APOSTILA PLANIMETRIA 2 0

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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE PERNAMBUCO
Gerência Educacional de Ensino Técnico
- Coordenadoria de Saneamento Ambiental -
T O P O G R A F I A
- Planimetria -
Índice
	01 – Apresentação
	Pág.02
	02 - Objetivos da topografia
	Pág.03
	Generalidades topográficas
	Pág.03
	Topografia – etimologia
	Pág.03
	Definição topografia
	Pág.03
	Planos de projeção
	Pág.03
	Ponto topográfico
	Pág.04
	03 - Grandezas topográficas
	Pág.05
	Alinhamento
	Pág.05
	Poligonal
	Pág.05
	Ângulos topográficos
	Pág.06
	Unidades de medida
	Pág.07
	04 – Escala 
	Pág.08
	Definição
	Pág.09
	Divisão/Tipos
	Pág.09
	Erro de Graficismo
	Pág.10
	05 – Instrumentos e Acessórios Topográficos
	Pág.10
	06 – Azimute
	Pág.11
	Determinação
	Pág.11
	Fórmula geral
	Pág.12
	07 – Rumo
	Pág.13
	Transformação rumo/Azimute
	Pág.14
	Transformação Azimute/rumo
	Pág.15
	08 – Levantamento topográfico
	Pág.15
	Definição
	Pág.15
	Tipos
	Pág.16
	Levantamento planimétrico – MÉTODOS
	Pág.16
	- Irradiação
	Pág.16
	- Interseção
	Pág.17
	- Caminhamento perimétrico 
	Pág.18
	09 –Coordenadas retangulares
	Pág.18
	Projeções diretas
	Pág.19
	Correções
	Pág.20
	Projeções Compensadas
	Pág.24
	Coordenadas Absolutas
	Pág.24
	10 – Cálculo de área
	Pág.25
	11 – Locação
	Pág.27
	Locação por coordenadas retangulares
	Pág.28
	12 - Bibliografia
	Pág.32
1 - Apresentação
	Na última década, a topografia passou a ser normatizada pela Associação Brasileira de Normas Técnicas – ABNT, objetivando a obtenção de um padrão na execução dos levantamentos topográficos, bem como no tratamento dos dados de campo. Teve o mercado abastecido com dezenas de novos instrumentos e softwares, tudo com o objetivo de agilizar/facilitar e melhorar a precisão na aquisição, processamento e apresentação dos dados colhidos em campo.
	Diante destas inovações, não poderíamos deixar de buscar, pelo menos, uma forma mais clara de expor alguns conteúdos. Por isso, elaboramos esta apostila com o objetivo de facilitar a aprendizagem e o ensino dos conteúdos de Topografia que nem sempre são compreendidos como deveriam.
	Esperamos que o estudo que ora se inicia seja agradável, assim como seus resultados, afinal, esta apostila foi elaborada utilizando, além de parte da nossa experiência profissional, bibliografias conceituadas na área, tudo com o objetivo de facilitar o entendimento.	
	Dirigida aos técnicos em geral e demais profissionais interessados, esta apostila traz em seu conteúdo, os assuntos de forma objetiva e sintética, procurando sempre dar ênfase no essencial.
	Esperamos também, que todo aquele que trabalha com topografia, ou venha a trabalhar, continue com o compromisso voltado para a atualização e aumente a busca por melhores resultados. 
 
	Por fim, aproveitamos a oportunidade para agradecer aos colegas de trabalho que, direta ou indiretamente, colaboraram para que esta fosse desenvolvida, especialmente ao Coord. do Curso de Saneamento Ambiental (Ernani Júnior) pela sua participação.
O autor
______________________________________________________
2 - Objetivos da Topografia
2.1 - Generalidades Topográficas
	É comum encontrar pessoas que não conhecem as aplicações da Topografia. Talvez pelas necessidades de cada um ou, simplesmente, pela falta de informações precisas sobre esta ciência que é indispensável para a grande maioria das obras de engenharia. 
	
	Dentre muitas aplicações da Topografia, poderíamos citar como exemplo: a construção de rodovias e ferrovias; Construção de barragens; construção de linhas de transmissão; redes de esgotos; obras de drenagem urbana e agrícola; na agronomia; na construção de prédios, além de servir de apoio para as industrias na montagem de máquinas e equipamentos. Estes são apenas alguns exemplos de obras que, sem o apoio da Topografia, ficariam comprometidas, ou seja, não seriam atendidas as exigências mínimas de qualidade, necessárias a qualquer obra de infra-estrutura.
	
	Como pudemos observar, as aplicações da Topografia são bastante diversificadas porém, não são complicadas. Para que possamos entender e utilizá-las corretamente será necessário apenas atenção e um certo interesse que, aliados ao apoio de um professor, farão a diferença final entre um profissional prático e outro (você) que escolheu fazer um curso de Topografia ou qualquer outro que contenha em seu conteúdo esta matéria.
2.2 - Topografia - Etimologia
	A origem da palavra Topografia vem do grego "TOPUS" (Lugar) e "GRAPHEIN" (Descrição); logo, Topografia significa "Descrição do Lugar". 
2.3 - Topografia - Definição
	Podemos definir Topografia como sendo a ciência que se ocupa em descrever, com precisão, os detalhes artificiais e naturais existentes na superfície terrestre. Esta descrição é feita através de medidas angulares e lineares. Estas, por sua vez, determinarão o contorno, a dimensão, e a posição relativa de uma determinada porção da terra sem levar em consideração, a curvatura resultante da sua esfericidade.
2.4 - Planos de Projeção
	Todas as representações topográficas são feitas através de planos de projeção (horizontal e vertical), onde são lançados todos os dados colhidos em campo. No caso específico da Planimetria, utilizamos o plano horizontal para fazer tal representação, a qual damos o nome de Planta Topográfica.
2.5 - Ponto Topográfico
	Observando o desenho acima verificamos que sobre o plano existe uma figura que representa fielmente um trabalho realizado em campo. Observamos também que o mesmo é constituído de alinhamentos que se uniram e formaram um polígono. Esta união, em campo, só é possível graças ao auxílio de pontos materializados no terreno e que têm o objetivo de identificar, exatamente, a origem e a extremidade de medidas angulares e lineares. A estes pontos damos o nome de PONTOS TOPOGRÁFICOS.
	Para materializar um ponto topográfico basta ter um corpo que possa hospedá-lo. Normalmente, um ponto topográfico é materializado sobre piquetes de madeira, marcos de concreto, e/ou sobre pavimentos através de círculos à tinta. Esta materialização poderá ser feita através de um furo sobre um piquete ou colocando um pequeno prego; Pintando um círculo com tinta sobre pavimentos (sem esquecer do ponto ao centro) ou sobre marcos de concreto. Não deveremos esquecer a nomenclatura que identificará o ponto ora materializado.
______________________________________________________
3 - Grandezas Topográficas
3.1 - Alinhamento Topográfico
	É a distância horizontal existente entre dois pontos topográficos. Todo alinhamento possui elementos (essenciais) que o caracterizam como tal. São eles: Origem, Extremidade, Comprimento, e Direção. É importante lembrar que, enquanto a medida estiver sendo efetuada na mesma direção ainda estaremos no mesmo alinhamento.
3.2 - Poligonal Topográfica
	É a sucessão de vários alinhamentos topográficos, interligados por pontos denominados vértices. Esta definição se aplica bem, principalmente quando o método de levantamento topográfico utilizado é o do caminhamento perimétrico. Veremos este método adiante com mais detalhes. 
Exemplo de Poligonal:
Nos exemplos acima, observa-se que os ângulos existentes entre os alinhamentos podem ser internos ou externos à poligonal. Tudo dependerá do sentido que for escolhido para o caminhamento.
3.3 - Ângulos Topográficos
	
