UNIDADE 3 - Aula 4 - Ajuste de Curvas

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UNIDADE 3 – ASSOCIAÇÃO E CORRELAÇÃO 
1. Ajuste de Curvas 
3.1 ANÁLISE DE REGRESSÃO 
 O termo regressão surgiu no final do século XIX em 
trabalhos que procuravam explicar certas características de 
um indivíduo a partir das características de seus pais. 
 
 Um cientista inglês, Francis Galton, coletou altura, peso, 
medidas de ossos específicos e outras características de 
membros da família, para tentar prever a altura dos filhos. 
 
 Para ele, era óbvio que pais altos tendiam a ter filhos altos. 
 
 Haveria alguma fórmula matemática com que pudesse 
prever qual seria a altura do filho usando como base apenas 
a altura dos pais? 
3.1 ANÁLISE DE REGRESSÃO 
 Galton descobriu um fenômeno que chamou de “regressão à 
média”. 
 
 Acontece que filhos de pais muito altos tendem a ser mais baixos 
que seus pais, e os filhos de pais muito baixo tendem a ser mais 
altos que seus pais. 
 
 É como se uma misteriosa força fizesse a estatura humana se 
afastar dos extremos e se aproximar da altura média de todos os 
homens. 
 
 O fenômeno da regressão à média não é válido só para a altura 
humana; quase todas as observações científicas apresentam 
regressão à média. 
 
 Posteriormente, outro pesquisador (R.A. Fisher) foi capaz de 
transformar a regressão à média em modelos estatísticos. 
3.1 ANÁLISE DE REGRESSÃO 
 Como vimos, a correlação mede a força, ou o grau, de 
relacionamento entre duas variáveis. 
 
 Por sua vez, a regressão dá uma equação que descreve 
o relacionamento em termos matemáticos. 
 
 O modelo estatístico-matemático de regressão relaciona 
uma variável Y, chamada de variável dependente ou 
resposta, com uma (ou mais variáveis) X, denominada 
variável explicativa ou independente. 
 
 
3.2 APLICAÇÕES DO MODELO DE REGRESSÃO 
Variável independente (X) → Variável dependente (Y) 
Renda → Consumo 
Gasto com controle de 
qualidade 
→ Número de defeitos nos produtos 
Memória RAM do computador → 
 
Tempo de resposta do sistema 
Área construída do imóvel → 
 
Preço do imóvel 
3.3 ANÁLISE DE REGRESSÃO 
 Objetivo: Explicar como uma variável se comporta em 
função de outra. 
 Outra definição: estimar valores de uma variável, com base 
em valores conhecidos de outra 
 
 Variável dependente (Y): variável de interesse, cujo 
comportamento se deseja explicar. 
 
 Variável independente (X): variável utilizada para 
explicar a variável dependente. 
 
 Modelo de regressão linear: equação linear (reta) que 
associa Y e X. 
3.3 ANÁLISE DE REGRESSÃO 
 Deve-se lembrar que a lógica de uma relação deve provir de teorias 
externas ao âmbito da estatística. 
 
 A análise de regressão apenas indica qual relacionamento 
matemático pode existir, se existir algum. 
 
 Embora tais relações possam assumir uma grande diversidade de 
formas, nossa discussão se limitará às equações lineares. 
 
 Essas equações são importantes porque servem para aproximar 
muitas das relações da vida real, e porque são relativamente fáceis 
de lidar e de interpretar. 
 
 Outras formas da análise de regressão, tais como regressão 
múltipla (mais de duas variáveis) e regressão curvilínea (não-
linear) envolvem extensões dos mesmos conceitos utilizados na 
regressão linear simples. 
3.4 A EQUAÇÃO LINEAR 
 Uma equação linear tem a forma: 
 
 
 
 Fixando valores para a e b, a equação acima é a 
equação de uma reta. 
 
 Por exemplo, se a = 1 e b = 2, a equação y = 1 + 2x é 
uma certa reta. 
 
 Para desenhar essa reta, basta atribuir valores para X 
e calcular os correspondentes valores para Y. 
 
bxay +=
3.4 A EQUAÇÃO LINEAR 
 Digamos que x=0, então y = 1 + 2*0 = 1. 
 
 Para x=1, então y = 1+2*1 = 3. 
 
