Apostila-Fisica-Moderna-II

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F´ısica Moderna
para iniciados, interessados e aficionados
Ivan S. Oliveira
Ph.D. Oxford
Departamento de Mate´ria Condensada e F´ısica Estat´ıstica
Centro Brasileiro de Pesquisas F´ısicas
Notas do Autor
Escrever um livro sobre f´ısica moderna como este exige um bocado de
esp´ırito de risco em relac¸a˜o ao pro´prio trabalho. Alguns colegas podera˜o
achar este esforc¸o fatalmente inu´til, por considerarem quase imposs´ıvel
para o “pedestre comum” compreender as estranhas ide´ias da rainha
das cieˆncias no se´culo XX. Discordo frontalmente; na˜o e´ preciso ser
um Villa-Lobos para “arrancar” alguns acordes. A minha motivac¸a˜o
ao abrac¸ar tal empreitada e´ muito simples: tenho certeza que meni-
nos e meninas ao final do ensino me´dio, com um certo esforc¸o, sa˜o
capazes de entender os conceitos da f´ısica do se´culo XX somente com a
matema´tica que ja´ aprenderam. Esta certeza nasceu, em parte, do meu
breve conv´ıvio com alguns destes estudantes no chamado Programa
de Vocac¸a˜o Cient´ıfica, iniciado na Fiocruz, e adotado no CBPF ao
final de 1997, e em parte devido a um interesse particular por desafios
deste tipo. Apo´s algum tempo trabalhando somente com estudantes de
mestrado e doutorado, foi uma agrada´vel surpresa descobrir a curiosi-
dade cient´ıfica, ainda sem v´ıcios, e o desembarac¸o de estudantes ta˜o
jovens. Assist´ı-los apresentando semina´rios ou em frente a um painel,
explicando sem cerimoˆnia o que aprenderam para uma audieˆncia de ci-
entistas profissionais, foi uma surpresa que me causou grande est´ımulo.
Contudo, o texto na˜o e´ dirigido somente para alunos do ensino
me´dio, mas tambe´m para todos os que se consideram iniciados, in-
teressados ou aficionados. Dentre estes incluem-se alunos no in´ıcio de
graduac¸a˜o em engenharias, qu´ımica, e qualquer pessoa que tenha in-
teresse em f´ısica moderna, e que conhec¸a a matema´tica do segundo
grau. Acredito que o texto sera´ particularmente u´til para professores
do segundo grau, e alunos dos cursos em licenciatura. Aqui uma cons-
tatac¸a˜o: o livro na˜o e´ um livro texto no sentido usual, mas tambe´m na˜o
e´ um livro de divulgac¸a˜o como outros tantos. Tentei atingir um balanc¸o
entre as duas abordagens. A raza˜o e´ que com pouqu´ıssima matema´tica
pode-se ir muito ale´m do que se conseguiria sem nenhuma.
A matema´tica e´ a linguagem natural da f´ısica. Qualquer pessoa que
deseje conhecer f´ısica com alguma profundidade, na˜o podera´ ignorar a
matema´tica. A raza˜o e´ ta˜o simples quanto fascinante: os fenoˆmenos
da Natureza obedecem a equac¸o˜es matema´ticas! Um buraco negro e´
uma soluc¸a˜o de um conjunto de equac¸o˜es matema´ticas; um eco de spins
i
tambe´m, ondas eletromagne´ticas idem. Podemos lanc¸ar sate´lites, ex-
trair energia dos nu´cleos dos a´tomos, conhecer a idade do Universo, ob-
servar as imagens de um ce´rebro humano em funcionamento, ou ainda
sonhar com computadores quaˆnticos e computadores biolo´gicos, grac¸as
a` compreensa˜o matema´tica que temos dos fenoˆmenos naturais.
Acredito que a abordagem matema´tica utilizada neste texto o torna
acess´ıvel a todos aqueles que tenham interesse pela f´ısica e seus fasci-
nates problemas no se´culo XX. O leitor precisara´ ter noc¸a˜o do que seja
uma func¸a˜o e conhecer algumas operac¸o˜es alge´bricas elementares, ao
n´ıvel do que se aprende no segundo grau de nossas boas escolas. Al-
guns cap´ıtulos sa˜o mais te´cnicos do que outros, e podem parecer mais
dif´ıceis. Aqueles que na˜o se impressionarem com s´ımbolos, e tiverem um
pouco de pacieˆncia, na˜o encontrara˜o dificuldades em seguir os argumen-
tos. Aqueles outros que possu´ırem apetite especial para matema´tica,
encontrara˜o material suplementar em alguns dos paine´is inseridos ao
longo do texto. Aos que “odeiam” matema´tica, mas possuem inter-
esse por certas a´reas da f´ısica, recomendo que simplesmente ignorem as
fo´rmulas e sigam adiante. O aproveitamento dependera´ neste caso do
cap´ıtulo e da experieˆncia do leitor em achar o “caminho das pedras”!
O se´culo XX foi o se´culo da f´ısica. Avanc¸os espetaculares na com-
preensa˜o dos fenoˆmenos naturais (se e´ que podemos realmente afir-
mar que “compreendemos” o que significa o tempo dilatar ou uma
func¸a˜o de onda colapsar!) desaguaram em tecnologias nunca antes
sonhadas, e em discusso˜es filoso´ficas ta˜o infinda´veis quanto interes-
santes. Nosso conhecimento sobre a Natureza avanc¸a vertiginosamente,
e e´ imposs´ıvel dizer como ele, e a tecnologia que dele decorre, va˜o es-
tar ao final do se´culo XXI! Computadores quaˆnticos realizando tele-
porte e calculando com velocidade inimagina´vel, gerando co´digos crip-
togra´ficos indecifra´veis; todas as maravilhas prometidas pela chamada
nanocieˆncia decorrente da manipulac¸a˜o de materiais em escala atoˆmica,
como circuitos eletroˆnicos moleculares; transporte de energia sem dis-
sipac¸a˜o em supercondutores; novos dados observacionais sobre a ex-
pansa˜o do Universo, desafiando modelos cosmolo´gicos; novas teorias
sobre os constituintes elementares da mate´ria. Estas sa˜o apenas algu-
mas das tendeˆncias mais atuais.
Acredito que nossos cursos, tanto introduto´rios quanto intermedia´rios,
devessem “concentrar fogo” sobre essa “nova f´ısica”, e na˜o estagnar
ii
sobre conceitos formulados ha´ 300 anos que, de certa forma, ficaram
“soterrados” no in´ıcio do se´culo XX. A maioria dos nossos jovens so´
conhece Einstein pela explorada fotografia da careta, e o associam a`
fo´rmula E = mc2. E´ preciso separar os resultados das suas deduc¸o˜es.
Deduzir a expressa˜o matema´tica E = mc2 como consequ¨eˆncia lo´gica de
alguns postulados simples, e´ consideravelmente te´cnico para um estu-
dante em fase inicial. Mas isso na˜o quer dizer que ele na˜o possa com-
preender o que esta fo´rmula significa, e quais sa˜o as suas implicac¸o˜es! O
mesmo se pode dizer sobre a mecaˆnica quaˆntica, sobre a f´ısica nuclear,
sobre o magnetismo, sobre a supercondutividade, etc. Obviamente na˜o
e´ preciso que um estudante de medicina seja Ph.D. em f´ısica para ir
ale´m dos boto˜es dos equipamentos, e entender um pouco dos princ´ıpios
da ressonaˆncia magne´tica nuclear, fenoˆmeno f´ısico que o auxiliara´ com
os seus pacientes!
Resumindo, este livro e´ um laborato´rio. Inevitavelmente muitos
to´picos importantes ficaram de fora, como em qualquer outro livro com
um nu´mero manusea´vel de pa´ginas. Ao me convencer de que ele na˜o
poderia ser um livro texto como os usuais, me senti livre para experi-
mentar um estilo descontra´ıdo, que em geral funciona nos meus cursos
na po´s-graduac¸a˜o do CBPF. Afinal, para um carioca incorrig´ıvel como
eu, ficar longe do bom humor e do sarcasmo pode ser sintoma de doenc¸a
grave. Espero que esta combinac¸a˜o pouco ortodoxa seja u´til para o
leitor.
Ivan S. Oliveira
iii
Agradecimentos
Gostaria de agradecer aos seguintes amigos e companheiros de labuta:
Dr. Luis A. C. P. da Mota do Instituto de F´ısica da Universidade do
Estado do Rio de Janeiro (companheiro infal´ıvel de muita pizza e muita
f´ısica nos ge´lidos sa´bados de Oxford); ao meu querido amigo Dr. Edi-
som Moreira Jr., do Departamento de Matema´tica e Computac¸a˜o do
Instituto de Cieˆncias da Escola Federal de Engenharia de Itajuba´; Dr.
