02 Revisão Probabilidade e Estatística

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Revisão Básica de Probabilidade e 
Estatística
Cláudio Henrique Albuquerque Rodrigues, M. Sc. 
Estatística
• Palavra provém do latim status (estado)
• Associada a censos, pesquisas de opinião pública, aos vários
índices governamentais, aos gráficos e médias publicados
diariamente na imprensa
• A Estatística engloba muitos outros aspectos
• A estatística é fundamental na análise de dados provenientes
de quaisquer processos onde exista variabilidade
Grandes Áreas da Estatística
• Amostragem e Planejamento de
Experimentos
• Estatística Descritiva
• Estatística Indutiva ou Inferencial
Amostragem e Planejamento de 
Experimentos
• Métodos que tratam dos mecanismos de coleta de
dados
– A amostragem é a parte inicial de qualquer estudo
estatístico. Consiste na escolha criteriosa dos
elementos a serem submetidos ao estudo
Exemplo:
• Pesquisas sobre tendências de votação
– Para que os resultados sejam de fato representativos
deve-se entrevistar um conjunto de pessoas com
características socioeconômicas, culturais, religiosas
etc. tão próximas quanto possível da população à qual
os resultados da pesquisa serão estendidos
Estatística Descritiva
• Reúne métodos de organização, apresentação e
sintetização dos dados
– Esta é a parte mais conhecida da estatística, pois,
diariamente vemos o uso de gráficos, médias e índices
na imprensa
Exemplo:
• O INPC, Índice Nacional de Preços ao Consumidor
envolve a sintetização em um único número dos
aumentos dos produtos de uma cesta básica. É
obtido através de um sucessivo cálculo de médias
Estatística Indutiva ou Inferencial
• Reúne métodos que possibilitam a tomada de
decisões sobre uma população com base em
estudos feitos sobre os dados de uma amostra
Inferência Estatística
• O processo de generalização, que é característico
do método indutivo, está associado a uma
margem de incerteza
• A medida dessa incerteza é obtida a partir da
teoria das probabilidades
Conceitos Básicos
Principais Definições Estatísticas
População e Amostra
• População ou Universo é o conjunto de todas as
observações potenciais relativas ao estudo de
determinado fenômeno
– Censo é uma coleção de dados relativos a todos os
elementos de uma população
• Amostra - É um subconjunto de elementos
extraídos de uma população
Exemplo:
• Deseja-se conhecer o consumo total de energia
elétrica em MWH nas indústrias da cidade de
Manaus no ano de 2004
– População: todas as indústrias que estavam ligados a
rede elétrica em Manaus, em 2004
• Característica de interesse:
– X = consumo anual de energia elétrica em MWH
Exemplo:
• Deseja-se conhecer o patrimônio líquido, faturamento,
número de empregados, tempo de existência, das
empresas situadas no Polo Petroquímico de Urucú em
2000
– População: Empresas do Polo Petroquímico de Urucú em 2000
• Características de interesse:
– X = patrimônio líquido,
– Y = faturamento,
– W = número de empregados,
– Z = tempo de existência
APRESENTAÇÃO
DE
DADOS
Tabelas e Gráficos
Apresentação de Dados 
Interesse da Estatística: características passíveis de
representação numérica
– Obtidas através de medições e contagens
– Características = variáveis
– Dois tipos de variáveis: qualitativas e quantitativas
Tipos de Variáveis













