Apostila de Cálculo II

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Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Ciências e Teconologia Agroalimentar
Notas de Aula de Cálculo Diferencial e
Integral II
Prof. Ms. Hallyson Gustavo G. de M. Lima
Pombal - PB
Conteúdo
1 Métodos de Integração 2
1.1 Método das Frações Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Integrais Impróprias 7
2.1 Intervalos Ilimitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Intervalo com Descontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Aplicação de Integral 13
3.1 Área entre Gráfico de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Método do Anel Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.2 Método Casca Cilindrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2.3 Volume por Fatiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Área de Superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5.1 Trabalho Realizado por Forças Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5.2 Trabalho Realizado por Forças Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5.3 Lei de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Forças de um Fluido sobre uma superfície plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Sequências 39
4.1 Sequências Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.1 Propriedades de Limites de Sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.2 Sequência Crescente ou Decrescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1.3 Sequência Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.4 Subsequência Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Séries Numéricas 46
5.1 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2
5.1.1 Somas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.1.2 Séries Telescópicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1.3 Série Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1.4 Série Harmônica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.1.5 Séries de termos Positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.6 Propriedades de Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.7 Teste da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1.8 p-Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1.9 Teste da Comparação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.10 Teste Limite da Comparação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.1.11 Teste da Razão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.1.12 Teste da Raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.1.13 Teste das Séries Alternadas ou Teste de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.1.14 Convergência Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.15 Teste da Convergência Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.1.16 Teste da Razão para Convergência Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.1.17 Teste da Raiz para Convergência Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Capítulo 1
Métodos de Integração
1.1 Método das Frações Parciais
O método das Frações Parciais é usado para decompor funções racionais em formas mais
simples, normalmente objetivando processos mais simples de integração.
Apresentaremos aqui algumas situações e o mínimo necessário de teoria relacionado com cada
método.
Assim sendo
f(x)
g(x)
uma função racional, onde f e g são polinômios, vamos aprender a calcular
∫
f(x)
g(x)
dx
sabendo que f(x) tem grau menor que g(x).
1o Caso: g(x) pode ser descrito como o produto de funções do 1o grau, ou seja,
g(x) = (x− a1) · (x− a2) . . . (x− an−1) · (x− an)
onde os ai com i = 1, . . . , n, são números reais. Assim devemos realizar a decomposição da seguinte
forma:
f(x)
g(x)
=
f(x)
(x− a1) · (x− a2) · . . . · (x− an−1) · (x− an)
=
A1
(x− a1)
+
A2
(x− a2)
+ . . .+
An−1
(x− an−1)
+
An
(x− an)
onde os valores Ak’s, com k = 1, 2, ..., n, são números reais.
Logo, ∫
f(x)
g(x)
dx =
∫
A1
(x− a1) dx+
∫
A2
(x− a2) dx+ . . .+
∫
An
(x− an) dx
Exemplo 1.1 Calcule a integral abaixo: ∫
1
x2 − 1 dx
Solução: Observe que,
x2 − 1 = (x− 1) · (x+ 1)
4
Assim,
1
x2 − 1 =
1
(x− 1) · (x+ 1) =
A
x− 1 +
B
x+ 1
=
A(x+ 1) +B(x− 1)
(x− 1) · (x+ 1) =
(A+B)x+ (A−B)
x2 − 1 =⇒
=⇒ (A+B)x+ (A−B) = 1
ou seja, {
A+B = 0
A−B = 1 =⇒
{
A = −B
A−B = 1 || =⇒ A+ (−B) = 1 =⇒ A+A = 1 =⇒ A = 1/2 e B = −1/2
Daí,
1
x2 − 1 =
1/2
x− 1 +
−1/2
x+ 1
Logo, ∫
1
x2 − 1 dx =
∫ [
1
2
(
1
x− 1
)
− 1
2
(
1
x+ 1
)]
dx =
1
2
∫
1
x− 1 dx−
1
2
∫
1
x+ 1
dx =⇒
∫
1
x2 − 1 dx =
1
2
ln(x− 1)− 1
2
ln(x+ 1) =
1
2
[ln(x− 1)− ln(x+ 1)] + C = 1
2
[
ln
(
x− 1
x+ 1
)]
+ C.
Portanto, ∫
1
x2 − 1 dx =
1
2
[
ln
(
x− 1
x+ 1
)]
+ C.
Exemplo 1.2 Calcule a integral abaixo: ∫
2s2 − s+ 1
s3 − 6s2 + 11s− 6 ds
Solução: Observe que,
s3 − 6s2 + 11s− 6 = (s− 1) · (s− 2) · (s− 3)
Assim,
2s2 − s+ 1
s3 − 6s2 + 11s− 6 =
2s2 − s+ 1
(s− 1) · (s− 2) · (s− 3) =
A
s− 1 +
B
x− 2 +
C
x− 3 =
=
A(s2 − 5s+ 6) +B(s2 − 4s+ 3) + C(s2 − 3s+ 2)
(s− 1) · (s− 2) · (s− 3) =
=
(A+B + C)s2 + (−5A− 4B − 3C)s+ (6A+ 3B + 2C)
s3 − 6s2 + 11s− 6 =⇒
=⇒ (A+B + C)s2 + (−5A− 4B − 3C)s+ (6A+ 3B + 2C) = 2s2 − s+ 1
ou seja, 
A+B + C = 2
−5A− 4B − 3C = −1
6A+ 3B + 2C = 1
|| =⇒ A = 1, B = −7 e C = 8.
Daí,
2s2 − s+ 1
s3 − 6s2 + 11s− 6 =
1
s− 1 +
−7
x− 2 +
8
x− 3
Logo, ∫
2s2 − s+ 1
s3 − 6s2 + 11s− 6 ds =
∫ (
1
s− 1 +
−7
x− 2 +
8
x− 3
)
ds =
=
∫
1
s− 1 ds − 7
∫
1
s− 2 ds + 8
∫
1
s− 3 ds = ln(s− 1) − 7 ln(s− 2) + 8 ln(s− 3) + C =
= ln(s− 1) − ln(s− 2)7 + ln(s− 3)8 + C = ln
[
(s− 1)(s− 3)8
(s− 2)7
]
+ C.
Portanto, ∫
2s2 − s+ 1
s3 − 6s2 + 11s− 6 ds = ln
[
(s− 1)(s− 3)8
(s− 2)7
]
+ C.
5
2o Caso: g(x) pode ser descrito da forma
g(x) = (x− a1)k1 · (x− a2)k2 . . . (x− an−1)kn−1 · (x− an)kn
onde os ai’s, com i = 1, . . . , n, são números reais e os ki’s, com i = 1, . . . , n, são números inteiros.
Assim devemos realizar a decomposição da seguinte forma:
f(x)
g(x)
=
f(x)
(x− a1)k1 · (x− a2)k2 . . . (x− an−1)kn−1 · (x− an)kn
=
=
A11
(x− a1)
+
A12
(x− a1)2
+ . . .+
A1k1
(x− a1)k1
+ . . .+
An1
(x− an)
+
An2
(x− an)2
+ . . .+
Ankn
(x− an)kn
onde os valores Aij , com i = 1, 2, ..., n e j = 1, 2, ..., ki, são números reais.
Logo,∫
f(x)
g(x)
dx =
∫
A11
(x− a1) dx+ . . .+
∫
A1k1
(x− a1)k1 dx+ . . .+
∫
An1
(x− an) dx+ . . .+
∫
Ankn
(x− an)kn dx
Exemplo 1.3 Calcule a integral abaixo: ∫
x
x2 − 2x+ 1 dx
Solução:Observe que,
x2 − 2x+ 1 = (x− 1)2
Assim,
x
x2 − 2x+ 1 =
x
(x− 1)2 =
A
x− 1 +
B
(x− 1)2 =
A(x− 1) +B
(x− 1)2 =
Ax+ (B −A)
x2 − 2x+ 1 =⇒
=⇒ Ax+ (B −A) = x
ou seja, {
A = 1
B −A = 0 || =⇒ A = B = 1.
Daí,
x
x2 − 2x+ 1 =
1
x− 1 +
1
(x− 1)2
Logo, ∫
x
x2 − 2x+ 1 dx =
∫ (
1
x− 1 +
1
(x− 1)2
)
dx =
∫
1
x− 1 dx+
∫
1
(x− 1)2 dx =
= ln(x− 1)− 1
x− 1 + C.
Portanto, ∫
x
x2 − 2x+ 1 dx = ln(x− 1)−
1
x− 1 + C.
Exemplo 1.4 Calcule a integral abaixo: ∫
2t+ 4
t3 − 2t2 dt
6
Solução: Observe que,
t3 − 2t2 = t2 · (t− 2)
Assim,
2t+ 4
t3 − 2t2 =
2t+ 4
t2 · (t− 2) =
A
t
+
B
t2
+
C
t− 2 =
=
A · t · (t− 2) +B(t− 2) + C · t2
t2 · (t− 2) =
A · (t2 − 2t) +B(t− 2) + C · t2
t2 · (t− 2) =
=
(A+ C)t2 + (B − 2A)t− 2B
t3 − 2t2 =⇒ (A+ C)t
2 + (B − 2A)t− 2B = 2t+ 4
ou seja, 
A+ C = 0
B − 2A = 2
−2B = 4
|| =⇒ A = −2, B = −2 e C = 2.
Daí,
2t+ 4
t3 − 2t2 =
−2
t
+
−2
t2
+
2
t− 2
Logo,∫
2t+ 4
t3 − 2t2 dt =
∫ (−2
t
+
−2
t2
+
2
t− 2
)
dt =
∫
−21
t
dt − 2
∫
1
t2
dt + 2
∫
1
t− 2 dt =
= −2 ln t + 2
t
+ 2 ln(t− 2) + C = 2
t
+ ln
(
t− 2
t
)2
+ C.
Portanto, ∫
2t+ 4
t3 − 2t2 dt =
2
t
+ ln
(
t− 2
t
)2
+ C.
3o Caso: g(x) pode ser descrito da forma
g(x) = (x− a)k · (b0xp + b1xp−1 + . . .+ bp−1x+ bp)
onde a e os bi’s, com i = 1, . . . , n, são números reais, k ∈ IN e b0xp + b1xp−1 + . . . + bp−1x + bp é
um polinômio que não pode ser decomposto como produto de polinômios de grau menor. Assim
devemos realizar a decomposição da seguinte forma:
f(x)
g(x)
=
f(x)
(x− a)k · (b0xp + b1xp−1 + . . .+ bp−1x+ bp)
=
=
A1
(x− a) +
A2
(x− a)2 + . . .+
Ak
(x− a)k + . . .+
c0xp−1 + c1xp−2 + . . .+ cp−2x+ cp−1
b0xp + b1xp−1 + . . .+ bp−1x+ bp
onde os valores Ai’s, com i = 1, 2, ..., k e os cj ’s, com j = 1, 2, ..., p− 1, são números reais.
Logo,
∫
f(x)
g(x)
dx =
∫
A1
(x− a) dx+ . . .+
∫
Ak
(x− a)k dx+ . . .+
∫
c0x
p−1 + c1xp−2 + . . .+ cp−2x+ cp−1
b0xp + b1xp−1 + . . .+ bp−1x+ bp
dx
Exemplo 1.5 Calcule a integral abaixo: ∫
x2 + x− 1
x3 − 2x2 + x− 2 dx
7
Solução: Observe que,
x3 − 2x2 + x− 2 = (x2 + 1)(x− 2)
onde x2 + 1 não pode ser decomposto como produto de funções de grau menor. Assim,
x2 + x− 1
x3 − 2x2 + x− 2 =
x2 + x− 1
(x2 + 1)(x− 2) =
Ax+B
x2 + 1
+
C
x− 2 =
(Ax+B)(x− 2) + C(x2 + 1)
(x2 + 1)(x− 2) =
=
(A+ C)x2 + (B − 2A)x+ (C − 2B)
x3 − 2x2 + x− 2 =⇒ (A+ C)x
2 + (B − 2A)x+ (C − 2B) = x− 1
ou seja, 
A+ C = 1
B − 2A = 1
C − 2B = −1
|| =⇒ A = 0, B = 1, e C = 1.
Daí,
x2 + x− 1
x3 − 2x2 + x− 2 =
1
x2 + 1
+
1
x− 2
Logo,∫
x2 + x− 1
x3 − 2x2 + x− 2 dx =
∫ (
1
x2 + 1
+
1
x− 2
)
dx =
∫
1
x2 + 1
dx+
∫
1
x− 2 dx = arctg(x) + ln(x− 2) + C.
Portanto, ∫
x2 + x− 1
x3 − 2x2 + x− 2 dx = arctg(x) + ln(x− 2) + C.