	Existem ângulos verticais e horizontais. Somente os horizontais serão objeto de estudo em Planimetria.
3.3.1 - ÂNGULOS HORIZONTAIS : 
a) Direto, b) Azimute, c) Rumo, d) Deflexão.
a)DIRETO - Tem origem em um alinhamento anterior. Cresce sempre em sentido horário.Seu valor angular varia entre 0°(zero grau) e 360° (trezentos e sessenta graus);
b)AZIMUTE - Tem origem no norte magnético. Cresce sempre em sentido horário. Seu valor angular varia entre 0°(zero grau) e 360° (trezentos e sessenta graus);
c)RUMO - É o menor ângulo formado entre a linha norte-sul e o alinhamento. Pode ter sua origem tanto no norte quanto no sul. Cresce em sentido horário ou anti-horário. Seu valor angular varia entre 0°(zero grau) e 90° (noventa graus) em cada quadrante;
d)DEFLEXÃO - Tem origem no prolongamento do alinhamento anterior e fim no posterior. Cresce em sentido horário ou anti-horário. Seu valor angular varia entre 0°(zero grau) e 180°.
	Observando as definições percebe-se que, cada ângulo citado tem sua característica. Para que possamos identificá-los com maior facilidade, bastará observar, basicamente, sua origem e sua variação (valor máximo), já que seu objetivo está bastante claro, que é dar direção aos alinhamentos.
3.4 - Unidades de Medida (Lineares e Angulares)
	Utilizamos como unidade linear o metro (m), o quilômetro (Km), e a estaca de 20 metros (Est.); Como unidade angular adotamos o grau sexagesimal (° ’ ”), onde cada grau equivale a 60 minutos e cada minuto equivale a 60 segundos.
3.4.1 - Transformações entre unidades Lineares
4.550,50 m = Est. 227 + 10,50 m ; 
Lê-se: quatro mil quinhentos e cinqüenta metros e cinqüenta centímetros é igual a duzentas e vinte e sete estacas inteiras mais dez metros e cinqüenta centímetros. 
b) Est. 55 + 18,40 m = 1.118,40 m .
Lê-se: cinqüenta e cinco estacas inteiras mais dezoito metros e quarenta centímetros é igual a um mil cento e dezoito metros e quarenta centímetros.
3.5 - OPERAÇÕES NO SISTEMA SEXAGESIMAL
 40º50’20”	 		 178º40’50”
+ 25º40’30”	 		 -75º50’55”
 66º30’50”		 102º49’55”
______________________________________________________
4 - ESCALA – Importância e Aplicações
	Antes de começarmos o estudo desta “ferramenta”, indispensável na execução de qualquer desenho, seja ele arquitetônico, técnico, topográfico, mecânico, etc., seria bom tecermos alguns comentários sobre sua importância.
	Para quem não tem idéia da sua importância, primeiro imagine como seria representar uma minúscula peça de um relógio de pulso (ex: uma engrenagem com 1 mm de diâmetro) em um pedaço de papel; depois imagine também, como seria a representação de uma caneta em uma folha de papel ofício; por último, imagine como seria a representação do ginásio esportivo do CEFET – PE, utilizando para tal fim a mesma folha de papel ofício. Percebe-se que, em cada um dos casos, serão utilizados procedimentos diferentes para alcançar o objetivo. No entanto, nos três casos citados, estaremos sempre utilizando a Escala como meio para alcançarmos o objetivo final, que é a representação gráfica da área ou objeto. 
Questionamos: COMO SERÁ FEITA A REPRESENTAÇÃO, EM CADA UM DOS CASOS CITADOS ACIMA ?
4.1 - ESCALA – Definição
	Define-se Escala (E) como sendo a relação numérica existente entre medidas gráficas (ℓ), que figuram em um determinado desenho, e suas respectivas medidas reais ou naturais (L). Sendo assim, representamos Escala da seguinte forma:
E = ℓ/L ou E = 1:M (no caso da escala de redução), donde:
E = Escala
ℓ = Valor Gráfico ou medida gráfica 
L = Valor Natural ou real
M= Módulo ou fator
OBS.: A medida gráfica (ℓ) poderá ser menor ou poderá ser maior do que a medida natural (L). Dependerá do tipo de Escala que estiver sendo utilizada. Se for Escala de Ampliação, o valor gráfico será maior do que o natural. Se for Escala de Redução, ocorrerá o contrário.
4.2 - ESCALA – Divisão e Tipos
	As Escalas são divididas em Numérica e Gráfica. A Escala Gráfica, por sua vez, divide-se em Simples e Composta; A numérica é representada por uma fração.
	Utilizaremos em Topografia, a Escala Numérica. Esta, por sua vez, é classificada em NATURAL, de AMPLIAÇÃO, e de REDUÇÃO. Cada uma delas com as suas devidas aplicações.
Módulo ou Fator (M) – É um número que indica quantas vezes uma determinada medida natural (L) foi ampliada ou reduzida. Dependerá da escala que estiver sendo utilizada.
4.3 - Representação das Escalas
	A Escala Natural sempre será representada na forma 1/1 ou 1:1 (lê-se um para um). Isto significa que, cada medida tomada no desenho, corresponderá à mesma medida natural ou real.
Ex: Imagine uma caneta, cujo seu tamanho real seja de 15 cm. Se desenharmos a mesma com 15 cm, significa que utilizamos a Escala Natural ou simplesmente a Escala 1/1. 
	Na Escala de Ampliação, a representação será feita na forma E= M/1 ou E=M: 1. Ou seja, sempre que o Módulo da Escala vier no numerador da fração, indicará que existe uma ampliação.
Ex: Uma engrenagem de relógio foi ampliada em cem vezes, para que pudéssemos melhor observar os seus detalhes. Representaríamos a Escala da seguinte forma: E = 100/1 ou E= 100:1 (lê-se cem para um).
	Já na Escala de Redução, a representação será sempre E=1/M ou E=1:M. Esta Escala é a que utilizamos em topografia, já que seria impossível a representação de qualquer medição topográfica em verdadeira grandeza, por pequena que fosse.
Ex: Se precisássemos desenhar o Ginásio Esportivo deste Centro, não seria possível fazê-lo em verdadeira grandeza. E mesmo que fosse possível, seria inútil. Para este e outros casos, onde a medida natural é maior do que a folha de papel utilizaremos, sempre a Escala de Redução.
4.4 - ERRO DE GRAFICISMO
	Erro de graficismo ou simplesmente limite de precisão gráfica, nada mais é do que a menor representação gráfica que é possível fazer em uma determinada escala. Está comprovado que o olho humano sem auxílio de instrumentos consegue perceber um ponto desenhado até 1/5 do milímetro, ou seja, 0,2 mm. Sendo assim, algumas dimensões, após aplicarmos a escala do desenho, não serão representadas.
Ex: Na Escala 1/20.000 (um para vinte mil) a menor representação gráfica possível será de 4 m. Ou seja, 0,2 mm na escala 1/20.000 estará valendo 4 m no desenho. Isto significa que qualquer dimensão com 4 m ou menos, será representada apenas com um minúsculo ponto de 0,2 mm de diâmetro. 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: De posse destas informações, passe a zelar mais pela precisão nos traçados que envolvem escala. Caso contrário, um simples descuido poderá ocasionar grandes erros no desenho.
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5 - INSTRUMENTOS E ACESSÓRIOS TOPOGRÁFICOS
	Faremos uma breve exposição sobre os principais instrumentos, equipamentos e acessórios topográficos utilizados tanto na Planimetria quanto na altimetria.
Teodolito – Instrumento utilizado em levantamentos planimétricos, altimétricos e planialtimétricos. Tem a finalidade de medir ângulos horizontais e verticais, bem como determinar alinhamentos com precisão. A precisão das suas leituras varia de acordo com o modelo e o fabricante.
Nível de Luneta – Instrumento utilizado com finalidade principal de obter os desníveis do terreno. Isto pode ser facilmente conseguido com o auxílio de uma mira falante.
Mira Falante – É uma régua graduada de centímetro em centímetro que serve para obtenção dos desníveis do terreno. Podem ser de encaixe ou dobráveis, e possuem, geralmente, comprimento de três ou quatro metros.
Trena – Instrumento de medição direta de distâncias. Normalmente confeccionadas em fibra de vidro ou em aço. Podem ter tamanhos de 10, 20, 30, 50 ou até 100m.
Receptores GPS – Instrumento geodésico que tem a finalidade de determinar as coordenadas geográficas, bem como a altitude, de pontos na superfície terrestre. A determinação dos dados citados é feita através da recepção de sinais emitidos por satélites em órbita no espaço. 
Distanciômetro – Como o próprio nome sugere, distanciômetro é um instrumento de medição indireta de distâncias. Trabalha acoplado a um teodolito. A medição éfeita através de raios infravermelhos com o auxílio de prismas refletores.
Estação Total – Instrumento eletrônico que funciona como teodolito e distanciômetro ao mesmo tempo. Ou seja, faz o trabalho dos dois instrumentos citados com muito mais precisão e rapidez, além de possibilitar a armazenagem de dados.
Bússola – Instrumento que tem a finalidade de determinar ângulos Azimutais ou rumais. Temos a bússola que possui limbo e outra (Declinatória) que utiliza o limbo do instrumento ao qual ela está acoplada.
Tripé – Suporte portátil que possui três pernas corrediças e uma base, sobre a qual se acoplam os instrumentos como o teodolito, nível, etc.
Baliza – Haste de ferro, geralmente com 2 metros de comprimento e seção circular com aproximadamente 1,5cm de diâmetro. Utilizada para auxiliar nas medições angulares e lineares. São pintadas em intervalos variados nas cores vermelho e branco para facilitar a visualização à distância e dentro do mato.
Umbrela ou Guarda Sol – Serve para proteger o instrumento dos raios solares ou chuviscos esporádicos. A exposição dos instrumentos a estas condições poderá causar sérios danos aos mesmos. 
______________________________________________________
6 - Azimute Topográfico
	Como já conhecemos a definição de Azimute, iremos nos ocupar apenas com a sua determinação em campo, bem como a determinação da fórmula geral para cálculo dos Azimutes dos alinhamentos.
6.1 - Determinação do Azimute em Campo
	Como iremos trabalhar com Azimute magnético, a determinação será feita através de uma bússola, seja ela Azimutal, rumal, ou declinatória. Esta determinação é feita, geralmente, quando visamos um alinhamento posterior (alinhamento de vante). Bastará para isto, liberar o movimento da agulha da bússola. Este procedimento só será possível quando a bússola for rumal ou Azimutal.
*Consultar o Prof. sobre a determinação com bússola declinatória. 
Determinação da Fórmula Geral de Azimutes
Observando o desenho acima, percebe-se que:
AZ0-1 = 110º 00’ Azimute lido na bússola
AZ1-2=(AZ0-1+(1-2)+180º calculado
AZ2-0=(AZ1-2+(2-0)-180º calculado
 
