Livro Ejercicios resueltos de Fundaciones

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FUNDACIONES 
 
PROBLEMAS RESUELTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INDICE 
 
 
 
 Pág. 
I Fundaciones Superficiales......................................................................................3 
 
 - Capacidad de soporte del suelo..........................................................................4 
 - Dimensionamiento por Capacidad de soporte....................................................33 
 - Asentamiento y Giro.........................................................................................49 
 - Dimensionamiento por Asentamiento y Giro.....................................................67 
 - Capacidad de soporte con Asentamiento y Giro................................................71 
 - Dimensionamiento por C. de soporte , Asentamiento y Giro.............................78 
 
II Dimensionamiento y diseño de zapatas aisladas..................................................93 
 
 
III Dimensionamiento y diseño de zapatas combinadas..........................................121 
 
 
IV Viga en medio elástico.........................................................................................156 
 
 
V Fundaciones Profundas........................................................................................207 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I 
FUNDACIONES SUPERFICIALES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPACIDAD DE SOPORTE 
 
1.1.) Se desea fundar un muro sobre el terreno indicado. 
 a) Determine la carga máxima P ton por metro lineal de muro, en el corto plazo. 
 b) Idem, en el largo plazo 
 
 P 
 relleno de hormigón pobre = 2.2 t/m
3
 
 
 relleno heterogéneo 
 NF 2m = 1.7 t/m
2
 
 s = 2.7 t/m
3
 
 
qadm
 manto arcilloso saturado e = 0.5 
 B=1.2m de espesor indefinido qu = 2 kgf/cm
2
 (*) 
 ‟ = 25o 
 (*) Resistencia media a la compresión simple c‟= 1 t/m2 
 Desarrollo: 
 a) Carga por metro lineal de muro en el corto plazo. 
 
 qult =qhundimiento = cNc+qNq+0.5 BN 
 
 qNq= resistencia debido a la sobrecarga que rodea a la cimentación 
 0.5 BN = resistencia por el peso del terreno (empuje pasivo) 
 
 El estado inicial de tensiones en una arcilla saturada se representa por un ensayo 
triaxial 
 no consolidado sin drenaje (UU). 
 
 
 = 0
o
 
 
C
 
 
 
 resistencia al corte sin drenaje 
 c = u =1/2*qu resistencia a la compresión simple 
 c = 10 t/m
2
 
 = 0 Nq = 1 , Nc = 5.5 y N = 0 
 luego 
 qult = cNc+qNq qadm = qult/FS = cNc/FS1+qNq/FS2 ( ) 
 FS1 = 3 
 FS2 = 1 q = *Df=1.7*2=3.4 t/m
2
 
 qadm = P/(B*1)+ horm*Df*1 ( ) 
 donde 
 P/(B*1) es la presión máxima considerando 1 m lineal de muro 
 Igualando ( ) y ( ) se obtiene que: 
 P = 20.8 ton 
 b) Idem en el largo plazo. 
 c‟ y ‟ obtenido de ensayo triaxial consolidado drenado. 
 Al disiparse las presiones de poros, tendremos un ángulo de roce: 
 c‟ = 1 t/m2 , ‟ = 25o 
 
 qult = cNc+qNq+0.5 BN = 1*21+1.7*2*11+0.5* b*1.2*7.2 
 donde 
 b = sat.- w sat = (Ps+Pw)/Vt = (2.7+0.5)/1.5 
 = 2.13 t/m
3
 
 entonces b = 2.13-1=1.13 t/m
3
 
 
 qadm = qult / FS = 21/FS1+37.4/FS2+4.88/FS3 
 
 con FS1 = 3 y FS2 = FS3 = 1 qadm = 49.3 t/m
2
 
 
 qadm = P/B+ horm*Df*1 =49.3 
 P = (49.3-2.2*2)*1.2 
 P = 53.9 ton 
 
 
 
 
 
 
 
1.2.) Dado un terreno con un material de fundación conformado por un profundo estrato 
arcilloso saturado. Determine la “capacidad de soporte última” para una zapata corrida, 
puesta en la superficie. 
 Ensayos en condiciones no drenadas, sobre muestras tomadas en una profundidad 
representativa, entregaron valores promedios de: 
 c = 6 t/m
2
 
 = 0
o
 
 Desarrollo: 
 qult = cNc+qNq+0.5 BN 
 
 puesto que en la superficie q = *H = 0 
 = 0
o
 N = 0 
 
 qult = cNc = 6*5.14 = 30.84 t/m
2
 
 
 
 
 
 
 
1.3.) Determine qult por capacidad de soporte en la fundación corrida indicada en la figura 
para : a) caso en que la presión de poros en la arena aumenta en 30% por sobre la presión 
hidrostática debido a un sismo y b) caso normal. 
 
 
 
 
 1.5m 
 
 Arena seca = 1.8 t/m
2
 
 1.5 m 
 qult=? 
 
NF
 Arena saturada 
 Zp sat = 2.2 t/m
2
 
 c = 0 = 35
o
 
 * P Presión de poros en P = 1.3 wZp 
 Desarrollo: 
 a) qult = 0.5 b‟BN +qsNq para = 35
o
 N = 42 
 Nq= 41 
 b‟= Peso boyante equivalente= sat-1.3 w = 0.9 t/m
2
 
 qult = 0.5*0.9*1.5*42 + 1.8*1.5*41 = 28.4 + 110.7 139 t/m
2
 
 qult = 14 kgf/cm
2
 
 b) Para el caso normal. 
 qult = 0.5*(2.2-1)*1.5*42+1.8*1.5*41 = 37.8+110.7 
 = 148.5 t/m
2
 = 15 kgf/cm
2
 
 
1.4.) Un galpón de una estructura metálica de 50 metros de longitud, tiene en un extremo un 
eje resistente cercano a un talud. 
 a) Determine capacidad de soporte del suelo para zapatas ubicadas en las vecindades del 
talud. 
 b) Determine capacidad de soporte del suelo para zapatasubicadas en el extremo más 
alejado del talud. 
 b B 
 
 
 b = 4 m 
 B = 2 m 
 D = 1 m H=7 m do 
 do= 0.5 m 
NF
 
 = 2.2 t/m
3
 
 = 40° 
 c = 3 t/m
2
 
 Desarrollo: 
 a) Determinación de la carga última del suelo, zapata continua. 
 B = 2 m < H = 7m D/B = 1/2 = 0.5 
 = 40° 
 do= 0.5 m 
 B H implica caso I de ábaco No =0 
 do B implica interpolar entre ecuación (1) y (2) 
 Ecuación (1) qult = cNcq+0.5 tBN q 
 Cálculo de Ncq: 
 b/B = 2 = 40
o
 
 D/B = 1 Ncq = 6.6 
 D/B = 0 Ncq = 5.2 
 D/B = 0.5 Ncq = (6.6+5.2)/2= 5.9 
 Cálculo de N q: 
 b/B = 2 = 40
o
 
 D/B = 1 N q = 120 
 D/B = 0 N q = 60 
 D/B = 0.5 N q = (120+60)/2= 90 
 
 En (1) do > B 
 qult = cNcq+0.5 bBN q 
 Ncq y N q no cambian qult = 3*5.9+(2.2-1)*2/2*90 = 126 t/m
2
 
 
 do = 2 qult = 216 t/m
2
 
 do = 0 qult = 126 t/m
2
 
 do = 0.5 qult = 149 t/m
2
 
 
 b) Idem sin efecto del talud, sacar un equivalente 
 
 qult = cNc+ DNq+0.5 eqBN 
 supuesto zapata continua 
 = 40
o
 Nc = 85 Nq = 70 N = 100 
 
 eq*B = t*do+ b*(B-do) eq = 1.45 t/m
3
 
 
 qult = 3*85+2.2*1*70+1/2*1.45*2*100 = 554 t/m
2
 
 qadm = 185 t/m
2
 
 
1.5.) Determinar la capacidad de soporte del suelo para las siguientes condiciones. 
 = 33
o
 P = 60 ton 
 c = 0.9 t/m
2
 Mx = 15 t*m P 
 = 1.85 t/m
3
 My = 24 t*m My 
 Df = 2 m 
 
 2 m 35*40cm 
 L = 3 m 
 x 
 2.5m 
 
 Desarrollo : 
 qult = cNcScdc +qNqSqdq+0.5 BN S d 
 Como existe excentricidad: 
 A‟ = B‟*L‟ B‟ = 2.5-2.24/60 = 1.7 m 
 L‟ = 3-2.15/60 = 2.5 m 
 
 Se debe usar la ecuación de Hansen, con B‟ en vez de B, y los factores también, 
 excepto D/B 
 = 33
o
 Nc = 38.6 Nq = 26.1 N = 35.2 
 
 Sc = 1+(Nq/Nc)*(B‟/L‟) = 1+(26.1/38.6)*(1.7/2.5) = 1.46 
 dc = 1+0.4*2/2.5 = 1.32 
 Sq = 1+(B‟/L‟)*tg = 1+(1.7/2.5)*tg33= 1.44 
 dq = 1+2*tg *(1-sen )
2
*D/B = 1.22 
 S = 1-0.4*B‟/L‟ = 1-0.4*1.7/2.5 = 0.73 
 
 qult = 0.9*38.6*1.46*1.32+2*1.82*26.1*1.44*1.22+0.5*1.85*1.7*35.2*0.73 
 = 66.95+169.65+40.41 = 277 t/m
2
 
 
 qadm = 277/3 = 92.34 t/m
2
 
 
 
 b) Vult = qult*B‟*L‟ = 277*1.7*2.5 = 1177 ton 
 
 Vadm = 392 ton 
 
 
1.6.) Se ensaya un suelo cohesivo a compresión no confinada, obteniéndose los siguientes 
 valores: 
 qu : ensayo de compresión no confinada (unconfined) 
 = 3.93 4.34 3.72 4.48 4.83 4.27 4.07 t/m
2
 
 
 Estime la capacidad de soporte para una zapata corrida en la superficie. 
 Desarrollo: 
 qu(promedio) = 4.2 t/m
2
 
 = 0
o
 
 qult = capac. de soporte última = cNc en que: 
 c = qu/2 y Nc = 5.7 (Terzaghi) 
 
 qult = 12.1 t/m
2
 
 
1.7.) Una zapata corrida se funda en un estrato de arcilla saturada. 
 c = 5.4 t/m
2
 Df = 2 m = 1.76 t/m
3
 
 Determinar la capacidad de soporte última. 
 
 Desarrollo: 
 El peso del suelo a los lados de la zapata, incrementan la capacidad del suelo para 
 soportar la presión de la zapata sin que ocurra falla plástica. 
 qult = cNc+ ZNq 
 en que: 
 c= 5.4 t/m
2
 Nc( =0)= 5.7 = 1.76 t/m
3
 
 Z=Df= 2 m Nq( =0)= 1 
 
 qult = 30.78+3.52 = 34.3 t/m
2
 
 
 
1.8.) Estime la capacidad de soporte última para una zapata corrida de las siguientes 
características: 
 B = 1.5 m = 1.76 t/m
3
 Df = 4 m c = 13.8 t/m
2
 = 0 
 
 Desarrollo: 
 = 0 Nc= 5.7 Nq= 1 N = 0 
 qult = c*Nc+q*Nq en que q= *Df=1.76*4 =7.04 t/m
2
 
 
 qult = 78.7 + 7.04 = 85.7 t/m
2
 
 
 
 
1.9.) Para la zapata corrida mostrada, determine las características de soporte a partir de la 
teoría de Terzaghi y compare los resultados con la teoría de Meyerhof. 
 Datos: = 1.7 t/m
3
 B = 1.2 m 
 c = 2.6 t/m
2
 Df = 2 m 
 = 28 
o
 
 Desarrollo: 
 Cuando existe fricción entre partículas, el peligro de la falla por corte se reduce. 
 qult = cNc +qNq+0.5 BN 
 en que : 
 = 28
o
 ( Terzaghi ) Nc = 34 Nq = 18 N = 18 
 qult = 88.4+61.2+194.4 = 344 t/m
2
 
 
 = 28
o
 ( Meyerhof ) Nc = 28 Nq = 18 N = 14 
 qult = 72.8+61.2+14.3 = 148.3 t/m
2
 
 
1.10.) Determinar la capacidad de soporte última para el siguiente caso: 
 B = 1.5 m c = 8.38 t/m
2
 
 Df = 9 m = 15
o
 
 = 1.84 t/m
3
 zapata corrida 
 
 Desarrollo: 
 qult = cNc +qNq+0.5 BN 
 
 q = *Df = 9*1.84 = 16.56 t/m
2
 
 = 15
o
 ( Meyerhof ) Nc = 33 Nq = 9.5 N = 6.2 
 
 qult = 276.54+157.32+8.56 = 442 t/m
2
 
 
1.11.) Determinar la capacidad de soporte última para el siguiente caso: 
 B = 1.2 m c = 0 
 Df = 7 m = 30
o
 
 = 1.71 t/m
3zapata corrida 
 
 Desarrollo : 
 Por tratarse de un suelo cohesivo el primer término de la ecuación de soporte es 
 nulo (cNc = 0): 
 qult = ZNq+0.5 BN 
 
 Para suelos granulares Meyerhof combinó los efectos de Nq y N e introdujo un 
 factor de soporte N q 
 q = 0.5 BN q 
 
 El valor de N q es directamente proporcional a la profundidad y al coeficiente de 
 empuje del suelo en reposo Ko 
 
 
 3000 
 Df/B = 7/1.2 = 5.8 6 
 2000 
 N q N q 300 
 1000 
 qult = 0.5*1.71*1.2*300 = 310 t/m
2
 
 
 
0
 
10
 
20
 
30
 
40
 
 Df/B 
 Factores de soporte para suelos 
 granulares ( = 30
o
) 
 
1.12.) Determinar en que % disminuye la capacidad de soporte para la zapata corrida para 
las condiciones de suelo seco y saturado por inundación. 
 B = 1.5 m = 1.84 t/m
3
 
 Df = 0 m = 17
o
 
 
 Desarrollo: 
 La reducción en la capacidad soporte debido a inundaciones temporales es propia 
 de suelos granulares. Para suelos cohesivos , debido a su baja permeabilidad el 
proceso 
 de saturación es muy lento y menor que el tiempo en que se produce la inundación. 
 Para suelos granulares el agua no tiene un gran efecto en , pero si lo tiene en las 
 presiones efectivas que dan la resistencia al corte del suelo. 
 Como la fundación está en la superficie Df= 0 *Df= 0 
 
 qult = 0.5 BN en que: N ( =17
o
) = 3 
 qult
seco
=0.5*1.84*1.5*3 = 4.14 t/m
2
 
 
 Para suelo saturado: 
 b = 0.84 t/m
2
 qult
sat
 = 0.5*0.84*1.5*3 =1.89 t/m
2
 
 4.14/100 = 1.89/x x = 45.6 % 46 % 
 hay una reducción de un 54 % 
 En general la saturación produce una disminución de un 50 % en la capacidad de 
 soporte de un suelo granular. 
 
1.13.) Determine el qadm de una zapata corrida para las siguientes condiciones : 
 Df = 0.9 m = 1.56 t/m
3
 c = 4.7 t/m
2
 
 La edificación no es sensible ante asentamientos diferenciales. 
 
 Desarrollo : 
 qult = cNc+ DfNq+0.5 BN 
 
 = 0
o
 ( Meyerhof ) Nc = 5.53 Nq = 1.0 N = 0 
 
 Como la edificación no es sensible ante asentamientos diferenciales es razonable 
 adoptar un F.S. = 3. 
 qadm = qult/3 = (cNc+ DfNq)/3 = (4.7*5.53+1.68*0.9)/3 
 qult = 8.66+0.50 = 9.2 t/m
2
 
 
1.14.) Un ensayo (CU) entrega las siguientes propiedades para un suelo de fundación. 
 c = 0.96 t/m
2
 = 1.93 t/m
3
 = 20
o
 
 Este suelo soporta una pila circular = 4.5 m a una profundidad de 2.4 m 
 La carga sobre la pila es concéntrica P = 310 ton 
 Determinar el F.S. una vez que haya finalizado el proceso de consolidación. 
 
 Desarrollo: 
 La consolidación de un estrato de arcilla toma varios años. Al final las propiedades 
 son las medidas en una probeta ensayada en condiciones CU 
 
 Para = 20
o
 (Terzaghi) Nc = 18 Nq = 9 N = 4 
 
 Para una fundación circular, los factores 1.3 y 0.3 se usan en el primer y último 
 término en vez de 1.0 y 0.5 respectivamente. 
 
 qult = 1.3cNc+ ZNq+0.3 BN 
 
 La carga última neta es : qult
n
 = 1.3cNc+ ZNq - Z+0.3 BN 
 = 1.3*0.96*18+1.93*2.4*9-2.4*1.93+0.3*4.5*1.93*4 
 = 22.46+41.69+4.63+10.42 
 qult
n
 = 69.9 t/m
2
 
 
 Agregando la fricción del suelo contra la superficie de la pila, en que la fricción es 
 aproximadamente c/2 
 Q = 69.9* /4*4.5
2
+0.5*0.96*2 *4.5*2.4 
 = 1111.7+32.57 =1144.3 ton 
 
 La carga neta en la fundación es : 
 Q
n
 = P-2.4* /4*4.5
2
*1.93 = 310-73.7 = 236.3 ton 
 
 FS 1144.3/236.3 =4.84 5 
 Un valor suficiente si el asentamiento está controlado. 
 
1.15.) Determinar la capacidad de soporte admisible si el suelo es arcilla con un coeficiente 
de compresibilidad: 
 
 mv = 0.000522 m
2
/0.1ton = 0.00522 m
2
/ton 
 Se acepta sólo un pequeño asentamiento. 
 c = 4.8 t/m
2
 = 1.8 t/m
3
 = 8
o
 
 Df= 2 m B = 1.2 m L = 6 m 
 
 Desarrollo: 
 Skempton propone: 
 Nc(rectang.)= (1+0.2B/L)Nc(corrida) 
 = (1+0.2*1.2/6)*Nc = 1.04*Nc 
 El recíproco del producto de c y mv es : 
 (4.8*0.00522)
-1
=39.9 40 
 esto coloca el material en el tipo de “blando” o N.C. y el F:S. para un asentamiento 
 de 1” está en la región de 8. 
 Usando los coeficientes de Terzaghi: 
 = 8
o
 Nc = 8 Nq = 3 N = 2 
 
 qult = 1.04cNc+ ZNq - Z+0.5 BN 
 = 4.8*8*1.04+1.8*2*3-1.8*2+0.5*1.8*1.2*2 
 = 39.9+10.8-3.6+2.2 = 49.3 t/m
2
 
 
 La capacidad de soporte admisible , considerando la sobrecarga de 2 m: 
 qadm = 49.3/8 + 1.8*2 = 9.8 t/m
2
 
 
 Si usamos valores aproximados de Meyerhof, para fundaciones profundas 
 (Df >B): Nc = 18 Nq = 3 N = 1.8 ref p195 
 
 La capacidad de carga neta: 
 qult
n
 = cNc+ ZNq- Z+0.5 BN 
 = 4.8*18+1.8*2*3-1.8*2+0.5*1.8*1.2*1.8 = 86.4+10.8-3.6+1.94 
 qult
n
 = =95.5 t/m
2
 
 
1.16.) Para los siguientes datos: 
 B = 28 ft = 8.5 m = 105 lb/ft
3
 = 1.68 t/m
3
 = 0
o
 
 L = 84 ft = 25.5 m Zw = 8 ft = 2.4 m 
 Df = 10 ft = 3.0 m cu = 0.22 ton/ft
2
 = 2.37 t/m
2
 
 a) Determinar la capacidad de soporte si la velocidad de aplicación de la carga es rápida 
 en relación a la disipación de la presión de poros. 
 
 Desarrollo: 
 = 0
o
 Nc = 5.14 Nq = 1 N = 0 
 
 qult = cNc c+qNq q+0.5 BN 
 en que: 
 c = 1+(B/L)(Nq/Nc) = 1+(8.5/25.5)(1/5.14) 
 c = 1.06 
 q = 1 
 q = *D = 1.68*2.4 + (3-2.4)*0.68 = 4.44 t/m
2
 
 qult = 2.37*5.14*1.06+4.44*1qult = 17.4 t/m
2
 
 b) Idem si la construcción es lenta y permite una disipación de presión. 
 cd = 0.04 t/ft
2
 0.43 t/m
2
 d = 23
o
 
 
 qult = cNc c+qNq q+0.5 BN 
 
 Nc = 18.05 Nq = 8.66 N = 8.20 
 c = 1.16 q = 1.14 = 0.87 
 
 qult = 0.43*18.05*1.16+4.44*8.66*1.14+0.5*0.68*8.5*8.2*0.87 
 = 9.0+43.83+20.62 qult = 73.5 t/m
2
 
 
 
 
 
1.17.) Resuelva el problema 1.16.) si ahora el suelo está constituido por arena 
medianamente densa. 
 sat = 118 lb/ft
3
 = 1.89 t/m
3
 
 hum = 100 lb/ft
3
 = 1.60 t/m
3
 
 Se analizaron muestras, y se sometieron a ensayo triaxial: 
 = 1-5.5
o
*log( / 1) 
 en que : 
 1 = 38 
o
 es el ángulo de fricción para un esfuerzo normal 
 medio 1 = 10.8 t/m
2
 
 Desarrollo : 
 qult = cNc c+qNq q+0.5 BN 
 en que : 
 c = 0 q = 1.60*2.4+0.89*(3-2.4) = 4.4 t/m
2
 
 
 Para determinar el esfuerzo normal medio, es necesario una estimación preliminar 
 de la capacidad de soporte. 
 Para este análisis preliminar suponemos : 
 = 34 
o
 Nc =42.16 Nq = 29.44 N = 41.06 
 q = 1+(B/L)tg = 1+(8.5/25.5)*tg34 
 = 1.22 
 = 1-0.4B/L = 0.87 
 qult = 4.4*29.44*1.22+0.5*0.89*8.5*41.06*0.87 
 = 158+135 = 293 t/m
2
 
 
 El esfuerzo normal promedio a lo largo de la superficie de falla: 
 o = 1/4(qo+3q)(1-sen ) = 0.25*(293+3*4.4)*(1-sen34) 
 = 33.74 t/m
2
 
 entonces representativo: 
 = 38-5.5*log(33.74/10.8) = 35 
o
 
 se repite el análisis con = 35 
o
: 
 Nq = 33.30 N = 48.03 
 q = 1.23 = 0.87 
 
 qult = 4.4*33.30*1.23+0.5*0.89*8.5*48.03*0.87 
 = 180+158 = 338 t/m
2
 
 
 Como difiere poco del valor anterior, se acepta este valor. 
 
1.18.) Para las características del problema 1.16.) (condiciones no drenadas), determinar la 
capacidad de soporte si el estrato de arcilla blanda está sobre un gran estrato de arcilla 
rígida (cu = 0.53 t/ft
2
 = 5.7 t/m
2
 ) que comienza a 4.9 m de profundidad. 
 Desarrollo: 
 qult= c1Nm+q 
 2.4m = 1.68 t/m
2
 
 en que: c1 = 2.4 t/m
2
 3.0m NF 
 
 Razón de soporte K 
B=8.5m
 
L=25.5m
 
 1.9m Cu=2.4 t/m2 
 K = c2/c1 = 5.7/2.4 = 2.4 Cu=5.7 t/m2 
 B/H = 8.5/1.9 = 4.5 4 6 
 2 5.43 5.69 
 Nm = 5.72 3 5.59 6.00 
 2.4 5.49 5.81 
 qult = 2.4*5.72+4.44 = 18.2 t/m
2
 
 
 Nota: para el caso sin estrato rígido el qult = 17.4 t/m
2
 
 5 % de incremento 
 
1.19.) Resuelva el problema 1.18.) suponiendo que la resistencia al corte del estrato 
superior es cu = 5.7 t/m
2
 y el estrato inferior es 2.4 t/m
2
 
 Desarrollo : 
 qo= c1Nm+q 
 en que : 
 Nm = 1/ +K cNc 
 = índice de punzonamiento 
 = BL/ 2(B+L)H = 1.68 
 
 K = c2/c1 = 2.4/5.7 = 0.42 
 c = 1.06 
 Nc = 5.14 
 Nm = 1/1.68+0.42*1.06*5.14 = 2.88 
 
 qo = 5.7*2.88+4.44 = 20.9 t/m
2
 
 qo 21 t/m
2
 
 
 16 % de aumento con respecto al caso 1.18.) 
 
1.20.) Para la siguiente situación , determine qo. 
 
 
 = 1.60 t/m
3
 3 m 2m 
 
 = 1.89 t/m
3
 B=8.5 L=25.5 9 m 
 
 = 35 
o
 H=6 m 
 
 
 Arcilla dura cu = 0.53 t/ft
2
 = 5.7 t/m
2
 
 Desarrollo: 
 qo = qo”*exp 0.67(1+B/L)(H/B) 
 
 qo” = capacidad de soporte que tendría una fundación similar desplantada 
 en la interfase de los estratos 
 
 qo” = cNc c+qNq q = 5.7*5.14*1.06+(1.6*2.4+0.898(9-2.4))*1 
 = 31.06+9.71 = 40.8 t/m
2
 
 qo 41 t/m
2
 
 
 El espesor crítico del estrato superior: 
 (H/B)crít = 3ln(qo‟/qo”)/(2(1+B/L)) 
 
 en que qo‟ = capacidad de soporte del estrato superior 
 = 338 t/m
2
 ( del problema 1.43.) 
 
 Hcrit = 3*ln(338/41)/(2*(1+8.5/25.5))*8.5 = 20.2 m 
 20 m > 9 m 
 
 qo = 41*exp 0.67*(1+8.5/25.5)*(6/8.5) 
 qo = 77 t/m
2
 
1.21.) Problemas ( Terzaghi pgs.220-221) 
 1) Zapata continua B=2.4m c=2 t/m
2
 = 17
o
 
 = 1.9 t/m
3
 Curva de asentamiento falla por corte general 
 Df = 1.8 m 
 qult = cNc+ DfNq+0.5 BN 
 = 17
o
 ( Terzaghi ) Nc = 12.34 Nq = 4.77 N = 2.08 
 qult = 2*12.34+1.9*1.8*4.77+0.5*1.9*2.4*2.08 
 = 24.68+16.31+3.99 = 45 t/m
2
 
 
 2) Zapata cuadrada B=3.0 m = 37
o
 
 = 2 t/m
3
 Df = 0 , 0.6 , 1.5 , 3.0 , 4.5 
 
 qult = 1.3cNc+ DfNq+0.4 BN 
 = 37
o
 ( Terzaghi ) Nc = 55.63 Nq = 42.92 N = 56.86 
 qult = 2*Df*42.92+0.4*2*3*56.86 
 = 85.84*Df+136.45 t/m
2
 
 
 Df 0 0.6 1.5 3.0 4.5 
 qult 13.6 18.8 26.5 39.3 52.3 
 
 3) = 1.76 t/m
3
 
 Ensayo de carga con una placa de 0.3*0.3 m
2
 
 La curva de asentamiento llegó a una tangente vertical para una carga 
 de Q = 1600 kgf = 1.6 ton 
 Determinar .17.8 t/m
2
 
 q 
 qult = 0.5 BN = 17.8 t/m
2
 
 
 N = 67.3 
 38 
o
 
 
 
 4) Arena densa = 1.8 t/m
2
 
 Se efectúa un ensayo de carga usando una placa de 0.3*0.3m 
 (sobrecarga = 0.6 m de suelo ) 
 La rotura se produjo para P = 6 ton 
 ¿Cual será la carga de rotura por unidad de área para una zapata cuadrada de 1.5 m 
 situada a la misma cota ? 0.3m 
 
 qult = DfNq+0.4 BN 6ton 
 0.6m 
 qult = 6/0.3
2
 = 66.7 t/m
2
 
 66.7 = 0.6*1.8*Nq+0.4*1.8*0.3*N 
 = 1.08*Nq+0.216*N 
 30
o
 35
o
 37
o
 40
o
 38
o
 
 Nq 18.4 33.3 42.9 64.2 48.93 
 N 18.1 40.7 56.9 95.5 67.41 
 qult 23.8 44.8 58.6 89.9 67.4 
 
 38
o
 qult =1.08*48.9+0.4*1.8*1.5*67.4 
 = 52.81+72.79 
 = 126.6 t/m
2
 
 5) Losa de 30*30m 
 Capa uniforme de arcilla blanda de 45 m de espesor. 
 Para q= 22.5 t/m
2
 se produce la rotura del suelo. 
 Se desea saber cual es el valor medio de la cohesión c de la arcilla. 
 Dada la gran profundidad de la zona de equilibrio plástico se puede despreciar la 
 consolidación de la arcilla producida antes de la rotura y suponer además que = 0 
 
 qds = 6.2*c (Ec. 33.15) 
 c 0 3.6 t/m
2
 
 
1.22.) Para la fundación cuadrada de la figura, determine la capacidad de soporte admisible 
usando las ecuaciones de : 
 a) Terzaghi V 
 b) Hansen 
 c) Meyerhof =1.76t/m
3
 
 Usar factor de seguridad igual a 3.0 =20
o
 D=1.2m 
 c=1.95t/m
2
 
 
 Desarrollo: B 
 Nc Nq N N‟c N‟q N‟ 
 Terzaghi 17.7 7.4 5.0 11.8 3.9 1.7 
 Hansen 14.83 6.4 2.9 
 Meyerhof 15 6.8 2.9 
 
 Fórmula gral. de Terzaghi: qult = cNc+qNq+0.5 BN 
 para zapatas cuadradas: qult = 1.3cNc+qNq+0.4 BN 
 El 0.4 sale de un factor de corrección tabla 6.3, lect. Shallow Foundation (Sowers) 
 0.5*0.9 = 0.45 0.4 
 
 a) Terzaghi: qult = 1.3*1.95*17.7+1.76*1.2*7.4+0.4*1.76*B*5 t/m
2
 
 = 44.87+15.63+3.52*B = 60.5+3.52*B t/m
2
 
 qadm = qult/F.S. = qult/3 = 20.2+1.17*B t/m
2
 
 Si el suelo es suelto o muy blando c‟, N‟c , N‟q , N‟ en que;(p220 Terzaghi.) 
 c‟ = 2c/3 = 2*1.95/3 = 1.3 
 qult = 1.3*1.3*11.8+1.76*1.2*3.9+0.4*1.76*B*1.7 
 = 19.94+8.24+1.2*B = 28.2+1.2*B 
 qadm = qult/3 = 9.39 + 0.4*B t/m
2
 (corte local) 
 
 b) Hansen 
 qult = cNcScdcicgcbc +qNqSqdqiqgqbq+0.5 BN S d i g b 
 en que: 
 S : factor de forma 
 d : factor de profundidad 
 i : factor de inclinación 
 g : ground factor, factor de inclinación del suelo 
 b : factor de base 
 
 qult = 57.7+26.77/B+1.53*B (D B) 
 = 59.73+22.3*tg
-1
(1.2/B)+1.53*B (D>B) 
 
 qadm = 19.2+8.9/B+0.5*B (D B) 
 
 c) Meyerhof : qult = 1.2cNc+ DfNq+0.4 BN 
 = 1.2*1.95*15+1.76*12.2*6.8+0.4*1.76*B*2.9 
 = 35.1+14.36+2.04*B = 49.5+2.04*B 
 
 qadm = 16.5+0.7*B 
 
1.23.) Si la fundación del problema 1.22.) es de 1.5*1.5m y se somete a un momento que da 
una excentricidad de la resultante igual a 0.15 m, calcule la tensión de contacto admisible 
usando: 
 a) el concepto de ancho útil B‟ y Meyerhof 
 b) usando Hansen 
 Usar un factor de seguridad igual a 3.0. 
 Desarrollo: 
 a) Concepto de ancho útil. Calcular la tensión de contacto admisible. 
 B‟=B-2e = 1.5-2*0.15 = 1.2 m 
 
 qult = cNc(1+0.3B/L)+ DNq+0.4 BN 
 
 pero al usar el concepto de ancho útil: 
 e V 
 
 V 
 
 
 B B‟ 
 
 qult = cNc(1+0.3B‟/B)+ DNq+0.4 B‟N 
 
 
ult
contacto =Vult/(B‟L) = qult 
 
 qult = 1.95*15*(1+0.3*1.2/1.5)+1.76*1.2*6.8+0.4*1.76*1.2*2.9 
 = 36.27+14.36+2.45 = 53.08 t/m
2
 
 qadm = 17.7 t/m
2
 (Meyerhof) 
 
 b) Concepto de ancho útil usando Hansen 
 qult = cNcScdcicgcbc +qNqSqdqiqgqbq+0.5 BN S d i g b 
 ii=gi=bi=1 
 Para D B : 
 Sc = 1+(Nq/Nc)*(B‟/B) = 1+(6.4/14.83)*(1.2/1.5) = 1.35 
 dc = 1+0.4*D/B‟ = 1+0.4*1.2/1.2 = 1.4 
 Sq = 1+(B‟/B)*tg = 1+(1.2/1.5)*tg20= 1.29 
 dq = 1+2*tg *(1-sen )
2*D/B‟ = 1+2*tg20*(1-sen20)2*1.2/1.2=1.32 
 S = 1-0.4*B‟/B = 1-0.4*1.2/1.5 = 0.68 
 d = 1 
 qult = 1.95*14.83*1.35*1.4+1.76*1.2*1.29*1.32*6.8 
 +0.5*1.76*1.2*2.9*0.68*1 = 54.66+24.45+2.08 
 = 81.19 t/m
2
 
 
 qadm = 27.1 t/m
2
 (Hansen) 
 
1.24.) Para las condiciones del problema 1.22.), pero para un = 22.5
o
 calcular la capacidad 
de soporte. 
 
 Desarrollo: 
 Se aplica una interpolación lineal a los valores tabulados, de donde se obtienen los 
 siguientes datos: 
 = 22.5
o
 Nc = 21.4 Nq = 10 N = 7.9 
 
 qult = 1.3*1.95*21.4+1.2*1.76*10+0.4*1.76*7.9*B 
 = 54.3+21.1+5.6*B = 75.4+5.6*B 
 
 qadm = 25.1+1.9*B 
 
 Este problema ilustra la alta sensibilidad del qadm al ángulo de fricción. 
 
1.25.) De un ensayo a escala real, con los datos indicados, resultó un P = 186.3 ton. 
Compárelo con el resultado teórico, usando Hansen. 
 Datos: 
:b = 0.9 t/m
3
 B = 0.5 m 
 c = 0 Df = 0.5 m 
 = 42.7 
o
 (triaxial) L = 2.0 m 
 Desarrollo: 
 plane strain = 1.1*42.7 = 47
o
 
 Nq = 187 
 N = 300 
 qult = qNqSqdq+0.5 bBN S d 
 q= 0.93*0.5 = 0.47 t/m
2
 
 Sq = 1+(B/L)*tg = 1+(0.5/2)*tg47= 1.27 
 dq = 1+2*tg *(1-sen )
2
*D/B = 1+2*tg47*(1-sen47)
2
*0.5/0.5=1.15 
 S = 1-0.4*B/L = 1-0.4*0.5/2 = 0.90 
 d = 1 
 
 qult = 0.47*187*1.15*1.27+0.5*0.93*0.5*300*1*0.9 
 = 128.4+62.8 = 191.1 t/m
2
 
 
 Pult = 191.1*0.5*2 Pult = 190 ton 
 
1.26.) Determine la carga última que transmite un muro a una zapata corrida considerando 
el peso propio de la zapata, 
 a) en el corto plazo Pu(t/m)=? 
 b) en el largo plazo 
 Datos: B= 0.8 m Df= 1.5 m 
 d = 1.7 t/m
3
 (peso unitario seco) 
 = 10% sat = 2.1 t/m
3
 1 m 
 c= 1.5 t/m
2
 drenado = 25
o
 
 no drenado = 0
o
 
 
 Desarrollo: 
 qult = cNc+qNq+0.5 BN 
 Corto plazo 
 1
o
) en el corto plazo tenemos un caso no drenado 
 = 0 Nc = 5.5 Nq = 1 N = 0 
 
 2
o
) qult = cNc+qNq 
 en que: q = h*Df = 1.7*(1+ )*1.5 = 1.7*(1+0.1)*1.5 
 = 2.81 t/m
2
 
 
 3
o
) qult = 1.5*5.5+2.81*1 = 11.06 t/m
2
 
 qult = Pult/A A= 1*0.8 = 0.8 m
2
 
 Pult = 0.8*11.06 = 8.84 t/m
2
 
 
 4
o
) Considerando el peso propio, hay que descontar el q por peso propio de la zapata y 
 sumar el q por peso propio del suelo. 
 
 q(ppzapata)= (0.8*1.0*1.0*2.4)/(1*0.8) = 2.4 t/m
2
 
 q(ppsuelo) = (0.8*1*1)*1.7*1.1 /(1*0.8) = 1.87 t/m
2
 
 q = 1.87-2.4 = 0.53 
 
 5
o
) Teníamos qult = 11.06 t/m
2
 
 qult
neto
 = 11.06-0.53 = 10.53 t/m
2
 
 
 6
o
) qult
neto
 = Pult/A = Pult/0.8 Pult=0.8*10.53 = 8.42 t/m 
 Largo plazo 
 1
o
) En el largo plazo, 0 aumento de la presión efectiva de contacto entre 
 partículas 0 
 = 25
o
 Nc = 21 Nq = 11 N = 7 
 
 2
o
) qult = cNc+qNq+0.5 bBN 
 = 1.5*21+1.87*1.5*11+0.5*(2.1-1)*0.8*7 
 = 31.5+30.9+3.1 = 65.51 t/m
2
 
 
 3
o
) qult
neto
 = 65.5+1.87-2.4 = 64.95 65 t/m
2
 
 4
o
) Pult = qult
neto
*A = 65*0.8 Pult = 52 t/m 
 
1.27.) Calcule la capacidad de soporte admisible para la fundación indicada en la figura. 
 V 
 = 1.76 t/m
3
 
 = 20
o
 
 1.2 m c = 1.95 t/m
2
 
 1.5m 
 
 B 
 
 Desarrollo: 
 Ya que los parámetros del suelo se ajustan bien a la teoría de Balla (cohesión baja), 
 se usará su ecuación. Supondremos además que los parámetros del suelo no cambian en 
 el suelo sumergido. 
 Ya que el método de Balla requiere para su uso el conocer las dimensiones de la 
 fundación, presentamos los resultados en curvas q v/s B , V v/s B, (V=qadmB
2
). 
 
 Para B = 1.2 m D/b = 2 , c/b = 1.95/(0.6*1.76) = 1.85 
 se obtiene = 3.8 
 para = 3.8 y = 20
o
 : 
 Nc = 26 Nq = 10 N = 21 
 y para este caso se tiene W‟ = 0.62 ya que d/B = 0.3/1.2 = 0.25 
 
1 . 0
0 . 9
0 . 8
0 . 7
0 . 6
0 . 5
0
0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0
W ‟
d / B
1 . 0
0 . 9
0 . 8
0 . 7
0 . 6
0 . 5
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 . 0
W
a / D f
V
D f
B
B
a
d
F a c t o r e s d e r e d u c c i ó n p o r u b i c a c i ó n
 d e l n i v e l f r e á t i c o
 
 
 qult = cNc+qNqW+ bN W‟ W = 1 
 = 1.95*26+1.76*1.2*10+0.6*1.76*21*0.62 
 = 50.7+21.1+13.7 = 85.5 t/m
2
 
 
 qadm = 28.5 t/m
2
 
 
 Para B = 1.8 m: 
 D/b = 1.2/0.9 = 1.33 c/b = 1.95/(0.9*1.76) = 1.23 
 de los ábacos, interpolando para D/b = 1 y 2 resulta = 3.5 
 con = 3.5 y = 20
o
 : 
 Nc = 23 Nq = 9 N = 18 
 
 qult = 1.95*23+1.76*1.2*9+0.9*1.76*18*0.58 = 44.9+19+16.5 
 = 80.4 t/m
2
 
 qadm = 26.8 27 t/m
2
 
 Para B = 3 m: 
 D/b = 1.2/1.5 = 0.8 c/b = 1.95/(1.5*1.76) = 0.74 
 de los ábacos, interpolando para D/b = 0 y 1 resulta = 2.8 
 
 
 
 
 
 con = 2.8 y = 20
o
 : 
 Nc = 19 Nq = 8 N = 11 
 d/B = 0.3/3.0 = 0.1 W‟= 0.55 
 qult = 1.95*19+1.76*1.2*8+1.5*1.76*11*0.55 = 37.1+16.9+16 
 = 70 t/m
2
 
 qadm = 23.3 t/m
2
 
 
 B (m) qadm (t/m
2
) qadmB
2
=V (ton) 
 1.2 28.5 41 
 1.8 27 87 
 3.0 23.3 210 
 
 
2.0
3.0
2.5
0 2 31
qadm
 (t/m )
B (m)
2
 
 
1.28.) Determine la longitud de la fundación para una carga de 1000 ton, aplicada a una 
inclinación de 10
o
 con respecto a la vertical. 
 
 Arcilla sobre-consolidada cepa de 
 = 1.72 t/m
3
 c = 1.34 kgf/cm
2
 3 m puente 
 
 
 Desarrollo: B = 4 m 
 Para una inclinación de 10
o
 la capacidad de soporte se reduce. 
 Meyerhof desarrolló una teoría basada en resultados experimentales. 
 para 10
o
 Ncq 6 
 Si suponemos que se trata de una zapata corrida: 
 qult = c*Ncq = 13.4*6 = 80.4 t/m
2
 
 
 Agregando la presión ejercida por 3 m de suelo, la capacidad de soporte última 
 queda: 
 qult = 80.4 +3*1.72 = 85.6 t/m
2
 
 
 Usando un F.S. = 6 (Skempton) 
 qadm = 80.4/6+3*1.72 = 18.56 t/m
2
 
 L = 1000/(18.56*4) = 13.5m 14 m 
 
 La capacidad de soporte de una fundación rectangular es mayor a la de una zapata 
 corrida en el factor (1+0.2B/L) (Skempton) 
 1+0.2B/L = 1+0.2*4/14 = 1.06 
 como se trata de un pequeño aumento nos quedamos con L = 14 m 
1.29.) a) Determinar la capacidad de soporte para la situación indicada: 
 L>>B 
 =27
o
 
 = 35
o
 
 c = 10 t/m
2
 
 w = 1.95 t/m
3
 1.5m 
 
 (Ref. fig.3a Navfac p.133) 
 
1.2m
 
 D/B = 1.5/1.2 1.0 
 qult = cNcq+0.5 BN q en que: Ncq = 3.3 y N q = 48 
 = 10*3.3+0.5*1.95*1.2*48 
 = 33+56.2 = 89.2 t/m
2
 
 qult 90 t/m
2
 
 
 b) Idem a a) pero carga vertical. 
 qult = cNc+ DNq+0.5 BN 
 en que : Nc = 52 Nq = 36 N = 40 
 qult = 10*52+1.95*1.5*36+0.5*1.95*1.2*40 
 = 520+105.3+46.8 = 672 t/m
2
 
 c) Usando la fig. 3a del Navfac resuelva. 
 