Capítulo 2
Integrais Impróprias
Na definição de integral definida, consideramos a função integranda contínua num intervalo
fechado e limitado. Agora, estenderemos esta definição para os seguintes casos:
• Funções definidas em intervalos do tipo [a,+∞), (−∞, b] ou (−∞,+∞), ou seja, para todo
x = a ou x = b ou para todo x ∈ IR, respectivamente.
• A função integranda é descontínua em um ponto c tal que c ∈ [a, b].
As integrais destas funções são chamadas integrais impróprias. As integrais impróprias são
de grande utilidade em diversos ramos da Matemática como por exemplo, na solução de equações
diferenciais ordinárias via transformadas de Laplace no estudo das probabilidades, em Estatística e
no cálculo de áreas, na Engenharia.
2.1 Intervalos Ilimitados
Considere as funções definidas em um dos intervalos [a,+∞), (−∞, b] ou (−∞,+∞), então
temos as seguinte definição:
Definição 2.1
(i) Se f é uma função integrável no intervalo [a,+∞) então:
∫ +∞
a
f(x) dx = lim
b−→+∞
∫ b
a
f(x) dx
(ii) Se f é uma função integrável no intervalo (−∞, b] então:
∫ b
−∞
f(x) dx = lim
a−→−∞
∫ b
a
f(x) dx
9
(iii) Se f é uma função integrável no intervalo (−∞,+∞) então:
∫ +∞
−∞
f(x) dx = lim
a−→−∞
∫ 0
a
f(x) dx + lim
b−→+∞
∫ b
0
f(x) dx
Observação 2.2 Se o limite existe dizemos que a integral imprópria converge. Caso contrário, dizemos que a
integral diverge.
Exemplo 2.1 Calcule os valor das integrais impróprias abaixo e determine se elas convergem ou divergem.
a)
∫ +∞
1
1
x3
dx b)
∫ 2
−∞
1
(9− x)2 dx c)
∫ +∞
−∞
1
x2 − 2x+ 2 dx
Solução:
a) Sendo o intervalo da forma [1,+∞) então, temos que:∫ +∞
1
1
x3
dx = lim
b−→+∞
∫ b
1
1
x3
dx
Daí, vamos calcular a seguinte integral definida,∫ b
1
1
x3
dx
Assim, ∫ b
1
1
x3
dx =
∫ b
1
x−3 dx =
x−2
−2
∣∣∣∣b
1
=
−1
2x2
∣∣∣∣b
1
=
(−1
2b2
)
−
( −1
2 · 12
)
=
1
2
− 1
2b2
Logo,
lim
b−→+∞
∫ b
1
1
x3
dx = lim
b−→+∞
[
1
2
− 1
2b2
]
=
1
2
− 0 = 1
2
Portanto, ∫ b
1
1
x3
dx =
1
2
b) Sendo o intervalo da forma (−∞, 2] então, temos que:∫ 2
−∞
1
(9− x)2 dx = lima−→−∞
∫ 2
a
1
(9− x)2 dx
Daí, vamos calcular a seguinte integral definida,∫ 2
a
1
(9− x)2 dx
Assim, ∫ 2
a
1
(9− x)2 dx =
∫ 2
a
(9− x)−2 dx = − (9− x)
−1
−1
∣∣∣∣2
a
=
1
9− x
∣∣∣∣2
a
=
=
(
1
9− 2
)
−
(
1
9− a
)
=
1
7
− 1
9− a
Logo, ∫ 2
−∞
1
(9− x)2 dx = limb−→+∞
[
1
7
− 1
9− a
]
=
1
7
− 0 = 1
7
10
Portanto, ∫ 2
−∞
1
(9− x)2 dx =
1
7
c) Sendo o intervalo da forma (−∞,+∞) então, temos que:∫ +∞
−∞
1
x2 − 2x+ 2 dx = lima−→−∞
∫ 0
a
1
x2 − 2x+ 2 dx+ limb−→+∞
∫ b
0
1
x2 − 2x+ 2 dx
Daí, vamos calcular as seguintes integrais definidas,
(I)
∫ 0
a
1
x2 − 2x+ 2 dx e (II)
∫ b
0
1
x2 − 2x+ 2 dx
Assim, calculando (I) obtemos:∫ 0
a
1
x2 − 2x+ 2 dx =
∫ 2
a
1
1 + (x2 − 2x+ 1) dx =
∫ 0
a
1
1 + (x− 1)2 dx = arc tg(x− 1) |
0
a =
= [arc tg(0− 1)]− [arc tg(a− 1)] = −pi
4
− arc tg(a− 1)
Calculando (II) de modo similar ao feito em (I) obtemos:∫ b
0
1
x2 − 2x+ 2 dx = [arc tg(b− 1)]− [arc tg(0− 1)] = arc tg(b− 1) +
pi
4
Logo,
lim
a−→−∞
∫ 0
a
1
x2 − 2x+ 2 dx = lima−→−∞
[
−pi
4
− arc tg(a− 1)
]
= −pi
4
+
pi
2
e
lim
b−→+∞
∫ b
0
1
x2 − 2x+ 2 dx = limb−→+∞
[
arc tg(b− 1) + pi
4
]
=
pi
2
+
pi
4
Portanto, ∫ +∞
−∞
1
x2 − 2x+ 2 dx =
[
−pi
4
+
pi
2
]
+
[pi
2
+
pi
4
]
= pi
2.2 Intervalo com Descontinuidade
Na seção calculamos as integrais em intervalos ilimitados onde a função sempre estava defi-
nida. Já neste momento iremos calcular as integrais definidas, onde no intervalo de integração existe
um ponto de descontinuidade. Assim, podemos ter dois tipos de descontinuidade.
1o Caso: Se a descontinuidade da função ocorrer na fronteira do intervalo [a, b], ou seja, a função é
definida em (a, b] ou [a, b), então temos a seguinte definição:
Definição 2.3
(i) Se a função integranda é descontínua no ponto a do intervalo [a, b] então:∫ b
a
f(x) dx = lim
ε−→0+
∫ b
a+ε
f(x) dx, onde ε > 0
ou ∫ b
a
f(x) dx = lim
ε−→0−
∫ b
a−ε
f(x) dx, onde ε < 0
11
(ii) Se a função integranda é descontínua no ponto b do intervalo [a, b] então:
∫ b
a
f(x) dx = lim
ε−→0+
∫ b−ε
a
f(x) dx, onde ε > 0
ou ∫ b
a
f(x) dx = lim
ε−→0−
∫ b+ε
a
f(x) dx, onde ε < 0
onde ε < 0
2o Caso: A descontinuidade ocorre em um ponto c do intervalo [a, b]. Então, temos a seguinte defini-
ção:
Definição 2.4 Se a função integranda é descontínua em um ponto c tal que c ∈ [a, b] então:
∫b
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx = lim
ε−→c−
∫ ε
a
f(x) dx + lim
ε−→c+
∫ b
ε
f(x) dx
ou podemos reescrever a definição da seguinte forma:
Definição 2.5 Se a função integranda é descontínua em um ponto c tal que c ∈ [a, b] então:
∫ b
a
f(x) dx =
∫ c
a
f(x) dx+
∫ b
c
f(x) dx = lim
ε−→0+
∫ c−ε
a
f(x) dx + lim
ε−→0+
∫ b
c+ε
f(x) dx, onde ε > 0.
Observação 2.6 Se o limite existe dizemos que a integral imprópria converge. Caso contrário, dizemos que a
integral diverge.
Exemplo 2.2 Calcule os valor das integrais impróprias abaixo e determine se elas convergem ou divergem.
a)
∫ 4
3/2
1
(x− 3/2)2/5
dx b)
∫ pi/2
0
secx dx c)
∫ 1
−4
1
3
√
x+ 2
dx
Solução: a) Sendo a função f(x) = (x− 3/2)2/5 descontinua em x = 3/2 então, temos que:∫ 4
3/2
1
(x− 3/2)2/5
dx = lim
ε−→0+
∫ 4
(3/2)+ε
1
(x− 3/2)2/5
dx
Daí, vamos calcular a seguinte integral definida,∫ 4
(3/2)+ε
1
(x− 3/2)2/5
dx
Assim, ∫ 4
(3/2)+ε
1
(x− 3/2)2/5
dx =
∫ 4
(3/2)+ε
(x− 3/2)−2/5 dx = (x− 3/2)
3/5
3/5
∣∣∣∣∣
4
(3/2)+ε
=
=
(
5 5
√
(x− 3/2)3
3
)∣∣∣∣∣
4
(3/2)+ε
=
[
5 5
√
(4− 3/2)3
3
]
−
[
5 5
√
((3/2) + ε− 3/2)3
3
]
=
=
[
5 5
√
(5/2)3
3
]
−
[
5
5
√
ε3
3
]
=
12
Logo,
lim
ε−→0+
∫ 4
(3/2)+ε
1
(x− 3/2)2/5
dx = lim
ε−→0+
{[
5 5
√
(5/2)3
3
]
−
[
5
5
√
ε3
3
]}
=
=
[
5 5
√
(5/2)3
3
]
− 0 = 5
3
(
5
2
)3/5
Portanto, ∫ 4
3/2
1
(x− 3/2)2/5
dx =
5
3
(
5
2
)3/5
b) Sendo a função f(x) = secx descontinua em x = pi/2 então, temos que:
∫ pi/2
0
secx dx = lim
ε−→0+
∫ (pi/2)−ε
0
secx dx
Daí, vamos calcular a seguinte integral definida,∫ (pi/2)−ε
0
secx dx
Assim, ∫ (pi/2)−ε
0
secx dx = ln (secx+ tgx)|(pi/2)−ε0 =
= [ln (sec((pi/2)− ε) + tg((pi/2)− ε))]− [ln (sec(0) + tg(0))] =
= [ln (sec((pi/2)− ε) + tg((pi/2)− ε))]− [ln (1 + 0)] = ln [sec((pi/2)− ε) + tg((pi/2)− ε)]
Logo,
lim
ε−→0+
∫ (pi/2)−ε
0
secx dx = lim
ε−→0+
{ln [sec((pi/2)− ε) + tg((pi/2)− ε)]}
Sendo,
lim
ε−→0+
sec((pi/2)− ε) = +∞ e lim
ε−→0+
tg((pi/2)− ε) = +∞
Então,
lim
ε−→0+
{ln [sec((pi/2)− ε) + tg((pi/2)− ε)]} = +∞
Portanto, ∫ pi/2
0
secx dx = +∞
c) Sendo a função f(x) =
1
3
√
x+ 2
descontinua em x = −2 então, temos que:
∫ 1
−4
1
3
√
x+ 2
dx =
∫ −2
−4
1
3
√
x+ 2
dx+
∫ 1
−2
1
3
√
x+ 2
dx =
= lim
ε−→0+
∫ −2−ε
−4
1
3
√
x+ 2
dx + lim
ε−→0+
∫ 1
−2+ε
1
3
√
x+ 2
dx
Daí, vamos calcular as seguintes integrals definidas,
(I)
∫ −2−ε
−4
1
3
√
x+ 2
dx e (II)
∫ 1
−2+ε
1
3
√
x+ 2
dx
13
Assim, calculando (I) obtemos:∫ −2−ε
−4
1
3
√
x+ 2
dx =
∫ −2−ε
−4
(x+ 2)−1/3dx =
(x+ 2)2/3
2/3
∣∣∣∣−2−ε
−4
=
=
3
2
[
3
√
(−2− ε+ 2)2 − 3
√
(−4 + 2)2
]
=
3
2
[
3
√
ε2 − 3
√
4
]
Calculando (II) de modo similar ao feito em (I) obtemos:∫ 1
−2+ε
1
3
√
x+ 2
dx =
(x+ 2)2/3
2/3
∣∣∣∣1
−2+ε
=
3
2
[
3
√
(1 + 2)2 − 3
√
(−2 + ε+ 2)2
]
=
3
2
[
3
√
9− 3
√
ε2
]
Logo,
lim
ε−→0+
∫ −2−ε
−4
1
3
√
x+ 2
dx = lim
ε−→0+
{
3
2
[
3
√
ε2 − 3
√
4
]}
=
3
2
[
0− 3
√
4
]
= −3
2
3
√
4
e
lim
ε−→0+
∫ 1
−2+ε
1
3
√
x+ 2
dx = lim
ε−→0+
{
3
2
[
3
√
9− 3
√
ε2
]}
=
3
2
[
3
√
9− 0
]
=
3
2
3
√
9
Portanto, ∫ 1
−4
1
3
√
x+ 2
dx =
(
−3
2
3
√
4
)
+
(
3
2
3
√
9
)
=
3
2
(
3
√
9− 3
√
4
)
Capítulo 3
Aplicação de Integral
3.1 Área entre Gráfico de Funções
O estudo das integrais definidas foi motivado pelo cálculo de áreas, pois algumas regiões
não possuem uma fórmula definida para o cálculo de sua área, como podemos observar nas figuras
abaixo.
