Controle e Acionamentos de Máquinas Elétricas

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Curso de Engenharia Elétrica 
 
 
 
 
 
 
Controle e Acionamentos de Máquinas 
Aspectos Básicos e Aplicações 
 
 
 
Prof. Luiz Bizerra de Aguiar 
 
 
 
 
 
 
Setembro 2016 
 
 
1 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
Este texto apresenta aspectos básicos sobre controle e acionamentos de 
máquinas e aplicações. Tem como foco principal a análise dos princípios que 
fundamentam o funcionamento das máquinas elétricas nas diversas condições de 
operação, seus acionamentos e controles, assim como suas aplicações mais básicas. 
Os assuntos ampliam os conhecimentos já adquiridos na disciplina de 
Máquinas Elétricas e servem de suporte a estudos mais avançados sobre o controle, 
os acionamentos e as aplicações mais complexas das máquinas. Eles estão também 
relacionados mais diretamente com outras disciplinas, principalmente as relativas a 
sistemas elétricos de potência e sistemas industriais. 
São vistos os conhecimentos essenciais à análise das aplicações e 
acionamentos das máquinas elétricas rotativas de corrente alternada e de corrente 
contínua, sejam geradores ou motores, em condições de regimes permanente, 
dinâmico e transitório. 
Trata-se, portanto, de um texto básico orientativo para os alunos da disciplina 
Aplicação e Acionamentos de Máquinas, que deve ser complementado com 
resoluções de exercícios, consultas às referências indicadas, discussões em sala de 
aula e elaboração de trabalhos práticos. 
Esta apostila foi preparada no primeiro semestre de 2016, tendo sido revisada 
e concluída em setembro de 2016. 
 
 
Prof. Luiz Bizerra de Aguiar 
Setembro de 2016 
 
 
 
 
 
 
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INDICE 
 
1. INTRODUÇÃO GERAL..........................................................................3 
2. CONTROLE DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS.......................................31 
3. TRANSITÓRIOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS SÍNCRONAS........42 
4. TRANSITÓRIOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS DE INDUÇÃO.......62 
5. CONTROLE DAS MÁQUINAS DE CORRENTE CONTÍNUA...........86 
6. ACIONAMENTOS E APLICAÇÔES GERAIS.....................................97 
REFERÊNCIAS.............................................................................................106 
 
 
3 
 
 
1 - INTRODUÇÃO GERAL 
Nesta introdução é apresentada resumidamente uma revisão de alguns 
aspectos das máquinas elétricas rotativas com vistas, principalmente, à utilização nos 
controles, acionamentos e suas aplicações. Pressupõe-se conhecidos os assuntos 
mais básicos e gerais das máquinas elétricas e suas características de operação em 
regime permanente 
Em seguida, são apresentados os estudos específicos sobre os controles, 
acionamentos e aplicações de cada tipo de máquinas, geradores ou motores, de 
corrente alternada e de corrente contínua, em regime permanente e sob condições 
dinâmicas e transitórias. 
1.1 - CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES 
As máquinas elétricas rotativas podem ser de corrente alternada (CA) e de 
corrente contínua (CC), em função da tensão principal utilizada ser alternada ou 
contínua, sendo geradores ou motores, em função do tipo da conversão de energia 
processada. 
Nos geradores de corrente alternada a tensão obtida, ou principal, é alternada, 
e nos geradores de corrente contínua a tensão obtida é contínua. Nos motores de 
corrente alternada a tensão aplicada, ou principal, é alternada e nos motores de 
corrente contínua a tensão aplicada é contínua. 
As máquinas de corrente alternada podem ser síncronas e assíncronas, 
geradores ou motores. As máquinas síncronas são as que apresentam uma relação 
direta e fixa entre a velocidade de rotação e a frequência da tensão principal, há 
sincronismo entre a rotação do rotor e a frequência da tensão. As máquinas 
assíncronas, ou de indução, apresentam uma relação direta, não fixa, entre a 
velocidade de rotação e a frequência da tensão, e apresenta um escorregamento, 
resultando em velocidades de rotação diferentes da síncrona. 
As máquinas de corrente alternada são trifásicas, em geral, mas podem ser 
monofásicas, tetrafásicas ou hexafásicas, em função do número de fases da tensão 
principal, gerada nos geradores ou aplicada nos motores. 
Todas as máquinas elétricas rotativas possuem polos, localizados no estator 
ou no rotor, para melhor orientar os campos magnéticos, configurados de formas 
4 
 
diferenciadas dependendo do tipo de máquina. O torque e a velocidade de rotação 
das máquinas dependem do número de polos. Os enrolamentos estão localizados no 
rotor e no estator, normalmente em volta dos polos, ficando em ranhuras ou sulcos, 
de forma concentrada ou distribuída. 
Os diferentes tipos de máquinas dependem da excitação do enrolamento do 
campo, através da aplicação de uma corrente, geralmente de corrente contínua, 
produzindo um campo primário, na parte fixa (estator), ou na parte móvel (rotor) e 
apresentam funções distintas dependendo se é gerador ou motor. 
Nos geradores as tensões são geradas nos enrolamentos, ou bobinas, por 
rotação mecânica do rotor e alterações do campo magnético dos enrolamentos, ou 
por concepção do circuito magnético em que a relutância varie com a rotação do rotor. 
Nos geradores dos sistemas de energia a excitação, na parte rotativa, a formação dos 
campos magnéticos estabelece a geração de energia elétrica, no estator, e promovem 
o controle da tensão do sistema. Nos motores os movimentos são resultantes das 
alterações dos campos nos enrolamentos pela aplicação das tensões e correntes. 
Os fluxos concatenados das bobinas são alterados ciclicamente com a tensão 
variável no tempo, a tensão principal ou ativa, aplicada ou gerada. A armadura é a 
parte da máquina onde está a tensão principal e a excitação é onde fica a corrente no 
circuito que produz o campo primário da máquina, ou indutor. Geralmente nas 
máquinas de corrente alternada a armadura fica no estator e a excitação no rotor, e 
nas de corrente contínua a armadura fica no rotor e a excitação no estator. 
Nos geradores o movimento de rotação do rotor provoca o aparecimento de 
uma força eletromotriz (fem), a tensão gerada ou induzida, determinadas a partir dos 
campos magnéticos variáveis, pela lei de Faraday sobre a variação do fluxo 
concatenado com o tempo. A geração de energia resulta da variação do fluxo 
concatenado com a rotação e nos motores a aplicação da tensão provoca a rotação 
do rotor, em decorrência dos torques resultantes dos fluxos, no estator e no rotor. 
A excitação normalmente é externa à máquina e alimenta os circuitos em 
determinados contatos através de escovas ou aneis. A fonte para essa excitação é a 
excitatriz. A tensão ou corrente aplicadas nos enrolamentos, do estator ou do rotor, 
produz o campo magnético primário que interage nos movimentos com os outros 
campos secundários ou de reação. 
5 
 
Nas máquinas de corrente alternada a excitação fica no rotor, no caso de ser 
síncrona, seja gerador ou motor. Sendo máquina de indução não há excitação própria 
no rotor para produzir campo primário; o campo no rotor é estabelecido pela corrente 
induzida no seu enrolamento curtocircuitado. A excitação nas máquinas de corrente 
contínua fica no estator 
As bobinas individuais da armadura são conectadas entre si de forma a manter 
o campo magnético com mesmo número de polos do enrolamento do campo. Com 
enrolamentos distribuídos obtem-se uma forma de onda mais uniforme para a força 
magnetomotriz, com uma melhor aproximação da forma de onda senoidal. 
Algumas máquinas rotativas têm os enrolamentos na armadura de forma 
concentrada em número reduzido de ranhuras ou sulcos. No entanto, a maioria delasapresenta os enrolamentos distribuídos por diversas ranhuras ao longo do entreferro, 
para resultar em melhores formas de ondas de forças magnetomotrizes, densidades 
de fluxos e tensões. 
Nas máquinas síncronas o enrolamento do rotor é excitado com corrente 
contínua na sua parte estacionária, através de contatos rotativos. Nas máquinas 
assíncronas o enrolamento do rotor é curtocircuitado e se a tensão é aplicada no 
enrolamento do estator, e com o movimento do rotor em relação ao estator resulta 
uma corrente induzida no rotor. Nos geradores síncronos, com a rotação do rotor as 
tensões são induzidas no enrolamento do estator para fornecer corrente às cargas. 
Nos motores síncronos a tensão é aplicada nos enrolamentos do estator e produz a 
rotação do rotor para acionar cargas mecânicas. 
Nas máquinas assíncronas ou de indução o enrolamento do estator é 
alimentado com corrente alternada, não havendo campo primário ou excitação no 
rotor. No enrolamento do rotor curtocircuitado a corrente é produzida por indução, de 
forma semelhante ao que acontece nos transformadores. Em geral, têm-se motores 
de indução, que recebem tensão no estator e produz a rotação do rotor. Mas têm-se 
também geradores de indução, em que o rotor pode ser acelerado para a obtenção 
de tensão no estator, a exemplo dos utilizados nas usinas eólicas. 
Nas máquinas de indução não há sincronismo entre a rotação e a frequência 
da tensão, embora haja sincronismo entre os fluxos magnéticos do estator e do rotor. 
Há um escorregamento que faz o motor girar abaixo da velocidade sincrona e o 
gerador acima dessa velocidade. O comportamento em regime permanente fica 
6 
 
representado por sua curva característica, expressando o torque ou conjugado em 
função da velocidade em percentagem da velocidade síncrona. 
As máquinas de indução são semelhantes às máquinas síncronas, porém sem 
excitação ou campo primário, com o enrolamento do rotor curtocircuitado. São 
construídas para se obter campos magnéticos girantes, tal que o campo rotativo induz 
tensão de frequência do estator e de frequência de escorregamento nos enrolamentos 
do rotor. Visto do estator, as variáveis são alteradas com a frequência do estator. A 
fmm do rotor reage sobre os enrolamentos do estator da mesma maneira como o 
secundário em um transformador reage no primário. 
No gerador de corrente contínua o enrolamento do estator, campo ou indutor, 
é excitado por uma fonte de corrente contínua e no eixo do rotor impõe-se um torque 
mecânico. No enrolamento do rotor, armadura ou induzido, na interação com o campo 
é induzida uma tensão alternada, aproximadamente senoidal. Por meio de retificação 
mecânica através do comutador essa tensão é transformada em aproximadamente 
contínua. Com processos de retificação adicionais, através de eletrônica de potência, 
obtem-se tensão contínua. Através de contatos com escovas de carvão, a corrente no 
gerador sai da armadura e no motor entra na armadura. 
Praticamente não há diferença significativa entre um motor e um gerador de 
corrente contínua, podendo a máquina ser usada de uma forma ou de outra, 
dependendo do que nela seja aplicada, a energia mecânica ou a energia elétrica. O 
motor e o gerador de corrente contínua apresentam operações de forma inversa, 
podendo ser a mesma máquina usada com a função de gerador ou de motor. 
Nos polos de comutação ficam os enrolamentos de comutação, que tem como 
função diminuir o faiscamento no anel comutador. Em algumas tipos de máquinas é 
possível encontrar enrolamentos de compensação, ou enrolamentos compensadores, 
que tem como função compensar o efeito desmagnetizante da reação de armadura. 
A quase totalidade da energia elétrica é produzida e utilizada sob a forma de 
tensão ou corrente alternada prevalecendo, então, a geração de corrente alternada. 
A geração de corrente contínua tem sido muita rara, e somente em casos bem 
específicos ela pode ser justificada, mesmo assim de pequeno porte. A dificuldade 
para o uso dos motores de corrente contínua está relacionada com a grande 
disponibilidade da corrente alternada pelos sistemas de energia e a necessidade da 
conversão da CA para a CC, o que se reflete nos custos desses motores CC. 
7 
 
