Aula 9 - Teoremas

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Prof. Francisco A. Scannavino Jr. 
Eletricidade Básica I 
Teoremas de Análise de Circuitos II 
1. Propriedade da Linearidade 
 Um circuito é dito linear se sua saída está linearmente 
relacionada (ou é diretamente proporcional) à sua 
entrada; 
 
 Linearidade significa que caso ocorra uma mudança na 
corrente, a tensão é modificada proporcionalmente; 
 
 Isto também requer que a resposta de um circuito à 
somatória das fontes irá ser a somatória individual das 
respostas de cada fonte separadamente; 
 
 Um resistor satisfaz ambos os critérios. 
1. Propriedade da Linearidade 
 Exemplo: 
 
1) Para o circuito da Figura, determine I0 quando vs = 
12V e vs = 24V. 
1. Propriedade da Linearidade 
 Solução: 
Aplicando a LKT aos dois laços, obtemos: 
(1) 12 i1 – 4i2 + vs = 0 
(2) -4 i1 + 16 i2 – 3 vx – vs = 0 
 
Sendo vx = 2i1, a equação (2) 
fica: 
 
-10 i1 + 16 i2 – vs = 0 (3) 
1. Propriedade da Linearidade 
 Solução: 
 Somando as equações (1) e (3) resulta em: 
2 i1 + 12 i2 = 0 
 i1 = -6 i2 
Substituindo na equação (2): 
 
-76 i2 + vs = 0 
 
i2 = vs/76 
1. Propriedade da Linearidade 
 Solução: 
Quando vs = 12 V, 
 
I0 = i2 = 12/76 A 
Quando vs = 24 V, 
 
I0 = i2 = 24/76 A 
 
Isto demonstra que quando o 
valor da fonte dobra, I0 dobra. 
 
 
1. Propriedade da Linearidade 
 O princípio da linearidade somente se aplica 
somente à Lei de Ohm; 
 
 A potência elétrica por ser uma função quadrática, 
em vez de uma função linear, a relação entre 
potência e tensão (ou corrente) é não linear. 
 
 Por exemplo, quando a corrente i1 flui pelo resistor 
R, a potência é p1 = Ri
2
1 e quando i2 flui pelo resistor 
R, a potência é p2 = Ri
2
2. Se a corrente i1+i2 passar 
por R, a potência p3 = R(i
2
1+i
2
2)  p1+p2. 
 
 O Teorema de Thévenin permite reduzir circuitos para 
configurações mais simples. Em geral pode-se: 
 
 Reduzir o número de componentes necessários para 
estabelecer as mesmas características aos terminais de 
saída. 
 Investigar o efeito da mudança de um componente em 
particular sobre o comportamento de um circuito sem ter de 
analisar o circuito inteiro novamente. 
 O Teorema de Thévenin afirma que: 
 
 Qualquer circuito de corrente contínua de dois terminais 
pode ser substituído por um circuito equivalente que 
consista somente de uma fonte de tensão e de um resistor 
em série. 
2. Teorema de Thévenin 
1. Remova a parte do circuito para a qual deseje 
obter um equivalente de Thévenin; 
2. Assinale os terminais do circuito remanescente; 
3. Calcule Rth colocando todas as fontes em zero: 
fonte de tensão se tornam curtos, fonte de corrente 
se tornam abertos. 
4. Utilizando algum método de análise de circuitos, 
encontre a U (V) nos terminais remanescentes; 
5. Desenhe o circuito equivalente de Thévenin com 
VTh e RTh. 
2. Teorema de Thévenin: 
Procedimentos 
 Exemplo: 
12 
52 
12 V
710 
LR2. Teorema de Thévenin 
 Em um primeiro passo, a carga é removida e os 
terminais marcados: 12 
52 
12 V
710 
LRa
b
2. Teorema de Thévenin 
 O segundo passo é eliminar as fontes e medir 
Rth: 12 
52 
710 
a
b
[(5 7) / /12] 2 10  
a
b
2. Teorema de Thévenin 
 Encontrar a tensão de Vth ( = Vab): 12 
52 
12 V
710 
a
b
12 / (5 7 12) 0,5 AI    12 0,5 6 abV V  
Note que não há 
queda nos 
resistores dos 
terminais a e b, 
pois não há 
corrente 
passando por 
eles. 
2. Teorema de Thévenin 
 Finalmente, o circuito equivalente de Thévenin 
para carga RL é o seguinte: 
 
 
18 ThR  
6 ThV V
a
b
LR
2. Teorema de Thévenin 
3. Teorema de Norton 
 O Teorema de Norton afirma que: 
 
 Qualquer circuito de corrente contínua de dois 
terminais pode ser substituído por um circuito 
equivalente que consista somente de uma fonte de 
corrente e de um resistor em paralelo. 
 