Figura 3.1: Área 1 Figura 3.2: Área 2
Figura 3.3: Área 3
Logo o cálculo de área é feito a partir da seguinte definição:
Definição 3.1 Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e suponha que f(x) ≥ 0, para todo x ∈ [a, b].
15
Então a área da região R limitada superiormente pelo gráfico de f(x), inferiormente pelo eixo dos x e latera-
mente pelas retas x = a e x = b é dada pela seguinte expressão:
Área =
∫ b
a
f(x) dx
Graficamente,
Com base nesta definição vamos determinar a fórmula da área entre os gráficos de duas fun-
ções. Assim, sejam f e g funções contínuas no intervalo [a, b]. Suponha que f(x) ≥ g(x) ≥ 0, para
todo x ∈ [a, b]. Graficamente,
A área da regiãoR pode ser obtida subtraindo-se a área sob o gráfico de f da área sob o gráfico
de g. Assim, considere A1 a área sob o gráfico de f e A2 a área sob o gráfico de g. Graficamente,
Figura 3.4: Área de f(x) Figura 3.5: Área de g(x)
16
Deste modo, a área da região R é dada pela expressão:
AR = A1 −A2
onde
A1 =
∫ b
a
f(x) dx e A2 =
∫ b
a
g(x) dx
Logo,
A = AR =
∫ b
a
f(x) dx−
∫ b
a
g(x) dx =⇒ A =
∫ b
a
[f(x)− g(x)] dx
Isto prova o seguinte teorema,
Teorema 3.2 Sejam f e g funções contínuas no intervalo [a, b], com f(x) ≥ g(x) ≥ 0, para todo x ∈ [a, b].
Então a área A da região R entre os gráficos de f e g é dada por:
A =
∫ b
a
[f(x)− g(x)] dx
A hipótese de que f e g sejam ambas positivas podem ser tiradas do teorema. De fato, suponha
que g(x) seja menor que zero para algum x ∈ [a, b].
Seja d < 0 tal que d < g(x), para todo x ∈ [a, b]. Deste modo, considere as seguintes funções:
• f1(x) = f(x)− d = f(x) + (−d) = f(x) + |d|
• f2(x) = g(x)− d = g(x) + (−d) = g(x) + |d|
Observe que f1(x) ≥ f2(x) ≥ 0. Logo pelo teorema, temos que
A =
∫ b
a
[f1(x)− f2(x)] dx =
∫ b
a
[f(x) + |d| − g(x)− |d|] dx =⇒
=⇒ A =
∫ b
a
[f(x)− g(x)] dx
17
Observação 3.3 Podemos mudar os parâmetros de integração de x para y, e o teorema continuaria a valer.
Teorema 3.4 Sejam f e g funções contínuas no intervalo [c, d], com f(y) ≥ g(y) ≥ 0, para todo y ∈ [c, d].
Então a área A da região R entre os gráficos de f e g é dada por:
A =
∫ d
c
[f(y)− g(y)] dy
Exemplo 3.1 Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x2 e y = −x2 + 4x.
Solução:
Para que possamos calcular a área é necessário sabermos qual é o intervalo de integração e
qual das funções assume valor maior a outra neste intervalo. Vamos então esboçar o gráfico.
Podemos então observar que existem dois pontos de interseção entre as funções e que entre
estes dois pontos a função −x2 + 4x assume valor maior que a função x2. Assim, para determinar os
pontos de interseção vamos igualar as funções. Daí,
x2 = −x2 + 4x =⇒ 2x2 − 4x = 0 =⇒ 2x(x− 2) = 0 =⇒ x = 0 ou x = 2.
18
Temos então que o intervalo de integração é [0, 2]. Logo a área é dada por:
A =
∫ 2
0
[−x2 + 4x− x2] dx =
∫ 2
0
[4x− 2x2] dx =
(
2x2 − 2x
3
3
)∣∣∣∣2
0
=
8
3
(u.m)2
Exemplo 3.2 Encontre a área da região limitada pelas curvas y2 = 2x− 2 e y = x− 5.
Solução:
Para que possamos calcular a área é necessário sabermos qual é o intervalo de integração e
qual das funções assume valor maior a outra neste intervalo. Vamos então esboçar o gráfico.
Podemos então observar que existem dois pontos de interseção entre as funções e que entre
estes dois pontos a função y = x − 5 assume valor maior que a função y2 = 2x − 2. Assim, para
determinar os pontos de interseção vamos igualar as funções. Daí,
y2 + 2
2
= y + 5 =⇒ y2 − 2y − 8 = 0 =⇒ y = −2 ou y = 4.
Temos então que o intervalo de integração é [−2, 4]. Logo a área é dada por:
A =
∫ 4
−2
[
(y + 5)−
(
y2 + 2
2
)]
dy =
∫ 4
−2
(
−y
2
2
+ y + 4
)
dy=
(
−y
3
6
+
y2
2
+ 4y
)∣∣∣∣4
−2
= 18(u.m)2
Exemplo 3.3 Encontre a área da região limitada pelas curvas 2y2 = x+ 4 e y2 = x.
Solução:
Para que possamos calcular a área é necessário sabermos qual é o intervalo de integração e
qual das funções assume valor maior a outra neste intervalo. Vamos então esboçar o gráfico.
Podemos então observar que existem dois pontos de interseção entre as funções e que entre
estes dois pontos a função y2 = x assume valor maior que a função 2y2 = x + 4. Assim, para
determinar os pontos de interseção vamos igualar as funções. Daí,
2y2 − 4 = y2 =⇒ y2 = 4 =⇒ y = −2 ou y = 2.
Temos então que o intervalo de integração é [−2, 2]. Logo a área é dada por:
A =
∫ 2
−2
[
y2 − (2y2 − 4)] dy = ∫ 2
−2
(−y2 + 4) dy = (−y3
3
+ 4y
)∣∣∣∣2
−2
=
32
3
(u.m)2
19
3.2 Volume
Na Engenharia muita vezes nos deparamos com problemas de Volume. O problema é que em
alguns casos a estrutura não possui uma estrutura de volume que se encaixa uma fórmula conhecida.
Trabalharemos aqui com estrutura que não possuem uma fórmula definida, mas são geradas a partir
da revolução de figuras planas em torno de um eixo. Estas estruturas são conhecidas como Sólidos
de Revolução, que segue a seguinte definição:
Definição 3.5 Um Sólido de Revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região R do plano em torno de
uma reta a qual é chamada de eixo de revolução.
Exemplo 3.4 Quando giramos um triângulo em torno de um de seus catetos obtemos um cone circular reto.
Para o cálculo do volume de Sólidos de Revolução utilizaremos o Métodos do Anel Circular
e o Método da Casca Cilíndrica.
3.2.1 Método do Anel Circular
Sejam f e g funções contínuas no intervalo [a, b] e suponha que f(x) ≥ g(x), (ou f(x) ≤ g(x)),
para todo x ∈ [a, b]. Seja R a região limitada pelas curvas y = f(x), y = g(x) e pelas retas x = a e
x = b.
20
Consideremos então uma partição P = {x0, x1, . . . , xn; a = x0 < x1 < . . . < xn = b} do
intervalo [a, b], onde cada subintervalo de [a, b] é descrito da forma [xi−1, xi] com i ∈ 1, 2, . . . , n.
Tomemos ainda, para cada subintervalo, um valor wi qualquer. Observe a figura abaixo:
Seja S o sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo dos x.
Quando rotacionamos os retângulos de base ∆xi = xi − xi−1 (gerados pela partição [a, b]) e
alturas f(wi) e g(wi), obtemos dois cilindros, um inscrito dentro do outro.
Observe que a área da base é dada por
Ab = pi · [f(wi)]2 − pi · [g(wi)]2
21
Logo o volume gerado pela rotação dos retângulos é
Vi = Ab · h = pi · [(f(wi))2 − (g(wi))2] ·∆xi
Como temos n subintervalos, obtemos n aneis circulares e a soma desses volumes é:
n∑
i=1
Vi =
n∑
i=1
pi · [(f(wi))2 − (g(wi))2] ·∆xi
Temos então a seguinte definição:
Definição 3.6 Sejam f e g funções continuas em [a, b] e suponha que f(x) ≥ g(x), para todo x ∈ [a, b]. Seja
R a região limitada pelas curvas y = f(x) e y = g(x) e pelas retas x = a e x = b. Se S é o sólido gerado pela
rotação de R em torno do eixo dos x. Então o volume é calculado da forma:
V = lim
||∆xi−→0||
n∑
i=1
pi · [(f(wi))2 − (g(wi))2] ·∆xi =⇒
=⇒ V = pi
∫ b
a
[
(f(x))2 − (g(x))2] dx
As definições seguintes podem ser feitas de feitas de modo similar.
Definição 3.7 Sejam f e g funções continuas em [a, b] e suponha que f(x) ≥ g(x), para todo x ∈ [a, b]. Seja
R a região limitadas pelas curvas y = f(x) e y = g(x) e as retas x = a e x = b. Se S é o sólido gerado pela
rotação de R em torno da reta x = q. Então o volume é calculado da forma:
V = pi
∫ b
a
[
(f(x)− q)2 − (g(x)− q)2] dx
Definição 3.8 Sejam f e g funções continuas em [c, d] e suponha que f(y) ≥ g(y), para todo y ∈ [c, d]. Seja
R a região limitadas pelas curvas x = f(y) e x = g(y) e pelas retas y = c e y = d. Se S é o sólido gerado pela
rotação de R em torno do eixo dos y. Então o volume é calculado da forma:
V = pi
∫ d
c
[
(f(y))2 − (g(y))2] dy
Definição 3.9 Sejam f e g funções continuas em [c, d] e suponha que f(y) ≥ g(y), para todo y ∈ [c, d]. Seja
R a região limitadas pelas curvas x = f(y) e x = g(y) e pelas retas y = c e y = d. Se S é o sólido gerado pela
rotação de R em torno da reta y = q. Então o volume é calculado da forma:
V = pi
∫ d
c
[
(f(y)− q)2 − (g(y)− q)2] dy
Exemplo 3.5 Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos x, da região limitada pela
parábola y = x2 + 1 e pela reta y = x+ 3.
Solução:
Para que possamos calcular o volume é necessário sabermos qual é a regiãoR a ser rotacionada
e o intervalo de integração . Vamos então esboçar o gráfico abaixo:
22
Podemos então observar que existem dois pontos de interseção entre as funções e que entre
estes dois pontos a função y = x + 3 assume valor maior que a função y = x2 + 1. Assim, para
determinar os pontos de interseção vamos igualar as funções. Daí,
x2 + 1 = x+ 3 =⇒ x2 − x− 2 = 0 =⇒ x = −1 ou x = 2.
Temos então que o intervalo de integração é [−1, 2]. Logo o volume do sólido de revolução é:
V = pi
∫ 2
−1
[
(x+ 3)2 − (x2 + 1)2] dx = pi ∫ 2
−1
(−x4 − x2 + 6x+ 8) dx =
= pi
(
−x
5
5
− x
3
3
+ 3x2 + 8x
)∣∣∣∣2
−1
=
117pi
5
(u.m)3
Exemplo 3.6 Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno do da reta x = −4, da região limitada
pelas curvas x = y − y2 e x = y2 − 3.
Solução:
Para que possamos calcular o volume é necessário sabermos qual é a regiãoR a ser rotacionada
e o intervalo de integração . Vamos então esboçar o gráfico abaixo:
23
Podemos então observar que existem dois pontos de interseção entre as funções e que entre
estes dois pontos a função x = y − y2 assume valor maior que a função x = y2 − 3. Assim, para
determinar os pontos de interseção vamos igualar as funções. Daí,
y2 − 3 = y − y2 =⇒ 2y2 − y − 3 = 0 =⇒ 2
(
y2 − y
2
− 3
2
)
= 0 =⇒ x = −1 ou x = 3
2
.