Contínua
Discreta
 vaQuantitati
Ordinal
Nominal
 aQualitativ
 variáveisde Tipos
Tipos de Variáveis
• Qualitativas - quando o resultado da observação é
apresentado na forma de qualidade ou atributo
– Exemplos: sexo; estado civil; grau de escolaridade Interesse da
Estatística: características passíveis de representação numérica
• Quantitativas - quando o resultado da observação é um
número, decorrente de um processo de mensuração ou
contagem
– Exemplos: número de filhos; salário mensal; altura; peso; idade;
tamanho da família; etc.
Variáveis Qualitativas
• Nominais - Quando não existe qualquer ordenação para
os resultados obtidos do processo de observação
– Exemplos: sexo (feminino e masculino); estado civil (solteiro,
casado, viúvo, etc.)
• Ordinais: Quando existe uma certa ordenação nos
possíveis resultados das observações
– Exemplos: grau de escolaridade (1o grau; 2o grau; e 3o grau),
classe social (alta, média e baixa), o porte de uma empresa
(micro, pequena, média e grande)
Variáveis Quantitativas
• Discretas - Quando os resultados possíveis da observação
formam um conjunto finito ou enumerável de números e
que resultam, frequentemente, de uma contagem
– Exemplos: número de filhos (0, 1, 2, ...); tamanho da família (1,
2, 3, ...)
• Contínuas - Quando os possíveis valores formam um
intervalo ou uma união de intervalos de números reais e
que resultam, normalmente, de uma mensuração
– Exemplos: salário mensal; altura; peso
DISTRIBUIÇÃO
DE
FREQUÊNCIAS
Tabelas Estatísticas
Tabelas Estatísticas
• Uma das maneiras de sintetizar um conjunto de
dados é através do uso de tabelas. A mais utilizada
é a tabela de distribuição de frequências
– Frequência = número de repetições de certo valor no
conjunto de dados
Distribuição de Frequência
• Para as variáveis quantitativas podemos
simplificar o conjunto de dados obtidos
agrupando-os em classes de frequência
• Para variáveis quantitativas contínua ou conjuntos
de dados com grande variabilidade e amplitude
podemos agrupar os dados em classes de valores
Tabelas de Frequências
Tab1: Tipo de Protocolo de Acesso
Fonte: Empresa S/A
Protocolo Frequência n i Proporção f i Porcentagem 100 f i
T ipo 1 11 0,306 30,56
Tipo 2 12 0,333 33,33
T ipo 3 13 0,361 36,11
Total 36 1,0000 100,00
Tabela de Distribuição de Frequências
Tab2: Tráfego na rede Alfa em valores percentuais
Fonte: Empresa S/A
Tráfego %
Frequência 
ni
Proporção
fi
Porcentagem
100 fi
20 |  25 2 0,0556 5,56
25 |  30 6 0,1667 16,67
30 |  35 10 0,2777 27,77
35 |  40 8 0,2222 22,22
40 |  45 8 0,2222 22 ,22
45 |  50 2 0,0556 5,56
Total 36 1,0000 100,00
REPRESENTAÇÃO
GRÁFICA
O gráfico constitui um elemento básico 
na análise e apresentação dos trabalhos 
estatísticos
Elementos de um Gráfico
• Título geral indicando situação, local e época
estudada
• Escalas e as respectivas unidades de medida
• Indicação das convenções adotadas
• Fonte da informação
Principais Tipos de Representação Gráfica
• Gráfico em barras
• Gráfico em colunas
• Gráfico em linhas
• Gráfico em setores
• Histogramas
Gráfico em Barras
• Adequado para dados qualitativos
• Ilustra comparações entre categorias
• As categorias são organizadas no eixo vertical
• As frequências são dispostas horizontalmente para
dar menos ênfase ao tempo
Gráfico em Barras
Gráfico em Colunas
• Adequado para dados qualitativos
• Ilustra comparações entre categorias
• As categorias são organizadas no eixo horizontal
• As frequências são dispostas verticalmente para
dar ênfase ao tempo
Gráfico em Barras
Gráfico em Barras
Gráfico em Linhas
• Em geral é utilizado quando uma das varáveis é o
tempo. Este é colocado no eixo horizontal
• Fornece uma ideia da tendência geral e do grau de
variabilidade. Em geral os intervalos de tempo são
espaçados igualmente
Gráfico em Linhas
Gráfico em Setores
• Cada categoria corresponderá a uma divisão ou a
um setor de um círculo
• Esta representação é adequada quando o objetivo
for a análise da participação de cada categoria em
relação ao total
Gráfico em Setores
Descrevendo Dados Quantitativos
• Na apresentação de dados quantitativos
estes devem estar ordenados e os gráficos
devem mostrar variabilidade ou
relacionamentoHistograma
• É adequado para ilustrar o comportamento de
valores agrupados em classes
– O gráfico é composto de retângulos adjacentes
representando a tabela de frequências
• Horizontal - intervalos de classe
• Vertical - frequências
Exemplo de Histograma com 
Intervalos Constantes
MEDIDAS
ESTATÍSTICAS
--
Medidas Estatísticas
• Valores que resumem todo o conjunto de dados
•
• Podem ser divididas em:
- Medidas de Localização
- Medidas de Dispersão
- Medidas de Assimetria
- Medidas de Curtose
Exemplo:
• Principais medidas descritivas
dos Salário dos funcionários
da Cia Milsa (saída do EXCEL)
Salário (em s.m)
Média 11,12
Mediana 10,17
Desvio padrão 4,59
Variância da amostra 21,04
Curtose -0,01
Assimetria 0,65
Intervalo 19,3
Mínimo 4,0
Máximo 23,3
Soma 400,4
Contagem 36
MEDIDAS
DE
POSIÇÃO
Média, Moda e Mediana
Medidas de Posição
1) Média Aritmética Simples
• Definição: Sejam , n valores que a variável X pode
assumir. A média aritmética simples de X é
definida como
n
x
X
n
1i
i