No gerador CC a energia mecânica é suprida pela aplicação de um torque e da 
rotação do eixo da máquina, uma fonte de energia mecânica que pode ser, por 
exemplo, uma turbina hidráulica, uma turbina eólica, turbina térmica, dentre outras 
formas. Nos motores, o funcionamento é praticamente de modo inverso: a energia 
elétrica é fornecida à armadura pela aplicação de tensão elétrica em seus terminais 
pelo anel comutador (coletor), fazendo com que circule uma corrente elétrica nesse 
enrolamento que produz um campo magnético no enrolamento da armadura. 
A orientação do campo, através da posição dos polos norte e sul, permanece 
fixa, e simultaneamente tem-se uma tensão elétrica aplicada no enrolamento de 
campo no estator. A interação entre os campos magnéticos da armadura no rotor e 
do campo no estator apresentam a tendência de se alinhar. Estando os campos não 
alinhados, surge um binário que produz um torque no eixo, fazendo-o girar. O eixo 
gira o anel comutador, que muda o sentido de aplicação da tensão, fazendo a corrente 
circular no sentido contrário, mudando o sentido do campo produzido. 
Os motores de corrente contínua apresentam uma série de propriedades ou 
características em seu funcionamento que ainda justificam suas aplicações, mesmo 
diante das aplicações mais generalizadas das de correnta alternada. São ainda muito 
utilizados em grande variedade de atividades, principalmente nas indústrias. 
Atualmente, no entanto, motores assíncronos podem ser controlados facilmente 
usando componentes eletrônicos de tensão alternada, com menor custo e recursos 
de aplicação, e estão substituindo os motores CC na maior parte das aplicações. 
Entretanto, alguns aspectos relacionados com versatilidade e flexibilidade no uso, 
como facilidade de controle e amplas faixas de velocidade, justificam seu emprego. 
Nas máquinas de corrente contínua tem-se os seguintes tipos de excitação, 
dependo do projeto: excitação separada, excitação shunt ou derivação, excitação 
série e excitação mista ou composta. Cada um desses tipos tem aplicações 
específicas, com vantagens e desvantagens, comparando-se uns com os outros. 
As máquinas elétricas, de corrente alternada ou de corrente contínua, são 
dispositivos ou equipamentos reversíveis, ou seja, a mesma máquina pode funcionar 
basicamente como gerador ou como motor, em função das entradas aplicadas e 
saídas resultantes. As diferenças entre os geradores e os motores dependem dos 
detalhes específicos dos projetos. No entanto, em muitas situações a reversibilidade 
não faz sentido, notadamente quando se trata de grandes geradores de energia 
8 
 
elétrica que só podem funcionar efetivamente como geradores. 
Em geral, o estator é composto de chapas finas de aço magnético tratadas 
termicamente, ou aço silício, para reduzir as perdas por correntes parasitas e 
histerese. Tem formato em anel com ranhuras internas para alojar os enrolamentos, 
que cria um campo magnético no estator. O rotor é também composto de chapas finas 
de aço magnético, tratadas termicamente, com o formato também de anel. Os 
enrolamentos são alojados longitudinalmente 
1.2 - RELAÇÕES BÁSICAS 
O funcionamento de todas as máquinas elétricas é baseado nas ações de dois 
campos magnéticos, no rotor e no estator, colocados em posições convenientes. Um 
condutor dentro do campo magnético resultante, sendo percorrido por uma corrente, 
sofre a ação do campo produzindo movimento, e vice versa.. 
As relaçõesentre as variáveis elétricas, mecânicas e magnéticas nas máquinas 
elétricas, embora sejam bastante complexas, podem ser apresentadas sob formas 
simplificadas, muito simples, o que facilita o estudo dessas máquinas. 
Normalmente são utilizadas as seguintes unidades básicas: 
- Elétricas: tensão v ou e (também V ou E) – Volt (V) e corrente i (também I) - 
Ampère (A); 
- Mecânicas: velocidade u – metro por segundo (m/s) ou velocidade angular ω 
– radiano por segundo (rad/s) e força f - Newton (N) ou torque T = f.r – Newton. metro 
(N.m); 
- Magnéticas: força magnetomotriz F – Ampère.espira (A.e) e fluxo magnético 
ϕ - Weber (Wb); ou ainda intensidade do campo magnético H – Ampére.espira/metro 
(A.e/m) e indução magnética (densidade de fluxo magnético) B – Weber/m2 (Wb/m2). 
Considerando um condutor de comprimento L (m), dentro de um campo 
magnético de indução B, sendo percorrido por uma corrente elétrica i, ele tende a se 
deslocar sob a ação de uma força f, que se origina da reação entre os campos B e o 
produzido pela corrente i, ou por um torque T, se colocado de forma a poder girar com 
um raio r (m). Dessa forma, resulta também a presença de uma tensão no circuito do 
condutor em função do movimento. 
Admitindo-se que o campo magnético de indução B é perpendicular ao 
9 
 
condutor L, a força f e o torque T, resultantes da passagem da corrente i, são 
determinados de maneira simples pelas expressões: 
𝑓 = 𝐵𝐿𝑖 𝑇 = 𝐵𝐿𝑟𝑖 
Inversamente, a corrente pode ser determinada pela ação da força ou do torque 
através dessas mesmas expressões. 
Por outro lado, aplicando-se uma força ou um torque no condutor dentro do 
campo magnético, produzindo uma velocidade u ou velocidade angular ω nesse 
condutor, tem-se a tensão induzida e, dada pelas expressões simples: 
𝑒 = 𝐵𝐿𝑢 𝑒 = 𝐵𝐿𝑟𝜔 
Inversamente, a velocidade e a velocidade angular podem ser determinadas a 
partir da tensão aplicada através dessas expressões. 
Das expressões que relacionam forças ou torques com a corrente e a tensão 
com velocidade ou velocidade angular resultam em relações de proporcionalidade 
entre as variáveis elétricas e mecânicas. Tem-se para os torques: 
𝑇
𝑖
=
𝑒
𝜔
 𝑒𝑖 = 𝑇𝜔 
Essas expressões indicam a proporcionalidade direta entre torques e correntes 
com tensões e velocidades angulares, assim como a igualdade entre as potências 
elétricas e mecânicas. 
Na conversão rotacional a determinação do torque no campo magnético de um 
sistema de excitação única Tc, assim como da energia, pode ser feita a partir da 
corrente i e do fluxo concatenado λ, para uma variação no ângulo de rotação θ, através 
da expressão da variação da energia no campo magnético Wc: 
Daí resulta para a energia Wc e o torque Tc que: 
 𝑊𝑐 =
𝜆2
2𝐿(𝜃)
 𝑇𝑐 = −
𝜕
𝜕𝜃
(
𝜆2
2𝐿(𝜃)
) =
𝜆2
2𝐿2(𝜃)
𝑑𝐿(𝜃)
𝑑𝜃
 
Ou seja, o torque no campo magnético é diretamente proporcional ao quadrado 
do fluxo concatenado λ, à derivada da indutância L(θ) em relação a θ dividida por 2, e 
inversamente proporcional ao quadrado da indutância. A energia é diretamente 
proporcional ao quadrado do fluxo concatenado e à indutância, dividida por 2. 
10 
 
As máquinas de corrente alternada apresentam uma relação direta entre a 
frequência da tensão elétrica e a sua velocidade de rotação. As máquinas síncronas 
possuem uma velocidade de rotação fixa, que está relacionada, de uma forma rígida 
com a frequência. Nas máquinas assíncronas essa relação não é fixa. 
Para as máquinas síncronas os ângulos mecânico θa e elétrico θae, assim como 
a frequência elétrica fe em hertz (Hz), ou ωe em radiano por segundo (rad/s), e a 
rotação mecânica n em rotações por minuto (rpm), ou ωm em rad/s, estão relacionados 
com o número de polos p através das expressões: 
𝜃𝑎𝑒 = (
𝑝
2
)𝜃𝑎 𝑓𝑒 = (
𝑝
2
)
𝑛
60
 𝜔𝑒 = (
𝑝
2
)𝜔𝑚 
Assim, sendo fe = f a frequência em hertz (Hz), n a velocidade angular, em rpm 
e p o número de polos da máquina, tem-se: 
𝑓 =
𝑝
120
𝑛 ou 𝑛 =
120
𝑝
𝑓 
Como o número de polos p é constante para uma determinada máquina 
síncrona, verifica-se que a velocidade de rotação n determina a frequência f da tensão 
de alimentação, e vice-versa, havendo, portanto, sincronismo entre a rotação síncrona 
(n = ns) e a frequência da tensão (f = fe= fs). 
Nas máquinas assíncronas, ou de indução, a rotação apresenta um 
escorregamento, e a máquina gira a uma velocidade abaixo da síncrona, se for motor, 
ou acima da síncrona no caso de ser gerador. O escorregamento s é expresso, a partir 
da rotação da máquina n e da rotação síncrona ns como referência, em rotações por 
minuto (rpm), da seguinte forma: 
𝑠 =
𝑛𝑠 − 𝑛
𝑛𝑠
 
Daí resultam, em termos do escorregamento s, as expressões da rotação do 
motor n em função da rotação síncrona ns, assim como da frequência mecânica ωm 
em função da frequência síncrona ωs, em rad/seg, e da frequência fm em função da 
frequência síncrona fs: 
𝑛 = (1 − 𝑠)𝑛𝑠 𝜔𝑚 = (1 − 𝑠)𝜔𝑠 𝜔𝑚 = (1 − 𝑠)𝜔𝑠 
Sendo a frequência da tensão aplicada, em Hz, e ωs =2πfe, tem-se para a 
frequência da tensão no rotor fr, relativa à frequência da tensão do estator: 
11 
 