Temos então que o intervalo de integração é [−1, 3/2]. Logo o volume do sólido de revolução
é:
V = pi
∫ 3/2
−1
{
[y − y2 − (−4)]2 − [y2 − 3− (−4)]2} dy = pi ∫ 3/2
−1
[
(y − y2 + 4)2 − (y2 + 1)2] dy =
= pi
(
−y
4
2
− 3x3 + 4x2 + 15x
)∣∣∣∣3/2
−1
=
875pi
32
(u.m)3
Exemplo 3.7 Determine o volume do sólido gerado pela região limitada por y = x2 + 2 e y = 1 + (x/2) e
pelas retas x = 0 e x = 1 quando girada em torno:
a) do eixo dos x
b) da reta y = 3
Solução:
Observe as figuras abaixo:
24
Daí,
a)
V = pi
∫ 1
0
[
(x2 + 2)2 −
(
1 +
x
2
)2]
dx = pi
∫ 1
0
(
x4 +
15
4
x3 − x+ 3
)
dx =
= pi
(
x5
5
− 15
12
x3 − x
2
2
+ 3x
)∣∣∣∣1
0
=
79pi
20
(u.m)3
b)
V = pi
∫ 1
0
[[
3−
(
1 +
x
2
)]2
− (3− (x2 + 2))2] dx = pi ∫ 1
0
(
−x4 − 9
4
x2 + 2x+ 3
)
dx =
= pi
(
−x
5
5
− 3
4
x3 + x2 + 3x
)∣∣∣∣1
0
=
51pi
20
(u.m)3
3.2.2 Método Casca Cilindrica
De modo semelante ao dos anéis circulares, vamos calcular o método das cascas cilíndricas.
Sejam f uma função contínua no intervalo [a, b] e suponha que f(x) ≥ 0, para todo x ∈ [a, b].
Seja R a região limitada pela curva y = f(x) em [a, b], o eixo dos x e pelas retas x = a e x = b.
Consideremos então uma partição P = {x0, x1, . . . , xn; a = x0 < x1 < . . . < xn = b} do
intervalo [a, b], onde cada subintervalo de [a, b] é descrito da forma [xi−1, xi] com i ∈ 1, 2, . . . , n.
Tomemos ainda, para cada subintervalo, um valor wi qualquer. Observe a figura abaixo:
25
Rotacionando R em torno do eixo dos y geramos um sólido da forma:
Assim, obtemos
Observe que a área da base é dada por
Ab = pi · (xi)2 − pi · (xi−1)2
a qual pode ser reescrita da forma:
Ab = pi · [(xi) + (xi−1)] · [(xi)− (xi−1)] = 2pi ·
(
xi + xi−1
2
)
· (xi − xi−1) =⇒
=⇒ A = 2pi · (raio médio) ·∆x
Logo o volume gerado pela rotaçãodos retângulos é
Vi = Ab · h = 2pi ·
(
xi + xi−1
2
)
· (xi − xi−1) · f(wi)
Como temos n subintervalos, obtemos n aneis circulares e a soma desses volumes é:
n∑
i=1
Vi =
n∑
i=1
2pi ·
(
xi + xi−1
2
)
· (xi − xi−1) · f(wi)
Temos então a seguinte definição:
26
Definição 3.10 Sejam f uma função continua no intervalo [a, b] e suponha que f(x) ≥ 0, para todo x ∈ [a, b].
Seja R a região limitadas pela curva y = f(x), o eixo dos x e as retas x = a e x = b. Se S é o sólido gerado
pela rotação de R em torno do eixo dos y. Então o volume é calculado da forma:
V = lim
||∆xi−→0||
n∑
i=1
2pi · (raio médio) · (xi − xi−1) · f(wi) =⇒
=⇒ V = 2pi
∫ b
a
x · f(x)dx
As definições seguintes podem ser feitas de feitas de modo similar.
Definição 3.11 Sejam f uma função continua no intervalo [a, b] e suponha que f(x) ≥ 0, para todo x ∈ [a, b].
Seja R a região limitadas pela curva y = f(x), o eixo dos x e as retas x = a e x = b. Se S é o sólido gerado pela
rotação de R em torno da reta x = q, a qual deve se encontrar a esquerda de R. Então o volume é calculado da
forma:
V = 2pi
∫ b
a
(x− q) · f(x)dx
Observação 3.12 Se a reta x = q, se encontrar a direita de R. Então o volume é calculado da forma:
V = 2pi
∫ b
a
(q − x) · f(x)dx
Definição 3.13 Sejam f e g funções continuas no intervalo [a, b] e suponha que f(x) ≥ g(x), para todo
x ∈ [a, b]. Seja R a região limitadas pelas curvas y = f(x) e y = g(x), o eixo dos x e as retas x = a e x = b.
Se S é o sólido gerado pela rotação de R em torno da reta x = q, a qual deve se encontrar a esquerda de R.
Então o volume é calculado da forma:
V = 2pi
∫ b
a
(x− q) · (f(x)− g(x))dx
Observação 3.14 Se a reta x = q, se encontrar a direita de R. Então o volume é calculado da forma:
V = 2pi
∫ b
a
(q − x) · (f(x)− g(x))dx
Definição 3.15 Sejam f e g funções continuas em [c, d] e suponha que f(y) ≥ g(y), para todo y ∈ [c, d]. Seja
R a região limitadas pelas curvas x = f(y) e x = g(y) e as retas y = c e y = d. Se S é o sólido gerado pela
rotação de R em torno do eixo dos x. Então o volume é calculado da forma:
V = 2pi
∫ d
c
y · (f(y)− g(y))dy
Definição 3.16 Sejam f e g funções continuas em [c, d] e suponha que f(y) ≥ g(y), para todo y ∈ [c, d]. Seja
R a região limitadas pelas curvas x = f(y) e x = g(y) e as retas y = c e y = d. Se S é o sólido gerado pela
rotação de R em torno da reta y = q, a qual deve se encontrar a abaixo de R. Então o volume é calculado da
forma:
V = 2pi
∫ d
c
(y − q) · (f(y)− g(y))dy
27
Observação 3.17 Se a reta y = q, se encontrar a acima de R. Então o volume é calculado da forma:
V = 2pi
∫ d
c
(q − y) · (f(y)− g(y))dy
Exemplo 3.8 Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo dos y, da região limitada pela
parábola y = 2x− x2 e pelo eixo dos x.
Solução:
Para que possamos calcular o volume é necessário sabermos qual é a regiãoR a ser rotacionada
e o intervalo de integração . Vamos então esboçar as figuras.
Podemos então observar que existem dois pontos de interseção entre a função e o eixo dos x.
Assim, para determinar os pontos de interseção vamos igualar as funções. Daí,
2x− x2 = 0 =⇒ x(2− x) = 0 =⇒ x = 0 ou x = 2.
Temos então que o intervalo de integração é [0, 2]. Logo o volume do sólido de revolução é:
V = 2pi
∫ 2
0
x · (2x− x2) dx = 2pi
∫ 2
0
(
2x2 − x3) dx = 2pi(2x3
3
− x
4
4
)∣∣∣∣2
0
=
8pi
3
(u.m.)3
Exemplo 3.9 Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta x = 3, da região limitada
pelas curvas y = x2 e y = x+ 2.
Solução:
Para que possamos calcular o volume é necessário sabermos qual é a regiãoR a ser rotacionada
e o intervalo de integração . Vamos então esboçar as figuras.
28
Podemos então observar que existem dois pontos de interseção entre as funções. Assim, para
determinar os pontos de interseção vamos igualar as funções. Daí,
x2 = x+ 2 =⇒ x2 − x− 2 = 0 =⇒ x = −1 ou x = 2.
Temos então que o intervalo de integração é [−1, 2]. Logo o volume do sólido de revolução é:
V = 2pi
∫ 2
−1
(3− x)(x+ 2− x2) dx = 2pi
∫ 2
−1
(x3 − 4x2 + x+ 6) dx =
= 2pi
(
x4
4
− 4x
3
3
+
x2
2
+ 6x
)∣∣∣∣2
−1
=
45pi
2
(u.m.)3
Exemplo 3.10 Determine o volume do sólido gerado pela região limitada pela curva y =
√
x a reta x = 4 e o
eixo dos x, em torno do eixo dos y.
Solução:
Observe o gráfico abaixo:
Daí, o volume, calculado pelo método da casca, é dado pela seguinte expressão:
V = 2pi
∫ 4
0
x · √x dx = 2pi
∫ 4
0
x3/2 dx = 2pi
(
2
5
· x5/2
)∣∣∣∣4
0
=
128pi
5
(u.m)3
Pelo método do anel circular teriamos:
V = pi
∫ 2
0
[(4)2 − (y2)2] dy = pi
∫ 2
0
(16− x4) dx = pi
(
16x− x
5
5
)∣∣∣∣2
0
=
128pi
5
(u.m.)3
3.2.3 Volume por Fatiamento
Suponha que desejamos determinar o volume de um sólido S que possui uma certa uniformi-
dade em sua estrutura. Sendo assim, façamos um corte transversal no sólido em cada ponto x em
um intervalo [a, b]. Obtemos então uma região R(x) chamada Secção Transversal do Sólido, a qual
tem área A(x). Deste modo, se existir uma função f , a qual seja contínua em x, então poderemos
usá-la para definir e calcular o volume do sólido como uma integral.
29
Definição 3.18 O volume de um sólido compreendido entre os planos x = a e x = b, e cuja área da secção
transversal por x é uma função integrável A(x) no intervalo [a, b], ou seja,
V =
∫ b
a
A(x) dx
Exemplo 3.11 Determine o volume de uma cunha curva que foi obtida por meio do corte de um cilíndro de
raio r por dois planos onde, um deles é perpendicular ao eixo do cilíndro e o segundo cruza o primeiro formando
um ângulo de 45◦ no centro do cilíndro.
Solução:
Vamos inicialmente esboçar o gráfico.
Assim, temos que,
A(x) = x(2
√
r2 − x2) = 2x
√
r2 − x2
onde as retas que limitam a região são x = 0 e x = r
Logo,
V =
∫ b
a
A(x) dx =
∫ r
0
2x
√
r2 − x2 dx = −2
3
(
r2 − x2)3/2∣∣∣∣r
0
=
2r3
3
(u.m.)3
Exemplo 3.12 Consirede um tanque esférico de raio 10m que está com uma quantidade de líquido 2m abaixo
do nível médio. Determine o volume do combustível nesse tanque.
Solução:
Vamos inicialmente esboçar o gráfico.
Assim, temos que,
A(x) = x2
onde as retas que limitam a região são x = −2 e x = −10
Logo,
V =
∫ b
a
A(x) dx =
∫ −2
−10
x2 dx =
x3
3
∣∣∣∣−2
−10
=
992
3
m3
Exemplo 3.13 Determine o volume do sólido obtido com a rotação em torno do eixo dos y, da região compre-
endida entre o eixo dos x e a curva y = 2/x, com 1 ≤ x ≤ 4.
Solução:
Vamos inicialmente esboçar o gráfico.
Assim, temos que,
A(x) = pi
(
2
x
)2
onde as retas que limitam a região são x = 1 e x = 4
Logo,
V =
∫ b
a
A(x) dx =
∫ 4
1
pi
(
2
x
)2
dx = −4pi
x
∣∣∣∣4
1
= 3 (u.m.)3
30
Teorema 3.19 (Pappus) Seja R uma região de um plano inteiramente situada sobre um lado de uma reta l do
plano. Se R faz uma revolução completa em torno de l, o volume do sólido resultante é o produto da área de R
pela distância percorrida pelo centróide de R.
Observação 3.20 O Centróide é o ponto de equilíbrio de uma região R.