Jose´ Abdalla Helaye¨l Neto, do Departamento de Campos e Part´ıculas
do Centro Brasileiro de Pesquisas F´ısicas, ao ex-aluno, agora amigo e
colaborador, Engenheiro Salvador Barreto Belmonte e ao Dr. Alberto
Passos Guimara˜es, amigo e mentor de longa data, do Departamento
de Mate´ria Condensada e F´ısica Estat´ıstica do Centro Brasileiro de
Pesquisas F´ısicas. Checou todas as v´ırgulas, colocou todas as tremas e
corrigiu todas as crases! Ao meu bom amigo alema˜o, Dr. Stefan Jorda,
e ao amigo Dr. Vitor Luiz Bastos de Jesus, a quem pude sugerir algu-
mas ide´ias e de quem aprendi outras tantas. Aos colegas do Instituto de
F´ısica Gleb Wataghin da UNICAMP, Drs. Marcelo Knobele Leandro
R. Tessler, pelo encorajamento e incentivo. Quero tambe´m agradecer
a` minha esposa, Dra. Rosinda Martins Oliveira, entusiasmada neuro-
psico´loga. Enquanto muitos autores agradecem a`s respectivas esposas
pela “compreensa˜o”, “pacieˆncia”, “est´ımulo”, etc., tenho a sorte de ter
tido o mesmo, e ainda contar com algo mais. Crescemos juntos, e esta-
mos ambos familiarizados com as belezas desta estrada, mas tambe´m
com seus “buracos” e “peda´gios”. Foi ela quem primeiro leu o livro e
fez as primeiras cr´ıticas e sugesto˜es. E gostou!
iv
.
Para
Ju´lio e Maur´ıcio
meu melhor incentivo
v
Ganhadores do Preˆmo Nobel de F´ısica1
1901. Wilhelm Konrad Ro¨ntgen - pela descoberta dos raios-X.
1902. Hendrik Antoon Lorentz e Pieter Zeeman - pelas suas pesquisas
sobre radiac¸a˜o.
1903. Antoine Henri Becquerel e Pierre Curie - pela descoberta da
radioatividade espontaˆnea.
1904. John William Strutt (Lord Rayleigh) - pela descoberta do argoˆnio.
1905. Philipp Eduard Anton von Lenard - pelos seus trabalhos sobre os
raios cato´dicos.
1906. Joseph John Thompson - pelos seus trabalhos sobre a condutividade
ele´trica dos gases.
1907. Albert Abraham Michelson - pelos seus trabalhos com instrumentos
o´pticos de precisa˜o.
1908. Gabriel Lippmann - pelos seus trabalhos com cores e fenoˆmenos de
interfereˆncia.
1909. Guglielmo Marconi e Carl Ferdinand Braun - pelas suas con-
tribuic¸o˜es ao desenvolvimento do tele´grafo sem fio.
1910. Johannes Diderik van der Waals - pelos seus estudos sobre a equac¸a˜o
de estados de gases e l´ıquidos.
1911. Wilhelm Wien - pelos seus estudos sobre radiac¸a˜o de calor.
1912. Nils Gustaf Dale´n - pela invenc¸a˜o de reguladores automa´ticos utiliza-
dos na iluminac¸a˜o de faro´is.
1913. Heike Kamerlingh Onnes - pela liquefac¸a˜o do he´lio.
1914. Max von Laue - pela descoberta da difrac¸a˜o de raios-X por cristais.
1915. William Henry Bragg e William Lawrence Bragg - pelos seus
estudos sobre a estrutura de cristais utilizando difrac¸a˜o de raios-X.
1917. Charles Glover Barkla - pela descoberta dos raios-X caracter´ısticos
dos elementos.
1918. Max Plank - pela descoberta do quantum de energia.
1919. Johannes Stark - pelos seus trabalhos com o Efeito Doppler.
1920. Charles-E´dounard Guillaume - pelos seus trabalhos em medidas de
precisa˜o.
1921. Albert Einstein - pelos seus trabalhos em f´ısica teo´rica, em particular
pela explicac¸a˜o do efeito fotoele´trico.
1922. Niels Bohr - pelas suas investigac¸o˜es sobre a estrutura do a´tomo.
1923. Robert Andrews Millikan - pelos seus trabalhos sobre a carga ele-
mentar e sobre o efeito fotoele´trico.
1924. Karl Manne Georg Siegbhan - pelas suas pesquisas sobre espectro-
scopia de raio-X.
1Parcialmente compilado de: Fundamentals of Physics, D. Halliday e R. Resnick,
3a. Ed., John Wiley & Sons (Nova Iorque, 1988)
vi
1925. James Frank e Gustav Hertz - pelos seus trabalhos sobre o impacto
de ele´trons em a´tomos.
1926. Jean Baptiste Perrin - pelos seus trabalhos sobre a estrutura da
mate´ria.
1927. Arthur Holly Compton e Charles Thompson Rees Wilson - pelo
me´todo de condensac¸a˜o de vapor para tornar trajeto´rias de part´ıculas vis´ıveis.
1928. Owen Willans Richardson - pelos seus trabalhos sobre o efeito ter-
moioˆnico.
1929. Louis-Victor de Broglie - pela descoberta da natureza ondulato´ria
do ele´tron.
1930. Chandrasekhara Venkata Raman - pelos seus trabalhos sobre es-
palhamento de luz.
1932. Werner Heisenberg - pela criac¸a˜o da Mecaˆnica Quaˆntica.
1933. Erwin Schro¨dinger e Paul Adrien Maurice Dirac - pelos seus
trabalhos sobre a teoria atoˆmica.
1935. James Chadwick - pela descoberta do neˆutron.
1936. Victor Franz Hess e Carl David Anderson - pela descoberta do
po´sitron.
1937. Clinton Joseph Davisson e George Paget Thompson - pelos seus
trabalhos sobre a difrac¸a˜o de ele´trons por cristais.
1938. Enrico Fermi - pela descoberta dos elementos transuraˆnicos.
1939. Ernest Orlando Lawrence - pela invenc¸a˜o do acelerador c´ıclotron.
1943. Otto Stern - pela descoberta do momento mange´tico do pro´ton.
1944. Isidor Isaac Rabi - pelos seus estudos em ressonaˆncia magne´tica
nuclear.
1945. Wolfgang Pauli - pela descoberta do Princ´ıpio de Exclusa˜o.
1946. Percy Williams Bridgeman - pelos seus trabalhos em f´ısica de alta
pressa˜o.
1947. Edward Victor Appleton - pelos seus trabalhos sobre f´ısica at-
mosfe´rica.
1948. Patrik Maynard Stuart Blackett - pelas suas descobertas em f´ısica
nuclear e radiac¸a˜o co´smica.
1949. Hideki Yukawa - pela previsa˜o teo´rica da existeˆncia do me´son.
1950. Cecil Frank Powel - pelo desenvolvimento de me´todos fotogra´ficos no
estudo de processos nucleares.
1951. John Douglas Cockcroft e Ernest Thomas Sinton Walton - pelos
seus trabalhos sobre a transmutac¸a˜o de nu´cleos atoˆmicos utilizando aceleradores de
part´ıculas.
1952. Felix Bloch e Edward Mills Purcell - pelos suas descobertas em
ressonaˆncia magne´tica nuclear.
1953. Fritz Zernike - pela invenc¸a˜o de novas te´cnicas de microscopia.
1954. Max Born - pela interpretac¸a˜o estat´ıstica da func¸a˜o de onda.
1955. Willis Eugene Lamb - pelos seus trabalhos sobre a estrutura fina do
a´tomo de hidrogeˆnio. Polykarp Kush - pela determinac¸a˜o precisa do momento
vii
magne´tico do ele´tron.
1956. William Shockley, John Bardeen e Walter Houser Brattain -
pelos seus trabalhos em semicondutores e transistores.
1957. Chen Ning Yang e Tsung Dao Lee - pelos seus trabalhos sobre as
leis de paridade em part´ıculas elementares.
1958. Pavel Aleksejevicˇ Cˇerenkov, Il’ja Michajlovicˇ Frank e Igor’Evegen’
evicˇ Tamm - pela descoberta do efeito Cˇerenkov.
1959. Emilio Gino Segre` e Owen Chamberlain - pela descoberta do
antipro´ton.
1960. Donald Arthur Glaser - pela invenc¸a˜o da caˆmara de bolhas.
1961. Robert Hofstadter - pelos seus trabalhos sobre espalhamento de
ele´trons por nu´cleos. Rudolf Ludwig Mo¨ssbauer - pela descoberta do efeito
Mo¨ssbauer.
1962. Lev Davidovicˇ Landau - pelos seus trabalhos em mate´ria condensada.
1963. Eugene P. Wigner - pelas suas contribuic¸o˜es a` teoria nuclear e de
part´ıculas. Maria Geoppert Mayer e J. Hans D. Jensen - pela descoberta da
estrutura de camadas nuclear.