 B=1.2m qult = cNcq+0.5 BN q 
 en que: 
 Ncq = 6.1 y N q = 80 
 1.5m 
 qult=10*6.1+0.5*1.95*1.2*80 
 = 18
o
 = 61+93.6 = 154.6 t/m
2
 
 qult 155 t/m
2
 
 
1.30.) Determinar la capacidad de carga del pilote de la figura: 
 c= 7.2 t/m
2
 = 1.73 t/m
3
 = 10
o
 
 
 Desarrollo : 
 Meyerhof propone fórmulas 
 semi-empíricas para Nc y Nq para pilas 
 pilas. 15 m 
 De fig. 8.15: Nc = 25 Nq = 3.2 
 
 qult = cNc+qNq 
 = 7.2*25+1.73*15*3.2 
 = 180+83 = 263 t/m
2
 
40 cm
 
 Experimentalmente se ha encontrado que para el caso de pilas de hormigón 
 0.8c y para pilas de acero = 0.6 a 0.8c 
 Qu = 263*0.4
2
+4*0.4*15*0.8*7.2 = 41.2+138.2 
 Qu = 180 ton 
 
 
 
1.31.) Un grupo de pilotes: L = 9 m = 0.25 m 1m 
 c = 8.9 t/m
2
 
 = 5 
o
 1m 
 = 1.72 t/m
3
 
 
 
 
 Determinar F.S. mínimo para evitar “tilting collapse”·por falla por corte del grupo 
 Desarrollo : 
 = 5 Nc = 15 y Nq = 1.7 (fig.8.15 p207) 
 
 La carga última de cada pilote: 
 qult = cNc+qNq 
 = 8.9*15+9*1.72*1.7 =133.5+26.3 = 159.8 t/m
2
 
 
 Qult = D
4
/4*qult = 7.84 ton 
 Si agregamos el roce en el manto del pilote: 
 = 0.8c = 7.1 t/m
2
 
 Q( ) = 7.1* *0.25*9 = 50.3 ton = 58.1 ton 
 Q(grupo) = 58.1*25 = 1454 ton 
 
 Pero la capacidad de carga última de un grupo de pilotes se obtiene tratando al conjunto 
 como una fundación cuadrada. 
 Nc = 8 y Nq = 1.6 (fig.8.15) 
 cNc+ ZNq = 8.9*8+1.72*9*1.6 = 71.2+24.8 =96 t/m
2
 
 
 Agregando la resistencia por fricción se tiene: 
 Qult = 96.0*c.s.área del grupo+ *Asgrupo 
 = 96.0*4
2
+7.1*4*9 = 1536+256 = 1792 ton 
 
 Terzaghi y Perk han señalado que la carga de diseño (carga admisible en cada pilote 
 multiplicada por el número de pilotes) debe ser 1/3 si se desea evitar el colapso. 
 
 1792/3 = 597 
 F.S.mín = 1454/597 = 2.4 
 
1.32.) a) Determinar la carga última suponiendo que la zapata se carga rápidamente y que el 
suelo está saturado. 
 = 47 % = 2.72 t/m
3
 
 Usar ecuación de Hansen NF 
 
 suelo arcilloso saturado 1.5m 
 c = 11.4 t/m
2
 
 = 0
o
 =3.0m 
 
 b) Suponga que la carga obtenida en a) se aplica muy lentamente. Se pide calcular el 
F.S. para esta situación considerando que ahora el suelo de fundación posee: 
 c= 4.6 t/m
2
 = 20
o
 
 Desarrollo: 
 a) Sr = 1 = 47 % P /Ps = 0.47 s = 2.72 t/m
2
 
 
 = P/V P 
 Vt 
 Vt = 1 m
3
 Ps 
 Vt = Vv+Vs 
 
 1= P / +Ps/ s = 0.47*Ps+Ps/2.72 0.837*Ps 
 Ps = 1.194 y P = 0.561 
 
 Vs = 1 m
3
 Ps = 2.72 ton P = 0.47*2.72 = 1.28 
 Vv = V = 1.28 
 sat = (2.72+1.28)/(1+1.28) = 1.755 t/m
3
 
 El suelo actúa como si su densidad tuviera el valor de la densidad sumergida. 
 Para condiciones no drenadas la ecuación de Hansen: 
 qult = 5.14*c*(1+S‟c+d‟c-i‟c-b‟c-g‟c) + q 
 en que: 
 c = 11.4 t/m
2
 
 S‟c = 0.2B/L = 0.2*1 = 0.2 
 d‟c = 0.4D/B = 0.4*1.5/3 = 0.2 
 i‟c = 0 (H=0) 
 b‟c = 0 
 g‟c = 0 
 qult=qhundimiento = 5.14*11.4*(1+0.2+0.2) = 82.03 t/m
2
 
 
 Phundimiento= 82.03*3
2
 = 738 ton 
 
 b) 738*F.S./A = cNcScdc+qNqSqdq+0.5 BN S d 
 en que: 
 c = 4.6 t/m
2
 
 Nc = 82 Nq = 72 N = 100 
 Sc = 1+(Nq/Nc)*(B/L) = 1+(72/82)*(3/3) = 1.88 
 dc = 1+0.4*D/B = 1+0.4*1.5/3 = 1.4 
 Sq = 1+(B/L)*tg = 1+(3/3)*tg40= 1.84 
 dq = 1+2*tg *(1-sen )
2
*Df/B = 1+2*tg40*(1-sen40)
2
*1.5/3=1.11 
 S = 1-0.4*B/L = 1+0.4*3/3 = 0.6 
 d = 1 
 0.5 B = 0.5*(1.755-1)*3 = 1.13 
 sustituyendo: 
 738*F.S./(3*3)=4.6*82*1.88*1.4+0.755*1.5*72*1.84*1.11+1.13*100*0.6*1 
 82*F.S. = 992.8+166.5+67.8 
 
 F.S. = 15 
 c) Considere ahora que la arcilla está fisurada. 
 Desarrollo: 
 Es posible que a largo plazo las fisuras se abran y desaparezca la cohesión alo largo de ellas. 
 c = 0 738*F.S./9 = 166.5+67.8 
 F.S. = 2.9 
1.33.) Calcule la máxima presión que puede transmitir la base de la zapata al terreno para 
tener un coeficiente de seguridad al hundimiento igual a 3. 
 Suponga que todo el estrato tiene un grado de saturación Sr = 30 %= cte. 
 Datos: 
 e = 0.5 = 35
o
 = 1.83 t/m
3
 s = 2.6 t/m
3
 
 c = 0 Df = 0.8 m B = 2 m L = 2 m 
 Desarrollo: 
 = 35 
o
 Nq = 35 N = 40 
 
 la ec. de Hansen: qult = qNqSqdq+0.5 BN S d 
 en que : 
 q = *D = 1.83*0.8 = 1.46 
 Sq = 1+(B/L)*tg = 1+(2/2)*tg35= 1.7 
 dq = 1+2*tg *(1-sen )
2
*Df/B = 1+2*tg35*(1-sen35)
2
*0.8/2=1.10 
 S = 1-0.4*B/L = 1-0.4*2/2 = 0.6 
 d = 1 
 qult = 1.46*35*1.7*1.1+0.5*1.83*2*40*0.6*1 
 = 95.82+43.92 = 139.7 t/m
2
 
 
 qadm(F.S.=3) = 46.58 47 t/m
2
 
 
1.34.) a)Repetir el problema 1.33.) pero con la variación que una vez construida se le coloca 
un relleno compactado de 0.8 m de altura y = 1.8 t/m
3
. 
 b) Repetir el cálculo anterior suponiendo que el nivel freático sube hasta la base de la 
zapata. 
 c) Repetir b) usando la Fig. 2 del Nafvac DM7.2 p132, con la napa a 0.4 m bajo el 
sello de fundación. 
 d) Suponer la napa a 0.5 m bajo la base de la zapata. 
 
 Desarrollo: (Nafvac p131) 
 qult = cNc(1+0.3B/L)+ DNq+0.4 BN 
 
 Determinación de hum h=0.8m 
 Vt = Vo = Vv+Vs 
 e = Vv/Vs = 0.5 =1.8t/m
3
 
2.0 m
 
 Sr = V /Vv 
 Vs = 1 m
3
 
 Ps = 2.6 ton 
 Vv = 0.5 m
3
 
 V = 0.3*Vv = 0.15 m
3
 
 P = 0.15 ton 
 hum = Ptot/Vtot = (2.6+0.15)/1.5 = 1.83 t/m
3
 
 
 = 35 Nq = 35 N = 40 
 
 qhun = qult = 1DNq+0.4 2BN 
 en que: 
 1 = 1.8 t/m
3
 D = 0.8 m 2 = 1.83 t/m
3
 
 qhun = 1.8*0.8*35+0.4*1.83*2*40 = 50.4+58.6 
 = 109 t/m
2
 
 qadm(F.S.=3) = 36.3 t/m
2
 
 Notas: 
 1) En arenas la carga admisible está dada por los asentamientos y no por el qult. 
 2) En terrenos blandos o muy sueltos, la rotura será parcial. En terrenos densos la 
 rotura será total ( = 40
o
). En nuestro caso asumimos rotura total. 
 
 b) qult = 1DNq+0.4 2BN = 50.4+0.4* b*2*40 
 Determinación de b 
 sat = (Pa+P )/Vt = 2.07 t/m
3
 b = 1.07 t/m
3
 
 qult = 50.4+0.4*1.07*2*40 = 50.4+34.2 
 = 84.6 t/m
2
 
 qadm(F.S.=3)= 28.2 t/m
2
 
 
 c) d = 0.4+0.8 = 1.2 m 
 d/B = 1.2/2 = 0.6 
 
 Identifiquemos las fórmulas a usar en la figura 2: 
 1
o
) En una zapata cuadrada. 
 2
o
) Se cumple Df B 0.8 2.0 
 3
o
) Se cumple: Df <d < (Df+do) 
 Df = 0.8 m d = 1.2 m 
 Determinación de do: 
 ¡tomar = 30
o
 como un valor extremo! 
 d/B = 1.2/2 = 0.6 
 = 35 d/do = 0.65 do = 0.65*1.2 = 0.78 
 Df+do = 1.6 
 
 qult = cNc(1+0.3B/L)+ tDfNq+ b+F( t- b) 0.4BN 
 F 0.8 
 evaluación de términos: 
 c = 0 el primer término de qult vale 0 
 sub = b = 1.07 t/m
3
 t = hum = 1.83 t/m
3
 
 
 qult = 1.83*0.8*35+ 1.07*0.8*(1.83-1.07) *0.4*2*40 
 = 51.24 20.82 
 qult = 72.1 t/m
2
 qadm = 24.03 t/m
2
 
 
 d) eq*B = h*do+ b*(B-do) 
 eq = h*do/B+ b- b*do/B = do/B*( h- b)+ b 
 = 5/20*(1.83-1.07)+1.07 = 1.26 t/m
3
 
 
 qh = DNq+0.4 eqBN = 1.8*0.8*35+0.4*1.26*2*40 
 = 50.4+40.3 = 90.7 t/m
2
 
 
 qadm = qh/3 = 30.2 t/m
2
 
 
 
 
 
1.35.) Se aplica una carga uniformemente repartida sobre una franja muy larga de 6 m de 
ancho. 
 a) Determinar la presión de hundimiento(según Terzaghi) 
 b) Se desea un F.S.=3 con respecto a la carga de hundimiento. Determinar el F.S. con 
 respecto a la resistencia al corte. 
 c= 3 t/m
2
 = 30
o
 
 
 Desarrollo: 
 a) qult = qhundimiento =cNc+ DNq+0.5 BN 
 en que: 
 D = 0 qhundimiento = cNc = 3*37.2 
 qhundimiento = 111.6 t/m
2
 
 b) Hay que calcular el número por el cual hay que dividir la cohesión y la tangente de 
 para que el terreno esté en equilibrio bajo la presión minorada. 
 
 qadm = 111.6/3 = 37.2 t/m
2
 
 hay que determinar F 
 c
*
 = c/F tg
*
 = tg /F 
 
 qadm= DNq(
*
) + c
*
Nc(
*
) 
 como q = D = 0 qadm = c
*
Nc(
*
) (A) 
 c
*
 = 3/F 
 tg
*
 = tg30/F = 0.58/F 
 
*
 = arctg(0.58/F) 
 Nc = (228+4.3 )/(40- ) ( <35
o
 Krizek) 
 Nc(
*
) = (228+4.3*(arctg(0.58/F)))/(40-arctg(0.58/F) (ver p811 G y C II) 
 
 sustituyendo en (A): 
 37.2 = 3/F*(228+4.3*(arctg(0.58/F)))/(40-arctg(0.58/F) 
 
 F 2 1.5 1.4 1.45 1.44 
 qadm 18.7 33.8 39.8 36.6 37.2 t/m
2
 
 
 F = 1.44 
 
1.36.) Calcule la fatiga de contacto admisible para una fundación cuadrada para las 
condiciones indicadas en la figura, usando la teoría de Balla y un F.S. = 3 (cargas 
permanentes). 
 
 V = 1.76 t/m
3
 
 = 30
o
 
 c = 0 
 2.4 m 
 
 
 B=2.4 m 
 
 Desarrollo : 
 b = B/2 = 2.4/2 = 1.2 m , D/b = 2.4/1.2 = 2 , c/b = 0 
 
 De ábacos se tiene: 
 para D/b = 2 , c/b = 0 y = 30
o
 = 4 
 
 Con = 4 y = 30
o
 se obtienen: 
 Nc = 40 Nq = 24 N = 68 
 qult = cNc+qNq+ bN 
 = 0+1.76*2.4*24+1.2*1.76*68 =101.4+143.6 
 qult = 245 t/m
2qadm = 81.7 t/m
2
 
 
1.37.) Repita el problema 1.36.) para = 25
o
 y c = 27 t/m
2
 (0.27 kgf/cm
2
) 
 Desarrollo: 
 D/b = 2 , c/b = 2.7/(1.2*1.76) = 1.28 , = 25
o
 
 Usando ábacos se obtiene : 
 = 4.04 4 
 y con = 4 y = 25
o
 : 
 Nc = 33 Nq = 17 N = 39 
 qult = 2.7*33+2.4*1.76*17+1.2*1.76*39=89.1+71.8+82.4 
 = 243.3 t/m
2
 
 qadm = 81.1 80 t/m
2
 
 
 
DIMENSIONAMIENTO POR CAPACIDAD DE SOPORTE 
 
1.38.) Para el estanque de acero de la figura determine el ancho de la zapata considerando 
que está ubicado en un talud con pendiente 1:3 . La altura del estanque es 10 metros con un 
radio de 9 metros. El estanque almacena un líquido con una densidad de 1.1 ton/m
3
. El 
anillo interior del estanque se apoya en una cama de arena suelta. Considere que el 60% de 
la carga se transmite a la cama de arena y el 40% a las zapatas. Considere un sello de 
fundación promedio a 1.5 metros de profundidad. 
 
 planta elevación = 27
o
 
 c = 2 ton/m
2
 
 r =1.9 ton/m
3
 
 e=1cm acero=7.9 gr/cm
3
 
 H =10 m horm=2.4 ton/m
3
 
 
corte AA
 
 talud 
 
 9 m eje sim. 
 0.9m 
 Corte A-A Usar Hansen o Nfac 
 
 
 
 
 V 
 Desarrollo: 
 Hipótesis: Como es un anillo 
 se resuelve considerando zapata Df=1.5m 
 corrida. 
 =arctg(1/3)=18.5
o
 
 
 - Determinación de las solicitaciones sobre la zapata: 
 
 V = peso del manto + peso del contenido + peso de la zapata 
 
 Pmanto = 0.1dm*10*10dm*10dm*7.9kgf/dm
3
 =100dm
3
*7.9kgf/dm
3
 
 = 0.79 ton/m 
 Pcontenido = *Vol*0.4 = 1.1 t/m
3
 
 Vol= *D
2
/4*h = *18
2
/4*10 m
3
 
 = 2545 m
3
 
 Pcontenido =1.1*2545*.4=1120 ton que se reparten en la longitud del perímetro 
 2* *r = 56.5 m por lo tanto 
 Pcontenido = 1120/56.5 = 19.8 ton/m 
 Pzapata = B*h*L* horm =B*0.9*1*2.4 
 = 2.16*B (ton/m) 
 luego 
 V = 0.79+19.8+2.16*B 
 
 Hay que darse un valor de B e iterar: 
 1
a
 iteración: B=1 m V = 22.75 t/m 
 -Determinar qadm usando Hansen 
 qult = cNcScdcgc +qNqSqdqgq+0.5 BN S d g 
 c=2 t/m
2
 
 Nc = 24 (Bowles p190) 
 Sc =1+(Nq/Ncd)*(B/L)=1+(13.25/24)*(1/56.5) 1.0 
 dc = 1+0.4*k (k=tg
-1
(Df/B)=0.983) 
 = 1.39 
 gc = 1- /147
o
 = 0.874 
 entonces: cNcScdcgc =2*24*1*1.39*0.847=58.3 t/m
2
 
 q = *H = 1.9*1.5 =2.85 t/m
2
 
 Nq= 13.25 
 Sq = 1+(B/L)*tg =1+(1/56.5)*tg27 1.0 
 dq = 1+2*tg27*(1-sen27)*0.983 = 1.55 
 gq = (1-0.5*tg18.5)
5
 = 0.40 
 entonces: qNqSqdqgq =2.85*13.25*1.0*1.55*0.40 = 23.6 t/m
2
 
 = 1.9 t/m
2
 
 N = (7.9*10.9)/2= 9.4 
 S =1-0.4*B/L = 1-0.4*1/56.5 = 0.99 
 d = 1.0 
 g = (1-0.5*tg18.4)
5
 = 0.40 
 entonces: 0.5 BN S d g = 0.5*1.9*1*9.4*0.99*1*0.4 = 3.54 t/m
2
 
 por lo tanto: qult = 58.3+23.6+3.54 = 85.44 t/m
2
 
 qadm = qult/3 = 85.44/3 = 28.48 t/m
2
ç 
 Verificación de la capacidad de soporte 
 qsolic = V/(B*L) = 22.75/(1*1) = 22.75 t/m
2
 
 qadm = 28.5 t/m
2
 
 qsolic qadm O.K. 
 
 2
a
 iteración: B = 0.5 m V = 21.7 t/m 
 -Determinación del qadm por Hansen 
 los parámetros que varían son: 
 Sc =1+(13.25/24)*(0.5/56.5) 1.0 
 dc = 1+0.4*1.25 = 1.5 k= tg
-1
(1.5/0.5) = 1.25 
 entonces: cNcScdcgc =2*24*1*1.5*0.874 = 62.9 t/m
2
 
 Sq = 1+(0.5/56.5)*tg27 1.0 
 dq = 1+2*tg27*(1-sen27)*1.25 = 1.696 
 entonces: qNqSqdqgq = 2.85*13.25*1*1.696*0.40 = 25.6 t/m
2
 
 S = 1-0.4*0.5/56.5 1.0 
 luego: 0.5 BN S d g = 0.5*1.9*0.5*9.4*1*1*0.4 = 1.77 t/m
2
 
 por lo tanto: 
 qult= 62.9+25.6+1.77 = 90.27 t/m
2
 
 qadm = 30.1 t/m
2
 
 Verificación de la capacidad de soporte 
 qsolic = V/(B*L) = 21.7/(0.5*1) = 43.4 t/m
2
 
 qadm qsolic no cumple 
 B = 1 m o ajustar realizando nuevas iteraciones 
 
 
 
 
1.39.) Un silo de 5 metros de altura y 2 metros de diámetro externo, se apoya sobre una 
zapata circular de 2.4 metros de diámetro. El espesor de las paredes de hormigón es de 
30 cm. El material a almacenar tiene un peso unitario de 1.5 ton/m
2
. Considere un evento 
sísmico que tiene una aceleración máxima de 0.25g que produce una fuerza horizontal a 
2.5 metros de la superficie. Las características del suelo son similares a las del problema 
1.2.). 
 Determine la profundidad del sello para: 
 a) asegurar la estabilidad del silo y 
 b) cumplir con las exigencias de soporte del suelo 
 
 Desarrollo: 
 Se modela como zapata de sección circular. Considere que la zapata es rígida. 
 Asumiendo Df 1 m 
 - Solicitaciones 
 Carga vertical 
 V = Vsilo+Vrelleno+Vzapata 
 Vsilo = H* *(2
2
-1.4
2
)/4* horm = 5*3.85 =19.2 ton 
 Vrelleno = ( *1.4
2
/4)*5*1.5 = 11.54 ton 
 Vzapata = ( *2.4
2
/4)*1*2.4 = 10.86 ton 
 V = 19.22+11.54+10.86 = 41.6 ton 
 = V/A =41.6/( *2.4
2
) = 2.3 ton/m
2
 
 Momento 
 Sea Df = 1 m 
 M = H*(2.5+Df) H = 0.25*(19.22*11.54) = 7.96 ton 
 M = 26.92 t*m 
 e = M/V = 26.92/41.6 = 0.65 m B/6=2.4/6 = 0.40 
 e B/6 
 Reacción del suelo: qM,m = V/A M/W 
 
 W = *D
4
/(64*R) = *2.4
4
/(64*1.2) = 1.36 m
3
 
 
 qM,m = 2.3 26.92/1.36 = 2.3 19.8 ton/m
2
 
 
 Ep,Ea 
 kp v = (1+sen27)/(1-sen27)*1.9*1 =5.06 ton/m
2
 
 Ep =1/2*5.06*1 = 2.53 ton/m considerando los 2.4 m de ancho 
 = 2.53*2.4 =6.07 ton 
 
 ka = 1/kp = 0.38 
 
 Ea = 0.86 ton 
 
 Ea Ep 
 
 ka v kp v 
 a) Estabilidad del silo 
 Volcamiento M
M
R
V
2
 
 MR = V*D/2+(Ep-Ea)*1/3*1 = 49.92+1.74 = 51.7 t*m 
 MV = 26.92 t*m 
 FSV = 51.7/26.92 = 1.92 2 O.K. 
 
 b) No cumple con las exigencias de soporte del suelo, ya que m es negativo. 
 Determinación de la capacidad de soporte del suelo (Meyerhof). 
 Sea Df =1 m 
 qult (Meyerhof, carga inclinada, referencia p188 Bowles) 
 qult = cNcdcic+qNqdqiq+0.5 BN d i 
 = Fc + Fq + F 
 c = 2 t/m
2
 
 Nc = 23.9 Nq = 13.2 N = 9.5 
 dc =1+0.2*√kp*D/B kp = 2.66 
 = 1+0.2*1.63*1/2.4 = 1.13 
 ic = (1-
o
/90
o
)
2
 tg = 769/41.6 = 0.2 rad 
 ic = 0.78 = 10.5
o
 
 
 Fc = 2*23.9*1.13*0.78 = 42.1 t/m
2
 
 
 q = *D = 1.9*1 = 1.9 t/m
2
 V = 41.6 ton 
 dq = 1 
 iq = ic = 0.78 H = 7.69 ton 
 
 Fq = 1.9*13.2*1*0.78 = 19.56 t/m
2
 
 
 d = 1 
 i = (1-10.5/27)
2
 = 0.37 F = 0.5*1.9*2.4*9.5*1*0.37 = 8.01 t/m
2
 
 qult = 42.1+19.56+8.01= 69.67 t/m
2
 
 qadm =69.67/3 = 23.2 t/m
2
 
 M = (2.3 + 19.8)*1.2 = 26 t/m
2
 
 M qadm 
 
 qult (Meyerhof, sin carga inclinada) 
 Sc = 1+0.2*kp*B/L = 1.51 
 Sq = 1+0.1*kp*B/L = 1.27 
 S = 1.27 
 qult = cNcScdc +qNqSqdq+0.5 B‟N S d 
 qult = 2*23.9*15.1*1.13*+1.9*13.2*1.27*1+0.5*1.9*2.15*9.5*1.27*1 
 = 81.56+31.85+24.64=138 t/m
2
 
 qadm = 46 t/m
2
 v/s 23.2 t/m
2
 
 
1.40.) Diseñe las fundaciones para el estanque de la figura considerando que : 
 a) la capacidad de soporte del suelo controla el diseño. 
 b) usar ecuación de Hansen (Tablas 4.1 a 4.5 del Bowles). 
 c) estados de carga: 
 EC(1) = normal + viento + estanque vacío 
 EC(2) = normal + viento + estanque lleno 
 d) e/B < 0.3 (el estanque está ubicado en un campo abierto y su colapso no es 
 crítico) 
 e) puede usar método alternativo propuesto por Meyerhof con un factor de 
 reducción 
 Re = 1 - (e/B)
0.5
 
 5 m 
 
 t = 1.91 t/m3 vol=45 m3 
 c = 0.5 t/m2 
= 3 m
 
 = 23° pv= 
 120 
 
kgf/m2
 = 0.7m 9 m 
 
 
 Sr = 95 % 
1.4 m
 
 NF 
1.1 m
 
 Sr = 100 % 
 
=B
 
 Desarrollo: 
 - Determinación de solicitaciones 
 
 H1 = 3*3m
2
*0.12t/m
2
 = 1.08 ton 
 H2 = 0.7*9m
2
*0.12t/m
2
 = 0.76 ton 
 H = 1.08+0.76= 1.84 ton 
 
 MSF = H1*(3/2+9+1.4+1.1)+H2*(9/2+2.5) =1.08*13 + 0.76*7 
 = 14.04+5.29 = 19.33 t*m 
 
 V = Vo + 1.1*B
2
* horm 
 Vo = 10.4*0.7
2
*2.4+(5*3*3-4.9*2.9*2.9)*2.4 = 21 ton 
 V = 21 + 1.1*B
2
*2.4 = V(B) 
 
 - Determinación de B tentativo: 
 e/B < 0.3 e = M/V = 19.33/V 
 
 B(m) V(ton) 19.33/V=e e/B (estanque vacío) 
 
 3 44.76 0.43 0.14 
 2.5 37.5 0.51 0.21 Tentar con 
 2.0 31.6 0.60 0.31>0.3 B = 2.1 m 
 2.1 32.64 0.59 0.28<0.3 
 2.2 33.78 0.57 0.26 
 2.3 35.0 0.55 0.24 
 2.4 36.2 0.53 0.22 
 
 Capacidad de soporte según Hansen.(Fórmula general p188 Bowles) 
 
 qult = cNcScdcicgcbc + ......... 
 Como no debe usarse el factor de forma Si en combinación con el de inclinación 
 ii (p191 Bowles Tabla 4-5) 
 qult = cNcdcic +qNqdqiq+0.5 ‟B‟N d i 
 en que 
 ‟ = t-1 = 1.91-1 = 0.91 t/m
2
 
 B‟ = B-2*e =2.1-2*0.59 = 0.92 m 
 Nc = 18 dc = 1.35 ic = 0.86 
 Nq = 8.7 dq = 1.45 iq = 0.8 
 N = 4.9 d = 1.0 i = 0.83 
 
 Fc= cNcdcic = 10.4 t/m
2
 Fq = qNqdqiq= 52.8 t/ m
2
 
 F = 0.5 ‟B‟N d i =1.69 t/m2 
 
 qult = 64.9 t/m
2
 qadm = qult/3 = 21.6 t/m
2
 
 
 Verificaciones: 
 M < qadm M = 4*V/(3*L*(B-2*e)) 
 
 M(B=2.1m) = 4*32.64/(3*2.1*(2.1-2*0.59)) = 22.53 t/m
2
 > qadm 
 
 aumentar B B = 2.2 m 
 
 Volcamiento: FS = MR/MV = (V*B/2)/19.33 
 = (32.64*2.1/2)/19.33 = 1.77 < 2 
 aumentar B 
 Deslizamiento 
 FS = (c*A+N*tg )/H = (0.5*B‟*B+V*tg23)/1.84 
 = (0.5*0.92*2.1+32.64*tgt23)/1.84 = 14.82/1.84 
 FS = 8.1 O.K. 
 2
a
 Iteración B = 2.3 m 
 B‟ = B-2*e = 2.3-2*0.55 = 1.19 m V = 35.0 ton 
 k = 0.83 dc = 1.33 ic = 0.87 
 dq = 1.43 iq = 0.89 
 d = 1.0 i = 0.84 
 Fc = 10.4 Fq = 52.5F = 2.2 
 qult = 65.2 t/m
2
 qadm = 21.7 t/m
2
 
 
 Verificar qadm e/B = 0.24 > 0.17 
 M = 4*35/(3*2.3*(2.3-2*0.55)) = 17.1 t/m
2
 < qadm O.K. 
 
 Volcamiento: (B = 2.3 m) 
 FS = MR/MV = (35*2.3/2)/19.33 = 2.1 > 2 O.K. 
 
 Con el estanque vacío B = 2.3 m 
 ¡ Controla el volcamiento ! 
 
 EC(2) = N + V + estanque lleno: 
 
 B(m) V(ton) 19.33/V=e e/B 
 
 3 89.8 0.22 0.07 < 0.3 
 2.5 82.5 0.23 0.09 < 0.3 
 2.4 81.2 0.24 0.10 < 0.3 
 2.3 80.0 0.24 0.11 < 0.3 
 2.1 77.6 0.25 0.12 < 0.3 
 
 1
a
 Iteración B = 2.3 m 
 B‟ = 1.82 m V = 80 ton 
 k = 0.83 dc = 1.33 ic = 0.94 
 dq = 1.43 iq = 0.95 
 d = 1.0 i = 0.93 
 Fc = 11.26 Fq = 56.17 F = 3.75 
 qult = 71.2 t/m
2
 qadm = 23.7 t/m
2
 
 Verificación qadm 
 e/B = 0.11 < 0.17 M = V/A*(1+6*e/B) 
 = 80/2.3
2
*(1+6*0.11) 
 =25.1 t/m
2
 M > qadm no cumple 
 2
a
 Iteración B = 2.4 m 
 B‟ = 1.92 m V = 81.2 ton 
 k = 0.81 dc = 1.32 ic = 0.94 
 dq = 1.42 iq = 0.95 
 d = 1.0 i = 0.93 
 Fc = 11.20 Fq = 55.80 F = 3.98 
 qult = 70.98 t/m
2
 qadm = 23.66 t/m
2
 
 Verificación qadm 
 M = V/A*(1+6*e/B) = 81.2/2.4
2
*(1+6*0.1) = 22.56 t/m
2
 
 M < qadm O.K. 
 Verif. Volcamiento: 
 FS = MR/MV = (81.2*2.4/2)/19.33 = 5.0 > 2 O.K. 
 
 Conclusión: 
 Usando Hansen EC(1) B 2.3 m controla volcamiento 
 EC(2) B 2.4 m adm del suelo 
 B = 2.4 m 
 
 3.b) Capacidad de soporte según Meyerhof alternativo con un factor de reducción 
 Re = 1-(e/B)
0.5
 
 Para carga inclinada: 
 qult = cNcdcic +qNqdqiq+0.5 BN d i (p188 Bowles) 
 
 kp ( =23) = 2.28 i = f( ) 
 V 
 tg = H/V = 1.84/V 
 
 H 
 Estanque vacío : 
 1
a
 Iteración B = 2.3 m 
 
 B‟ = 1.19 m V = 35 ton = 3.01o 
 
 Nc = 18 dc = 1.35 ic = 0.93 
 Nq = 8.7 dq = 1.16 iq = 0.93 
 N = 4.9 d = 1.16 i = 0.76 
 
 Fc = 11.17 Fq = 45.18 F = 4.51 
 qult = 60.85 t/m
2
 
 e/B = 0.24 <0.3 O.K. 
 Re = 0.51 qult*Re = 31.0 t/m
2
 qadm = 10.3 t/m
2
 
 
 e/B = 0.24 > 1/6 zonas en tracción 
 
 M = 4*V/(3*L*(B-2*e)) = 4*35/(3*2.3*(1.19)) = 17.1 > 10.3 t/m
2
 
 
 M > adm hay que aumentar B 
 2
a
 Iteración B = 2.6 m 
 e = 0.50 B‟ = 1.60 m V = 38.85 ton 
 e/B = 0.19 > 0.17 zonas en tracción 
 
 dc = 1.29 ic = 0.94 Fc = 10.92 
 dq = 1.15 iq = 0.94 Fq = 44.75 
 d = 1.15 i = 0.78 F = 5.11 
 qult = 60.79 t/m
2
 Re = 0.56 qult = 34.19 t/m
2
 
 qadm = 11.4 t/m
2
 
 e/B = 0.24 > 1/6 zonas en tracción 
 
 M = 4*V/(3*L*(B-2*e)) = 4*38.85/(3*2.6*(1.6)) = 12.45 > 11.4 t/m
2
 
 no cumple se debe aumentar B 
 
 3
a
 Iteración B = 2.7 m 
 e = 0.48 B‟ = 1.74 m V = 40.25 ton 
 e/B = 0.18 = 2.6
o
 
 
 dc = 1.28 ic = 0.94 Fc = 10.86 
 dq = 1.14 iq = 0.94 Fq = 44.64 
 d = 1.14 i = 0.79 F = 5.33 
 qult = 60.82 t/m
2
 Re = 0.58 qult = 35.17 t/m
2
 
 qadm = 11.72 t/m
2
 
 Verif. qadm: 
 e/B > 0.166 = 1/6 zonas en tracción 
 
 M = 4*40.25/(3*2.7*(1.74)) = 11.42 < 11.72 t/m
2
 O.K. 
 
 El volcamiento ya está O.K. puesto que el FS (B = 2.3) = 2.1 > 2 
 B = 2.7 m para estanque vacío 
 Estanque lleno: 
 1
a
 Iteración B = 2.7 m 
 e = 0.23 B‟ = 2.25 m V = 85.25 ton 
 e/B = 0.08 < 1/6 = 1.24
o
 
 
 dc = 1.28 ic = 0.97 Fc = 11.20 
 dq = 1.14 iq = 0.97 Fq = 46.06 
 d = 1.14 i = 0.90 F = 6.08 
 qult = 63.34 t/m
2
 Re = 0.71 qult = 44.48 t/m
2
 
 qadm = 15.0 t/m
2
 
 Verificación qadm 
 M = V/A*(1+6*e/B) = 82.25/2.7
2
*(1+6*0.08) = 17.6 t/m
2
 > 15 t/m
2
 
 
 M > qadm aumentar B 
 
 2
a
 Iteración B = 2.8 m 
 e = 0.22 B‟ = 2.35 m V = 86.70 ton 
 e/B = 0.0796 < 1/6 = 1.22
o
 
 
 dc = 1.27 ic = 0.97 Fc = 11.12 
 dq = 1.13 iq = 0.97 Fq = 45.88 
 d = 1.13 i = 0.90 F = 6.29 
 qult = 63.29 t/m
2
 Re = 0.72 qult = 45.43 t/m
2
 
 qadm = 15.14 t/m
2
 
 
 Verificación qadm 
 M = 86.7/2.8
2
*(1+6*0.0796) = 16.34 t/m
2
 > 15.14 t/m
2
 no cumple 
 
 3
a
 Iteración B = 2.9 m 
 e =0.22 B‟ = 2.46 m V = 88.2 ton 
 e/B = 0.0755 < 1/6 = 1.20
o
 
 
 dc = 1.26 ic = 0.97 Fc = 11.04 
 dq = 1.13 iq = 0.97 Fq = 45.71 
 d = 1.13 i = 0.90 F = 6.50 
 qult = 63.25 t/m
2
 Re = 0.73 qult = 45.87 t/m
2
 
 qadm = 15.29 t/m
2
 
 
 Verificación qadm 
 M = 88.2/2.9
2
*(1+6*0.0755) = 15.24 t/m
2
 < 15.29 t/m
2
 O.K. 
 
 Con el estanque lleno se requiere B = 2.9 m (usando Meyerhof alternativo) 
 
1.41.) Diseñar Df y B , a la capacidad de soporte, de la zapata cuadrada de un pilar 
sometido a una carga vertical de 250 ton y un momento de 25 t*m: 
 El suelo es una arcilla residual compuesta de dos estratos. 
 El primer estrato es arcilla residual CH de 1 m de profundidad, blanda y con material 
orgánico. 
 El segundo estrato es arcilla residual CH consistente y dura. 
 c = 0.41 kgf/cm
2
 = 41 t/m
2
 250ton 
 = 1.8 t/m
3
 = 19
o
 25t*m 
 F.S.= 3 
 
 Df 
 Desarrollo: 
 Suponiendo que la carga se encuentra 
 dentro del tercio central, con un diagrama B 
 de tensiones del tipo: 
 
 m M en que M = V/BL+M/W 
 = V/BL+M/(BL
2
/6) 
 M=V/B
2
+6M/B
3
 (zapata cuadrada) 
 = 250/B
2
+6*25/B
3
 = (250*B+450)/B
3
 
 Además: F.S.=qult/ máx qult=3 máx =(750*B+450)/B
3
 
 
 Asi: qult = cNcFc+ DfNqFq+0.5 BN F 
 donde Fc , Fq y F son factores de corrección debido a la forma de la zapata. 
 
 qult= 4.1*Nc*1.2+1*1.8*Nq+0.5*1.8*B*N *0.6 
 se supuso Df = 1 m ya que a esta profundidad se encuentra un suelo mejor que 
 el primer estrato. 
 = 19
o
 Nc = 16.74 Nq = 6.8 N = 4.5 
 qult = 82.36+14.69+2.43*B = 97.05+2.43*B t/m
2
 
 Igualando: 
 (750*B+450)/B
3
=97.05+2.43*B desarrollando ..... 
 B
4
+39.94*B
3
-308.6*B-185.2=0 
 tanteando con B=2.94 se tiene (-2.81=0) 
 B 3 m 
 Verificación: 
 e = M/V = 25/250 = 0.1 m = 10 cm 
 B/6 = 3/6 = 0.5 m = 50 cm 
 carga coincide dentro del tercio central 
 
 máx= (250*3+150)/27 = 33.3 t/m
2
 
 qult = 97.05+2.43*3 = 104.34 t/m
2
 F.S.= 104.34/33.3 = 3.13 
 
 se acepta este valor ya que asegura el desconocimiento y la mala calidad del 
 primer estrato. 
 = V/A(1 6e/B) = 250/9(1 6*0.1/3) 
 V = 250 ton = 27.8(1 0.2) 
 A = B
2
 9 m
2
 M = 33.36 t/m
2
 
 e = M/V = 225/250 = 0.1 m m = 22.24 t/m
2
 
 
1.42.) Hallar las dimensiones para que la zapata mostrada tenga un F.S.= 3, según fórmula 
de Hansen. 
 Datos: N=1000ton corte AA 
: b = 2.2 t/m
3
 
 c = 2 t/m
2
 
 = 30 
o
 Df 1.4B 
 L = 1.4B m 
 A A 
 B 
 Desarrollo: 
 qult = cNcScdcicgcbc +qNqSqdqiqgqbq+0.5 BN S d i g b 
 
 Suponer Df B 
 Nq = tg
2
(45+ /2)e
tg
 =18.40 
 Nc = 30.14 
 Sc = 1+(Nq/Nc)*(B/L) = 1+(18.4/30.14)*(B/1.4B) = 1.44 
 dc = 1+0.4*Df/B = 1+0.4*1.5/B = 1+0.6B 
 ic =1 
 gc = 1 ( = 0) 
 bc = 1 ( = 0) 
 q = Df = 2.2*1.5 = 3.3 t/m
2
 
 Sq = 1+(B/L)*tg = 1+(B/1.4B)*tg30= 1.41 
 dq = 1+2*tg *(1-sen )
2
*Df/B = 1+2*tg30*(1-sen30)
2
*1.5/B=1+0.433B 
 iq = 1 (H=0) 
 gq = 1 ( = 0) 
 bq = 1 (terreno horizontal) 
 N = 15.1 
 S = 1-0.4*B/1.4B = 0.714 
 d = 1 
 i = 1 (H=0) 
 g = 1 ( =0) 
 b = 1 
 sustituyendo: 
 qult = N*F.S./(B*L) = 1000*3/1.4B
2
 
 además 
 qult=2*30.14*1.44*(1+0.6/B)+3.3*18.4*1.41*(1+0.433/B)+1.1B*15.1*0.714 
 luego : 2143/B
2
=86.8(1+0.6/B)+85.62(1+0.433/B)+11.86B 
 2143=86.8B
2
+52.08B+85.62B
2
+37.07B+11.86B
3
 
 11.86B
3
+172.42B
2
+89.15B-2143=0 
 
 B1= -12.86 B2= 3.0 m B3= -4.6 
 
 B = 3.0 m 
 L = 1.4*3 = 4.2 m 
 
 Df B O.K. la suposición inicial. 
 
1.43.) Si al problema 1.42.) se le agrega una componente horizontal H = 200 ton que forma 
un ángulo de 20
o
 con respecto al eje menor del rectángulo. 
 Hallar el F.S. de la zapata proyectada. 
 corte AA 
 N=1000ton 
 
 200 ton 
 4.2m x 
20
 x 
 
 A A 
 3.0m 
 Desarrollo: 
 Tenemos la siguiente situación: 
 Caso I 1000ton Caso II 1000ton 
 188ton 68ton 
 
 
 
 3.0m 4.2m 
 
 suponemos aplicación en el sello de fundación 
 
 Análisis del caso I 
 Varían los coeficientes y, de inclinación de la carga: 
 ic = f(iq) 
 iq = 1-0.5*188/(1000+3*4.2*2*cotg30)
5
 = 0.624 
 ic = iq-(1-iq)/(Nq-1) = 0.624-(1-0.624)/(18.4-1) = 0.602 
 i = 1-0.7H/(V+A*c*cotg )
5
 
 = 1-0.7*188/(1000+3*4.2*2/tg30)
5
 = 0.51 
 
 
 Volviendo a la fórmula de Hansen: 
 F.S.*1000/(4.2*3) = 86.8(1+0.6/3)*ic+85.62(1+0.433)*iq+11.86*3*i 
 79.365*F.S.=62.704+61.138+18.146 
 
 F.S. = 1.79 1.8 
 
1.44.) Sien el problema 1.42.) se agrega un momento de 500 t*m, que tiene como eje una 
de las diagonales, determinar el F.S. para esta situación. 
 
 Desarrollo: 
 
 Mx = 500*cos = 290.6 t*m 
 My = 500*sen = 407.1 t*m M =54.5
o
 
 
 Tenemos la siguiente situación: 
 
 Caso I 1000ton Caso II 1000ton 
 407t*m 291t*m 
 
 
 
 3.0m 4.2m 
 ey = 0.41 m ex = 0.29 m 
 
 La carga de 1000 ton está descentrada y produce un momento de 500 t*m con 
 respecto a la diagonal. 
 e = M/N = 500/1000 = 0.5 m 
 Hemos de considerar un área equivalente que tenga como centro de gravedad G. 
 
 
 18.9
35.5
71.1
3.0m
 
 = 35.5
o
 
 L‟=(L/2-0.5*sen35.5)*2 = 4.2/2-0.29 = 3.6 m 
 B‟ =(B/2-0.5*cos35.5)*2 = 3/2-0.41 = 2.2 m 
 Aplicando Hansen a este nuevo rectángulo: 
 
 1000*F.S./(2.2*3.6) = cNcScdcicgcbc +..... 
 ic = i = 1 (carga vertical ) 
 D/B‟ = 1.5/2.2 < 1 
 d = 1 dc = 1+0.4D/B‟ = 1+0.4*1.5/2.2 = 1.27 
 dq = 1+2*tg30*(1-sen30)
2
*1.5/2.2=1.20 
 Sc = 1+(18.4/30.14)*(2.2/3.6) = 1.37 
 Sq = 1+(2.2/3.6)*tg30= 1.35 
 S = 1-0.4*2.2/3.6 = 0.76 
 
 sustituyendo: 
 qult = 2*30.14*1.37*1.27+3.3*18.4*1.35*1.2+1.1*2.2*15.1*0.76 
 = 104.88+98.37+27.77 = 231.0 t/m
2
 
 qult = N*F.S./A F.S.=231*2.2*3.6/1000 
 F.S.= 1.83 
 
 F.S.= qult/(N/A) es un factor de seguridad supuesto sólo para cargas verticales en 
 que qult se obtiene con el área reducida y (N/A) es la carga solicitante dividida por el 
 área reducida. 
 