OBS.: Quando a soma dos dois primeiros termos for ( 180º, adiciona-se 180º;
Quando a soma dos dois primeiros termos for ( 180º, subtrai-se 180º;
Sendo assim, podemos escrever a seguinte fórmula geral :
6.2 - FÓRMULA GERAL DE AZIMUTES
AZn=(AZn-1+(n)±180º
Onde:
AZn= Azimute do alinhamento posterior ( Az de vante ) a ser calculado
AZn-1 = Azimute do alinhamento anterior
(n=Ângulo direto existente entre o alinhamento anterior e o posterior.
NOTA: Como é sabido, a variação máxima de um Azimute é 360º. Sempre que ocorrer o contrário, deveremos subtrair 360º do resultado final do nosso cálculo. Somente após este procedimento teremos o Azimute definitivo. Ou seja, sempre que um Azimute calculado tiver valor superior à 360º , subtrai-se 360º .
Exemplo: 
AzA-B = 315º45’50”	
(B-C = 257º50’30”
AzB-C = (315º45’50” + 257º50’30”) ( 180º
AzB-C = (573º36’20”) – 180º
AzB-C = 393º36’20” (Observar que o resultado é ( 360º. Subtrair 360º deste valor).
AzB-C = 33º36’20” AZIMUTE FINAL
______________________________________________________
7 - Rumo Topográfico/Transformação em Azimute
	Já sabemos que o Rumo é o menor ângulo formado entre a linha norte-sul e o alinhamento. De posse desta informação, vejamos como ele é determinado em campo. Veremos também, como poderemos diferenciar um rumo de um Azimute.
	A determinação de um rumo magnético em campo é semelhante à do Azimute. Bastará ter à disposição uma bússola rumal (bússola que possui quatro quadrantes variando de 0º a 90º em cada um deles).
RUMO NO 1º QUADRANTE
	R = AZ 
Ex.1: R = 30º15’40”NE (Nordeste)
	 AZ = 30º15’40”
RUMO NO 2º QUADRANTE
	R = 180º - AZ
	 AZ = 180º - R
Ex. 2 : R = 30º15’40”SE(Sudeste)
			 AZ = 149º44’20"
RUMO NO 3º QUADRANTE
	R = AZ – 180º 
	AZ = 180º + R 
Ex. 3 : R = 30º15’40”SW (Sudoeste)
					AZ =210º15’40”
RUMO NO 4º QUADRANTE
	R = 360º - AZ
	 AZ = 360º - R
Ex. 4 : R = 30º15’40”NW(Noroeste)
				 AZ = 329º44’20”
Exercícios
1 - Observe o desenho abaixo e calcule os azimutes dos alinhamentos CB e BA. O azimute inicial (DC) mede 221º45’55”.
 