3.3 Comprimento de Arco
Seja f uma função contínua em [a, b] e f ′ contínua em (a, b). Considere o gráfico da equação
y = f(x),
A porção da curva de A(a, f(a)) à B(b, f(b)) é chamado de um arco. Considere a partição
P = {x0, x1, . . . , xn; a = x0 < x1 < . . . < xn = b} do intervalo [a, b], onde cada ponto Pk(xk, f(xk))
pertence a curva. Observe então a figura abaixo:
Temos então a distância Pk−1 e Pk é dada por:
d(Pk−1, Pk) =
√
(xk − xk−1)2 + (f(xk)− f(xk−1))2 (3.1)
Pelo teorema do valor médio existe wk ∈ (xk−1, xk) tal que
f ′(wk) =
f(xk)− f(xk−1)
xk − xk−1 (3.2)
Substituindo(3.2) em (3.1) temos:
d(Pk−1, Pk) =
√
(xk − xk−1)2 + [f ′(wk) · (xk − xk−1)])2 = (xk − xk−1) ·
√
1 + (f ′(wk))2 =⇒
31
=⇒ d(Pk−1, Pk) =
√
1 + (f ′(wk))2 ·∆xk
Sendo L o comprimento de arco então
L ≈
n∑
k=1
√
1 + (f ′(wk))2 ·∆xk
Portanto, por somas de Riemann, temos a seguinte definição:
Definição 3.21 Seja f uma função derivável, com f ′ contínua em [a, b]. O comprimento de arco de f de
A(a, f(a)) à B(b, f(b)), denotado por Lba, é
Lba = lim||∆xk||−→0
[
n∑
k=1
√
1 + (f ′(wk))2 ·∆xk
]
=⇒
=⇒ Lba =
∫ b
a
√
1 + (f ′(x))2 dx
Observação 3.22 Podemos mudar a variável de integração
Ldc =
∫ d
c
√
1 + (f ′(y))2 dy
Exemplo 3.14 Calcule o comprimento do arco da curva y = x2/3 dos pontos:
a) (1, 1) à (8, 4)
b) (0, 0) à (8, 4)
Solução:
a) Observe a figura abaixo,
Sabendo que,
y = x1/3 =⇒ y′ = 2
3
x−1/3
e que y′ esta definido no intervalo [1, 8]. Então o comprimento do arco é:
L81 =
∫ 8
1
√
1 + (y′)2 dx =
∫ 8
1
√
1 +
(
2
3x1/3
)2
dx =
∫ 8
1
√
1 +
(
2
3x1/3
)2
dx =
∫ 8
1
√
1 +
(
4
9x2/3
)
dx =
32
=
∫ 8
1
√(
9x2/3 + 4
9x2/3
)
dx =
∫ 8
1
(
1
3x1/3
)√
9x2/3 + 4 dx =
[
(9x2/3 + 4)3/2
27
]∣∣∣∣8
1
=
1
27
(
403/2 − 133/2
)
Portanto,
L81 ≈ 7, 6 (u.m.)
b) Observe a figura abaixo,
Sabemos que,
y = x1/3 =⇒ y′ = 2
3
x−1/3
Mas y′(0) = 2/(3 3
√
0), o qual não existe. Daí, reescrevendo a expressão temos x = y3/2. Assim,
x = y3/2 =⇒ x′ = 3
2
y1/2
Sabendo que, x′ esta definido no intervalo [0, 4]. Então o comprimento do arco é:
L40 =
∫ 4
0
√
1 + (x′)2 dy =
∫ 4
0
√
1 +
(
3
2
y1/2
)2
dy =
∫ 4
0
√
1 +
(
9y
4
)
dy =
∫ 4
0
√(
4 + 9y
4
)
dy =
=
∫ 4
0
1
2
√
4 + 9y dy =
1
27
(4 + 9y)
3/2
∣∣∣∣4
0
=
1
27
(
80
√
10− 8
)
Portanto,
L40 ≈ 9, 07 (u.m.)
3.4 Área de Superfície
Seja f uma função contínua em [a, b], tal que, f(x) ≤ 0 para todo x ∈ [a, b]. Seja S a superfície
de revolução gerada pela rotação de f em torno do eixo dos x. Consideremos então uma partição
P = {x0, x1, . . . , xn; a = x0 < x1 < . . . < xn = b} do intervalo [a, b], onde cada subintervalo de [a, b]
é descrito da forma [xk−1, xk] com k ∈ 1, 2, . . . , n (observe as figuras abaixo).
33
Ao girarmos um segmento de reta em torno de um eixo, obtemos um tronco de cone cuja a
área A é dada por,
A = 2pi · (raio médio) · (altura inclinada)
Assim, como podemos observar na figura abaixo,
para cada k temos,
Ak = 2pi ·
[
f(xk) + f(xk−1)
2
]
· d(Pk, Pk−1)
Sendo d(Pk, Pk−1), a distância entre dois pontos do gráfico, temos, por comprimento de arco,
que
d(Pk, Pk−1) =
√
1 + [f ′(wk)]2 ·∆xk
Assim a área total é
A ≈
n∑
k=1
Ak =
n∑
i=1
2pi ·
[
f(ki) + f(xk−1)
2
]
·
[√
1 + (f ′(wk))2
]
·∆xk
Logo, temos a seguinte definição,
Definição 3.23 Se f é contínua e diferenciável em [a, b] , f ′ é contínua em [a, b] e f(x) ≥ 0 para todo
x ∈ [a, b], então a área A da superfície gerada pela revolução do gráfico de f em torno do eixo dos x é:
AS = lim||∆xi||−→0
n∑
i=1
2pi ·
[
f(xi) + f(xi−1)
2
]
·
[√
1 + (f ′(wi))2
]
·∆xi =⇒
=⇒ AS = 2pi
∫ b
a
f(x)
√
1 + [f ′(x)]2 dx
34
Observação 3.24 Se x = f(y) e a rotação é em torno do eixo dos y, então:
AS = 2pi
∫ d
c
f(y)
√
1 + [f ′(y)]2 dy
Exemplo 3.15 O gráfico de y =
√
x de (1, 1) à (4, 2) gira em torno do eixo dos x. Determine a área de
superfície restante.
Solução: Sendo f(x) =
√
x então, f ′(x) =
1
2
√
x
. Logo, a área de superfície é:
AS = 2pi·
∫ 4
1
(
√
x)·
√1 + ( 1
2
√
x
)2 dx = 2pi·∫ 4
1
(
√
x)·
(√
4x+ 1
4x
)
dx = 2pi·
∫ 4
1
(
√
x)·
(√
4x+ 1√
4x
)
dx =
= 2pi ·
∫ 4
1
(
√
x) ·
(√
4x+ 1
2
√
x
)
dx = 2pi ·
∫ 4
1
1
2
· (√4x+ 1) dx = pi · ∫ 4
1
(√
4x+ 1
)
dx =
= pi · 1
6
(1 + 4x)3/2
∣∣∣∣4
1
=
pi
6
[(17)3/2 − (5)3/2]
Logo,
AS ≈ 30, 8(u.m)2
3.5 Trabalho
Na Física, o termo trabalho é utilizado quando falamos no Trabalho realizado por uma força,
ou seja, o Trabalho Mecânico. Uma força, aplicada em um corpo realiza um trabalho, denotado por
W, quando produz um deslocamento no corpo.
Observação 3.25 :
(i) A unidade de Trabalho no SI é o Joule (J);
(ii) Quando uma força tem a mesma direção do movimento o trabalho realizado é positivo: W > 0;
(iii) Quando uma força tem direção oposta ao movimento o trabalho realizado é negativo: W < 0;
(iv) O trabalho resultante é obtido através da soma dos trabalhos de cada força aplicada ao corpo, ou pelo
cálculo da força resultante no corpo.
Mas, para analizamos o trabalho realizado por uma força devemos observar se a força é Cons-
tante ou Variável.
3.5.1 Trabalho Realizado por Forças Constantes
Definição 3.26 Se uma força constante F , atua sobre um objeto, fazendo-o se mover por uma distância d, na
mesma direção da força, então o trabalho realizado é dado pela expressão:
W = F · d
35
Exemplo 3.16 Determine o trabalho realizado ao empurrar um carro por uma distância de 6 m, ao longo de
uam estrada plana, exercendo uma força de 400 N .
Solução: Sendo F = 400 N e d = 6 m, então o trbalho é:
W = F · d = 400 · 6 = 2400N ·m = 2400 J
3.5.2 Trabalho Realizado por Forças Variáveis
Suponha que uma força faça um objeto mover-se ao longo do eixo dos x, de x = a a x = b e que
a força em x seja dada por F (x), onde F é uma função contínua no intervalo [a, b]. Consideremos
ainda, uma partição P = {x0, x1, . . . , xn; a = x0 < x1 < . . . < xn = b} do intervalo [a, b], onde
cada subintervalo de [a, b] é descrito da forma [xi−1, xi] com i ∈ 1, 2, . . . , n e que ∆Wi é o trabalho
realizado em cada intervalo [xi−1, xi].
Logo, o trabalho realizado entre a e b é
W = ∆W1 + ∆W2 + . . .+ ∆Wn =
n∑
i=1
∆Wi
Consideremos então um valor zi ∈ [xi−1, xi], tal que, dada a força F (zi) temos que,
∆Wi ≈ F (zi) ·∆xi
Assim,
W ≈
n∑
i=1
F (zi) ·∆xi
Portanto, por somas de Riemann temos a seguinte definição;
Definição 3.27 Se F (x) é uma força em x e F é contínua em [a, b], então o trabalho realizado ao mover um
objeto ao logo do eixo dos x, de x = a a x = b é:
W = lim
||∆xi||−→0
n∑
i=1
F (zi) ·∆xi =⇒
=⇒ W =
∫ b
a
F (x) dx
Exemplo 3.17 Um balde furado, pesando 5 N , é içado a partir do solo, puxando-se, com uma velocidade
constante, uma corda com 20 m de comprimento. A corda pesa 0, 08 N/m. O balde começa com dois galões de
água, que equivalem a 16 N , e vaza a uma taxa constante. Ele para de vazar exatamente quando chega ao topo.
Sendo assim, determine o trabalho elevando-se:
a) Somente a água;
b) A água e o balde;
c) A água, o balde e a corda.
36
Solução:
a) Sabendo que o balde começa com dois galões de água, que pesam 16 N , e vaza a uma taxa cons-
tante. Temos que a força é dada pela expressão:
F (x) = 16 · (20− x)
20
= 16− 4x
5
Logo, como o intervalo é [0, 20] pois, o processo começa no solo e a corda tem comprimento de
20 m, o trabalho é,
W =
∫ 20
0
(
16− 4x
5
)
dx =
(
16x− 2x
2
5
)∣∣∣∣20
0
= 160 J.
b) Usando a questão (a) e acrescentando-se o peso do balde, temos que a força é dada pela expressão:
F (x) =
(
16− 4x
5
)
+ 5
Logo, como o intervalo é [0, 20], o trabalho é,
W =
∫ 20
0
[(
16− 4x
5
)
+ 5
]
dx =
[(
16x− 2x
2
5
)
+ 5x
]∣∣∣∣20
0
= 260 J.
b) Usando a questão (b) e acrescentando-se o peso da corda, temos que a força é dada pela expressão:
F (x) =
(
16− 4x
5
)
+ 5 + 0, 08 · (20− x)
Logo, como o intervalo é [0, 20], o trabalho é,
W =
∫ 20
0
[(
16− 4x
5
)
+ 5 + 0, 08 · (20−x)
]
dx =
[(
16x− 2x
2
5
)
+ 5x+ 0, 08 · (20x− x
2
2
)
]∣∣∣∣20
0
= 276 J.
3.5.3 Lei de Hooke
A lei de Hooke é a lei da física relacionada à elasticidade de corpos, e serve para calcular a deforma-
ção causada pela força exercida sobre um corpo. Esta força é igual ao deslocamento (d) da massa a
partir do seu ponto de equilíbrio, vezes, uma constante (K) denominada constante de elasticidade,
da mola ou do corpo que sofrerá deformação. Assim, a força é dada pela expressão:
F = K · d
Logo o trabalho é dado pela seguinte expressão;
Definição 3.28 Seja F (x) a força necessária para distender uma mola em x unidades de seu comprimento
natural, dada por F (x) = K · x. Então o trabalho é dado por:
W =
∫ b
a
K · x dx
Exemplo 3.18 è necessária uma força de 40 N para distender uma mola de seu comprimento natural de
15 mm para 20 mm. Clacule o trabalho realizado ao estender a mola:
a) De seu comprimento natural para 25 mm;
37
b) De 17, 5 mm para 22, 5 mm.
Solução:
Vamos inicialmente determinar a constante de elastícidade K. Sabendo que é necessário uma força
de 40 N para distender a mola de 15 mm para 20 mm, então, temos que:
F (x) = K · x =⇒ 40 = K · (20− 15) =⇒ K = 8 N/mm
Logo,
a) Como a mola se destente do seu estado natural para 25 mm temos que a = 0 e b = 10. Logo, o
trabalho é:
W =
∫ 10
0
8 · x dx = 4x2∣∣10
0
= 400 N ·mm = 0, 4 J
b) Como a mola se destente de 17, 5 mm para 22, 5 mm e no seu estado natural ela mede 15 mm,
temos que a = 2, 5 e b = 7, 5. Logo, o trabalho é:
W =
∫ 7,5
2,5
8 · x dx = 4x2∣∣7,5
2,5
= 200 N ·mm = 0, 2 J
3.6 Forças de um Fluido sobre uma superfície plana
Descreveremos aqui a expressão de pressão e a força de um fluido sobre uma região plana.
A equação Pressão-Profundidade
Definição 3.29 Em um fluido que se mantém parado, a pressão p em uma profundidade h é o peso específico
do fluido w vezes h, ou seja,
p = w · h (3.3)
A equação de Força de um Fluido com Profundidade Constante
Definição 3.30 Considere um recipiente para fluido com uma base plana horizontal. Assim a força total
exercida pelo fluido contra a base é dada pela expressão:
F = p ·A (3.4)
onde p é a pressão e A é a área da base do recipiente.