1.45.) Se hace un ensayo de carga sobre una placa de 1*1m, en un suelo arenoso. El 
hundimiento se produce para q= 20 t/m
2
 y arena = 1.8 t/m
2
. Se requiere construir un zapata 
de 3*3 m aplicando una presión q= 60 t/m
2
. 
 Es necesario aumentar la resistencia al corte del suelo y se elige como método, 
inyecciones de cemento. Para dosificar el cemento se hacen una serie de pruebas 
consistentes en romper a compresión simple muestras del terreno inyectado. Se observa que 
la resistencia a compresión simple está ligada a la cantidad de cemento mediante la 
expresión: 
 R = 160c R (kgf/cm
2
) c(t/m
3
) 
 a) Determinar la dosificación a emplear si se quiere obtener un coeficiente de seguridad 
 al hundimiento igual a 2 con respecto a las cargas a emplear. 
 b) Resolver usando el coeficiente de Prandtl (Ref.tabla 13.1 G. y C. II) 
 
 Desarrollo: 
 Hansen: 
 qult = cNcScdc+qNqSqdq+0.5 BN S d 
 ii=gi=bi=1 
 q = 0 (zapata superficial) 
 c = 0 (arena) 
 qult = 20 t/m
2
 
 20 = 0.5 BN S d 
 en que: 
 = 1.8 B = 1 m N = ? S = 1-0.4B/L = 0.6 d = 1 
 20 = 0.5*1.8*1*N *0.6*1 
 N = 37.04 = 35 
o
 ( gráfico Nafvac) 
 
 Adoptamos = 35 
o
 , que se mantiene constante con la inyección de cemento, 
 sin embargo ahora el suelo adquiere cohesión de modo que la fórmula de Hansen: 
 
 qult = cNcScdc+0.5 BN S d = F*P/A (*) 
 en que: 
 F = 2 (enunciado) P/A = 60 t/m
2
 (enunciado) 
 c= a partir de (*) 
 Nc = 51 Nq = 33 N = 40 (Nafvac) 
 Sc = 1.65 dc = 1.4 
 entonces sustituyendo en (*) 
 
 2*60 = c*5.1*1.65*1.4+0.5*1.8*3*40*0.6*1 
 120 = 117.6*c+64.8 
 c = 0.47 t/m
2
 
 
 
 
 
 Usando el círculo de Mohr, aplicado a un ensayo de comprensión simple. 
 
 
R
R
L
c
1
 
 
 tg = c/L L = 0.47/tg35 = 0.67 t/m
2
 
 
 R/c*cos = (L+R)/L LR/(c*cos ) = L+R 
 R = 0.91 1 = 2R = 1.81 t/m
2
 
 1 = 160*c 0.181 = 160*c 
 c = 0.00113 t/m
2
 = 1.13 kgf/m
2
 
 
 b) = 35o Nc = 46.12 Nq = 33.3 N = 32 
 Sc = 1+(33.3/46.1)*1 = 1.72 
 dc = 1.4 
 S = 0.6 
 2*60 = c*46.1*1.72*1.4+0.5*1.8*3*32*0.6 
 120 = 111*c+51.8 c = 0.61 t/m
2
 
 
 tg = c/L L = 0.61/tg35 = 0.88 
 LR/(c*cos ) = L+R R = 1.15 2R = 2.3 
 1 = 2.3 t/m
2
 1 = 160*c 
 0.23 = 160*c c = 1.44 kgf/m
3
 
 
ASENTAMIENTO Y GIRO 
 
1.46.) Un edificio se apoya en dos líneas de zapatas aisladas, como se muestra en la planta 
indicada. Determine “mín” de modo de asegurar que no se producirá agrietamiento en el 
edificio. 
 Datos: -Zapatas cuadradas rígidas 
 -Es = 1000 kgf/cm
2
 
 - Suelo de fundación:Arena densa 
 - Cargas incluyen peso propio de las zapatas  
 
 V=21ton V=96ton 
  
 
 
 
 eje A eje B 
 B=1.5m B=0.7m 
 
eje A eje B 
 
 Desarrollo: 
 Para que no se produzcan grietas, la distorsión angular está limitada a: 
 / < 1/500 
 
 Por tratarse de un suelo de fundación constituido por arena densa, los asentamientos 
 serán inmediatos y se pueden calcular usando teoría de elasticidad. 
 
 
q B
I
E s
* *
*1 2 
 qA = VA/B
2
 = 9.33 t/m
2
 
 BA= 150 cm 
 = (Tabla p44 0.3 ) 
 Es=1000 kgf/cm
2
 
 I = (zapata cuadrada rígida)= 0.99 (p36b) 
 qB = 195.9 t/m
2
 
 
 A = VA/B*(1-
2
)*I /Es= 21000*(1-0.3
2
)*0.99/(150*1000) 
 = 0.13 cm 
 B = 96000*(1-0.3
2
)*0.99/(70*1000)= 1.24 cm 
 
  / > 500  > 500*( B- A) 
  > 555 cm 
 min = 5.6 m 
 = /  < 1/500 
 
 
1.47.) a) Determine el giro que tendrá la fundación rígida de la figura considerando que el 
módulo de reacción (K) en carga es igual al K en desgarga. 
 b) Determine además la posición del eje de rotación si 
 Edescarga =2Ecarga (K prop. a E) 
 Ecarga = 500 kgf/cm
2
 
 = 0.3 Datos: 
 M vista lateral -M = 5 t*m 
 V -N = 20 ton (incluye pp zapata) 
 
 Nota: 
 Verificar mín de contacto < 0 
 (usar teoría de elasticidad) 
 L = 3m B=1m 
 
 Desarrollo: 
 a) Giro de fundación para la zapata rígida mostrada. 
 
min
N
A
M
W
 e=min=0.25 m e/B < 1/6 
 0.25/3=0.5/6 < 1/6 O.K. 
 = 20ton/3m
2
- 5 t*m/(1/6*1*3
2
)m
3
 
 min = 3.33 t/m
2
 > 0 O.K. 
 
 
M
B L E
I
2
21
*
* *
 
 en este caso , para la fórmula B = 3 m y L = 1 m 
 
 0.2 0.4 1/3 
 I 3.3 4.6 4.17 
 
 
 M = 5 t*m 1-
2
 = 1-0.3
2
 = 0.91 
 I = 4.17 L*B
2
 = 1*3
2
 = 9 ( L // vector momento) 
 E = 5000 t/m
2
 
 
 = 5*0.91*4.17/(9*5000) = 0.42*10
-3
 rad 
 = 0.042 
 b) Eje de rotación 
 Ecarga = 500 kgf/cm
2
 
 Edescarga = 1000 kgf/cm
2
 
 
 Kcarga = E/((1-
2
)*B*I ) Kdescarga = 2*E/((1-
2
)*B*I ) 
 x 
 
 
 
 zona desc. zona carga 
 
 ( Fv = 0 ) 
 
dF dFizq der
 
 dF = q*d 
 = K* *x* d 
 
I
 Kdescarga* *x* d = 
D
 Kcarga* *x* d 
 R 
 3m 
 
 
 1m 2K K 
 
 
 dx R 
 0 3 
 
I
 2*K* *x* d = 
D
 K* *x* d 
 2 x* d = x* d 2(M.est.)izq = (M.est.)der 
 2*x*x/2 = (x-3)*1*1/2*(x-3) 
 x
2
 = 1/2*(x-3)
2
 
 desarrollando se llega a: 
 
 x
2
+6*x-9 = 0 donde x = 1.24 m 
1.48.) Se desea calcular el asentamiento para la cepa de puente indicada para: 
 t = 1, 2, 3, 5, 7 y 10 años. 
 2.6m Tabla de resistencias obtenidas 
 con cono dinámico (qc) 
 0 20 40 60 80 qc (kgf/cm2) 
 =1.6t/m
3
 
 Df 2.0m  B/2 
 NF 
1
 
 q=20t/m2  
 Arena 
2
 
 L = 23 m  
 
3
  
 El módulo propuesto por 
 Schmertmann (1970) es: 
4
  
 Es = 2*qc 
 
5
  
 Z 
(m)
 
 0.2 0.4 0.6 0.8 Iz 
 Desarrollo: 
 
 Capa Z qc Es Zc Iz (Iz/E) Z 
 
(m)
 
(kgf/cm2)
 
(kgf/cm2)
 
(m)
 
(cm3/kgf)
 
 1 1.0 25 50 0.5 0.23 0.46 
 2 0.3 35 70 1.15 0.53 0.23 
 3 1.7 35 70 2.15 0.47 1.14 
 4 0.5 70 140 3.25 0.30 0.11 
 5 1.0 30 60 4.0 0.19 0.32 
 6 0.7 85 170 4.85 0.055 0.023 
 2.283 
 Sabemos que : 
 H = C1*C2* p* (Iz/Es)* Z en que 
 p = incremento neto de presión 
 C1 = 1-0.5*ps/ p ps = sobrecarga a nivel de sello de fundación 
 = 1.6*2 = 3.2 t/m
2
 = 0.32 kgf/cm
2
 
 p = 20-3.2 = 16.8 t/m
2
 = 1.6 kgf/cm
2
 
 C1 = 1-0.5*0.32/1.68 = 0.9 
 C2 = 1+0.2*log(10t) 
 H = 0.9* C2*1.68*2.283 = 3.452*C2 
 
 t 1 2 3 5 7 10 (años) 
 C2 1.2 1.26 1.295 1.340 1.369 1.4 
 H 4.1 4.35 4.47 4.63 4.73 4.83 (cm) 
 
 
-5
-4
-3
-2
-1
0
0 2 4 6 8 10
 
 
1.49.) Se tiene una probeta confinada saturada de las siguientes características: 
 
 = 5.56 (cm) 
 Ho = 10.06 (cm) 
 eo = 0.7 H 
 
 Si se le aplica una carga vertical de 6 kgf/cm
2
 el índice de huecos se reduce a 0.45 ; 
 calcule H. 
 
 Desarrollo: 
 e = Vv/Vs e = Vv/Vs Vt = H*Area 
 Vt = Vv = e*Vs H = Vv/Area 
 
 = H/Ho =( Vv/ Area)/(Vo/Area) e 
 = Vv/Vo = e*Vs/Vo 
 eo 
1
 
 Vo = Vv +Vs / *(Vs/Vs) 
e
 
Cr
 
 = Vs*(es+1) 
 
 H/Ho = e*Vs/(Vs*(1+es) 
 H = e*Ho/(1+es) 
log f
 
log
 
 
 Cc = - e/ log e = -Cr(log f-log o)etc..... 
 
 H = ((0.7-0.45)/1.7)*10.06 = 1.5 cm 
 
1.50.) Determine el asentamiento instantáneo para una zapata continua, apoyada sobre un 
suelo fino arcilloso no saturado. 
 Datos: 
 LL = 58% Tipo de suelo: Arcilla moderadamente consolidada 
 IP = 25% OCR < 3 
 c = 5 t/m
2
 = 0.5 
 Fundación rígida qult = 35 t/m
2
 
 q = 12 t/m
2
 
 B = 2.0 m 
 Desarrollo : 
 D = q*B*(1-
2
)*I/Eu 
 en que: 
 q = 12 t/m
2
 B = 2 m = 0.5 
 Eu/c=600 Eu = 600*5 =3000 t/m
2
 (Tabla 2 ) 
 I = 2 (Tabla 1 , length/width 10 ) 
 
 D = 12*2*(1-0.5
2
)*2/3000 = 1.2 cm 
 
1.51.) Una losa de fundación de 21*55m, soporta una estructura cuyo peso produce una 
carga uniforme a transmitir q= 6.1 t/m
2
. El suelo de fundación (arcilla saturada) posee un 
E = 3900 t/m
2
 y = 0.5. Estime el asentamiento inmediato al centro y en la esquina de la 
losa. 
 
 Desarrollo: 
 = q*B*(1-
2
)*I/E 
 en que: 
 q = 0.61 kgf/cm
2
 = 0.5 E = 390 kgf/cm
2
 I = f( L/B, flex) 
 
 L/B = 55/21 = 2.62 2 ....... 1.52 0.76 
 3 ....... 1.78 0.88 
 2.62...... 1.68 0.83 
 = 0.61*(1-0.5
2
)*2100*Y/390 
 = 2.463*I 
 = 4.1 cm ( centro ) 
 = 2.0 cm ( esquina ) 
 
1.52.) Estime el asentamiento al centro, para la losa del problema 1.51.) y para el perfil 
estratigráfico que se indica. 
 
NF
 
 Arcilla dura E = 3900 t/m
2
 4.6 m 
 
 Arcilla blanda E = 1200 t/m
2
 
 10.7 m 
 
 ROCA (Enquisto) 
 Desarrollo: 
 Considere a la roca como un estrato rígido y sobre esta un estrato único de 15.3m 
 de espesor. 
 H/B = 15.3/21 = 0.73 L/B = 2.62 
 
 H/B
L/B
 2 3 
 
 0.5 0.47 0.47 I = 0.64 
 1.0 0.83 0.83 
 
 (centro) = 0.61*2100*(1-0.5
2
)*0.64/E = 615/E (cm) 
 
 1.6 < < 5.1 cm 
 Una primera aproximación es determinar un E equivalente: 
 (390*4.6+120*10.7)/15.3= 200 kgf/cm
2
 
 
 = 3.1 cm 
1.53.) a) Determinar el levantamiento que experimenta la zapata. 
 (h=2m) = 7% 
 (h=3m) = 5% 
 1.5m 
 
 1.8m 
 Desarrollo: 
 (fig.22 Nafvac DM 7.1) 
 
 T = 0.5 máx(h2-h1) 
 
 1
o
) Se confecciona un gráfico (%) v/s Z(m) 
 
 
=Z
Z(m)
 
 
 La ecuación : Z = -0.5 +5.5 h2 = 5.5 m (altura para la que el peso del 
 suelo más la sobrecarga compensa 
 máx= 8 % la expansión) 
 1.5 = 5.5-0.5 máx 
 = 0.5*0.08*(5.5-1.5) = 0.16 m = 16 cm 
 
 b) Si el asentamiento diferencial admisible es 2.5 cm, determinar la cantidad de suelo a 
 remover. 
 0.5* máx*(5.5-hi) = 2.5 cm 
 máx (%) hi (m) (cm) 
 2 4.5 0.1 
 3 4.0 2.25 
 3.1 3.95 2.40 
 3.2 3.9 2.56 
 
 hi a remover = 3.9 m 
 en forma analítica 
 = -2*Z + 11 = 0.11-0.02*Z 
 
 = 
h
5 5. (Z)dZ 0.025 = 
h
5 5. (0.11-0.02*Z)dZ 
 0..025 = 0.11*(5.5-h)-0.5*0.02*(5.5
2
-h
2
) 
 
 H = 3.92 m 
 
1.54.) Determine para los siguientes datos: 
 -pp(silo) = 4000 ton 
 -peso grano= 8000 ton 
 -arcilla saturada 
 Cc = 0.2 Cs = 0.04 
 - esta arcilla ha sido preconsolidada por estratos que desaparecieron por erosión cuya 
 presión sobre el terreno era 3 kgf/cm
2
. 
 - en la rama virgen la humedad de la arcilla consolidada con esa presión es 
16%,siendo 
 la densidad de las partículas 2.7. 
 a) Si la placa distribuye la carga sobre el terreno de manera uniforme, hallar el asiento 
 edométrico del punto central. Divida la masa de arcilla en estratos virtuales de 3 m de 
 espesor. 
 b) Determinar el asentamiento por consolidación probable, según el método de 
 Bjerrum-Skempton. (ver p859 G. y C. II). 
 c) Calcular el movimiento del punto central cada vez que se llena o desocupa el silo. 
 Esta operación es muy rápida y no da tiempo a consolidación. La arcilla se compacta 
 como un sólido elástico (E = 160 kgf/cm
2
). 
 
 Desarrollo: 
PC 30
 
 Determinación de ePC 
 Vt=Vv+Vs 
 Vs=1 m
3
 
 Ps=2.7 ton P = 0.16*2.7 = 0.43 ton 
 Vv=0.43 m
3
 
 ePC = 0.43/1 = 0.43 
 
log log c log
0.43
e
e
Cs
Cc
 
 Rama recarga: 
 ePC = 0.43 m = Cs = 0.04 (pendiente) 
 
PC 30
 
 e = 0.43+m*log
c
 /log = 0.43+0.04*log(
c
 / ) 
 e=0.43+0.04*log(30/ ) 
 Rama origen: 
 e = 0.43-0.2*log( /
c
 ) 
 e=0.43-0.2*log( /30) 
 
 Determinación de la variación de presiones efectivas en la vertical del centro, antes de 
la 
 colocación de la carga: 
 sat = (Ps+P )/Vt = (2.7+0.43)/1.43 = 2.19 t/m
3
 
 sum = b = 1.19 t/m
3
 
 
 Variación de presiones con la profundidad: 
 - presiones efectivas antes de colocar la estructura: 
 
 
o
 = bZ = 1.19*Z 
 - presiones inducidas por la estructura: 
 según Steinhenner (G. y C. II, p221) 
 
 Z = q*Ir (esquina) 
 Ir = coeficiente de influencia ( del ábaco de Fadum)Z = 4*q*Ir ( centro del rectángulo ) 
 
 Z L/Z B/Z Ir Z 
o
 
 (m) L=20m B=7.5m (t/m
2
) (t/m
2
) 
 0 0.25 20 0 
 3 6.67 2.5 0.24 19.2 3.57 
 6 3.33 1.25 0.22 17.6 7.14 
 9 2.22 0.83 0.173 13.8 10.71 
 12 1.67 0.63 0.14 11.2 14.28 
 15 1.33 0.50 0.12 9.6 17.85 
 18 1.11 0.42 0.105 8.4 21.42 
 
 Z = 80*Ir (t/m
2
) 
L=20m
B=15
3
6
9
12
15
18
15 m






z
 
 A continuación se toman valores medio representativos de cada capa: 
 Capa 
z
m
 
o
m
 
(*)
 
 
(t/m2)
 
(t/m2)
 
(t/m2)
 
  19.6 1.79 21.39 
  18.4 5.36 23.76 
  15.7 8.93 24.63 
  12.5 12.50 25.00 
  10.4 16.07 26.47 
  9.0 19.64 28.64 
 (*)Presiones medias de cada capa que se obtendrán una vez que hayan disipado 
 las presiones de poros. 
 = Vv/Vt = H/H (1) 
 e = Vv/Vs (2) 
 Vt = Vv+Vs = Vs(1+eo) (3) 
 eo = índice de huecos asociado al peso propio. 
 de (1), (2) y (3) : 
 *Vt = e*Vs *Vs*(1+eo) = e*Vs 
 e = (1+eo) = H/H 
 
 H = e*H/(1+eo) 
 
 Como 28.64 < 30 t/m
2
 estamos en la rama de recompresión: 
 (**) e = 0.43+0.04*log(30/ ) 
 
 (1) (2) 
 eo e e H (cm) 
 
 0.4790 0.4379 0.0411 8.34 
 0.4600 0.4361 0.0239 4.91 
 0.4510 0.4354 0.0156 3.23 
 0.4452 0.4352 0.0100 2.08 
 0.4408 0.4342 0.0066 1.37 
 0.4374 0.4328 0.0046 0.96 
 19.9 
 (1) obtenido con (**) y el correspondiente valor de 
o
m
 
 (2) obtenido con (**) y el correspondiente valor de 
z
m
+
o
m
 
 H = 20 cm 
 
 b) c = * H 
 = A+ *(1-A) A = 0.35 (arcilla sobreconsolidada) 
 H/B = 18/15 = 1.2 = 0.35 
 c = 0.58* H = 11.6 cm 
 c) Suponemos = 0.5 , arcilla saturada (incompresible) 
 (ver G. y C. II p224) 
 (centro) = 2 (esquina) (esquina)=qB(1-
2
)K/E 
 silo vacío: q = 4000/(15*40) = 6.67 t/m
2
 = 0.667 kgf/cm
2
 
 silo lleno: q = 12000/(15*40) = 20 t/m
2
 = 2.0 kgf/cm
2
 
 L/B = 40/15 = 2.67 K = 0.88 
 Centro: 
 (q) = 1.2375*q (cm) 
 (lleno) = 24.75 (cm) 
 (vacío) = 8.25 (cm) 
 = 16.5 (cm) 
 
 
1.55.) Una cimentación tiene forma de cubo (arista=2 m), con paredes de 0.3 m de espesor 
(hormigón; =2.5 t/m
3
). El terreno es un estrato de arena de gran espesor. 
 máx=2.1 t/m
3
 mín = 1.4 t/m
3
 s = 2.65 t/m
3
 Napa profunda 
 Los reconocimientos geotécnicos han dado los siguientes valores: 
 
 Z(m) Nspt Rp (kgf/cm
2
) 
 1 20 50 
 2 30 100 
 4 45 130 
 8 rechazo 200 
 (Rp=resistencia estática del cono) 
 
 Un ensayo de placa de 30*30cm, realizado a 2 m de profundidad, ha dado un asiento 
 de 1/2” para q=3.5 kgf/cm2. 
 Se pide: 
 a)Estimar la densidad aparente media del estrato de arena, clasificando la arena según 
 su densidad relativa. 
 b) Estimar Padm por criterios de asentamiento según Terzaghi y Meyerhof. 
 c)¿Cual sería el asiento correspondiente a la carga media entre ambos métodos, según 
 el criterio de Terzaghi suponiendo proporcionalidad entre presiones y asientos en la 
 placa de carga. 
 Desarrollo: 
 a) 
 
0.3
P
0
1
2
3
(m)
 
 
 Representación gráfica de los resultados obtenidos 
 en los reconocimientos geotécnicos 
 
10 20 30 40 Nspt
1
3
5
7
1
3
5
7
50 100 150 200
z(m) z(m)
 
 Consideremos z = 3 m: 
 
N
(z=3)= 37 
R
p(z=3)= 125 kgf/cm
2
 
 De tabla: 
 
N
= 37 Id = 0.67 
 
R
p= 125 Id = 0.61 
 Tomemos Id = 0.65 arena densa 
 = 1.79 t/m
3
 
 
 b) B= 2 m = 6.67 pies 
 suponemos máx.adm(arena) = 1” 
 Según Terzaghi: 
 de tabla (p212 BIS) se tiene: 
 B=6.7 pies y N=37 Padm 3.7 ton/pie
2
 
 1 ton/pie
2
 10.8 t/m
2
 3.7 ton/pie
2
 4 kgf/cm
2
 
 qadm 4 kgf/cm
2
 
 
 Según Meyerhof (1965) (p881 G. y C: II ) 
 B=2 m > 1.2 m = 0.19p/N(B/(B+0.3))
2
 (cm) 
 =cm p=KN/m
2
 B=m 
 2.54=0.19p/37(2/2.3)
2
 
 p= 654 KN/m
2
 = 65.4 t/m
2
 = 6.5 kgf/cm
2
 
 
 qadm = 6.5 kgf/cm
2
 qadm=(Padm+ppfund)/Area 
 (usemos Terzaghi) 
 qadm = 4 kgf/cm
2
 = 40 t/m
2
 
 Área = 4 m
2
 
 ppfund = (23-1.4
3
)*2.5 = 13.14 ton 
 Padm = 40*4-13.1 = 147 ton 
 
 Nota: La gráfica de Terzaghi fue propuesta analíticamente por Meyerhof: 
 
 qadm = N /12((B+1)/B)
2
 
 = pulg B=pies qadm=kgf/cm
2
 
 
 c) 
q
= (4.0+6.5)/2 = 5.25 kgf/cm2
 = 52.5 t/m
2
 
 35 t/m
2
/52.5 t/m
2
 = 0.5 pulg/x pulg x = 0.75 pulg 
 S/So = 4/(1+Bo/B)
2
 
 S = 4*0.75/(1+0.3/2)
2
 = 2.26” 
 
 
 
 
1.56.) Determinar el módulo de deformación del suelo a partir de los resultados del ensayo 
de placa. Utilizando como placa circular rígida de = 60 cm. Determinar los módulos en 
carga y descarga.(Módulo de deformación = Módulo de elasticidad) 
 
 
car
ga
des
car
ga
1 1.50
 Pr
(kgf/cm2)
Desplazamiento
 (mm)
Módulo de Poisson del suelo
 =0.32
 
 
 Desarrollo : 
 = q*D*(1-
2
)*I /E E 
 
 -E en carga = 0.3 
 q( =1.5 mm) = 20 t/m
2
 
 D = placa = 0.6 m 
 I = /4 
 E = 20*(1-0.3
2
)* *0.6/(0.0015*4) t*m/(m
2
*m) 
 = 5718 t/m
2
 = 572 kgf/cm
2
 
 
 -E en descarga 
 = 1.5-1 = 0.5 mm 
 E = 20*(1-0.3
2
)* *0.6/(0.0005*4) 
 = 17156 t/m
2
 = 1715 kgf/cm
2
 
 
 
 
1.57.) Calcular los asentamientos diferenciales y los diagramas de momentos y corte de la 
fundación de la figura. Todas las zapatas cuadradas. 
 Eh= 200000 kgf/cm
2
. 
 
3.0m 3.0m
15ton 15ton30ton
0.8m 0.8m
1.0m
1.5m
1.1m
A
A
sección AA
0.3
0.6
 
 Considerar que fundaciones bajan sin girar. 
 Zapata N golpes/pie (representativo) 
 0.8*0.8 32 
 1.1*1.1 36 
 
 Desarrollo: 
 
 q = 0.36(N-3) ((B+1)/(2B))
2R‟w(1+Df/B) 
 
 Cálculo del coeficiente de balasto: 
 k = q/ = 0.36(N-3)((B+1)/(2B))
2R‟w(1+Df/B) 
 
 R‟w= 0.5(1+d/B) 
 
 d= 0.5 m = 1.64 pie 
 Df= 1.0 m = 3.28 pie 
 
 Zapata N B (pie) R‟w (1+Df/B) ((B+1)/(2B))
2 0.36(N-3) k (kgf/(cm2pulg) 
 
 0.8*0.8 32 2.62 0.813 2.25 0.477 10.44 8.1 
 1.1*1.1 36 3.61 0.727 1.91 0.408 11.88 6.73 
 
 k1 = 3.19 kg/cm
3
 = 3190 t/m
3
 
 k2 = 2.65 kg/cm
3
 = 2650 t/m
3
 
 
 
1:asentamiento zapata 0.8*0.8
2:asentamiento zapata 1.1*1.1
15ton 30ton 15ton
1
2
1
asentamiento diferencial
EI
M
M
QQ
Q=12EI / L M=6EI /L
3 2
k1k1 k2
QQ 2Q
15ton15ton 30ton
 
 Ecuaciones: 
 (15+Q)/A1 = k1 1 15+Q = A1k1 1 (1) 
 (30-2Q)/A2 = k2 2 30-2Q = A2k2 2 (2) 
 con A1 = 80*80 = 6400 cm
2
 = 0.64 m
2
 
 con A2 = 110*110 = 12100 cm
2
 = 1.21 m
2
 
 I=30*60
3
/12 = 540000 cm
4
 
 L
3
 = 300
3
 = 27*10
6
 cm
3
 
 Q = (12*2*10
5
*54*10
4
/27*10
6
)* = 48*10
3
* kgf 
 = 48* ton 
 reemplazando en (1) y (2): 
 (1) 15000+48*10
3
* = 3.19*6400* 1 
 (2) 30000-2*48*10
3
* = 2.65*12100* 2 
 
 15+48 = 20.42 1 
 30-96 = 32.07 2 pero = 2- 1 
 
 15+48 2-48 1-20.42 1 = 0 
 30-96 2+96 1-32.07 2 = 0 
 
 15+48 2-68.42 1 = 0 /*96 
 30- 128.07 2+96 1 = 0 /*68.42 
 
 1440+4608 2+2052.6-8762.55 2 = 0 2 = 3492.6/4154.55 
 2 = 0.84 cm 
 1 = 0.81 cm 
 = 2- 1 = 0.84-0.81 = 0.03 cm 
 Q = 48*10
3
 = 1.44 ton M = 6EI /L
2
 =QL/2 = 2.16 t*m 
 
 Diagrama de corte Diagrama de momento 
 
 1.44t + 
2.16 t*m
 - - 
2.16 t*m
 
 - 1.44t + 2.16 t*m 
 
 
 
 
 
1.58.) Determinar el asentamiento total en las fundaciones de la figura. Considerar la 
influencia de la carga de una fundación en el asentamiento de las otras (considerar zapatas 
flexibles). 
 
8m
8m
1.5
1.51.5
1.5
1.5
1.5
1.8
1.5
1.51.5
1.5
1.5
1.5
1.8
1.8
1.8
1.8
1.8
50 ton 50 ton100 ton
15m15m
Datos del suelo:
= 0.4
E = 3000 kgf/cm
2
  
  
 
 
 
 Desarrollo: 
 (1-
2
)/E = (1-0.16)/30000 = 0.28*10
-4
 
 (1-
2
)/E = (1-.16)/(3.14*30000 = 8.9*10
-6
 m
2
/T 
 
 Cálculo asentamiento debido a peso propio (en el centro) 
 Fundación L (m) B(m) A(m
2
) P(ton) q (t/m
2
) 
 
 tipo a 1.5 1.5 2.25 50 22.2 
 tipo b 1.8 1.8 3.24 100 30.85 
 
 I (centro) = 1.12 (tabla coeficiente de influencia) 
 
 = q*B*(1-
2
)*I /E 
 Fundación tipo a 
 (centro)=22.2*1.5*0.28*10
-4
*1.12 =10.42*10
-4
 m = 0.1042 cm 
 Fundación tipo b) 
 (centro)=30.85*1.8*0.28*10
-4
*1.12=17.8*10
-4
 m = 0.178 cm 
 Fundación 5 : 
 
 = Q/(r* )*(1-
2
)/E r : distancia entre zapatas 
 
 Fund Q(carga) r Q/r (cm) 
 1 50 17 2.94 26.15 
 2 100 8 12.50 111.20 
 3 50 17 2.94 20.15 
 4 50 15 3.33 29.60 
 5 — 0 — 1700.00 
 6 50 15 3.33 29.60 
 7 50 17 2.94 29.15 
 8 100 8 12.50 111.20 
 9 50 17 2.94 126.15 
 
 = 2086.2*10
-4
 cm 
 
 Asentamiento total de la fundación 5 = 0.2086 cm 
 (es decir el asentamiento propio más el asentamiento debido a la influencia 
 de las otras zapatas) 
 
 Idéntico para las otras zapatas: 
 
 Tabla de asentamientos 
 Fund. Asentamiento (cm) (flexible)1 0.1318 
 2 0.2019 
 3 0.1318 
 4 0.1359 
 5 0.2086 
 6 0.1359 
 7 0.1318 
 8 0.2019 
 9 0.1318 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMIENTO POR ASENTAMIENTO Y GIRO 
 
1.59.) La figura muestra la sección transversal de un muro corrido para socalzar las 
fundaciones de un edificio. Considerando que el muro es infinitamente rígido, que la unión 
entre la fundación y el muro es una rótula y que debido a que un movimiento sísmico se 
produce un desplazamiento H = 2 cm se pide dimensionar la zapata del muro de modo que 
no produzcan tracciones a nivel del sello de fundación (SF). 
 
25 ton/ml (incluye ppmuro)
E = 1500 t/m
 = 0.25
2
4m B = ?
0.350.15
0.0m
-3.0m
Muro corrido
 rígido
Propiedades del suelo
de apoyo:
Fundación corrida
existente
 
 
 Desarrollo: 
 M‟ 
 e‟ = (0.35+0.02)-0.5*B 
 V M 
 M‟ = V*e‟ 
 CR 
 M = kv* *I e‟ 
 Caso 0.5*B 0.37 m 
 Debe verificarse: (M + M‟)/V = B/6 (1) 
 
 (kv) = E/((1-
2
)*B*I ) I = 0.88 
 
 (kv) = 15000/(0.94*B*0.88) = 18133/ B 
 (kv) = (kv) / 1.5 = 12089 / B 
 = 2/300 = 0.0067 I= B
3
/12 = 0.083*B
3
 (L=1 m) 
 
 Reemplazando en (1) 
 (12089*0.0067*0.083*B
3
/B+25*(0.37-0.5*B))/25 = B/6 
 0.269*B
2
 + 0.3-0.5*B = 0.167*B 
 0.27*B
2
 -0.667*B + 0.3 = 0 
 
 B1 = 1.88 m 
 B2 = 0.59 m 0.5*B=0.37 O.K. 
 
 B = 0.59 m 
1.60.) El esquema adjunto ilustra las solicitaciones actuantes sobre las zapatas de un galpón. 
El caso (A) corresponde a apoyo rotulado en la base de las columnas y el caso (B) a apoyo 
empotrado. Se pide encontrar la dimensión B de la zapata para cumplir con las condiciones 
de diseño especificadas en cada caso. 
 
 3t (incluye ppzapata) 5.8t (incluye ppzapata) 
 1.3t*m 
 0.9t 0.9t 
 1.5m 1.5m 
 
 B=? B=? 
 0.5m 1.0m 
 Planta de Fund. 
 Caso (A) Caso (B) 
 Condición de diseño Condición de diseño 
 qmáx = 25 t/m
2
 qmáx = 25 t/m
2
 
 giro admisible=1/300 rad 
 Constante de balasto k = 4 kgf/cm
3
 
 Desarrollo: 
 a) Caso(A) qmáx = 2V/(3L(0.5B-e)) 
 considerando que se produce tracción en el sello de fundación 
 
 e=M/V = 0.9*1.5/3 = 0.45 m y L = 0.5 m 
 
 B (m) qmáx (t/m
2
) B/6 (m) 
 
 1.5 13.3 0.25 ( hay tracción) e>B/6 
 1.2 26.6 0.20 ” ” 
 1.25 23 0.21 ” ” 
 
 Adoptar B = 1.3 m está bien 
 
 b) Caso (B) considerando que se produce tracción 
 qmáx = 2V/(3L(0.5B-e)) con L = 1.0 m 
 
 
0.5B
 B‟= 3*(0.5*B-e) 
 
 centro de rotación Giro = qmáx/(k*B‟) 
 
 qmáx e= (1.3+0.9*1.5)/5.8 = 0.46 m 
 
 
0.5B‟
 
 B‟ 
 
 
 B (m) qmáx(t/m
2) B/6 (m) B‟ (m) rad 
 
 1.5 13.3 0.25 (trac.) 0.87 0.0038 =1/263 
 1.6 11.4 0.27 (trac.) 1.02 0.0028 =1/357 
 
 B = 1.6 m está bien. 
 
 
 
 
1.61.) La figura muestra la planta de fundación y un corte típico del edificio. 
 Se pide determinar: 
 a) El ancho B de la losa de fundación de modo que no se produzca giro de fundación. 
 b) El asentamiento vertical experimentado por la fundación 
 
 Planta losa de fundación 
 (rígida) 
 
 B=? 
 
 
 
 20m 20m 20m 
 0.30 6.0m 
 
 
 
 CORTE TIPICO 
 
 V=100t/m 
 ST 0.00 0 200 400 600 800 1000 1200 
 SF-1.50m 
0
 E(kgf/cm
2
) 
 Losa de fundación 
2
 
 
4
 
 
6
 
 
8
 = 0.30 
 
10
 
 
12
 
 
14
 
 
16
 
 
18
 
 
20
 
 Profundidad (m) 
 
 
 a) Usar B = 2*6.3 = 12.6 m 13 m hace que V coincida con el centro de gravedad del 
 paño de losa respectivo , con lo cual no se inducen momentos volcantes , es decir , no se 
 produce giro. 
 b) Utilizando teoría de la elasticidad 
 
 = (q*(1-
2
)*B*I )/E q = 100/13 = 7.7 t/m
2
 
 
 E @ prof.= Df+B = 1.50+13 = 14.5 m 
 es de 760 kgf/cm
2
 = 7600 t/m
2
 
 
 I para L/B = 60/13 5 vale 1.70 
 
 = (7.7*(1-0.09)*13*1.70)/7600 = 0.02 m = 2 cm 
 
 
 
 
 
1.62.) Determine el ancho B de la zapata del pilar de socalzado. Se esperaun movimiento 
horizontal H = 2 cm por efecto de las máquinas que trabajan en la excavación. 
 
 
35 ton
3m
zapata
edificio
vecino
pilar de
socalzado
B = ?
0.40.2 E = 10 000 t/m
 = 0.3
 = 90 t/m
ad
Datos:
V + pp =35 ton
I = 0.9
Kv= E/((1- )BI )
L = 1 m
B = ?
2
2
2
 
 
 
 Desarrollo: 
 
 Caso B/2 < 0.4+ H e 
 B < 2*0.42 = 0.84 
 
 B 
 1
o
) Condición de diseño B/2 
 B 6e (por que no existen tracciones ) 
 e = Mt/V 
 
 
 2
o
) Mt = M+M M = V*e‟ M = kv* *I 
 
 3
o
) Determinación de M 
 V = 35 ton e‟ = 0.4+ H-B/2 = 0.4+0.02-B/2 
 = 0.42-B/2 
 M = 35*(0.42-B/2) 
 
 4
o
) Determinación de M 
 kv = E / (1-
2
)B*I = 10000/((1-0.3
2
)*B*0.9) 
 = 12210/B 
 = H/H = 2/300 = 1/150 
 M = (12210/B)*(1/150)*(LB
3
/12) = 6.78B
2
 t*m 
 
 5
o
) Sustituyendo en B 6(Mt/V) 
 B 6*(35*(0.42-B/2)+6.78B
2
)/35 
 B 6*(0.42-B/2)+1.16B
2
 
 0 2.52-4B+1.16B
2
 
 B1 = 2.62 m y B2 = 0.83 m 
 B1 = 2.62 < 0.84 No 
 B2 = 0.83 < 0.84 O.K. 
 
 6
o
) Verificación M, m 
 = 35/(1*0.83) (35*(0.42-0.83/2)+6.78*0.83
2
)/(L*0.83
2
/6) (L=1m) 
 = 42.2 (1.52+40.70) 
 
 M = 84.4 t/m
2
 O.K. 
 m = 0 O.K. 
 
 
CAPACIDAD DE SOPORTE CON ASENTAMIENTO Y GIRO 
 
1.63.) Una fundación cuadrada de 1m*1m, se apoya en un estrato de arcilla de 3 m de 
espesor 
 Para los datos indicados se pide: 
 a) Determinar la capacidad de soporte admisible según Hansen. 
 b) Asentamiento para la carga determinada en parte a) F.S.=3.0 
 c) Asentamiento para la carga última determinada según Meyerhof (Cv=0.3) 
 
 Datos: 
 - b =1.1 t/m
2
 
 0.5m - = 0 
 -eo = 1.02 
 1 1m -cc = 0.2 
 Arcilla N.C. -qu = 0.3 kgf/cm
2
 
 Desarrollo: 
 a) qult = 5.14*c*(1+S‟c+d‟c-i‟c-b‟c-g‟c) + q 
 c= 1/2*qu =0.15 kgf/cm
2
 
 S‟c =0.2*B/L = 0.2 
 d‟c = 0.4*D/B = 0.4*0.5/1 = 0.2 
 i‟c = 0 , g‟c = 0 , b‟c = 0 
 
 qult = 5.14*0.15*(1+0.2+0.2)+0.5*1.1*0.1 = 1.13 kgf/cm
2
 
 qadm = qult/3 = 0.38 kgf/cm
2
 
 
 b) Como se trata de un suelo N.C., significa que a través de su historia geológica no 
 ha tenido cargas mayores. 
 0 
 = H/(1+eo)* Cv*log( vm/ vo)+Cc*log( vr/ vm) 
 pues vm = vo 
 
 po , calculado a 1.25 m bajo el sello de fundación. 
 po = (0.5+1.25)*1.1 = 1.925 t/m
2
 
 
 El aumento de presión p , se calcula a partir de la regla del trapecio. 
 
 vi = p = q * B/(B+2)
2
 = 0.38*(1/(1+1.25))
2
 
 B vi = 0.075 kgf/cm
2
 
 
 B = 0.2*250/(1+1.02)*log (0.1925+0.075)/0.1925 
 
 = 3.5 cm 
 
 
 
 
1.64.) Para una zapata rectangular apoyada sobre un estrato de arcilla saturada de 3 m de 
espesor, se pide: 
 a) Capacidad de soporte admisible (Meyerhof) 
 b) Asentamiento para una carga de hundimiento y para una carga máxima 
 admisible. 
 
 =1.7 t/m
3
 =0° eo=1.02 Cc=0.2 Cr=0.15 
 c'= 4 t/m
2
 (presión de preconsolidación) 
 Df=1.5 m cnc = 3t/m
2
 (ensayo de compresión no conf) 
 
 ancho = 0.5 m 
 largo = 1.3 m 
 
 
 
 
 Desarrollo: 
 a) Capacidad de soporte (Meyerhof) 
 
 qult = cNc(1+0.3B/L)+ DNq+0.5 BN 
 
 c = cnc/2 = 3/2 = 1.5 t/m
2
 
 = 0 Nc = 5.53 
 Nq = 1 
 N = 0 
 1+0.3B/L = 1.12 
 cNc(1+0.3B/L) = 1.5*5.53*1.12 =9.25 t/m
2
 
 DNq = bDNq = (1.7-1)*1.5*1 = 1.05 t/m
2
 
 qult = 9.25 + 1.05 = 10.3 t/m
2
 
 qadm = qult/3 = 3.4 t/m
2
 
 
 b) Se considerará sólo asentamiento por consolidación: 
 
 = H/(1+eo)* Cp*log( c / o)+Cc*log( ( o+ ) / c ) 
 
 Determinación de H 
 
 L/B = 1.3/0.5 = 2.6 B=0.5m 1.5 m 
 L/B = 1 Zbulbo = 2B 
 L/B >> 1 Zbulbo = 5B 
 Se considera que el bulbo afecta a todo el espesor : H = 150 cm 
 
 Nota: En rigor debiera considerarse 3 estratos de 50 cm de espesor cada uno y 
 determinar el asentamiento para cada uno. 
 
