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Prof. Francisco A. Scannavino Jr. Aula 5 Métodos de Análise 1. Revisão • A Lei de Ohm estabelece que a tensão U em um resistor é diretamente proporcional à corrente I que flui através do resistor; • A Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK): a soma das correntes que entram em um nó é igual a soma das correntes que saem do nó. • A Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK): a soma algébrica de todas as tensões em um caminho fechado (ou loop) é zero; • Um ramo representa um único elemento, tal como uma fonte de tensão ou um resistor; • Um nó é o ponto de conexão entre dois ou mais ramos; • Um loop é qualquer caminho fechado em um circuito. 2. Análise Nodal • Análise nodal ou método da tensão de nó é baseada na aplicação sistemática da Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK); • Adicionalmente, fornece um procedimento geral para a análise de circuitos usando as tensões de nó como variáveis do circuito; • A escolha das tensões de nós, no lugar das tensões dos elementos, como variáveis dos circuitos é conveniente e reduz o número de equações que devem ser resolvidas simultaneamente; • Primeiramente, a explicação será dada com circuitos que possuam somente fontes de corre; 2. Análise Nodal • Passos para determinar as tensões dos nós: 1) Selecione um nó como referência. Designe as tensões v1, v2, ... , vn-1; • (a) e (c) potencial de terra; • (b) terra de chassi. 2. Análise Nodal • Passos para determinar as tensões dos nós: 2) Aplique a LCK para cada um dos n-1 nós (excluindo o nó de referência). Utilize a Lei de Ohm para expressar a corrente do ramo em termos da tensão do nó; Nó 1: I1 = I2 + i1 + i2 (1) Nó 2: I2 + i2 = i3 (2) A corrente flui do potencial mais alto para o potencial mais baixo em um resistor: 𝑖 = 𝑣𝑎𝑙𝑡𝑜 − 𝑣𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑅 2. Análise Nodal • Passos para determinar as tensões dos nós: Aplicando a Lei de Ohm, temos: 𝑖1 = 𝑣1−0 𝑅1 𝑜𝑢 𝑖1 = 𝐺1 . 𝑣1 𝑖2 = 𝑣1 − 𝑣2 𝑅2 𝑜𝑢 𝑖2 = 𝐺2 . 𝑣1 − 𝑣2 𝑖3 = 𝑣2 − 0 𝑅3 𝑜𝑢 𝑖3 = 𝐺3 . 𝑣2 2. Análise Nodal • Passos para determinar as tensões dos nós: Substituindo as equações obtidas na Lei de Ohm nas equações das tensões nos nós, temos: 𝐼1 = 𝐼2 + 𝑣1 𝑅1 + 𝑣1 − 𝑣2 𝑅2 𝐼2 + 𝑣1 − 𝑣2 𝑅2 = 𝑣2 𝑅3 Em termos das condutâncias, temos: 𝐼1 = 𝐼2 + 𝐺1. 𝑣1 + 𝐺2 . 𝑣1 − 𝑣2 𝐼2 + 𝐺2 𝑣1 − 𝑣2 = 𝐺3 . 𝑣2 2. Análise Nodal • Passos para determinar as tensões dos nós: 3) Resolva as equações simultâneas para obter as tensões desconhecidas dos nós. Isolando v1 e v2: 𝐺1 + 𝐺2 . 𝑣1 − 𝐺2. 𝑣2 = 𝐼1 − 𝐼2 −𝐺2. 𝑣1 + 𝐺2 + 𝐺3 . 𝑣2 = 𝐼2 Representando na forma matricial, temos: 𝐺1 + 𝐺2 −𝐺2 −𝐺2 𝐺2 + 𝐺3 . 𝑣1 𝑣2 = 𝐼1 − 𝐼2 𝐼2 2. Análise Nodal • Exemplo: 1) Calcule as tensões dos nós do circuito abaixo pela análise nodal. 3. Análise Nodal com Fontes de Tensão • A análise nodal com fontes de tensão possui 2 casos: Caso 1: • Se a fonte de tensão estiver conectada entre o nó de referência e um outro nó, podemos simplesmente ajustar a tensão do nó para ser igual a tensão da fonte de alimentação. 𝑣1 = 10 𝑉 3. Análise Nodal com Fontes de Tensão • A análise nodal com fontes de tensão possui 2 casos: Caso 2: • Se a fonte de tensão (dependente ou independente) estiver conectada entre dois nós que não sejam de referência, os dois nós formam um nó generalizado ou um supernó. 