Observação 3.31 Se substituirmos (3.3) em (3.4) obtemos a seguinte expressão de força de um fluido sobre
uma região plana horizontal.
F = w · h ·A (3.5)
Exemplo 3.19 Um cilíndro circular reto tem 9 m de diâmetro e 9 m de altura. Se ele está cheio, com um
liquído cujo o peso específico é 100 N/m3, determine a força sobre o fundo do cilindro.
Solução: Sabendo que o recipiente é um cilindro circular reto, então a sua base é um disco cuja a área
é dada pela expressão:
A = pi · r2
38
onde r = 4, 5 m, já que o diâmetro é de 9 m. Daí,
F = w · h ·A =⇒ F = w · h · pi · r2 =⇒ F = 100 · 9 · pi · (4, 5)2 = 18.225pi
Portanto, a força que o fluido exerce sobre o fundo do recipiente é de 18.225pi N .
Suponha agora que queiramos saber da força exercida pelo fluido contra um lado de uma
placa vertical submersa em um fluido de peso específico w. Para isso vamos utilizar a formula da
Profundidade Variável.
A equação de Força de um Fluido com Profundidade Variável
Definição 3.32 Considere uma placa submersa em um determinado fluido. Logo, a força do fluido sobre a
placa é:
F = w ·
∫ d
c
(profundidade da faixa) · L(y) dy (3.6)
onde w é peso específico do fluido e L(y) é o comprimento da faixa da placa.
Demonstração: Considere uma placa como uma região que se estende de y = c a y = d no plano xy
submersa em um determinado fluido.
Seja P = {y0, y1, . . . , yn; c = y0 < y1 < . . . < yn = d} uma partição do intervalo [c, d], L(y)
o comprimento da placa em cada ponto yk ∈ [c, d], ∆yk = yk − yk−1 e a profundidade da faixa Pk
como sendo a distância entre a superfície do fluido à yk. Observe as figuras abaixo:
Logo, a força em cada ponto é dada por:
Fk = w · Pk · L(yk) ·∆yk
39
Assim,
F ≈
n∑
k=1
Fk =
n∑
k=1
(w · Pk · L(yk) ·∆yk) .
Portanto, por somas de Riemann, temos que a força sobre uma placa vertical submersa em um
fluido é:
F = lim
||∆yk||−→0
n∑
k=1
(w · Pk · L(yk) ·∆yk) =⇒ F = w ·
∫ d
c
(profundidade da faixa) · L(y) dy
Exemplo 3.20 Uma placa triângular com dois lados de mesma medida, cuja a base mede 6 m e altura 3 m,
com a base virada para cima está a 2 m abaixo da superfície de uma piscina. Determine a força exercida pela
água contra um lado da placa.
Solução: Vamos inicialmente fazer um esboço da região submersa. Temos que, ela é uma placa
triângular com dois lados com mesmo comprimento, medindo 6 m de base e 3 m de altura, a base
esta virada para cima, e ela está a 2m abaixo da superfície da piscina. Assim, observe a figura abaixo:
Sabendo que a água tem peso específico igual a 10.000 N/m3, obtemos:
F = w ·
∫ d
c
(profundidade da faixa) · L(y) dy =⇒ F = 10.000 ·
∫ 3
0
(5− y) · 2y dy =⇒
=⇒ F = 10.000 ·
(
5y2 − y
3
3
)∣∣∣∣3
0
=⇒ F = 10.000 ·
(
5 · (3)2 − (3)
3
3
)
=⇒
=⇒ F = 10.000 ·
(
5 · (3)2 − (3)
3
3
)
=⇒ F = 360.000
Portanto, a força que o fluido exerce sobre a placa triangular é de 360.000 N .
Capítulo 4
Sequências
4.1 Sequências Numéricas
Definição 4.1 Uma Sequência Numérica é uma função f : IN −→ IR, definida no conjunto dos naturais e
assumindo valores no conjunto dos reais, ou seja, para cada n ∈ IN existe um f(n) ∈ IR a ele associado.
Observação 4.2
a) Cada f(n) será representado por xn ou an, ou seja, f(n) = xn ou f(n) = an.
b) A sequência pode ser definida por (an)n∈IN ou {an}+∞n=1 ou (a1, a2, a3, . . .).
c) an é chamado de n-ésimo termo da sequência ou termo geral da sequência.
Exemplo 4.1
1) Se f(n) = n então a sequência é (1, 2, 3, 4, . . . , n, . . .).
2) Se an = 1− 1
n
, então (an)n∈IN =
(
1− 1
n
)
n∈IN
=
(
0,
1
2
,
2
3
, . . . , 1− 1
n
, . . .
)
.
3) Se ((−1)n)n∈IN = (−1, 1, −1, 1, . . . , (−1)n, . . .).
4) Se xn = 1 + (−1)n, então (an)n∈IN = (1 + (−1)n)n∈IN = (0, 2, 0, 2, . . . , 1 + (−1)n, . . .).
5) Se
(
n
2n+ 1
)
n∈IN
=
(
1
3
,
2
5
,
3
7
, . . . ,
n
2n+ 1
, . . .
)
.
Em alguns casos de sequências, é necessário determinar seu termo geral e para isso é dado
um termo da sequência (geralmente o primeiro), e uma regra que permite calcular qualquer outro
de seus termos, ou seja, dado ak podemos determinar ak+1, com k ∈ IN . Neste caso, dizemos que a
sequência é dado por recorrência, a qual temos a seguine definição,
Definição 4.3 Dizemos que uma sequência é dada por recorrência se, dado um termo da sequência é possível
se determinar os demais termos a partir de uma lei de formação, ou seja, dado ak temos ak+1 = f(ak), com
k ∈ IN .
41
Exemplo 4.2 Ache os primeiros termos e o n-ésimo termo das sequência definida por a1 = 3 e ak+1 = 2ak,
para k ≤ 1.
Solução:
Temos que,
a1 = 3; a2 = 2 · a1 = 2 · 3 = 6; a3 = 2 · a2 = 2 · 6 = 12; a4 = 2 · a3 = 2 · 12 = 24; . . .
Logo,
an = 2 · an−1 = 2 · 2 · an−2 = 2 · 2 · 2 · an−3 = . . . = 3 · 2n−1.
Portanto, o n-ésimo termo é da forma an = 3 · 2n−1.
Observemos que nos exemplos dados até agora, a medida que os valores de n crescem os
termos da sequência podem se aproximar de um número realL, tender ao infinito ou ficar alternando
seus valores. Usando o conceito de limite, dizemos que a sequência (an)n∈IN é convergente se, e
somente se,
lim
n→+∞ an = L
com L ∈ IR. Caso contrário, dizemos que a sequência é divergente.
Definição 4.4 Dizemos que uma sequência (an) tem limite L, (ou converge para L) se dado � > 0, existe um
número n0 ∈ IN tal que, para todo n > n0 então |an − L| < �. Neste caso escrevemos,
lim
n→+∞ an = L
Exemplo 4.3
1) Se lim
n→+∞n = +∞. Logo diverge;
2) Se lim
n→+∞(
1− 1
n
)
= 1. Logo converge;
3) Se lim
n→+∞ ((−1)
n) =
{
1, se n é par;
−1, se n é impar. Logo diverge;
4) Se lim
n→+∞ (1 + (−1)
n) =
{
2, se n é par;
0, se n é impar.
Logo diverge;
5) Se
(
n
2n+ 1
)
n∈IN
=
(
1
3
,
2
5
,
3
7
, . . . ,
n
2n+ 1
, . . .
)
.
Teorema 4.5 Suponha que f : IR −→ IR seja uma função definida para todo x ≥ n0, com n0 ∈ IN , e que
(an) seja uma sequência de números reais tais que an = f(n), para todo n ≥ n0. Assim se,
lim
x→+∞ f(x) = L
Então,
lim
n→+∞ an = L
Exemplo 4.4 Calcule lim
n→+∞
5n
e3n
42
Solução: Considere f(x) =
5x
e3x
. Temos então que f(n) = an, ∀n ≥ 0. Observemos ainda que,
utlizando a regra de L’Hôpital obtemos,
lim
x→+∞
(
5x
e3x
)
= lim
x→+∞
(
5
3e3x
)
= 0
Portanto, pelo teorema, temos que se
lim
x→+∞
5x
e3x
= 0 =⇒ lim
n→+∞
5n
e3n
= 0
4.1.1 Propriedades de Limites de Sequência
Teorema 4.6 Sejam (an) e (bn) sequências convergentes e A, B e C números reais. Se lim
n→+∞ an = A e
lim
n→+∞ bn = B, então valem as seguintes porpriedades:
1) lim
n→+∞ (an ± bn) = (A±B);
2) lim
n→+∞ (C · an) = (C ·A);
3) lim
n→+∞ (an · bn) = (A ·B);
4) lim
n→+∞
(
an
bn
)
=
(
A
B
)
, se B 6= 0;
Exemplo 4.5 Determine o limite da sequência (an) com an =
(
4n2
2n2 + 1
)
Solução: Observe que,
lim
n−→+∞ an = limn−→+∞
(
4n2
2n2 + 1
)
= lim
n−→+∞
 4n2
n2
(
2 +
1
n2
)
 = 42 = 2.
Teorema 4.7 (do Confroto): Sejam as sequências (an), (bn) e (cn). Se bn ≤ an ≤ cn, para todo n ≥ n0, com
n0 ∈ IN e fixo, e ainda,
lim
n−→+∞ bn = L = limn−→+∞ cn
então
lim
n−→+∞ an = L
Exemplo 4.6 Determine o limite da sequência (an) com an =
(
cos2n
3n
)
Solução: Observe que,
0 ≤ cos2n ≤ 1⇐⇒ 0
3n
≤ cos
2n
3n
≤ 1
3n
, ∀n ∈ IN
Sabendo que,
lim
n−→+∞ 0 = 0 = limn−→+∞
(
1
3n
)
Então,
lim
n−→+∞
(
cos2n
3n
)
= 0.
43
Teorema 4.8 Seja (an) uma sequência. Se lim
n−→+∞ |an| = 0, então limn−→+∞ an = 0.
Exemplo 4.7 Prove que a sequência (an) com an = (−1)n+1 ·
(
1
n
)
, converge para 0.
Solução: Observe que,
|an| =
∣∣∣∣(−1)n+1 · ( 1n
)∣∣∣∣ = ∣∣(−1)n+1∣∣ · ∣∣∣∣ 1n
∣∣∣∣ = 1n ∀n ∈ IN
Logo,
lim
n−→+∞ |an| = limn−→+∞
(
1
n
)
= 0.
Portanto, pelo teorema anterior, temos que,
lim
n−→+∞ an = limn−→+∞
[
(−1)n+1 ·
(
1
n
)]
= 0.
4.1.2 Sequência Crescente ou Decrescente
Definição 4.9 Uma sequência (an) é dita,
a) Crescente, se an < an+1, ∀ n ≥ n0 com n0 ∈ IN , ou seja, a partir de um determinado n0 o termo
sucessor é estritamente maior que o atual;
b) Decrescente, se an > an+1, ∀ n ≥ n0 com n0 ∈ IN , ou seja, a partir de um determinado n0 o termo
sucessor é estritamente menor que o atual;
c) Não-Decrescente, se an ≤ an+1, ∀ n ≥ n0 com n0 ∈ IN , ou seja, a partir de um determinado n0 ou a
sequência é constante ou é crescente;
d) Decrescente, se an ≥ an+1, ∀ n ≥ n0 com n0 ∈ IN , ou seja, a partir de um determinado n0 ou a
sequência é constante ou é decrescente;
Observação 4.10 Uma sequência crescente ou decrescente é dita sequência monotona.
Exemplo 4.8 Determine se a sequência an =
(
n
2n+ 1
)
, é crescente ou decrescente.
Solução: Suponhamos que a sequência (an) seja crescente. Então, vamos verificar se an < an+1, a
partir de algum n0. Assim, se an < an+1, ∀ n ≥ n0 com n0 ∈ IN , então,(
n
2n+ 1
)
<
(
n+ 1
2(n+ 1) + 1
)
⇐⇒ n·(2n+3) < (2n+1)(n+1)⇐⇒ 2n2+3n < 2n2+3n+1⇐⇒ 0 < 1, ∀n ≥ 1
Logo, an < an+1, ∀ n ≥ 0. Portanto, (an) é uma sequência crescente.
Exemplo 4.9 Determine se a sequência an =
(
n2
3n
)
, é crescente ou decrescente.
