�W� 
Verificação: 
F%$���& � T�W� F%$��� 1�& � WG"$��� 
Por outro lado: 
lim]�" F %$��� � $�� � 1�& � L%$��� � $�� � 1�&WG"
\
!R+ � limb�\ L%$��� � $�� � 1�&WG" 
lim]�" F%$��� � $�� � 1�& � lim]�" limb�\ L%$��� � $�� � 1�&WG!
b
!R+ 
 
- Convolução 
$��� � L `�� � 8�
�8�\bR+ 
Então: 
W%$���& � L L `�� � 8�
�8�WG!\bR+ � L 
�8�
\
bR+ L `�� � 8�WG!
\
!R+
\
!R+ � 
� L 
�8�WGb\bR+ ƒ�W� � ƒ�W� L 
�8�WGb
\
bR+ � ƒ�W�~�W� 
F „L `�� � 8�
�8�\bR+ … � ƒ�W�~�W� 
T�W� � ƒ�W�~�W� 
 
Transformada z inversa 
- Integral de inversão 
$��� � 12†‡ ˆ T�W�W!G"<W 
Ou ainda do teorema dos resíduos: 
$��� � ∑ }46%T�W�W!G", �‡&Š 
Onde �‡ � ‡é65/2 �282 <4 T�W�W!G" 
Onde o resíduo associado ao polo �‡ pode ser calculado por: 
}46%‹�W�W!G", �‡& � lim]�ŒŠ 1�/ � 1�! <xG"<WxG" %�W � ��x‹�W�& 
 / � /
8�5�8535<�<4 <26 �ó826 
Exemplo1: Determinar a transformada z inversa de: 
T�W� � W � 1�W � 0,1��W � 0,6�# 
Temos: 
�" � 0,1 32/ / � 1 
�# � 0,6 32/ / � 2 
‹�W� � T�W�W!G" � W!G" �W � 1��W � 0,1��W � 0,6�# 
$��� � FG"%T�W�& � L }46%T�W�W!G", �‡&Š 
�" � 0,1 32/ / � 1 
}46%‹�W�,0,1& � lim]�+," �W � 0,1��W � 1��W � 0,1��W � 0,6�# W!G" � �3,6�0,1�!G" 
�# � 0,6 32/ / � 2 
}46%‹�W�,0,6& � lim]�+, <<W X �W � 0,6�#�W � 1��W � 0,1��W � 0,6�# W!G"^ � lim]�+, <<W  �W � 1��W � 0,1� W!G"‘ � 
� lim]�+, X W!G"�W � 0,1� � �W � 1�W!G"�W � 0,6�# �� � 1��W � 1�!G#�W � 0,1� ^ 
}46%‹�W�,0,6& � 2�0,6�!G" 1,6�0,6�!G" � 43 �� � 1��0,6�!G" � 3,6�0,6�!G" � 43 �� � 1��0,6�!G" 
 
No presente caso T�W�W!G" possui um polo na origem para � � 0. Usualmente se evita 
este calculo, isto porque ele influencia apenas no valor de y(0) e escreve se. 
$��� � }46%‹�W�, 0,6& }46%‹�W�,0,1& � �3,6�0,1�!G" 3,6�0,6�!G" � 43 �� � 1��0,6�!G", � ( 1 
 
-Expansão em frações parciais 
 -Pólos distintos: 
T�W� � *HG"WHG" *HG#WHG# 
 *+∏ �W � �‡�xŠ HŠR" , 32/ /‡ � 1 
T�W� � L K‡�W � �‡� ,
!
ŠR" 20<4 K‡ � lim]�ŒŠ�W � �‡�T�W� 
Exemplo: 
T�W� � 3W � 1W# � 1,5W 0,5 � 3W � 1�W � 0,5��W � 1� 
T�W� � K"�W � 0.5� K#�W � 1� 
K" � lim]�+,“ �W � 0,5��3W � 1��W � 0,5��W � 1� � �1 
K# � lim]�" �W � 1��3W � 1��W � 0,5��W � 1� � 4 
T�W� � �1�W � 0.5� 4�W � 1� ” FG"  �W � �‘ � ��!G", � ( 1 
$��� � �0,5!G" 4 
 