𝑓𝑟 = 𝑠𝑓𝑒 
Isto indica que a frequência da tensão induzida no rotor relativa à frequência da 
tensão do estator é o produto do escorregamento pela frequência da tensão aplicada. 
1.3 - TORQUES E TENSÔES NAS MÁQUINAS CA 
Os diversos tipos de máquinas de corrente alternada, síncronas e de indução, 
têm geralmente enrolamentos distribuídos e, dessa forma, são analisados através das 
forças magnetomotrizes, densidade de fluxo e tensões aplicadas ou induzidas. 
As máquinas de corrente alternada, síncronas e assíncronas, funcionam tendo 
como base o campo girante, que surge quando um sistema de correntes alternadas 
trifásico é aplicado, ou gerado, em polos defasados fisicamente de 120º. As correntes 
são defasadas 120º elétricos e, em cada instante, um par de polos possui o campo 
de maior intensidade, cuja associação vetorial possui o mesmo efeito de um campo 
que gira ao longo do perímetro do estator, variavel no tempo. 
Nos motores de indução e síncronos trifásicos o estator apresenta basicamente 
a mesma forma construtiva. Os enrolamentos do estator são alojados em sulcos ou 
ranhuras existentes na periferia do núcleo de ferro laminado, sendo alimentados por 
fonte trifásica, e os dos rotores apresentam formas diferentes, pois no síncrono há 
excitação e no de indução são curtocircuitados. Os campos magnéticos no rotor e 
estator, indutores ou induzidos, apresentam um campo resultante, que varia com o 
giro do rotor sendo, que é o campo girante. 
Nas máquinas de corrente alternada a força magnetomotriz produzida no 
entreferro por uma bobina é uma função periódica de forma retangular, com valores 
positivos e negativos, e para o conjunto de bobina resulta numa forma de onda em 
escada aproximando-se da senoidal. O desenvolvimento em série de Fourier dessas 
funções periódicas apresenta componentes senoidais espaciais, com grande 
predominância da componente fundamental. 
A expressão da componente fundamental da onda da força magnetomotriz Fg1, 
em termos da corrente i no enrolamento, do número de espiras desse enrolamento N 
e do ângulo θa da fase a em relação ao eixo magnético da bobina do estator, é dada 
por: 
𝐹𝑔1 =
4
𝜋
(
𝑁𝑖
2
) 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎 
12 
 
Tendo a máquina p polos e Nf espiras por fase em série, com a corrente por 
fase ia, a expressãodessa componente Fg1 pode ser dada pela seguinte forma: 
𝐹𝑔1 =
4
𝜋
(
𝑘𝑒𝑁𝑓
𝑝
)𝑖𝑎𝑐𝑜𝑠(
𝑝
2
𝜃𝑎) 
O valor ke é um fator de enrolamento, compreendido normalmente entre 0,85 e 
0,95 para enrolamentos trifásicos, dependendo da distribuição dos enrolamentos 
considerado no projeto da máquina, e keNf é o número efetivo de espiras por fase. 
Considerando que a máquina possua p polos, Nr espiras no rotor, corrente no 
rotor Ir, fator de enrolamento kr e θr o ângulo espacial em relação ao eixo magnético 
do rotor, a expressão da componente fundamental da força magnetomotriz Fg1 no 
entreferro pode ser obtida a partir dos dados relativos ao rotor, que resulta em: 
𝐹𝑔1 =
4
𝜋
(
𝑘𝑟𝑁𝑟
𝑝
)𝐼𝑟𝑐𝑜𝑠(
𝑝
2
𝜃𝑟) 
Para máquinas CA com entreferro uniforme, de comprimento g, número de 
espíras em série do campo Nf, fator de enrolamento do campo kf, corrente do campo 
If e número de polos p, o valor de pico da densidade de fluxo magnético BM é: 
𝐵𝑀 =
4𝜇0
𝜋𝑔
(
𝑘𝑓𝑁𝑓
𝑝
)𝐼𝑓 
O fluxo de entreferro por polo ϕp pode ser determinado através da integral da 
densidade do fluxo sobre a área do polo. Sendo θr o ângulo em relação ao eixo 
magnético do rotor, r o raio até o entreferro e l o comprimento axial do ferro do 
estator/rotor, encontra-se o seguinte valor para ϕp: 
𝜙𝑝 =
2
𝑝
2𝑙𝑟𝐵𝑀 
O fluxo concatenado λa correspondente, considerando as frequências 
mecânica ωm e elétrica ωe, é dado pelas expressões: 
𝜆𝑎 = 𝑘𝑓𝑁𝑓𝜙𝑝cos (
𝑝
2
𝜔𝑚𝑡) = 𝑘𝑓𝑁𝑓𝜙𝑝cos(𝜔𝑒t) 
A tensão induzida na armadura ea, por fase, é: 
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𝑒𝑎 =
𝑑𝜆𝑎
𝑑𝑡
= 𝑘𝑓𝑁𝑓
𝑑𝜙𝑝
𝑑𝑡 𝑝
cos(𝜔𝑒t) − 𝜔𝑚𝑒𝑘𝑓𝑁𝑓𝜙𝑝sen(𝜔𝑒t) 
Para um fluxo ϕp constante, tem-se: 
𝑒𝑎 = − 𝜔𝑒𝑘𝑓𝑁𝑓𝜙𝑝sen(𝜔𝑚𝑒t) 
Em regime permanente, com valores eficazes de correntes e tensões, tem-se 
para a tensão induzida Eef: 
𝐸𝑒𝑓 =
2𝜋
√2
 𝑓𝑒𝑘𝑓𝑁𝑓𝜙𝑝 = 4,44𝑓𝑒𝑘𝑓𝑁𝑓𝜙𝑝 
Verifica-se, portanto, que a tensão induzida eficaz Eef é diretamente 
proporcional à frequência fe, ao fluxo de entreferro por polo ϕp, ao número de espíras 
em série do campo Nf e ao fator de enrolamento do campo kf. De outra forma, com 
2πfe = ωe, NfΦp = LafIf e kf = 1, tem-se a seguinte expressão para a tensão gerada: 
𝐸𝑎𝑓 =
𝜔𝑒𝐿𝑎𝑓𝐼𝑓
√2
 
Assim, a tensão gerada é expressa em termos proporcionais à frequência ωe, à 
indutância e Laf e à corrente If. 
Os conjugados ou torques nas máquinas rotativas dependem basicamente das 
correntes envolvidas no estator e no rotor. O torque T é determinado a partir da 
derivada da coenergia, resultando na seguinte forma: 
𝑇 =
𝜕𝑊′
𝜕𝜃𝑚
= −
𝑝
2
𝐿𝑠𝑟𝑖𝑠𝑖𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑚𝑒 
O torque, portanto, varia diretamente com as correntes do estator is e rotor ir, 
da indutância mútua entre o estator e rotor Lsr, o número de polos p e o seno do ângulo 
elétrico θr do rotor. O sinal negativo (-) indica que o conjugado atua no sentido do 
alinhamento dos campos magnéticos do estator e rotor. 
Pode-se determinar também o conjugado ou torque T utilizando-se dos campos 
magnéticos através do fluxo magnético por polo ϕp, da força magnetomotriz F, da 
indução ou densidade do fluxo magnético B e das dimensões do entreferro. Em 
consequência, sendo Bsr a densidade do fluxo resultante no entreferro, Fr o valor 
máximo da onda de força magnetomotriz do rotor, δr o ângulo do eixo da onda de 
14 
 
FMM do rotor em relação à resultante, D o diâmetro médio do entreferro e l seu 
comprimento axial, resulta para o torque T a seguinte expressão: 
𝑇 = −(
𝑝
2
)(
𝜇0𝜋𝐷𝑙
2
)𝐵𝑠𝑟𝐹𝑟𝑠𝑒𝑛𝛿𝑟 
De forma semelhante o torque pode ser determinado em termos das variáveis 
referidas ao estator Fs e δs. O valor máximo de FrM é encontrado para δr = -π/2, com a 
corrente máxima IrM, a partir da expressão: 
𝐹𝑟𝑀 = 𝐹𝑟 =
4
𝜋
(
𝑘𝑟𝑁𝑟
𝑝
)𝐼𝑟𝑀 
Pode-se obter, também, o seguinte resultado para o torque: 
𝑇 = −
𝜋
2
(
𝑝
2
)2𝜙𝑠𝑟𝐹𝑟𝑠𝑒𝑛𝛿𝑟 
Nessa expressão ϕsr é o fluxo resultante por polo do efeito combinado das 
forças magnetomotrizes do estator e do rotor, Fr é o valor máximo da onda de força 
magnetomotriz do rotor e δr é o ângulo do eixo da onda de FMM do rotor em relação 
à resultante. Também, de forma semelhante, pode-se obter o torque com as variáveis 
referidas ao estator Fs e δs. 
De outra forma, pode ser dada ainda pela seguinte expressão, em módulo: 
𝑇 =
𝜋
2
(
𝑝
2
)2𝜙𝑅𝐹𝑓𝑠𝑒𝑛𝛿𝑅𝐹 
Sendo dados ou conhecidos os valores de p, ϕR e Ff, o torque máximo TM fica 
determinado por: 
𝑇𝑀 =
𝜋
2
(
𝑝
2
)2𝜙𝑅𝐹𝑓 
Máquinas Síncronas 
Particularizando para as máquinas síncronas, o torque T pode ser representado 
pela expressão: 
𝑇 = 𝑇𝑀𝑠𝑒𝑛𝛿𝑅𝐹 
Sendo representada graficamente, essa expressão, que é uma senoide, 
corresponde à característica conjugado x ângulo (ou torque x ângulo) para as 
máquinas síncronas. Para o ângulo δRF = 900 tem-se o valor máximo para o torque. 
15 
 
Até esse ponto a operação da máquina é estável e além dele o funcionamento passa 
a ser instável. 
A curva torque x ângulo indica no lado direito a característica correspondente 
ao gerador síncrono e do lado esquerdo correspondente ao motor síncrono. Na 
velocidade ω a potência eletromecânica é P = Tω e a característica potência x ângulo 
é da mesma forma. 
Considerando que na máquina síncrona a tensão gerada é Eaf, a tensão 
terminal é Vt e a reatância é a reatância síncrona Xs e δ o ângulo de carga, a potência 
transferida da geração para o terminal é: 
𝑃 =
𝐸𝑎𝑓𝑉𝑡
𝑋𝑠
sen 𝛿 𝑃𝑀 =
𝐸𝑎𝑓𝑉𝑡
𝑋𝑠
 
Essas expressões em potência são da mesma forma que as expressões do 
torque e indicam a característica potência x ângulo de carga. A Figura 1.1 mostra a 
curva característica conjugado x ângulo, como também a característica potência x 
ângulo. A parte do lado direito corresponde à operação da máquina como gerador e 
do lado esquerdo como motor. 
 
Figura 1.1 - Característica conjugado x ângulo ou potência x ângulo 
Considerando o caso das máquinas de polos salientes, pode-se encontrar o 
seguinte resultado para a potência P em termos das tensões gerada Eaf e terminal Vt, 
das reatâncias de eixo direto Xd e em quadratura Xq e do ângulo de carga δ: 
𝑃 =
𝐸𝑎𝑓𝑉𝑡
𝑋𝑑
𝑠𝑒𝑛𝛿 +
𝑉𝑡
2(𝑋𝑑 − 𝑋𝑞)
2𝑋𝑑𝑋𝑞
𝑠𝑒𝑛2𝛿 
16 
 
Essa expressão da potência ativa P define a característica potência x ângulo 
de carga da máquina síncrona de polos salientes, conforme mostra a Figura 1.2. 
 