Solução: Suponhamos que a sequência (an) seja crescente. Então, vamos verificar se an < an+1, a
partir de algum n0. Assim, se an < an+1, ∀ n ≥ n0 com n0 ∈ IN , então,(
n2
3n
)
<
(
(n+ 1)2
3n+1
)
⇐⇒ 3n+1 · n2 < 3n · (n+ 1)2 ⇐⇒ 3n · 3 · n2 < 3n · (n+ 1)2 ⇐⇒
⇐⇒ 3 · n2 < (n+ 1)2, a qual é falsa ∀n ≥ 2
Logo, an ≮ an+1, ∀ n ≥ 2. Portanto, an > an+1, ∀ n ≥ 2, ou seja, (an) é uma sequência decrescente.
|an| =
∣∣∣∣(−1)n+1 · ( 1n
)∣∣∣∣ = ∣∣(−1)n+1∣∣ · ∣∣∣∣ 1n
∣∣∣∣ = 1n ∀n ∈ IN
44
Exemplo 4.10 Determine se a sequência an = (−1)n+1 ·
(
1
n
)
, é crescente ou decrescente.
Solução: Suponhamos que a sequência (an) seja crescente. Então, vamos verificar se an < an+1, a
partir de algum n0. Mas observemos o seguinte, se
an = (−1)n+1 ·
(
1
n
)
e an+1 = (−1)(n+1)+1 ·
(
1
n+ 1
)
Assim,
• Se n = 1 teriamos (−1)1+1 ·
(
1
1
)
< (−1)(1+1)+1 ·
(
1
1 + 1
)
=⇒ 1 < −1
2
(Absurdo!);
• Se n = 2 teriamos (−1)2+1 ·
(
1
2
)
< (−1)(2+1)+1 ·
(
1
2 + 1
)
=⇒ −1
2
<
1
3
(Verdadeiro!);
• Se n = 3 teriamos (−1)3+1 ·
(
1
3
)
< (−1)(3+1)+1 ·
(
1
3 + 1
)
=⇒ 1
3
< −1
4
(Absurdo!);
• Se n = 4 teriamos (−1)4+1 ·
(
1
4
)
< (−1)(4+1)+1 ·
(
1
4 + 1
)
=⇒ −1
4
<
1
5
(Verdadeiro!);
Logo, a sequência an fica alternando entre crescimento e decrecimento. Portanto, a sequência
an = (−1)n+1 ·
(
1
n
)
nem é crescente nem é decrescente.
4.1.3 Sequência Limitada
Definição 4.11 Uma sequência (an) é dita limitada superiormente se existir um número b ∈ IR tal que
an ≤ b, para todo n ≥ n0, com n0 ∈ IN e fixo.
Definição 4.12 Uma sequência (an) é dita limitada inferiormente se existir um número a ∈ IR tal que
an ≥ a, para todo n ≥ n0, com n0 ∈ IN e fixo.
Exemplo 4.11 a) A sequência an = n é limitada inferiormente pelo número 1, ∀n ≥ 1;
b) A sequência an = 5− n é limitada superiormente pelo número 5, ∀n ≥ 1;
c) A sequência an = (−1)n é limitada inferiormente por −1 e superiormente por 1, ∀n ≥ 1;
d) A sequência an =
2
n
é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 2, ∀n ≥ 1;
e) A sequência an = (1,−2, 1,−2, 1,−2, . . .) é limitada inferiormente por −2 e superiormente por 1.
Definição 4.13 Uma sequência (an) é dita limitada se ela é limitada inferiormente e superiormente, ou seja,
a ≤ an ≤ b. E se existir um número M ∈ IR, com M =máx{a, b} tal que |an| ≤ M , para todo n ≥ n0, com
n0 ∈ IN e fixo.
Exemplo 4.12 a) A sequência an = (−1)n é limitada, pois −1 ≤ (−1)n ≤ 1 e |(−1)n| ≤ 1, ∀n ≥ 1;
b) A sequência an =
2
n
é limitada, pois 0 ≤ 2
n
≤ 2 e
∣∣∣∣ 2n
∣∣∣∣ ≤ 2, ∀n ≥ 1;
c) A sequência an = (−1,−3,−1,−3,−1,−3, . . .) é limitada, pois −3 ≤ an ≤ −1 e |an| ≤ 3, ∀n ≥ 1;
a) A sequência an = n não é limitada, pois é somente limitada inferiormente, ∀n ≥ 1;
b) A sequência an = 5− n não é limitada, pois é somente limitada superiormente, ∀n ≥ 1;
45
Teorema 4.14 Toda sequência monotona e limitada é convergente.
Exemplo 4.13 A sequência
(
2n
n!
)
n∈IN
é convergente?
Solução: Suponhamos que a sequência
(
2n
n!
)
n∈IN
seja convergente. Então, vamos mostrar que ela é
monotona e que é limitada. Daí,
1) A sequência é crescente ou decrescente?
Consideremos que a sequência seja crescente. Então, vamos verificar se an < an+1, a partir de
algum n0. Assim, se an < an+1, ∀ n ≥ n0 com n0 ∈ IN , então,(
2n
n!
)
<
(
2n+1
(n+ 1)!
)
⇐⇒ ·2n · (n+ 1)! < 2n+1 · n!⇐⇒ 2n · (n+ 1) · n! < 2n · 2 · n!⇐⇒
⇐⇒ n+ 1 < 2, a qual é falsa ∀n ≥ 1
Logo,
2n
n!
é uma sequência decrescente. Portanto, ela é monotona.
2) A sequência é limitada?
Observe que,
0 ≤ 2
n
n!
≤ 2, ∀ n ≥ 1,
pois, 2n ≤ 2 · n!, ∀ n ≥ 1. Assim, ∣∣∣∣2nn!
∣∣∣∣ ≤ 2, ∀ n ≥ 1,
Logo,
2n
n!
é uma sequência limitada.
Portanto, a sequência
2n
n!
é convergente.
4.1.4 Subsequência Numérica
Definição 4.15 Seja (an) uma sequência. Uma subsequência, é uma sequência que esta contida na sequência
(an), e será denotada por (ank), ou seja, (ank) ⊆ (an), comnk ∈ IN
Exemplo 4.14 Temos que (2n)n∈IN e (2n+ 1)n∈IN são subsequências da sequência (n)n∈IN
Definição 4.16 Uma sequência (an) é dita convergente se, e somente se, toda subsequência (ank) é conver-
gente e converge para um mesmo valor, ou seja, se (ank) ⊆ (an) e lim
k−→+∞
ank = L, então lim
k−→+∞
an = L
Exemplo 4.15 Temos que
(
1
2n
)
n∈IN
e
(
1
2n+ 1
)
n∈IN
são subsequências da sequência
(
1
n
)
n∈IN
e mais,
lim
n−→+∞
(
1
2n
)
= 0 = lim
n−→+∞
(
1
2n+ 1
)
então,
lim
n−→+∞
(
1
n
)
= 0
Limites Fundamentais
Apresentaremos agora alguns dos limites fundamentais envolvendo sequências númericas,
mas que não serão provados, não por não termos base, mas para que o leitor sinta-se motivado a
procurar as justificativas. São elas,
46
1) lim
n→+∞
n
√
a = 1, com a um constante;
2) lim
n→+∞
n
√
n = 1;
3) lim
n→+∞
n
√
na = 1, com a ∈ Q e a constante;
4) Seja lim
n→+∞(a)
n, com a ∈ IR. Assim
• Se a > 1 então lim
n→+∞ a
n = +∞;
• Se a < 1 então lim
n→+∞ a
n = 0.
5) Seja lim
n→+∞
an
nb
, com a ∈ IR e b ∈ Q. Assim
• Se a > 1 então lim
n→+∞
an
nb
= +∞;
• Se a ≤ 1 então lim
n→+∞
an
nb
= 0.
6) Seja lim
n→+∞
an
n!
= 0, com a ∈ IR;
7) Seja lim
n→+∞
nb
n!
= 0, com b ∈ Q;
8) Seja lim
n→+∞
nn
n!
= +∞;
Capítulo 5
Séries Numéricas
5.1 Séries
No capítulo anterior estudamos a ideia de sequências numéricas e também vimos que algumas
delas apresenta uma lei de formação que caracterizamos por (an). Mas o que aconteceria se nós
começassemos a somar os termos de uma sequência numérica? Será que obteriamos um número
real? Será que a soma dos termos nos traria a ideia de infinito? Será que a soma chegaria a um
resultado lógico?. Vejamos o seguintes exemplos:
Exemplo 5.1 Dada a sequência an = (−1)n+1 = (1,−1, 1,−1, 1,−1, · · · ), com n ∈ IN , qual seria o
resultado da soma de seus termos? Observe que teriamos as possiveis ideias:
(1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + (1− 1) + · · · = 0 + 0 + 0 + 0 + · · · = 0;
ou
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + · · · = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + · · · = 1
Então qual seria o verdadeiro resultado?
Exemplo 5.2 Dada a sequência an =
(
1
n(n+ 1)
)
=
(
1
2
,
1
6
,
1
12
,
1
20
, · · ·
)
, com n ∈ IN , qual seria o
resultado da soma de seus termos, pois observe que:
1
2
+
1
6
+
1
12
+
1
20
+ · · · = 0, 5 + 0, 3333 · · ·+ 0, 083333 · · ·+ 0, 05 + · · · = 1?
Exemplo 5.3 Dada a sequência an =
(
1
2
)n−1
=
(
1,
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
, · · ·
)
, com n ∈ IN , qual seria o resultado
da soma de seus termos, pois observe que:
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ · · · = 1 + 0, 5 + 0, 25 + 0, 125 + 0, 0625 + · · · = 2?
Assim sendo, passaremos a estudar a soma dos termos de uma sequência numérica, de modo
a determinar se existiria ou não um resultado para a soma de seus termos. Temos assim a seguinte
definição:
48
Definição 5.1 Seja (an) uma sequência numérica. Uma expressão da soma de seus termos, descrita da forma
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + · · ·+ an + · · ·
é chamada de série infinita (ou simplismente série) e será denotada por
+∞∑
n=1
an (ou simplismente
∑
an), onde
an, neste caso, é chamado de termo geral da sequência.
Definição 5.2 Seja (an) uma sequência numérica. Uma expressão da soma finita de seus termos, descrita da
forma
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + · · ·+ ak
é chamada de série finita e será denotada por
n∑
k=1
ak, com k = 1, 2, 3, · · · , n.
Definição 5.3 Seja
∑
an uma série. A sequência das somas parciais, denotada por (Sn), é da forma,
S1 = a1 =
1∑
k=1
ak;
S2 = a1 + a2 =
2∑
k=1
ak;
S3 = a1 + a2 + a3 =
3∑
k=1
ak;
...
...
Sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an =
n∑
k=1
ak;
...
...
5.1.1 Somas Parciais
Definição 5.4 Seja
∑
an uma série. Se a sequência das somas parciais (Sn) converge para S, então a série∑
an converge ou tem soma igual a S, isto é, se lim
n−→+∞Sn = S = limn−→+∞
(
n∑
k=1
ak
)
, então
∑
an = S.
Observação 5.5 Se a sequência (Sn) diverge, então
∑
an diverge.
Exemplo 5.4 A série
+∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
converge ou diverge?
Solução: Observe que, usando o método de frações parciais no termo geral an obtemos:
an =
1
n(n+ 1)
=
1
n
− 1
n+ 1
Assim, usando o conceito de somas parciais na série
∑
n=1
+∞ 1
n(n+ 1)
, temos que,
49
S1 = a1 = 1− 1
2
;
S2 = a1 + a2 =
(
1− 1
2
)
+
(
1
2
− 1
3
)
= 1− 1
3
;
S3 = a1 + a2 + a3 =
(
1− 1
2
)
+
(
1
2
− 1
3
)
+
(
1
3
− 1
4
)
= 1− 1
4
;
...
Sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an =
(
1− 1
2
)
+
(
1
2
− 1
3
)
+
(
1
3
− 1
4
)
+ · · ·+ 1
n
−
(
1
n+ 1
)
= 1− 1
n+ 1
;
Logo, sendo Sn = 1− 1
n+ 1
, obtemos
lim
n−→+∞Sn = limn−→+∞
(
1− 1
n+ 1
)
= 1,
Portanto, a série
+∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
converge e sua soma é igual a 1, ou seja,
+∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
= 1.
Exemplo 5.5 A série
+∞∑
n=1
(−1)n+1 converge ou diverge?