 
3.4 A EQUAÇÃO LINEAR 
 Digamos que x=0, então y = 1 + 2*0 = 1. 
 
 Para x=1, então y = 1+2*1 = 3. 
 
 Assim, temos a reta: 
 
0 
0,5 
1 
1,5 
2 
2,5 
3 
3,5 
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 
Y
 
X 
3.5 MODELAGEM 
 Ao observarmos um conjunto de observações, 
verificamos que, em geral, os pontos não estão 
exatamente sobre uma reta, mas flutuam em torno de 
alguma reta imaginária. 
 
 Isso ocorre porque essa reta é um modelo. 
 
 E, como todo modelo é imperfeito, não conseguiremos 
capturar todos os aspectos da realidade. 
3.5 MODELAGEM 
 Então, a equação anterior pode ser transformada em 
um modelo com a adição de um erro aleatório, isto é, o 
efeito de uma infinidade de fatores que estão afetando 
a observação de Y de forma aleatória. 
 
 
 Por exemplo, a altura de um indivíduo (Y) não depende 
somente da altura média de seus pais (X), mas, 
também, de sua alimentação, do genótipo de seus 
ancestrais e de uma infinidade de outros fatores, tudo 
representado no modelo por ε. 
ε++= bxay
3.5 MODELAGEM 
 Dessa forma, cada indivíduo “possuirá” uma reta de 
regressão, no sentido que sua altura individual será 
determinada pela altura de seus pais e dos seus fatores 
aleatórios. 
 
 Dessa forma, a equação passa a ter um caráter mais 
pessoal: 
 
 
 Onde o índice i indica o indivíduo analisado. 
iii bxay ε++=
3.5 MODELAGEM 
 Como não controlamos o erro, nosso objetivo é 
encontrar a reta que passe mais próximo possível dos 
pontos observados. 
 
 Representaremos esta reta por: 
 
 
 E a chamaremos de reta de regressão ou equação de 
regressão. 
bxay +=ˆ
3.6 EXEMPLO 
 Vamos considerar uma parte dos dados coletados por 
Galton, por volta de 1885. 
 
 Tabela: Altura de indivíduos (Y) e alturas médias de 
seus pais (X), medidas em centímetros. 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Stigler (1986, p.286; apud Barbetta, 2012), com adaptações. 
X Y X Y X Y X Y 
164 166 164 168 166 166 166 168 
166 171 166 173 169 166 169 168 
169 171 169 173 171 166 171 168 
171 171 171 173 171 176 173 168 
173 171 173 176 173 178 176 171 
176 173 176 176 178 176 178 178 
3.6 EXEMPLO 
 Diagrama de dispersão com reta ajustada. 
 
 
 
 
 
 
 
164 
166 
168 
170 
172 
174 
176 
178 
180 
162 164 166 168 170 172 174 176 178 180 
Y 
X 
12ε
bxay +=ˆ
3.6 EXEMPLO 
 Como visto na figura, o erro é determinado pela 
diferença entre o valor y e a reta ajustada 
 
 
 
 
 
 
 
164 
166 
168 
170 
172 
174 
176 
178 
180 
162 164 166 168 170 172 174 176 178 180 
Y 
X 
12ε
bxay +=ˆ
yˆ
3.7 MÍNIMOS QUADRADOS 
 Para encontrar a reta que passa mais próximo aos 
pontos, devemos encontrar a reta que minimize os 
erros. 
 
 Como Y e X dependem dos indivíduos, temos que 
encontrar os valores de a e b na equação linear. 
 
 O método mais usado para encontrar a e b é conhecido 
como o método dos mínimos quadrados (ou mínimos 
quadrados ordinários – MQO). 
3.7 MÍNIMOS QUADRADOS 
 Esse método fornece as seguintes expressões: 
 
 
2
11
2
1 11
*
)*(*






−

















−
=
∑∑
∑ ∑∑
==
= ==
n
i
i
n
i
i
n
i
n
i
i
n
i
iii
XXn
YXYXn
b
XbYa *−=
3.8 MÍNIMOS QUADRADOS - EXEMPLO 
 No exemplo, 
 b = 0,5883 
 a = 70,821 
 
 
 
 
 Nessa equação, o valor a = 70,821 é o intercepto. 
 Nesse caso, o intercepto não tem uma interpretação prática. Não 
faz sentido dizer que a altura mínima da pessoa seria 70,8 cm, 
caso os pais dela tivessem uma altura de 0 cm. 
 