Figura 1.2 - Característica potência x ângulo de carga da máquina de polos salientes 
Observa-se que essa característica apresenta duas componentes, uma 
correspondente à máquina de polos lisos e a outra sendo uma componente de 
frequência dupla do ângulo de carga. 
Na operação do gerador síncrono, também chamado de alternador, a energia 
mecânica é fornecida à máquina pela aplicação de torque para rotação do seu eixo. 
A fonte de energia mecânica pode ser, por exemplo, de origem hidráulica, a gás, a 
vapor, nuclear etc. Os geradores síncronos são utilizados na grande maioria das 
centrais hidroeléctricas e termoelétricas e funcionam em sincronismo entre si. 
No gerador síncrono o campo magnético produzido no rotor tem um movimento 
relativo ao campo que aparece nos condutores dos enrolamentos do estator. A tensão 
nos terminais do gerador apresenta uma frequência relacionada diretamente com a 
velocidade de rotação do rotor e intoduz a energia no sistema. 
O motor síncrono conectado à rede elétrica com determinada frequência, esta 
estabelece a velocidade do rotor da máquina. Os motoressíncronos têm aplicações 
em indústrias de grande porte, em processos que requerem acionamentos com 
velocidade praticamente constante, como também nos casos em que há necessidade 
de compensação de reativos e de controle de tensão. 
17 
 
Os compensadores síncronos são máquinas síncronas intermediárias entre os 
motores síncronos e os geradores síncronos. Como motor não aciona carga 
mecânica, isto é, mecanicamente opera em vazio. Como gerador não fornece potência 
ativa, isto é, eletricamente a geração ativa é nula. 
Um compensador síncrono é um equipamento utilizado em sistemas elétricos 
de potência com a função básica de estabelecer controle da tensão terminal com 
dispositivos dinâmicos, através do sistema de excitação e, dessa forma, fornecer 
potência reativa ao sistema elétrico ao qual está conectado. 
A Figura 1.3 mostra a característica da máquina síncrona a vazio, ou relação 
entre tensão terminal na armadura Vt e corrente de campo If, com e sem saturação. 
 
Figura 1.3 – Característica a vazio da máquina síncrona 
A Figura 1.4 mostra a característica de curto circuito da máquina síncrona, isto 
é, conectando as três fases em um mesmo ponto, que relaciona a corrente de 
armadura de curto circuito ia em função da corrente de excitação do campo If. 
 
Figura 1.4 – Característica de curto circuito da máquina síncrona 
18 
 
A Figura 1.5 mostra uma forma característica composta de um gerador 
síncrono, apresentando curvas que relacionam a excitação do campo necessária para 
manter a tensão nominal no terminal em função da carga ou corrente de armadura. 
São consideradas cargas nas condições com fatores de potência: fp = 1,0, fp = 0,8 
indutivo e fp = 0,8 capacitivo, 
 
Figura 1.5 - Forma característica composta 
Máquinas de Indução 
O comportamentos das máquinas de indução é analisado através das correntes 
e fluxos envolvidos, dos conjugados e velocidades, das potências e da influência das 
resistências no rotor, nas condições de curto crcuito, em vazio e em carga. As 
correntes induzidas no rotor produzem uma onda de fluxo que gira em sincronismo 
com a onda de fluxo do estator e o binário de campos é produzido pela interação 
dessas ondas de fluxo. A velocidade no rotor é diferente da síncrona e com o aumento 
da carga no motor normalmente ela diminui, resultando em maior escorregamento e 
aumento das correntes induzidas no rotor e do torque. 
Nas aplicações do motor de indução o escorregamento em que ocorre o torque 
máximo pode ser controlado pela variação da resistência do rotor. Valores altos dessa 
resistência dá melhores condições de partida, mas o desempenho é fraco para valores 
baixos que pode resultar em condições de partida insatisfatórias. 
Os tipos básicos de motores de indução são: gaiola de esquilo e rotor bobinado. 
No tipo gaiola de esquilo o rotor é composto de barras de material condutor que se 
localizam em volta do conjunto de chapas do rotor, curtocircuitadas por anéis 
metálicos nas extremidades. No tipo rotor bobinado os enrolamentos do rotor são 
distribuídos em torno do conjunto de chapas do rotor, curtocircuitados. A tensão 
19 
 
induzida faz circular corrente pelo enrolamento do rotor produzindo fluxo magnético 
no rotor que tende a se alinhar com o campo girante do estator. 
No caso de rotor bobinado o valor das tensões induzidas no rotor depende da 
relação de espiras entre o estator (o primário) e o rotor (o secundário). Em geral os 
motores de rotor bobinado são maiores, mais caros e requerem mais manutenção. Os 
de gaiola são mais simples e podem operar com frequência praticamente constante. 
Através de controles adequados da frequência com inversores tem sido crescente a 
utilização desses motores com frequência variável. 
Algumas características relativas aos motores de indução são apresentadas 
através de curvas de conjugado x velocidade. A Figura 1.6 mostra a curva típica de 
conjugado x velocidade de um motor de indução operando com tensão aplicada e 
frequência constante. As formas dessas curvas dependem dos tipos de motores. 
 
Figura 1.6 - Curva típica de conjugado x velocidade 
De forma semelhante às máquinas síncronas, o torque ou conjugado no motor 
de indução pode ser determinado através da expressão: 
𝑇 = −
𝜋
2
(
𝑝
2
)2𝜙𝑠𝑟𝐹𝑟𝑠𝑒𝑛𝛿𝑟 
Pode-se observar por essa expressão que o conjugado depende do fluxo 
resultante por polo ϕsr, resultante do efeito combinado das forças magnetomotrizes do 
estator e do rotor, do valor máximo da onda de força magnetomotriz do rotor Fr e do 
ângulo δr do eixo da onda de FMM do rotor em relação à resultante. O sinal negativo 
20 
 
(-) significa qse a corrente induzida de rotor circula em sentido de desmagnetizar a 
fluxo do entreferro produzido pela corrente do estator. 
De outra forma, o torque pode ser expresso por: 
𝑇 = −𝐾𝐼𝑟𝑠𝑒𝑛𝛿𝑟 𝐾 = −
𝜋
2
(
𝑝
2
)2𝑁𝜙𝑠𝑟 
Assim, o torque fica dependendo diretamente da corrente do rotor ir e do ângulo 
δr. O valor de K é praticamente constante, sendo o fluxo ϕsr aproximadamente 
constante, com a tensão e a frequência constantes aplicadas no estator. 
O escorregamento em condições normais é pequeno, situando-se na faixa de 
2 a 10 % e, em correspondência, a rotação situa-se entre 98 % e 90 % da rotação 
síncrona. Normalmente o conjugado inicial, ou de partida, é maior que o conjugado 
nominal; nessa condição a rotação é n = 0 e o escorregamento s = 1. 
O conjugado cresce com a rotação até um valor máximo, da ordem do dobro 
do inicial, passando a decrescer em seguida na direção do conjugado e rotação 
nominais, conforme pode ser observado na própria Figura 1.6. 
As máquinas de indução podem ser analisadas através de circuitos 
equivalentes. Sendo V1 a tensão de fase no terminal do estator, E2 a tensão (força 
contra eletromotriz) gerada pelo fluxo do entreferro resultante, I1 a corrente no estator, 
R1 a resistência efetiva do estator e X1 a reatância de dispersão do estator, a equação 
da máquina de indução em estado permanente é dada pela equação: 
𝑽1 = 𝑬𝟐 + 𝑰𝟏𝒁𝟏 = 𝑬𝟐 + 𝑰𝟏(𝑅1 + 𝒋𝑋1) 
A corrente I1 no estator é decomposta na corrente de carga I2 do rotor e na 
corrente de excitação Iφ. Esta é decomposta na corrente de magnetização Im e na 
corrente de perdas no núcleo Ic, tendo-se em correspondência a reatância de 
magnetização Xm e a resistência de perdas no núcleo Rc, em paralelo, formando um 
ramo de derivação. A tensão E2s e corrente I2s no rotor dependem dos valores de saída 
do estator e do escorregamento s; o rotor apresenta uma resistência R2 e uma 
reatância X2, resultando sX2 na frequência de escorregamento. 
A Figura 1.7 mostra um circuito equivalente de um motor de indução, com 
indicações das resistências e reatâncias e as tensões e correntes envolvidas. À 
esquerda é o circuito equivalente do estator e à direita o circuito equivalente do rotor 
na frequência de escorregamento. 
21 
 
 
Figura 1.7 - Circuitos equivalentes de um motor de indução 
A impedância equivalente do secundário Z2s vista do primário, em função da 
tensão e corrente do rotor e da relação de espiras efetiva entre os enrolamentos do 
estator e do rotor Nef, é dada por: 
𝒁𝟐𝒔 =
𝑬𝟐𝒔
𝑰𝟐𝒔
= 𝑁𝑒𝑓
2 (
𝑬𝒓
𝑰𝒓
) = 𝑁𝑒𝑓
2 𝒁𝒓 
Por outro lado: 
𝒁𝟐𝒔 =
𝑬𝟐𝒔
𝑰𝟐𝒔
= 𝑅2 + 𝑗𝑠𝑋2 𝑰𝟐𝒔 = 𝑰𝟐 𝑬𝟐𝒔 = 𝒔𝑬𝟐 
Resulta em: 
𝑬𝟐𝒔
𝑰𝟐𝒔
=
𝒔𝑬𝟐
𝑰𝟐
= 𝒁𝟐𝒔 = 𝑅𝟐 + 𝑗𝑠𝑋2 𝒁𝟐 =
𝑬𝟐
𝑰𝟐
=
𝑅2
𝑠
+ 𝑗𝑋2 
A Figura 1.8 mostra o circuito equivalente de um motor de indução reunindo o 
estator o e o rotor. 
 