- Polos com multiplicidade 
T�W� � •�W�∏ �W � �‡�xŠ HŠR" , 32/ `��
 •�W� ' L /‡
H
ŠR" 
T�W� � K""�W � �"� K"#�W � �"�# 
 K"x"�W � �"�x" K#"�W � �#� K##�W � �#�# 
 
K‡�/‡ � �� � lim]�ŒŠ 1�! <–<W– —�W � �‡�xŠT�W�˜ 
Exemplo: 
T�W� � W � 1�W � 0,1��W � 0,6�# 
 
T�W� � K""�W � 0,1� K#"�W � 0,6� K##�W � 0,6�# 
 
K"" � lim]�+," �W � 0,1��W � 1��W � 0,1��W � 0,6�# � �3,6 
 
K#" � lim]�+, <<W X �W � 0,6�#�W � 1��W � 0,1��W � 0,6�#^ � lim]�+, 1�W � 0,1� � �W � 1��W � 0,1�# � 3,6 
 
K## � lim]�+, �W � 0,6�#�W � 1��W � 0,1��W � 0,6�# � �0,8 
 
T�W� � �3,6�W � 0,1� 3,6�W � 0,6� �0,8�W � 0,6�# 
$��� � �3,6�0,1�!G" 3,6�0,6�!G" � 0,80,6 �� � 1��0,6�!G" 
 -Método de expansão em série por divisão contínua 
T�W� � L $���WG! � $�0� $�1�\!R+ WG" $�2�WG# 
 
 
Exemplo: 
‹�W� � W 1W � 0,36 
 
W 1 | W � 0,36 
-W 0,36 1 1,36WG" 0,4896WG# 
 
 1,36 
�1,36 0,4896WG" 
 0,4896WG" 
 �0,4896WG" 0,1763WG# 
0,1763WG# 
{$���� � 	1; 1,36WG"; 0,4896WG#; … � 
 
Sistemas amostrados 
Até este ponto, tratamos de sistemas discretos, admitindo como ponto de partida sinais já 
discretizados. Considerando se que a maioria que a maioria das aplicações de controle 
por computador se referem a controle de sistemas dinâmicos e contínuos e que já 
desenvolvemos algumas ferramentas para analisar sinais discretos, é natural que 
discretizemos os sinais contínuos. 
-Modelo de um amostrador segurador (Sample-hold) 
 
 
 
Considerando que �še �Z (Tempo de estabelecimento do filtro)�são da ordem de 
nanosegundos para a maioria das aplicações em controle por computador, podemos 
substituir o diagrama em blocos mostrado por: 
 
 
�Z , �Œ › � 
 
Neste modelo ideal temos: 
v � 
���6��� 
6��� � L ��� � ���\!R+ 
v � 
��� L ��� � ���\!R+ 
v � L 
������� � ���\!R+ 
Modelo de um conversor A/D 
 
Ignorando o efeito do quantizador 
�še �Z '' � 
Temos: 
 
 
Modelo de um conversor œ ž 
 
 
Os sinais típicos 
$��� � L �����%~G"�� � ��� � ~G"�� � �� � ��&\Ÿ!R+ 
 
T�6� � U uL �����%~G"�� � ��� � ~G"�� � �� � ��&\Ÿ!R+  
\
+
4GZ[<� 
T�6� � L ����� „ U 4GZ[<�\
!t
� U 4GZ[<�\
!tGt
…\!R+ 
T�6� � L ����� X4GZ!t6 � 4GZ�!tft�6 ^
\
!R+ 
T�6� � 1 � 4GZt6 L �����4GZ!t
\
!R+ 
�v��� � L �������� � ���\!R+ 
¡%�v���& � U L �������� � ���\!R+ 4GZ[<� � U ������� � M�<� � ��M�
\
+
\
+ 
}v�6� � L �����4GZ!t\!R+ 
T�6� � 1 � 4GZ!t6 }v�6� 
 
- Determinação ƒ�W� dado ƒ�6� 
Considerando o circuito abaixo: 
 
 
 