1964. Charles H. Townes, Nikolai G. Basov e Alexander M. Pro-
chorov - pelos seus trabalhos em eletroˆnica quaˆntica.
1965. Sin-Itiro Tomonaga, Julian Schwinger e Richard P. Feynman -
pelos seus trabalhos em eletrodinaˆmica quaˆntica.
1966. Alfred Kastler - pela descoberta e desenvolvimento de me´todos o´pticos
para o estudo de ressonaˆncias em a´tomos.
1967. Hans Albrecht Bethe - pelas suas contribuic¸o˜es a` teoria das reac¸o˜es
nucleares.
1968. Luis W. Alvarez - pelos seus trabalhos em part´ıculas elementares.
1969. Murray Gell-Mann - pelos seus trabalhos em part´ıculas elementares.
1970. Hannes Alve´n - pelos seus trabalhos em magnetohidrodinaˆmica. Louis
Ne´el - pelas suas descobertas sobre antiferromagnetismo e ferrimagnetismo e suas
aplicac¸o˜es ao estado so´lido.
1971. Dennis Gabor - pela descoberta dos princ´ıos da holografia.
1972. John Bardeen, Leon N. Cooper e J. Robert Schrieffer - pelo
desenvolvimento da teoria da supercondutividade.
1973. Leo Esaki - pela descoberta do tunelamento em semicondutores. Ivar
Giaever - pela descoberta do tunelamento em supercondutores. Brian D. Joseph-
son - pela descoberta da supercorrente atrave´s de junc¸o˜es em supercondutores.
1974. Antony Hewish - pela descoberta dos pulsares. Martin Ryle - pelo
seu trabalho em radio-astronomia.
1975. Aege Bohr, Ben Mottelson e James Rainwater - pelos seus tra-
balhos sobre a estrutura nuclear.
1976. Burton Richter e Samuel Chao Chung Ting - pelas suas descober-
tas de uma part´ıcula fundamental.
1977. Philip Warren Anderson, Nevill Francis Mott e John Has-
brouck Van Vleck - pelas suas investigac¸o˜es em materiaismagne´ticos e sistemas
viii
desordenados.
1978. Peter L. Kapitza - pelos seus trabalhos em f´ısica a baixas temper-
aturas. Arno A. Penzias e Robert Woodrow Wilson - pela descoberta da
radiac¸a˜o de fundo do Universo.
1979. Sheldon Lee Glashow, Abdus Salam e Steven Weinberg - pela
teoria unificada da interac¸a˜o eletrofraca.
1980. James W. Cronin e Val L. Fitch - pela descoberta de violac¸o˜es em
princ´ıpios fundamentais de simetria no decaimento de me´sons K.
1981. Nicolaas Bloembergen e Arthur Leonard Schawlow - pelas suas
contribuic¸o˜es a` espectroscopia de laser. Kai M. Siegbahn - pelas suas con-
tribuic¸o˜es a` espectroscopia de ele´tron.
1982. Kenneth Geddes Wilson - pelos seus estudos sobre fenoˆmenos cr´ıticos
na mate´ria.
1983. Subrehmanyan Chandrasekhar - pelos seus estudos sobre a evoluc¸a˜o
das estrelas. William A. Fowler - pelos seus estudos sobre a formac¸a˜o de elemen-
tos qu´ımicos no Universo.
1984. Carlo Rubia e Simon van der Meer - pelas suas contribuic¸o˜es a`
descoberta das part´ıculas W e Z.
1985. Klaus von Klitzing - pela descoberta do efeito Hall quaˆntico.
1986. Ernst Ruska - pela descoberta do microsco´pio eletroˆnico. Gerd Bin-
nig - pela descoberta da varredura de tunelamento. Heinrich Rohrer - pela
invenc¸a˜o do microsco´pio eletroˆnico por varredura de tunelamento.
1987. Karl Alex Mu¨ller e J. George Bednorz - pela descoberta dos
supercondutores de alta temperatura cr´ıtica.
1988. Leon M. Lederman, Melvin Schwartz e Jack Steinberger - pelas
suas pesquisas sobre a estrutura dos le´ptons.
1989. Norman F. Ramsey, Hans G. Dehmelt e Wolfgang Paul - pelo
desenvolvimento da te´cnica de aprisionamento de ı´ons.
1990. Jerome I. Friedman, Henry W. Kendall e Richard E. Taylor -
pelas suas investigac¸o˜es sobre o espalhamento inela´stico de ele´trons em pro´tons e
neˆutrons.
1991. Pierre-Gilles de Gennes - pelos seus estudos em cristais l´ıquidos e
pol´ımeros.
1992. Georges Charpak - pela invenc¸a˜o de detectores de part´ıculas.
1993. Russell A. Hulse e Joseph H. Taylor Jr. - pela descoberta de um
novo tipo de pulsar.
1994. Bertramin N. Brockhouse e Clifford G. Shull - pelas suas con-
tribuic¸o˜es ao desenvolvimento de te´cnicas de difrac¸a˜o de neˆutrons.
1995. Martin L. Perl e Frederick Reines - pelas suas contribuic¸o˜es a` f´ısica
dos leptons.
1996. David M. Lee, Douglas D. Osheroff e Robert C. Richardson -
pela descoberta da superfluidez no 3He.
1997. Steven Chu, William D. Phillips e Claude Cohen-Tannoudji -
pelos seus trabalhos sobre as interac¸o˜es entre radiac¸a˜o e mate´ria.
ix
1998. Robert C. Laughlin, Horst L. Stoermer e Daniel C. Tsui - pela
descoberta de novas propriedades eletroˆnicas a baixas temperaturas e altos campos
magne´ticos.
1999. Gerardus ’t Hooft e Martinus J.G. Veltman - pelos seus trabalhos
teo´ricos sobre a estrutura e movimento de part´ıculas subatoˆmicas.
2000. Zhores Alferov, Herbert Kroemer e Jack Kilby - por suas pesquisas
em semicondutores que permitiram o desenvolvimento de computadores ultra-ra´pidos.
x
Lista de Paine´is por Cap´ıtulo
Cap´ıtulo 1
Painel I - “A Vida e a Obra de Dois Geˆnios” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pg. 5
Painel II - “Quantidades Escalares e Vetoriais” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Painel III - “Derivada de uma Func¸a˜o” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Painel IV - “Integral de uma Func¸a˜o” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Painel V - “Nu´meros Imagina´rios, Nu´meros Complexos e
Func¸o˜es Complexas” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Cap´ıtulo 2
Painel VI - “A Experieˆncia de Michelson” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Painel VII - “Casamento Conturbado” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Cap´ıtulo 3
Painel VIII - “Func¸o˜es de Distribuic¸a˜o de Probabilidades” . . . . . . . . . . . . . . . 148
Painel IX - “A Equac¸a˜o de Schro¨dinger” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Cap´ıtulo 4
Painel X - “ Coordenadas Retangulares vs. Esfe´ricas” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Cap´ıtulo 5
Painel XI - “Alan Turing” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Cap´ıtulo 6
Painel XII - “RMN e Computac¸a˜o Quaˆntica” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
Cap´ıtulo 7
Painel XIII - “O Projeto Manhattan” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
Painel XIV - “Espelhos Magne´ticos e Tokamaks” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .394
Cap´ıtulo 8
Painel XV - “O Efeito Mo¨ssbauer” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
Painel XVI - “Relatividade e Imposturas Intelectuais” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
Cap´ıtulo 9
Painel XVII - “A Caˆmara de Wilson” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
Painel XVIII - “Vida e Obra de Cesar Lattes” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
Painel XIX - “Vida e Obra de Jose´ Leite Lopes” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
Painel XX - “O Laborato´rio Nacional de Luz S´ıncrotron . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
Painel XXI - “O Modelo Padra˜o” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
xi
xii
Contents
1 A F´ısica ate´ 1905: uma Casa de Gigantes 1
1.1 A Mecaˆnica Cla´ssica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 As Leis do Movimento;
Newton, Espac¸o e Tempo Absolutos . . . . . . . . 3
1.1.2 Movimento de Objetos sob a Ac¸a˜o de
Forc¸as Mecaˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.3 Gravitac¸a˜o Universal: da Queda da Mac¸a˜ a` Queda
da Lua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.1.4 O Movimento dos Planetas . . . . . . . . . . . . . 33
1.1.5 Massa Inercial vs. Massa Gravitacional . . . . . . 39
1.1.6 Movimento Relativo . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.1.7 F´ısica Te´rmica: dos Planetas aos Gases . . . . . . 44
1.1.8 E´ Poss´ıvel o Tempo andar para Tra´s? . . . . . . . 47
1.1.9 O Relo´gio Co´smico . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2 O Eletromagnetismo Cla´ssico . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.2.1 Fenoˆmenos Ele´tricos e Magne´ticos . . . . . . . . . 52
1.2.2 Fenoˆmenos Ondulato´rios: Difrac¸a˜o e Interfereˆncia 62
1.2.3 Ondas Eletromagne´ticas . . . . . . . . . . . . . . 70