Figura1.8 - Circuito equivalente do motor de indução 
A Figura 1.9 mostra uma forma alternativa para o circuito equivalente do motor 
de indução. 
22 
 
 
Figura 1.9 - Forma alternativa do circuito equivalente do motor de indução 
Da análise do circuito equivalente podem ser determinadas as características 
do motor de indução, envolvendo as correntes, as velocidades, os conjugados, as 
potências e as perdas. 
Para o motor trifásico pode-se determinar, então, a potência gerada ou 
fornecida Pg transferida através do entreferro desde o estator, a potência de perda no 
estator Pe, as perdas totais do rotor Pr, dadas pelas expressões: 
𝑃𝑔 = 3𝐼2
2(
𝑅2
𝑠
) 
𝑃𝑒 = 3𝐼1
2𝑅1 
𝑃𝑟 = 3𝐼2𝑠
2 𝑅2 = 3𝐼2
2𝑅2 
Determinam-se tambem a potência de entrada Pent, e a potência 
eletromecânica (ou potência mecânica) Pm desenvolvida pelo motor: 
𝑃𝑒𝑛𝑡 = 𝑃𝑔 + 𝑃𝑒 
𝑃𝑚 = 𝑃𝑔 − 𝑃𝑟 = 3𝐼2
2 (
𝑅2
𝑠
) − 3𝐼2
2𝑅2 = 3𝐼2
2𝑅2 (
1 − 𝑠
𝑠
) 
Resulta também Pm e Pr como frações de Pg, respectivamente 1 - s e s: 
𝑃𝑚 = (1 − 𝑠)𝑃𝑔 𝑃𝑟 = 𝑠𝑃𝑔 =
𝑠
1−𝑠
𝑃𝑚 
Observa-se ainda a relação direta entre Pr e Pm: 
𝑃𝑟 =
𝑠
1 − 𝑠
𝑃𝑚 
O conjugado eletromecânico Tm corresponde à potência mecânica Pm,, sendo 
dado em termos da velocidade angular mecânica ωm ou da velocidade angular 
mecânica síncrona ωs por: 
23 
 
𝑃𝑚 = 𝜔𝑚𝑇𝑚 = (1 − 𝑠)𝜔𝑠𝑇𝑚 
Resulta para Tm: 
𝑇𝑚 =
𝑃𝑚
𝜔𝑚
=
𝑃𝑔
𝜔𝑠
=
3𝐼2
2
𝜔𝑠
(
𝑅2
𝑠
) =
𝑝
2
3𝐼2
2
𝜔𝑒
(
𝑅2
𝑠
) 
A potência e o conjugado no eixo do motor, Pe e Te, resultam das diferenças 
entre a potência e o conjugado mecânico, Pm e Tm, e as perdas mecânicas no rotor 
Prot (atrito, ventilação e demois perdas rotacionais) sendo, portanto: 
𝑃𝑒𝑖𝑥 = 𝑃𝑚 − 𝑃𝑟𝑜𝑡 
𝑇𝑒𝑖𝑥 = 𝑇𝑚 − 𝑇𝑟𝑜𝑡 
O rendimento do motor η é dado pela relação entre a potência de saída no eixo 
Peix e a potência de entrada no estator Pent (isto é, P1), Como aproximação, o 
rendimento do motor pode ser visto como a relação entre a potência mecânica Pm e a 
potência total fornecida pelo estator Pg, tendo-se: 
𝜂 =
𝑃𝑒𝑖𝑥
𝑃𝑒𝑛𝑡
 ou 𝜂 ≈
𝑃𝑚
𝑃𝑔
 
A resistência do ramo de magnetização, responsável pelas perdas no núcleo, 
é muito menor que a reatância de magnetização, isto é, Rc << Xm sendo usualmente 
desprezível. A Figura 1.10 mostra os circuitos equivalentes correspondentes aos 
apresentados nas Figuras 1.8 e 1.9, com a resistência de perdas no núcleo 
desprezível. 
 
Figura 1.10 - Circuitos equivalentes com resistência de perdas no núcleo desprezível 
A partir dos circuitos equivalentes mostrados pode-se determinar o equivalente 
de Thévenin, que é mais usado no estudo das características de conjugado e potência 
do motor de indução. 
24 
 
A tensão da fonte equivalente V1e do motor é a que aparece nos terminais em 
circuito aberto a impedância equivalente Z1e é vista do terminal com a fonte em curto 
circuito. Considerando a resistência do ramo de magnetização desprezível, a tensão 
V1e pode, então, ser determinada por: 
𝑉1𝑒 = 𝑉1(
𝑗𝑋𝑚
𝑅1+𝑗(𝑋1+𝑋𝑚)
) 
A impedância equivalente Z1e é o resultado de Z1 em paralelo com jXm, sendo: 
𝑍1𝑒 =
𝑗𝑋𝑚(𝑅1 + 𝑗𝑋1)
𝑅1 + 𝑗(𝑋1 + 𝑋𝑚)
 
A corrente é dada por: 
𝐼2 =
𝑉1𝑒
𝑍1𝑒 + 𝑗𝑋2 + 𝑅2/𝑠
 
Resulta para o torque mecânico ou conjugado Tm: 
𝑇𝑚 =
1
𝜔𝑠
[
3𝑉1𝑒
2 (𝑅2/𝑠)
(𝑅1𝑒 + 𝑅2/𝑠)2 + (𝑋1𝑒 + 𝑋2)2
] 
𝑇𝑚 =
𝑝
2𝜔𝑒
[
3𝑉1𝑒
2 (𝑅2/𝑠)
(𝑅1𝑒 + 𝑅2/𝑠)2 + (𝑋1𝑒 + 𝑋2)2
] 
As curvas características de conjugado x escorregamento daí resultantes são 
apresentadas na Figura 1.11, com indicação das regiões em que a máquina opera 
como motor e como gerador, como também a região de frenagem. 
 
Figura 1.11 - Curva de conjugado x escorregamento 
25 
 
Na característica pode-se verificar os pontos correspondentes ao conjugado de 
partida, conjugado máximo e conjugado nulo, cujos valores são determinados a partir 
das expressões do torque mecânico ou conjugado Tm e da corrente I2. Determinado-
es os valores do conjugado e da corrente para determinado valor do escorregamento 
s e fazendo-se s = 1 tem-se o conjugado de partida Tp e da corrente de partida I2p; 
verifica-se que com s = 0 o conjugado e a corrente são nulos. 
O conjugado máximo TM pode ser determinado derivando a expressão de Tm 
em relação a s e igualando a zero. Determina-se, então, o escorregamento s = sM e o 
correspondente valor TM. No entanto, pode-se observar do circuito equivalente e da 
expressão de Tm que o máximo TM ocorre em sM para o qual se tem: 
𝑅2
𝑠
= √𝑅1𝑒
2 + (𝑋1𝑒 + 𝑋2)2 
 𝑠 = 𝑠𝑀 =
𝑅2
√𝑅1𝑒
2+(𝑋1𝑒+𝑋2)2
 
Resulta para o conjugado eletromecânico máximo TM: 
𝑇𝑀 =
1
𝜔𝑠
[
1,5𝑉1𝑒
2
𝑅1𝑒 + √𝑅1𝑒
2 + (𝑋1𝑒 + 𝑋2)2
] =
𝑝
2𝜔𝑒
[
1,5𝑉1𝑒
2
𝑅1𝑒 + √𝑅1𝑒
2 + (𝑋1𝑒 + 𝑋2)2
] 
Ou também: 
𝑇𝑀 =
𝑝
𝜔𝑒
[
1,5𝑉1𝑒
2 (𝑅2/𝑠𝑀)
(𝑅1𝑒 + 𝑅2/𝑠𝑀)2 + (𝑋1𝑒 + 𝑋2)2
] 
Os motores de indução do tipo gaiola na operação em condições de frequência 
constante apresentam pouca variação de velocidade (da ordem de 10 % entre a 
condição de vazio a plena carga), sendo praticamente um motor de velocidade 
constante. No motor bobinado a velocidade depende da resistência do enrolamento 
do rotor, inclusive de resistência incluída no circuito externamente. 
A Figura 1.12 mostra características de conjugado eletromecânico x velocidade 
de um motor de indução com rotor bobinado, mostrando o efeito da variação da 
resistência do circuito do rotor. 
26 
 
 
Figura 1.12 – Conjugado x velocidade e efeito da resistência do circuito do rotor 
1.3 - TORQUES E TENSÕES NAS MÁQUINAS CC 
Uma máquina de corrente contínua serve, praticamente, para funcionar como 
gerador ou como motor, dependendo do que a ela seja aplicado, se torque ou tensão, 
respectivamente, mas a operação de ambos é, basicamente, de forma inversa. 
No gerador CC a energia mecânica é suprida pela aplicação de um torque e da 
rotação do eixo da máquina, uma fonte de energia mecânica Nos motores, o 
funcionamento é praticamente de modo inverso: a energia elétrica é fornecida à 
armadura pela aplicação de tensão elétrica em seus terminais pelo anel comutador 
(coletor), fazendo com que circule uma corrente elétrica nesse enrolamento que 
produz um campo magnético no enrolamento da armadura. 
Alguns aspectos relacionados com sua versatilidade, flexibilidade no uso e 
facilidade de controle em amplas faixas de velocidade nas aplicações, os motores de 
corrente contínua continuarão a ser bastante utilizados. Os controles são muito 
precisos para a obtenção da saída, em termos de velocidades e torques, há 
simplicidade dos acionamentos das cargas a elas acopladas e a presentam bons 
desempenhos em condições de regime permanente como nas operações dinâmicas. 
As principais características das máquinas de corrente contínua estão 
expressas através das curvas que relacionam as variáveis envolvidas: tensão, 
corrente, velocidade e conjugado. São basicamente as características tensão x 
corrente e velocidade x conjugado. Elas dependem fundamentalmente dos 
enrolamentos de campo, dos diversos tipos de excitação, conforme será visto adiante: 
independente, série, derivação e composto, ou suas combinações. 
27 
 
Considerando que Bsr é a densidade do fluxo resultante no entreferro, Fr é o 
valor máximo da onda de força magnetomotriz do rotor, δr é o ângulo do eixo da onda 
de FMM do rotor em relação à resultante, D é o diâmetro médio do entreferro e l seu 
compromentoaxial, a expressão do torque eletromecânico é: 
𝑇𝑚 = −(
𝑝
2
)(
𝜇0𝜋𝐷𝑙
2
)𝐵𝑠𝑟𝐹𝑟𝑠𝑒𝑛𝛿𝑟 
De outra forma, em termos das variáveis de eixo direto, com Fs = Fd e Bsr = Bd 
no estator, Fr = Fa1 no rotor e ϕd, pode-se escrever: 
𝐵𝑑 =
𝜇0
𝑔
𝐹𝑑 𝐹𝑑 =
𝑔𝑝
2𝜇0𝐷𝑙
𝛷𝑑 
Resulta que, com δr = 900: 
𝑇𝑚 =
𝜋
2
(
𝑝
2
)2𝛷𝑑𝐹𝑎𝑙 
Sendo o valor de pico da onda fundamental da FMM da armadura Fa1, expressa 
em termos do númeo total de condutores no entreferro de armadura Ca, do número 
de caminhos paralelos no enrolamento de armadura m e do número de polos p e da 
ia a corrente de armadura (em A), sendo dado por: 
𝐹𝑎1 = (
8
𝜋2
)(
𝐶𝑎
2𝑚𝑝
)2𝑖𝑎 
Obtem-se, então, em termos ϕd, ia e da constante de enrolamento Ka: 
𝑇𝑚 = 𝐾𝑎𝛷𝑑ia 𝐾𝑎 =
𝑝Ca
2𝜋𝑚
 
A tensão gerada e retificada é observada entre as escovas de forma ondulada, 
tendo um valor médio, como uma tensão contínua ea, sendo uma tensão de 
velocidade, dada em termos de ϕd, ωm e da constante de enrolamento Ka por: 
𝑒𝑎 = 𝐾𝑎𝛷𝑑ωm 𝐾𝑎 = (
𝑝Ca
2𝜋𝑚
) 
As potências elétrica, associda à tensão de velocidade e corrente de armadura, 
e mecânica, associda ao torque mecânico e velocidade angular, são praticamente 
iguais, desconsiderando as perdas. Tem-se, então: 
𝑃𝑎 = ea𝑖𝑎 𝑃𝑚 = 𝑇𝑚ωm 𝑒𝑎ia = 𝑇𝑚ωm 
As características de fluxo magnético ϕd, ou tensão ea, versus a força 
mognetomotriz Fd (NfIf), ou corrente If, correspondem às curvas de magnetização da 
28 
 
máquina. É conveniente expressar a curva de magnetização em termos de uma 
referência de tensão eao e velocidade ωao, obtendo-se a seguinte relação: 
𝑒𝑎
ωm
= 𝐾𝑎Φd =
𝑒𝑎0
ωm0
 