$��� � U `p�� � ���v<�\+ , 32/ �v � ��0����� ��1���� � �� 
 ��81���� � 8� 
 �v � L ��8����� � 8��\+ 
$��� � U `p�� � ��\+ L ��8����� � 8��
\
+ <� 
$��� � L ��8��`p�� � 8��\bR+ 
$���� � L ��8��`p��� � 8��\bR+ 
T�W� � L L ��8�`p�� � 8�\bR+
\
!R+ WG! 
T�W� � L ��8� L `p�� � 8�\!R+
\
bR+ WG! � ƒp�W� L ��8�WGb
\
bR+ � ƒp�W�}�W� 
T�W� � ƒp�W�}�W� 
Teorema 1: Seja uma função $��� com transformada de Laplace T�6� e transformada z T�W�, 
denomina se de Tv�6� a transformada de Laplace de $v��� assumindo se que para algum ¢ a 0 tenhamos : 
|T�6�| £ |6|G"G¤ ���� 6 4847�<2, 40�ã2: 
Tv�6� � T�W�|]R¦§¨ 1� L T�6 ‡�©Z�
\
!RG\ 
1º Verificação 
Tv�6� � U $v���4GZ[<� � U L $������� � ���4GZ[<�\!R+
\
+
\
+
 
Tv�6� � L $����4GZ[ �\!R+ L $�����4Z[�G! � L $����WG! ” T�W� � T
\
!R+
\
!R+ �4Z[� 
 
 
2º Verificação 
�ªt � U 4GZ[\+ L ��� � ���<� � L 4GZ!t � 11 � 4GZ!t
\
!R+
\
!R+ 
 
$v��� � $���6��� ” $v�6� � $�6��ªt�6� 
$v�6� � 12†‡ U $�7�«fŠ«GŠ �ªt�6 � 7�<7 
$v�6� � 12†‡ U $�7�1 � 4Gt�ZG¬�«fŠ«GŠ <7 
$v�6� � 12†‡ ˆ $�7�1 � 4Gt�ZG¬� <7 � 12†‡ U $�7�1 � 4Gt�ZG¬�­® <7 
$v�6� � � L }46  $�7�1 � 4Gt�ZG¬� , 7!‘ � 12†‡ U $�7�1 � 4Gt�ZG¬�­® <7
\
!RG\ 
onde 7! são os zeros de 1 � 4Gt�ZG¬� � 0 
4Gt�ZG¬� � 1 � ��6 � 7� � ‡2†� 
7! � 6 � ‡2†�� 20<4 � � 
 , �1, 0, 1, … 
e podemos escrever: 
$v�6� � � L }46  $�7�1 � 4Gt�ZG¬� , 6 ‡©Z�‘ � 12†‡ U $�7�1 � 4Gt�ZG¬�­® <7
\
!RG\ 
a curva K# pode ser parametrizada, 7 � * �4Š¯ 
12†‡ U $�7�1 � 4Gt�ZG¬�­® <7 � lim–�\ U $�7�1 � 4GtZ4t–¦°±4²t ‡�4Š¯<³
G´/#
´/#
 
onde: 
<7 � ‡�4Š¯<³ 
$v�6� � � L }46  $�7�1 � 4Gt�ZG¬� , 
!‘
\
!RG\ 
$v�6� � � L lim–�¬µ X�7 � 7!� $�7�1 � 4Gt�ZG¬�^\G\ 
$v�6� � � L lim¬�¬µ �7 � 7!�1 � 4Gt�ZG¬� lim¬�¬µ $�7�\G\ 
$v�6� � � �L $�7�<<7 %1 � 4Gt�ZG¬�&
\
G\ ¶¬R¬µ
 
$v�6� � 1� � L $�
!�4Gt�ZG¬µ� � 1� � L $�
!� �\G\\G\ 
 
$v�6� � 1� � L $�6 � ‡©Z��\G\ 
Teorema 2:Sob as mesmas condições do teorema , a transformada z do sinal y(t), da sua 
transformada y(s), é obtida com base na relação: 
 