1.2.4 Afinal, o que e´ a Luz? . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.2.5 Afinal, Porque o Ce´u e´ Azul? . . . . . . . . . . . 79
1.2.6 Acabou a F´ısica?! . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2 A Teoria da Relatividade 85
2.1 Einstein: um Geˆnio Desempregado . . . . . . . . . . . . 86
2.2 Maxwell na˜o Concorda com Newton . . . . . . . . . . . . 89
2.3 Os Postulados da Relatividade:
a Implosa˜o do Velho Templo . . . . . . . . . . . . . . . . 104
xiii
2.4 O Tempo pode ser Esticado! . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.5 O Espac¸o pode ser Encolhido! . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.6 E = mc2: Energia que da´ Gosto! . . . . . . . . . . . . . 117
2.7 Viagens no Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3 A Mecaˆnica Quaˆntica 129
3.1 Havia uma Pedra no Caminho . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.2 Max Plank: Pacotes de Luz?! . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.3 Louis de Broglie: Ondas de Mate´ria?! . . . . . . . . . . . 140
3.4 Erwin Schro¨dinger e o Miste´rio ψ(r, t) . . . . . . . . . . 144
3.5 A Du´bia Vida de um Pobre Gato . . . . . . . . . . . . . 159
3.6 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.7 O Princ´ıpio de Exclusa˜o de Pauli . . . . . . . . . . . . . 170
3.8 Einstein: “Deus na˜o JogaDados” . . . . . . . . . . . . . 178
3.9 Correlac¸o˜es Estranhas: Afinal, Deus Joga Dados? . . . . 182
3.10 Existe um Mundo la´ Fora? . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.11 Teletransporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4 Como Construir um A´tomo 197
4.1 A Estrutura do A´tomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.2 Orbitais Quaˆnticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.3 A Mate´ria do Universo em uma Tabela . . . . . . . . . . 217
4.4 Esticando a Tabela Perio´dica . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.5 Ligac¸o˜es Qu´ımicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
4.6 ADN: uma Mole´cula muito Especial . . . . . . . . . . . . 228
4.7 Magnetismo do A´tomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
4.8 Forc¸a Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.9 O Indivis´ıvel pode ser Dividido! . . . . . . . . . . . . . . 242
5 Dos A´tomos aos Computadores 247
5.1 Objetos Macrosco´picos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.2 Periodicidade na Natureza . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
5.3 Porque a Lata Difere do Diamante? . . . . . . . . . . . . 255
5.4 Autoestados em uma Caixa Perio´dica . . . . . . . . . . . 256
5.5 O Mundo e´ Quaˆntico! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
5.6 Metais, Isolantes e Semicondutores . . . . . . . . . . . . 269
5.7 Junc¸o˜es, Diodos e Transistores . . . . . . . . . . . . . . . 272
xiv
5.8 O que sa˜o Computadores? . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
5.9 Bits & Bites: o Ba´sico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
5.10 A Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
5.11 O ADN Computa! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
5.12 Computadores podem Pensar? . . . . . . . . . . . . . . . 297
6 Magnetismo 307
6.1 Origem do Magnetismo na Mate´ria . . . . . . . . . . . . 307
6.2 Tipos de Ordem Magne´tica . . . . . . . . . . . . . . . . 319
6.3 Magnetismo Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
6.4 Ressonaˆncia Magne´tica Nuclear . . . . . . . . . . . . . . 327
6.5 O Sistema Girante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
6.6 Ecos de Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
6.7 Imagens do Corpo Humano;
uso Me´dico da RMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
6.8 A Fauna Quaˆntica: Fo´tons, Foˆnons,
Ma´gnons, Plasmons, e outros ‘ons’ . . . . . . . . . . . . 349
6.9 Trens que Flutuam! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
7 Energia Nuclear 365
7.1 Instabilidade Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
7.2 Alfa, Beta e Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
7.3 Fissa˜o Nuclear: Xoˆ Satana´s! . . . . . . . . . . . . . . . . 374
7.4 Energia de Fissa˜o: Quantos Nu´cleos Fervem uma Piscina?378
7.5 Reatores-N & Bombas-A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
7.6 Lixo Atoˆmico: um Sub-Produto Indeseja´vel . . . . . . . 389
7.7 Fusa˜o Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
7.8 Como Funciona o Sol? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
7.9 Efeitos Biolo´gicos da Radiac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . 397
7.10 Medicina Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
8 Relatividade Geral 409
8.1 Einstein Ataca de Novo! . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
8.2 O Princ´ıpio da Equivaleˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . 410
8.3 Geometria e Gravitac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
8.4 Nascimento e Morte das Estrelas:
Buracos Negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
xv
8.5 Novos Desafios a` Relatividade . . . . . . . . . . . . . . . 430
8.6 O Universo teve um In´ıcio?
A Grande Explosa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
8.7 O Universo tera´ um Fim?
O Grande Colapso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
9 O Sonho da Unificac¸a˜o 445
9.1 As Quatro Damas da Criac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . 446
9.2 Newton:
Unificac¸a˜o do Ce´u com a Terra . . . . . . . . . . . . . . 449
9.3 Maxwell:
Unificac¸a˜o da Eletricidade com o Magnetismo
e com a O´tica F´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
9.4 Part´ıculas Elementares:
A Ducha Co´smica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
9.5 Unificac¸a˜o Eletrofraca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
9.6 E´ Poss´ıvel Recriar o Universo em um Laborato´rio? . . . 468
9.7 Gravitac¸a˜o: outra Pedra no Caminho! . . . . . . . . . . . 476
9.8 Teorias de Tudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
xvi
Chapter 1
A F´ısica ate´ 1905: uma Casa
de Gigantes
1.1 A Mecaˆnica Cla´ssica
No in´ıcio tudo era o caos. Primeiro criou Deus o Ce´u e a Terra. A Terra
era vazia e sem forma. O Esp´ırito de Deus pairava sobre as a´guas. E
Deus disse:
- Haja Luz!
Notando no entanto que nada acontecera, o desapontado Criador
deu um longo suspiro, e balbuciou distra´ıdo:
- Haja Pacieˆncia!
Um de seus Arcanjos enta˜o, constrangido com o que ocorrera, cochichou-
Lhe algo nos ouvidos. . .
- Ah, sim. Claro! Haja, antes, Espac¸o e Tempo!
E depois repetiu animado:
- Haja Luz!
E um aberto sorriso iluminou Sua face.
1
2
O Livro do Geˆnesis descreve de maneira poe´tica o momento da
Criac¸a˜o do Universo. Embora alguns cientistas ainda discutam se houve
realmente um “in´ıcio”, as evideˆncias mais recentes apontam para o
fato de que o Universo em que vivemos teve seu nascimento em algum
momento, ha´ cerca de 15 bilho˜es de anos atra´s. A adulterac¸a˜o das
primeiras palavras da B´ıblia feita acima, serve para enfatizar (de forma
bem humorada) o que intuimos a respeito da estrutura mais ba´sica do
Universo: o espac¸o e o tempo. E´ dif´ıcil imaginarmos o espac¸o e o tempo
como objetos f´ısicos em s´ı, que foram criados com os outros objetos do
Universo. O sentimento que temos e´ de que o espac¸o e o tempo devem
ter pre-existido a` criac¸a˜o das outras coisas.
No entanto, parece na˜o ser assim. Como veremos ao longo deste
livro, a Natureza muitas vezes na˜o corresponde a`s nossas intuic¸o˜es
ingeˆnuas. No primeiro quarto do se´culo XX o edif´ıcio cient´ıfico cons-
tru´ıdo durante mais de 300 anos por gigantes da Cieˆncia como Galileu
Galilei, Isaac Newton, e James Clerk Maxwell, viu as suas bases ru´ırem
diante das ide´ias revoluciona´rias de homens como Albert Einstein, Max
Planck, Niels Bohr, Louis de Broglie, Wolfgang Pauli, Werner Heisen-
berg, Erwin Schro¨dinger, entre outros.