Daí resulta: 
𝑒𝑎 = (
ωm
ωm0
)𝑒𝑎0 𝑒𝑎 = (
n
n0
)𝑒𝑎0 
O valor médio da tensão gerada, equivalente à CC, é dado por: 
𝐸𝑎 =
1
𝜋
∫ 𝜔𝑚𝑒𝑁𝜙𝑝𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑚𝑒𝑡)𝑑
𝜋
0
(𝜔𝑚𝑒𝑡) =
2
𝜋
𝜔𝑚𝑒𝑁𝜙𝑝 
De outra forma, tem-se: 
𝐸𝑎 =
𝑝
𝜋
𝜔𝑚𝑁𝜙𝑝 = 𝑝𝑁𝜙𝑝
𝑛
30
 
𝐸𝑎 = (
𝑝
2𝜋
) (
𝐶𝑎
𝑚
)𝜙𝑝𝜔𝑚 = (
𝑝
60
) (
𝐶𝑎
𝑚
)𝜙𝑝𝑛 
As máquinas de corrente contínua podem ser classificadas segundo a maneira 
como se alimenta a máquina através de seu campo. Pode ser de excitação 
independente ou separada, de excitação série, de excitação shunt ou em derivação 
(paralelo) e de excitação composta (compound), mostrado na Figura 1.13. 
 
Figura 1.13 - Tipos de excitação das máquinas CC 
29 
 
Na configuração de excitação independente ou separada o circuito de excitação 
da máquina é alimentada por uma fonte adicional CC independente ou separada da 
fonte de corrente contínua que alimenta a armadura. 
Com a excitação série o circuito do enrolamento de campo que produz a 
excitação está em série com o circuito de armadura, sendo assim necessário apenas 
uma fonte para alimentar o circuito de campo e o da armadura. Com a excitação shunt 
ou em derivação o circuito do enrolamento de campo que produz a excitação está em 
paralelo ou em derivação com o circuito de armadura. 
A configuração de excitação composta, também chamada compound, 
corresponde a se ter dois enrolamentos de excitação, um em série e outro em 
derivação, podendo haver o esquema de ligação longo ou curto e composto aditivo ou 
subtrativo. 
As características das máquinas de corrente contínua indicam o 
comportamento dessas máquinas em várias condições, que dependem 
fundamentalmente dos tipos de excitação empregada. Essas características indicam 
o comportamento das máquinas basicamente em termos de correntes, tensões, 
torques e velocidades. 
A Figura 1.14 mostra as curvas representativas das características tensão x 
corrente para os geradores de corrente contínua, em regime permanente, para os 
diferentes tipos de excitação. 
 
Figura 1.14 - Características dos geradores CC tensão x corrente 
Pode-se observar as diferenças entre essas características, destacando-se que 
a de excitação composta apresenta, em geral, melhor desempenho. 
30 
 
A Figura 1.15 mostra as curvas representativas das características velocidade 
x torque dos geradores CC para os tipos de excitação shunt, série e composta. 
 
Figura 1.15 - Características dos geradores CC velocidade x torque 
A Figura. 1.16 mostra um gráfico comparativo entre os tipos de motores CC, 
contendo uma relação entre corrente na armadura e torque do motor para os 
diferentes tipos de excitação. 
 
Figura 1.16 - Comparativo entre os tipos de motores CC 
31 
 
 
2 - CONTROLE DAS MÁQUINAS ELÉTRICAS 
Os controles referem-se às máquinas de corrente alternada, síncronas e 
assíncronas, e de corrente contínua, sejam geradores ou motores, levando em conta 
as características particulares de cada tipo. Considera basicamente as condições de 
regime permanente e dinâmico, mas também analisa aspectos relativos a transitórios. 
Nos geradores são analisados os controles de tensão associados às potências 
reativas e os controles de velocidade associados às potências ativas. Para os motores 
são analisados os controles de velocidade e torque, ou conjugado, que, em conjunto 
com a carga acionada, constitui-se no sistema de acionamento. 
Para as ações de controles são utilizados dispositivos mecânicos, hidráulicos, 
térmicos, elétricos e eletrônicos. São relés, contatores, magnetos, diodos, transistores 
e tiristores, sendo estes três últimos do campo da eletrônica de potência, com 
aplicações cada vez mais crescente. 
No que segue são apresentados, de forma resumida, alguns aspectos gerais 
sobre o controle e dinâmica das máquinas, suas características e componentes 
utilizados, a serem desenvolvidos com mais detalhes nos itens seguintes, inclusive 
com aspectos sobre os transitórios. 
Controle de Máquinas de Indução 
As máquinas de indução operam de forma assíncrona. O motor funciona com 
velocidade um pouco inferior à síncrona e o gerador com velocidade um pouco 
superior à síncrona. A regulação da velocidade não é simples, mas na maioria dos 
casos é facilitada diante do valor da velocidade não se afastar muito da velocidade 
síncrona, e o controle do conjugado pode ser obtido através do fluxo no rotor e da 
componente de corrente de armadura. 
As máquinas de indução apresentam as seguintes características: 
 Flexibilidade de controle: associada à capacidade da eletrônica de potência 
usada no acionamento dessas máquinas; 
 Velocidade de regime permanente: diretamente proporcional à tensão de 
armadura e inversamente proporcional ao fluxo de campo; 
32 
 
 Conjugado do motor: proporcional ao produto da corrente de armadura pelo 
fluxo de campo. 
Os controles de velocidade das máquinas de indução podem ser através de: 
 Alteração do número de polos; 
 Controle da frequência de armadura; 
 Controle por tensão de linha; 
 Controle por resistência de rotor. 
Controle de Motores Síncronos 
Os motores síncronos e os controles apresentam as seguintes características: 
 Desenvolvem conjugados na velocidade síncrona que é determinada pela 
frequência elétrica da excitação aplicada à armadura; 
 Regime permanente: controle de velocidade através de controle da 
frequência da armadura; 
 Controle do conjugado: através do fluxo de campo e da corrente de 
armadura; 
 Controle vetorial (fluxo) ou por campo orientado. 
Controle de Motores de Corrente Contínua 
Os controles de velocidade e de conjugado podem ser através de: 
 Controle pela corrente de campo; 
 Controle pela tensão terminal da armadura; 
 Controle pala corrente de armadura; Controle por resistência do circuito da armadura; 
 Controle direto do torque. 
Dispositivos de Acionamentos 
Nos projetos de circuitos de comando de gatilho predominam as especificações 
de corrente e tensão dos dispositivos de chaveamento disponíveis. Nos sistemas de 
acionamento de alta potência as chaves devem ser ligadas em série e/ou paralelo 
para se conseguir a especificação desejada de potência. 
33 
 
Os sistemas para o acionamento, nas diversas configurações, são usados para 
controlar a velocidade e o conjugado dos motores. Em máquinas CA o uso dos 
sistemas de acionamento baseados em eletrônica de potência resultou em 
desempenhos anteriormente só disponíveis com máquina CC, ampliando sua 
utilização para a maioria das aplicações. 
Os dispositivos para acionamentos baseados na eletrônica de potência 
constam basicamente de diodos, transistores (tipos FET, BJT, JFET, MOSFET), 
tiristores (tipos SCR, TRIAC, IGBT, GTO) e dispositivos PWM. 
Diodos 
O diodo é um dispositivo semicondutor composto de cristal de silício ou 
germânio numa película cristalina cujas faces opostas são dopadas por diferentes 
gases durante sua formação. Sua função é permitir à passagem de corrente elétrica 
somente em um único sentido. A simbologia e característica do diodo são mostradas 
na Figura 2.1 
 
Figura 2.1 - Simbologia e característica do diodo 
Transistores 
O transistor é um componente semicondutor que funciona como resistência de 
transferência (transfer resistor), sendo utilizado principalmente como amplificador e 
interruptor de sinais elétricos. Os transistores básicos são dos tipos FET (Field Efect 
Transistor), bipolares de junção - BJT (Bipolar Junction Transistor), de efeito de campo 
- JFET (Junction Field Effect Transistor) e de óxido de metal - MOSFET (Metal Oxid 
Semiconductor Field Effect Transistor). 
A simbologia e uma característica de transistor são mostradas na Figura 2. 2. 
34 
 
 
Figura 2.2 - Simbologia e curvas características de coletor de um transistor 
Os transistores podem operar como chave eletrônica, como amplificador e 
como fonte de corrente, dependendo da forma de polarização, corte ou saturação. 
Tiristores 
Os tiristores são dispositivos semicondutores multicamadas, que operam em 
regime de chaveamento, tendo em comum uma estrutura de, no mínimo, quatro 
camadas semicondutoras apresentando um comportamento funcional. 
 Os tipos principais de tiristores são os SCR (Silicon Controlled Rectifier) e os 
TRIAC (Triode for Alternating Current). Outros tipos derivados são o IGBT (Insulated 
Gate Bipolar Transistor) e o GTO (Gate Turn Off Transistor). 
O SCR funciona como dois transistores, conforme indicado no circuito 
básico da Figura 2.3, em que é indicado também a simbologia. 
 
Figura 2.3 ´ Simbologia e circuito básico do SCR 
O TRIAC é, basicamente, um componente constituído de dois SCR colocados 
em antiparalelo, sendo a condução de corrente bidirecional. O esquema da Figura 2.4 
ilustra um circuito análogo a um TRIAC, feito a partir de dois SCR: 
35 
 
 
Figura 2.4 - Circuito análogo a um Triac feito a partir de dois SCR. 
O IGBT associa a característica de comando dos MOSFET com a característica 
de condução dos BJT, apresentando considerável velocidade de comutação. A Figura 
2.5 mostra o símbolo e as curvas características do IGBT. 
 
Fig. 2.5 – Símbolo e curvas características do IGBT 
O GTO, ou tiristor de desligamento por porta, é uma chave 
semicondutora de potência que passa para o estado ligado como um SCR 
normal e pode passar para o estado desligado por meio de uma corrente de 
porta negativa. A Figura 2.6 mostra o símbolo e a curva característica de um 
GTO ideal. 
 
Figura 2.6 - Símbolo e curva característica de um GTO ideal 
36 
 
Retificadores 
Os retificadores são dispositivos ou equipamentos que transformam a tensão 
alternada da rede elétrica em tensão contínua, para alimentação de cargas em 
corrente contínua. Um esquema básico de um sistema retificador, em blocos, é 
mostrado na Figura 2.7. 
 
Figura 2.7 - Diagrama em blocos de um sistema de retificação 
Um circuito do retificador monofásico de meia onda, através de um diodo, 
alimentando uma carga resistiva R, com as principais formas de ondas nos 
componentes, é exemplificado na Figura 2.8. 
 