 Determinación de o: 
 o = b * Z = (1.7-1)*(1.5+1.5/2) = 1.6 t/m
2
 
 
 Determinación de o para Z = 1.5/2 = 0.75 m 
 Usando la regla del trapecio se obtiene un factor de disipación: 
 Fdisipación= BL/( (B+Z)*(L+Z) ) 
 = 0.5*1.3/((0.5+1.5/2)*(1.3+1.5/2)) = 0.254 
 (qult) = 10.3*0.254 = 2.6 t/m
2
 
 (qadm) = 3.4*0.254 = 0.86 t/m
2
 
 (1.6+2.6 = 4.2 > 4 ambas ramas) 
 
 (q=qult) = 1.5/(1+1.02)*(0.15+log(4/1.6)+0.2*log((1.6+2.6)/4)) 
 (q=qult) = 4.7 cm 
 (qadm) = (1.6+0.86 < 4 implica una rama ) 
 (qadm) = 1.5/(1+1.02)*0.15*log((1.6+0.86)/1.6) = 2.4 cm 
1.65.) Una columna de un edificio estructurado en base a marcos, tiene las solicitaciones que 
se indican para un sismo xx y un sismo yy, analizados en forma independiente. 
 
 eje x: My = 5 t*m, N = 20 ton 
 eje y: Mx = 3 t*m, N = 21 ton = 35° 
 
 Es = 1500 t/m
2
 
 = 0.3 Lx=3 m Ly=1 m 
 Df = 1.7m 
 = 1.8 t/m
3
 
 I = 1.5 (zapata rectangular flexible) 
 
 Determinar para el sismo más desfavorable : 
 a) giros de fundación,b) capacidad de soporte y 
 c) factor de seguridad al hundimiento 
 
 Desarrollo: 
 a) Giro de la fundación. 
 Determinación de la solicitación más desfavorable. 
 En X tenemos: 
 M = 5 t*m N = 20 ton L = 3 m B = 1 m 
 
 M/W = 5/(1/6*B*L
2
) = 3.33 t/m
2
 
 
 En Y tenemos: 
 M = 3 t*m N = 21 ton L = 1 m B = 3 m 
 
 M/W = 5/(1/6*B*L
2
) = 6 t/m
2
 
 
 yy > xx implica que el sismo en Y es más desfavorable 
 Determinación de asentamientos máximos y mínimos. 
 = 4 q/kv (B/(B+30))
2
 cm 
 kv = 1099 t/m
3
 
 M;m = N/(B*L) M/W = 21/(1*3) 3/(1/6*3*1
2
) = 7 6 
 M = 13 t/m
2
 m = 1 t/m
2
 
 
 máx =4*13/1099*(100/(100+30))
2
 = 2.8 cm 
 mín = 4*1/1099*(100/(100+30))
2
 = 0.22 cm 
 
 = ( máx - mín)/L = (2.8-0.22)/100 = 0.026 rad = 1.5
o
 
 Otra forma: 
 Análisis del sismo YY: M = 3 t*m N = 21 ton 
 K = E /((1-
2
)*I *B) = q/ 
 = ( máx - mín)/Ly 
 = q*(1-
2
)*I *B/E = q/K = q/(Ly*K) 
 
 a) giro 
 Determinación de qmáx y qmín: 
 qM;m = N/A M/W = N/(B*L) *(1 6*e/B) 
 = 7* (1 0.857) 
 qM = 12.99 t/m
2
 qm = 1.00 t/m
2
 
 
 K = 1500/((1-0.3
2
)*1.5*1) = 1099 t/m
3
 
 máx = 12.99/1099 = 1.18 cm 
 mín = 1.00/1099 = 0.91 cm 
 = 1.099/100 = 0.011 rad = 0.6
o
 
 
 b) Capacidad de soporte 
 = 33
o
 implica Nq = 36 y N „ = 40 
 
 qult = cNc(1+0.3B/L)+ ‟DNq+0.4 ‟BN 
 = 1.8*1.7*36+0.4*1.8*1*40 = 139 t/m
2
 
 Como existe M = 3 t*m hay que determinar B‟ y L‟ 
 B‟ = B-2*e 
 L‟ = L puesto que estamos calculando para cada dirección por separado 
 entonces: 
 B‟ = 1-2*M/N = 0.714 m 
 
 qult = 1.8*1.7*36+0.4*1.8*0.714*40 = 131 t/m
2
 
 Qult = 131*3*0.714 = 280 t 
 
 c) FS al hundimiento FS = 280/20 = 14 
 
 
 
 
1.66.) El terreno de cimentación de un edificio, está formado por los siguientes estratos: 
 - capa de relleno arenoso sin compactar ( = 1.8 t/m
2
) de 3 m de espesor. 
 - capa de arcilla con las siguientes características: 
 s = 2.7 t/m
3
 eo = 0.8 qu= 1.6 kgf/cm
2
 (resist. a compresión simple) 
 Resultados de un triaxial consolidado con drenaje: 
 = 20
o
 
c
= 0.2 kgf/cm
2
 Cc = 0.15 (coeficiente de compresibilidad) 
 Espesor del estrato = 4 m 
 Las características señaladas corresponden al punto central del estrato. 
 - capa de grava indeformable e indefinida. 
 Se construye un edificio excavando 3 m de terreno y apoyando en el estrato de arcilla 
 un losa con muros que transmite una carga total máxima de 1 kgf/cm
2
, incluido el 
 peso de la losa. 
 La losa tiene un ancho de 16 m y una longitud que permite considerarla indeformable. 
 La napa está ubicada a 3 m de la superficie. 
 
 a) Determinar la carga neta que actúa sobre el estrato arcilloso. 
 b) Determinar el coeficiente de seguridad al hundimiento a corto plazo según Terzaghi. 
 c) Determinar el coeficiente de seguridad al hundimiento a largo plazo según Terzaghi. 
 d) Determinar el asentamiento por consolidación en el centro de la losa, con las 
 siguientes hipótesis: 
 -durante la construcción no se producen asentamientos hasta que la carga neta 
 comienza a ser positiva. 
 - sólo produce asentamiento la carga neta que actúa en el estrato arcilloso,suponiendo 
 que este incremento de presión vertical es constante en todo el espesor del estrato 
 arcilloso. 
 Desarrollo: 
 a) q(neto) = q(edificio)-q(suelo) 
 = 10 t/m
2
 -3*1.8 t/m
2
 = 4.6 t/m
2
 
 (la carga neta es el incremento de presión inducida a nivel del sello de fundación) 
 
 b) qult = cNc+ D 
 en que: c= qu/2 = 0.8 kgf/cm
2
 = 8 t/m
2
 
 Nc = 5.14 = 1.8 t/m
3
 
 qult = qhun = 8*5.14+1.8*3 = 41.12+5.4 = 46.5 t/m
2
 
 
 10 = qhun/F = 41.12/F +5.4 F = 8.94 
 
 Ps= 2.7 ton 0.8 m
3
 P 
 Vs= 1 m
3
 
 Vv= eo*Vs = 0.8 m
3
 1 m
3
 Ps 
 sat = (2.7+0.8)/1.8 = 1.94 t/m
3
 
 
 c) qhun = qult = cNc+qNq+0.5 BN 
 
 arena 
 arcilla 
 
 grava 
 
 
 figura(a) figura (b) 
 La cuña no puede entrar en el estrato de grava indeformable, se produce indicado en la 
 figura (b). 
 En función de la naturaleza de la arcilla, se puede adoptar el siguiente criterio: 
 qult < 1 kgf/cm
2
 (arcilla blanda) 
 qult > 1 kgf/cm
2
 (arcilla dura) 
 
 Consideremos se produce un falla parcial: 
 
c
‟= 2/3*
c
= 2*2/3 = 1.33 t/m
2
 
 tg ‟ = 2/3*tg = 13.64o 
 Nq = tg
2
(45+ /2)e
 tg
 = 3.47 
 Nc = (Nq-1)cotg = 10.16 
 N = 1.8(Nq-1)tg = 1.08 
 
 qhun = 1.33*10.16+1.8*3*3.47+0.5*0.94*16*1.08 = 13.5+18.7+8.12 
 qhun = 40.3 t/m
2
 
 
 10= 40.3/F F = 4 
 
 d) = Vv/Vt = H/H 
 e = Vv/Vs 
 Vt = (Vv+Vs)*(Vs/Vs) Vt = Vs(1+eo) 
 *Vt = e*Vs *Vs*(1+eo) = e*Vs 
 e = (1+eo) = H/H 
 
 H = e*H/(1+eo) 
 Cc=0.15 
 
log log f log
eo
e
Cc
ef
1
 
 Considerando un estrato (pues la carga se supone constante en el estrato) 
 
 e = Cc*log (
o
+ )/
o
 
 
o
 = arena*Darena+ b arcilla*Darcilla 
 = 1.8*3+0.94*2 = 7.28 t/m
2
 
 = qneto = 4.6 t/m
2
 
 
 Sustituyendo se tiene: 
 e = 0.15*log (7.28+4.6)/7.28 = 0.032 
 H = 0.032*400/1.8 
 
 H = 7.1 cm 
 
 
 
 
DIMENSIONAMIENTO POR C. DE SOPORTE, ASENTAMIENTO Y GIRO 
 
1.67.) a) Dimensionar las fundaciones de la estructura de la figura para un asentamiento 
máximo de 1”y F.S. a la ruptura igual a 3.0. 
 
 Datos del suelo: 
 -Ncorregido= 15 golpes/pie 
 6m - = 31
o
 
 -DR = 50 % 
 - c = 0 (arena) 
 6m - t = 1.65 t/m
3
 
 25t Cargas: 
 -Peso propio= 100 kgf/m
2
 
 -S.carga = 250 kgf/m
2
 
 2m -Puente grúa= 25 ton 
 2.5m 16m Conclusión: 
 NF Es lo mismo que lo planteado 
 por Terzaghi y Bowles de revista de Idiem. 
 ( válido para arenas) 
 
 Cálculo de solicitaciones en cada fundación 
 El área de influencia es 6*16 = 96 m
2
 
 cada zapata está solicitada por P = (pp+sc)/2*Ainf=100+250*96/2 
 P = 16.8 ton 
 Debemos dimensionar con Pt= 16.8+25 = 41.8 ton ( + desfavorable) 
 Leonards considera que para suelo incoherente con DR entre 20 y 70 %, es 
 recomendable interpolar entre Terzaghi corte general y Terzaghi corte local. 
 Se tiene que : = 31
o
 N = 22 
 Nq = 24 Terzaghi corte general 
 
 Para Terzaghi corte local corregiremos el ángulo usando relación: 
 tg ‟ = 2/3*tg = 2/3*tg31 = 2/3*0.6 =0.4 ‟ = 21.8 N ‟ = 2.0 
 Nq‟ = 8.0 
 Interpolando: N = 12 y Nq = 16 
 
 k1 = 0.36*(N-3) N : n
o
 de golpes/pie 
 k1 = kgf/cm
2
/pulgada (de zapata de B=1 pie) 
 k =k1*((1+B)/2B)
2*(1+Df/B)*R‟w B=pies 
 
 w‟ (Idiem) R‟w = 0.5*(1+dw/B) = adm/ k pulgada 
 
 adm = r / FS r = 0.5 BN + DfNq (para zap.corrida) 
 
 
 
 Tabla de tanteo: 
 
 B A s=P/A 0.5 BN DfNq r FS 
 
 1.38 1.90 22.0 13.16 52.8 66.46 3.0 0.7 
 
 B = 1.38 m y A = 1.90 m 
 
 b) Repetir la parte a) pero con = 30
o
 y sat = 1.8 t/m
3
 
 -solicitación de diseño Pt = 41.8 ton 
 -Determinación de la capacidad de soporte 
 Dado que DR= 50% usar corte local qult = qN‟q+0.4 eqBN‟ 
 tg ‟= (2/3)tg 
 en tabla 4.1 =30
o
 N‟q = 8.3 N‟ = 5.7 
 
 eq = b+( - b)*d/B b = sat- = 1.8-1 = 0.8 t/m
3
 
 - b = 1.65-0.8 = 0.85 t/m
3
 
 eq = 0.8+0.5*0.85/B = 0.8+0.425/B 
 
 q = *D = 1.65*2 = 3.3 t/m2 
 qult = 3.3*8.3+0.4*5.7*B*(0.8+0.425/B) 
 = 27.39+1.824*B+0.969 = 28.36+1.824*B ( I ) 
 
 qadm = qult/F.S. F.S.= qult/qadm 
 
 Determinación por asentamiento 
 
 q = 1.5*720*(N-3)* *((B+1)/(2*B))
2*R‟w*(1+Df/B) 
 
 q = lb/pie
2
= 4.8824*10
-4
 kgf/cm
2
 
 = pulgada 
 Df,B = pies 
 d = 0.5 m = 1.64 pie 
 Df = 2 m = 6.56 pie 
 R‟w = 0.5*(1+d/B) = 0.5*(1+1.64/B) 
 
 q = 1.5*750*(15-0.3)* *((B+1)/(2*B))
2
*0.5*(1+1.64/B)*(1+6.56/B) 
 = 6480*((B+1)/(2*B))
2
* *(1+1.64/B)*(1+6.56/B) ( II ) 
 
 De ( I ) qt = P/A = 41.8/A (28.36+1.824*B)/3 = qadm 
 3*41.8/(28.36+1.824*B) B*B 
 125.4 28.36*B
2
+1.824*B
3
 
 
 
 
 Tabla de tanteo: 
 
 B 28.36B2+1.824B3 qt = P/A qult =t/m
2
 F.S. B qt 
 m t/m
2
 de ( I ) pie lb/pie
2
 de II pulg 
 2.0 128.03 10.45 32.01 3.06 6.56 2140.34 0.398 * 
 0.597 ** 
 Luego zapatas de 2.0*2.0 m. 
 * : considerando término 1.5 de ec. II . 
 **: sin considerar término 1.5 de ec. II. 
 
 
 
1.68.) Las propiedades de un suelo, medidas con ensayos de corte no drenado son: 
 c = 9 t/m
2
 = 0
o
 
 Una zapata cuadrada fundada a 3 m debe soportar una carga de 300 ton 
 = 1.92 t/m
3
 Arcilla P.C. 
 Determinar B. 
 
 Desarrollo: 
 El recíproco del producto del coeficiente de compresibilidad (mv), y la cohesión para 
 un suelo de esta resistencia está en la región 100-200 
 De la tabla de F.S de Skempton (p200), para fundaciones sobre arcilla, hay un 
abanico 
 de factores, entre 3 y 24 dependiendo del asentamiento permitido. 
 
 Sup.: = 25 mm y qadm = 32 t/m
2
 B = 3 m 
 
 El F.S. según la tabla variará en 3 y 6 . Un F.S. = 4 parece adecuado para una 
 investigación preliminar 
 qult = 13.*5.7*c = 71.1 t/m
2
 qadm = qult/4 = 17.8 t/m
2
 
 Agregando el peso del suelo : 3*1.92 = 5.8 t/m
2
 
 qadm = 17.8 + 5.8 = 23.6 t/m
2
 
 Areq = 300/23.6 = 12.7 m
2
 B = 3.6 m 
 
 
 
1.69.) A que profundidad deberá fundarse una zapata cuadrada de 2*2 m si ha de soportar 
una carga de 180 ton. 
 c = 11.2 t/m
2
 = 1.99 t/m
3
 B = 2 m arcilla sobre-consolidada 
 
 Desarrollo: 
 Nc(rectg)= (1+0.2*2/2)*Nc(corrida) = 1.2 
 qult = 1.2*11.2*Nc = 13.44*Nc 
 
 Para arcilla sobre-consolidada y un adm = 75 mm, que es aceptable para un 
 Warehouse shed F.S. = 3 
 180.0/4 = 13.44*Nc/3+1.91*Z 
 45 = 4.48*Nc +1.91*Z = Z+2.35*Nc-23.5 = 0 (*) 
 
 Skempton propone valores para Nc en función de la profundidad. 
 La ecuación (*) se resuelve por tanteos 
 
 Z 22.5 3 3.5 4 
 Z/B 1 1.25 1.5 1.75 2 
 Nc 7.7 8 8.2 8.3 8.4 
 2.35Nc 18.1 18.8 19.3 19.5 19.7 
 Z+2.35Nc 18.5 21.3 22.3 23.0 23.7 
 
 Z 3.8 m 
 
 
 
 
1.70.) Determinar el ancho de la zapata de modo de limitar el asentamiento a 1”. 
 
 91 ton 
 
 
 1.2m 
 = 1.76 t/m
3
 
B=?
 
 2.4m 
 NF 3m 
 sat = 1.96 t/m
3 
 Arcilla Blanda 
 cc=0.5 t/m
2 s=2.7 t/m
3 n=45 % 
2.4m
 
 
 Arena Densa 
 
 Desarrollo: 
 q = po (10
m
-1) (15.6) 
 en que : 
 po = sobrecarga a la profundidad en que se tomó la muestra 
 m = (1+eo)/(ccH) (*) 
 = 1” = 2.5 cm = 0.025 m 
 Determinación de eo: 
 eo = Vv/Vs Vt = Vv+Vs Vs = 1 m
3
 
 Ps = 2.7 ton n = 45 % = Pw/Ps 
 Pw = 0.45*2.7 = 1.215 ton 
 Vw = Vv = 1.215 m
3
 1.22 m
3
 
 sat = (1.215+2.7)/(1.215+1) = 1.77 t/m
3
 
 eo = 1.22 sat = 1.77 t/m
3
 
 Determinación de po( al centro del estrato de arcilla) 
 po = 1.76*(1.2+2.4)+0.92*(3-2.4)+1.2*0.77= 7.81 t/m
2
 
 
 Sustituyendo en (*) m = (1+1.22)/(0.5*2.4) = 1.85 
 ¡Debiera tomarse H= 2.4/2 pues el estrato de arcilla está encerrado por dos 
 estratos permeables ! 
 q = 7.81(t/m
2
)*(10
1.85*0.025
 - 1) = 0.88 t/m
2
 = q 
 q = 0.88 es el incremento de carga producido por la zapata a la 
 profundidad considerada para el asentamiento de 2.5 cm. 
 
 Determinación de q promedio en el estrato de arcilla : 
 ( repartición trapezoidal) 
 q = 1/H (P/(B+z)
2
)dz = 1/2.4
3 0
5 4
.
. (91/(B+z))dz 
 u = B+z u2 
 du = dz = 1/2.4 (91/u
2
)dz = -91/2.4*(u)
-1
 ...... 
 
u1
 
 q = -91/2.4 1/(B+5.4)-1/(B+3.0) 
 q = 0.88 
 por tanteo: B 1 7 6.5 6 
 q 3.55 0.73 0.80 0.89 
 B = 6.0 m 
 
 
 
 
1.71.) El esquema ilustra las solicitaciones que actúan sobre las zapatas de un galpón. El 
caso A corresponde a un apoyo rotulado en la base de la columna, y el caso B a un apoyo 
empotrado. Determinar el ancho de la fundación en cada caso de modo que: 
 - máx 25 t/m
2
 
 - giro adm. 1/300 rad (3.33*10
-3)
 
 - K = 4000 t/m
3
 
 Caso A: 
 1
o
) Determinar la excentricidad. V =3t (incl.pp) 
 H=0.9t 
 e=M/N = H*h/V 
 = 0.9*1.5/3
2
 1.5m 
 
 e = 0.45 m 
B=?
 
 Planta 0.5m 
 
 
 2
o
) Determinación de máx 
 máx = P/A +M/W W = I/C = LB
2
/6 
 máx = P/A +6M/(LB
2
) 
 = 3/0.5B+6*0.9*1.5/0.5B
2
 = 6/B + 16.2/B
2
 
 = máx/KB 
 e < B/6 B > 6e 
 B 2.7 m 
 4.44 t/m
2
 
 4.11*10
-4
 = 1/2430 rad 
 
 3
o
) Estamos muy sobredimensionados aceptaremos tracciones 
 máx = 4V/(3L(B-2e)) 
 
 25 = 4*3/(3*0.5*(B-0.9))=8/(B-0.9) 
 B = 1.22 m 
 B‟ = 3*(1.22/2-0.45) = 0.48 B‟/B = 0.39 61% tracciones 
 B‟= 3*(B/2-e) B‟/B 0.8 
 
 B máx B‟ B‟/B 
 
 2.0 7.28 1.65 0.82 
 1.5 13.33 0.90 0.60 < 0.8 
 1.3 20.00 
 
 B = 2 m para cumplir con (B‟/B) > 0.8 
 
 = 7.28/(4000*1.65) = 1/906 
 q = 7.28 < 25 O.K. 
 
 Caso B: 
 
 1
o
) Determinar la excentricidad. V =3t (incl.pp) 
 
M=1.3t*m
 H=0.9t 
 e=M/N = (M+H*h)/V 
 = (1.3+0.9)*1.5/3
2
 1.5m 
 
 e = 0.883 m 
B=?
 
 Planta 0.5m 
 2
o
) Determinación de máx 
 máx = P/A +M/W 
 máx = P/A +LB
2
/6 = P/A(1+6e/B) 
 = 3/0.5B(1+6*0.883B) 
 
 Si hacemos mín =0 e= B/6 B = 6e = 5.3 m 
 
 máx = 3/(0.5*5.3)*(1+6*0.883/5.3) = 2.26 t/m
2 
 máx << 25 t/m
2
 
 
 3
o
) Estamos muy sobredimensionados aceptaremos tracciones 
 
 máx = 4V/(3L(B-2e)) = 8/(B-1.77) 
 
 B máx B‟ B‟/B 
 3 6.00 2.00 0.67 
 2.5 9.60 1.25 0.50 
 2.0 24.0 0.50 0.25 
 3.5 4.36 2.60 0.74 
 4.0 3.59 3.35 0.84 
 
 Usar B = 4 m 
 
 = máx/KB = 3.6/(4000*3.4) = 1/3778 
 
 Con B = 4.0 m se cumplirá con: 
 < 25 t/m
2
 
 < 1/300 rad 
 B‟/B 0.8 
 
 Caso A Caso BB=2m B=4m 
 máx=7.28t/m
2 máx=3.6t/m
2 
 B‟=1.65m B‟=3.4m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.72.) Determine B1 y B2 óptimos considerando las siguientes restricciones. 
 - adm = 10 t/m
2
 
 - máx = 1/750 
 - zona tracción hasta 20% 
 Datos: V1=V2= 3 ton 
 H1=H2= 0.9 ton 
 M2=1.3 t*m 
 
3.8 m
B1 B2
Df=1.5m
K=4000 t/m3
1
2
0.9 m
caso A caso B
 
 
 Desarrollo : 
 Caso A 
 1
o
) Determinación de B1 considerando mín = 0 con 100% de apoyo. 
 M,m = P/A M/W 
 
 2
o
) P/A = 3/(0.9*B1) M/W=(H*Df)/(0.9*B1
2
/6)=9/B1
2
 
 
 3
o
) P/A-M/W = 0 P/A=M/W 
 3/(0.9*B1) = 9/B1
2
 B1 = 2.7 m 
 
 4
o
) B1=2.7 m máx = 3/(0.9*2.7)+9/2.7
2
 =2.47 < 10 O.K. 
 
 5
o
) Determinación de 
 = máx/(k*B1) = (qmáx-qmín)/(k*B1) = 2.47/(4000*2.7) 
 1/4400 < 1/500 O.K. 
 
 B1=2.7 m cumple con las restricciones pero no es el óptimo. 
 
 6
o
) El óptimo se determina aceptando un 20% de tracciones 
 B‟/B1 = 0.8 
 B‟ = 3*(B/2-e) 
 
 7
o
) máx = 4V/(3L(B1-2e)) 
 e=M/V = H*Df/V = 0.45 
 máx = 4/(0.9*(B1-2*0.45)) = 4/(0.9*B1-0.81) 
 
 8
o
) B1 máx B‟ B‟/B1 = máx/(k*B‟) 
 2.5 2.78 2.4 0.96 1/3456 
 2.4 2.96 2.25 0.94 1/3033 
 2.3 3.17 2.10 0.91 1/2646 
 2.2 3.42 1.95 0.88 1/2280 
 2.0 4.04 1.65 0.83 1/1634 
 1.9 4.44 1.50 0.79 1/1350 
 < 10 > 0.8 < 1/500 
 
 B1 = 2.0 m 
 
 Caso B: 
 Es similar al caso A, con la diferencia de que aumenta la excentricidad. 
 Usaremos la misma tabla que en A en que: 
 máx = 4V/(3L(B2-2e)) 
 e = (0.9*1.5+1.3)/3 = 0.883 
 máx = 4/(0.9*(B2-2*0.883)) = 4/(0.9*B2-1.59) 
 B‟ = 3*(B2/2-0.833) 
 
 B2 máx B‟ B‟/B2 
 
 6e=0.53 1.26 5.3 1 1/16825 
 4 1.99 3.35 0.84 1/6733 
 3.9 2.08 3.20 0.82 1/6144 
 3.8 2.19 3.05 0.80 1/5582 
 < 10 0.8 < 1/500 
 
 B2 = 3.8 m 
 
 máx = 1/750 máx/(k*B‟) 1/750 
 B‟ 750* máx/k 
 B‟ = 750*10/4000 = 1.875 m 
 B‟= 0.8*B B = 2.34 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.73.) a) Determine la altura mínima para que la fundación se comporte como zapata rígida 
 b) Dibuje el diagrama de presiones sobre el suelo, considerando el pp de la zapata 
 c) Determine el momento en la sección crítica 
 Datos : K = 15 kgf/cm
3
 Corte AA 
 E = 250000 kgf/cm
2
 
 Mu=11t*m 
 Nu=40t 0.2 
 3.0m 0.3 
 
20*30cm
 
 
 A A 
 
 Desarrollo: 2.0m 
 Debe cumplirse que L < /4 , en que: 
 
 = 
3
3
4
*
*
K
E h
= (3*15000/2.5*10
6
*h
3
)
1/4
 
 = 0.366/h
3/4
 
 L < /4 0.366*2/h
3/4
 < /4 h > 0.91 m 
 
 Chequeo: 
 = (3*15000/2.5*10
6
*0.91
3
)
1/4
 = 0.3931 
 L = 0.786 < 0.78 
 
 b) M,m = P/A*(1 6*e/B) e = 0.275 
 Nu = 40 ton 
 Mu = 11 t*m 
 qu = (2*3*0.91)*2.4/2 = 6.55 t/m 
 Nu
tot
 = 40+6.55*2 = 53.1 ton 
 
 = Nu
tot
/A M/W W = I / Y = (3*2
3
/12)/(2/2)= 2 
 M / W = 11 / 2 = 5.5 t/m
2
 
 = 8.85 5.5 t/m
2
 máx = 14.35 t/m
2
 
 mín = 3.35 t/m
2
 
 
 
 0.5 1.0 1.5 2.0 
 
 3.35 t/m
2
 14.35 t/m
2
 
 
 
 
 
 
 
 c) 
 B/2-bp/2 = 1-0.1 = 0.9 0.9m 
 
 
 9.4 14.35 
 Para simplificar el cálculo, separaremos 
 en dos diagramas: 
 0.9 m 
 M(q=9.4) = 0.5*9.4*0.9
2
 = 3.81 t*m 
 
 M(qvar) = 0.5*4.95*2*0.9
2
/3 = 1.34 t*m 
 
 9.4 t/m
2
 Mu
dis
 = 5.15 t*m 
 Mu
dis
total = 5.15*3 = 15.45 t*m 
 4.95 t/m
2
 
 
 
 
 
1.74.) Un pilar metálico se empotra en una zapata cuadrada de 2*2*1 m, la que se apoya en 
un estrato de arena. 
 Admitiendo leyes de reparto de presiones de tipo lineal debajo de la zapata, indicar 
las 
presiones máximas y mínimas transmitidas al terreno y los esquemas de presión 
correspondientes para las siguientes solicitaciones transmitidas por el pilar a la cara 
superior de la zapata. 
 a) Compresión centrada N= 90 ton 90ton 
 2m 
 q = cte. = 90/2
2
 
 = 22.5 t/m
2
 2m 
 pp= 2*2*1*2.5 = 10 ton 1m 
 q(pp)=10/4 = 2.5t/m
2
 
 
 = 25 t/m
2
 
 
 b) N=40 ton Mx= 10 t*m pp= 10 ton 
 = P/A M/W (1) 
 W = I/C = (bh
3
/12)/(h/2) = bh
2
/6 = 1.333 
 máx = 50/4+10/1.333 = 20 t/m
2
 
 mín = 50/4-10/1.333 = 5 t/m
2
 20 5 
 
 c) N=40 ton Mx= 25 t*m pp=10ton/50ton 
 P/A= 50/4 = 12.5 t/m
2
 
 M/W = 25/1.333 = 18.75 t/m
2
 
 como M/W > P/A 
 no es aplicable (1) ya que el suelo no acepta tracciones 
 Deducción: e 
 R = 0.5*B‟* máx*L = P P 
 B/2-e = B‟/3 B‟= 3(B/2-e) 
 máx= 2P/(B‟L) = 2P/(2*3(B/2-e)) 
 máx 
 máx = 4P/ 3L*(B-2e) R 
 sustituyendo: B 
 máx=4*50/(3*2-6*0.5) = 33.3 t/m
2
 B‟ 
 B‟= 1.5 m 
 
 d) N=40 ton Mx=10 t*m My = 10 t*m 
 ex= 10/50 = 0.2 m ey= 10/50 = 0.2 m 
 e = 
e ex y
2 2
 = 0.2828 
 Tenemos un caso de flexión esviada: 
 máx = P/A+Mx/Wx+My/Wy (2) 
 (válida si P cae dentro del núcleo central) 
 
emáx
0.33
L/3
1m 1m
0.33
B/3
 
 
 emáx = e máximo para caer dentro del núcleo central. 
 = 0.236 m 
 (emáx = 0.5*(0.33
2
+0.33
2
 )
0.5
 
 e > emáx se cae fuera del núcleo central 
 
 Wx=Wy= Bh
2
/6 = 2
2
/6 = 8/6 
 como en este caso e emáx , usaremos (2): 
 máx = 50/4+10/(4/3)+10/(4/3) = 27.5 t/m
2
 
 
 Otra forma: q= ax+by+c 
 a=My/Iyy = 10/(2*2
3
/12) = 7.5 t/m
3
 
 b=Mx/Ixx = 7.5 t/m
3
 
 c=P/A 
 qmáx= axmáx+bxmáx+c = 7.5*1+7.5*1+50/4 
 qmáx = 27.5 t/m
2
 
1.75.) Un pilar de H.A. de 40*60 cm transmite una carga vertical de (40+N/2) ton. y está 
dispuesto en la medianería de un edificio. 
 
 40+N/2 
 60cm 
 
 60 
 40 L 
 
 
 
 B planta 
 Características del terreno: 
 adm= 20 t/m
2
 = máx 
 N = 45 ton 
 
 a) Calcular la longitud L y el ancho B de la zapata, suponer ley lineal de presiones 
 bajo la zapata, de modo que máx = 20 t/m
2
 y mín = 0 t/m
2
. 
 b) Idem a) pero con un machón de 60*90 cm, N=50 ton y qadm = 50 t/m
2
. 
 
 Desarrollo: 
 a) M,m = P/A M/W 
 (suponer que el peso del terreno excavado se compensa con el peso propio de la 
 zapata) 
 
 P/A M/W = 20 t/m
2
 (1) 
 en que: 
 P = 62.5 ton 
 A = B*L 
 M = P*e 
 e = B/2-0.3 (m) 
 M m=0 W = (LB
3
/12)/(B/2) = LB
3
/6 
 
 ( Fv= 0) M*B*L/2 = 62.5 ton B*L= 6.25 m
2
 (2) 
 impongo m = 0 
 de (1): 62.5/6.25+62.5*(B/2-0.3)/((BL/6)*B) = 20 
 10+60*(B/2-0.3)/B = 20 
 6*(B/2-0.3)/B = 1 
 3B-1.8=B B=0.9 m y L=6.9 m 
 e=0.9/2-0.3 = 0.15 m 
 M = 9.37 t*m 
 
 Chequeo: 
 m = 62.5/(0.9*6.9)-9.375/(6.9*0.9
3
/6) 
 = 10.06-10.06 = 0 O.K. 
 b) N=50 ton 
 (1) M = N/BL*(1 6*e/B) 50 
 
 e = B/2-0.3 
 (1+6(B/2-0.3)/B)/BL = 1 
 
70cm
 
 0.9 m (2) ( Fv= 0) M*B*L/2 = 50 ton 
 M 50*B*L/2 = 50 
 B*L = 2.0 m
2
 
 sustituyendo en (1): 
 1/2*(1+(3B-1.8)/B)=1 1+(3B-1.8)/B=2 
 (3B-1.8)/B=1 3B-1.8=B 
 B=0.9 m y L=2.2 m 
 
 
 
 
1.76.) Determinar : 
 a) la presión de contacto máxima para la fundación rígida indicada. 
 b) la presión de contacto mínima. 
 
 
V=20 ton (incluye pp)
H1
H2
Y
X
h=1 m
3 m
1m
1m
H1 = 1.5 ton
H2 = 4 ton
 
 
 Desarrollo: 
 
 a= My/Iyy Iyy = 2*3
3
/12 = 27/6 a = 24/27 
 b= Mx/Ixx Ixx = 3*2
3
/12 =2 b = 0.75 
 c= V/A A = 3*2 = 6 c = 3.33 
 
 qmáx = axmáx+bymáx+c = (24/27)*1.5+0.75*1+3.33 = 5.42 t/m
2
 
 
 qmín = axmín+bymín+c = (24/27)*-1.5+(-0.75)*1+3.33 = 1.25 t/m
2
 
 
1.77.) Determine el esfuerzo de corte en el centro de la fundación.(sección c-c) 
 
25 ton
10 t*m
10 t*m
c
c
0.25 0.252.25 m 2.25 m
 Fundación
 muy rígida
Ancho fund.= 1 m
25 ton
 
 Nota: Considere peso propio de la fundación incorporado en las solicitaciones 
 verticales. 
 Desarrollo : 
 
25 ton
10 t*m 10 t*m
25 ton
20 t*m
50 ton
5.0 m
L = 1 m
 +
 
 
 e = M/N = 20/50 = 0.4 < B/6 = 5/6 = 0.833 diagrama trapecial 
 
 t = V/(BL)*(1 6*e/B) = 50/(1*5)*(1 6*0.4/5) 
 tmáx = 14.8 t/m
2
 y tmín = 5.2 t/m
2
 
 
 
14.8*L
= 14.8 t/m
5.2*L 
 = 5.2 t/m
25 ton
25 ton
10 t*m
10 t*m
Q
c
c
2.5m
y
 
 
 (14.8-5.2)/5 = Y/2.5 Y = 4.8 t/m 
 
 c-c = 5.2+4.8 = 10 t/m 
 Qc-c = (14.8-10)*2.5/2+10*2.5-25 = 6+25-25 
 Qc-c = 6 ton 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II 
DIMENSIONAMIENTO Y DISEÑO 
DE ZAPATAS AISLADAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1.) Dimensione la fundación del pilar izquierdo considerando: 
 f‟c = 300 kgf/cm2 qv(pp) = 5 t/m 
 fy = 2800 kgf/cm
2
 qv(sc) = 2 t/m 
 adm = 30 t/m
2
 qh(sc) = 0.9 t/m 
 L1= 0.75L2 
 a) L1 , L2 y h (aproximar L1 y L2 cada 10 cm, h=d+10cm por acción de viga solamente) 
 b) armadura principal. 
 
 
V1
H1
Df=1.5m
0.3
0.2 L1
L2
2 m
5 m
qv
qh
15 m
V1
H1 V2
 
 
 Desarrollo : 
 1º) Determinación de las cargas sobre la zapata. 
 a) Para determinar L1 y L2. 
 qv = 5+2 = 7 t/m qh = 0.5 t/m 
 
 Fv = 0 V1+V2 = 7*15 = 105 ton 
 Fh = 0 H1 = 0.9*7 = 6.3 ton 
 M1 = 0 V2*15 = 0.9*7*7/2+7*15*15/2 
 V2 = 53.97 ton V1 = 105-53.97 = 51.03 ton 
 
 P/A+M/W adm 51.03/(L1*L2)+9.45/(L1*L2
2
/6) 30 t/m
2
 
 51.03/(0.75*L2
2
)+9.45/(0.75*L2
3
/6) 30 
 68.04/L2
2
+75.6/L2
3
 30 /*L2
3
 
 68.04*L2+75.6 = 30*L2
3
 
 -30*L2
3
+68.04*L2+75.6 = 0 L2 = 1.897 1.9 m 
 L1 = 0.75L2 = 0.75*1.9 = 1.4 m 
 b) Cargas para determinación de h : 
 qv = 1.4*5+1.7*2 = 10.4 t/m 
 qh = 1.7*0.9 = 1.53 t/m 
 Fv = 0 V1+V2 = 10.4*15 = 156.0 ton 
 Fh = 0 H1 = 1.53*7 = 10.71 ton 
 M1 = 0 V2*15 = 1.53*7*7/2+10.4*15*15/2 
 
 V2 = 80.50 ton V1 = 75.50 ton 
 Acción de viga : 
 
0.3
0.2L1=1.4m
 = 0.8-d
d
=L2/2-0.3-d = 0.8-d


A = L1- 
 
 
 qusd = P/A M/W = 75.5/(1.4*1.9) 10.71*1.5/(1.4*1.9
2
/6) 
 = 28.38 19.07 
 M = 47.45 t/m
2
 
 m = 9.31 t/m
2
 
9.31
 
47.45
 
 Sea d = 30 cm 
 q(x= 0.8-0.3) = 37.41 t/m
2
 
 Determinación de vu (solicitación) 
 vu = Vu/Asc Vu = qusd*A = qusd* *L1 
 = 0.5*(47.45+37.41)*0.5*1.4 = 29.7 ton 
 vu = Vu/(L1*d) = 29.7/(1.4*0.3) = 70.72 t/m
2
 
 
 Determinación de vn (resistencia) 
 vn = 0.85*0.53* f‟c = 0.85*0.53* 300 = 7.8 kgf/cm
2
 
 = 78 t/m
2
 
 vu < vn d = 30 cm O.K. h = 40 cm 
 
 2º) Determinación de la armadura. 
 Armadura principal (d = 30 cm) 
 
085 1 1 2 085. *
'
* * / ( . * ' )
f c
fy
Ru f c
 
 Ru= Mu/( bd
2
) b=B Ru= Mu/(0.9*1.4*0.3
2
) 
 Determinación de Mu: 
 
47.45 t/m9.31t/m
31.4t/m
x
c=0.3
f
f = L2 /2- c/2 = 1.9/2-0.3/2 = 0.8 m
q(x=0.8)= 31.4 t/m
q = 31.4 t/m
q = 31.4 t/m
q =16.05 t/m
2/3 f
R
q =47.45-31.4 = 16.05t/m
1
1
2
2
2
2
2
2
2
22
2




 
 Mu = q1*B* f
2
/2+q2*B*( f/2)*2*  f/3 B= 1.4 m 
 = 31.4*1.4*0.8
2
/2+16.05*1.4*0.8
2
/3 
 = 14.07+4.79 = 18.86 t*m 
 
 Ru = 18.86/(0.9*1.4*0.3
2
) = 166.3 t/m
2
 
 
 = 0.85*300/2800* 1-(1-2*166.3/(0.85*3000))
1/2
= 6.15*10
-3
 
 = As/(b*d) = As/(L1*d) 
 As = 6.15*10
-3
*140*30 = 25.83 cm 
2
 
 
 mín = 14.1/fy = 5.04*10
-3
 > mín O.K. 
 
 
 
 
2.2.) Una columna de 60*40 cm, transmite a una zapata rectangular un estado de cargas: 
 pp = 200 ton sc= 130 ton 
 Determine B, L y H de la zapata, considerando que por razones constructivas 
 B 2.5 m. 
 Datos: f‟c = 300 kgf/cm2 fy = 4200 kgf/cm2 qadm = 30 t/m2 
 
 Desarrollo: 
 1º) Determinación de B y L. 
 B, L se obtiene con las cargas no mayoradas, de modo que: 
 qt qadm (pp+sc)/(B*L) 30 t/m
2
 
 
 B 2.5 m por razones de espacio (200+130)/(2.5L) 30 
 L = 4.4 m y B = 2.5 m 
 2º) Determinación de h. 
 h se calcula con las cargas mayoradas de modo que no sea necesario usar 
 armadura al corte vs = 0 
 vu vn 
 
 a) h necesario para acción de viga (Beam action) 
 
0.6
0.4B=2.5m
 
d
L = 4.4m
sección crítica
A
Determinación de vu :
 vu = Vu/Asc
 Vu = qusd*A
 Asc=Area secc. crítica
 = B*d

 
 
 qusd = (1.4pp+1.7sc)/(B*L) = (1.4*200+1.7*130)/(2.5*4.4) = 45.6 t/m
2
 
 
 Asc = 2.5*d A = B*  = B*(L-L/2- c/2-d) 
 = 2.5*(4.4-4.4/2-0.6/2-d) = 2.5*(1.9-d) 
 Vu = 45.6*2.5*(1.9-d) = 114*(1.9-d) 
 vu = 114*(1.9-d)/(2.5*d) 
 
 Determinación de vn 
 vn = 0.53* f‟c = 0.85*9.18 = 7.8 kgf/cm
2
 
 = 78 t/m
2
 
 vu vn 114*(1.9-d)/(2.5*d) 78 d 0.70 m 
 d = 70 cm Vu = 136.8 ton 
 Vn = 136.5 ton 
 
 b) Verificación del punzonamiento (Two way action). 
 vu vn vn = vc vu vc 
 
c+d = 0.6+d
c
ac
d/2
ac+
d= 0
.4+d
d=0.7cm


 
 
 bo = longitud sección crítica = (0.6+d)*2+(0.4+d)*2 
 = 1.3*2+1.1*2 = 4.8 m 
 
 Determinación de vu : 
 vu = Vu/(bo*d) 
 Vu = qusd*(B*L-(c+d)*(ac+d)) 
 = 45.6*(2.5*4.4-(0.6+0.7)*(0.4*0.7) = 436 ton 
 vu = 436/(4.8*0.7) = 130 t/m
2
 
 
 Determinación de vn = vc 
 
 
Vc = (0.53+1.06/ c) f‟c *bo*d
Vc / f‟c *bo*d)
1.06
0.53
0.5 1/ c
1/ c = ac / c = 0.4/0.6 = 2/3 > 0.5
vc/ f‟c = 1.06
 vc = 1.06* f‟c = 18.36 kgf/m
 vc = 0.85*1.06* f‟c
 = 15.6 kgf/cm
 vn=156*4.8*0.7 = 524 ton
 vu = 130 < vc = 156 t/m O.K.
luego d = 70 cm y h = 75 cm.
2
2

 
 
 
2.3.) Determinar la armadura a flexión para la zapata de la figura.h = 0.7 m
L = 3 m
B = 2 m
0.2 m
0.3 m
f‟c = 300 kgf/cm
fy = 4200 kgf/cm
pp = 150 ton
s/c = 90 ton
2
2
 
 Desarrollo: 
 Pu = 1.4DL+1.7LL = 1.4pp+1.7sc 
 = 1.4*150+1.7*90 = 363 ton 
 qusd = Pu/(B*L) = 363/(3*2) = 60.5 t/m
2
 
 
 Determinación de la armadura principal (d = 65 cm) c f 
 
085 1 1 2 085. *
'
* * / ( . * ' )
f c
fy
Ru f c
 
 Ru= Mu/( bd
2
) L 
 
 Determinación de Mu: Mu= qusd* 2*B/2 
 f = L/2- c/2 = 1.5-0.15 = 1.35 m 
 Mu = 60.5*1.35
2
*2/2 = 110.3 t*m Ru = 110.3/(0.9*2*0.65
2
)=145 t/m
2
 
 
 = 0.85*300/4200* 1-(1-2*145/(0.85*3000))
0.5
 = 3.56*10
-3
 
 mín = 14.1/fy = 3.6*10
-3
 < 
 mín = 1.33 = 4.73*10
-3
 
 retracc.= 1.8*10
-3
 (A63-42) < 
 máx = 0.75 b = 2.2*10
-2
 > O.K. 
 