 O Resistor paralelo é denominado RN. 
 
 A fonte de Corrente é denominada IN. 
3. Teorema de Norton 
 Procedimentos: 
1. Remova a parte do circuito para a qual deseje 
obter um equivalente de Norton 
2. Assinale os terminais do circuito remanescente. 
3. Calcule RN colocando todas as fontes em zero: 
fonte de tensão se tornam curtos, fonte de 
corrente se tornam abertos. 
4. Utilizando algum método de análise de 
circuitos, encontre a corrente de curto-circuito 
entre os terminais remanescentes. 
5. Desenhe o circuito equivalente de Norton com 
IN e RN 
3. Teorema de Norton 
 Exemplo: 12 
52 
12 V
710 
LR
3. Teorema de Norton 
 Remove-se a carga e os terminais são 
assinalados: 
12 
52 
12 V
710 
LRa
b
3. Teorema de Norton 
 Calcular RN é feito da mesma forma que RTh: 12 
52 
710 
a
b
[(5 7) / /12] 2 10  
a
b
3. Teorema de Norton 
 Para encontrar IN muitas vezes é necessário 
recorrer a algum procedimento de análise mais 
elaborado. 12 
52 
12 V
710 
a
b
IN
3. Teorema de Norton 12 
2 
10 
a
b
IN
12 1 A
6 
12 
a
b
IN1 A
Substituiu-se a fonte 
de tensão e 
resistência série por 
uma fonte de corrente 
e resistência paralelo 
Em seguida, 
simplificou-se os 
resistores paralelos e 
as resistências 
séries. 
Note que os terminais 
a e b são 
preservados. 
3. Teorema de Norton 
Novamente aplicando 
a conversão de 
fontes, chegamos ao 
seguinte circuito. 
A corrente pode 
facilmente ser 
calculada: 
I = 6 / 18 = 0,333 A 
6 V
6
a
b
12 
IN
18 0,333 ANI 
a
b
Finalmente, o 
circuito equivalente 
de Norton. 
4. Máxima Transferência de Potência 
 A potência máxima é trasnferida a uma carga 
quando a resistência de carga for igual à resistência 
de Thevenin quando vista da carga (RL = RTH). 
 
𝑝 = 𝑖2. 𝑅𝐿 =
𝑉𝑇𝐻
𝑅𝑇𝐻+𝑅𝐿
2
 (1) 
 
4. Máxima Transferência de Potência 
  Para provar o teorema da máxima transferência de 
potência, diferenciamos p na Equação (1) em relação à 
RL e fazemos que o resultado seja igual a zero. Obtemos 
 
𝑑𝑝
𝑑𝑅𝐿
= 𝑉2𝑇ℎ
𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿
2 − 2𝑅𝐿 𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿
𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 4
 
𝑑𝑝
𝑑𝑅𝐿
= 𝑉2𝑇ℎ
𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 − 2𝑅𝐿
𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 3
= 0 
 
Isso implica que 
 
0 = 𝑅𝑇ℎ + 𝑅𝐿 − 2𝑅𝐿 = 𝑅𝑇ℎ − 𝑅𝐿 
∴ 𝑅𝐿 = 𝑅𝑇ℎ (2) 
 
 
 
4. Máxima Transferência de Potência 
  Variando a resistência de carga RL, a potência 
liberada à carga varia conforme descrito na Figura. 
 
 
 
 
 
 Substituindo a equação (2) em (1), temos que a 
potência máxima transferida é obtida pela equação: 
 
𝑝𝑚𝑎𝑥 =
𝑉2𝑇ℎ
4𝑅𝑇ℎ