$v�6� � T�W� � L }46  T�W�WW � 4GZ[ , �‡‘ , 26 �‡ 6ã2 26 �ó826 $�6� Š 
$v�6� � 12†‡ U $�7�1 � 4Gt�ZG¬�«fŠ\«GŠ\ <7 
$v�6� � 12†‡ ˆ $�7�1 � 4Gt�ZG¬� <7 � 12†‡ U $�7�1 � 4Gt�ZG¬�­® <7 
$v�6� � L }46  $�
�1 � 4GZ[4¬[ , �‡‘ , 26 �‡ é 2 40é65/2 �ó82 <4 $�
� Š 
�T�W�|]R¦§· � $v�6� � L }46  $�
�1 � 4GZ[4¬[ , �‡‘Š 
T�W� � L }46  W$�
�W � 4¬[ , �‡‘Š 
Teorema 3: Sejam 
��� e `��� funções transformáveis segundo Laplace e �t��� �∑ ��� � ���\!RG\ , então: 
%`��� v 
v���&v � `v��� v 
v��� � %ƒ�6�~v�6�& � ƒv�6�~v�6� 
 
��� � 
�� � 1� 4��� � 24�� � 1� 
� � 100/6 
��W� � T�W�}�W� 
6��� � L ��� � ���\!R+ 
 
ghi
hjT�6�v � �T�W�|]R¦§¨ � 1� L T�6 ‡�©Z�
\
!RG\T�W� � L }46  T�6�WW � 4Z[ , �‡‘Š 
�
 
 
 
 
 
T�6� � X1 � 4Z[6 ƒ�6�^ ~v�6� 
T�6�v � X1 � 4Z[6 ƒ�6�^
v ~v�6� 
Onde: 
1 � 4Z[
6ƒ�6� � ƒp�6� 
T�6�v � ƒp�6�v~v�6� � T�W� � ƒp�W�v~v�W� 
4��� � ���� � $��� 
4v��� � �v��� � $v��� � ¢v�6� � }v�6� � Tv�6� � ¢�W� � }�W� � T�W� 
Quanto ao computador: 
��� � 
�� � 1� 4��� � 24�� � 1� 
~�W� � WG"~�W� ¢�W� � 2WG"¢�W� 
~�W�
¢�W� �
1 � 2WG"
1 � WG" � K�W� 
Função de transferência � ��W� � ¸�]�¹�]� 
T�W� � ƒp�W�~�W� � ƒp�W�K�W�¢�W� 
T�W� � ƒp�W�K�W�%º�W� � T�W�& � T�W�}�W� �
ƒp�W�K�W�
1 ƒp�W�K�W� 
ƒp�W� � L }46 Xƒp�6�WW � 4Z[ , �‡^Š 
ƒp�W� � ƒ�6�6 � 4Z[
ƒ�6�
6 
Onde 
»`��� � ƒ�6�6 
`p��� � »`��� � »`�� � �� 
`p���� � »`���� � »`��� � �� 
`p��� � »`��� � »`�� � 1� 
ƒp�W� � ƒ»�W� � WG"ƒ»�W� 
ƒp�W� � �1 � WG"�ƒ»�W� 
ƒ»�W� � L }46 X�ƒ�6� 6�W⁄W � 4Z[ , �‡^Š 
ƒ�6�6 � 56�6 1��6 10� � �" � 0, �# � �1, �½ � �10 
 
 
 
���� �" � 0 
}46%… ,0& � limZ�+ 6 56�6 1��6 10� WW � 4Zt � W2�W � 1� 
 
���� �# � �1 
}46%… , �1& � limZ�G"�6 1� 56�6 1��6 10� WW � 4Zt � 5W�9�W � 4Gt� 
 
���� �½ � �10 
}46%… , �10& � limZ�G"+�6 10� 56�6 1��6 10� WW � 4Zt � 5W90�W � 4G"+t� 
 
ƒ»�W� � 12 W�W � 1� � 59 W�W � 4Gt� 590 W�W � 4G"+t� 
� � 100/6 
 
ƒp�W� � W � 1W ƒ»�W� � 1,590W 111290�W � 0,368��W � 105� 
��W� � 1590W# � 2,068W 2,22490W½ � 202,980W# 142,472W � 32,194 
 
 
 
Transformada z modificada 
 Em alguns casos pode ser conveniente determinar o valor de um sinal continuo entre 
os instantes de amostragem; por exemplo, para verificar a existência de oscilações escondidas. 
 