Solução: Observe que,
S1 = a1 = 1;
S2 = a1 + a2 = 1− 1 = 0;
S3 = a1 + a2 + a3 = 1− 1 + 1 = 1;
S4 = a1 + a2 + a3 + a4 = 1− 1 + 1− 1 = 0;
Daí, escrevendo os termos da sequência (Sn), com n ∈ IN , teriamos que,
Sn =

0, se n é par;
1, se n é impar;
Logo, sequência (Sn) diverge. Portanto, a série
+∞∑
n=1
(−1)n+1 diverge.
5.1.2 Séries Telescópicas
Voltando a considerar o exemplo (5.4), observa-se o fato de utilizarmos as chamadas frações parciais
e obtendo a seguinte forma de reescrever o termo geral an da série,
an = bn − bn+1.
Temos então, a seguinte definição:
50
Definição 5.6 Toda série
∑
an cujo o termo geral an puder ser escrito da forma an = bn − bn+1, é chamada
de Série Telescópica e seu resultado é da forma:
∞∑
n=1
an = lim
n−→+∞Sn = limn−→+∞
(
n∑
k=1
ak
)
= lim
n−→+∞
(
n∑
k=1
bk − bk+1
)
= lim
n−→+∞ (b1 − bn+1)
5.1.3 Série Geométrica
Definição 5.7 Uma expressão da forma
a+ a · r + a · r2 + a · r3 + · · ·+ a · rn + · · ·
com a e r números reais fixos, denotada por
+∞∑
n=1
a · rn−1, é chamada de Série Geométrica.
Teorema 5.8 A série geométrica
+∞∑
n=1
a · rn−1 é dita,
a) Convergente, para o valor
a
1− r , se |r| < 1;
a) Divergente, se |r| ≥ 1.
Exemplo 5.6 Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. Se convergir determine o valor de S.
a)
+∞∑
n=1
(
1
2
)n−1
b)
+∞∑
n=1
3 · (2n−1) c)
+∞∑
n=1
6
10n
d)
+∞∑
n=1
2
5
(
−1
3
)n−1
Solução:
a) Dada a série
+∞∑
n=1
(
1
2
)n−1
, temos que a = 1 e r =
1
2
. Como |r| < 1
2
então a série converge, e mais,
+∞∑
n=1
(
1
2
)n−1
=
a
1− r =
1
1− 1
2
= 2
b) Dada a série
+∞∑
n=1
3 · (2n−1), temos que a = 3 e r = 2. Como |r| ≥ 2 então a série diverge.
c) Dada a série
+∞∑
n=1
6
10n
, observe que
6
10n
=
6
10 · 10n−1 =
(
6
10
)
·
(
1
10n−1
)
=
(
6
10
)
·
(
1
10
)n−1
Assim, temos que a =
6
10
e r =
1
10
. Como |r| < 1
10
então a série converge, e mais,
+∞∑
n=1
6
10n
=
a
1− r =
6
10
1− 1
10
=
6
9
=
2
3
.
51
d) Dada a série
+∞∑
n=1
2
5
(
−1
3
)n−1
temos que a =
2
5
e r = −1
3
. Como |r| < 1
3
então a série converge, e
mais,
+∞∑
n=1
6
10n
=
a
1− r =
2
5
1−
(
−1
3
) = 25
1 +
1
3
=
3
10
.
Aplicação de Séries Geométricas
As Séries Geométrica podem ser utilizadas para determinar a razãogeradora das chamadas Dízimas
Períodicas.
Definição 5.9 Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos e que
são obtidas a partir de frações, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.
Exemplo 5.7
a)
1
3
= 0, 33333 . . . c)
7
3
= 2, 33333 . . . e)
61
495
= 0, 1232323 . . .
b)
5
9
= 0, 55555 . . . d)
1039
900
= 1, 154444 . . .
Observação 5.10 Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, consti-
tuem o período dessa dízima.
As dízimas classificam-se em dois tipos. As chamadas dízimas periódicas simples e as cha-
madas dízimas periódicas compostas.
Definição 5.11 Uma dízima periódica é dita simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.
Exemplo 5.8 a)
1
3
= 0, 33333 . . . b)
5
9
= 0, 55555 . . . c)
7
3
= 2, 33333 . . .
Definição 5.12 Uma dízima periódica é dita composta, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma
parte não periódica.
Exemplo 5.9 a)
1039
900
= 1, 154444 . . . b)
61
495
= 0, 1232323 . . .
Observação 5.13 Uma dízima períodica pode ser expressa da seguinte forma:
Exemplo 5.10 a) 0, 4444 . . . ou 0, 4 b) 0, 1232323 . . . ou 0, 123
Agora, sabendo o que é uma dízima periódica nosso objetivo seria determinar a razão a qual
gerou tal expressão. E para isso precisaremos decompor a dízima periódica como uma soma de
seus períodos, tentando descrever estes períodos na forma de frações parciais, buscando por fim,
descrever este somatório como uma série geométrica a qual sabemos calcular a sua convergência.
Exemplo 5.11 Determine a razão que gera a seguinte dízima periódica 0, 33333 · · · .
Solução:
Dada a expressão 0, 33333 . . .. Podemos reescreve-la da seguinte forma,
0, 33333 . . . = 0, 3 + 0, 03 + 0, 003 + 0, 0003 + · · ·
52
Observe que,
0, 3 =
3
10
, 0, 03 =
3
100
, 0, 003 =
3
1.000
, 0, 0003 =
3
10.000
, . . .
Assim,
0, 33333 . . . = 0, 3 + 0, 03 + 0, 003 + 0, 0003 + · · · = 3
10
+
3
100
+
3
1.000
+
3
10.000
+ . . . =
=
3
10
+
3
(10)2
+
3
(10)3
+
3
(10)4
+ · · ·+ 3
(10)n
+ . . . =
+∞∑
n=1
3
(10)n
=
+∞∑
n=1
[(
3
10
)
·
(
1
(10)n−1
)]
.
Sabendo que a série
+∞∑
n=1
[(
3
10
)
·
(
1
(10)n−1
)]
é uma série geométrica de razão
1
10
< 1, então
ela é convergente. Logo,
0, 33333 . . . =
+∞∑
n=1
[(
3
10
)
·
(
1
(10)n−1
)]
=
(
3
10
)
1−
(
1
10
) =
(
3
10
)
(
9
10
) = 3
9
=
1
3
.
Portanto a razão
1
3
gera a dízima periódica 0, 33333 . . ..
Exemplo 5.12 Determine a razão que gera a seguinte dízima periódica 0, 1232323 . . ..
Solução:
Dada a expressão 0, 1232323 . . .. Podemos reescreve-la da seguinte forma,
0, 1232323 . . . = 0, 1 + 0, 023 + 0, 00023 + 0, 0000023 + . . .
Observe que,
0, 1 =
1
10
, 0, 023 =
23
1.000
, 0, 00023 =
23
100.000
, 0, 0000023 =
23
10.000.000
, . . .
Assim,
0, 1232323 . . . = 0, 1+0, 023+0, 00023+0, 0000023+ · · · = 1
10
+
23
1.000
+
23
100.000
+
3
10.000.000
+ . . . =
=
1
10
+
23
(10)3
+
23
(10)5
+
23
(10)7
+· · ·+ 23
(10)2n+1
+. . . =
1
10
+
1
10
·
(
23
100
+
23
(100)2
+
23
(100)3
+ · · ·+ 23
(100)n
+ · · ·
)
=
=
1
10
+
1
10
(
+∞∑
n=1
23
(100)n
)
=
1
10
+
1
10
·
+∞∑
n=1
[(
23
100
)
·
(
1
(100)n−1
)]
.
Sabendo que a série
+∞∑
n=1
[(
23
100
)
·
(
1
(100)n−1
)]
é uma série geométrica de razão
1
100
< 1,
então ela é convergente. Logo,
0, 1232323 . . . =
1
10
+
1
10
·
+∞∑
n=1
[(
23
100
)
·
(
1
(100)n−1
)]
=
1
10
+
1
10
·

(
23
100
)
1−
(
1
100
)
 =
=
1
10
·
1 +
(
23
100
)
(
99
100
)
 = 110 ·
(
1 +
23
99
)
=
1
10
· 122
99
=
61
495
.
Portanto a razão
61
495
gera a dízima periódica 0, 1232323 . . ..
53
5.1.4 Série Harmônica
Definição 5.14 A série
+∞∑
n=1
1
n
é chamada de série harmônica.
Teorema 5.15 Se a série
∑
an converge, então lim
n−→+∞ an = 0.
Teorema 5.16 (Teste do n-ésimo termo) Se lim
n−→+∞ an 6= 0, então a série
∑
an diverge.
Pergunta: Se lim
n−→+∞ an = 0, então a série
+∞∑
n=1
an converge?
Resposta: Não, pois a série harmônica
+∞∑
n=1
1
n
diverge, apesar do lim
n−→+∞
1
n
= 0.
Observação 5.17 A demostração da divergência da série harmônica será feita mais a frente.
Teorema 5.18 (Teste da Similariadade de Termos) Sejam
∑+∞
n=1 an e
∑+∞
m=1 bm duas séries. Se an e bm
diferem apenas nos k primeiros termos, isto é, se an = bm, para todo n ≥ k. Então, se uma converge a outra
converge ou se uma diverge a outra diverge.
Exemplo 5.13 Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
a)
+∞∑
n=1
(
1
n+ 4
)
b)
+∞∑
n=1
(
1
2
)n+1
Solução:
a) Temos que
+∞∑
m=1
(
1
m+ 4
)
=
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
+ · · ·
Por outro lado,
+∞∑
n=1
(
1
n
)
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
+ · · ·
Observe que an =
1
n
e bm =
1
m+ 4
são iguais a partir de n ≥ 5, ou seja, an = bm, ∀ n ≥ 5.
Portanto, como a série
+∞∑
n=1
(
1
n
)
diverge então, pelo teste da similaridade de termos, a série
+∞∑
n=1
(
1
n+ 4
)
também diverge.
b) Temos que
+∞∑
m=1
(
1
2
)m+1
=
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+ · · ·
Por outro lado,
+∞∑
n=1
(
1
2
)n−1
= 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+ · · ·
Observe que an =
(
1
n
)n−1
e bm =
(
1
n
)n+1
são iguais a partir de n ≥ 3, ou seja, an =
bm, ∀ n ≥ 3.
54
Portanto, como a série
+∞∑
n=1
(
1
2
)n−1
converge, por ser uma série geométrica, com |r| < 1
2
, en-
tão, pelo teste da similaridade de termos, a série
+∞∑
n=1
(
1
2
)n−1
, também converge.
5.1.5 Séries de termos Positivos
Definição 5.19 Uma série
∑
an é chamada de série de termos positivos se, e somente se, an > 0, para todo n.
Exemplo 5.14 As séries abaixo são exemplos de séries de termos positivos
a)
+∞∑
n=1
n b)
+∞∑
n=1
1
n
c)
+∞∑
n=1
(
1
2
)n−1
d)
+∞∑
n=1
1
n(n+ 1)
Teorema 5.20 Seja
∑
an uma série de termos positivos. Se existir um número real M > 0, tal que,
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + · · ·+ an < M, ∀ n ∈ IN
então a série converge e tem soma menor ou igual a M . Caso contrário, a série é divergente.
Exemplo 5.15 A série
+∞∑
n=1
1
n!
converge ou diverge?
Solução: Consideremos os n primeiros termos da série geométrica
+∞∑
k=1
1
2k−1
, ou seja, consideremos a
seguinte série finita,
1 +
1
2
+
1
4
+ · · ·+ 1
2n−1
=
n∑
k=1
1
2k−1
Observemos o fato que, para todo k ∈ IN , temos que, k! ≥ 2k−1. Então 1
k!
≤ 1
2k−1
, para todo
k ∈ IN . Assim,
Sn = 1 +
1
2!
+
1
3!
+ · · ·+ 1
n!
=
n∑
k=1
1
k!
≤
n∑
k=1
1
2k−1
<
+∞∑
k=1
1
2k−1
= 2.
Logo, Sn < 2. Portanto a série
+∞∑
n=1
1
n!
converge.
5.1.6 Propriedades de Séries
Teorema 5.21 Se as séries
+∞∑
n=1
an e
+∞∑
n=1
bn são convergentes, então valem as seguintes condições:
(i) A série
+∞∑
n=1
(an ± bn) converge e mais
+∞∑
n=1
(an ± bn) =
(
+∞∑
n=1
an
)
±
(
+∞∑
n=1
bn
)
;
(ii) Para todo C ∈ IR, a série
+∞∑
n=1
(C · an) converge e mais
+∞∑
n=1
(C · an) = C
(
+∞∑
n=1
·an
)