 As = 3.56*10
-3
*200*65 = 46.28 cm
2
 
 46.28/200 = 23.14 cm
2
/cm 
 Determinación de la armadura secundaria (d = 62 cm)  
  = B/2-ac/2 = 1-0.1 = 0.9 m 
 Mu = 60.5*0.9
2
*3/2 = 73.5 t*m 
 Ru = 73.5/(0.9*3*0.62
2
) = 70.82 t/m
2
 B 
 = 1.71*10
-3
 
 mín = 3.36*10
-3
 
 mín = 1.33*1.71*10
-3
 = 2.27*10
-3
 > 
 se coloca mín As = 2.27*10
-3
*300*62 = 42.22 cm
2
 
 42.22/3 = 14.1 cm
2
/m 
2.4.) Para una zapata aislada se pide el área Af = B
2
 para las siguientes condiciones de 
diseño: 
 Service DL = 350 k = 159 ton 
 ” LL = 275 k = 125 ton 
 Service sc = 100 psf = 0.5 t/m
2
 
 Suponer un peso unitario promedio para el suelo y el hormigón sobre el sello 
 = 130 pcf = 2.08 t/m
3
. sc P 
 qadm(suelo)= 4.5 ksf = 22 t/m
2
 
 
 Desarrollo : Df=1.5m col.de 75*30cm 
 1
o
) Peso total para la sobrecarga (12*30in) 
 
 q = 2.08*1.5+0.5 = 3.62 t/m
2
 B 
 q 3.6 t/m
2
 
 2
o
) Presión neta admisible para el suelo : 
 
 qadm
neto
 = 22-3.6 =18.4 t/m
2
 (pues en general la compactación 
 aumenta con respecto al suelo in situ). 
 3
o
) Determinación de Af : 
 
 qadm
neto
 P/B
2
 = 18.4 t/m
2
 
 B = ((159+125)/18.4)
0.5
 = 3.9 m 4.0 m 
 4
o
) Para efectos de armar, cargas mayoradas y reacción del suelo debido a ellas. 
 
 Pu = U = 1.4*159+1.7*125 = 435 ton 
 qs = qusd = 435/4
2
 = 27.2 t/m
2
 
 
 
 
2.5.) Determinar la altura de la zapata del problema 2.4.) 
 f‟c= 3000 psi = 210 kgf/cm2 Pu = 435 ton (mayorado) 
 qs = qusd = 27.2 t/m
2
 
 Desarrollo : 
 
 0.75+d
0.75
 0
.3
+d
bo(two way action)
0.30
bw(beam action)
d/2
d
2-0.15-d
=1.85-d
1.
5 
m
B/
2-
(0
.3
-d
)/2
4.0m = bw
 
 (ACI 11.11) Determinación de la altura sin armadura al corte . El h requerido por corte 
 generalmente controla el diseño. “Beam action and Two way action”, deben chequearse. 
 Suponemos h = 80 cm y d = 70 cm 
 1º) Beam action: 
 Vu Vn 
 Vn = *0.53* f‟c*bw*d = 0.85*0.53*210
0.5
*400*70 = 183 ton 
 Vu = qusd*(1.85-d)*bw = 27.2*(1.85-0.9)*4 = 125 ton 
 (vn = vc+vs) vs = 0 
 (vc = 0.53*210
0.5
 = 7.7 kgf/cm
2
) 
 Vu(solic.) = 125 ton Vu (resist.) = 183 ton O.K. 
 
 2º) Two way action 
 Vu Vn 
 Vn = *(0.53+1.06/ c)* f‟c*bo*d pero (0.53+1.06/ c) 1.06 
 c = 0.75/0.3 = 2.5 c > 2 O.K. 
 
 Vu(solic.) = qusd*(4*4-(0.75+0.7)*(0.3+0.7)) = 27.2*14.55 
 = 396 ton 
 Vu(resist.) = Vn = f(vc) 
 bo = 2*(0.75+d)+2*(0.3+d) = 4.9 m 
 vc = (0.53+1.06/2.5)* f‟c = 0.954* f‟c 1.06* f‟c 
 = 13.8 kgf/cm
2
 
 Vu(resist.) = 0.85*0.954*210
0.5
*490*70 = 403 ton 
 
 396 < 403 O.K. h = 80 cm 
 
 
 
 
2.6.) Determine para las condiciones del problema 2.4.), la cantidad de armadura requerida. 
 
sección crítica
0.7m
0.8m
0.3m
qusd=27.2 t/m
2
f‟c=3000 psi = 210 kgf/cm
fy =60000 psi = 4200 kgf/cm
Pu= 435 ton (mayorado)
qs = qusd = 27.2 t/m (mayorado)
B = 4 m
L = 4 m
2
2
2
1.85 m
 
 
 
 
 Desarrollo : 
 1º) Determinaciones de Mu solicitante : 
 Mu = 0.5*q*  2*B = 0.5*27.2*1.852*4 = 186 t*m 
 
 2º) Determinación de As : 
 Se define el coeficiente de resistencia nominal Rn : 
 Rn = Mn/(b*d
2
) = *fy*(1-0.5* *fy/(0.85*f‟c)) 
 
 Ru= Mu/( bd
2
) = 186/(0.9*4*0.7
2
) = 105 t/m
2
 
 
085 1 1 2 085. *
'
* * / ( . * ' )
f c
fy
Ru f c
 
 = 0.85*210/4200* 1-(1-2*105/(0.85*2100))
0.5
 = 0.0026 
 
 Chequeo mín : mín = 0.0018 (contracción) A63-42 (7.12.2) 
 0.0018 < 0.0026 O.K. 
 
 As = *b*d = 0.0026*400*70 = 73 cm 
2
 14 26 = 74.34 cm
2
 
 
 Nota: En el otro sentido se requiere una cantidad menor, pero para facilidad en la 
 construcción usar la misma cantidad. 
 3º) Chequeo del desarrollo de la armadura (ACI 15.6) 
 La sección crítica es la misma que para el momento.(ACI 15.6.3) 
 d( 26) = 0.06*Ab*fy/ f‟c = 92 cm 
 B/2- p /2 = 2-0.375 = 1.625 m en que p = 0.75 m en el lado más corto 
 92 < 162.5 cm O.K. 
 
 
 
2.7.) Diseño de las barras para transferir la fuerza a la base de la columna. Se pide para las 
condiciones del problema 2.4.), chequear la transferencia de esfuerzos en la interfase 
columna-fundación. 
 f‟c(columna)= 5000 psi = 350 kgf/cm2 
 f‟c(zapata)= 3000 psi = 210 kgf/cm2 
 fy = 60000 psi = 4200 kgf/cm
2
 
 Pu = 957.5 kips = 435 ton 
 
 Desarrollo : 
 1º) Resistencia del hormigón de la columna (15.8.1.1) 
 
 Pnb = (0.85f‟cA1) (10.15.1) 
 = 0.7 (bearing on concrete 9.3.2.4)en que : 
 *0.85*f‟c*A1 = 0.7*0.85*0.350*75*30 (0.85f‟c = 298 300 kgf/cm
2
) 
 = 469 ton 
 Pu = 435 ton < 469 O.K. (9.3.2.4.) 
 
 2º) Aplastamiento del hormigón de la zapata: f‟c = 210 kgf/cm2 
 La resistencia al aplastamiento se incrementa dado que el tamaño de la fundación 
 permite una distribución de la carga de la columna. El incremento permitido varía 
 entre 1 y 2, según la expresión 
A A2 1
 2 , en que : 
 A1 = área de la columna. 
 A2 = área máxima de aquella parte geométricamente similar y concéntrica con el 
 área de la columna. 
 
 45o
4 m
x = 3.55 m
 A1
 A2
x = 4-0.75+0.3 = 3.55 m
 A2 /A1 = 3.65/(0.75*0.3)
 A2 = 14.2 m
 A1 = 0.225 m
 A2 /A1 = 7.94 > 2
2
 2
2
 
 
 Pnb 2 (0.85f‟cA1) = 2*(0.7*0.85*0.210*30*75)= 562 ton 
 Pnb = 435 < 562 O.K. (193 < 250 kgf/cm
2
) 
 
 3º) Barras de traspaso (interfase columna-fundación) (15.8.2) 
 
 As(mín) = 0.005*Areal del elemento que se apoya 
 = 0.005*75*30 = 11.25 cm
2
 
 usar 6 16 = 12.06 cm
2
 
 
 4º) Longitud de desarrollo de barras comprimidas de la armadura de traspaso. 
 (12.3.2) 
 - En la columna: 
 db = 0.0754*db*fy/ f‟c 
 = 0.0754*1.6*4200/ 350 = 27.1 cm 
 pero no debe ser menor que: 
  mín = 0.0043*db*fy = 0.0043*1.6*4200 = 29 cm 
 por lo tanto en la columna las barras miden 29 cm 30 cm. 
 - En la zapata : 
  db = 0.0754*1.6*4200/ 210 = 35 cm >  mín O.K. 
 
 longitud disponible para el desarrollo de la armadura: 
 
 h-rec.-nºbarra* barra = 80-5-2*2.6-1.6 = 68.2 cm > 35 cm O.K. 
 
16
16
5cm recub.26
Nota:
No se verifica la longitud
de anclaje a tracción pues
las barras están comprimidas
 
 
 
 
 
2.8.) Verificar la transferencia de esfuerzos en la interfase columna-zapata. Para las 
condiciones de diseño dadas, disponga la armadura necesaria para la transferencia de 
esfuerzos entre la columna y la zapata. 
 
= 2.75 m
Datos :
- Columna cuadrada de 30*30 cm con 4 barras 36
- f‟c= 4000 psi = 280 kgf/cm (columna y zapata)
- fy = 60000 psi = 4200 kgf/cm
- PD = 200 k = 90 ton
- PL = 100 k = 45 ton
2
2
= 30 cm
46 cm
36
26
 
 Desarrollo : 
 1º) Aplastamiento (Bearing Strength) en la columna de concreto. (15.8.1.1) 
 Pnb = (0.85f‟cA1) = 0.7*0.85*0.28*30
2
 = 150 ton 
 Pu = 1.4*90+1.7*45 = 126+76.5 = 202.5 ton 
 Pu > Pnb no cumple! 
 (202.5*1000/30
2
 c = 225 kgf/cm
2
 ) 
 La carga de la columna no puede ser resistida sólo por el hormigón. El exceso ha de 
 ser transferido a la armadura. 
 exceso = 202.5-150 = 52.5 ton (52.5*1000/30
2
 c = 58.4 kgf/cm
2
 ) 
 
 2º) Aplastamiento en el concreto de la zapata. 
 (A2/A1) > 2 
 Pnb = 2*150 = 300 ton > Pu = 200 ton para efectos de la fundación : O.K. 
 
 3º) Barras de traspaso requeridas. 
 As(req) = (Pu-Pnb)/( *fy) (9.3.2.4) 
 = (202.5-150)/(0.7*4.2) = 18 cm
2
 
 As(mín) = 0.005*30
2
 = 4.5 cm
2
 (15.8.2.1) 
 armadura adicional a la existente ! 
 Usar 4 26 = 21 cm
2
 como barras de traspaso (dowel bars) 
 21 > 18 O.K. 
 4º) Desarrollo de la armadura de traspaso (dowel reinforcement) 
 a) En la columna : Ha de haber un traslapo entre la armadura longitudinal ( 36) y las 
 barras de traspaso ( 26), las que han de extenderse en el interior de la columna una 
 distancia igual a la longitud de desarrollo de las barras ( 36), o la longitud de traslapo 
 de las barras ( 26), la que sea mayor. 
 Para las 36 : 
  d = 0.0754*db*fy/ f‟c (12.3.2) 
 = 0.0754*3.6*4200/280
0.5
 = 68 cm 
 pero no menor que : 
  mín = 0.0043*db*fy = 0.0043*3.6*4200 = 65 cm < 68 O.K. 
 Para las 26 : 
  d = 0.0754*db*fy/ f‟c (12.3.2) 
 = 0.0754*2.6*4200/280
0.5
 = 49 cm 
 pero no menor que : 
  mín = 0.0043*db*fy = 0.0043*2.6*4200 = 47 cm 
 las barras 26 deben extenderse 68 cm en el interior de la columna. 
 
 b) En la fundación : 
 El desarrollo de las barras 26 en el interior de la fundación: 
  d = 0.0754*2.6*4200/280
0.5
 = 49 cm 
 >  mín = 0.0043*2.6*4200 = 47 cm (12.3.2) 
  d puede reducirse si se considera el área en exceso : (12.3.3.1) 
 factor de reducción = As(requerida)/As(proporcionada) 
 = 18/21 = 0.857 
  d = 0.86*49 = 42 cm 
 
 Si las barras de traspaso se doblan, la parte doblada no se considera para efectos de 
 anclaje de la barra en compresión. 
 La longitud disponible para el desarrollo de la armadura en el interior de la zapata : 
  = hzapata-recub.-nºbarras* barras 
 donde recub.+ nºbarras* barras 10 
  = 46-10 = 36 cm < 42 cm no cumple! 
 luego deberá aumentarse la altura de la zapata o usarse una mayor cantidad de barras 
 de menor diámetro. 
 Probemos con 6 22 = 22.8 cm
2
 
  d = 0.0754*(18/21)*2.2*4200/280
0.5
 = 33 cm < 36 cm O.K. 
 >  mín = 0.0043*2.2*4200 = 40 cm 
 
 Disponer 6 22, que penetren 68 cm en la columna, dobladas en 90º para su colocación 
 sobre la armadura de la zapata. 
 Longitud vertical total = 68+33 = 98 cm 
 es decir: 
 Long.total = 68+35 = 100 cm 
 
2.9.) Para las condiciones de diseño del problema 2.8.) más una fuerza horizontal mayorada 
de 43 ton, que actúa en la base de la columna. 
 Datos: 
 f‟c = 280 kgf/cm2 
 fy = 4200 kgf/cm
2
 
 Vu = 43 ton 
 
 Desarrollo : 
 1º) Se usará el método “corte-fricción” (secc.11.7.4), para diseñar la transferencia 
 de la fuerza horizontal. 
 Vu Vn (11-1) 
 Vu (Avf*fy* ) (11-26) 
 en que : 
 Avf = área de la armadura que resiste el corte 
 = coeficiente de fricción 
 = 0.6 cuando es hormigón sin rugosidad previa intencional (11.7.4.3)= 0.85 (corte) 
 
 Avf = 43000/(4200*0.6*0.85) = 20 cm
2
 
 
 2º) Las 6 22 (22.8 cm
2
) dispuestas para la transferencia vertical funcionan como el 
 plano de falla a considerar. No se requiere armadura adicional. Si acaso, las 6 22 
 hubiesen sido insuficientes se permite una reducción de un 40 % en Avf requerido 
 siempre y cuando el hormigón de la zapata en contacto con el de la columna sea de 
 una rugosidad de ¼ de pulgada. Para esta rugosidad = 1.0. 
 
 A‟vf = 43000/(4200*1*0.85) = 12 cm
2
 
 
 Chequeo del desarrollo a tracción de las barras de traspaso (12.2.2) 
 para 22 : (Ab = 3.8 cm
2
) 
  d = 0.0594*Ab*fy/ f‟c 0.0057*db*fy 
  d = 57 cm 53 cm 
 dado que existe un exceso de armadura : (12.2.4.2) 
  d = 57*A‟vf/Avf = 57*12/22.8 
 = 30 cm O.K. 
 
 3º) Chequeo del máximo esfuerzo de corte permitido: (11.7.5) 
 La resistencia al corte nominal Vn no deberá ser mayor que 0.2*f‟c*Ac 
 Vu Vn 
 Vu 0.2*0.280*30
2
*0.85 = 42.8 43 ton 
 ( vn = 0.2*280*0.85 = 47.6 kgf/cm
2
 y vsolic = 43/30
2
 = 47.8 kgf/cm
2
) 
 
 
 
 
2.10.) Se pide el diseño de una zapata cuadrada, para las siguientes condiciones: 
 Datos: (sin armar) 
 DL = 40 k = 18 ton qadm = 20 t/m
2
 
 LL = 60 k = 27 ton f‟c = 3000 psi = 210 kgf/cm2 
 columna de 30*30 cm (f‟c para columna y zapata) 
 Desarrollo : 
 1º) Af = (18+27)/20 = 2.25 m
2
 
 B = (2.25)
0.5
 B = 1.5 m 
 
 ¡ El área de la base se determina con las cargas no mayoradas ! 
 Para efectos de resistencia de los materiales se determina qusd con cargas mayoradas: 
 qusd = (18*1.4+27*1.7)/2.25 = 31.6 t/m
2
 
 
 2º) Altura de la zapata. 
 Para el hormigón simple (sin armar), el espesor lo controla la resistencia a 
 flexión habitualmente. La sección crítica queda en la cara del pilar. 
 
 Mu = 0.5*qusd*((1.5-0.3)/2)
2
 = 5.7 t*m/m 
 = 8.5 t*m (=5.7*1.5) 
 
 ff Mu/(b*h
2
/6) = 8.5*10
5
/(150*h
2
/6) = 3.4*10
4
/h
2
 
 
 resistencia admisible a flexión (6.2.2) 
 ff (adm) = 1.33* * f‟c = 1.33*0.65* 210 = 12.5 kgf/cm
2
 
 luego : 
 12.5 3.4*10
4
/h
2
 h 52 cm 
 Para hormigón vertido directamente sobre el suelo, los primeros 5 cm no se 
 consideran en la resistencia. 
 h = 60 cm d 55 cm 
 
 3º) Verificación de la resistencia al corte (hefectivo) 
 hefectivo = 60-5 = 55 cm 
 Beam action: 
 La sección crítica queda a d = 55 cm del borde externo de la zapata, por lo tanto no 
 es crítica. 
 
 Two way action: 
 vu = 1.5*Vu/(bo*hefectivo) 
 en que: 
 Vu = qusd*(B
2
-(0.3+0.55)
2
) = 31.6*(1.5
2
-0.85
2
) = 48.3 ton 
 bo = (0.3+0.55)*4 = 3.4 m 
 
 vu = 1.5*48.3/(3.4*0.55) = 38.7 t/m
2
 (tensión de corte solicitante) 
 
 
 vn = tensión de corte resistente 
 = vc = *(0.53+1.06/ c)* f‟c = 0.65*1.06* 210 
 = 9.98 kgf/cm
2
 100 t/m
2
 
 Se cumple: 
 vu vn (38.7 100 ) 
 por lo tanto h = 55 cm efectivos está O.K. 
 
 4º) Aplastamiento en la columna. 
 fb = 0.85* *f‟c = 0.85*0.65*210 = 116 kgf/cm
2
 
 
 (18*1.4+27*1.7)/0.3
2
 = 71.1/0.09 
 = 79 kgf/cm
2
 < 116 kgf/cm
2
 O.K. 
 
 
 
 
2.11.) Se pide chequear la transferencia de esfuerzos entre la base de una columna 
prefabricada y su pedestal, para una carga mayorada de 476 ton. 
 f‟c = 350 kgf/cm2 (columna) 
 f‟c = 210 kgf/cm2 (pedestal) 
 fy = 4200 kgf/cm
2
 
 
 
placa base de
 60*60 cm
8 32
P/C 45*45 cm
columna de
 45*45 cm
pedestal
(P/C= pre-cast = pre-fabricado)
 
 
 Desarrollo : 
 1º) Aplastamiento en la columna de hormigón (entre P/C y placa base) 
 
 Pnb = *(0.85*f‟c*A1) (10.15.1) 
 = 0.7*0.85*0.350*45*45 = 421 ton < 476 ton no cumple! 
 
 2º) Aplastamiento en el pedestal entre este y la placa base. 
 
 Pnb = 0.7*0.85*0.210*60*60 = 450 ton < 476 ton no cumple! 
 
 3º) No es posible transferir la carga por aplastamiento del hormigón ni para la 
columna 
 ni para el pedestal. La carga en exceso (476-421) para la columna y (476-420) el 
 pedestal, debe transferirse mediante el uso de armadura. 
 En la manufactura de columna prefabricada es práctica habitual incorporar la placa 
 a la columna ya sea mediante “bar anchors” o mediante barras soldadas a la placa 
base. 
 El área requerida para las barras de anclaje : 
 
 As(req) = Pu/( *fy) = (476000-421000)/(0.7*4200) 
 = 18.71 cm
2
 (9.3.2.4) 
 Además, la conexión entre la columna prefabricada y la placa base deberá 
 tener una resistencia a tracción no menor que 14.06Ag en kgf, en que Ag es el 
 área de P/C columna. 
 
 As(mín) = 14.06Ag/fy = 14.06*45
2
/4200 = 6.8 cm
2
 < 18.71 cm
2
 
 Se requiere barras 16. 
 18.71/2.01 = 9.3 9 16 = 18.09 cm
2
 
 
 Desarrollo de anclajes : 
 d = 0.075*db*fy* f‟c 
 = 0.075*1.6*4200/ 350 
 d = 26.9 cm 
 pero, d no debe ser menor que : 
  mín = 0.0043*db*fy = 0.0043*1.6*4200 = 28.9 cm 
 usar d = 28.9 cm 
 
 4º) El exceso de carga entre la placa base y el pedestal (476-450=26 ton), debe ser 
 tomado por una cantidad de armadura mínima: 
 14.06*Ag*fy 
 Probemos con 4 pernos ASTM A36 (fy=36000 psi = 2530 kgf/cm
2
) 
 As(req) = 26000/2530 = 10.3 cm
2
 
 As(mín) = 14.06*45*45/2530 = 11.3 cm
2
 
 4 22 = 15.216 cm
2
 
 Los pernos deben estar embebidos en el pedestal para desarrollar su resistencia 
 (por adherencia),  d es el doble dado que los pernos son lisos. 
  d = 2*0.075*db*fy/ f‟c 
 = 2*0.0075*2.2*2530/ 210 = 57.6 cm d(mín) = 2*0.0043*db/fy = 2*0.0043*2.2*2530= 48 cm 
  d = 60 cm 
 
 
 
 
 
 
2.12.) Dimensionar y armar la zapata que se propone. 
 Datos: 
 DL = 120 ton 
 LL = 90 ton H 3 m 
 H = 20 ton h 
 qadm = 4 kgf/cm
2
 B 
 suelo = 1.95 t/m
3
 (compactado) pilar 30*50cm 
 Suelo originalmente suelto 1.5B 
 f‟c = 300 kfd/cm2 (zapata y columna) 
 fy = 4200 kgf/cm
2
 
 Desarrollo : 
 1º) Determinación de la planta. 
 P/(B*L) qadm
neto
 
 en que : 
 P = 120+90 = 210 ton 
 qadm
neto
 = 40-3*1.95 = 34.15 t/m
2
 34 t/m
2
 
 
 sustituyendo : 210/(B*1.5B) 34 
 B = 2.03 m B = 2 m y L = 3m 
 
 2º) Determinación de la altura de la zapata (h). 
 qusd = (120*1.4+90*1.7)/6 = 53.5 t/m
2
 
 
 a) Punzonamiento : vn = vc = *(0.53+1.06/ c)* f‟c 
 c = 50/30 = 1.67 < 2 
 vn = 0.85*(0.53+1.06/2)* 300 = 15.6 kgf/cm
2
 
 
 Vn = vc*bo*d 
 Determinación de bo 
 bo = (0.3+d)*2+(0.5+d)*2 = 0.6+2d+1+2d = 1.6+4d 
 
 Vu = qusd*(B*L-(0.3+d)*(0.5+d)) 
 = 53.5*(2*3-(0.3+d)*(0.5+d)) = 321-53.5*(0.3+d)*(0.5+d)) 
 Se debe cumplir : 
 Vu Vn 
 321-53.5*(0.3+d)*(0.5+d)) 156*d*(1.6+4d) 
 d = 0.498 m d = 50 cm y h = 60 cm 
 b) Chequeo por acción de viga : 2 
 
 1 = 3/2-0.5/2-0.5 = 0.75 m 0.3 
y
 
 2 = 2/2-0.3/2-0.5 = 0.35 m 0.5 x 
 1 
 
 chequeo para 1 : 
 Vu = qusd*  1*B = 53.5*0.75*2 = 80.25 ton 
 Vn = vc*B*d 
 vc = 0.85*0.53* f‟c = 7.8 kgf/cm
2
 
 Vn = 78*2*0.5 = 78 ton < 80 ton no cumple! 
 
 Probar con d = 0.52 m 
  1 = 3/2-0.5/2-0.52 = 0.73 m 
 Vu = 53.5*0.73*2 = 78.11 ton 
 Vn = 78*2*0.52 = 81 ton 
 d = 0.52 m y h = 0.80 m 
 
 3º) Determinación de la cantidad de armadura : 
 Mux (solicitante) 
 Mu = 0.5*qusd*(3/2-0.5/2)
2
*B 
 = 0.5*53.5*1.25
2
*2 = 83.6 t*m 
 Determinación de As : 
 Se define un coeficiente de resistencia nominal Rn : 
 Rn = Mn/(b*d
2
) 
 Ru= Mu/( bd
2
) = 83.6/(0.9*2*0.52
2
) = 171.7 t/m
2
 
 
085 1 1 2 085. *
'
* * / ( . * ' )
f c
fy
Ru f c
 
 = 0.85*300/4200* 1-(1-2*171.7/(0.85*3000))
0.5
 
 = 4.24*10
-3
 > mín = 1.18*10
-3
 
 
 As = *b*d = 4.24*10
-3
*200*52 = 44.1 cm
2
 
 12 22 = 45.6 cm
2
 ( 22 @15 cm aproximadamente) 
 (Faltaría chequear en la otra dirección) 
 
 Chequeo del anclaje para armadura en tracción. 
 d ( 22)= 0.06*Ab*fy/ f‟c = 0.06*3.8*4200/ 300 
 = 55.3 cm < 200/2-50/2 = 75 cm 
 
 4º) Verificación del aplastamiento. 
 - En la columna: 
 Pnb = *0.85*f‟c*A1 = 0.7*0.85*300*50*30 
 = 178*50*30 = 268 ton 
 268 ton < Pu = 321 ton no cumple! 
 colocar armadura 
 As(req) = (Pu- Pnb)/( *fy) = (321-268)/(0.7*4200) 
 = 18.03 cm
2
 
 As(mín) = 0.005*50*30 = 7.5 cm
2
 (15.8.2.1) 
 Controla As = 18.03 cm
2
 
 4 25 = 19.63 cm
2
 
 
 
 Longitud de desarrollo a compresión. 
 d = 0.075*2.5*4200/ 300 = 45.5 cm 
 d(mín) = 0.0043*2.5*4200 = 45.2 cm < 45.5 O.K. 
 Reducción por mayor cantidad de área proporcionada. 
 d = (18.03/19.63)*45.5 = 41.47 cm 
 d(mín) = 45 cm (para la columna y la zapata  =45+45=90 cm) 
 
 5º) Transferencia de la fuerza horizontal. 
 Método de “corte-fricción” (secc.11.7.4) 
 Vu Vn 
 Vn = Avf *fy* (11-26) 
 Avf = área de la armadura que resiste el corte. 
 = 0.6 (sin rugosidad previa) 
 = 0.85 
 Avf = H/( *fy* ) = 20000/(0.85*4200*0.6) = 9.3 cm
2
 
 con los 4 25 = 19.63 cm
2
 estamos O.K. 
 
 Chequeo del máximo esfuerzo de corte permitido : 
 Vn = *0.2*f‟c*Ac = 0.85*0.2*4200*30*50 
 = 51*30*50 = 76.5 ton > 20 ton O.K. 
 
 
 
 
2.13.) Determinar la armadura para la fundación cuadrada de la figura : 
 f‟c= 3000 psi = 210 kgf/cm2 
 fy = 50000 psi = 3500 kgf/cm
2
 D = 45.4 ton 
 qadm = 4 ksf = 20 t/m
2
 L = 54.5 ton 
 
 35*35cm 
 Desarrollo : 
 1º) Determinación de B : 
 Pu = 1.4D+1.7L 
 = 1.4*45.4+1.7*54.5 = 156 ton 
 P = D+L = 45.4+54.5 = 99.9 ton 100 ton 
 despreciando el peso de la zapata 
 P/A qadm 100/B
2
 20 
 B 5
0.5
 B = 2.2 m 
 Calculando la presión equivalente del suelo para que sea consistente con el 
 diseño por resistencia última. 
 qusd = 156/2.2
2
 = 32 t/m
2
 
 
 
 
 2º) Determinación de la altura mínima para tensión diagonal (punching shear) 
 (ec.15.2.1) 
 d
2
*(vc+qs/4)+d*(vc+qs/2)*a-(Af-Ac)*qs/4 = 0 
 vc = 4* * f‟c (f‟c en psi) 
 = 1.1* * f‟c (f‟c en kgf/cm2) 
 
 vc = 1.1*0.85* 210 = 13.5 kgf/cm2
 = 135 t/m
2
 
 Ac = 35
2
 = 1225 cm
2
 
 en la ecuación se usa qusd: 
 d
2
*(13.5+32/4)+d*(135+32/2)*0.35-(2.2
2
-0.35
2
)*32/4 = 0 
 14.3*d
2
+52.9*d-37.7 = 0 
 d
2
+0.37*d-0.264 = 0 d = 0.36 m 
 
 3º) Chequeo de la resistencia y si la profundidad de traspaso puede controlar 
 
 qbrg = 0.85* *f‟c = 0.85*0.7*210 = 125 kgf/cm
2
 
 Pu = 0.125*35
2
 = 154 ton 156 ton 
 use 4 “dowels”(barras de traspaso) para amarrar la columna a la zapata y para 
 proveer anclaje a las barras de acero.(ver fig.15.22a) 
 
 4º) Determinación de la cantidad de acero As : 
 Mu = *As*fy*(d-a/2) 
 en que: 
 = 0.85 
 Mu = q*L‟2/2 
 L‟ = B/2-a/2 = 2.2/2-0.35/2= 0.925 m 
 q = qusd = 32 t/m
2
 
 entonces: 
 Mu = 32*0.925
2
/2 = 13.7 t*m/m (30.1 t*m) total 
 fy = 3500 kgf/cm
2
 = 35000 t/m
2
 
 a = As*fy/(0.85*f‟c*b) = As*35000/(0.85*2100*100) 
 = 0.196*As 
 sustituyendo : 
 13700/(0.85*3.5) = As*(35-0.196*As) 
 460.5 = 35*As-0.196*As
2
 
 As = 164 cm
2
/m 
 As = 14.3 cm
2
/m 
 As(total) = As*2.2 = 31.5 cm
2
 
 = As/(b*d) = 31.5/(2.2*0.36) = 0.004 > 0.002 
 (Falta chequear mín y máx) 
 
 
 
 
 
2.14.) Diseñar la zapata cuadrada de la figura para las cargas indicadas, por el método de la 
resistencia según el código ACI 318-83. 
 
columna cuadrada
 de 30 cm
d h
2.8 m
2.8 m0.3
0.3
Cargas en la columna:
 DL = 38 ton
 LL = 34.2 ton
Materiales:
 f‟c = 250 kgf/cm (Hormigón H25)
 fy = 4200 kgf/cm (Acero A63-42H)
Condición:
 dmín 30 cm
 recubrimiento 5 cm
2
2
 
 Desarrollo : 
 vc = 1.06* f‟c = 16.8 kgf/cm
2
 (tracción diagonal, punzonamiento) 
 vc = 0.53* f‟c = 8.38 kgf/cm
2
 (corte como viga) 
 U = 1.4*DL+1.7*LL 
 = 1.4*38+1.7*34.2 = 111.3 ton 
 
 qtu = U/B
2
 = 111.3/2.8
2
 = 14.2 t/m
2
 (chequear qt < qadm) 
 qtu : tensión de trabajo mayorada. 
 
 Determinación de Vu y d : 
 (sección crítica para el corte = de) 
 
a
b
d
e
d/2
Sección de punzonamiento
Vu =(de+B)* *qtu/2
en que : de = (0.3+d) en m.
 B = 2.8 m
 =B/2-0.3/2-d/2=(2.5-d)/2
 qtu =1.42 kgf/cm
2
Vu Vc Vc=vc*b*d
Vc= vc*(0.3+d)*d
en que :



 
 Vu = ((3.1+d)*(2.5-d))*14.2/4 
 
 Vu/( *(0.3+d)*d) vc 
 ((3.1+d)*(2.5-d))*14.2/(0.85*4*(0.3+d)*d) 168 t/m
2
 
 ((3.1+d)*(2.5-d))/(0.3*d+d
2
) 40.2 
 
 d 31 cm d = 0.35 m no necesita armadura al corte, que es 
 la condición que queremos. 
 Determinación de As a flexión. 
 (sección crítica = ab) 
 
L = 1.25 m
qtu
L = (2.8-0.3)/2 = 1.25 m
qtu = 14.2*2.8 = 39.76 t/m
Mu = qtu*L /(2*B)
 = 39.76*1.25 /(2*2.8)= 11.09 t*m/m
 
 Determinación de Mud (Momento último dúctil) 
 Mud = Kmáx*f‟c*b*d
2
 
 
 en que: Kmáx = 0.9*qmáx*(1-0.59*qmáx) 
 qmáx = máx*fy/f‟c 
 máx = 0.75* b = 0.019 (interpolando en tabla 1, dada por J.M.T.) 
 entonces: 
 qmáx = 0.019*4200/250 = 0.321 
 Kmáx = 0.9*0.321*(1-0.59*0.321) = 0.234 
 Mud = 0.234*250*100*35
2
 = 7.17*10
6
 kgf/cm = 71.7 t*m/m 
 Mu < Mud sólo armadura a tracción. 
 Mu = 11.09 t*m/m 
 En la tabla están tabulados los valores Mu/( *f‟c*b*d2) 
 
 11.09*10
5
/(0.9*250*100*50
2
) = 0.0197 = 0.02 (Tabla 9.2) 
 
 = *f‟c/fy = 1.19*10-3 = As/(b*d) As = *b*d 
 As = 1.19*10
-3
*100*50 = 6 cm
2
/m de ancho 
 8 10/m de ancho (6.28 cm
2
) 
 6 12/m de ancho (6.79 cm
2
) 
 Observaciones: 
 1º) = Q/(7*b*d/8) (válido para teoría clásica) 
 2º) Para determinar la resistencia admisible del hormigón: 
 Vc = vc*b*d 
 vc = 1.06* f‟c (para tracción diagonal, con sección crítica de) 
 3º) Además debe chequearse el corte puro, con sección crítica, d‟e‟ y 
 vc = 0.53* f‟c 
 Vc = vc*b*d 
 4º) Vu Vc = 0.85 para el corte. 
2.15.) Para la estructura de la figura, diseñe y dimensione ambas fundaciones. 
 pp = 5 t/m sc = 3 t/m viento = 1.1 t/m 
 B1/B2 = B3/B4 = 0.75 f‟c = 300 kgf/cm
2
 
 qadm = 5 kgf/cm
2
 fy = 2800 kgf/cm
2
 
 
 sc 
 
 pp 
 12.5 m 
 B C 
 
 U = 1.4D+1.7L 
 U = 0.75(1.4D+1.7L+1.7W) 6.0 m 
 viento 
 
 
 A D 
 
 pilar 
20*20
 pilar 
30*20
 
 Df 
 h1 h2 
 zapata 1 zapata 2 
 B1 B3 
 
 B2 B4 
 
 a) Determine acciones D y L sobre cada zapata 
 b) Determine B1,B2,h1 (h1 por punzonamiento) 
 c) Determine armadura principal para la zapata 1 
 d) Determine B3,B4,h2 (h2 por corte por acción de viga) 
 e) Determine armadura principal para la zapata 2 
 Aproximar Bi a los 5 cm más cercanos. 
 Suponer que cada zapata con su sobrecimiento pesa 1.25 ton 
 
 Desarrollo: 
 a) Determinación de las cargas que actúan sobre las zapatas. 
 
 a.1) por efecto de la sobrecarga 
 
 V1L+V2L = 3*12.5 = 37.5 ton 
 MA = 0 1.1*6*6/2+3*12.5*12.5/2 = V2L*12.5 
 H1L = 6.6 ton V2L = 20.33 ton V1L = 17.17 ton 
 
 
 
 a.2) por efecto del peso propio 
 
 V1D+V2D = 5*12.5 = 62.5 ton 
 V1D = 31.25 + ppzapV2D = V1D = 32.5 ton 
 
 D = 32.5 t D = 32.5 t 
 L = 17.17 t L = 20.33 t 
 L = 6.6 t 
 
   
 
 M = 6.6*2 = 13.2 t*m 
 b) Dimensionamiento en planta de cada zapata 
 b.1) zapata 1 
 qt < qadm (32.5+17.17)/( B1*B2 ) < 50 t/m
2
 
 49.67/(0.75*B2
2
) < 50 
 B2 = 1.15 m 
 B1 = 0.86 0.85 m 
 
 d.1) zapata 2 
 qt < qadm (32.5+20.33)/(B1*B2) + M/W < qadm 
 52.83/(0.75*B4
2
) + 79.2/(0.75*B4
3
) < 50 
 37.5* B4
3
-52.83* B4-79.2=0 
 5060 LIB B4 = 1.64 m 1.65 m 
 B3 = 1.23 m 1.25 m 
 
 Verificación min > 0 
 52.83/(0.75*1.65
2
)-79.2/(0.75*1.65
2
)= 2.37 t/m
2
 O.K. 
 
 b.2) Determinación de h1 
 La zapata 1 se dimensiona su h para cumplir con punzonamiento 
 B2 
 -Determinación de qusd 
 0.2+d 
 qusd =(1.4D+1.7L)/A 
 B1 0.2+d = (1.4*32.5+1.7*17.17)/(1.15*0.85) 
 qusd = 76.41 t/m
2
 (zapata 1) 
 
 - Debe cumplirse por el 
 punzonamiento que: 
 
 Vu Vn 
 
 qusd Vu = qusd*(B1*B2-(0.2+d)
2
 
 
 Vn = 0.85*(0.53+1.06/ c)* f‟c c = dim.mayor/dim.menor 
 en este caso : c = 0.2/0.2= 1 c > 2 c = 2 
 Vn = 0.85*(0.53+1.06/2)* 300 
 = 15.6 kgf/cm
2
 = 156 t/m
2
 
 y Vn = 15.6*bo*d donde bo = 2*(0.2+d)+2*(0.2+d) 
 = 0.8+4*d 
 Vu Vn d 
 76.41*(0.85*1.15-(0.2+d)
2
) 156*(0.8+0.4*d)*d 
 0.49*(0.98-(0.2+d)
2
) 0.8*d+4*d
2
 
 0.48-0.49*(0.2+d)
2
-0.8*d-4*d
2
 0 
 d = 23 25 cm h1 = 30 cm 
 
 d.2) Por enunciado se pide dimensionar la zapata 2 para que cumpla con acción de 
viga. 
 
 U = 0.75*(1.4*D+1.7*L+1.7*W) = 1.05*D+1.275*L+1.275*W 
 
 Determinación del diagrama de presiones sobre el suelo. 
 
u
P
A
M
W
105 32 5 1275 20 33
125 165
1275 6 6 2
1
6
125 1652
. * . . * .
. * .
. * .
* . * .
 
 = 29.11 29.67 t/m
2
 
 u
máx
 = 58.78 t/m
2
 1.65 m 
 u
mín
 = -0.56 0 d  = 1.65/2-0.15-d 
 
 vu = 1/2*(58.78+ y)* /(B3*d) 
 h2 
 vn = 0.85*0.53* 300 = 78 t/m
2
 B4 
 58.78 t/m2 
 y 
 d y  vn 
 0.30 45.42 0.375 52.10 < 78 
 0.25 43.64 0.425 69.65 < 78 
 0.23 42.93 0.445 78.71 78 d = 24 cm h2 = 30 cm 
 
 c) Determinación de la armadura principal de la zapata 1 
 d = 25 cm B1 = 0.85 m B2 = 1.15 m 
 = As/(B*d) 
 
 
085 1 1 2 085. *
'
* * / ( . * ' )
f c
fy
Ru f c
 
 
 Ru = Mu/( *B*d
2
) t/m
2
 
 
 Determinación de Mu : (qusd = 76.41 t/m
2
) 
 
 0.20 m (B2-0.2)/2 = 0.475 
 0.475 m 
 Mu = 0.5* B1*0.475
2
*76.41 
 
 B1=0.85m Mu = 7.33 t*m 
 B2=1.15 m Ru = 153.31 t/m
2
 
 76.41 = 0.57*10
-2
 
 
 As = 12.01 cm
2
 As/B1 = 14.13 cm
2
/m de ancho 
 
 e) Determinación de la armadura principal de la zapata 2 
 Determinación de Mu: 
 0.30m 
 = B4/2-0.3/2=0.675m 
 =0.675m 
 MU1(carga uniforme)=1/2* y*B3*
2
 
 B3=1.25m = 0.5*34.73*1.25*0.675
2
 
 MU1 = 9.89 t*m 
 B4=1.65m 
34.73
 
 58.78 t/m
2
 MU2(carga triangular)=R*2/3* 
 24.05 
 y = 34.73 t/m
2
 R = 1/2*24.05*0.675*0.25= 10.15 ton 
 
 MU2 = 10.15*2/3*0.675 = 4.57 t*m 
 MU =MU1+MU2 = 14.46 t*m 
 
 d = 0.24 Ru = 223.15 t/m
2
 
 = 0.84*10
-2
 
 As = 25.06 cm
2
 
 
 As/B3 = 20.05 cm
2
/m de ancho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.16.) a) Aplicando conceptos de viga en medio elástico, determine la altura necesaria para 
que la de la figura se comporte como un cuerpo rígido en la dirección de las solicitaciones 
indicadas en la figura. 
 b) Determine sólo la armadura a flexión requerida. 
 Datos : K = 5 kgf/cm
3
 f‟c = 300 kgf/cm2 
 E = 300000 kgf/cm
2
 fy = 2800 kgf/cm
2
 
 Corte AA 
 
 Mu=11t*mVu=40t 0.2 
 3.0m 0.3 
 
20*30cm
 
 
 A A 
 
 Desarrollo: 2.0m 
 a) Determinación de la altura. 
 L < /4 zapata rígida 
 = 
3
3
4
*
*
K
E h
= (3*5000/3*10
6
*h
3
)
1/4
 
 = 0.266/h
3/4
 
 L < /4 0.266*2/h
3/4
 < /4 h 0.59 m 
 h = 0.60 m 
 Verificación : 
 = (3*5000/3*10
6
*0.91
3
)
1/4
*2= 0.78 
 0.78 < /4 = 0.785 O.K. 
 
 b) Determinación de la armadura a flexión. 
 b.1 Determinación del diagrama de presiones bajo la zapata para determinar el 
momento en 
 la sección crítica. 
 Vu
tot
 = 40+pp = 40+2.4*2*3*0.6 = 40+8.64 = 48.64 ton 
 
 M,m = P/A M/W = 48.64/(2*3) 11/(3*2
2
/6) 
 = 8.11 5.5 t/m
2
 
 máx = 13.61 t/m
2
 
 mín = 2.61 t/m
2
 
 
 2/2-0.2/2 = 0.9 m 
 
 
 
 2.61 t/m
2
 8.66 13.61 t/m
2
 
 
 
 b.2) Determinación del momento de diseño Mu 
 Modelo considerando 1 m de ancho. 
 0.9 m 
 M1 = 0.5*8.66*0.9
2
 = 3.51 t*m 
 M2 = 0.5*4.95*0.9
2
*2/3 = 1.34 t*m 
 
 9.4 t/m
2
 Mu
dis
 = 4.85 t*m 
 
 4.95 t/m
2
 
 
 b.3) Determinación de la armadura. 
 Ru= Mu/( bd
2
) = 485/(0.9*200*55
2
) = 0.891 kgf/cm
2
 
 
085 1 1 2 085. *
'
* * / ( . * ' )
f c
fy
Ru f c
 
 = 0.85*300/2800* 1-(1-2*0.891/(0.85*300))
0.5
 
 = 3.188*10
-4
 
 mín = 14.1/fy = 0.00504 
 = 1.33* cálculo = 0.00041 
 = retracc. = 0.002 
 
 As( =0.00504) = (5.04/1000)*200*55 = 55.44 cm
2
/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III 
DIMENSIONAMIENTO Y DISEÑO 
DE ZAPATAS COMBINADAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Análisis de zapatas “combinadas” 
 
 Por ejemplo zapatas sobre la cual descansan dos o más pilares. 
 
