Lista-IntegralDuplaUERJ

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UERJ - Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Cálculo Diferencial e Inegral II
Prof. Hamilton Simões
Lista de Exercícios - Integral Dupla
1) Calcular as integrais iteradas abaixo:
a)
∫ 5
−2
∫ 3
1
y
2x− 1 dx dy
b)
∫ 0
−1
∫ x3
0
e
y x2 dy dx
c)
∫ pi/4
0
∫ 2
sec z
∫ 1
1/x
x cos z dy dx dz
d)
∫ 2
1
∫ y
1
∫ √3z
0
z ln z
x2 + z2
dx dz dy
2) Calcular as integrais duplas:
a)
∫ ∫
D
x sen y dx dy D =
{
(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ pi, 0 ≤ y ≤ x}
b)
∫ ∫
D
(2x− 3y) dx dy D = {(x, y) ∈ R2;x2 + y2 ≤ 12}
c)
∫ ∫
D
y dx dy D =
{
(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ pi, 0 ≤ y ≤ sen x}
d)
∫ ∫
D
x dx dy (ver figura no final da lista)
e)
∫ ∫
D
(6xy − 6y2) dx dy (ver figura no final da lista)
f)
∫ ∫
D
1
1 + y2
dx dy (ver figura no final da lista)
g)
∫ ∫
D
|x− y| dx dy (ver figura no final da lista)
h)
∫ ∫
D
sen(x2 + y2) dx dy (ver figura no final da lista)
i)
∫ ∫
D
x√
x2 − y2 dx dy D =
{
(x, y) ∈ R2/1 ≤ x ≤ 2 e 1/2 ≤ y ≤ x/2}
3) Calcule:
a)
∫ 1
0
∫ 1
y
e
−3x2 dx dy
b)
∫ 2
0
∫ 6
3y
sen
(
pi x2
6
)
dx dy
c)
∫ 1
0
∫ √y
y
sen x
x
dx dy
d)
∫ 2
0
∫ 8
x3
e
x/ 3
√
y dy dx
e)
∫ 4
0
∫ 2
√
y
y√
1 + x5
dx dy
4) Calcular a área das regiões abaixo usando integral dupla:
a) {(x, y) ∈ R2/y2 − 4 ≤ x ≤ 9}
b) {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 − 8y ≤ 0 e x2 + y2 ≥ 16}
5) Seja A a região do plano uv limitada pelos eixos u e v e pela reta u+ v = 2. Dada a
transformação x = u+ v e y = u2 − v;
a) Esboce a imagem D de A pela transformação dada.
b) Calcule
∫ ∫
D
1√
1 + 4x+ 4y
dxdy.
c) Calcule a integral acima usando a transformação dada
d) Calcule a integral acima usando a transformação x = v e y = u− v
6) Mostre, usando integral dupla, que a área limitada pela elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 é igual a
abpi.
(Sugestão: Use a transformação x = au e y = bv)
RESPOSTAS
1) a)
21ln 5
4
b) − 1
3e
c) − ln(
√
2 + 1)
2
+
pi
4
d)
pi
3
(2ln 2− 5
4
)
2) a)
pi2 + 4
2
b) 0 c)
pi
4
d)
8
3
e) − 54
f)
pi
4
− ln 2
2
g)
1
3
h) 2pi i)
pi
3
− 2arcsen 1
4
−
√
15
8
+
√
3
8
3) a)
1
6
(1− e−3) b) 0 c) 1− sen 1 d) 12(e− 1) e) 1
5
(
√
33− 1)
4) a)
52
√
13
3
b)
16pi
3
+ 8
√
3 5) b) 2
Figuras
Figura 1: (d)
Figura 2: (e)
Figura 3: (f)
Figura 4: (g)
Figura 5: (h)