$p��� � $�� � �� 
 
T�6� � ƒ�6�~v�6� � Tv�6�%ƒ�6�~v�6�&v � T�ƒv�6�~v�6� � T�W� � ƒ�W�~�W� 
T�W� � ƒ�W�~�W� 
Introduzindo a atraso4G∆tZ, 32/ ∆� �1 � /� � 0 £ / £ 1 
Então, 
Tp�6� � ƒp�6�v~v�6� � Tp�6� � ƒp�W�~�W� 
Por definição 
T�W� � L $����WG!
\
!R+
 
Com base na figura anterior e na definição de ∆, concluímos que: 
Tp�W� � L $p����ÀÁÂÁÃS�!tG∆t� WG!
\
!R+ � L $��� � � /��WG! � WG" L $��� /��WG!
\
!R+
\
!R+ 
� Tp�W� � WG" L $�� /�WG!\!R+ Ä T�W, /� 
Exemplo: / � 0,5, obtêm se a sequência: 
T�W� � 	T�0�, T���, T�2�� … � 
T�W�p � 	T�0�, T�0,5��, T�1,5�� … � 
Temos também: 
ƒp�W� � ƒ�W; ∆� � F%ƒ�6�4∆tZ 
ƒ�W, /� � Fx%ƒ& � F%ƒ�6�4GZt4xZt 
� ƒ�W, /� � WG"F%ƒ�6�4xZt& 
Portanto: 
ƒ�W, /� � WG" L }46 Xƒ�6�4xZtW � 4Z[ W, �5^Š 
Finalmente: 
T�W, /� � ƒ�W, /�~�W) 
 
Mapeamento de Diferenciais 
��� � <<� � 
��� �Å
4��� � 4�� � ��
� 
~�6� � 6¢�6� � ~�W� � 1 � WG"� ¢�W� 
ƒÆÇ�W� � �ƒÆ�6�|ZR"G]ÈÉt 
Integração Retangular 
���� � � L 4�‡�� � 
���� � U 4���<�!Gt
+
!G"
ŠR+
 
���� � 
��� � �� � �4��� � �� 
~�W� � �WG" ¢�W� � ƒÆÇ�W� � �ƒÆ�6�|ZR]G"t 
~�6� � 16 ¢�6� 
Transformada Bilateral 
ƒÆÇ�W� � �ƒÆ�6�|ZR#t ]G"]f" 
 
Transformação Bilateral com Prewarping 
� � 2� �` k��2 l � ƒÆÇ�W� � �ƒÆp�6�|ZR#t ]G"]f" 
 
-Filtro passa baixa 
��6� � �6 ©+ 
 
 
-Filtro passa alta 
��6� � �"66 ©+ 
 
-Filtro passa faixa 
 
4. Estabilidade de sistemas de controle digital 
4.1 Analise de estabilidade 
Teorema: Um sistema discreto linear e invariante no tempo é BIBO (entrada limitada / saída 
limitada) estável se e somente se a sua sequencia de ponderação satisfizer a relação. 
L|`���| ' ∞\!R+ 
Seja um sinal de entrada tal que tal que: 
��� � |
���| ' Ê ' ∞ 
 
Então pela somatória de convolução: 
$��� � L `�� � 8�\!R+ 
�8� � L `�8�\bR+ 
�� � 8� 
$��� £ L |`���|\!R+ |
�� � 8�| £ Ê L |`���|\!R+ 
 
Um sistema com função de transferência G(z) é estável se e somente se todos os pólos 
de G(z) estão dentro do circulo unitário: 
 
W � 4Zt � 6 � Ë ‡© � W � 4«t4ŠÌt 
|W| � 4«t Í W � ©� 
 
Ë a 0 � |W| a 1 
Ë � 0 � |W| � 1 
Ë ' 0 � |W| ' 1 
 
Î8�02 6 Plano z 
n4/5 �8�02 46e
4�<2 � Ñ0�4�52� <2 35�3
82 
05�á�52 
 ¢5V2 5/�`50á�52 � K5�3
�4�ê035� <2 35�3
82 
05�á�52 
 n4/5 �8�02 <5�45�2 � ¢V�4�52� <2 35�3
82 
05�á�52 
|W| � 4«t 
Î8�02 6 Plano z 
 
Ë � 0 � W � 4ŠÌ[ � 4ŠÌ#Ì´§ 
© � 0 � W � 1 
Exemplo: 
º�W� � *W � � � *�!G", � ( 1 
 
 
 