 
 D 				 
							 				 
 CαC-B = 71º15’20” 			 	 	 A 								 
				
 
 B αB-A = 148º07’55” 
						
 
 			 			 
2 – Ao medir um terreno numa planta encontrou-se as seguintes medidas: 75 mm X 255 mm. Considerando que o fator de redução da escala é de 2500 vezes, você diria que as dimensões do terreno são, respectivamente, __________ m e __________ m.
3 – Ao desenhar uma poligonal na escala 1/25.000, cometi um erro (no desenho) que equivale a 155 m no campo. Analisando os dados, você diria que o erro gráfico foi de __________ cm.
4 – Transforme o rumo abaixo em azimute.
RB-C = 73º52’44” SE		AzB-C = ______________ 
5 – ___________________________________________ têm o objetivo de identificar, exatamente, a origem e a extremidade de medidas angulares e lineares.
6 – Sabemos que ao chegar no ponto 5 de uma poligonal, lá estava a Est. 27 + 18,75. Para chegar ao ponto 6, mediu-se uma distância de 427,95 m.
Questiona-se: 
Ao chegar no ponto 6, em qual estaca estaremos, considerando que uma estaca equivale a 20 m?
Est. ______ + _________ m.
7 – Qual a distância (em metros) existente entre os pontos 8 e 9 de uma poligonal, cujos valores das estacas são, respectivamente, Est. 55 + 13,55m e Est. 69 + 9,75m ?
Distância = ____________ m.
8 - Considere que a poligonal em estudo está desenhada em escala. Se o comprimento do alinhamento 2-3 é 65,00m e o mesmo foi desenhado com 13cm, qual é a escala do desenho?
	Escala = ____________
9 – Transforme o Azimute em Rumo.
a. Az3-4 = 155º40’30”		R3-4 = _______________
10 – Um ponto topográfico pode ser materializado (marcado) sobre______________________ , _______________________.
11– O alinhamento C-1 está perfeitamente caracterizado pois possui _____________, ______________, ________________ e ____________________.
12 – Calcule os azimutes dos alinhamentos B-C, C-1, considerando os seguintes dados:
RB-C = 45º NW		AzB-C = ______________
αC-1 = 271º15’20”		AzC-1 = ______________
13 – Os comprimentos de todos os alinhamentos foram transformados em estaca (unidade de medida). Diante desta informação, calcule e informe qual é a extensão do alinhamento C-1, sabendo-se que o vértice C = E7 + 18,60m e o vértice 1 = E11 + 18,60m.
D C-1 = ________________ m
______________________________________________________
8 - Levantamento Topográfico
	DEFINIÇÃO - Podemos definir levantamento topográfico como sendo um conjunto de métodos/processos realizados em campo, que tem o objetivo de coletar dados lineares e angulares (no caso da planimetria) que irão colaborar na confecção da planta topográfica.
8.1 - Tipos de Levantamento Topográfico
	Os levantamentos topográficos são divididos em : Planimétricos, Altimétricos, e Planialtimétricos . De todos, trataremos apenas do Planimétrico, objeto principal deste trabalho.
8.1.1 - Levantamento Planimétrico 
	Este tipo de levantamento irá representar todos os pontos e detalhes levantados (medidos), sejam eles artificiais ou naturais, sobre um plano horizontal .
8.1.1.1 - Métodos de Levantamento PlanimétricoOs métodos mais utilizados na realização de levantamentos planimétricos são : 
	Irradiação - Método que consiste em escolher um único ponto que servirá de estação, de onde serão visados todos os detalhes necessários à construção da planta topográfica . Do ponto estação aos demais, serão medidos ângulos e distâncias, bem como um ângulo de orientação.
Este método de levantamento, apesar de ser simples de realizar, tem suas limitações. Ele geralmente é desenvolvido em pequenas áreas, desde que sejam relativamente planas (além de não aceitar obstáculos) pois a presença destes impediria as visadas.
Procedimento : Escolher um ponto no terreno, em local estratégico, de onde poderão ser visados todos os detalhes que constituirão a planta topográfica. Deste ponto, medir todas os ângulos e distâncias para os detalhes, bem como um ângulo de orientação.
 