Figura 2.8– Retificador a diodo em meia ponte e principais formas de onda. 
Um circuito de retificador trifásico de meia onda, através de três tiristores (ou 
três diodos), alimentando uma carga resistiva R, com as formas de ondas, é 
exemplificado na Figura 2.9. Cada diodo é associado a uma das fases da rede de 
alimentação trifásica. 
37 
 
 
Fig. 2.9 - Retificador trifásico de meia onda e formas de ondas 
Um circuito de retificador trifásico de onda completa, através de seis diodos em 
ponte, alimentando uma carga resistiva R, com as formas de ondas, é exemplificado 
na Figura 2.10. Cada diodo é associado a uma das fases da rede de alimentação 
trifásica. 
 
Fig. 2.10 - Retificador trifásico de onda completa e formas de ondas 
Inversores 
Os inversores convertem a tensão de entrada contínua em tensão alternada na 
saída com amplitude e frequência desejada. Nos inversores normalmente a tensão de 
saída é alternada, com forma de onda quadrada (ou quase quadrada), e sua 
frequência pode ser ajustada controlando a frequência de chaveamento. 
A Figura 2.11 exemplifica um inversor monofásico em meia ponte com fonte de 
alimentação com ponto médio e duas chaves semicondutoras, MOSFET ou IGBT. 
38 
 
 
Figura 2.11 - Inversor monofásico em meia ponte 
Um inversor monofásico com onda quadrada é apresentado na Figura 2.12. 
Trata-se de um inversor a SCR com comutação forçada. 
 
Figura. 2.12 – Inversor monofásico a SCR com comutação forçada e formas de onda 
Um inversor trifásico com onda quadrada é mostrado na Figura 2.13. Trata-se 
de um inversor comandando adequadamente os seis interruptores de potência (IGBT), 
para se obter na carga tensões alternadas quadradas e defasadas de 120°. 
 
Figura. 2.13 - Circuito inversor trifásico e formas de ondas 
39 
 
A imagem da Figura 2.14 mostra um motor de indução com um inversor de 
frequência. 
 
Figura 2.14 - Motor de indução com inversor de frequência. 
Controladores PWM 
Nos controladores por modulação de largura de pulso PWM (Pulse Width 
Modulation) tanto o valor eficaz da tensão de saída como o valor da frequência podem 
ser controlados. Isso permite, inclusive, reduzir o conteúdo harmônico da tensão de 
saída, obtendo-se uma onda praticamente senoidal. 
A modulação consiste em variar a largura dos pulsos de comando dos 
interruptores de potência com a amplitude do sinal senoidal de referência. 
A Figura 2.15 reapresenta um inversor monofásico em ponte, cujos IGBT são 
comandados por sinais PWM em alta frequência, tipicamente com frequência na faixa 
de 2,5 a 16 kHz. 
 
Figura. 2.15 – Inversor monofásico em ponte e modulação PWM senoidal a dois níveis 
40 
 
A Figura 2.16 mostra como exemplo um controlador PWM para um motor de 
corrente contínua. 
 
Figura 2.16 - Controlador PWM para um motor de corrente contínua. 
Acionamentos 
Os dispositivos ou equipamentos da eletrônica de potência podem ser 
aplicados no acionamento e controle de máquinas elétricas, cujo uso tem crescido 
bastante, resultando em ganhos consideráveis nos controles das variáveis e na 
eficiência desses equipamentos. 
O mais simples desses dispositivos é o diodo, que tem apenas dois terminais, 
e entra em condução ou é bloqueado simplesmente pelas condições do circuito 
externo. Os demais têm um terceiroterminal que pode ser usado para colocar os 
dispositivos em condução e não condução. São utilizados, portanto, dispositivos de 
acionamentos como os diodos, transistores dos tipos BJT, JFET, MOSFET, e os 
tiristores dos tipos SCR, TRIAC, IGBT etc. 
Um sistema típico para o acionamento de um motor com frequência e tensões 
variáveis consiste basicamente da entrada que retifica a tensão CA com a frequência 
da rede e produz uma tensão ou corrente CC, uma seção intermediária que filtra a 
saída do retificador, produzindo uma corrente ou tensão constantes, e a conversão da 
tensão ou corrente em tensão ou corrente CA de frequência e amplitude variáveis 
(inversor), que podem ser aplicadas aos terminais de um motor. 
Os inversores mais simples produzem formas de onda quadrada ou quase 
quadrada de tensão ou corrente, cujas amplitudes são iguais às da fonte CC e as 
frequências podem ser controladas pela sequência de tempos das chaves do inversor. 
A saída com amplitude variável é obtida através de controle adicional ao estágio de 
retificação, para variar a amplitude da tensão do barramento CC ou da corrente de link 
41 
 
CC fornecida ao inversor. 
Os sistemas para o acionamento de motores, com base nas diversas 
configurações dos sistemas eletrônicos, podem ser usados para controlar a 
velocidade e o conjugado dos motores. Nos casos das máquinas CA o uso dos 
sistemas de acionamento de motores baseados em eletrônica de potência resultou 
em desempenhos que anteriormente só estavam disponíveis com máquina CC e levou 
à utilização muito difundida dessas máquinas na maioria das aplicações. 
A maioria das aplicações industriais necessita de variação de velocidade no 
motor a ser acionado. Isso é possível controlando a tensão na saída, no caso de 
motores CC, ou controlando a tensão e a frequência, no caso de motores CA, 
utilizando-se de conversores CC-CC e CC-AC. 
Nos acionamentos também é aplicada largamente a modulação por largura de 
pulso, ou PWM (Pulse Wave Modulation), que compara dois sinais de tensão, um de 
baixa frequência (referência) e o outro de alta frequência (portadora), resultando em 
um sinal alternado com frequência fixa e largura de pulso variável. 
A Figura 2.17 mostra, como exemplo, uma configuração de chaveamento com 
PWM para controle de um motor e a correspondente corrente de campo. 
 
Figura 2.17 - Exemplo de uma configuração de chaveamento com PWM 
 
42 
 
3 - TRANSITÓRIOS E DINÂMICA DAS MÁQUINAS SÍNCRONAS 
3.1 Transitórios em Máquinas Síncronas 
Os transitórios das máquinas síncronas podem ser analisados utilizando-se do 
esquema da figura 3.1, correspondente a uma máquina trifásica de polos salientes. 
São indicados os eixos das três fases, os eixos diretos e em quadratura, os 
enrolamentos do estator, do campo principal e amortecedores. 
 
Figura 3.1 - Esquema de uma máquia síncrona trifásisica de polos salientes 
Apesar da complexidade dos problemas na máquina, diante dos acoplamentos 
entre os circuitos, a análise pode ser feita considerando simplificações, mas que 
reflete aproximadamente o comportamento da máquina sob condições transitórias, 
especialmente sob curtos circuitos. 
No caso em que um gerador síncrono esteja em condições de operação em 
vazio, em sua velocidade síncrona, e ocorra em seus terminais um curto circuito 
trifásico, as correntes nas fases aumentam subitamente e decrescem 
progressivamente de forma oscilatória, até assumir valores de estado permanente na 
frequência síncrona. 
A figura 3.2 mostra a representação gráfica da corrente de curto circuito trifásico 
nos terminais do gerador síncrono. Observa-se que os valores das correntes podem 
ser enquadrados em três períodos: subtransitório, transitório e regime permanente. 
43 
 
 
Figura 3.2 - Corrente de curto circuito trifásico no gerador síncrono 
Período subtransitório: período inicial, em que as corrrentes são bastante 
elevadas, com duração de alguns poucos ciclos, cujos valores decaem rapidamente; 
Período transitório: período seguinte ao subtransitório, em que as corrrentes 
são ainda elevadas, com duração de algumas dezenas de ciclos, cujos valores 
decaem lentamente; 
Regime permanente: período seguinte ao transitório, em que as corrrentes 
assumem os valores permanentes na forma senoidal. 
A Figura 3.2 indica também as envoltórias das correntes do curto circuito nos 
três períodos, as quais estão apresentadas ainda, em destaque, na figura 3.3. 
 
Figura 3.3 - Envoltórias das correntes de curto circuito 
44 
 
Utilizando-se no gráfico da corrente dos valores da tensão do gerador Eg e das 
reatâncias de eixo direto Xd, são definidas as correntes subtransitória I’'d, transitória 
I’d e permanente Id, em valores eficazes, da seguinte forma: 
𝐼"𝑑 =
𝐸𝑔
𝑋"𝑑
=
𝑜𝑐
√2
 𝐼′𝑑 =
𝐸𝑔
𝑋′𝑑
=
𝑜𝑏
√2
 𝐼𝑑 =
𝐸𝑔
𝑋𝑑
=
𝑜𝑎
√2
 
Inversamente, tem-se daí as reatâncias: 
𝑋"𝑑 =
𝐸𝑔
𝐼"𝑑
=
√2
𝑜𝑐
 𝑋′𝑑 =
𝐸𝑔
𝐼′𝑑
=
√2
𝑜𝑏
 𝑋𝑑 =
𝐸𝑔
𝐼𝑑
=
√2
𝑜𝑎
 
No caso do gerador estar fornecendo uma corrente IL a uma carga ZL com uma 
tensão VL, sendo Vt a tensão terminal da máquina, e ocorre um curto nos terminais da 
carga, aparecem no gerador tensões internas. Essas tensões são chamadas também, 
nessas condições transitórias, de tensões subtransitória E’'g, transitória E’g e 
permanente Eg, que são determinadas através das seguintes expressões: 
𝐸"𝑔 = 𝑉𝑡 + 𝑗𝐼𝐿𝑋"𝑑 𝐸′𝑔 = 𝑉𝑡 + 𝑗𝐼𝐿𝑋′𝑑 𝐸𝑔 = 𝑉𝑡 + 𝑗𝐼𝐿𝑋𝑑 
As tensões E’'g e E’g são determinadas por IL. Ambas são iguais a Eg apenas 
quando IL = 0, em que se tem Eg = Vt . 
A figura 3.4 mostra, para um determinado caso, as correntes de curto circuito 
nas três fases, com indicação das componentes contínuas para cada fase, 
abrangendo todos os períodos. 
 
Figura 3.4 - Correntes de curto circuito nas 3 fases. 
45 
 
Às correntes subtransitórias e transitórias correspondem reatâncias e 
constantes de tempo, subtransitórias e transistórias. Em estado permanente tem-se 
reatâncias permanentes. 
A máquina síncrona pode ser representada por uma fonte de tensão constante 
com uma impedância série de armadura, composta da reatância síncrona Xs e da 
resistência Ra, conforme o circuito equivalente mostrado na figura 3.5. A tensão pode 
ser considerada como Eg = 1 pu tomando como base os valores nominais de tensão 
e potência da máquina. 
 
Figura 3.5 - Representação da máquina síncrona em estado permanente 
Em regime permanente a impedância série é praticamente a reatância 
síncrona, cujo valor é da ordem de Xs = 1 pu, na base dos valores nominais de tensão 
e potência da máquina, sendo a resistência desprezível. A reatância síncrona é 
composta da reatância de dispersão da armadura Xl e da reatância de magnetização 
Xφ, em série, conforme os circuitos equivalentes da figura 3.6. 
 