 
(1) a > 1 
 
 
(2) a = 1 
 
 
�3� 0 £ a £ 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
�4� 0 a � a �1 
 
 
 
�5� a � �1 
 
 
a ' �1 
 
 
 
 
 
Critério de estabilidade Jury 
Seja: 
��W� � •�W�œ�W� , 20<4 œ�W� � M+ M"WG" 
 MHWGH 
Constrói se a tabela: 
k=0 Ô+ Ô+ … Ô+ Ô+ Õ+ ÔH ÔHG" … Ô" Ô+ 
k=1 Ô",+ Ô"," … Ô",HG" Õ" ÔHG" ÔHG# … Ô",+ Ö Ö 
 
k=n-1 ÔHG",+ ÔHG"," ÕHG" ÔHG"," ÔHG",+ 
k=n ÔH,+ ÕH 
 
Onde: 
Õ! � <!, 0 � �<!,+ ; � � 0,1,2, … , 0 � 1; <+Š � <Š 
 A linha 2� 3 resulta da subtração ‡� × � 850Y� 2� 2, da linha 2� 1. 
 A linha 2� 2 é obtida da 2� 1, trocando a ordem de seus elementos. 
 O critério de Jury: “O polinômio œ�W� é estável se e se somente se |‡�| ' 1; � �0,1,2, … , 0 � 1 . Se a tabela terminar ou se ocorrer divisão por zero, em � ' 0 , o polinômio é 
instável ” 
Exemplo: 
ƒ�W� � W 1W# � 1,2W 0,33 � WG" WG#1 � 1,2WG" 0,33WG#ÀÁÁÁÁÁÁÂÁÁÁÁÁÁÚ�]� 
œ�W� � 1 � 1,2WG" 0,33WG# 
k=0 1 �1,2 0,33 Õ+=0,33 0,33 �1,2 1 
k=1 1 �1,2 0,33 Õ" � �0,902 �0,1089 �0,396 �0,33 
 0,891 -0,804 0 
-0,804 0,891 
k=2 0,891 �0,804 �0,7255 0,804 
k=n 0,1658 0 
 
 
Critério de Routh-Hurwitz 
7 � W 1W � 1 � ���06�2�/�çã2 *58504�� 
W � 7 17 � 1 � 7 � W ‡© � W ' 0 � |W 1| ' |W � 1| 
|W| � X�W 1�# ©#�W � 1�# ©#^
#
 
 Assim, dado um polinômio œ�W�, quando se substitui W por ¬f"¬G", obtêm se uma função 
racional Ø�¬��¬G"�Ù, onde n é a ordem do polinômio D(z). 
 Logo, chega se agora um conjunto de condições necessárias e suficientes que permite 
montar a seguinte cadeia: 
 
 
OGATA 
1º Escreve-se o polinômio na forma: 
�+6H �"6HG" 
 �HG"6 �H � 0 
Todos coeficientes são reais e �H � 0 
2º Se algum coeficiente é nulo ou negativo na presença do ultimo coeficiente anterior, 
há uma raiz ou raízes que imaginarias ou que possuem parte real positiva�sistema não é 
estável. 
Se todos coeficientes são negativos eles podem ser multiplicados por (-1). 
Condição necessária�Todos os coeficientes positivos e diferentes de zero. 
 3º Se todos os coeficientes são positivos, faz se o seguinte arranjo: 
nH �+ �# �Ú … nHG" �" �½ �“ … nHG# *" *# *½ … nHG½ 3" 3# 3½ … nHGÚ <" <# <½ … Ö n# 4" �½ n" �" n+ `" 
 
Onde: 
*" � �"�# � �+�½�" *# � �"�Ú � �+�“�" 
3" � *"�½ � �"*#*" 3# � *"�“ � �"*½*" 
<" � 3"*# � 3#*"3" <# � 3"*½ � 3½*#3" 
Critério de Routh para estabilidade: A condição necessária e suficiente para que todas as 
raízes estejam no semiplano esquerdo aberto é que todos os coeficientes do polinômio sejam 
positivos e todos termos na primeira coluna tenham sinais positivos. 
Exemplo: 
��W� � 0,09�W � 0,71�W# � 1,2W 0,33 � •�W�œ�W� 
œ�W� � W# � 1,2W 0,33 � W � 7 17 � 1 
œ�7� � k7 17 � 1l# � 1,2 k7 17 � 1l 0,33 
 