	Interseção - Este método consiste na determinação de pontos através da interseção de ângulos. Estes ângulos são obtidos de duas estações, localizadas estrategicamente para facilitar as visadas.
Procedimento : Escolher dois pontos que servirão de base para as medidas a serem realizadas. Medir a distância desta base (única distância medida). Estacionar o teodolito em um dos pontos e realizar todas as medidas angulares necessárias. Repetir este último procedimento com o teodolito estacionado no outro ponto.
	
	Caminhamento Perimétrico - Consiste em percorrer uma série de alinhamentos, medindo seus comprimentos e determinando os ângulos que estes alinhamentos fAzem entre si. Este trajeto dá origem a uma linha poligonal ( ou simplesmente poligonal ), e esta poderá ser aberta ou fechada.
Procedimento : Estacionar o teodolito em um dos pontos (geralmente o primeiro) e fazer uma visada à ré em um alinhamento anterior ou outra direção tomada como referência; fazer uma visada a vante para o alinhamento posterior anotar o ângulo e medir a distância. Repetir este procedimento nos demais pontos do caminhamento. Não esquecer o ângulo de orientação.
Exercícios
1 - Os levantamentos topográficos são divididos em 3 tipos. São eles: _______________, ________________ , e o ___________________ .
2 – No método das Irradiações, os detalhes são levantados a partir de uma ________________________________________, de onde serão visados todos os _______________________________ e medidos _________________________ e ___________________ .
3 – No método das Interseções, a determinação dos pontos é feita através da _________________________________ . Neste método os ângulos são obtidos a partir de _________________________________________________________.
______________________________________________________
9 - CÁLCULO DE COORDENADAS RETANGULARES
	Antes de começar o cálculo propriamente dito, torna-se necessário tecer alguns comentários sobre o que significa calcular coordenadas retangulares e qual a sua importância.
	Calcular coordenadas, nada mais é do que transformar as coordenadas polares (Azimutes e Distâncias) dos alinhamentos, em Coordenadas Retangulares, ou seja, de posse do azimute e da distância de um alinhamento, poderemos, através de fórmulas matemáticas, fazer a conversão, a transformação de um sistema para o outro. Esta conversão é feita a partir do momento que se conhece o valor das projeções dos alinhamentos em estudo, que é feita sobre o eixo das abscissas e das ordenadas (PLANO CARTESIANO). A estas Projeções, damos o nome de PROJEÇÕES DIRETAS. Estas, por sua vez, se constituirão nas Coordenadas Retangulares Absolutas dos vértices da Poligonal.
	
Conhecendo-se as coordenadas (calculadas) dos pontos que compõem uma determinada poligonal, ficará bem mais fácil e muito mais preciso, fazer a representação destes pontos em uma folha de papel. A esta representação damos o nome de Planta Topográfica. Esta planta será concebida sem os erros inerentes a outro método de desenho tradicional, que utiliza Transferidor e Escalímetro na sua confecção.
9.1 - CÁLCULO DAS PROJEÇÕES DIRETAS
	Como já foi dito anteriormente, projeção direta é a projeção ortogonal do alinhamento, que possui distância e uma direção (azimute ou rumo), nos eixos das abscissas e das ordenadas. Estas projeções serão obtidas multiplicando-se o seno do Az ou do rumo pela distância, para conseguir a projeção direta horizontal; e multiplicando-se o co-seno do azimute pela distância, para obtermos a projeção direta vertical.
Vejamos como funciona a transformação analisando os dados a seguir:
Alinhamento a-b Aza-b = 33º33’18” 		Da-b = 117,60 m
Alinhamento b-c Azb-c = 156º39’21”	 	Db-c = 103,40 m
Alinhamento c-d Azc-d = 229º30’50”	 	Dc-d = 53,90 m
Alinhamento d-a Azd-a = 296º12’41”	 	Dd-a = 72,40 m
 
 
 
O resultado das operações com os dados fornecidos constituirão as Projeções Diretas Ortogonais sobre os eixos horizontal e vertical do Plano Cartesiano. No entanto, quando se calculam as Projeções, verifica-se a ocorrência de erros (acidentais, instrumentais, grosseiros, etc.). Estes erros, se forem TOLERÁVEIS, serão distribuídos proporcionalmente por todos os alinhamentos da Poligonal em estudo. Resumindo, somente após a distribuição dos erros ou compensação é que chegaremos às coordenadas absolutas ou finais que permitirão a confecção da Planta Topográfica da área levantada.
O erro encontrado após o cálculo das projeções diretas horizontais será conhecido quando realizarmos a soma algébrica das projeções +(positivas) com as – (negativas). O mesmo acontecerá com as projeções verticais quando o objetivo for encontrar o erro vertical. 
OBS: Se não existisse erro nas medidas (angulares e lineares), o resultado das operações entre as projeções positivas e negativas seria nulo.
ATENÇÃO !
Desenho meramente ilustrativo. NÃO corresponde aos dados do cálculo.
Erro de Projeção Horizontal (Eh)
Eh = (Ph+) + (Ph-)
Erro de Projeção Vertical (Ev)
Ev = (Pv+) + (Pv-)
Erro Absoluto
Ea = ( (Eh)2 + (Ev)2
Ea = 0,056 m
	
Vért.
	
Azimutes
	Funções Trigonométricas
	
Dist.
	Projeções Diretas
	
	
	Co-seno
	Seno 
	
	VERT.(N+/S-)
	HOR.(E+/W-)
	A
	 33º33’18”
	0,83335
	0,55274
	117,60
	 98,003
	65,002 
	B
	156º39’21”
	0,91814
	0,39625
	103,40
	-94,936
	40,973 
	C
	229º30’50”
	0,64926
	0,76056
	53,90
	-34,995
	-40,994
	D
	296º12’41”
	0,44168
	0,89717
	72,40
	 31,978
	-64,955
	
	
	
	 Perímetro 
	347,30
	Ev=0,050m
	Eh=0,026m 
No preenchimento da Planilha de compensação, observamos que foram colocadas duas colunas para as Projeções Diretas. Uma para as abscissas (E+ e W-) e uma para as ordenadas (N+ e S-). Observemos abaixo o motivo. 
 