Nos dias de hoje estamos habituados a usar computadores, e ouvir
coisas sobre energia nuclear, bombas atoˆmicas, buracos negros, tomo-
grafia computadorizada, lixo atoˆmico, viagens interestelares, etc. Es-
tas coisas aparecem em jornais, revistas, romances, filmes, poemas,
etc. Fazem parte do nosso dia-a-dia, e ocupam o centro da produc¸a˜o
cient´ıfica e tecnolo´gica dos pa´ıses industrializados, onde o uso deste co-
nhecimento gera riqueza e desenvolvimento. No entanto, muitas vezes
CAPI´TULO 1 - A FI´SICA ATE´ 1905: UMA CASA DE GIGANTES3
na˜o nos damos conta de que este conhecimento e´ o produto de uma
revoluc¸a˜o cient´ıfica (talvez a maior da histo´ria da humanidade), que
ocorreu ha´ menos de 100 anos atra´s! As bases desta revoluc¸a˜o sa˜o duas
teorias f´ısicas espetaculares: a Teoria da Relatividade e a Mecaˆnica
Quaˆntica. E´ sobre estas duas teorias e suas consequ¨eˆncias de que trata
este livro. Antes, contudo, para melhor apreciarmos a devastac¸a˜o feita
por estes dois furaco˜es, e´ necessa´rio que nos coloquemos na situac¸a˜o
dos f´ısicos do in´ıcio do se´culo XX, que tiveram que assistir perplexos
ao desabamento do Templo que habitavam.
1.1.1 As Leis do Movimento;
Newton, Espac¸o e Tempo Absolutos
O que hoje chamamos de F´ısica Cla´ssica e´ basicamente o conteu´do da
obra de dois homens: o ingleˆs Isaac Newton, e o escoceˆs James Clerk
Maxwell. O primeiro unificou as leis da mecaˆnica, que descrevem o
movimento de objetossob a ac¸a˜o de forc¸as que sobre ele atuam. O
segundo unificou as leis que regem os fenoˆmenos ele´tricos e magne´ticos,
incluindo a propagac¸a˜o de ondas eletromagne´ticas no espac¸o, como on-
das de ra´dio e a luz. Na f´ısica, esses dois monumentos teo´ricos sa˜o
conhecidos como Mecaˆnica Cla´ssica e Eletrodinaˆmica Cla´ssica.
Nesta sec¸a˜o vamos revisar os fundamentos da mecaˆnica, seus pos-
tulados, e suas leis do movimento: as treˆs leis de Newton. Na segunda
parte deste cap´ıtulo estudaremos os fenoˆmenos eletromagne´ticos. Al-
guns conceitos matema´ticos, como a “derivada” e a “integral” de uma
func¸a˜o sa˜o introduzidos nos paine´is, por razo˜es de complementaridade.
Ter conhecimento pre´vio destas te´cnicas na˜o e´, contudo, necessa´rio para
4
acompanhar o texto.
A obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, ou Princ´ıpios
Matema´ticos da Filosofia Natural, publicada em 1687, e´ um marco na
Histo´ria da Cieˆncia, que perpetua o nome de Isaac Newton como um
dos maiores, sena˜o o maior geˆnio cient´ıfico que ja´ existiu. Nesta obra,
Newton estabelece os fundamentos da mecaˆnica. O espac¸o e o tempo
absolutos sa˜o conceituados como estruturas esta´ticas, homogeˆneas, in-
altera´veis, que nada teˆm a ver com as outras coisas. Para Newton,
as noc¸o˜es vulgares de espac¸o e tempo que temos decorrem da nossa
experieˆncia de movimento dentro dessa estrutura absoluta.
CAPI´TULO 1 - A FI´SICA ATE´ 1905: UMA CASA DE GIGANTES5
PAINEL I
A VIDA E OBRA DE DOIS GEˆNIOS
O ingleˆs Isaac Newton nasceu no dia de Natal de 1642, em uma cidade chamada
Woolsthorpe ao centro-norte da Inglaterra. No mesmo ano morria o italiano Galileu
Galilei. Newton bacharelou-se pela Universidade de Cambridge em 1665, ano que
retornaria para Woolsthorpe, fugindo da Grande Peste que assolava a Europa. Os
dois anos que se seguiram foram, segundo o pro´prio Newton, os mais fe´rteis de sua
vida. Durante este per´ıodo desenvolveu o Ca´lculo Diferencial e Integral (que ele
denominava ca´lculo das fluxo˜es), fez importantes estudos de o´tica, e comec¸ou a sua
Teoria da Gravitac¸a˜o Universal. Tornou-se membro da Royal Society (a academia
de cieˆncias inglesa) em 1672. Sua obra mais importante, o Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica foi publicada em 1687, com duas edic¸o˜es posteriores, em
1713 e 1726. Newton morreu em 1727.
James Clerk Maxwell nasceu em Edinburgo, capital da Esco´cia, no dia 13 de
junho de 1831, e portanto quase 100 anos apo´s a morte de Newton. Ainda muito
jovem ja´ revelava aptido˜es especiais para a cieˆncia. Aos 19 anos produziu alguns
trabalhos originais que foram apresentados a` Royal Society de Edinburgo. Em 1847
Maxwell ingressou na Universidade de Edinburgo, terminando sua graduac¸a˜o em
janeiro de 1854. Seus trabalhos mais importantes sobre Teoria Cine´tica dos Gases e
Eletrodinaˆmica foram desenvolvidos durante os anos de 1860 e 1865, per´ıodo em que
esteve no Kings College, em Londres. Em 1871 tornou-se professor de eletricidade
e magnetismo em Cambridge, onde durante os primeiros anos deu retoques em seu
grande trabalho sobre a eletrodinaˆmica. Em 1879 caiu doente e faleceu no dia 5 de
novembro, com a idade de apenas 49 anos.
6
A famosa expressa˜o matema´tica1
F = ma (1.1)
define a relac¸a˜o entre a forc¸a resultante F que atua sobre um objeto
de massa m, e a acelerac¸a˜o a que este adquire sob a ac¸a˜o da forc¸a.
Esta equac¸a˜o dinaˆmica e´ o corac¸a˜o da mecaˆnica cla´ssica. Ela descreve
o movimento de qualquer objeto: pode tanto ser uma bola que rola
ladeira abaixo, quanto o movimento de um planeta em torno do Sol.
A equac¸a˜o 1.1 e´ a expressa˜o matema´tica da conhecida Segunda Lei de
Newton. Newton postulou mais duas leis de movimento. Sa˜o elas:
Primeira Lei: Todo corpo permanece em estado de re-
pouso ou de movimento retil´ıneo uniforme, a menos que
atuem sobre ele forc¸as externas que alterem este estado;
Terceira Lei: A toda ac¸a˜o existe sempre uma reac¸a˜o
igual em mo´dulo, e em sentido contra´rio.
Com essas treˆs Leis, Newton revolucionou o Mundo!
E´ importante lembrar que a equac¸a˜o 1.1 e´ uma equac¸a˜o vetorial.
As quantidades F e a na˜o sa˜o nu´meros puros: sa˜o vetores, e portanto
possuem mo´dulo, direc¸a˜o e sentido. Vetores, de uma maneira geral, pos-
suem treˆs componentes, que correspondem a`s treˆs dimenso˜es do espac¸o.
No caso da forc¸a F, por exemplo, representamos essas componentes por
Fx, Fy e Fz. Em problemas unidimensionais so´ havera´ uma componente
1Adotaremos a notac¸a˜o em negrito ‘F’, ao inve´s da mais usual ‘�F ’, para repre-
sentar vetores.
CAPI´TULO 1 - A FI´SICA ATE´ 1905: UMA CASA DE GIGANTES7
e podemos omitir o negrito da notac¸a˜o vetorial, observando, contudo,
o sentido do movimento.
8
PAINEL II
QUANTIDADES ESCALARES E VETORIAIS
Em f´ısica, nu´meros servem para quantificar propriedades relacionadas a objetos ou
ao movimento de objetos. Por exemplo, quando afirmamos que um objeto possui
uma massa de 5 kg, associamos a` propriedade de massa, o nu´mero 5, vezes o padra˜o
quilograma. Algumas propriedades, no entanto, na˜o ficam completamente caracte-
rizadas apenas com um nu´mero. Por exemplo, se algue´m disser ‘passou por aqui um
carro a 100 km/h’, nos ocorre a pergunta: ‘em que direc¸a˜o?’ Neste caso, somente
o nu´mero ‘100 km/h’ na˜o completa a informac¸a˜o. Quantidades que ficam caracte-
rizadas apenas por um nu´mero sa˜o chamadas escalares, e quantidades associadas a`
direc¸o˜es no espac¸o sa˜o chamadas vetoriais.
Vetores possuem mo´dulo, direc¸a˜o e sentido. Usamos os vetores unita´rios (ou
seja, de mo´dulo 1, tambe´m chamados de versores) i, j e k, tambe´m chamados de
vetores de base, para representarmos as 3 direc¸o˜es do espac¸o. Com isso podemos
escrever qualquer vetor como uma combinac¸a˜o dos vetores de base. Por exemplo,
F = Fxi+ Fyj+ Fzk
representa um vetor F cujas componentes sa˜o Fx, Fy e Fz. Embora na˜o seja es-
tritamente necessa´rio, os vetores de base sa˜o em geral perpendiculares entre si, ou
seja, formam aˆngulos de 90 graus uns com os outros.