œ�7� � �7 1�# � 1,2�7 1��7 � 1� 0,33�7 � 1�#�7 � 1�# � 
� 7# 27 1 � 1,27# 1,2 0,337# � 0,667 0,33�7 � 1�# 
œ�7� � 0,137# 1,347 2,53�7 � 1�# � •�7��7 � 1�# 
•�7� � 0,137# 1,347 2,53 
 
7# 0,13 2,53 7" 1,34 7+ 2,53 
 
Logo sistema estável. 
Técnicas de discretização 
1- Aproximação com segurador de ordem zero (ou invariante ao degrau) 
 
 
 
ƒ�W� � �1 � WG"�F ƒ�6�6 ‘ 
 
F X1 � 4GZt6 ƒ�6�^ � F 1 � 4GZt ƒ�6�6 ‘ � %1 � 4GZtƒp�6�& 
 ¡G"%ƒp�6� � 4GZ[ƒp�6�& � `p��� � `p�� � �� 
 `p���� � `p��� � �� � `p��� � `p�� � 1� 
 
F%`p��� � `p�� � 1�& � �1 � WG"�ƒp�W� � �1 � WG"�F ƒ�6�6 ‘ 
 
 
 
 
 
 
2- Mapeamento de diferenciais 
 
Seja 
 
 
��� � <<� 4��� Û 
��� � 4��� � 4�� � ��� 
 
 
Resulta: 
 
~�6� � 6¢�6� Ü 
��� � 4��� � 4�� � ��� � ~�W�� 1 � WG"� ¢�W� 
 
 ƒ�W� � �ƒ�6�|ZR"G]ÈÉt 
 
 
Exemplo: 
ƒ�6� � 9�6 2�6 3 � ~�6�¢�6� 
 6~�6� 3~�6� � 96¢�6� 18¢�6� 
 
9 <<� 4��� 184��� � <<� 
��� 3
��� 
 
9 Ý1 � WG"� Þ ¢�W� 18¢�W� � Ý1 � WG"� Þ ~�W� 3~�W� 
 ~�W�¢�W� � 9�1 � WG"� 18�1 � WG" 3� � ƒ�W� 
 
�ƒ�W�|ZR"G]ÈÉt �
9 k1 � WG"� � 2l1 � WG"� 3 �
9�1 � WG"� 18�1 � WG" 3� � 9 � 9WG" 18�1 � WG" 3� � �18� 9�W � 9�3� 1�W � 1 
 
 
3- Integração Retangular 
Suponhamos que o controlador analógico possua função de transferência: 
 
ƒ�6� � ß+ ß"WG" 
 ßHWGH1 M"WG" 
 MHWGH 
 
 
 Utilizando se a aproximação: 
~���� � � L 4�‡��!G"ŠR+ÀÁÁÁÁÁÂÁÁÁÁÁÃb¦à[ ZN]¦ ጖âãNxá[NâH
 
Para a integral: 
���� � U 4���<�!t+ 
���� � 
��� � �� � �4��� � �� 
��� � 
�� � 1� � �4�� � 1� 
~�W� � WG"~�W� � �WG"¢�W� 
~�W� � �WG"1 � W � 1 ¢�W� � ~�W� � �W � 1 ¢�W� � ~�6� � 16 ¢�6� 
 �ƒ�W� � ƒ�6�|ZR]G"t 
Exemplo: 
ƒ�6� � 9�6 2�6 3 � �ƒ�W� � ƒ�6�|ZR]G"t 
ƒ�W� � 9 k1 � W
G"� 2lW � 1� 3 �
9�W � 1 2�� 18�W � 1 3� � � � 0,16 
ƒ�W� � 9 � 7,2WG"1 � 0,7WG" � ~�W�¢�W� � ~�W� � 0,7WG"~�W� � 9¢�W� � 7,2WG"¢�W� 
��� � 0,7
�� � 1� � 94��� � 7,24�� � 1� 
 
4- Transformada Bilinear (ou transformada de Tustin) 
 
Admitindo agora que a aproximação trapezoidal seja utilizada para integral: 
 