R=V + V
 V V
c c
L
L/2 L/2
B
h
c.g.
1 2
1 2
21
 
 
 Para simplificar el problema supondremos sólo cargas verticales. 
 
 Zapata rígida ( L /4 0.8 ) 
 ( se puede elegir h de modo que se cumpla L /4 ). 
 En lo posible se trata que R carga sobre el centro de gravedad de la zapata 
 ( para que no haya momento). 
 
 Condición de diseño : 
 a) Resultante R pase por c.g. de la zapata. 
 b) qt = R/(L*B) qadm 
 
 Estas zapatas superficiales en general son infinitamente rígidas con lo que tendremos. 
 
 
x
a
A B
V /c1 V2 /c2 1
R/L
MA =(R/L)*x /2
MB =(R/L)*x /2-V *(x-a)
2
2
1
 
 
 Para calcular Q se procede en forma análoga. Las zonas más solicitadas serán las que 
 están al borde de los pilares y el centro. 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo de aplicación (extraído del Bowles) 
 Trabajaremos con pies y kips (1 kips= 1000 lb 0.5 ton ) 
 
L
R
130 kips 200 kips
1.25‟1‟
1.33‟
R
15‟
9.59‟
x
 
 
 qt qadm = 2 k/ft
2
 
 R*
x
= 200*15 R = 330 kips 
 
x
= 9.09‟ 
 Encontramos las dimensiones de la fundación. 
 L = 2*9.59‟ = 19.2‟ 
 qt = qadm = 2 = 330/(B*19.2) B = 8.59‟ B = 9‟ 
 
 Se aproxima a B = 9‟ ya que no se ha incluido el peso propio de la zapata que en este 
 caso es despreciable. 
 
 
130/1=130 k/ft 200/1.25=160 k/ft
130 k 200 k
1‟ 1.25‟
330/19.2=17 k/ft
1
1
3
(1
0
0
)
1
2
5
(1
1
0
)
5
3
.5
(6
5
)
6.6‟
5
6
.4
 k
f
(1
2
0
)
4
2
2
 k
f
(3
5
5
)
4
0
 k
f
(1
2
0
)
9
3
.5
 k
f
8
3
.5
 k
f
(1
6
0
)
(1
3
0
)
 
 
 
 El mismo problema se podría haber resuelto considerando que la viga no es rígida. 
 
130 k
200 k
k =130 k/ft
3
19.2‟
 
 
 Se considera EI = cte.. entre paréntesis (en diagrama de Q y M), los valores obtenidos 
 con esta modelación. 
 Si se quiere que la viga sea realmente rígida la altura de 1.33‟ debería ser de 6.5‟ para 
 que L = /4. 
 Cuando por motivos de espacio no se puede agrandar (o achicar) la zapata a gusto 
 para que R pase por el c.g. se recurre a una zapata que en planta tiene forma de trapecio. 
 
 Planta 
 
L
L-x‟x‟
a b
 c
R=V1+V2V1 V2
 E
di
fic
io
 e
xi
st
en
te
d
 
 
 Hay que buscar a y b para que R=V1+V2 pase por el centro de gravedad de la zapata. 
 
 R*x‟ = V2*(L-c/2)+V1*d/2 R=V1+V2 
 x‟ = (V2*(L-c/2)+V1*d/2)/(V1+V2) 
 x‟ debe coincidir con el c.g. del trapecio. 
 xcg = (L/3)*((2*a+b)/(a+b)) = x‟ 
 
 qt = qadm = R/((a+b)*L/2) 
 
 Para que se pueda materializar este tipo de zapata. 
 L/3 < x‟ < L/2 (para trapecio) 
 si L/3 = x‟ se tendría un triángulo (a=0) 
 si L/2 = x‟ se tiene un rectángulo (a=b) 
 si x‟ < L/3 a < 0 
 
 =2x‟
 
 L/3 x‟ L/2 
Y
X
R
R
R
M
S.F.
R-R eje de rotación 
que pasa por C.G.
R
M =R*dR
C.G.
P(x,y)
P‟
rígida
Planta
dR
d‟p
 -
 dp
+
+
+
+
(qt)p = R/ + *dp*k
Fatiga debido al momento
Desplazamiento vertical
 del punto P
 
 = M/(k*IRR) = R*dR/(k*IRR) 
 
 (qt)p = R/ +R*dR*dp/IRR 
 Para un punto P‟(d‟p-). 
 
 (qt)p‟ = R/ +R*dR*d‟p
-
/IRR 
 (qt)p‟ = R/ - R*dR*d‟p/IRR 
 
 En general la determinaciónde IRR puede no ser sencilla. Para analizar este problema 
 veremos otra metodología. 
 Hipótesis : Zapata rígida 
 Cama de resortes con k constante. 
Y
X
R
C.G.
rígida
+
+
My =R*ex
 +
Mx =R*ey
 +
ey
ex
x, y se eligen paralelos a los
lados de la fundación.
 ( I ) qt = a*x+b*y+c
fatiga de contacto, ecuación
del plano.
 
 
 
 ( Fv = 0)  R = 
0
qtd = a
0
xd +b
0
yd +c
0
d = c
0
d 
 Las 2 primeras son cero porque x,y pasan por C.G.. 
 ( Mx-x = 0)  Mx = 
0
qtyd = a
0
xyd +b
0
y
2
d +c
0
yd 
 ( My-y = 0)  My = 
0
qtxd = a
0
x
2
d +b
0
xyd +c
0
xd 
 Luego de  R = c* 
  Mx = a*Ixy+b*Ix se encuentra a y b, 
  My = a*Iy+b+Ixy y reemplazando en (I) 
 
 qt = R/ + My-Mx*(Ixy/Ix) /(Iy* 1-Ixy
2
/(Ix*Iy) ) *X 
 + Mx-My*(Ixy/Iy) /(Ix* 1-Ixy
2
/(Ix*Iy) ) *Y 
 
 Ecuaciones válidas para zapatas de todas las formas. 
 Para una zapata cuadrada Ixy = 0 (también para zapata rectangular) 
 En general X o Y es eje de simetría (ejes principales). 
 
 qt = R/ +(My/Iy)*X+(Mx/Ix)*Y 
 Si se tiene : 
 
 y 
 
 R 
 x qt = (My/Iy-y)*X+R/ 
 ex 
 
 My=R*ex 
 /2 /2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1.) Determine B1,B2 y h para la zapata combinada. Use método ACI aplicando sección 
crítica. Considere sólo acción de viga. 
 
Datos
pp1=60 ton
s/c1=40 ton
pp2=70 ton
s/c2=50 ton
f‟c=250 kgf/cm
adm=30 t/m
2
2
V1
V2
(1) (2) (3) (4)
B1 B2
1.5 m 3 m 1.5 m
d
d
d
d
0.3
0.4
V1 V2
 
 Desarrollo: 
 1
o
) Determinación de xR: 
 R*xR = 100*1.5+120*4.5 xR = 3.136 m 
 
 2
o
) Determinación de A: 
 P/A adm A P/ adm=220/30 
 A = 7.33 m
2
 
 
 3
o
) L 3xR = 9.41 m 
 B2 = 2A/L 3xR/L-1 = 1.389 m 
 B1 = 2A/L-B2 = 1.056 m 
 
 Chequeo del área: A = 0.5*(B1+B2)/L = 7.33 m
2
 O.K. 
 
 4
o
) Determinación de h: 
 4.1) Diagrama de presiones: 
 qusd = 1.4*(60+70)+1.7*(40+50) /7.33 
 = 335/7.33 = 45.68 t/m
2
 
 
 152 ton 183 ton 
 
 45.68*1.056 45.68*1.387 
 
 48.24 t/m 65.45 t/m 
 
 
 4.2) Diagrama de corte: 
 0 x 1.5 : 
 Q(x) = (48.24+q(x))/2 *x = 0.5*(48.24+q(x))*x 
 q(x) = 48.24+(63.45-48.24)*x/6 = 48.24+2.535*x 
 
 Q(x) = 48.24+48.24+2.535*x *x/2 
 = 48.24*x+1.268*x
2
 
 1.5 x 4.5 : 
 Q(x) = 48.24*x+1.268*x
2
-152 
 
 4.5 x 6 : 
 Q(x) = 48.24*x+1.268*x
2
-152-18 
 = 48.24*x+1.268*x
2
-335 
 
 x 0 1.5
-
 1.5
+
 4.5
-
 4.5
+
 
 Q(x) 0 75.21 -76.79 90.8 -92.24 
 
 sección crítica 
 
 
 1.06m 
 
 
 d 
 planta 
 
 
 
75.2
90.8
76.8
92.2
+ +
- -
modelo
x
Q(x)
x = 4.5
1 2 3 4 5 6
 
 
 Resistencia al corte nominal : vc = vn = 0.85*0.53* f‟c 
 (Suponer “beam action”) = 7.12 kgf/cm2 
 = 71.2 t/m
2
 
 Debe cumplirse: 
 Vu Vn 
 vubwd vubwd 
 
 Del diagrama de corte se concluye que la sección crítica para el corte está a la derecha 
 del segundo pilar, a una distancia d. 
 
 vu = Q(x)/(bwd) x = 4.7+d bw=1.056+(1.389-1.056)*x/6 
 
 d 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 m 
 x 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 m 
 bw 1.33 1.33 1.34 1.34 1.35 1.36 m 
 Q(x) -68.2 -62.1 -56 -49.9 -43.7 -37.5 ton 
 vu -257 -155 -105 -74.2 -54.0 -39.5 t/m
2
 
 
 vu (d=0.52)= 69.5 t/m
2
 71.2 t/m
2
 
 d=0.52 x = 4.7+0.52 = 5.22 
 d = 0.52 m h = 0.60 a 0.70 m 
 Nota 1: 
 Faltaría chequear el punzonamiento ( two way action), pero por razones de tiempo 
 para la prueba y, porque en general controla acción de viga se acepta. 
 
 Nota 2: 
 =
3
3
4
*
*
K
E h
 0.432 L = 2.6 > /4 
 
 
 
3.2.) Determinar B1 , B2 y h para la zapata combinada de la figura .Determinar h por 
acción de viga. 
 Datos: 4 m variable 
 DL1 = 90 ton P1 P2 
 LL1 = 80 ton 
 DL2 = 65 ton 0.4m 0.4m 
 LL2 = 55 ton 
 adm = 20 t/m
2
 h 
 f‟c = 300 kgf/cm2 
 -restricción : existe un muro vecino al pilar izquierdo. 
 Desarrollo : 
 1º) Determinación de xr : 
 R*x = (65+55)*4 x = 120*4/(170+120) = 1.655 m 
 xr = x +0.2 = 1.855 m 
 
 2º) Determinación de A : 
 (P1+P2)/A 20 
 A (170+120)/20 
 A 14.5 m
2
 
 
 3º) Determinación de L : 
 i) L 3*xr = 5.56 m 
 ii) L > 2*
x
 = 2*1.855 = 3.71 m 
 iii) L 4.4 m 
 L = 4.4 m 
 B1 = 2*A/L-B2 = 2*A/L-2*A/L*(3*xr/L-1) 
 = 2*A/L* 1-(3*xr/L-1) = 2*A/L* 2-3*xr/L 
 = 2*14.5/4.4* 2-3*1.855/4.4 = 4.85 m 
 
 B2 = 2*A/L* 3*xr/L-1 = 2*14.5/4.4* 3*1.855/4.4-1 
 = 1.75 m 
 Usaremos B1 = 4.85 m y B2 = 1.75 m 
 Chequeo : 
 A = (4.85+1.75)*4.4/2 = 14.5 m
2
 O.K.4º) Diagrama de presiones. 
 qusd = (1.4*(90+65)+1.7*(80+55))/14.5 
 = 446.5/14.5 = 30.8 t/m
2
 
 
 
0.4*0.4m
B1
B2
q1
q2
0.4*0.4m
q1 = 30.8*4.85 = 149 t/m
q2 = 30.8*1.75 = 54 t/m
 
 
 Diagrama de corte: 
 
P=262 ton P=184.5 ton
d
q(x)
x
54 t/m149 t/m
4.4 m
sección
crítica
173.4
232.63
11.1
29.4
q(x) = 149-(149-54)*x/4.4
 = 149-21.59*x
q(x=0.2)= 144.68 t/m
q(x=4.2)= 58.32 t/m
 
 
 Qu(x) = (149+q(x))*x/2 (corte útil, cargas mayoradas) 
 Q(x=0.2)= (149+144.68)*0.2/2 = 29.37 (-232.63) 
 Q(x=4.2)= (149+58.32)*4.2/2-262 = 173.37 (-11.13) 
 Q(x=4.4)= (149+54)*4.4/2-262-184.5 = 0 
 b(x) = 4.85-(4.85-1.75)*x/4.4 = 4.85-0.7045*x 
 vu = Qu(x)/(b(x)*d) 
 
 x 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 
 d*vu(x) -42.88 -40.5 -37.9 -35.3 -32.6 -29.9 62.4 69.4 76.9 84.7 93.0 101.8 111.2 
 
 x 3.8 3.9 4.0 
 d*vu(x) 121.1 131.8 143.1 t/m 
 
 Qu(x)= (149+149-21.59*x)*x/2-262 
 vu(x)= (149-10.795)*x/(4.85-0.7045*x) 
 
 La sección crítica se produce a x=0.4+d, a la derecha del pilar izquierdo. 
 Determinación de la altura h : 
 vn = 0.53* * f‟c = 0.53*0.85* 300 
 = 7.8 kgf/cm
2
 
 Determinación de Vu: 
 Vu Vn vu vn 
 Tanteos: 
 d = 0.5 m 
 q(x=0.4+0.5) = 129.6 t/m 
 Q(x=0.9)=262-0.5*(149+129.6)*0.9 
 = 262-125.36 = 136.6 ton = Vu 
 Vn = Bd*d* vn 
 Bd = b(x) = 4.216 m 
 d = 0.5 m 
 vn = 78 t/m
2
 Vn = 4.216*0.5*78 = 164.4 ton > Vu O.K. 
 
 d = 0.5 m y h = 0.6 m 
 
 Si chequeamos la columna de la izquierda, claramente se aprecia que controla este 
 sector. 
 d 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 (m) 
 vu(x) 186 141.2 109.9 86.8 69.3 (t/m
2
) 
 vn < 78 (t/m
2
) 
 
 d = 0.9 m 
 b(x=3.1) = 4.85-0.7045*3.1 = 2.66 m 
 Vn = 2.66*0.9*78 = 186.7 ton 
 Vu = 2.66*0.9*69.3 = 165.9 ton 
 d = 0.9 y h = 1.0 m 
 
 
 
 
3.3.) Para las solicitaciones señaladas diseñe la zapata combinada según ACI 318. 
 
4.9 m
0.4 m0.35 m
DL=63.5ton
LL=41.0ton
DL=85.1ton
LL=50.0ton
Datos :
 f‟c = 210 kgf/cm
 fy= 4200 kgf/cm
 qadm = 17 t/m
fundación rígida
2
2
2
 
 
 Desarrollo : 
 1º) Determinación de las dimensiones de la fundación (L y B) 
 i) El centro de gravedad del área en contacto con el suelo, debe coincidir con la 
 línea de acción de la resultante. 
 R*
x
= (81.5+50)*4.9 
 R = 63.5+41+81.5+50 = 236 ton 
 
x
= (81.5+50)*4.9/236 = 2.73 m 
 
 L = (2.73+0.32/2)*2 = 5.81 m 5.8 m 
 
 P/A = qadm P = 236 ton 
 236/(B*5.8) = 17 B = 2.39 m 2.4 m 
 
 2º) Determinación de qusd del suelo : 
 qusd = Pult/A 
 Pult = 1.4*(63.5+81.5)+1.7*(41+50)= 203+155 = 358 ton 
 entonces: 
 qusd = 358/(5.8*2.4) = 25.7 t/m
2
 
 
 3º) Diagramas de fuerzas de corte y de momentos. 
 
 
158.6 194.1
q1 q2
q3
x x‟
q1 = (1.4*63.5+1.7*41)/0.35=453.1 t/m
q2 = (1.4*81.5+1.7*50)/0.4=498 t/m
q3 = 358/5.8 = 61.7 t/m (ancho=2.4m)
 (qusd*B=25.7*2.4=61.7 t/m)
 
 0 < x < 0.35 m 
 
 q(0 < x < 0.35)= 61.7-453.1 = -391.4 ton/m (V= qdx ) 
 V(x=0.35)= -391.4*0.35 = -137.0 ton 
 M(x=0.35)= -0.5*q*x
2
 = -0.5*391.4*0.35
2
 = -23.97 t*m 
 
 
 0.35< x < 4.875 m 
 
 q = q3= 61.7 t/m 
 V(x) = 61.7*x-158.6 
 chequeo: V(x=0.35)=61.7*0.5-158.6 = -137.01 O.K. 
 M = Vdx = 0.5*61.7*x
2
-158.6*(x-0.35/2) 
 ( x varía entre 0.35 y 4.875 m) 
 
 x V(x) M(x) x V(x) M(x) 
 (m) (ton) (t*m) (m) (ton) (t*m) 
 0 0 0 2.7 7.99 -175.6 
 0.35 -137.0 -24.0 3.0 26.5 -170.4 
 0.50 -127.8 -43.8 3.5 57.4 -149.4 
 1.0 -96.9 -100.0 4.0 88.2 -113.05 
 1.5 -66.1 -140.7 4.5 119.1 -61.2 
 2.0 -35. -166.05 4.875 142.2 -12.3 
 2.5 -4.4 -175.9 5.275 32.39 8.5 
 2.6 1.82 -176.06 
 
 Chequeo: 
 0 < x‟ < (4.9+0.35/2+0.2)-5.8 = 0.505 m 
 V(x= 0.525) = q3dx = -61.7*0.525 = -32.39 ton 
 M(x= 0.525) =q*x
2
/2 = 8.5 t*m 
 
 0.525 < x‟ < 0.525+0.4= 0.925 m 
 q = 61.7-498 = -463.3 t/m 
 V(x=0.925)= -32.39+463.3*0.4 = 142.1 ton 
 M(x=0.925)= 61.7*x
2
/2-498*(-498*0.4*0.4/2) 
 = 26.4-39.84 = -13.4 t*m 
 
142.2 ton
139 ton
176.1t*m
32.2ton
8.8t*m
Mmáx= M(x=2.6)= -176.1 t*m
Mmáx= 0.5*(5.81-4.9-(0.4+0.35)*61.7 /2)
 = 8.83 t*m
+
-
2
 
 
 
 
 4º) Determinación de la altura de la fundación. 
 vn = 0.53* * f‟c = 0.53*0.85* 210 
 = 6.53 kgf/cm
2
 = 65.3 t/m
2
 
 Vu = 142.2-61.7*d 
 Vn = B*d* *vn = 2.4*d*65.3 = 156.7*d 
 
 Vu Vn 142.2-61.7*d = 156.7*d 
 d = 0.65 m 
 luego h = 0.75 m 
 Chequeo de tensiones diagonales (Punzonamiento) 
 vn = 1.06* * f‟c = 13.06 kgf/cm
2
 = 130.6 t/m
2
 
 
 
0.35m 0.4m 0.525m
0.35+0.65/2
 = 0.675 m
0.35+0.65
 = 1 m
0.4+0.65
 =1.05m
 1 2
 
 Para la columna 1, el perímetro de corte es : 
 bo1 = 1+0.675*2 = 2.35 m 
 
 La fuerza resistente : 
 Vn = vn*bo1*d = 130.6*2.35*0.65 = 199.5 ton 
 Vu = 158.6-A*qusd = 158.6-0.675*25.7 = 141.2 ton O.K.Para la columna 2, el perímetro de corte es: 
 bo2 = 1.05*4 = 4.2 m 
 
 La fuerza resistente : 
 Vn = vn*bo2*d = 130.6*4.2*0.65 = 365.5 ton 
 Vu = 199.1-1.05
2
*25.7 = 170.8 ton O.K. 
 
 Tratemos de aclarar 199.1ton 
 
 h/L = 0.75/4.9 < 4/5 
 no es un componente h 
 a flexión alto 
 máx F=356.5 ton qusd=27.5 
 5º) Determinación del área de acero requerida. 
 a) Para momento negativo: 
 M
-
u(máx) = -176.1 t*m para un ancho de 2m. 
 Mu/( *fy) = As*(d-a/2) 
 a = As*fy/(0.85*f‟c*b) = As*3500/(0.85*210*240) = 0.0817*As 
 176.1*10
5
/(0.9*3500) = As*(65-0.04085*As) 
 5590.5 = 65*As-0.04085As
2
 
 As = 1500 ¡NO! 
 As = 91.2 cm
2
 
 
 Ru = Mu/( *b*d
2
) = 176.1/(0.9*2.4*0.65
2
) = 193.0 t/m
2
 
 
085 1 1 2 085. *
'
* * / ( . * ' )
f c
fy
Ru f c
 
 = 0.85*210/3500* 1-(1-2*193/(0.85*2100))
0.5
 = 5.85*10
-3
 
 
 = As/(b*d) As = 5.85*10
-3
*240*65 = 91.3 cm
2
 
 mín = 0.002 (7.12.2) 
 0.00585 > mín O.K. 
 Usar 19 25 = 93.3 cm
2
 > 91.3 cm
2
 
 Anclaje: 
 d( 25) = 0.06*Ab*fy/ f‟c = 0.06*4.9*3500/ 210 = 71.1 cm 
 se produce aproximadamente al centro del tramo O.K. 
 
 b) Para momento positivo: 
 M
+
u(máx) = 8.8 t*m 
 Ru = Mu/( *b*d
2
) = 8.8/(0.9*2.4*0.65
2
) = 9.64 t/m
2
 
 
 = 0.85*210/3500* 1-(1-2*9.64/(0.85*2100))
0.5
 = 2.76*10
-4
 
 < mín = 0.002 
 mín = As/(b*d) As = 0.002*240*65 = 31.2 cm
2
 
 
 Usar 13 18 = 33.02 cm
2
 
 Anclaje: 
 d( 18) = 0.06*Ab*fy/ f‟c = 0.06*2.54*3500/ 210 
 = 36.9 cm < 52.5 O.K. 
 d mín = 30 cm (12.2.5) 
 
 c) Diseño de la armadura transversal : 
 qusd= 25.7 t/m
2
 por 1 m de ancho q= 25.7 t/m 
 d = 65-1.8/2-1 63 cm 
 Longitud en voladizo : L = (2.4-0.35)/2 = 1.025 m 
 M = qL
2
/2 = 25.7*1.025
2
/2 = 13.5 t*m/m 
 
 Mu/( *fy) = As*(d-a/2) 
 
 a = As*fy/(0.85*f‟c*b) = As*3500/(0.85*210*240) = 0.0817*As 
 13.5*10
5
/(0.9*3500) = As*(63-0.04085*As) 
 428.6 = 63*As-0.04085As
2
 
 As = 1535 ¡NO! 
 As = 6.83 cm
2
 
 = As/(b*d) = 6.83/(100*63) = 1.08*10
-3
 < 0.002 
 Asmín = 0.002*100*63 = 12.6 cm
2
/m 
 Usar 5 18 = 12.7 cm
2
 (arriba y abajo) 
 
 
4.9 m 0.725m
0.35m 0.4m
0.525m
5.8 m
0.75m
18@20
18@20
19 25
18
93.3cm
2
33.3cm
2
12.6 cm /m
2
12.6 cm /m
2
 
 
 
 
3.4.) Dimensione la zapata trapezoidal considerando : 
 qadm(suelo)= 20 t/m
2
 
 f‟c= 300 kgf/cm2 
 
5.6m
=0.6m =0.4m
pp=115 ton
sc= 91 ton
pp=82 ton
sc= 63 ton
h
 
 
 Determine h para acción de viga (elija un pilar para definir la sección crítica) 
 
 Desarrollo : 
 1º) Posición de la resultante : 
 R*x= (82+63)*6.1 
 x = (82+63)*6.1/(82+63+115+91) = 2.52 m 
 xr = 2.52+0.3 = 2.82 m 
 El centro de gravedad está desplazado hacia la izquierda, luego ese lado será el más 
 ancho. 
 2º) El área del trapecio el tal que : 
 (206+145)/A = 20 t/m
2
 
 A = 17.55 m
2
 
 B2 = 2*A/L*(3*xr/L-1) = 2*17.55/6.6*(3*2.82/6.6-1) 
 B2 = 1.5 m 
 B1 = 2*A/L-B2 = 2*17.55/6.6-1.5 = 3.82 m 3.85 m 
 B1 = 3.85 m en que B1 es el lado derecho. 
 
 Determinación de qusd : 
 qusd = Pult/A = (1.4*(115+82)+1.7*(91+63))/((1.5+3.85)*6.6/2) 
 = (275.8+261.8)/17.655 = 537.6/17.655 
 qusd = 30.45 t/m
2
 
 315.7 221.9 
 q1 = 30.45*3.85 = 117.2 t/m 
 q2 = 30.45*1.5 = 45.7 t/m 
 
 q3 = 113.95 t/m q4 = 47.87 t/m q1 q3 q4 q2 
 q = 117.2-(117.2-45.7)*x/6.6 
 
 Diagrama de corte (suponiendo una variación lineal) 
 
 34.67 ton 212.5 ton 
 x‟ x” 
 
 -247 -9.38 
 -281 ton 
 
 
 Mejor sacar el diagrama de corte en función de x para obtener Q(x=d) 
 
 0.6/2 < x < 6.6-0.2 
 Q(x‟) = (117.2+117.94)*0.3/2-315.7+(113.95+(113.95-10.83*x‟))*x‟/2 
 = -281+(227.9-10.83*x‟)*x‟/2 
 = -281+113.95*x‟-5.42*x‟2 
 
 x‟ 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6.1 
 Q(x‟) -281 -225 -172 -122 -74.8 -30 12.1 51.4 88.1 122 153 182 212 
 
 Determinación de h para acción de viga en el pilar izquierdo. 
 
 vn = *0.53* f‟c = 0.85*0.53* 300 = 7.8 kgf/cm
2
 
 
 Vu(x‟=0.3+d)= -281+113.95*(0.3+d)-5.42*(0.3+d)2 
 = -247+113.95*d-5.42*(0.3+d)
2
 
 
 d Vu B vu 
 0.5 -193.3 3.46 -111.79 > 78 
 0.7 -172.5 3.39 -72.7 < 78 
 0.65 -177.6 3.41 -80.3 > 78 
 
 vu = Vu/(B*d) B(x) = 3.85-(3.85-1.5)*x/6.6 
 = 3.85-0.356*x 
 x‟ = x-0.3 
 x = 0.6+d 
 
 usar d = 0.7 m y h = d+0.05 = 0.75 m 
 
 Determinación de la sección crítica para el pilar izquierdo. 
 Q(x‟) = -281+113.95*x‟-5.42*x‟2 
 Vu(x‟=6.1-(0.2+d))= -281+113.95*(5.9-d)-5.42*(5.9-d)2 
 
 
 d Vu B vu vn 
 
 0.5 176.3 1.82 193.7 78 
 0.6 170.71.86 153.3 78 
 0.9 153.3 1.96 86.7 78 
 0.95 150.2 1.98 79.8 78 
 0.96 149.6 1.984 78.5 78 
 
 vu = Vu/(B*d) B(x”) = 1.5-(3.85-1.5)*x”/6.6 
 = 1.5-0.356*x” 
 x = 0.4+d 
 
 d = 0.95 m y h = 1.00 m 
 
 
 
3.5.) Determine las dimensiones de la zapata de la figura para las condiciones indicadas: 
 1º) Existe un muro vecino al pilar izquierdo. 5m 1.15m 
 2º) DL1= 130 ton, LL1= 110 ton 
 DL2= 60 ton, LL2= 50 ton 
50cm
 
30cm
 
 3º) adm(suelo)= 3 kgf/cm
3
 
 4º) Ambos pilares son cuadrados. 
 
 Desarrollo : 
 1º) Determinación de xr : 
 x = 110*6/R = 110*6/(240+110) = 1.886 m 
 xr = x+0.5/2 = 1.886+0.25 = 2.136 m 
 
 2º) Determinación de A : 
 adm P/A 
 A P/ adm = (240+110)/30 
 A 11.67 m
2
 
 
 3º) Determinación de B1 y B2 : 
 B1 = 2*A/L*(3*xr/L-1) = 2*11.67/6.4*(3*2.136/6.4-1) = 0.0046 0 
 B2 = 2*A/L-B1 = 2*11.67/6.4-0 = 3.65 m 
 asumimos B1 = 0.5 m 
 
 
 
 
3.6.) Para la fundación combinada de la figura se pide: R=170 ton 
 a) Dimensionar la fundación : B, L 60 ton 110 ton 
 b) Diagrama de corte. 3.24m 
 c) Diagrama de momento. 
30cm
 
50cm
 
 qadm = 2.5 kgf/cm
2
 
 Nota: h es tal que la fundación es rígida. 
h
 
 5m 
 Desarrollo : 
 
 1º) Determinación de L : 
 R*
x
= 110*5 R = 170 ton 
 
x
= 3.24 m 
 Para que R actúe en el centro de gravedad de la zapata : 
 L = (3.24+0.15)*2 = 6.77 m 
 
 2º) Determinación de B : 
 R/A qadm 
 170/(B*L) 25 t/m
2
 170/(25*L) B 
 B 1.0 m se adopta este valor 
 
 La viga queda sometida a las siguientes solicitaciones. 
 
q = 25 t/m
60/0.3=200 t/m 110/0. 5=220 t/m
6.77m
0 0.3 4.9 5.4 6.77
x
 
 
 
 
 
 Diagrama de corte : 
 
62.5
34.25
52.5
Q(x) 0 -5.25 62.5 -35
 
 x 0 0.3 4.9 5.4
 
 
 Q(x) = q1(x)-q2(x) (0 < x < 0.3 ) 
 Q(x) = 52.5-25*x ( 0.3 < x < 4.9 ) 
 Q(x) = 62.5-(220-25)*0.5 ( 4.9 < x < 5.4 ) 
 Q(x) = 40-25*x ( 5.4 < x < 6.77 ) 
 
 Diagrama de momento : 
 0 < x < 0.3 
 M(x) = -(200-25)x
2
/2 = -175*x
2
/2 x M(x) 
 0.1 0.875 
 0.2 3.50 
 0.3 7.90 
 0.3 < x < 4.9 
 M(x) = -200*0.3*(x-0.15)+25*x
2
/2 
 
 x 0.3 0.5 1 2 3 4 4.9 
 M(x) -7.875 -17.875 -38.5 -61 -58.5 -31 15.185 
 
 Partiendo por el otro extremo: 
 0 < x1 < (6.77-5.4)=1.37 
 M(x1) = 25*x
2
/2 
 
 x1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.37 
 M(x1) 0.5 2 4.5 8 12.5 18 23.5 
 0.37 < x1 < 1.87 
 M(x1)=23.5-(220-25)*x1
2
/2 = 23.5-97.5*x
2
 (0 < x <0.5) 
 
 
Mmáx= - 65 t*m
Mmáx= 23.5 t*m
+
-
 
 
 
 
 
3.7.) Para la fundación combinada (fundación ligada) de la figura se pide: 
 
2.5m0.4
0.6
0.4
0.4
0.6m 4.0m 1.6m
me
dia
ne
ro
5ton 15ton
20t*m10t*m
54ton 90ton
0.6m1.5m
2.0m
6.2m
Datos del suelo:
 = 20
 c = 0
 = 1.7 t/m
Materiales:
 Hormigón H25 f‟c=250 kgf/cm
 Acero A44-28H fy=2400 kgf/cm 
columna A columna B
3
2
2
 
 a) Determinar el factor de seguridad por capacidad de soporte de la fundación. 
 b) Diseñar la zapata a flexión (No se pide armarla al corte) y dibujar un esquema claro 
 de las armaduras a colocar por flexión. 
 Nota: - Cargas verticales son debidas a carga muerta (D). 
 - Momento y fuerzas horizontales son debido a sismo (E). 
 - Diseñar la fundación para el estado de carga U=1.05D+1.4E. 
 - Recubrimiento de armaduras 5 cm. 
 - No considerar peso propio de fundaciones. 
 Desarrollo: 
 a) 
 
R1*X1=90*4+42.5+17.5 = 420
R1=144 ton
X1= 2.92 m
R2*X2=90*4-42.5-17.5 = 300
R2=144 ton
X2= 2.92 m
54
54
90
90
17.5
17.5 42.5
42.5
R1
R2
X1
X2
144ton
144ton
60t*m
60t*m
20ton
20ton
3.10 3.10
4.0
 
 Ecuación de Hansen:(para este caso) 
 qult = qNqSqdqiq+0.5 BN S d i 
 
 reemplazar B por B‟ = B-2e e=M/V=60/144=0.417 m 
 B‟=6.2-2*0.417 = 5.37 m 
 q = *D = 1.7*2.0 = 3.4 t/m
2
 , L = L‟ = 2.5 m 
 = 20
o
 Nc = 14.83 Nq = 6.4 N = 2.9 
 Nq/Nc = 0.43 2*tg *(1-sen )
2
 = 0.315 
 
 Factores de forma: 
 Sq = 1+(B‟/L‟)*tg = 1+(5.37/2.5)*tg20 = 1.78 
 S = 1-0.4*B‟/L‟ = 1-0.4*5.37/2.5 = 0.141 
 Factores de profundidad: 
 dq = 1+2*tg *(1-sen )
2
*D/B = 1+0.315*2.0/6.2= 1.102 
 d = 1 
 Factores de inclinación: 
 iq = (1-0.5H/(V+Af*c*cotg ))
5
 
 c = 0 iq = (1-0.5H/V)
5
 = (1-0.5*20/144)
5
 = 0.698 
 i = (1-0.7H/(V+Af*c*cotg ))
5
 = (1-0.7*20/144)
5
 = 0.60 
 Luego 
 qult = 3.4*6.4*1.78*1.102*0.698+0.5*1.7*5.37*2.9*0.141*1*0.6 
 = 29.79+1.12 = 30.91 t/m
2
 
 
 Vult = qult*A‟ = qult*B‟*L‟ = 30.91*5.37*2.5 = 414.97 ton 
 F.S. = Vult/V = 414.97/144 = 2.88 
 
 luego el factor de seguridad por capacidad de soporte es 2.88 
 
 b) Diseño de la armadura 
 b.1.Estado de carga: 
 Columna AColumna B 
 1.05*54 = 56.7 ton 1.05*90 = 94.5 ton 
 1.40*10 = 14 t*m 1.40*20 = 28 t*m 
 1.40*5 = 7.0 ton 1.40*15 = 21 ton 
 R1*X1= 94.5*4+28+21*1.5+14+7*1.5 = 462 
 X1 = 462/(56.7+94.5) = 3.06 m 
 e1 = (94.5*1.5-56.7*2.5+24.5+59.5)/(56.7+94.5) = 0.56 m 
 
 R2*X2= 94.5*4-28-21*1.5-14-7*1.5 = 294 
 X2 = 294/(56.7+94.5) = 1.94 m 
 e2 = 0.56 m 
 
 
 
 
 b.2.Presión en el suelo: 
 
 
151.2 ton
84.67 t*m
28 ton
M=151.2*0.56 = 84.67 t*m
q = R/LB*(1±6e/L)
e= 84.67/151.2= 0.56 < L/6
 trapecio
 
 
 
 qmáx = 151.2/(6.2*2.5)*(1+6*0.56/6.2) = 15.04 t/m
2
 
 qmín = 151.2/(6.2*2.5)*(1-6*0.56/6.2) = 4.47 t/m
2
 
 
 b.3. Datos del hormigón y el acero: 
 
 Factores de reducción de la capacidad : = 0.90 (flexión) , = 0.85 (corte) 
 f‟c= 250 kgf/cm2 fy= 2800 kgf/cm2 
 máx = 0.75 b b = 0.85 1f‟c/fy*6000/(6000+fy) 
 = 0.85*0.85*250/2800*6000/8800 
 b = 0.04398 
 máx = 0.03299 
 mín = 14.4/2800 = 0.005 contracción = 0.002 
 
 b.4. Lecho inferior: 
 
 d = 0.06Abfy/ f‟c = 0.06*2800*Ab/(250)0.5 = 10.63*Ab 
 dmín 0.006fydb = 0.026*2800*db = 16.8*db 
 
 Lecho superior: 
 d = 1.4*10.63Ab = 14.88*Ab 
 dmín 1.4*16.8*db = 23.52*db 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b.5. Diagrama de momentos: 
 Sismo izquierda a derecha 
 
2.5m
a
a b c
c
d
d
e
eb
0.6m 1.6m4.0m
1.05m
0.4 0.4 0.6 1.33.5
24.5t*m 59.5t*m
141.75t 236.25t
MA=14+7*1.5=24.5 t*m
qA=56.7/0.4=141.75 t/m
MB=28+21*1.5=59.5 t*m
qB=94.5/0.6=236.25 t/m
(37.6-11.18)/6.2=Y/X
 Y=4.26*X
q= 11.18+4.26*X
37.6
11.18
32.0529.5
14.59
12.88
15.04*2.5=37.6 t/m
x
 
 
 0.8 x 4.30 
 
 M(x) = 24.5-56.7*(x-0.6)+11.18*x
2
/2+4.26*x
3
/6 
 = 0.71*x
3
+5.59*x
2
-56.7*x+58.52 
 dM(x)/dx = 2.13*x
2
+11.18*x-56.7 = 0 
 
 x= (-11.18 (11.18
2
+4*2.13*56.7)
0.5
)/4.26 = (-11.18 24.66)/4.26 
 x1 = 3.164 m y x2 = (-) 
 
 M(x=3.164) = 24.5-145.38+55.96+22.49 = -42.43 t*m 
 Mc-c = -42.43 t*m 
 Ma-a = 11.18*0.4*0.2+0.34*0.4/3 = 0.94 t*m 
 Mb-b = 11.18*0.8*0.4+3.41*0.8*0.8/6+24.5-56.7*0.2 
 = 3.58+0.364+24.5-11.34 = 17.1 t*m 
 Md-d = 29.5*1.9*1.9/2-59.5-94.5*0.3 
 = 53.25-59.5-28.35= -34.6 t*m 
 Me-e = 5.55*1.3*1.3/3+32.05*1.3*0.65= 30.21 t*m 
 
 
+
+
_
42.43
 t*m
34.6t*m
30.21
 t*m
17.1t*m
0.94
 t*m
 
 
 Sismo derecha a izquierda: 
 
 
a b c d e
0.4 0.4 0.6 1.33.5
24.5t*m 59.5t*m
141.75t 236.25t
(37.6-11.18)/6.2=Y/X
 Y=4.26*X
q= 11.18+4.26*X
37.6
11.18
35.89
34.18
19.27 16.72
x
 
 
 Ma-a = 35.89*0.4*0.2+0.71*0.4*0.4*2/3 = 2.87+0.18 = 3.05 t*m 
 Mb-b = 34.18*0.8*0.4+3.41*0.8*0.8*2/3-24.5-56.7*0.2 = -23.44 t*m 
 Md-d = 29.5*1.9*1.9/2+8.09*1.9*1.9/6 = 25.05 t*m 
 Me-e = 11.18*1.3*1.3/3+5.54*1.3*1.3/6 = 11.00 t*m 
 Mc-c = -24.5-56.7*(x-0.6)+(11.18+4.26*x)*x
2
/2+(26.42-4.26*x)*x
2
*2/3 
 = -24.5-56.7*x+34.02+5.59*x
2
+2.13*x
3
+17.61*x
2
-2.84*x
3
 
 = -0.71*x
3
+23.2*x
2
-56.7*x+9.52 
 dM(x)/dx = -2.13*x
2
+46.4*x-56.7 =0 
 x = (-46.4 (46.4
2
-4*2.13*56.7))/-4.26 = (-46.4 40.86)/-4.26 
 x1 = 1.3 m y x2 = 20.5 m (NO) 
 
 Mc-c = -0.71*1.3
3
+23.2*1.3
2
-56.7*1.3+9.52 = -26.54 t*m 
 
 Por lo tanto los momentos de diseño son: 
 Ma-a = 3.05 t*m 
 Mb-b = -23.44 t*m y 17.10 t*m 
 M(b-d) = -42.43 t*m 
 Md-d = 34.6 t*m y 25.05 t*m 
 Me-e = 30.21 t*m 
 
 
 
 
 b.6. Armadura a flexión 
 - Armadura longitudinal: 
 i) Barras del lecho superior entre b y d 
 Mu = -42.43 t*m 
 Mu/( f‟cbd2) = 42430/(0.9*250*2.5*552) = 0.0244 = 0.025 
 = f‟c/fy = 0.00223 < máx 
 < mín poner mín = 1.33 = 0.002966 > contracción 
 As = bd = 40.78 cm
2
 
 N
o
 de barras de 16 = 40.78/2.01 = 20.29 20 barras 
 Espaciamiento = (250-10)/19 = 12.6 a 12 cm 
 Luego 16 @ 12 ( 20 barra 16 ) 
 
 ii) Mu= -34.6 t*m (d-d) (barras lecho superior) 
 = 34600/(0.9*250*2.5*55
2
) =0.0203 = 0.02 
 = 0.001786 < máx 
 < mín poner mín = 1.33 = 0.002375 > contracción 
 As = bd = 32.7 cm
2
 
 N
o
 de barras de 16 = 32.7/2.01 = 16.26 17 barras 
 
 iii) Mu= -23.44 t*m (b-b) (barras lecho superior) 
 = 23440/(0.9*250*2.5*55
2
) =0.0138 = 0.014 
 = 0.00125 < máx 
 < mín mín = 1.33 = 0.00166 < contracción 
 poner contracción As = 27.5 cm
2
 
 N
o
 de barras de 16 = 27.5/2.01 = 13.68 14 barras 
 
 Barras en lecho inferior 
 
 i) en e-e Mu = 30.21 t*m 
 Mu/( f‟cbd2) = 30210/(0.9*250*2.5*552) = 0.01775 = 0.018 
 = 0.0016 < máx 
 < mín poner mín = 1.33 = 0.002128 > contracción 
 As = bd = 29.26 cm
2
 
 N
o
 de barras de 16 = 29.26/2.01 = 14.56 15 barras 
 
 ii) en d-d Mu = 25.05 t*m 
 Mu/( f‟cbd2) = 25050/(0.9*250*2.5*552) = 0.0147 = 0.015 
 = 0.00134 < máx 
 < mín poner mín = 1.33 = 0.00178 < contracción 
 colocar contracción = 0.002 As = 27.5 cm
2
 
 N
o
 de barras de 16 = 14 barras 
 
 iii) en b-b y a-a colocar contracción14 barras 16 
 
 Colocación de barras longitudinales 
 
 
 
1 barras 16
20 barras 16
15 barras 16
17 barras 1614 barras 16
14 barras 16
14 barras 16
14 barras 16
3 barras 16
3 barras 16
Detalle de F‟
Detalle de F
F‟
F
 
 
 - Armadura transversal 
 Mu = ((qmáx+qmín)/2)*6.2*1.05*1.05/2 
 = (15.04+4.47)*0.5*6.2*1.05
2
*0.5= 33.34 t*m 
 
 Este momento total se debe tomar con un ancho 
 
 b = 2*B = 2*250=500cm = 5 m 
 Mu/( f‟cbd2) = 33340/(0.9*250*2.5*502) = 0.01185 = 0.012 
 = 0.00107 < máx 
 < mín mín = 1.33 = 0.00142 < contracción 
 colocar contracción = 0.002 
 As(bajo columnas) = 0.002*2*B*50 = 50 cm
2
 
 
 en columna izquierda : Pizq*As/Pt = 56.7*50/151.2 = 18.75 cm
2
 10 16 
 en columna izquierda : Pder*As/Pt = 94.5*50/151.2 = 31.25 cm
2
 16 16 
 
 En la zona central tomar Mu = 20% Mu longitudinal 
 = 0.20*42.43 = 8.49 t*m 
 
 mín = 0.002 As = 0.002*50*(6.2-5) = 12 cm
2
 (6 16) 
 
 
 
 
 
 
 Distribución de la armadura transversal 
 
 
10 16
2.5m 2.5m1.2m
16 166 16
16 @2516 @25 16 @15
 
 
 
 
 
 
3.8.) Una estructura industrial se cimenta en un emparrillado indicado en la figura, en la que 
se indican las cargas de las cuatro columnas, se pide: 
 a) Calcular las presiones sobre el terreno (sin contar las debidas al peso del propio del 
cimiento), suponiendo que las vigas de cimentación son rígidas y la estructura también. 
 b) Armar la viga de cimentación del eje  . 
 Considerar hormigón H25, acero A44-28H. 
 Factor de amplificación de las cargas considerar igual a 1.0. 
 Recubrimiento 5 cm. 
 