Exemplo:
• Salário dos funcionários do setor de orçamento da Cia.
Milsa
– Media é de 11,2 salários mínimos.
• Se a empresa resolvesse pagar igual a todos os
funcionários daquele setor, cada um ganharia 11,2
salários mínimos
Média Aritmética Ponderada
• Definição: Sejam , k valores
que a variável X assume e w1,
w2, ..., wk os respectivos
pesos (ou ponderadores). A
média aritmética ponderada
é definida como 



k
1i
i
k
1i
ii
w
w.x
X
Exemplo: Cálculo do INPC
Região IPC Peso IPC x Peso
São Paulo 25,1 3,383 84,9133
Rio de Janeiro 27,7 2,806 77,7262
Recife 25,3 0,726 18,3678
Belo Horizonte 28,6 0,682 19,5052
Porto Alegre 29,0 0,619 17,9510
Salvador 26,0 0,472 12,2720
Fortaleza 25,3 0,444 11,2332
Curitiba 32,6 0,341 11,1166
Belém 23,7 0,270 6,3990
Brasília 25,6 0,257 6,5792
10 266,0635
Fonte: IBGE
61,26
10
0635,266
INPC
Média aritmética - comentários
• Valor “típico” do conjunto de dados
• Principal medida de tendência central
• Definida rigorosamente e pode ser interpretada
sem ambiguidades
• Leva em consideração todas as observações
efetuadas
• Calcula-se com facilidade.
Média aritmética- problemas
• Muito sensível a valores extremos, isto é, a valores
excessivamente pequenos ou excessivamente
grandes, em relação às demais observações do
conjunto de dados
Exemplo:
• Salário médio mensal de cinco funcionários de uma certa
empresa. Temos o seguinte conjunto de salários mensais, em
reais: 123 - 145 - 210 - 225 - 2.500
• Quatro dos cinco salários apresentam valores entre 123 e 225
reais
• Média salarial de 640,6 reais
• Bastante distinta desse conjunto pela influência do salário de
2.500
Propriedades da média aritmética
• Somando-se (ou subtraindo-se) um valor
constante e arbitrário a cada um dos elementos de
um conjunto de dados, a média aritmética fica
adicionada (ou subtraída) dessa constante
Exemplo:
• Se a idade média de um certo grupo de pessoas é
24 anos, qual será a idade média daqui a cinco
anos?
Propriedades da Média Aritmética
• Multiplicando-se (ou dividindo-se) um valor
constante e arbitrário a cada um dos elementos de
um conjunto de dados, a média aritmética fica
multiplicada (ou dividida) por essa constante
Exemplo:
• Se o custo médio da cesta básica é de R$134,00 e
se todos os produtos aumentarem em 5%, em
quanto ficará o custo médio da cesta básica?
Moda
• Definição: A moda é o valor que ocorre com 
maior frequência na distribuição.
Exemplo:
a) X = {2, 3, 3, 5, 5, 5, 6, 7} Mo = 5
b) Y = {10, 12, 17, 21, 32} Mo = não existe, a
distribuição é amodal
c) Z = {2, 2, 5, 5, 7, 7} Mo = não existe
d) W = {10, 12, 12, 12, 13, 13, 15, 18, 18, 18, 21} A
distribuição apresenta dois valores modais: 12 e 18
(distribuição bimodal)
Mediana
• Definição: Chamamos de mediana o elemento do
conjunto que ocupa a posição central na série
ordenada (crescente ou decrescentemente)
• Isto é, divide a distribuição em duas partes de
modo que 50% dos valores observados são iguais
ou inferiores à mediana e 50% iguais ou superiores
a esse valor
Cálculo da mediana
• Disponha os valores em ordem crescente ou
decrescente
- Se o número de valores for ímpar, a mediana é o
número que localizado exatamente no meio da lista
- Se o número de valores é par, a mediana é a média dos
dois valores centrais
Exemplo:
• Obtenha a mediana para os dois conjuntos abaixo:
• Conjunto 1 = {10, 29, 26, 28, 15}
(n ímpar)
Conjunto 1 (ordenado) = { 10, 15, 26, 28, 29} 
Md = 26
Exemplo:
• Conjunto 2 
– {500, 600, 800, 50.000, 1.000, 500} 
– (n par)
• Conjunto 2 (ordenado) 
– {500, 500, 600, 800, 1.000, 50.000}
700
2
800600


Md