𝑖1 + 𝑖4 = 𝑖2 + 𝑖3 ou 𝑣1 − 𝑣2 2 + 𝑣1 − 𝑣3 4 = 𝑣2 − 0 8 + 𝑣3 − 0 6 (1) 3. Análise Nodal com Fontes de Tensão • A análise nodal com fontes de tensão possui 2 casos: Caso 2: • A segunda equação é obtida através da aplicação da LTK ao supernó: −𝑣2 + 5 + 𝑣3 = 0 ∴ 𝑣2 −𝑣3 = 5 (2) 3. Análise Nodal com Fontes de Tensão • Observe as seguintes propriedades de um supernó: 1. A fonte de tensão dentro de um supernó fornece uma equação de restrição que deve ser resolvida para as tensões nodais; 2. Um supernó não possui tensão por ele próprio, independente do restante do circuito; 3. Um supernó necessita tanto aplicação da LCK quanto da LTK. 4. Análise de Malha • Enquanto a análise nodal aplica a LKC para determinar as tensões nos nós, a análise de malha aplica a LKT para determinar as correntes de malha; • Malha é um loop que não contém nenhum outro loop interno; • Na figura, os caminhos abefa e bcdeb são malhas, mas o caminho abcdefa não é uma malha. 4. Análise de Malha • Passos para determinação das correntes de malha: 1) Designe as corrente de malha i1, i2, ... , in para as n malhas; 2) Aplique a LTK a cada uma as n malhas. Utilize a Lei de Ohm para expressar as tensões em termos das correntes de malha; 3) Resolva as n equações simultâneas resultantes para obter as correntes de malha. 4. Análise de Malha • Malha 1- Aplicando LTK: −𝑉1 + 𝑅1. 𝑖1 + 𝑅3. 𝑖1 − 𝑖2 = 0 ou 𝑅1 + 𝑅3 . 𝑖1 − 𝑅3. 𝑖2 = 𝑉1 1 4. Análise de Malha • Malha 2 - Aplicando LTK: 𝑅2. 𝑖2 + 𝑉2 + 𝑅3. 𝑖2 − 𝑖1 = 0 ou −𝑅3. 𝑖1 + 𝑅2 + 𝑅3 . 𝑖2 = −𝑉2 (2) 4. Análise de Malha • Colocando as equações (1) e (2) na forma matricial, temos: 𝑅1 + 𝑅2 −𝑅3 −𝑅3 𝑅2 + 𝑅3 . 𝑖1 𝑖2 = 𝑉1 𝑉2 4. Análise de Malha • Exemplo: 2) Para o circuito abaixo, calcule as correntes dos ramos I1, I2 e I3 utilizando a análise de malha. 5. Análise de Malha com Fontes de Corrente • A aplicação da análise de malha em circuitos que possuem fontes de corrente pode parecer complicada, mas na realidade, é muito mais fácil do que nos casos anteriores; • A presença de uma fonte de corrente reduz o número de equações; 5. Análise de Malha com Fontes de Corrente Caso 1: • Quando a fonte de corrente existe apenas em uma malha: considere o circuito da figura como exemplo. • Estabelecemos i2 = -5 A e escrevemos a equação da malha para a outra malha da forma usual. 5. Análise de Malha com Fontes de Corrente Caso 1: −10 + 4. 𝑖1 + 6. 𝑖1 − 𝑖2 = 0 → 𝑖1 = −2 𝐴 5. Análise de Malha com Fontes de Corrente Caso 2: Quando a fonte de corrente existe entre duas malhas. Considere o circuito da figura como exemplo. Criamos uma supermalha excluindo a fonte de corrente e os elementos associados em série com ela, como mostrado na figura (b): Uma supermalha origina-se quando duas malhas possuem uma fonte de corrente (dependente ou independente) em comum. 5. Análise de Malha com Fontes de Corrente Caso 2: Aplicando LTK à supermalha, teremos: −20 + 6. 𝑖1 + 10. 𝑖2 + 4. 𝑖2 = 0 ou 6. 𝑖1 + 14. 𝑖2 = 20 (1) 5. Análise de Malha com Fontes de Corrente Caso 2: Aplicando LCK ao nó do ramo no qual as duas malhas se interceptam. Aplicando a LCK ao nó 0 da figura (a), teremos: 𝑖2 = 𝑖1 + 6 (2) Resolvendo as equações (1) e (2), temos: 𝑖1 = −3,2 𝐴, 𝑖2 = 2,8 𝐴
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