O mo´dulo de um vetor F, representado por |F| ou F , e´ uma medida da inten-
sidade da grandeza f´ısica que ele representa. O mo´dulo e´ dado por:
|F| =
√
F 2x + F 2y + F 2z
Por exemplo, o mo´dulo do vetor posic¸a˜o r = 3i−2j+5k e´ igual a √9 + 4 + 25 ≈ 6, 2
unidades de distaˆncia (por exemplo, o metro). O mo´dulo do vetor velocidade v =
4i+ j − 5k e´ √16 + 1 + 25 ≈ 6, 5 unidades de velocidade (por exemplo, kiloˆmetros
por hora).
A soma de dois vetores e´ outro vetor cujas componentes sa˜o as somas das
componentes dos vetores originais. Se
CAPI´TULO 1 - A FI´SICA ATE´ 1905: UMA CASA DE GIGANTES9
F1 = F1xi+ F1yj+ F1zk
e
F2 = F2xi+ F2yj+ F2zk
enta˜o:
F1 + F2 = (F1x + F2x)i+ (F1y + F2y)j+ (F1z + F2z)k
Por exemplo, se F1 = 3i− 2j+5k, e F2 = i+4j−k, enta˜o, F1 +F2 = 4i+2j+4k.
Graficamente, o vetor soma e´ dado pela diagonal do paralelogramo cujos lados sa˜o
formados pelos vetores originais.
A direc¸a˜o de um vetor e´ dada pelo vetor unita´rio obtido dividindo-se cada
componente do vetor pelo seu mo´dulo. Por exemplo, a direc¸a˜o de F = 3i− 2j+5k,
a qual vamos representar por eF , e´ igual a:
eF =
3i− 2j+ 5k
6, 2
= 0, 48i− 0, 32j+ 0, 81k
Note que |eF | = 1, como requer um vetor unita´rio.
Existem tipos diferentes de produtos entre vetores. Por exemplo, o produto
escalar, cujo resultado e´ uma quantidade escalar, e o produto vetorial, cujo resultado
e´ outro vetor, perpendicular aos dois vetores originais. Se F1 e F2 sa˜o dois vetores,
e θ o menor aˆngulo entre eles, seu produto escalar sera´ dado por:
F1 · F2 = |F1||F2|cosθ
E o mo´dulo do produto vetorial sera´ dado por:
|F1 × F2| = |F1||F2|senθ
Os produtos escalar e vetorial podemtambe´m ser expressos em termos das
componentes dos vetores, sendo o primeiro dado por:
F1 · F2 = F1xF2x + F1yF2y + F1zF2z
10
e o segundo:
F1 × F2 = (F1yF2z − F1zF2y)i+ (F1zF2x − F1xF2z)j+ (F1xF2y − F1yF2x)k
Essas duas relac¸o˜es podem ser obtidas a partir do fato de que os unita´rios i, j e k
possuem as propriedades:
i · i = j · j = k · k = 1
i · j = j · k = k · i = 0
i× j = k; j× k = i; k× i = j
i× i = j× j = k× k = 0
e notando que o produto vetorial troca de sinal sob uma permuta dos vetores:
i× j = −j× i, etc.
A partir do que foi dito acima, fica fa´cil calcular o aˆngulo entre dois vetores;
este sera´ dado pelo aˆngulo entre os vetores unita´rios correspondentes, ou seja:
cosθ = eF1 · eF2
Por exemplo, se eF1 = 0, 48i−0, 32j+0, 81k e eF2 = 0, 24i−0, 94j+0, 24k, o aˆngulo
entre F1 e F2 e´ igual a:
cosθ = 0, 11 + 0, 30 + 0, 19 = 0, 61⇒ θ = 52, 4o
CAPI´TULO 1 - A FI´SICA ATE´ 1905: UMA CASA DE GIGANTES11
A acelerac¸a˜o a e´ definida como a taxa de variac¸a˜o da velocidade v,
por intervalo de tempo. A velocidade, por sua vez e´ definida como a
taxa de variac¸a˜o da posic¸a˜o r do objeto por intervalo de tempo. Neste
ponto aparece uma certa dificuldade nessas definic¸o˜es. Para exempli-
fica´-la, considere uma situac¸a˜o simples em que um motorista e´ obrigado
a percorrer uma distaˆncia de 80 km em 1 hora. Obviamente isto pode
ser feito de diversas maneiras. A mais simples consiste em manter uma
velocidade constante, exatamente igual a 80 km/h, e apo´s 1 hora ele
tera´ percorrido a distaˆncia desejada. Neste caso, na˜o ha´ variac¸a˜o da
velocidade durante o percurso, e consequ¨entemente a acelerac¸a˜o sera´
igual a zero.
Uma segunda opc¸a˜o seria acelerar o carro uniformemente ao longo
do percurso. Por exemplo, se a carro iniciar o movimento com uma ve-
locidade de 20 km/h, e o motorista for capaz de manter uma acelerac¸a˜o
constante de 120 km/h2 (isto e´, a cada hora a velocidade aumentar de
120 km/h), apo´s exatamente 1 hora ele tera´ percorrido os 80 km.
Nesses casos simples (de acelerac¸a˜o nula ou uniforme), v e a podem
ser definidos por:
v =
r− r0
t− t0 =
∆r
∆t
(1.2)
a =
v − v0
t− t0 =
∆v
∆t
=
∆
∆t
(
∆r
∆t
)
≡ ∆
2r
(∆t)2
(1.3)
onde o s´ımbolo ∆2r foi introduzido para representar ∆(∆r), ou seja, a
variac¸a˜o da variac¸a˜o da posic¸a˜o do objeto2 r0 e t0 sa˜o respectivamente
2No presente contexto, a expressa˜o mais a direita, ∆2r/∆t2, deve ser vista como
12
a posic¸a˜o e o instante iniciais. No nosso exemplo do carro, |∆r| = 80
km, e ∆t = 1 h. Embora estejamos usando unidades do nosso dia-
a-dia para expressar velocidade e distaˆncia, no sistema internacional
(SI) as unidades de r e v sa˜o respectivamente o metro (m) e o metro
por segundo (m/s). A acelerac¸a˜o se mede em metro por segundo ao
quadrado (m/s2), e a forc¸a em newtons (N=kg · m · s−2).
Estamos de acordo que estas na˜o sa˜o as duas u´nicas maneiras de se
percorrer 80 km em 1 h. De um modo geral, a acelerac¸a˜o e a velocidade
ira˜o variar de uma forma arbitra´ria com o tempo ao longo do percurso,
e as definic¸o˜es 1.2 e 1.3 na˜o sera˜o va´lidas, pois consideram os valores de
r e v apenas no in´ıcio e fim do movimento. Newton se deparou com este
problema, e para resolveˆ-lo teve que inventar uma nova matema´tica!
Imagine que ao inve´s de medir a variac¸a˜o de r e v entre o in´ıcio
(t0) e o fim (t) do movimento, o intervalo de tempo ∆t seja dividido
em 1000 intervalos menores, cada um com 3,6 segundos. Se para cada
um destes sub-intervalos calcularmos as razo˜es dadas por 1.2 e 1.3,
teremos uma espe´cie de velocidade e acelerac¸a˜o “instantaˆneas”. Para
sermos ainda mais precisos, poder´ıamos dividir ∆t em 10000 ou em
1000000 de sub-intervalos. Quanto menor for o sub-intervalo, mais as
definic¸o˜es 1.2 e 1.3 refletira˜o os valores instantaˆneos de v e a. Nada
nos impede de imaginarmos intervalos infinitamente pequenos de r e t.
Em matema´tica esses intervalos infinitesimais sa˜o representados por dr
e dt. Com isso as definic¸o˜es 1.2 e 1.3 se tornam:
um mero s´ımbolo matema´tico, e na˜o uma operac¸a˜o propriamente dita. Somente para
intervalos de tempo muito pequenos de ∆r e ∆t e´ que este “s´ımbolo” se transforma
em uma operac¸a˜o.
CAPI´TULO 1 - A FI´SICA ATE´ 1905: UMA CASA DE GIGANTES13
v =
dr
dt
(1.4)
a =
dv
dt
=
d2r
dt2
(1.5)
O leitor iniciado em matema´tica avanc¸ada reconhecera´ imediata-
mente as expresso˜es acima como as derivadas dos vetores r e v em
relac¸a˜o a t (dizemos que a velocidade e´ igual a` derivada primeira da
posic¸a˜o em relac¸a˜o ao tempo, e que a acelerac¸a˜o e´ a sua derivada se-
gunda). O leitor na˜o iniciado em Ca´lculo Diferencial , na˜o precisa se
preocupar, pois na˜o faremos uso desta ferramenta neste livro (algumas
noc¸o˜es ba´sicas sa˜o descritas no Painel III). O importante e´ lembrar que
as definic¸o˜es 1.2 e 1.3 esta˜o restritas a situac¸o˜es particulares.