 
65ton
65ton100ton
100ton
6 m
6 m
1 m
1 m


A B
Nota:Todas las columnas son
de 50*50 cm.
 En la parte b) se pide sólo
armar a flexión para el momento
máximo que existe. Considerar
altura total igual a 6 cm.
 Despreciar pequeños volados
en dicha viga de cimentación.
 
 
 
 
 
 
 
 Desarrollo: 
 
65ton
65ton100ton
100ton
6 m
6 m
1 m
1 m
1 2
3 4
Y
X
 
 Condición: 
 N1X+N1Y = 65 ton 1X = 1Y 
 N2X+N2Y = 100 ton 2X = 2Y 
 N3X+N3Y = 100 ton 3X = 3Y 
 N4X+N4Y = 65 ton 4X = 4Y 
 Por simetría : 
 1X = 4X N1X = N4X 
 1Y = 4Y N1Y = N4Y 
 2X = 3X N2X = N3X 
 2Y = 3Y N2Y = N3Y 
 En la viga 1-2 
 eX R1-2 
 XG1-2 = 6N2X/(N1X+N2X) = 3.64 N1X N2X 
 ex = XG1-2 -3 = 0.64 
 6.0m 
 ex = 6N2X/(N1X+N2X) -3 XG1-2 
 = 3(N2X-N1X)/(N1X+N2X) 
 
 Con luz L y ancho b, las tensiones , vienen dadas por: 
 Xi 
 Xi = NiX/BL 1+12e/L
2
(xi-L/2) 
 
 Xi 1X = ((N1X+N2X)/6)*(1-6e/L) L=6 m 
 = ((N1X+N2X)/6)*(1-ex) 
 
L
 
 1-ex = 1-3(N2X-N1X)/(N1X+N2X) 
 = (4N1X-2N2X)/(N1X+N2X) 
 
 1X = (4N1X-2N2X)/6 1X = 0.67N1X-0.33N2X (1) 
 
 2X = ((N1X+N2X)/6)* 1+12e/L
2
(L-L/2) = ((N1X+N2X)/6)*(1+ex) 
 1+ex = 1+3(N2X-N1X)/(N1X+N2X) 
 = (4N2X-2N1X)/(N1X+N2X) 
 2X = (4N2X-2N1X)/6 2X = 0.67N2X-0.33N1X (2) 
 En la viga 1-3 
 eY R1-3 
 YG1-2 = 6N3Y/(N1Y+N3Y) = 3.64 N1Y N3Y 
 ey = YG1-3-3 = 0.64 
 6.0m 
 ey = 6N3Y/(N1Y+N3Y)-3 YG1-3 
 = 3(N3Y-N1Y)/(N1Y+N3Y) 
 
 por simetría: N3Y = N2Y 
 ey = 3(N2Y-N1Y)/(N1Y+N2Y) 
 
 1Y = ((N1Y+N2Y)/6)* 1+12e/L
2
(-L/2) = ((N1Y+N2Y)/6)*(1-6e/L) 
 = ((N1Y+N2Y)/6)*(1-ey) 
 1-ey = 1-3(N2Y-N1Y)/(N1Y+N2Y) 
 = (4N1Y-2N2Y)/(N1Y+N2Y) 
 
 1Y = (4N1Y-2N2Y)/6 1Y = 0.67N1Y-0.33N2Y (3) 
 
 2Y = ((N1Y+N2Y)/6)* 1+12e/L
2
(L-L/2) = ((N1Y+N2Y)/6)*(1+ey) 
 1+ey = 1+3(N2Y-N1Y)/(N1Y+N2Y) 
 = (4N2Y-2N1Y)/(N1Y+N2Y) 
 2Y = (4N2Y-2N1Y)/6 2Y = 3Y = 0.67N2Y-0.33N1Y (4) 
 
 1X = 1Y 0.67N1X-0.33N2X = 0.67N1Y-0.33N2Y 
 2X = 2Y 0.67N2X-0.33N1X = 0.67N2Y-0.33N1Y 
 N1X+N1Y = 65 
 N2X+N2Y = 100 
 N1X = 32.5 ton N2X = 50 ton 
 N1Y = 32.5 ton N2Y = 50 ton 
 1X = 1Y = 5.28 t/m
2
 2X = 2Y = 22.78 t/m
2
 
 Luego: 
 1 = 4 = 5.28 t/m
2
 2 = 3 = 22.78 t/m
2
 
 
 Por simetría la tensión bajo la columna 4 es igual a la de la columna 1 y la de 
 la columna 3 es igual a la de la 2. 
 
 35.2ton M(z) 50ton (de acuerdo a simplificaciones del 
 V enunciado del problema) 
 VIGA 1-2 EJE1 0.60m 
 
 6.0m 
 5.28 t/m Z 22.78 t/m (22.78-5.28)/6=y/z 
 y=2.92z 
 z Z = 2.92z+5.28 
 
 M(z) = 5.28*z
2
/2+0.5*2.92*z
3
/3-32.5*z = 2.64*z
2
+0.49*z
3
-32.5*z 
 dM(z)/dz = 5.28*x+1.47*z
2
-32.5 = 0 
 
 z = (-5.28 (5.28
2
+4*1.47*32.5)
1/2
)/(2*1.47) = (-5.28 14.8)/2.94z = 3.24 m 
 Mmáx = 2.64*3.24
2
+0.49*3.24
3
-32.5*3.24 
 = 27.71+16.67-105.3 = -60.92 t*m 
 
 f‟c = 250 kgf/cm2 fy = 2800 kgf/cm2 f = 1.0 (amplif.carga) 
 d = 60-5 = 55 cm Mu = -60.92 t*m 
 
 Mu/( f‟cbd2) = 60920/(0.9*250*1.0*552) = 0.0895 = 0.095 
 = f‟c/fy = 0.095*250/2800=0.00848 > mín 
 mín = 14.1/fy = 0.005 
 máx = 0.75 b b = 0.85 (f‟c/fy)(6000/(6000+fy)) 
 = 0.85
2
*(250/2800)*6000/8800 
 b = 0.044 máx = 0.033 
 < máx usar = 0.00848 = As/(bd) 
 As = 0.00848*100*55= 46.64 cm
2
 
 N
o
 de barras( 25) = 46.64/4.91 = 9.5 10 barras 
 Espaciamiento = (100-10)/9 = 10 cm 
 10 barras 25 o 25 @ 10 cm ubicadas en lecho superior. 
 
 
 
 
3.9.) Dimensione la zapata y diseñe su armadura para las condiciones señaladas. 
 qadm = 17 ton/m
2
 (suelo) ( considere zapata rectangular ) 
 f‟c = 200 kgf/cm
2
 f‟c = 4200 kgf/cm
2
 
 
 pp = 65 ton pp = 80 ton 
 sc = 40 ton sc = 50 ton 
 
 5 m 
 
 
 35 cm 40 cm 
 
 
 
 h 
 
 
 
 
 NOTAS 
 1) Determine h considerando acción de viga solamente 
 2) Considere min (A63-42) = 1.8 por mil 
 Considere max = 0.75* b 
 3) No verifique longitudes de desarrollo, de traslapo, ni anclaje. 
 
 Desarrollo: 
 1
o
) Dimensionamiento (L,B,h) 
 - Determinación de L 
 Condición:el c.g. del área en contacto (B*L) coincide con la posición de la resultante. 
 
 Ma fuerzas no mayoradas = 0 
 R*x = (80+50)*5 y R = (65+40)+(80+50) 
 luego 
 x = 2.77 m  L =(35/2+277)*2 = 589 cm 
 L = 590 cm 
 
 x 
 
 
 
 cg B L = 2*xR 
 
 
 
 xR 
 
 L 
 
 - Determinación de B 
 Condición: no se puede superar qadm del suelo 
 
 c qadm 
 (65+40)+(80+50)/(B*L) 17 ton/m
2
 235 ton/(B*5.9 m
2
) 17 ton/m
2
 
 
 luego B 2.34 m entonces B = 235 cm 
 
 - Determinación de h 
 Condición: usar cargas mayoradas y determinar diagrama de corte para diferentes 
 secciones críticas. 
 
qusd
14 65 80 17 40 50
2 35 590
. *( ) . *( )
. * .
 ton/m
2
 
 = 25.68 ton/m
2
 
 
 
 Diagrama de corte: 
 V1 = 1.4*65+1.7*40 = 159 ton 
 V2 = 1.4*80+1.7*50 = 197 ton 
 q = 25.68 ton/m
2
*2.35m =60.35 ton/m 
 
 159 ton 197 ton 
 
 
 60.35 t/m 
 
 x x` x‟‟ 
 
 
 153 ton 
 10.6 ton (+) 
 
 4.4 ton 
 148 ton (-) 
 
 Q(x=0.175) = 10.56 y (-148) 
 Q(x=5.175) = 10.56-159+60.35*5 
 = 153.3 y (-43.7) 
 Q(x=5.9) = 153.3-197+60.35*0.725 
 = 0.065 0 O.K. 
 
 Por simple inspección se puede considerar una sección crítica a la izquierda del pilar 
 derecho ( a “d” metros ) 
 
 Q(x‟) = 153-(153+148)*x‟/5 = 153-60.2*x‟ 
 Sección crítica: 
 x‟=0.4/2+d = 0.2+d 
 
 Vu = Q(x‟)/B*d =(153-60.2*(0.2+d))/(2.35*d) 
 Vn = 0.53* f‟c = 63.7 ton/m
2
 
 Vu = Vn 209.9*d 140.96 
 d 0.67 m d = 67 cm 
 
 Verificación de la sección crítica derecha del pilar izquierdo. 
 
 x‟ = 5-0.35/2-0.67 = 4.16 m 
 Q(x‟= 4.16) = -97 ton 
 Q(x‟= 0.87) = 100.6 ton 
 100.6 97 
 es correcto la sección crítica tomarla a la izquierda del pilar derecho, 
 luego: h= 75 cm 
 - Determinación de la armadura. 
 Hay que determinar la armadura superior , inferior y transversal. 
 
 Diagrama de momentos: 
 M(x) = 0.5*60.44*x
2
 (x 0.175 m) 
 M(x) = 0.5*60.44*x
2
-159*(x-0.175) (x 5.175 m) 
 M(x) = 0.5*60.44*(x‟‟)2 
 
 x (m) M(x) (t*m) 
 0.175 0.926 ¡Para que el diagrama de momentos cierre 
 0.50 -44.12 hay que trabajar con las dimensiones exactas! 
 1 -101.0 
 1.5 -142.7 
 2 -169.3 
 2.5 -180.8 
 3 -177.2 
 3.5 -158.5 
 4 -124.7 
 4.5 - 75.7 
 5.175 15.65 M
+
max = 15.7 t*m 
 5.5 4.8 M
-
max = 181 t*m 
 
 
 Momento para calcular la armadura transversal 
 35 100 
 Asmin=1.8/1000*100*67 
 = 12.1 cm
2
/m 
 h = 75 cm B=2.35 m 
 d = 67 cm 
 q=qusd*1m 
 25.68 t/m 
 
 M = 0.5*25.68t/m*1.0
2
m = 12.84 t*m 
 Ru =31.8 t/m
2
 = 0.76*10
-3
 
 min 
 
 - Cálculo de la armadura longitudinal. 
 Asmin = (1.8/1000)*B*d = (1.8/1000)*235*67 
 Asmin = 28.3 cm
2
 
 a) Armadura inferior 
 M(x=4.65+0.35)= -10.4 baja mucho 
 tomemos M
+
 = 15.65 t*m Ru=16.48 t/m
2
 
 = 0.039*10
-2Asmin=6.21 cm
2
 
 usar Asmin 28.3 cm
2
 
 max = 0.075 b b=(0.85*0.85*200/4200)*(6000/(6000+4200)) 
 b=2.023*10
-2
 
 max = 1.52*10
-2
 
 
 b) Armadura superior 
 M
-
 =181 t*m Ru = 190.6 t/m
2
 
 = 0.483*10
-2
 
 As = 76 cm
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IV 
VIGA EN MEDIO ELASTICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.1.) Para la viga de la figura, determinar, la elástica, el momento flector y el corte para 
x = 1.0 m y x = 5.0 m. Los pernos inducen un momento de 30 t*m. 
 
y
pernos de anclaje
L
x
L = 5 m
K = 15 kgf/cm
E = 3*10 kgf/cm
h = 0.3 m
b = 0.25 m
3
2
 
 Desarrollo : 
 = 
K b
E I
*
* *4
4
 = 
3
3
4
*
*
K
E h
 L > viga infinita 
 = 
3 15000
3 10 0 36 3
4
*
* * .
 = 0.863 1/m 
 L*0.863 > L > 3.6 m 
 sea L = 5 m (para tener viga muy flexible) L = 4.32 > 
 
 Los pernos de anclaje significan un momento aplicado de 30 t*m 
 1º) Modelo : 
 
= +
M1
M1
R
Ry
+
A
 
 2º) Determinación de R : 
 y = (-2M1
2
/k)*C X + (2R /k)*D X 
 y(x=0)= 0 C 0 = 1 , D 0 = 1 
 R = M1 = 25.89 ton 
 3º) Determinación de y(x), Q(x) y M(x). 
 
 y(x) = -(2M1
2
/k)*C X + (2(M1 ) /k)*D X = (2M1
2
/k)*(D X-C X) 
 = (2M1
2
/k)*B X k = K*B = 3750 
 
 Q(x) = -2M1 B X-RC X = -2M1 B X-M1 C X = -M1 *(B X+C X) 
 Q(x) = -M1 A X 
 
 M(x) = M1 A X-R/ B X = M1 A X-(M1 / )B X = M1(A X-B X) 
 M(x) = M1D X 
 
 4º) Resultados numéricos : 
 y(x) = (2*30*0.863
2
/3750)*B X = 11.92* B X (mm) 
 Q(x) = -30*0.863*A X = -25.89*A X (ton) 
 M(x) = 30* D X (t*m) 
 x y(x) Q(x) M(x) 
 
m
 
mm
 
ton
 
t*m
 
 0.5 3.24 -22.31 17.7 
 1.0 3.82 -15.40 8.2 
 1.5 -8.76 2.2 
 2.0 -3.84 -0.825 
 2.5 -0.84 -1.92 
 3.0 -0.63 -1.92 
 3.5 1.10 -1.45 
 4.0 1.03 -0.91 
 4.5 -0.17 -0.75 -0.46 
 5.0 -0.15 0.45 -0.16 
 
 
 
 
4.2.) Para la zapata corrida de la figura (ancho= 1 m) se pide: 
 Usando tablas Hahn 
 a) Calcular las presiones transmitidas al terreno en los puntos A, B y C. 
 b) Calcular asentamiento en A, B y C. 
 c) Diagrama de momento para armar la viga. 100 ton 
 
 K = 5000 t/m
3
 1.2 m 
 E = 2*10
6
 t/m
2
 (hormigón) A B C 
 2 2 2 2 
 Desarrollo: 
 Determinación de la rigidez relativa de la viga. 
 Para una viga de sección rectangular se tiene: 
 = 
3
3
4
*
*
K
E h
 = (3*5000/(2*10
6
*1.2
3
))
1/4
 = 0.26 (0.257) 
 L = 2.05 /4 < L < viga de longitud intermedia 
 (Hahn, Tabla 7) 
 po = p*P/(b*) Mo = M*P* /100 
 P 
 xi / =0.5 xi 
 
 A B C 
 Pto. xo xo/ p M 
 A 0 0.0 0.74 0 
 B 2 0.25 1.02 2.73 
 C 4 0.5 1.18 11.51 
 
 po(A) = 0.74*100/(1*8) = 9.25 t/m
2
 
 po(B) = 1.02*100/8 = 12.75 t/m
2
 
 po(C) = 1.18*100/8 = 14.75 t/m
2
 
 b) q = K*y = K* A = po(A)/K = (9.25/5000)*100 = 0.19 cm 
 
 A = 1.9 mm , B = 2.6 mm , C = 3 mm. 
 
 c) Diagrama de momento (M(x)= M*P*) 
 
 xo/ 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 
 M 0.39 1.63 3.83 7.1 11.51 
 M(x) 3.12 13.04 30.64 56.80 92.08 
 
 
P
(+)
M(x)
 
 
 
 
 
 
4.3.) Para la viga en medio elástico de la figura, determinar : 
 a) la elástica. 
 b) el diagrama de momento. 
 
 
M
A
A
corte A-A
1 m
0.25m
2.5 m 2.5 m
M = 3 t*m
K = 5000 t/m
E = 100000 kgf/cm
 = 10 t/m
2
2
3
6
 
 Desarrollo : 
 Para una viga de sección rectangular : 
 = 
3
3
4
*
*
K
E h
 = (3*5000/(10
6
*0.25
3
))
1/4
 = 0.99 
 L = 4.95 > viga larga 
 
 a) Elástica : 
 y = (Mo
2
/K)*B X 
 en que : 
 Mo = 3 t*m 
2
 = 0.98 K = 5000 t/m
3
 
 y = 0.588*B X (mm) 
 M = 1.5*D X (t*m) 
 
 x x F2 y F4 
 (m) B X (mm) D X 
 0 0 0.0000 0 1.0000 
 0.3 0.297 0.2175 0.13 0.7105 
 0.6 0.594 0.3090 0.18 0.4575 
 0.9 0.891 0.3190 0.19 0.2579 
 1.2 1.188 0.2828 0.17 0.1139 
 1.5 1.485 0.2257 0.13 0.0194 
 1.8 1.782 0.1646 0.10 -0.0353 
 2.1 2.079 0.1093 0.06 -0.0609 
 2.5 2.475 0.0520 0.03 -0.0661 
 
 x 0 0.3 0.9 1.5 2.1 2.5 
 M 1.5 1.07 0.69 0.39 0.17 0.02 -0.05 -0.09 -0.07 
 
 
 
4.4.) Determinar el diagrama de momento y de corte para un pilote de acero sometido a 
 un momento M = 5 t*m 
 
Suelo granular, compactoK = Kx = 7 kgf/cm
 constante
3
A A
M
40
cm
32
cm
3 cm
L = 6 m
corte A-A
 
 Desarrollo : 
 = 
k
E I4
4
* *
 = 
K b
E I
*
* *4
4
 
 en que : 
 I = 0.4*0.4
3
/12-0.32*0.32
3
/12 = 0.00126 
 = (7000*0.4/(4*2.1*10
7
*0.00126))
1/4
 = 0.4033 1/m 
 L = 0.4033*6 = 2.42 
 1º) La rigidez relativa indica que es una viga de longitud intermedia. 
 
 /4 < L < 
 
 2º) Modelación : 
 
M
R
+=
M
M0A M0B
R‟
P0A P0B
 
 3º) Determinación de R en la viga infinita; aplicando la condición de borde: 
 y(x=L)=0. 
 
 y(x=L) = (-M
2
/k)*B X - (R‟ /2k)*1 = 0 
 (-5*0.4033
2/(7000*0.4))*B(2.42) = (R‟*0.4033/(2*7000*0.4))*1000 
 - 0.017 = R‟*0.072 
 R‟ = -0.236 ton 
 El signo (-) indica que R‟ va hacia abajo, luego la viga infinita queda. 
 0.24 ton 
 5 t*m 
 
 
 ¡ muy largo!..... 
 
 Nota: 
 1. Lo que ocurre en un extremo influye en toda la viga. 
 2. Use fórmulas para viga infinita. 
 3. Determinar así el corte y el momento en los extremos de la viga. 
 4. Superponer en la viga cargada, cargas P0A, P0B, M0A y M0B en los extremos, 
 se resuelve la viga finita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.5.) Resolución de un canal semi-enterrado. 
 
situación favorable
situación crítica
e=0.2m
TIP
5.5 m
3 m
0.2m
K = 5.5 kgf/cm
E = 300000 kgf/cm
3
2
 
 Se pide : 
 a) Diagrama de presiones en el suelo. 
 b) Diagrama de momento. 
 
 Desarrollo: 
 La viga a resolver es la siguiente.(no se considera el efecto de enterramiento) 
 
P P
M
M
q= 3 t/m
P= 2.4*3*0.2*1 = 1.44 ton
M=3*3*1*1/2 = 4.5 t*m
b = 1 m
q = 3.5 t/m
 
 = 
3
3
4
*
*
K
E h
 = (3*5500/(3*10
6
*0.2
3
))
1/4
 = 0.911 1/m 
 L = 0.911*5.5 = 5.0 > se comporta como viga larga. 
 - para las cargas en los extremos usamos las fórmulas para vigas semi-infinitas. 
 - para la carga que solo se produce asentamiento pues está uniformemente repartida 
 a lo largo de la viga. 
 
 y = (2P1 /k)*D X P1=1.44 ton 
 
 M = (-P1/ )*B X 
 
 y = (2M1
2
/k)*C X M1=4.5 t*m 
 
 M = -M1*A X 
 
 y = (2*1.44*0.911/(5500*1))*D X+(2*4.5*0.911
2
/(5500*1))*C X 
 = 0.477* D X+1.358*C X (mm) 
 
 M = (-1.44/0.911)* B X-4.5*A X = -(1.581*B X+4.5*A X) (t*m) 
 
 y(q=3.5 t/m
2
)=q/K = 3.5/5.5 = 0.64 mm 
 x x D X C X y B X A X M 
 1000 1000 mm 1000 1000 t*m 
 0 0 1000 1000 1.835 0 1000 -4.500 
 0.2 1.002 197.8 -111.6 -0.057 309.3 507.1 -2.771 
 0.4 2.004 -56.6 -178.9 -0.270 122.3 65.8 -0.489 
 0.5 2.505 -65.7 -114.2 -0.186 48.6 -17.1 0.008 
 0.6 3.006 -49.0 -55.7 -0.099 6.7 -42.3 0.180 
 0.8 4.008 -11.8 2.1 -0.003 -13.8 -25.6 0.137 
  5.011 2.0 8.3 0.012 -6.4 -4.4 0.030 
 
 Superponiendo y aplicando simetría. 
 
 y (mm) p=K*y (kgf/cm2) M (t*m) 
 1.835+0.012+0.636= 2.48 1.36 -4.500+0.030 = -4.47 
 -0.057-0.003+0.636= 0.58 0.32 -2.771+0.137 = -2.63 
 -0.270-0.099+0.636= 0.27 0.15 -0.489+0.180=-0.31 
 -0.186-0.186+0.636= 0.26 0.14 0.008+0.008=0.016 
 
 
 
ymáx 0.25 cm
pmáx = 1.4 kgf/cm
2
Mmáx = -4.47 t*m
1.1 2.2 2.75 3.3 4.4 5.5 m
(-) (-)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.6.) Para la viga de fundación del estanque elevado, determine : 
 a) Presión máxima 
 b) Asentamiento máximo. 
 
 corte A-A
estanque de 4 m
3
losa 2*0.7*0.2 m
columna = 0.3 m
 h = 5 m
0.2m
0.25m
2 m
A A
viga 
 0.25*0.2*0.3m
0.3 TIP
K = 9 kgf/cm
3
E = 200000 kgf/cm
2
 
 ¡Desprecie colaboración de la viga transversal! 
 Desarrollo : 
 = 
3
3
4
*
*
K
E h
= (3*9000/(2*10
6
*0.25
3
))
1/4
 = 0.964 1/m 
 > L = 1.928 > /4 viga de longitud intermedia 
 
 1º) Modelación : P 
 = 0.964 1/m 
 A B 
 
 Determinación de P 
 peso estanque 4.0 ton 
 peso losa =2*0.7*2*2.4= 0.672 ton 
 peso pilar =5*0.3
2
*2.4= 1.080 ton 
 P = 5.75 ton 
 
 2º) Se reemplaza por una viga infinita. 
 
5.75 tonP0A
M0A M0B
P0B
 
 3º) Determinación de P0A, M0A, P0B y M0B. 
 
 QA = (P/2)*D X = (5.75/2)*D(2.41) = -0.192 ton 
 MA = (P/4* )*C X = (5.75/3.856)*C(2.41) = -0.189 t*m 
 QB =-(P/2)*D X = 0.192 ton 
 MB = (P/4* )*C X = -0.189 t*m 
 
 C(2.41)= -0.1268 
 D(2.41)= -0.0668 0.192 0.192 
 A(2.41)= -0.0068 
 B(2.41)= 0.0600 
 1/(4* ) = 0.259 C( ) = C(1.928)= -0.1871 
 D( ) = D(1.928)= -0.0509 
 /2 = 0.482 A( ) = A(0.482)= 0.0854 
 
 -0.189+0.259*P0A+0.5M0A-48.46*10
-3
*P0B-25.45*10
-3
*M0B = 0 
 -0.192-0.5*P0A-0.482*M0A-25.45*10
-3
*P0B+41.16*10
-3
*M0B = 0 
 -0.189-48.46*10
-3
*P0A-25.45*10
-3
*M0A+0.259*P0B+0.5M0B = 0 
 0.192+25.45*10
-3
*P0A-41.16*10
-3
*M0A+0.5*P0B+0.482*M0B = 0 
 
 P0A = -1.1143 M0A = 0.893 
 P0B = -1.1143 M0B = 0.893 
 4º) Se resuelven por sustitución : 
 1.114 1.114 
 
 
 A C B 
 
 K*yc = -K*(P* /(2*k))*A X*2 
 = -9000*1.114*0.964*-0.0068/(9000*0.3)=24.34*10
-3
 t/m
20.843 0.843 
 + 
 A C B 
 K*yc = K*(Mo*
2
/(K*b))*B X*2 = 0.843*0.964
2
*0.06*2/0.3 = 331.9*10
-3
 t/m
2
 
 
 5.75 
 + 
 A C B 
 
 K*yc = K*P* /(2*k) = 5.75*0.964/(2*0.3) = 9.238 t/m
2
 
 
 pmáx = 9.6 t/m
2
 y ymáx = p/K = 9.6/9000 = 1.07 mm 
 
 Chequeo ¡ Ver tabla correspondiente del Hansen ! 
 
 
 
 
 
 
 
4.7.) Determinar el momento (MD) al centro de la viga : 
 b = 1.73 m I = 0.9*10
8
 cm
4
 
 K = 4 kgf/cm
3
 E = 210000 kgf/cm
2
 
 
 8 ton 8 ton 
 A C D B 
 
 3m 8m 
 22m 
 Desarrollo : 
 = 
K b
E I
*
* *4
4
 = (4000*1.93/(4*2.1*10
6
*0.9))
1/4
 = 0.174 1/m 
 L = 0.174*22 = 3.83 > 
 Implica que las solicitaciones en un extremo no influyen en el otro extremo. 
 El cálculo de los esfuerzos debido a las cargas interiores viga . 
 El cálculo de los esfuerzos debido a las cargas Po y Mo viga semi- . 
 
 1º) La viga que hay que resolver : 
 
+
=
M0A M0B
P0A P0B8ton 8ton
x= 0.522
8ton
3.306
8ton
x=1.914
A B
MA
MA
MB MB
QB QB
QAQA
 
 2º) Determinación de P0A, M0A, P0B y M0B : 
 -Debido a la 1ª carga de 8 ton.: 
 
 QA = (P/2)*D X = 4*D(0.522) = 2.056 
 MA = (P/(4 )*C X = 8/(4*0.174)*C(0.522) = 2.506 
 QB = -(P/2)*D X = -4*D(3.306) = 0.144 
 MB = (P/4 )*C X = 8/(4*0.174)*C(3.306) = -0.345 
 
 - Debido a la carga de 8 ton. centrada : 
 
 QA = (P/2)*D X = 4*D(1.914) = -0.200 
 MA = (P/(4 )*C X = 8/(4*0.174)*C(1.914) = -2.115 
 QB = -(P/2)*D X = -4*D(1.914) = 0.200 
 MB = (P/4 )*C X = 8/(4*0.174)*C(1.914) = -2.115 
 
 x D C A B 
 0.522 0.514 0.218 
 3.306 -0.036 -0.030 
 1.914 -0.050 -0.184 
 3.83 -0.017 -0.003 -0.031 -0.014 
 
 QA = 2.056-0.2 = 1.856 MA = 2.506-2.115 = 0.391 
 QB = 0.144+0.2 = 0.344 MB = -0.345-2.115 = -2.430 
 
 0.391+P0A/0.696+M0A/2-0.0043*P0B-0.0085*M0B = 0 
 1.856-P0A/2-M0A/11.494-0.0085*P0B-0.0027*M0B = 0 
 -2.43-0.0043*P0A-0.0085*M0A+1.437*P0B+M0B/2 = 0 
 0.344-0.0085*P0A+0.0027*M0A+P0B/2+0.087*M0B = 0 
 
 P0A = 7.594 M0A = -22.432 
 P0B = -2.457 M0B = 11.606 
 
 Como L > se podría plantear 2 sistemas de ecuaciones de 2*2; 
 
 0.391+1.437*P0A+0.5*M0A = 0 P0A = 7.697 
 1.856-0.5*P0A-0.087*M0A = 0 M0A = -22.904 
 
 -2.43+1.437*P0B+0.5*M0B = 0 P0B = -3.068 
 0.344+0.5*P0B+0.087* M0B = 0 M0B = 13.68 
 
 Se observa que las dos primeras ecuaciones dan similares pero no asi las 
 segundas. 
 3º) Superposición : 
 P0A = 7.59 M0A = -22.43 
 P0B = -2.46 M0B = 11.61 
 1.39= x 
 8 t 
 MD = (2/ )*C(1.39)= -2.3 
 D 
 
 8 t MD = 2/ = 11.494 
 + 
 
D
 
 7.59 
1.914
 
 + MD = (7.59/(4*0.174))*C(1.914) 
 D = -2.061 
 1.194 
 MD = -(22.43/2)*D(1.914)= 0.56 
 + 
 
22.43
 
D
 
 2.46 
 
1.914
 MD = -(2.46/(4*0.174))*C(1.914) 
 + = 0.688 
 
D
 
 1.914 
 11.61 MD = (11.61/2)*D(1.914)=-0.29 
 + 
 
D
 
 
 x C D 
 1.39 -0.2 0.045 
 1.914 -0.189 -0.05 
 
 MD = -2.3+11.49-2.061+0.56+0.688-0.29 = 8.09 t*m O.K. (Hahn p297) 
 
 La tabla 11 resuelve para  = 4 (  = 3.83 rad) 
 
 xi = 3 m xi/ = 3/22 = 0.136 
 xo = 11 m xo/ = 11/22 = 0.5 MD = M*P* = -2.05*8*22/100 = -3.6 
 
 xi = 11 m xi/ = 0.5 
 xo = 11 m xo/ = 0.5 MD = M*P* = 6.59*8*22/100 = 11.6 
 
 MD = 8 t*m 
 
 
 
 
 
4.8.) Determinar diagrama de momento en la viga de fundación (achurada), considerando 
peso propio de la viga de fundación es cero. 
 
c a d b
4m 20m 4m
V=1000 tV=1000 t
muro muro
rígido rígido
 no se considera
las losas como elementos
 arriostradores
E = 250000 kgf/cm
I = 0.94 m
K = 5 kgf/cm
2
 4
3
0.3m
3m
0.25m
b=1.2 m
c.g
3m
 
 
 
 Desarrollo : 
 Descomposición 
 
2
Q1
M1 M1
M1 M1
V
Q1 Q1
Q1
V
a d b
c
1
1
ba
 
 Ecuaciones de compatibilidad : 
  y1a = y2a y 1a = 2a para determinar Q1 y M1 
 
 Elemento  : 
 En el sistema , este es infinitamente rígido L < /4 
 rígido I = 1 = K b
E I
*
* *4
4
 0 1L1 0 < /4 
 
V V-Q1
Mc
M1
Q1
c c
=
L1=4 m L1=4 m
Mc= Q1*L1/2+M1
Hipótesis : no hay tracción = q/K
= + *L1/2
*L1/2
 = Mc/(K*IRR)
 
 y1a = - *L1/2 = q/K- *L1/2 
 
 q = (V-Q1)/ = (Q1*L1/2+M1)/(K*IRR) = L1*b 
 
 y1a = (V-Q1)/(L1*b*K)-((M1+Q1*L1/2)/(K*IRR)*L1/2 
 
R
 
 = L1*b = 4*1.2 m 1.2m 
 IRR = B*L1
3
/12 = 1.2*4
3
/12 = 6.4 m
4R 
 L1 
 y1a = V/(L1*b*K)-(1/(L1*b*K)+L1
2
/(4*K*IRR))*Q1-(L1/(2*K*IRR))*M1 
 K = 5000 t/m
3
 
 
 y1a = 1000/(4.8*5000)-(1/(4.8*5000)+4
2
/(4*5000*6.4))*Q1-(4/(2*5000*6.4))*M1 
 y1a = 4166*10
-5
-16.7*10
-5
*Q1-6.25*10
-5
*M1 
 
 1a = -(M1/(K*IRR)+L1/(2*K*IRR)*Q1)= - 3.13*10
-5
*M1-6.25*10
-5
*Q1 
 Elemento  : 
 2 = K b
E I
*
* *4
4
 =(5000*1.2/(4*2500000*0.94))
1/4
 = 0.16 1/m 
 2L2 = 0.16*20 = 3.2 > se puede considerar viga semi-infinita. 
 
 M1 Q1 Q1 M1 
 a = + 
 x  
 
 y2a = (2*Q1* /k)*F4( x)-(2*M1*
2
/k)*F3( x) k =6000 t/m
2
 
 y2a = 5.33*10
-5
*Q1-0.85*10
-5
*M1 
 
 2a = -(2*Q1*
2
/k)*F1( x)+(4*M1*
3
/k)*F4( x) 
 2a = -0.85*10
-5
Q1+0.21*10
-5
*M1 
 
 no se considera el efecto de las cargas M1 y Q1 del otro extremo pues producen 
 e y aproximadamente cero en el punto a. 
 Por ecuaciones de compatibilidad : 
 y1a = y2a y 1a = 2a 
 4166.7-16.7*Q1-6.25*M1 = 5.33*Q1-0.85*M1  
 -3.13*M1-6.25*Q1 = -0.85*Q1+0.27*M1  
 
  22.03*Q1+5.4*M1 = 4166.7 
 5.4*Q1+3.4*M1 = 0 
 
 Resolviendo el sistema: 
 M1 = -491.89 t*m y Q1 = 309.71 ton 
 
 309.71 309.71 
 491.84 491.84 
 a d b 
 
 20 m 
 Solo se consideran las secciones extremas y media. 
 En a) Ma = -491.89 t*m 
 En d) debido a una carga vertical: 
 Md = -(Q1/ )*F2(1.6) = -(309.71/0.16)*0.2018 = -390.62 t*m 
 debido a un momento : 
 Md = -M1*F1(1.6) =-491.89*0.1954 = -96.36 t*m 
 
 
 luego 
 
 = 
d
 + 
d
 
 
 Md = -390.62*2 Md = -2*96.36 
 = -781.24 t*m = -192.72 t*m 
 
 Md = -(781.24+192.72) = -973.96 t*m 
 Luego : 
 Diagrama de momento 
 
 
+ +
a d b
- 491.89
-(1428.56)
 [+1700
-973.96
-(4999.86)
 [-800
 
 
 Comentario: 
 Con rojo valores obtenidos si se considera la viga también infinitamente rígida. 
 Esto es por el lado de la seguridad pero es antieconómico. 
 Entre paréntesis cuadrados valores obtenidos si se consideran tirantes que unen los 
 muros (losas o vigas conectando los muros). 
 Solución: no hay giro en los puntos a y b. 
 En realidad los tirantes pueden ceder permitiendo un giro en a y b. Una solución 
 sería armar en a con 1700 t*m y con -491.89 t*m (para ponerse a cubierto). 
 Observación : 
 Si se hubiese supuesto que el elemento 2 también es infinitamente rígido implica 
que 
 todo el sistema es infinitamente rígido, luego es una zapata rígida.(Este procedimiento 
 es válido si L < /4 ) 
 
 
24 m
28 m2m 2m 2m
a d
a d
2000 ton
71.43 t/m
1000 ton
Ma
71.43 t/m
1428.56 t*m
=
 
 
 = 2000/(28*1.2) = 59.52 t/m
2
 6 kgf/cm
2
 
 Ma = -1000*2+71.43*4*4/2 = -1428.86 t*m 
 Md = -1000*12+71.43*14*7 = -4999.86 t*m 
 
 El hecho de considerar el elemento como infinitamente rígido implica que se sobre- 
 estima mucho los momentos flectores. 
 En la realidad los tirantes (losas), impiden el giro 2a = 0 
 los pilares  (los elementos ), sólo descienden verticalmente. 
 
 2a = -0.85*10
-5
*Q1+0.27*10
-5
*M1 = 0 
 
 y1a = y2a (V-Q1)/(b*K*L1) = 5.33*10
-5
*Q1-0.85*10
-5
*M1 
 resolviendo las ecuaciones : 590 ton 590 ton 
 M1 = 1730 t*m 
 Q1 = 590 ton 1730 t*m 1730 t*m 
 a d 
 Ma = 1730 t*m 
 Md = -800 t*m 
 
 Resumen : 
 M Rígido VME con VME sin 
 Ma (t*m) -1428.56 -491.89 1730 
 Md (t*m) -4999.86 -973.96 -800 
 
 En el último cálculo se usó 2a = 0 . Si se hubiese tomado 1a = 0, hubiese sido 
 mucho más difícil por la fuerza de los tirantes. 
 
 
 
4.9.) Resuelva la viga de la figura. 
 x 
 P 
 A 
 
 
 Desarrollo : 
 1º) Se reemplaza por una viga infinita con las mismas solicitaciones de la viga dada, 
 más cargas Po y Mo que restituyen en las condiciones de borde en el extremo finito. 
 