Figura 3.6 - Representação simplificada da máquina síncrona em estado permanente 
Em regimes transitório e subtransitório consideram-se, praticamente, as 
reatâncias. A resistência pode ser desprezada nos cálculos das correntes nas 
condições transitórias e subtransitórias, mas são consideradas na determinação das 
constantes de tempo transitória e subtransitória. 
46 
 
 Em regime transitório a reatância série é praticamente composta da reatância 
de dispersão da armadura Xl em série com o paralelo das reatâncias de magnetização 
Xφ e de dispersão do campo Xfd, constituindo-se na reatância transitória X'd, conforme 
mostram os circuitos equivalentes da figura 3.7. 
 
Figura 3.7 - Representação simplificadada máquina síncrona em regime transitório 
A reatância transitória X'd pode ser determinada, então, pela seguinte 
expressão: 
𝑋′𝑑 = 𝑋𝑎𝑙 +
𝑋𝜑𝑋𝑓𝑑
𝑋𝜑 + 𝑋𝑓𝑑
 
A segunda parcela, resultante do paralelo entre as reatâncias de magnetização 
e de dispersão de campo, é também chamada de reatância de campo modificada. Por 
outro lado, X'd pode ser vista como a reatância no instante inicial do curto circuito no 
caso de não haver circuito amortecedor na máquina. 
Em regime subtransitório a reatância série é praticamente composta da 
reatância de dispersão da armadura Xl em série com o paralelo das reatâncias de 
magnetização Xφ, de dispersão do campo Xfd, e do enrolamento amortecedor Xkd,, 
constituindo-se na reatância subtransitória X"d, conforme os circuitos equivalentes da 
figura 3.8. 
 
Figura 3.8 - Representação simplificada da máquina síncrona, regime subtransitório 
47 
 
A reatância subtransitória pode ser determinada, então, pela seguinte 
expressão: 
𝑋"𝑑 = 𝑋𝑎𝑙 +
𝑋𝜑𝑋𝑓𝑑𝑋𝑘𝑑
𝑋𝜑𝑋𝑓𝑑 + 𝑋𝜑𝑋𝑘𝑑 + 𝑋𝑓𝑑𝑋𝑘𝑑
 
Normalmente os valores das reatâncias transitórias X'd situam-se em torno de 
0,3 pu e os das reatâncias subtransitórias X"d em torno de 0,2 pu. Os valores das 
reatâncias de dispersão Xl situam-se em torno de 0,15 pu, os das reatâncias 
magnetização Xφ em torno de 0,85 pu, os das reatâncias de dispersão do campo Xfd, 
em torno de 0,20 pu e do enrolamento amortecedor Xfd em torno de 0,10 pu. 
* * * 
Exemplo: Sendo dados Xl = 0,15 pu, Xφ = 0,85 pu, Xfd = 0,20 pu e Xkd = 0,10 
pu tem-se como resultados X'd = 0,312 pu e X"d = 0,212 pu. 
* * * 
O decaimento da corrente no período transitório é indicado através da 
constante de tempo transitória T'd, determinada a partir das reatâncias de campo Xfd 
e de magnetização Xφ, das reatâncias permanente Xd e transitória X'd, da frequência 
ω = 2πf =377 rd/seg (f = 60 Hz) e da resistência da armadura Ra, dada pela expressão: 
𝑇′𝑑 = (
𝑋𝑓 + 𝑋𝜑
𝜔𝑅𝑎
)
𝑋′𝑑
𝑋𝑑
 
O decaimento da corrente no período subtransitório é indicado através da 
constante de tempo subtransitória T''d, determinada a partir das reatâncias de campo 
Xfd e de magnetização Xφ, das reatâncias permanente Xd e transitória X'd, da 
frequência ω = 2πf = 377 rd/seg (f = 60 hz) e da resistência da armadura Ra, dada pela 
expressão: 
𝑇′′𝑑 = (
𝑋𝑓𝑋𝜑 + 𝑋𝑓𝑋𝑘𝑑 + 𝑋𝜑𝑋𝑘𝑑
𝜔𝑅𝑎
)
𝑋′′𝑑
𝑋′𝑑
 
* * * 
Exemplo: Com os dados do exemplo acima: Xl = 0,15 pu, Xφ = 0,85 pu, Xfd = 
0,20 pu e Xkd = 0,10 pu, X'd = 0,312 pu e X"d = 0,212 pu, e com Ra = 0,02 pu, tem-se 
T'd = 0,174 seg e T''d = 0,098 seg. 
48 
 
* * * 
Pode-se demonstrar que a componente símétrica, alternada, da corrente de 
curto circuito pode ser determinada através da expressão: 
𝑖(𝑡) =
𝐸𝑖
𝑋𝑑
+ (
𝐸′𝑖
𝑋′𝑑
−
𝐸𝑖
𝑋𝑑
) 𝑒
−
𝑡
𝑇′𝑑 + (
𝐸′′𝑖
𝑋′′𝑑
−
𝐸′𝑖
𝑋′𝑑
) 𝑒
−
𝑡
𝑇′′𝑑 
* * * 
Exemplo: Ainda com os dados do exemplo acima em que T'd = 0,174 seg e 
T''d= 0,098 seg, assumindo o curto circuito nos terminais da máquina em vazio, em 
que se tem para as tensões, aproximadamente, os valores eficazes E"d = E'd = Ed = 1 
pu, obtem-se a seguinte expressão para o valor eficaz da corrente: 
𝑖(𝑡) = 1 + 3,20𝑒
−
𝑡
0,174 + 1,51𝑒
−
𝑡
0,098 
* * * 
Em se tratando de geradores de polos salientes tem-se, em correspondências, 
valores de reatâncias em quadratura, ou transversa, para os períodos permanente Xq, 
transitório X'q e subtransitório X"q. As reatâncias da máquina podem ser consideradas 
como aproximadamente a média aritmética dos valores de eixo direto e de eixo em 
quadratura. 
A tabela 3.1 apresenta valores típicos das constantes das máquinas síncronas, 
geradores e motores, polos lisos e polos salientes. 
Tabela 3.1 - Valores típicos das constantes das máquinas síncronas 
 
49 
 
3.2 Dinâmica da Máquina Síncrona 
Na operação da máquina síncrona estão presentes o conjugado de inércia TI 
relativo às massas rotativas, o conjugado eletromagnético Te resultante da conversão 
de energia e o conjugado mecânico Tm aplicado no eixo. Tem-se a seguinte equação: 
𝑇𝐼 + 𝑇𝑒 = 𝑇𝑚 
Em termos das potências PI devido à inércia, Pe da conversão de energia e Pm 
no eixo, tem-se: 
𝑃𝐼 + 𝑃𝑒 = 𝑃𝑚 
A potência de inércia decorre da aceleração angular, sendo o ângulo medido 
entre a posição relativa do eixo do rotor e o eixo de referência estacionário, que gira 
na velocidade síncrona. O ângulo elétrico θe está relacionado com o ângulo mecânico 
θm através do número de polos p: θe = (p/2) θm; ele depende da carga e é chamado de 
ângulo de carga, representado por δ (θe = δ). A potência de inércia é dada pela 
expressão: 
𝑃𝐼 = 𝐽
𝑑2𝛿
𝑑2𝑡
 
A constante J é o momento de inércia total das massas do rotor, em kg.m, 
podendo ser representado também como uma potência de inércia por unidade de 
aceleração, e indicada por PJ (J = PJ). 
A potência eletromagnética é composta de uma potência de amortecimento Pa, 
que é diretamente proporcional à velocidade dδ/dt, e de uma potência sincronizante 
P(δ) resultante do funcionamento da máquina síncrona, considerada 
aproximadamente como P(δ) = PMsenδ, sendo PM o valor máximo dessa potência. A 
potência eletromagnética é dada pela expressão: 
𝑃𝑒 = 𝑃𝑎
𝑑𝛿
𝑑𝑡
+ 𝑃(𝛿) 
A potência sincronizante P (δ) pode ser considerada aproximadamente como 
P (δ) = PMsenδ, sendo PM o valor máximo dessa potência. 
A equação eletromecânica da máquina síncrona resulta, portanto: 
50 
 
𝐽
𝑑2𝛿
𝑑2𝑡
+ 𝑃𝑎
𝑑𝛿
𝑑𝑡
+ 𝑃𝑀𝑠𝑒𝑛𝛿 = 𝑃𝑚 
Essa equação determina o ângulo de carga em função da potência mecânica 
aplicada à máquina. A análise dinâmica é realizada para pequenas variações de δ, 
portanto, variações Δδ em torno de um ponto de operação δ0. Obtem-se, então, a 
seguinte equação linearizada: 
𝐽
𝑑2∆𝛿
𝑑2𝑡
+ 𝑃𝑎
𝑑∆𝛿
𝑑𝑡
+ 𝑃𝑀∆𝛿 = 𝑃𝑚 
Por simplicidade, Δδ será indicado por δ, entendendo-se tratar-se das 
pequenas variações em torno do ponto de operação, e não os valores reais. Desta 
forma, a equação, chamada de equação de oscilação da máquina, resulta: 
𝐽
𝑑2𝛿
𝑑2𝑡
+ 𝑃𝑎
𝑑𝛿
𝑑𝑡
+ 𝑃𝑀𝛿 = 𝑃𝑚 
Utilizando-se dos valores da potência da máquina S, em MVA, do momento 
angular do rotor M na velocidade síncrona ω (M = Jω) em joule.seg/rad ou W, a 
energia cinética/potência nominal da máquina H, em MJ/MVA, tem-se: 
𝐻 =
1
2 𝐽𝜔
𝑆
 𝑀𝐽/𝑀𝑉𝐴 
2𝐻𝑆
𝑑2𝛿
𝑑2𝑡
+ 𝑃𝑎
𝑑𝛿
𝑑𝑡
+ 𝑃𝑀𝛿 = 𝑃𝑚 
Tomando a potência da máquina S como referência, tem-se a equação com as 
potências expressas em pu: 
2𝐻
𝑑2𝛿
𝑑2𝑡
+ 𝑃𝑎
𝑑𝛿
𝑑𝑡
+ 𝑃𝑀𝛿 = 𝑃𝑚 
Os transitórios nas máquinas síncronas podem ser determinados utilizando-se 
de programas de computador. Como exemplo, podem ser observados os resultados 
obtidos em um gerador num determinado sistema, através do programa Powerworld, 
para as variáveis corrente de campo, tensão terminal, ângulo de carga e potência 
ativa, mostradas na Figura 3.9. 
51 
 
 
Figura 3.9 - Exemplos de variáveis saídas num gerador síncrono 
3.3 Controles dos Geradores Síncronos 
O controle das máquinas síncronas abrange os geradores e os motores 
síncronos. 
Os geradores apresentam basicamente dois tipos de controles em seu 
comportamento dinâmico, a saber: 
- Controle de tensão e potência reativa: as tensões variam praticamente com 
as alterações das potências reativas tendo-se, assim, o controle das tensões em 
função das potências reativas; 
- Controle de frequência