 O valor b = 0,5883 é o coeficiente angular da reta e indica a 
variação de y por unidade de variação de x. 
 A cada centímetro a mais na altura média dos pais, esperamos um 
acréscimo de 0,5883 cm na altura do filho. 
 
 
ii xy *5883,0821,70 +=
3.9 MÍNIMOS QUADRADOS –EXEMPLO 2 
 Suponha que tenhamos coletado dados de vendedores 
de carros da área, sobre a quilometragem e preços de 
carros de 1975 de certa marca e com determinado 
equipamento (ar condicionado, toca-fitas, etc). 
 
 Os dados amostrais, que poderiam se originar de uma 
amostra aleatória de vendedores da região, se 
apresentariam mais ou menos como os dados da tabela 
a seguir. 
3.9 MÍNIMOS QUADRADOS – EXEMPLO 2 
Observação (i) Km (em mil) (xi) Preço de venda $ (yi) 
1 40 1000 
2 30 1500 
3 30 1200 
4 25 1800 
5 50 800 
6 60 1000 
7 65 500 
8 10 3000 
9 15 2500 
10 20 2000 
11 55 800 
12 40 1500 
13 35 2000 
14 30 2000 
3.9 MÍNIMOS QUADRADOS – EXEMPLO 2 
0 
500 
1000 
1500 
2000 
2500 
3000 
3500 
0 10 20 30 40 50 60 70 
P
re
ço
 
Km 
 A partir do diagrama de dispersão, parece que uma 
relação linear é razoavelmente consistente com os 
dados amostrais. 
3.9 MÍNIMOS QUADRADOS – EXEMPLO 2 
0 
500 
1000 
1500 
2000 
2500 
3000 
3500 
0 10 20 30 40 50 60 70 
P
re
ço
 
Km 
 A equação de regressão resultante é: 
 
xy *56,38934.2ˆ −=
xy *56,38934.2ˆ −=
3.9 MÍNIMOS QUADRADOS – EXEMPLO 2 
 A equação pode ser interpretada da seguinte maneira: 
 
 O preço esperado para um carro de 1975 é $ 2.934 
menos $ 38,56 para cada mil quilômetros que o carro 
tenha rodado. 
 
 O intercepto indica que se o carro não tiver nenhum 
quilômetro rodado, seu valor seria de $ 2.934. 
 
 Por outro lado, se um carro tiver 20.000 km rodados, a 
equação sugere que o preço de venda é $ 2.934 – 
38,56*20 = $ 2.163. 
 
3.9 MÍNIMOS QUADRADOS – EXEMPLO 2 
 É importante reconhecermos certos fatos relativos à equação 
de regressão. 
 
 Um é que se trata de uma relação média; assim, um carro 
com determinada quilometragem não obterá 
necessariamente o preço de venda exato indicado pela 
equação. 
 
 Outro ponto importante é que seria muito arriscado 
extrapolar essa equação para preços e quilômetros fora do 
âmbito dos dados. 
 
 Em outras palavras, embora tenhamos ficado razoavelmente 
convencidos, mediante uma rápida inspeção dos dados, de 
que a relação era linear, isso não nos autoriza a supor que 
carros com maior ou menos quilometragem apresentem a 
mesma relação entre preço e quilometragem. 
	Unidade 3 – Associação e Correlação
	3.1 Análise de Regressão
	3.1 Análise de Regressão
	3.1 Análise de Regressão
	3.2 Aplicações do Modelo de Regressão
	3.3 Análise de Regressão
	3.3 Análise de Regressão
	3.4 A Equação Linear
	3.4 A Equação Linear
	3.4 A Equação Linear
	3.5 Modelagem
	3.5 Modelagem
	3.5 Modelagem
	3.5 Modelagem
	3.6 Exemplo
	3.6 Exemplo
	3.6 Exemplo
	3.7 Mínimos Quadrados
	3.7 Mínimos Quadrados
	3.8 Mínimos Quadrados - Exemplo
	3.9 Mínimos Quadrados – Exemplo 2
	3.9 Mínimos Quadrados – Exemplo 2
	3.9 Mínimos Quadrados – Exemplo 2
	3.9 Mínimos Quadrados – Exemplo 2
	3.9 Mínimos Quadrados – Exemplo 2
	3.9 Mínimos Quadrados – Exemplo 2