 
 
9.2 - CORREÇÕES HORIZONTAIS E VERTICAIS (Ch e Cv)
	
	As correções a que nos referimos é a correção das Projeções diretas, que possuem erros. As correções (quando conhecidas) serão somadas algebricamente com as Projeções Diretas, dando origem às Projeções Compensadas. Os valores das correções serão dados pelas fórmulas abaixo e serão calculadas uma a uma, ou seja, para cada alinhamento haverá uma correção. Porém, antes de conhecermos as correções, é necessário que calculemos o erro unitário (a cada metro medido) para cada projeção (Epmh e Epmv).
O Epmh (erro unitário na projeção horizontal) será obtido após dividir o Eh (erro de projeção horizontal) pelo Perímetro da Poligonal; Da mesma forma calcularemos o Epmv (erro unitário na projeção vertical), só que utilizando o Ev (erro de projeção vertical). 
Epmh = Eh		Epmv = Ev
 P P
Epmh = 0,026 Epmv = 0,050 
 347,30 347,30
( Epmh = 0,00007486323064 m
( Epmv =0,0001439677512 m 
Ch = Epmh . DH	
	
Cv = Epmv . DH
Ch = Correção HorizontalCv = Correção Vertical
DH = Distância Horizontal de cada alinhamento
Epmh = Erro unitário nas projeções horizontais 
Epmv = Erro unitário nas projeções verticais
	Dist.(m)
	Projeções Diretas (m)
	Correções (m)
	
	VERT.(N+/S-)
	HOR.(E+/W-)
	VERT.
	HOR. 
	117,60
	 98,003
	65,002 
	-0,017
	-0,009
	103,40
	-94,936
	40,973 
	-0,015
	-0,008
	53,90
	-34,995
	-40,994
	-0,008
	-0,004
	72,40
	 31,978
	-64,955
	-0,010
	-0,005
	347,30
	Ev=0,050m
	Eh=0,026m 
	-0,050
	-0,026
�
ATENÇÃO ! 
Observar que a soma das CORREÇÕES deverá ser SEMPRE igual ao ERRO das Projeções diretas, porém, com o sinal contrário. Somente assim o erro será eliminado. NESTE EXEMPLO, as correções tiveram sinal positivo porque o erro foi negativo. Caso o erro tivesse sinal positivo as correções seriam negativas.
9.3 - PROJEÇÕES COMPENSADAS HORIZONTAIS E VERTICAIS
Projeções compensadas, como o próprio nome já diz, são projeções cujos erros já foram distribuídos/compensados. Poderemos obtê-las através da soma algébrica das Projeções diretas com as respectivas correções.
Pch = (Ph) + (Ch) Pcv = (Pv) + (Cv)
	Projeções Diretas (m)
	Correções (m)
	Proj. Compensadas (m)
	VERT.(N+/S-)
	HOR.(E+/W-)
	VERT.
	HOR.
	VERT.
	HOR.
	 98,003
	65,002 
	-0,017
	-0,009
	97,986
	64,993
	-94,936
	40,973 
	-0,015
	-0,008
	-94,951
	40,965
	-34,995
	-40,994
	-0,008
	-0,004
	-35,003
	-40,998
	 31,978
	-64,955
	-0,010
	-0,005
	31,968
	-64,960
	Ev=0,050m
	Eh=0,026m 
	-0,050
	-0,026
	0
	0
�
9.4 - COORDENADAS ABSOLUTAS
	Com o conhecimento das projeções compensadas já poderíamos, se quiséssemos, fazer o desenho da Poligonal em estudo. Porém, a presença de valores positivos e negativos dificultaria o desenho e o cálculo da área. Para evitarmos estes problemas, teremos que transportar todos os dados das projeções compensadas (positivos e negativos) para o quadrante do plano cartesiano onde as abscissas e ordenadas são positivas. Isto poderá ser feito, pelo menos, de duas maneiras. Uma delas é arbitrando o valor inicial e a outra é partindo de pontos que já possuam coordenadas conhecidas. Neste último caso, deveremos usar estas coordenadas conhecidas para amarrar o nosso trabalho.
Neste exemplo prático utilizamos coordenadas arbitradas para o ponto inicial. Os valores utilizados permitiram transformar os dados negativos das projeções compensadas em positivos.
�
	Vért.
	Proj. Compensadas
	Coord. Absolutas
	
	VERT.
	HOR.
	N (Y) 
	E (X)
	A
	97,986
	64,993
	532,000
	100,000
	B
	-94,951
	40,965
	629,986
	164,993
	C
	-35,003
	-40,998
	535,035
	205,958
	D
	31,968
	-64,960
	500,032
	164,960
	
	0
	0
	532,000
	100,000
De posse das coordenadas absolutas (X;Y) poderemos fazer o desenho da planta topográfica 
bem como calcular a área da poligonal.
______________________________________________________
10 - Cálculo de Área Pelo Método Analítico
10.1 – O MÉTODO DE GAUSS
	O cálculo analítico de área pelo método de GAUSS sempre partirá das coordenadas absolutas, obtidas através da transformação das coordenadas polares em retangulares. Após estas transformações, ou obtenções das coordenadas absolutas (retangulares), o objetivo será conhecer a área da poligonal em estudo.
	Sendo uma das formas mais utilizadas (e precisa) para se calcular áreas de poligonais, este método é, sem dúvida, indispensável para todos que estudam ou praticam Topografia.
Observando o desenho acima, percebe-se que as áreas 1, 2, e 3, somadas, resultam em uma figura trapezoidal maior; e que as áreas 1 e 3 separadas, também formam figuras trapezoidais. Sendo assim, se subtrairmos as áreas 1 e 3 da área total, teremos a área da figura 2, objeto do nosso estudo, representada pelos pontos A, B, e C.
A fórmula geral para o cálculo de área é a seguinte:
A = ( En . ( Nn+1 – Nn-1 ) / 2
Onde:
A = Área a ser calculada
En = Abscissa de um ponto ou estação
Nn+1 = Ordenada do ponto ou estação posterior
Nn-1 = Ordenada do ponto ou estação anterior
Encontraremos o mesmo valor para a área da poligonal, se substituirmos as abscissas por ordenadas e vice-versa. Porém, encontraremos os valores com sinais contrários.
A = ( Nn . ( En+1 – En-1 ) / 2
A = Área a ser calculada
Nn = Ordenada de um ponto ou estação
En+1 = Abscissa do ponto ou estação posterior
En-1 = Abscissa do ponto ou estação anterior
	A seguir, daremos um exemplo de como proceder para se calcular uma determinada área, utilizando o método de GAUSS.
	EST.
	COORDENADAS ABSOLUTAS
	