 Po x 
 Mo P 
 
 
 
 
 2º) Determinación de Po y Mo 
 Po 
 
 = 
 
 Q= Po/2 
 M = Po/(4 ) 
 Mo 
 + 
 
 Q= Mo /2 
 M = Mo/2 
 x 
 P 
 + 
 A 
 Q= (P/2)*D X 
 M = (P/(4 ))*C X 
 -Po/2-Mo* /2+(P/2)*D X = ? 
 Po/(4* )+Mo/2+(P/4* )*C X = 0 
 
 y(x=0) = Po* /(2*k)+0+P* /(2*k)*A X = 0 Po=-P*A X 
 Po= P*A X 
 Mo/2 = (-P/(4* ))*C X-Po/(4* ) 
 = (-P/(4* ))*C X+P*A X/(4* ) 
 Mo = P*A X(2* )-(P/(2* ))*C X 
 = (P/(2* ))*(A X-C X) 
 
 A X-C X = e
- X
(sen x+cos x-cos x+sen x) = e
- X2sen x = 2*B X 
 
 Po = -P*A X y Mo = (P/ )*B X 
 
 3º) Encontrados Po y Mo, se resuelve por superposición : 
 P*A X (0.508P) 
 
 = 
 
A
 
 (P/ )*B X (0.31P/ ) 
 + 
 x 
 P 
 + 
 
 
 
 y = -( /(2*k))*A X*P*A X+(
2
/k)*B X*P*B X+(P* /(2*k))*A X 
 
 y(x=0)= P* /(2*k)*(A X-A X
2
)+2*P* /(2*k)*B X
2
 
 = P* /(2*k)*(A X-A X
2
+B X
2
) válido sólo en el origen. 
 Chequeo: 
 y(x=0)=0 O.K. (1-1
2
0)=0 
 
 4º) Determinación de la flecha y momento en k. 
 x=1 
 x=0.6 P 
 
 k 
 
 B( x= 0.6) = 0.310 B( x=1)= 0.310 
 A( x=0.6)= 0.763 A( x=1)= 0.508 
 A( x=0.4)= 0.878 
 
 y = -(P* /(2*k))*0.763*0.508+(2*P* /(2*k))*0.310
2
+(P* /(2*k))*0.878 
 = (P* /(2*k))*0.683 = 0.341*P* /k O.K. (idem Hahn p303) 
 
 Si queremos determinar la presión en el punto k : 
 p = K*y = K*0.341*P* /k = 0.341*P* /b 
 
 Momento en el punto k ( x= 0.6) 
 Debemos suponer : 
 0.508*P 
 
 = 
 
A
 
k
 
 0.31*P/ 
 + 
 
A
 
k
 
 x=1 P 
 + 
 
A
 
k
 
 
 M= -0.508*P/(4* )*C( x=0.6)+0.31*P/(2* )*D( x=0.6)+ P/(4* )*C( x=0.6) 
 = P/ *(-0.508*0.143/4+0.31*0.453/2+0.356/4) 
 = 0.141*P/ (O.K. Hahn p303) 
 
 5º) Determinación de la reacción en A. 
 RA se determina conociendo el corte en A: 
 Q(x=0)= 0.508*P/2-0.31*P/(2* )* +(P/2)*D( x=1) 
 = P*(0.508/2-0.31/2+0.199/2 
 = 0.199*P (O.K. Hahn p302) 
4.10.) Resuelva la viga semi-infinita de la figura. Determine y, M y Q para : 
 x= 0, 0.5, 1, 2, 3 y 5 m. 
 Datos: P= 3 ton 
 b= 15 cm (ancho de la viga) 
 h= 20 cm (altura de la viga) 
 E = 300000 kgf/cm
2
 
 K = 5 kgf/cm
3
 
 
 Desarrollo : 
 = 
k
E I4
4
* *
 = 
3
3
4
*
*
K
E h
 = (3*5000/(3*10
6
*0.2
3
))
1/4
 = 0.889 1/m 
 k = 5000*0.15 = 750 t/m
2
 
 De figura 10 Nafvac: 
 y = (2*P1* /k)*D X = 2*3*0.889/750*D X = 7.112*D X (mm) 
 
 M = (-P1/ )*B X = -3/0.889*B X = -3.375*B X (t*m) 
 
 Q = -P1*C X = -3*C X (ton) 
 
 x x D X y B X M C X Q 
 
m
 
*1000
 
mm
 
*1000
 
t*m
 
*1000
 
ton
 
 0 0 1000 7.1 0 0 1000 -3 
 0.5 0.445 578 4.1 276 -0.93 303 -0.91 
 1 0.889 259 1.8 319 -1.08 -60 0.18 
 2 1.778 -35 -0.2 165 -0.56 -200 0.60 
 3 2.667 -62 -0.4 32 -0.11 -94 0.28 
 5 4.446 -3 0 -11 0.04 8 -0.02 
 
 
1 2 3 4 5
y (mm)
x
x
xM (t*m)
Q (ton)
-1
-2
-3
(-)
(-)
3 ton
 
4.11.) Se tiene un pórtico (marco) cimentado en una zapata corrida de hormigón armado de 
10 m de longitud, 2 m de ancho, un canto (altura) de 1.5 m y una densidad de 2.4 t/m
3
. 
Cada pilar transmite en su eje geométrico situado a 40 cm del extremo de la viga, una carga 
vertical de P= 100 ton. y un momento hacia afuera de la zapata de M= 50 t*m. El 
coeficiente de balasto del terreno se supone igual a 6 kgf/cm
3
 y el módulo de elasticidad del 
hormigón de 200000 kgf/cm
2
. 
 Se pide calcular las presiones debajo del eje de cada pilar. 
 
 eje pilar pórtico 
 o marco 
 P P 
 M M 
 
 1.5m 
 
 A 10 m B 
 
 Desarrollo: 
 
100 ton 100 ton
50 t*m 50 t*m
0.4 0.49.2
2.088
 2.1
0.0908
 0.1
0.0908
 0.1
1.5m
(m)
A BC D
 
 = 
K b
E I
*
* *4
4
 K = 6 kgf/cm
3
 = 6000 t/m
3
 
 E = 200000 kgf/cm
2
 = 2*10
6
 t/m
2
 
 I = 2*1.5
3
/12 = 0.5625 m
4
 
 = 
6000 2
4 2 10 056256
4
*
* * * .
 = 0.227 1/m  = 0.227*10 = 2.27 < 
 Se debe tratar como viga finita (es viga de longitud media) 
 
 
A
A
A
A
B
BB
B
100t
100t 100t
100t
50t*m50t*m
50t*m50t*m
= =
+
100t100t
50t*m
M0A
M0A
M0B
M0B
P0BP0A
P0A P0B
-
--
Caso Cargas reales
 (Caso A) 
Caso Cargas ficticias
 (Caso B) 
 
 Condiciones de borde: en A MA
T
= 0 QA
T
= 0 
 en B MB
T
= 0 QB
T
= 0 
 con esto se encuentra P0A, M0A, P0B, M0B 
 
 a) Caso A se puede descomponer en la suma de los siguientes casos: 
 
 100 ton 
 - + 
 
A
 
B
 
 0.1 2.2 
 
 MA=100/(4*0.227)*F3(0.1)= 110.13*0.81=89.21 t*m 
 QA=100/2*F4(0.1)=50*0.9003=45.02 ton 
 MB=100/(4*0.227)*F3(2.2)= 110.13*-0.1548= -17.05 t*m 
 QB=-100/2*F4(2.2)=-50*-0.0652=3.26 ton 
 50 t*m 
 - + 
 
A
 
B
 
 0.1 2.2 
 
 MA=-(-50/2)*F4(0.1)= 22.51 t*m 
 QA= -(-50*0.227/2)*F1(0.1)=5.62 ton 
 MB==-(-50/2)*F4(2.2)=1.63 t*m 
 QB=-(-50*0.227/2)*F1(2.2)=10.138 ton 
 
 100 ton 
 - + 
 
A
 
B
 
 2.2 0.1 
 
 MA=100/(4*0.227)*F3(2.2)= -17.05 t*m 
 QA=100/2*F4(2.2)= -3.26 ton 
 MB=100/(4*0.227)*F3(0.1)= 89.21 t*m 
 QB=-100/2*F4(0.1)=-45.02 ton 
 
 50 t*m 
 - 
 
A
 
B
 
 2.2 0.1 
 
 MA= (-50/2)*F4(2.2)= 1.63 t*m 
 QA= (-50*0.227/2)*F1(2.2)=-0.138 ton 
 MB==(50/2)*F4(0.1)= 22.51 t*m 
 QB=-(-50*0.227/2)*F1(0.1)=-5.62 ton 
 
 Luego del caso A: 
 MA=89.21+22.51-17.05+1.63= 96.3 t*m A 
 MB=-17.05+1.63+89.21+22.51= 96.3 t*m 
 
B
 
 QA=45.02-3.26+5.62-0.138= 47.24 ton A 
 QB=3.26+0.138-45.02-5.62= -47.24 ton 
 
B
 
 
 b) Caso B se puede descomponer en la suma de los siguientes casos: 
 
 P0A 
 + 
 
A
 
B
 
 2.3 
 
 M‟A= P0A/(4*0.227)*F3(0)= 1.10P0A 
 Q‟A= -P0A/2*F4(0)=-0.5P0A 
 M‟B= P0A/(4*0.227)*F3(2.3)= -0.156P0A 
 Q‟B= -P0A/2*F4(2.3)=0.0334P0A 
 
 M0A 
 + 
 
A
 
B
 
 2.3 
 
 M‟A= M0A/2*F4(0)= 0.5M0A 
 Q‟A= -M0A*0.227/2*F1(0)=-0.1135M0A 
 M‟B= M0A/2*F4(2.3)= -0.0334M0A 
 Q‟B= -M0A*0.227/2*F1(2.3)= -0.004M0A 
 
 P0B 
 + 
 
A
 
B
 
 2.3 
 
 M‟A= -0.156P0B 
 Q‟A=-P0B/2*F4(2.3)= 0.0334P0B 
 M‟B=1.10P0B 
 Q‟B=-P0B/2*F4(0)= -0.5P0B 
 
 M0B 
 
 
A
 
B
 
 2.3 
 
 M‟A= -M0B/2*F4(2.3)= 0.0334M0B 
 Q‟A= M0B*0.227/2*F1(2.3)= 0.004M0B 
 M‟B== -M0B/2*F4(0)= -0.5M0B 
 Q‟B= M0B*0.227/2)*F1(0)= 0.1135M0B 
 
 Luego M‟A= 1.1P0A+0.5M0A-0.156P0B+0.0334M0B 
 Q‟A= -0.5P0A-0.1135M0A+0.0334P0B+0.004M0B 
 M‟B= -0.156P0A-0.0334M0A+1.1P0B-0.5M0B 
 Q‟B= 0.0334P0A-0.004M0A-0.5P0B+0.1135M0B 
 
 MA
T
=0 MA+M‟A = 0 M‟A = -96.3 
 MB
T
=0 MB+M‟B = 0 M‟B = -96.3 
 QA
T
=0 QA+Q‟A = 0 Q‟A = -47.24 
 QB
T
=0 QB+Q‟B = 0 Q‟B = 47.24 
 
 Por simetría: 
 P0A = P0B = P0 y M0A = -M0B = M0 
 
 M‟A = 0.944P0+0.47M0 
 Q‟A = -0.47P0-0.1174M0 96.3+0.944P0+0.47M0 =0 * 0.1175 
 M‟B = 0.944P0+0.47M0 47.24-0.47P0-0.1175M0 =0 * 0.47 
 Q‟B = -0.47P0-0.1175M0 
 
 11.32+0.111P0+0.055M0 = 0 
 22.2-0.22P0-0.055M0 = 0 
 
 33.52-0.11P0 = 0 P0 = 305 ton 
 11.32+0.111*305+0.055M0 = 0 M0 = -821.4 t*m 
 
 Luego: 
 
 100ton 100 ton 
 305ton 50 t*m 50 t*m 305ton 
 - 820t*m 820t*m 
 0.1 2.1 0.1 
 
 
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y7
Y8
Y6
820t*m
820t*m
305ton
305ton
100ton
100ton
50t*m
50t*m
y
y
y
y
y
y
y
y
1
2
3
4
5
6
7
8
 
 
 
 
 
4.12.) Determine el momento flector en A y B para la tubería indicada en la figura. 
 Para tal efecto desprecie el peso propio de la tubería. 
 
 
2.5m 2.5m
V=10ton
A B
K=20 kgf/cm
B = 1.0 m(ancho equiv.)
3
2
4
6
6
I= 1.5*10 cm
E=2.1*10 kgf/cm
 
 
 Nota: Para una viga simplemente apoyada con una carga concentrada aplicada 
 en el centro del vano se tiene : 
 
A B
P
L/2 L/2
E,I
A= PL /(16EI)
B= - PL /(16EI)
A
2
2
 
 Para una viga simplemente apoyada con momentos aplicados en sus extremos: 
 
 
A B
L
E,I
A= ML/2EI
B= - ML/2EI
AM M
 
 
 Desarrollo : 
 
 L
V/2 V/2
V/2V/2
MA
MA
MB
MB
V
Vq q
I
II
q : sobrecarga debido al pp
 del suelo sobre la tubería
 (no da momento)
 
 
 Por simetría MA = MB = M b=B 
 
 = 
K b
E I
*
* *4
4
 = (20*100)/(4*2.1*10
6
*1.5*10
6
)
1/4
 = 3.5495*10
-3
 1/cm 
 
 Compatibilidad de deformaciones B
I
 = B
II
 
 
 Determinación de B
I
 : 
 
 
V
B1= - VL /(16EI)
B1
2
 
 
 
B2= - ML/2EI
B2
M M
 
 
 
 Luego B
I
 = B1+ B2= -VL
2
/16EI-ML/2EI (1) 
 
 
 Determinación de B
II
 : 
 
 V/2 
 
 M 
 x 
 
 V/2 
 
 = + M 
 x x 
   
   = -2(V/2) 2/k A X 
   = 4M 3/k D X 
 x = 0 A X = 1 y D X = 1 
 Luego: 
 B
II
 = +  = -V
2
/k+4M
3
/k 
 
 B
I
 = B
II
 -VL
2
/16EI-ML/2EI = -V
2
/k+4M
3
/k 
 
4
 = k/4EI 
4
/k = 1/4EI 
 -VL
2 2
/4+V= 4M +2ML
2
 
 M = V(1-L
2 2
/4)/(4 +2L
2
) 
 = 10*(1-500
2
*(3.5495*10
-3
)
2
/4)/(4*3.5495*10
-3
+2*500*(3.5495*10
-3
)
2
) 
 
 M = 79.32 t*cm 
 
 
 
4.13.) Se requiere una viga de fundación muy flexible con cargas P=3 ton aplicadas en un 
extremo y al centro. 
 a) Diseñe la viga (ancho, longitud y altura) 
 b) Calcule y dibuje la posición deformada de la viga a intervalos de 1 metro. 
 k= 3 kgf/cm
3
 E = 200000 kgf/cm
2
 
 
 P P 
 
 
 L = ? 
 
 Nota: Exprese los resultados de la deformación en mm. 
 
 
 
 
 Desarrollo: 
 a) Una viga muy flexible significa: L > 
 = 
K b
E I
*
* *4
4
 
 para una viga de sección rectangular: 
 = 
3
3
4
*
*
K
E h
 
 K = 3 kgf/cm
3
 
 E = 200000 kgf/cm
2
 (en el rango de trabajo del hormigón) 
 i) Sea b= 30 cm 
 L= 600 cm y h= 30 cm L=6.39*10
-3
*600 
 = 3.83 > O.K. 
 ii) Sea b= 30 cm 
 L= 600 cm y h= 25 cm L=7.33*10
-3
*600 
 = 4.4 > O.K. 
 3 ton 3 ton 
 
 
 6 m 
 b) Determinación de la deformada: 
 y1 = 2 * *
*
P
K b
*D X (carga en el extremo) 
 y2 = P
K b
*
* *2
*A X (carga en el centro) 
 
 x (cm) y1 (mm) y2 (mm) y=y1+y2 (mm) 
 0 4.88 0.03 4.91 
 100 1.75 0.31 2.06 
 200 0.12 0.83 0.95 
 300 -0.32 1.22 0.90 
 400 -0.26 0.83 0.57 
 500 -0.11 0.31 0.20 
 600 -0.02 0.03 0.01 
 
 
0
1
2 3 4 51 6
2
3
5
4
 
4.14.) Las zapatas rígidas transmiten a la viga de fundación, un momento de 0.7 t*m. 
 Calcule y dibuje el diagrama de presiones de contacto en la base de las zapatas. 
 V = 25 ton (incluye peso propio) =0.8 (1/m) 
 
25 ton 25 ton
1 m 5 m 1 m
K K =4kg/cm3=3kg/cm3z v
K Kz v
0.3 m
1.
0 
m
0.8
 
 
 Desarrollo: 
 
Q1,M1 Q1,M1
A B
kv,bv
q=?
kz,bz
 
 
 1
o
) q = (V-2Q1)/A el problema se reduce a determinar Q1 
 
 2
o
) Determinación de Q1 aplicando teoría VME (y compatibilidad yA=yB) 
 
 yA = 2Q1 /(kvbv)-2M1
2
/(kvbv) 
 = 2*Q1*0.8/(4000*0.3)-2*0.7*0.8
2
/(4000*0.3) 
 1000*yA = 1.33*Q1-0.75 
 
 3
o
) Determinación de yB 
 yB = q/kz = (V-2Q1)/A /kz = (25-2Q1)/1 /3000 
 1000yB = 25/3-2Q1/3 
 
 4
o
) yA=yB Q1 
 1.33Q1-0.75 =25/3-2Q1/3 
 2Q1 = 9.08 
 Q1 = 4.54 ton 
 
 
 5
o
) Sustituyendo Q1 en 1
o
: 
 q = (25-2*4.54)/1 = 15.92 t/m
2
 
 
 6
o
) La determinación de M1 se hace considerando que v = 0 en el extremo de la 
 viga. 
 
 
 y 
 
 
 v = -2Q1
2
/k+4M1
3
/k = 0 M1 = 0.63Q1 
 
 
 
 y 
 
 
 7
o
) Lo correcto es considerar que por agrietamiento de la sección. M1 0 
 
 
 
4.15.) Para la viga semi-infinita, con apoyo rotulado en el extremo, indicada en la figura, 
se pide : 
 a) Encontrar y, M, Q para un caso general. 
 b) Encontrar y, M, Q para las siguientes condiciones : 
 b = 30 cm 
 h = 20 cm 
 K = 3 kgf/cm
3
 = 3000 t/m
3
 
 E = 200000 kgf/cm
2
 
 M1 = 1 t*m 
 Graficar para : x = 0 , 0.5 , 1 , 1.5 , 2 , 3 , 5 , 7 , 10 (m) 
 
 M1 
 
 
 Desarrollo : 
 a) 
 M1 
 
 
 R 
 
 M1 
 = + 
 R 
 Ambos casos están resueltos en figura 10 Nafvac. 
 y = -
2 1
2* *M
k
*C X+ 2 * *R
k
*D X 
 Determinación de R: 
 Se aplican condiciones de borde : y(x=0)=0 
 C 0 = D 0 = 1 R = M1* = 1*0.866 = 0.87 ton 
 
 y = -
2 1
2* *M
k
*C X+ 2 1 2* *M
k
*D X = 2 1 2* *M
k
*(D X-C X) 
 D X-C X = e
- X
*(cos x-cos x+sen x) = B X 
 y = 
2 1
2* *M
k
*B X 
 M = M1*A X-(M1* / )*B X = M1*(A X-B X) 
 M = M1*D X 
 
 Q = -2*M1* *B X-M1* *C X = -M1* *(2*B X+C X) 
 2*B X+C X = e
- X
*(2*sen x+cos x-sen x) = A X 
 Q = -M1* *A X 
 
 b) Para una viga de sección rectangular : 
 = 
3
3
4
*
*
K
E h
 = (3*3000/(2*10
6
*0.2
3
))
1/4
 = 0.866 
 k = K*b = 3000*0.3 = 900 t/m
2
 
 
 x x B X y D X M A X Q 
 
m
 
1000
 
1000
 
mm
 
1000
 
t*m
 
1000
 
ton
 
 0 0 0 0.00 1000 1 1000 -0.087 
 0.5 433 272 0.45 589 0.59 861 -0.75 
 1 866 320 0.53 273 0.27 593 -0.51 
 1.5 1299 263 0.44 73 0.073 336 -0.29 
 2 1732 175 0.29 -28 -0.028 146 -0.13 
 3 2598 38 0.06 -64 -0.064 -25 0.02 
 5 4330 -12 -0.02 -5 -0.005 -17 0.015 
 7 6062 -1 0 2 0.002 2 0 
 10 8660 0 0 0 0 0 0 
 
 y = (2*M1*
2
/k)*B X = (2*1*0.866
2
/900)*B X = 1.667*B X 
 
 M = M1*D X =1*D X 
 
 Q = -M1* *A X = 0.866*A X 
 
M= 1 t*m
y (mm)
M(t*m)
Q (ton)
1
-11 2 3 105 7
0.2
0.4
0.5
x
x
x
 
 
 
 
 
4.16.) Una fundación bajo la cepa de un puente, tiene un ancho b = 2 m. 
 a) Modele el sistema de cargas que recibe la fundación. 
 b) Determine el momento, el corte, el asentamiento y la presión de contacto al centro 
 de la fundación. 
 
Fundación
Cepa
e = 0.8 m
 = 2.4 t/m3
18 ton 18 ton36 ton
7 
m
1.3
m
12 m
15 m
K = 12 kgf/cm
E = 250000 kgf/cm
3
2
¡ No considere el peso propio
 de la fundación !
 
 Desarrollo : 
 = 
k
E I4
4
* *
 = 
3
3
4
*
*
K
E h
 = (3*12000/(2.5*10
6
*1.3
3
))
1/4
 = 0.2845 1/m 
 
 L = 15*0.2845 = 4.268 > viga larga 
 a) Modelación : 
 Peso cepa/m = 7*1*0.8*2.4 = 13.44 t/m 12 m 
 Cargas puntuales : 
 (18+36+18)/12 = 6 t/m q=19.44t/m 
 1.3 
 Carga total : q = 19.44 t/m A 15 m B 
 
 b) Se deben determinar P0A, P0B, M0A y M0B para usar las fórmulas de viga 
 infinita. 
 P0A P0B 
 M0A M0B 
 
 A B 
 
 x 
0.42675
 
3.4140
 
0.42675
 
 
 x= x F1 F2 F3 F4 
 0.42675 0.8642 0.2701 0.3240 0.5941 
 3.8408 -0.303 -0.0138 -0.00262 -0.0164 
 4.2680 -0.0187 -0.0126 0.0066 -0.0060 
 1.7070 0.1551 0.1797 -0.2044 -0.0246 
 2.1338 0.0369 0.1001 -0.1633 -0.0632 
 
 MA = -q/(4*
2
)*(F2(0.4268)-F2(3.8408)) = -19.44/(4*0.2845
2
)*(0.2701+0.0138) 
 = -17.05 t*m 
 
 MB = q/(4*
2
)*(F2(3.8408)-F2(0.4268)) = 19.44/(4*0.2845
2
)*(-0.0138-0.2701) 
 = - 17.05 t*m 
 
 QA = q/(4* )*(F3(0.4268)-F3(3.8408)) = 19.44/(4*0.2845)*(0.324+0.00262) 
 = 5.58 ton 
 
 QB = q/(4* )*(F3(3.8408)-F3(0.4268)) = 19.44/(4*0.2845)*(-0.00262-0.324) 
 = -5.58 ton 
 
 1/(4* ) = 0.8787 
 
 17.05 = 0.8787*P0A+0.5*M0A+0.0058P0B-0.003*M0B 
 -5.58 = -0.5*P0A-0.1423*M0A-0.003*P0B-0.0027*M0B 
 17.05 = 0.0058*P0A-0.003*M0A*0.8787*P0B+0.5*M0B 
 5.58 = 0.003*P0A+0.0027*M0A+0.5*P0B+0.1423*M0B 
 
 P0A = 2.4726 M0A = 29.9054 
 P0B = 2.4726 M0B = 29.9054 
 
 La viga infinita equivalente que hay que resolver es lo siguiente : 
 
 2.47 2.47 
 29.91 29.91 
 q=19.44 t/m 
 
 
 
Cargas
Momento Corte Asentam. q
3
Reales 0.795
1.1048
1.1048
-0.8693
-0.8693
1.266 t*m
 0
 -1.704
 1.704
 0.403
 -0.403
 0
 0.79
 0.07
 0.07
 0
 0
0.93 mm
M0A
M0B
Q0A
Q0B
11.16
C e n t r o
(t/m )2
 
 
 Cargas reales : 
 Mc = q/(4*
2
)*(F3(0.2845*6)+F3(0.2845*6)) 
 = q/(4*
2
)*(F3(1.707)+F3(1.707)) = -24.54 t*m 
 Qc = q/(4* )*(F3(1.707)-F3(1.707)) = 0 
 Vc = q/(2*K)*(2-F4(1.707)-F4(1.707)) = 0.79 mm 
 
 M0A: 
 Mc = M1*F1(2.1338) = 29.91*0.0369 = 1.1048 
 Qc = -(2*M1* )*F2(2.1338) = -2*29.91*0.2845*0.1001 = -1.704 
 yc = -(2*M1*
2
/K)*F3(2.1338) = (-2*29.91*0.2845
2
/12)*(-0.1633)= 0.07 
 
 P0A : 
 Mc = (-P1/ )*F2(2.1338) = (-2.47/0.2845)*0.1001 = -0.8693 t*m 
 Qc = -P1*F3(2.1338) = -2.47*(-0.1633) = 0.403 
 yc = (2*P1* /K)*F4(2.1338) = 2*(2.47*0.2845/12)*(-0.0632)= -0.007 
 
 
4.17.) Determinar la deformación y la presión de contacto en A, B, y C de la viga en 
 medio elástico. 
P = 2.27 ton
q = 1.78 t/m
K= 5500 t/m
E = 10 t/m
A C B
1.5 m 1.5 m
1.2 m0.75 m 0.5 m
P
q
 corte 
0.25m
0.2m
3
26
 
 Desarrollo : 
 Viga finita en medio elástico. 
 Se resuelve usando viga infinita. 
 
A B
P0A
M0BM0A
P0B
P
q
 
 En A y B, debido a P0A, P0B, M0A y M0B se pierde continuidad de la viga 
 infinita. 
 
 MA+P0A/(4* )+P0B/(4* )*C L+M0A/2+(M0B/2)*D L = 0 
 QA-P0A/2+(P0B/2)*D L- *M0A/2+( *M0B/2)*A L = 0 
 MB+P0A/(4* )*C L+P0B/(4* )+(M0A/2)*D L+M0B/2 = 0 
 QB-(P0A/2)*D L+P0B/2-( *M0A/2)*A L+ *M0B/2 = 0 
 
 k = K*b = 5500*0.25 = 1375 t/m
2
 
 I = b*h
3
/12 = 0.25*0.2
3
/12 = 1.66*10
-4
 m
4
 
 
 = 
k
E I4
4
* *
 = (1375/(4*10
6
*1.66*10
-4
))
1/4
 = 1.2 1/m 
 
 L = 1.2*3 = 3.6 > podemos utilizar el sistema de resolución 
 mediante viga infinita 
 
 Debido a P : 
 M = P/(4* )*C X Q = (-P/2)*D X 
 
 En el extremo A : 
 x = 0.76 m x = 1.2*0.76 = 0.912, entramos con este valor a tabla 
 o gráfico y determinamos C X y D X : 
 C X = -0.0718 y D X = 0.2459 (interpolación lineal en tablas) 
 
 MA
P
 = 2.27/(4*1.2)*(-0.0718) = -0.0339 t*m 
 QA
P
 = (2.27/2)*(0.2459) = 0.279 ton 
 En el extremo B : 
 x = 2.24 m x = 1.2*2.24 = 2.688 
 C X = -0.0910 y D X = -0.0612 
 
 MB
P
 = 2.27/(4*1.2)*(-0.0910) = -0.043 t*m 
 QB
P
 = -(2.27/2)*(-0.0612) = 0.0695 ton 
 
 
 
 Debido a q : 
 En el extremo A : 
a
 b 
 
 MA
q
 = (-q/(4*
2
))*(B a-B b) QA
q
 = (q/(4* ))*(C a-C b) 
 
 a = 1.3 m a = 1.56 
 b = 2.5 m b = 3.00 
 En la tabla: B a = 0.2101 C a = -0.2079 
 B b = 0.0071 C b = -0.0563 
 
 MA
q
 = -1.78/(4*1.2
2
)*(0.2101-0.0071) = -0.0627 t*m 
 QA
q
 = 1.78/(4*1.2)*(-0.2079-(-0.0563)) = -0.0562 ton 
 
 En el extremo B : 
 
 MB
q
 = (q/(4*
2
))*(B a-B b) QB
q
 = (q/(4* ))*(C a-C b) 
 
 a = 1.7 m a = 2.04 
 b = 0.5 m b = 0.6En la tabla: B a = 0.116 C a = -0.1748 
 B b = 0.3099 C b = 0.143 
 
 MA
q
 = 1.78/(4*1.2
2
)*(0.116-0.3099) = -0.0599 t*m 
 QA
q
 = 1.78/(4*1.2)*(-0.1748-0.143) = -0.1178 ton 
 
 Calculamos MA, MB, QA y QB para reemplazar en sistema de ecuaciones. 
 
 MA = MA
P
+MA
q
 = -0.0966 t*m 
 QA = QA
P
+QA
q
 = 0.2228 ton 
 MB = MB
P
+MB
q
 = -0.1029 t*m 
 QB = QB
P
+QB
q
 = -0.0483 ton 
 
 Reemplazando en el sistema se obtiene lo siguiente : 
 
 208*P0A-3*P0B+500*M0A-12*M0B = 97 
 500*P0A+12*P0B+600*M0A+22*M0B = 223 
 -3*P0A+208*P0B-12*M0A+500*M0B = 103 
 12*P0A+500*P0B+22*M0A+600*M0B = 48 
 
 luego se obtiene : P0A = 0.37 ton M0A = 0.02 t*m 
 P0B = -0.33 ton M0B = 0.35 t*m 
 
 
A B
0.37 ton
0.35 t*m0.02 t*m
0.33 ton
P
q
C
 
 
 carga ya yc yb (*10
-5
 m) 
 
 P 56 57 -3 
 q 2 73 33 
 P0A 16 2 0 
 P0B 1 -2 -14 
 M0A 0 0 0 
 M0B 0 6 0 
 
 y 75 136 16 (*10
-5
 m) 
 
 pc 4.13 7.48 0.88 (t/m
2
) 
 
 
 
 
4.18.) Determinar Mmáx, Ymáx y los puntos donde se producen. 
 5.6 m 
 P1 P2 P1 = 30 ton 
 P2 = 50 ton 
 1 H.A. K = 5000 t/m
3
 
 E = 230*10
4
 t/m
2
 
 0.3 
 
 0.6m 5 m 0.6m 
 
 Desarrollo : 
 
 = 
K b
E I
*
* *4
4
 I = 1*0.3
3
/12 = 0.00225 =2.25*10
-3
 
 
 = (5000*1/(4*230*10
4
*2.25*10
-3
))
1/4
 = 0.701 
 L = 0.701*5.6 = 3.93 > semi-infinita 
 
 1º) Cálculo de P1‟ y P2‟ : 
 
 P1‟ = P1+1*1*2.4*0.3 = 30.72 ton 
 P2‟ = P2+1*1*2.4*0.3 = 50.72 ton 
 
 2º) Momento: 30.72 
 50.72 
 M = (-P/ )*B X = (-V/ )*F2( x) + 
 M(P1) = -(30.72/0.7)*B X = -43.89*B X 
 M(P2) = -(50.72/0.7)*B X = -72.46*B X = 
 
 Cálculo B X y D X 
 x x B X D 
 
 0 0 0 1 
 0.25L 0.9814 0.3116 0.208 
 0.5L 1.9628 0.1298 -0.054 
 0.75L 2.944 0.0103 -0.051 
 1L 3.926 -0.0131 -0.0139 
 
 X1/L 0 0.25 0.5 0.75 1 
 
 
 X2/L 1 0.75 0.5 0.25 0 
 
 
 
 M(P1) 0 -13.68 -5.696 -0.452 0.061 
 M(P2) 1.007 -0.746 -9.405 -22.58 0 
 M(Pi) 1.007 -14.43 -15.1 -23.05 0.061 
 
 luego Mmáx 23.05 t*m en x 4.2 m 
 
 y = (2*P* /K)*D X = (2*V* /K)*F4( x) 
 y(P1) = (2*30.72*0.701/5000)*D X = 0.00861*D X 
 y(P2) = (2*50.72*0.701/5000)*D X = 0.01422*D X 
 
 
X1/L 
0
 
0.25
 
0.5
 
0.75
 
1
 
 X2/L 1 0.75 0.5 0.25 0 
 8.4*10
-3
 13*10
-3
 
 
 
 
 y(q) = q/K = 0.3*1*2.4/5000 = 0.72/5000 = 1.44*10
-4
 
 
 y(P1) 8.61 1.8 -0.46 -0.44 -0.11 (*10
-3
) 
 y(P2) -0.2 -0.72 -0.76 3 14 (*10
-3
) 
 
 8.4 1.08 -1.2 2.96 12.9 (*10
-3
) 
 
 Ymáx = 13.0*10
-3
 en x = 5.6 m (bajo P2). 
4.19.) Para la viga de hormigón armado, se pide determinar el asentamiento en A. 
 K = 7 kgf/cm
3
 q = 5 t/m 
 E = 300000 kgf/cm
2
 
 h = 0.5 m A B 
 b = 0.7 m 
 2 m 
 Desarrollo : 4 m 
 
 = 
3
3
4
*
*
K
E h
 = (3*7000/(3*10
6
*0.5
3
))
1/4
 = 0.4865 
 
 L = 1.946 /4 < L < viga de longitud intermedia. 
 
 1º) La viga es igual a : 
 
 x= 0.973 P0A P0B 
 M0A M0B 
 + 
 A B 
 2º) Determinación de P0A , P0B , M0A y M0B. 
 2.a) Momento y corte producidos por las cargas reales. 
 
 MA = q/(4*
2
)*(B a+B b) 
 QA = q/(4* )*(C a-C b) en que a = 0 y b = 2 m 
 
 MA = 5/(4*0.4865
2
)*(0+B(0.973)) = 5.281*0.3124 = 1.65 t*m 
 
 QA = 5/(4*0.4865)*(1-C(0.973)) = 2.569*(1.0997) = 2.83 ton 
 
 MB = q/(4*
2
)*(B a-B b) 
 QB = q/(4* )*(C a-C b) en que a = 4 m y b = 2 m 
 
 MB = 5.281*(B(1.946)-B(0.973)) = 5.281*(0.1329-0.3124) = -0.948 t*m 
 
 QB = 2.569*(C(1.946)-C(0.973)) = 2.569*(-0.1853-(-0.0997)) = -0.22 ton 
 
 Recordemos que MA , QA , MB y QB , son los momentos y cortes producidos por las 
 cargas reales (q=5 t/m) en la viga infinita. 
 
 2.b) Ecuaciones : 
 1/(4* ) = 0.5139 
 /2 = 0.2433 
 D(1.946) = -0.0523 
 ( /2)*A(1.946) = 0.2433*0.0806 = 19.61*10
-3(1/(4* )*C(1.946) = 0.5139*(-0.1853) = -95.23*10
-3
 
 1.65+0.5139*P0A+0.5*M0A-95.23*10
-3
*P0B-26.15*10
-3
*M0B = 0 
 2.83-0.5*P0A-0.2433*M0A-26.15*10
-3
*P0B+19.61*10
-3
*M0B = 0 
 -0.948-95.23*10
-3
*P0A-26.15*10
-3
*M0A+0.5139*P0B+0.5*M0B = 0 
 -0.2226.15*10
-3
*P0A-19.61*10
-3
*M0A+0.5*P0B+0.2433*M0B = 0 
 
 Resolviendo el sistema : P0A = 16.68 ton P0B = -6.38 ton 
 M0A = -21.106 t*m M0B = 10.53 t*m 
 
 3º) Se resuelve por superposición (Veamos 0 < x < 2 , y1) 
 Determinación de la elástica en el tramo cargado. 
 3.a) Debido a la viga infinita con carga uniforme. 
 
 y1 = q/(2*k)*(2-D a-D b) 0 < x < 2 0 < x < 0.973 
 y2 = -q/(2*k)*(D a-D b) 2 < x < 4 0.973 < x < 1.946 
 q/(2*k) = 5/(2*7*0.7) = 0.51 
 
 a b a b D a D b 2-D a-D b y1 mm 
 
 0 2 0.0 0.973 1.00 0.2127 0.7873 0.402 
 0.5 1.5 0.2433 0.7298 0.7609 0.3592 0.8799 0.449 
 1.0 1.0 0.4865 0.4865 0.5434 0.5434 0.9132 0.466 
 1.5 0.5 0.7298 0.2433 0.3592 0.7609 0.8799 0.449 
 2.0 0.0 0.793 0.0 0.2127 1.00 0.7873 0.402 
 
 3.b) Debido a P0A : 
 y1 = P* /(2*k)*A X = 16.68*0.4865/(2*7*0.7)*A X = 0.828*A X 
 
 Debido a M0A : 
 y1 = -(Mo*
2
/k)*B X = -(21.106*0.4865
2
/(2*7*0.7))*B X = -1.0195*B X 
 
 x x A X B X y1 = 0.828*A X-0.10195*B X 
 0 0 1.0000 0.0000 0.828 
 0.5 0.2433 0.9498 0.1889 0.594 
 1.0 0.4865 0.8309 0.2874 0.395 
 1.5 0.7298 0.6806 0.3214 0.236 
 2.0 0.973 0.5251 0.3124 0.116 
 
 3.c) Debido a P0B : 
 y1 = -P* /(2*k)*A Z = -4.09*0.4865/(2*7*0.7)*A Z = -0.203*A Z 
 
 Debido a M0B : 
 y1 = (Mo*
2
/k)*B Z = (8.09*0.4865
2
/(2*7*0.7))*B Z = 0.391*B Z 
 
 
 
 z x z A Z B Z y1 = -0.203*A Z+0.391*B Z 
 
 2 0 0.973 0.5251 0.3124 0.016 
 1.5 0.5 0.7298 0.6806 0.3214 -0.012 
 1.0 1.0 0.4865 0.8309 0.2874 -0.056 
 0.5 1.5 0.2433 0.9498 0.1889 -0.119 
 0 2.0 0 1.0000 0.0000 -0.203 
 
 3.d) Sumando todos los efectos anteriores : 
 
 x y1 (mm) 
 0 1.25 
 0.5 1.0 
 1.0 0.81 
 1.5 0.57 
 2.0 0.32 
 
 Chequear: Debiera cumplirse MA = 0 
 
 
 
4.20.) Se tiene la siguiente viga flotante : 
 
 P=80 ton P=80 ton 
 Despreciar peso propio de viga. 
 Ancho de viga b= 1.5 m 
 = 0.002 1/cm 
 2m 6 m 2m 
 Encontrar la presión en el suelo y el momento flector bajo las cargas. 
 (Usar tablas del Hahn) 
 Nota: En el libro se utiliza la siguiente notación con respecto a la del curso. 
 Hahn a C J = a* 
 Curso K I L 
 P1 P2 
 Desarrollo : 
 
 L = 0.002*1000 = 2   
 es decir: (Hahn) = 2.0 Tabla 7 
 
 i) Cálculo de presión y momento en  
 con P1 = 80 ton 
 xi/L = 2/10=0.2 p = 2.11 p1-1= -2.11*80/(1.5*10) = 11.253 
 xo/L = 2/10=0.2 100 M = 5.15 M1-1= 5.15*80*10/100=41.2 
 
 
 con P2 = 80 ton 
 xi/L = 8/10=0.8 p = -0.08 p1-2= -0.08*80/(1.5*10) = -0.427 
 xo/L = 2/10=0.2 100 M = -1.04 M1-2= -1.04*80*10/100=-8.32 
 
 Luego: 1 = 11.253-0.427 = 10.826 t/m
2
 
 M1 = 41.2-8.32 = 32.88 t*m 
 
 ii) Cálculo de presión y momento en  
 con P1 = 80 ton 
 xi/L = 2/10=0.2 p = -0.08 p2-1= -0.08*80/(1.5*10) =-0.427 
 xo/L = 8/10=0.8 100 M = -1.04 M2-1= -1.04*80*10/100=-8.32 
 
 con P2 = 80 ton 
 xi/L = 8/10=0.8 p = -2.11 p2-2= 2.11*80/(1.5*10) = 11.253 
 xo/L = 8/10=0.8 100 M = 5.15 M2-2= 5.15*80*10/100= 41.2 
 
 Luego: 2 = -0.427+11.253= 10.826 t/m
2
 
 M2 = -8.32+41.2= 32.88 t*m 
 
 P = 80 ton P = 80 ton 
 
 
   
 2 6 2 
 = 2 Usando tabla 20 
0.2L
 P 
 
 L = 10 m 0.2*L = 2 m L 
 b = 1.5 m 
 con = 2.0 , xi/L = 0.2 
 
 
 
 
   
 x/L = 0.2 p = -2.11 ( en ) 
 100 M = 5.15 
 
 x/L =0.8 p = -0.08 ( en ) 
 100 M = -1.04 
 Luego : 
 1 = (2.11*80)/(1.5*10)+(-0.08*80)/(1.5*10) = 10.826 t/m
2
 
 2 = 1 
 M1 = M2 = 5.15*80*10/100-1.04*80*10/100 = 32.88 t*m 
 
 
4.21.) Se tiene la siguiente viga en medio elástico. 
 Despreciar peso propio de viga y suponer = 0.3 1/m 
 
70 ton 60 ton100 ton 130 ton
1 2 3 4 5 6 7
1.5 1.54.5 4.53.0
15 m
A B
 
 Se pide determinar valor de momento flector y hacer diagrama de él. 
 Determine los valores del momento flector en A, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y B. 
 Hacer uso de tablas del Hahn. 
 ¿Cómo lo resolverían analíticamente?. Encuentre el momento en 3 analíticamente. 
 Desarrollo : 
 
70 ton 60 ton100 ton 130 ton
1 2 3 4 5 6 7
1.5 1.54.5 4.53.0
15 m
L = 0.3*15 = 4.5tabla 12 
 
 
A 1 2 3 4 5 6 7 B
Coef. Mom Coef. Mom Coef. Mom Coef. MomCoef. Mom Coef. Mom Coef. Mom Coef. Mom Coef. Mom
0
0
0
0
0
0 0
0
0
0 0
00
000
0
0
0
0.1 0.25 0.40 0.50 0.60 0.75 0.90 1.0
 Cargas
xo/L
0.
02
38
24
.9
9
 -0
.0
19
05
-2
0
-0
.0
23
2
-2
4.
36
-0
.0
16
5
-1
7.
33
-0
.0
09
6
-1
0.
08
-0
.0
00
2
-0
.2
1
-0
.0
00
4
-0
.6
0.
05
57
83
.5
5
0.
01
75
26
.2
5
-0
.0
02
1
-3
.1
5
-0
.0
02
2
-3
.3
-4
.2
9
-0
.0
02
2
-0
.0
00
2
-0
.1
8
-0
.0
02
1
-0
.0
23
2
-4
.1
0.
01
75
34
.1
3
0.
05
57
10
8.
62
-0
.0
09
6
-0
.0
16
5
-8
.6
4
-1
4.
85
-2
0.
88
0.
02
38
-0
.0
00
4
-0
.7
8
21
.4
2
19
.9
2
46
.4
5
28
.2
74
.5
1
17
.1
3
70 ton
ton
130 ton
60 ton
xi/L=0.1
xi/L=0.4
 xi/L=0.6
xi/L=0.9
 
4.22.) Para la viga semi-infinita mostrada : 
 a) Encuentre una expresión para la elástica (y) (para puntos dentro del intervalo cargado) 
 b) Evalúe la elástica en el origen para : 
 K = 2 kgf/cm
3
 q = 7 t/m 
 E = 250000 kgf/cm
2
 
 h = 15 cm 
 b = 20 cm 
  = 2 m  
 
 Desarrollo : 
 1º) Se reemplaza por una viga infinita con las mismas solicitaciones de la viga semi- 
 infinita más cargas Po y Mo que restituyan las condiciones existentes en el extremo 
 finito. 
 MA(result)=0 
 QA(result)=0 
 P0 
 M0 
 
 
 2º) Determinación de P0 y M0. 
 
 = 
 M 
 Q 
 Q = q/(4* )*(1-C ) 
 M = q/(4*
2
)*(B ) 
 Po 
 Mo 
 + 
 M 
 Q 
 Q = Po/2+Mo* /2 
 M = Po/(4* )+Mo/2 
 aplicando condiciones de borde : 
 (1) q/(4* )*(1-C )-Po/2-Mo* /2 = 0 
 (2) q/(4*
2
)*B +Po/(4* )+Mo/2 = 0 
 
 de (1) : 
 Po = q/(2* )*(1-C )-Mo* 
 sustituyendo en (2) : 
 Mo = q/(4*
2
)* C -2*B -1 
 Po = (q/ )* 1+B -C  
 
 
 3º) Encontrados Po y Mo se resuelve por superposición. 
 
 
 a b 
 
 q 
 = 
 
 (q/ )* 1+B -C  
 + 
 
 q/(4*
2
)* C -2*B -1 
 + 
 
 Para 0 x  : 
 
 y = (q/2k)*(2-D a-D b)+( *2k)*(q/ )*(1+B -C )*A X 
 +(
2
/k)*(q/2
2
)*(C -2*B -1)*B X 
 y = (q/2k)*(2-D a-D b+A X+B *A X-C *A X+C *B X-2*B *B X-B X) 
 
 M = q/(4*
2
)*(B a-B b)+(C X/4* )*(q/ )* 1+B -C  
 +(D X/2)*(q/(4*
2
))* C -2*B -1 
 
 Q = q/(4* )*(C a-C b)-(D X/2)*(q/ )* 1+B -C  
 -( /2)*(A X*q/(2*
2
))* C -2*B -1 
 
 b) Evalúe la elástica para x = o y x =  
 
 x A B C D 
 -5 184.416 142.317 -100.218 42.099 
 -1 -0.819 -2.287 3.750 1.469 
 -0.5 0.656 -0.79 2.237 1.447 
 0.5 0.823 0.291 0.241 0.532 
 1 0.508 0.310 -0.111 0.199 
 5 -0.005 -0.006 0.008 0.002 
 
 = 
3
3
4
*
*
K
E h
 = (3*2000/(2.5*10
6
*0.15
3
))
1/4
 = 0.9183 
 
 y (x=0) = q/(2*k)*(2-1-D )+q/(2*k)*(C -2*B -1)*0+q/(2*k)*(1+B -C )*1 
 = q/(2*k)*(1-D +1+B -C ) = q/(2*k)*(2+B -C -D ) 
 
 
 B -C -D  = e
- *(sen -(cos -sen )-cos ) 
 = e
- *(2*sen -2*cos ) 
 = 2*e
- *(sen -cos ) = -2*e- *(cos -sen ) 
 = -2*C  
 
 y(x) = q/(2*k)*(2-2*C ) = q/k*(1-C ) 
 = 0.7/(2000*0.2)*(1-C ) 
 
  = 2 m  = 1.8366 
 C  = -0.196 A  = 0.112 B  = 0.154 D  = -0.042 
 
 y(x=0)= 2.09 m 
 
 y(x=) = q/(2*k)*((1.042)+(1+0.154+0.196)*0.112 
 +(-0.196-2*0.154-1)*0.154) 
 = q/(2*k)*(1.042-0.2316+0.1512) = 0.9616*0.7*1000/400 
 = 1.68 mm 
 
 x y M Q 
 C1A X C2C X C3D X P* /(2*k) = C1 
 0 1 1 -1 P/(4* ) = C2 
 0.2 0.965 0.640 -0.802 P/2 =C3 
 0.4 0.878 0.356 -0.617 
 0.6 0.763 0.143 -0.453 
 0.8 0.635 -0.009 -0.313 
 1.0 0.508 -0.111 -0.199 
 1.5 0.238 -0.207 -0.016 
 2.0 0.067 -0.179 0.056 
 2.5 -0.017 -0.115 0.066 
 3.0 -0.042 -0.056 0.049 
 4.0 -0.026 0.002 0.012 
 5.0 -0.005 0.008 -0.002 
 
 Diagrama de corte : 
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.5 2 2.5
 
 
 
 +