���� � �2 L%4�‡�� 4�‡� ��&, <20<4
!G"
ŠR+ 
���� � 
��� � �� � �2 %4��� � �� 4����& 
 
��� � 
�� � 1� � �2 %4�� � 1� 4���& 
 
~�W� � WG"~�W� � �2 %WG"¢�W� ¢�W�& 
 ~�W�¢�W� � �2 ÝWG" 1WG" � 1Þ � �2 kW 1W � 1l 
 
~�W� � �2 kW 1W � 1l ¢�W� � ~�6� � 16 ƒ�6� 
 
�ƒ�W� � ƒ�6�|ZR#t ]G"]f" 
 
 
OBS: A transformação 6 � #t ]G"]f" mapeará o semiplano complexo esquerdo do plano s, dentro 
do circulo unitário no plano z. Logo se a função de transferência ƒ�6� for estável, ƒ�6� 
também será estável, para qualquer período de amostragem. 
Exemplo: 
ƒ�6� � 9�6 2�6 3 � �ƒ�W� � ƒ�6�|ZR#t ]G"]f" 
 
ƒ�W� � 9�
2� W � 1W 1 2�2� W � 1W 1 3
� 9%2�W � 1� 2��W 1�&2�W � 1� 3��W 1� �
�18 18��W 18� � 18
�2 3��W 3� � 2 
 
4.1- Transformação Bilinear com prewarping 
6 � 2� 
W � 1
W 1 � 6 � ‡©Æ 4 W � 4ŠÌÇt 
 
‡©Æ � 2�
4ŠÌÇt � 1
4ŠÌÇt 1 �
2
�
4ŠÌÇt# � 4GŠÌÇt#
4ŠÌÇt# 4GŠÌÇt# 
 
� ‡ 2�
640�©<�2 �
cos �©<�2 �
� ‡ ©Æ�2 � ‡ tan k
©<�
2 l 
 
©Æ � 2� tan k©<�2 l 
Relação entre a frequência no domínio continuo e discreto havendo portanto uma 
distorção (warping) de frequência. 
 
Por exemplo, se a função de transferência apresenta alguma particularidade na 
frequência na frequência ©Ç � 4 ��</6. Obviamente quanto maior T maior a 
distorção. 
 
Para corrigir essa distorção devemos fazer um prewarping das frequências críticas de ƒÆ�6�, ou seja substituímos cada termo da forma �6 �� em ƒÆ�6� por �6 �»�, onde: 
 
�» � 2� tan k��2 l 
 
Caso tenhamos termos da forma 6# 2å©H6 ©H# em ƒ�6�, então ©H é considerada 
a frequência crítica. 
 
Exemplo: 
ƒ�6� � 9�6 2�6 3 � � � 0,2 
 
ƒ�6� � 9�6 2,027�6 3,093 
 
 
5- Mapeamento de pólos e zeros 
 
ƒÆ�6� � � ∏ �6 ߇� ∏ %�6 �‡�# xæŠR"xŠR" *Š#&∏ �6 M5� ∏ %�6 35�# HæNR"HNR" <N#& 
 
ƒ�6� � �ç�W 1�Œè ∏ �W � 4GéŠt� ∏ %W# � W4Gá°tcos �ߊ�� xæŠR"xŠR" 24G#á°t&∏ �W � 4GsNt� ∏ %W# � W4Gáèt cos�MN�� 24G#áèt&HæNR"HNR" 
 
Onde: �N � 20p 0 � 2/p � / � 0
/4�26 <4 W4�26 02 50�505�2 
O valor �ç e determinado de modo a se preservar o ganho em alguma frequência de 
interesse. 
Exemplo: 
ƒ�6� � 9�6 2�6 3 
ƒÆÇ�W� � �ç�W 1�+ �W � 24G#t��W � 34G½t� 
 
Para � � 0,16: 
ƒ�W� � �ç �W � 0,819��W � 0,741� 
 
� |ƒ�6�|ZR+ � |ƒ�W�|]R" 
 
Ë � �ç �1 � 0,819��1 � 0,741� � �ç � 8,856 K20��0�4 <4 ƒ�0Y2 
 
ƒÆÇ�W� � 8,586 � 7,032WG"1 � 0,741WG" 
 
E o computador deve efetuar as seguintes operações 
��� � 0,741
�� � 1� 8,5684��� � 7,0824�� � 1�

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