	N (ordenadas)
	E (abscissas)
	A
	50
	160
	B
	170
	100
	C
	100
	50
EA = 160		NA = 50
EB = 100		NB = 170
EC = 50		NC = 100
Observar a fórmula geral e substituir pelos respectivos valores
A = ( En . ( Nn+1 – Nn-1 ) / 2
A = EA.(NB – NC) + EB.(NC – NA) + EC.(NA – NB) / 2
Substituindo os valores teremos:
A = 160.(170 - 100) + 100.(100 - 50) + 50.(50 - 170) / 2 
A = 160.(70) + 100.(50) + 50.(-120) / 2
A = 11.200 + 5.000 - 6.000 / 2
A = 10.200 / 2
A = 5.100 m2
	Para quem achou complicado calcular a área utilizando a fórmula apresentada, poderá, AGORA, fazer o mesmo cálculo via DETERMINANTE.
	EST
	COORDENADAS ABSOLUTAS
	
	N(ordenadas)
	E(abscissas) 
	A
	50
	160 
	B
	170
	100
	C
	 100
	50
	A
	50
	160
	Para se obter a área da poligonal bastará fazer o somatório do produto das abscissas pelas ordenadas e subtrair do somatório do produto das ordenadas pelas abscissas. De posse destes valores, dividi-se por dois e pronto. Já temos o valor da área que procuramos.
Vale lembrar que tudo que foi feito precisa estar em módulo objetivando evitar resultados negativos. 
Área=|(EA . NB) + (EB . NC) + (EC . NA)–(NA . EB) + (NB . EC) + (NC . EA) / 2|
Substituindo os dados teremos:
A=|(160 . 170)+(100 . 100)+(50 . 50)–(50 . 100)+(170 . 50)+(100 . 160) /2|
A = 5.100 m2
FICOU CLARO ?
Observação: Para transformar a área (que está em m2) em hectares (ha), bastará dividi-la por 10.000, pois 1 ha equivale a 10.000 m2 . 
Exercícios
1 – O desenho fornecido abaixo representa um Levantamento topográfico _________________________________________ , realizado utilizando o método _________________________________________ . 
2 – O levantamento em estudo foi feito na seqüência (ordem crescente), com início no ponto 1 (P1), cujo valor da estaca neste ponto é igual a E0 + 0,00m.
Diante destas informações, responda:
A – Qual o valor da estaca no ponto 6 (P6)?
B – Qual o perímetro da poligonal?
3 – O maior intervalo entre os pontos, na horizontal, é 110m. Na vertical é de 80m Se a escala do desenho é 1/750, quais serão as dimensões mínimas do papel, necessárias à execução do desenho?
Dimensão 1 = _________ mm	Dimensão 2 = ___________ mm.
4 – Considerando os dados fornecidos, calcule as coordenadas retangulares dos pontos P2, P3 e P4.
OBS.: NÃO É NECESSÁRIO CALCULAR OS ERROS NEM FAZER AS CORREÇÕES.
5 – De posse das coordenadas absolutas, calcule a área da poligonal estudada. 
6 – Qual o rumo do alinhamento 5-6? 
 R56 = ____________ ______ .
 P1 P6 
 N
 
 P2 P5
 
 
		 	 
 P3 		 P4 
 
	7 – De posse das coordenadas absolutas, calcule a área da poligonal.
	Est.
N
E
1
165.848,560
557.670,897
2
166.258,945
556.941,457
3
166.871,458557.564,452
	
	Área = _________________ m2
8 – Observe a planilha abaixo e preencha os dados ausentes (Eh; Ev; Correções, e Projeções Compensadas)
	Dist.
	 Proj. Diretas
	 Correções
	Proj.Compensadas
	
	N+ / S-
	E+ / W-
	 V
	 H
	 V
	 H
	134,16
	120,055
	-60,069
	
	
	
	
	86,02
	-69,985
	-50,074
	
	
	
	
	120,83
	-49,985
	110,000
	
	
	
	
	341,01
	ΣN=
	ΣE=
	
	
	
	
	
	ΣS=
	ΣW=
	
	
	
	
	
	Ev= 
	Eh=
	
	
	
	
______________________________________________________
11 - Locação Topográfica á Teodolito
	A locação topográfica é um procedimento realizado com o objetivo de implantar, em campo, dados que foram pré-determinados em um projeto específico.
	Na locação não podemos simplesmente escolher pontos quaisquer e realizar medições. Teremos que obedecer, na íntegra, o que já foi estabelecido previamente pelo projetista. 
	Vale salientar que existe a Locação Altimétrica e a Planimétrica. A planimétrica será objeto do nosso estudo imediato.
Vejamos os exemplos a seguir:
	Pode-se perceber através do desenho, que fazer locações não é complicado. Isto não significa que não devamos tomar cuidado com as medidas realizadas. Na Locação, qualquer descuido poderá dar margem a erros que colocarão a execução das obras sob suspeita, por estar em desacordo com o projeto.
	A Locação sempre será utilizada na execução de obras de engenharia (Ex: locação de eixos e curvas circulares e/ou de transição - utilizada na construção de estradas de rodagem e ferrovias bem como na construção de canais de irrigação); seja na locação de outras obras de engenharia (Ex:construção de edificações, tubulações de água e esgoto, linhas de transmissão de energia, gasodutos, etc.); na implantação/demarcação de limites de propriedades, sejam elas urbanas ou rurais. 
	De posse de qualquer projeto, cabe ao Profissional de topografia fazer a correta leitura e interpretação dos dados fornecidos pelo projetista a fim de executar, fielmente, a marcação conforme determinado no projeto. Estes dados podem vir de forma tradicional (ângulos diretos e distâncias); podem vir através de Azimutes e distâncias ou podem vir através de coordenadas retangulares. 
	Com o advento do georreferenciamento e o uso cada vez maior de ferramentas de CAD, está cada vez maior o número de obras que trazem seus projetos e respectivos dados em coordenadas retangulares. Diante desta realidade, a responsabilidade pela interpretação do que deve ser locado passou a ser, basicamente, do profissional de topografia. Isto, por incrível que pareça, ainda assusta muitos profissionais, antes acostumados a receber os dados prontos (ângulos diretos e distâncias). Hoje ele recebe dados que precisam ser interpretados, transformados e adequados, inclusive, ao tipo de equipamento que será utilizado para a locação. 
	Enfim, sempre que o objeto da topografia for atender o que estabelece o projeto, estaremos realizando uma locação, e o seu desafio é o cumprimento fiel de tudo que foi projetado, seja qual for a forma. Para utilizar formas diferentes o profissional precisa estar preparado para os desafios que se apresentam a cada dia. Um das maneiras de se preparar é praticando na escola. Depende de cada um.
______________________________________________________
11.1 - Locação por Coordenadas Retangulares
	Como o próprio título já sugere, para se fazer uma locação por coordenadas retangulares basta ter em mãos as coordenadas dos pontos a serem locados, pontos estes fornecidos pelo Projetista. Os demais procedimentos são idênticos aos da locação comum (por coordenadas polares - ângulo direto e distância).
	Como já foi dito anteriormente, locar por coordenadas não é nenhum “bicho de sete cabeças”. Qualquer um que tenha conhecimento sobre azimute e rumo, que conheça os quadrantes da circunferência e o teorema de Pitágoras, certamente terá muita facilidade em realizar os cálculos e a locação definitiva.
	No exemplo a seguir utilizaremos uma poligonal com três vértices, cujas coordenadas absolutas são conhecidas. No entanto (imaginemos), um dos vértices (3) não se encontra mais no campo. O mesmo foi arrancado. Diante desta situação, para que se possa locá-lo isto poderá ser feito a partir do ponto (vértice) 1 ou 2 (tanto faz). Façamos a partir do 2. 
	EST.
	COORDENADAS ABSOLUTAS
	