14
PAINEL III
DERIVADA DE UMA FUNC¸A˜O
Seja r uma func¸a˜o de t: r = r(t). Esta poderia ser, por exemplo, a posic¸a˜o
de um objeto que se move com o tempo. Como calcular a velocidade do objeto,
tambe´m como func¸a˜o de t? Tomemos dois intervalos de tempo, t e t + ∆t. As
posic¸o˜es correspondentes a esses instantes sera˜o, respectivamente, r(t) e r(t + ∆t).
Por definic¸a˜o, a velocidade me´dia neste intervalo sera´:
v =
r(t + ∆t)− r(t)
∆t
A derivada de r em relac¸a˜o a t e´ definida como o limite da raza˜o acima quando o
intervalo de tempo ∆t for infinitamente pequeno, ou seja, ∆t → 0 (leˆ-se ‘delta t
tende a zero’). Simbolicamente escrevemos:
v =
dr
dt
= lim
∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)
∆t
Suponha por exemplo que a func¸a˜o r(t) seja proporcional ao quadrado de t:
r(t) = a0t2, onde a0 e´ constante. Enta˜o:
r(t + ∆t) = a0(t + ∆t)2 = a0(t2 + ∆t2 + 2t∆t) =
= r(t) + 2a0∆t + a0(∆t)2
Consequentemente:
r(t + ∆t)− r(t) = 2a0t∆t + a0∆t2
Dividindo esta expressa˜o por ∆t teremos:
r(t + ∆t)− r(t)
∆t
= 2a0t + a0∆t
Tomando o limite ∆t→ 0, o segundo termo do lado direito se anula e ficamos com:
lim
∆t→0
r(t + ∆t)− r(t)
∆t
= v(t) = 2a0t
CAPI´TULO 1 - A FI´SICA ATE´ 1905: UMA CASA DE GIGANTES15
Este processo pode ser repetido para qualquer func¸a˜o, escalar ou vetorial. Pode-
mos, por exemplo, calcular a acelerac¸a˜o a partir do resultado acima:
a =
d2r
dt2
= lim
∆t→0
v(t + ∆t)− v(t)
∆t
= 2a0
.
A velocidade instantaˆnea em um tempo t e´ obtida dividindo-se o intervalo infinite-
simal δx por δt.
16
Outras quantidades importantes da mecaˆnica sa˜o o momento linear
(ou quantidade de movimento) p, definido por
p = mv
onde m e´ a massa do objeto, e o momento angular L, definido como o
produto vetorial entre r e p, tambe´m chamado de torque do momento
linear:
L = r× p
onde o s´ımbolo ‘×’ representa o produto vetorial. Enquanto p e´ uma
medida da quantidade de movimento de translac¸a˜o, L e´ uma medida da
quantidade de movimento de rotac¸a˜o. Por exemplo, um carro pesando
1 tonelada (1000 kg) se deslocando a 100 km/h (aproximadamente 28
m/s) possui uma quantidade de movimento com mo´dulo igual a p =
28000 kg m/s. Se ao inve´s do carro fosse um pa´ssaro, com apenas 0,5
kg, o mo´dulo da quantidade de movimento seria de 14 kg m/s. Se por
outro lado o nosso carro estivesse descrevendo uma curva circular com
raio de 50 m, ele teria um momento angular cujo mo´dulo seria 1, 4×106
kg m2/s.
A variac¸a˜o de p esta´ ligada a` aplicac¸a˜o de forc¸as externas sobre o
sistema, assim como a variac¸a˜o de L esta´ ligada a torques externos.
Portanto, essas quantidades se conservara˜o (ou seja, na˜o mudara˜o com
o tempo) se na˜o houver forc¸as e torques atuando sobre o sistema.
Outra varia´vel dinaˆmica importante e´ aenergia cine´tica do objeto,
definida por:
T =
1
2
mv2 =
p2
2m
CAPI´TULO 1 - A FI´SICA ATE´ 1905: UMA CASA DE GIGANTES17
onde v e p sa˜o os mo´dulos dos vetores v e p, respectivamente. T e´ uma
medida da energia associada ao movimento do objeto, e sua unidade
no SI e´ o joule (J). Se houver um campo de forc¸as atuando sobre o
objeto, como por exemplo o campo gravitacional (veja adiante), havera´
tambe´m uma energia potencial, que representamos genericamente por
V .
Ao contra´rio da energia cine´tica, que e´ zero se o objeto estiver
parado, a energia potencial na˜o se anula para v = 0. Se, por exem-
plo, segurarmos uma pedra a uma altura h do solo, sabemos que se a
soltarmos ela caira´. Antes de ser solta, a pedra possu´ıa uma energia
potencial igual a V = mgh, onde m e´ a massa e g a acelerac¸a˜o da
gravidade. Ao tocar o solo, h = 0 e consequentemente V = 0, mas a
velocidade nesse instante sera´ ma´xima, e portanto a energia cine´tica
tambe´m sera´ ma´xima. O que ocorreu ao soltarmos a pedra foi uma
transformac¸a˜o da energia potencial em cine´tica. Usando o fato de que
a energia total se conserva, a velocidade do objeto ao chegar ao solo
pode ser calculada simplesmente igualando as duas formas de energia:
ENERGIA CINE´TICA MA´XIMA = ENERGIA POTENCIAL
MA´XIMA
mv2max
2
= mgh⇒ vmax =
√
2gh
Por exemplo, se h = 10 m, e g = 10 m/s2, vmax ≈ 14 m/s, ou aproxi-
madamente 4 km/h.
Note deste resultado que a velocidade ma´xima independe da massa
da pedra, embora a energia dependa! Ou seja, tanto pode ser uma
18
pedra de 50 g quanto uma de 10 kg que a velocidade ao tocar o solo
sera´ a mesma. Falaremos mais sobre isto adiante.
Em qualquer situac¸a˜o a energia total do objeto, E, e´ a soma das
energias cine´tica e potencial:
E = T + V
Em uma grande classe de problemas importantes, como o caso da queda
de objetos, a energia total se conserva (note que isso na˜o quer dizer
que T e V se conservam separadamente, mas apenas sua soma). Tais
sistemas sa˜o chamados de conservativos.
1.1.2 Movimento de Objetos sob a Ac¸a˜o de
Forc¸as Mecaˆnicas
Para conhecermos a trajeto´ria e a velocidade de um objeto temos que
resolver a equac¸a˜o 1.1. Um exemplo bem conhecido de aplicac¸a˜o pra´tica
daquela equac¸a˜o e´ o ca´lculo da trajeto´ria de um proje´til disparado de
um canha˜o. Podemos tambe´m calcular a velocidade com que gotas
d’a´gua caem do ce´u em um dia de chuva, as posic¸o˜es de uma massa
oscilando presa a uma mola, a trajeto´ria do cometa de Halley, etc.
Qualquer que seja o caso, e´ preciso conhecermos a natureza da forc¸a
F que comparece em 1.1, e sua forma funcional. Forma funcional e´
a expressa˜o matema´tica que descreve a dependeˆncia da forc¸a com as
varia´veis do problema, como a posic¸a˜o, a velocidade, o tempo, etc. Se
o amigo leitor entender este ponto, ja´ tera´ ganho o dia! Matematica-
mente, podemos escrever a forc¸a com qualquer forma. Por exemplo,
podemos inventar uma forc¸a do tipo
CAPI´TULO 1 - A FI´SICA ATE´ 1905: UMA CASA DE GIGANTES19
F =
a√
x
onde x e´ a posic¸a˜o do objeto. Podemos inventar o que quisermos:
F = bx2/7,−c/x2, dsen(kx), etc. Formalmente qualquer coisa serve!
F pode tambe´m depender explicitamente da velocidade e do tempo.
Matematicamente e´ uma festa! Acontece que para descrevermos os
fenoˆmenos da Natureza temos que encontrar a F correta para cada um
deles. Isso e´ o que faz a diferenc¸a. Movimentos de planetas, quedas
de objetos, movimentos de part´ıculas carregadas em campos eletro-
magne´ticos, etc., obedecem a forc¸as com formas funcionais espec´ıficas.