	N (ordenadas)
	E (abscissas)
	1
	50
	160
	2
	170
	100
	3
	100
	50
1º passo – Encontrar a direção do alinhamento 2-3, ou seja, em que direção o vértice 3 se encontra em relação ao 2. Lembrar que a direção de um alinhamento pode ser dada por um ângulo direto, uma deflexão, um azimute ou rumo. Neste caso específico utilizaremos rumo ou azimute.
Cálculo do Rumo2-3
R2-3 = ArcTg (∆E2-3/∆N2-3)
∆E2-3 = E3–E2		∆N2-3 = N3–N2
substituindo os termos teremos:
R2-3 = ArcTg (50 – 100 / 100 – 170)
R2-3 = ArcTg (- 50 / - 70) = 0,714285714 
R2-3 = 35º32’16” SW
Az2-3 = 215º32’16”
Observando os sinais, percebe-se que o rumo procurado (e conseqüentemente o azimute-direção do alinhamento2-3) está no terceiro quadrante, pois possui o seno e co-seno negativo.
	
Relembrando conceitos trigonométricos sobre seno e co-seno, temos que:
	1º Quadrante
	SEN
	+
	
	COS
	+
	2º Quadrante
	SEN
	+
	
	COS
	-
	3º Quadrante
	SEN
	-
	
	COS
	-
	4º Quadrante
	SEN
	-
	
	COS
	+
Ver na circunferência abaixo o porquê dos sinais apresentados.
Esta é apenas uma das formas de se fazer esta dedução. Outra forma é a gráfica, observando diretamente no desenho (ver com o Professor).
Para completar a locação, caso os azimutes dos alinhamentos não sejam conhecidos, será necessário calcular o azimute2-1, que é o AZ de ré do alinhamento1-2. O cálculo é idêntico ao da página anterior.
2º Passo – Calcular a distância entre os dois vértices (2 e 3). Com este procedimento completaremos as condições para a locação do ponto em questão (vértice 3). 
Cálculo da Distância 2-3
	De posse dos valores de ∆E e ∆N, bastará utilizar o teorema de Pitágoras para a determinação da distância, uma vez que a mesma nada mais é do que a hipotenusa do triângulo retângulo, cujos catetos estão representados por ∆E e ∆N. sendo assim, teremos:
D2-3 = √∆E2 + ∆N2 = D2-3 = √(-50)2 + (-70)2 
D2-3 = 86,02 m
	O cálculo dos dados para a locação já está pronto, pois já se conhece a direção e a distância, ambos necessários e indispensáveis à locação de qualquer ponto, seja vértice ou detalhe. Não há diferença no procedimento. Apesar disso, caso ainda se sinta inseguro(a) em locar com estes dados(Azimute e Distância), poderá calcular o ângulo direto existente entre os alinhamentos envolvidos, utilizando para este fim a fórmula geral de azimutes (consulte o Professor sobre este procedimento).
AZn=(AZn-1+(n)±180º
ATENÇÃO! Não confundir azimute do alinhamento anterior (AZn-1), com azimute de ré. O primeiro é o azimute1-2. O segundo é o azimute2-1, diferentes em 180º.
Cálculo do Ângulo Direto (( 2-3) - OPCIONAL
(n = (AZn - AZn-1)± 180º
	Apesar de ser um procedimento correto, legal, hoje em dia não se calcula mais o (n, pois resulta em perda de tempo considerável, além de tornar o procedimento mais sujeito á erros de cálculo pelos motivos abaixo descritos.
Vejamos:
Quando o resultado da subtração de (AZn - AZn-1) for positivo e >180º, subtrair 180º; 
Quando o resultado da subtração de (AZn - AZn-1) for positivo e <180º, adicionar 180º; 
Quando o resultado da subtração de (AZn - AZn-1) for negativo, adicionar 180º. Se o sinal continuar negativo, adicionar 360º. Somente após este procedimento conheceremos o ângulo direto entre os dois alinhamentos em estudo. UFA!. Por isso julgamos este procedimento opcional. Diríamos até desnecessário.
	Pelos motivos expostos, as locações modernas (quando feitasá teodolito) são feitas com os dados calculados inicialmente, ou seja, Azimute e distância.
12 - Bibliografia
	
	ESPARTEL, Lélis. CURSO DE TOPOGRAFIA. Editora Globo – 1973.
		
	SEIXAS, José Jorge de. TOPOGRAFIA - 1º volume. Editora Universitária – 1981.
	
	CARDÃO, Celso. TOPOGRAFIA – VII Edição. Edições Engenharia e Arquitetura- 1990.
	
	SILVEIRA, Luiz Carlos da. CÁLCULOS GEODÉSICOS NO SISTEMA UTM APLICADOS À TOPOGRAFIA. Editora e livraria Luana – 1990.
	
	OLIVEIRA, Cêurio de. DICIONÁRIO CARTOGRÁFICO. IBGE – 1993.
	
	GONZAGA, Sérgio Luiz de Araújo. APOSTILA DE PLANIMETRIA. Gráfica do CEFET-PE – 1995. 
CEFET - PE�Prof. Humberto Alencar��
CEFET - PE�Prof. Humberto Alencar��
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