Sa˜o leis imuta´veis estabelecidas pela Natureza. O trabalho do f´ısico
e´ precisamente descobrir quais sa˜o estas leis a partir da observac¸a˜o do
movimento causado por elas. Matematicamente este trabalho se traduz
em escrever corretamente o lado esquerdo da equac¸a˜o 1.1, e depois re-
solveˆ-la a fim de encontrar os vetores r(t) e v(t) (o que nem sempre e´
poss´ıvel, mesmo conhecendo-se a lei correta!). O leitor pode estar se
perguntando que me´todos sa˜o utilizados para se descobrir a forma fun-
cional correta da forc¸a em um dado problema. E´ o ana´logo a perguntar
que me´todos Chico Buarque utiliza para escrever os seus versos, ou
que me´todos Pele´ utilizava para chegar ate´ o gol! A`s vezes e´ poss´ıvel,
atrave´s de experimentos, deduzir uma forma funcional para F em uma
dada situac¸a˜o. Outras vezes se consegue bons resultados por tentativa
e erro, ou seja, “chuta-se”. Obviamente quanto melhor informado es-
tivermos acerca do problema, maiores sera˜o nossas chances de darmos
um bom “chute”. Mas, assim como na mu´sica e no futebol, na f´ısica
20
havera´ sempre os “Pele´s”, os “Chico Buarques”, e os outros.
O caso mais trivial de movimento ocorre quando a forc¸a que atua
sobre o objeto e´ nula, ou seja, F = 0. A equac¸a˜o 1.1 neste caso se
torna:
ma = 0
Mas na medida em que m �= 0, a u´nica soluc¸a˜o poss´ıvel para a esta
equac¸a˜o e´:
a = 0
Por simplicidade vamos considerar o movimento em 1 dimensa˜o e
omitir o negrito da notac¸a˜o vetorial da acelerac¸a˜o. Nesse caso escreve-
mos:
a = 0
Consequentemente, utilizando a definic¸a˜o simplificada da acelerac¸a˜o
obtemos:
∆v
∆t
=
v − v0
t− t0 = 0
Para que a frac¸a˜o se anule, e´ suficiente que o seu numerador se anule.
Logo:
v − v0 = 0⇒ v = v0
ou seja, a velocidade do objeto neste caso permanece igual a` sua ve-
locidade inicial. Isso quer dizer que se o objeto estiver inicialmente
CAPI´TULO 1 - A FI´SICA ATE´ 1905: UMA CASA DE GIGANTES21
parado, assim permanecera´ indefinidamente. Se por outro lado o ob-
jeto estiver se movendo, continuara´ nesse estado de movimento ad eter-
num. Observe que obtivemos matematicamente aquilo que e´ enunciado
da primeira lei de Newton! Na literatura secundarista este problema
aparece com o nome - na minha opinia˜o excessivamente burocra´tico -
de movimento retil´ıneo e uniforme, ou MRU.
Podemos levar o ca´lculo adiante e obter a posic¸a˜o do objeto no
tempo. Basta escrevermos:
v =
x− x0
t− t0 = v0 ⇒ x = x0 − v0t0 + v0t
Como sabemos, x0 e v0 sa˜o condic¸o˜es iniciais arbitra´rias. Seus va-
lores sa˜o obtidos em t0, o instante do in´ıcio do movimento. Em geral
escolhemos t0 = 0, e a equac¸a˜o acima se torna:
x = x0 + v0t
A propo´sito, temos aqui uma daquelas situac¸o˜es embarac¸osas que o
leitor atento ja´ deve ter percebido. O que ocorre com a definic¸a˜o de v
acima se fizermos t = t0? Em princ´ıpio dever´ıamos obter a velocidade
em t = t0, que por sua vez e´ igual a v0, ja´ que na˜o ha´ forc¸as atuando
no sistema. Mas vemos que para t = t0 o denominador da expressa˜o
para v se anula. Uma frac¸a˜o com denominador muito pequeno e´ um
nu´mero muito grande. Por exemplo, 1/0, 01 = 100; 1/0, 001 = 1000; e
1/0, 0000001 = 1000000. Extrapolando, dizemos que se o denominador
da frac¸a˜o tender para zero, a frac¸a˜o tendera´ para infinito (ocasional-
mente o leitor estara´ lembrado que 1/0 = ∞). Mas, por definic¸a˜o, em
t = t0, o objeto se encontra exatamente em x = x0, o que tambe´m
22
anula o numerador. Teremos enta˜o o estranho resultado 0/0. Mate-
maticamente o resultado da divisa˜o de zero por zero e´ indeterminado.
Indeterminado?! Como, se sabemos de in´ıcio que a velocidade e´ cons-
tante e igual a v0? Deixo para o leitor o desafio deste paradoxo!
Voltando ao problema, vemos que a posic¸a˜o do objeto em um ins-
tante t qualquer pode ser obtida calculando-se a a´rea sob a curva em
um gra´fico de v versus t. O problema foi resolvido. Passado e futuro
esta˜o plenamente determinados! Por exemplo, se x0 = 0, e v0 = 50
km/h, em 5 minutos o objeto estara´ a uma distaˆncia de 4,2 km da
origem. Ha´ 100 anos atra´s (ou seja, t = −100anos), o objeto estava a
−43800000 km da origem, e assim por diante.
Um segundo exemplo, ligeiramente mais complicado, e´ o caso de
uma forc¸a constante, igual a F0, atuando sobre o objeto. Teremos
neste caso:
ma = F0 ⇒ a = F0
m
ou seja, a acelerac¸a˜o tambe´m e´ constante e igual a F0/m. Vamos ba-
tizar de a0 essa quantidade. Usando a definic¸a˜o simplificada de a, e
considerando novamente t0 = 0, obtemos a velocidade (que e´ numeri-
camente igual a` a´rea sob a curva de a versus t):
v = v0 + a0t
A posic¸a˜o sera´ novamente dada pela a´rea sob a curva de v versus t, e
pode ser facilmente obtida:
x = x0 + v0t +
1
2
a0t
2
CAPI´TULO 1 - A FI´SICA ATE´ 1905: UMA CASA DE GIGANTES23
O exemplo do motorista que deve percorrer 80 km em 1 h, com v0 = 20
km/h, e a0 = 120 km/h
2 , pode agora ser trivialmente verificado da
expressa˜o acima:
x− x0 = 20 + 120
2
= 80
E o que ocorre no caso geral em que a forc¸a e´ uma func¸a˜o arbitra´ria
de t? Ainda aqui podemos interpretar v(t) e x(t) geometricamente
como as a´reas sob as curvas de a versus t e v versus t, respectivamente.
A diferenc¸a esta´ no fato de que neste caso o ca´lculo da a´rea se torna
mais complicado.
A te´cnica matema´tica para se calcular a´reas sob curvas com formas
arbitra´rias e´ chamada de integrac¸a˜o, e foi inventada (“pra variar”) por
Newton3
3Esta te´cnica faz parte do que chamamos atualmente em matema´tica de Ca´lculo
Diferencial e Integral, ou simplesmente Ca´lculo. O Ca´lculo foi inventado simultane-
amente por Newton e pelo matema´tico alema˜o Gottfried Wilhelm Leibniz.
24
PAINEL IV
INTEGRAL DE UMA FUNC¸A˜O
Seja uma func¸a˜o arbitra´ria f(x). E´ interessante sabermos calcular a a´rea sob
a curva descrita por f . Somente em situac¸o˜es muito simples, como no caso de
uma func¸a˜o constante, ou linear, e´ que podemos fazer isso usando as fo´rmulas da
Geometria Plana. Em um caso geral, para sabermos a a´rea temos que integrar a
func¸a˜o.
A integrac¸a˜o de uma func¸a˜o pode ser visualizada como um processo de soma
de a´reas infinitesimais. O intervalo no qual a a´rea sera´ calculada e´ dividido em
N subintervalos, cada um com uma largura infinitesimal ∆x. Cada um desses
subintervalos pode ser considerado como um retaˆngulo de base ∆x e altura f(x), e
portanto possuira´ uma a´rea igual a
∆S = f(x)∆x
Se somarmos todas as a´reas dos N intervalos, teremos a a´rea total desejada:
S =
∑
N
f(x)∆x
A integral de f(x) e´ definida como o resultado dessa soma quando tomamos o limite
∆x → 0, que representamos por dx. Simbolicamente representamos a integral por∫
(uma espe´cie de ‘S’ esticado):
lim
∆x→0
∑
N
f(x)∆x ≡
∫
f(x)dx
Matematicamente pode ser demonstrado que a operac¸a˜o de integrac¸a˜o de uma
func¸a˜o e´ o inverso da operac¸a˜o de derivac¸a˜o. Ou seja, se g(x) e´ a func¸a˜o que resulta
da derivac¸a˜o de f(x),
g(x) =
df(x)
dx
enta˜o, a func¸a˜o f e´ a integral de g:
f(x) =
∫
g(x)dx
CAPI´TULO 1 - A FI´SICA ATE´ 1905: UMA CASA DE GIGANTES25
Considere, por exemplo, a func¸a˜o v(t) = a0t, a velocidade de um objeto que
se move ao longo do eixo x com acelerac¸a˜o constante, igual a a0. A integral desta
func¸a˜o sera´: ∫
v(t)dt =
∫
a0tdt
Mas como a0 na˜o depende de t, podemos escrever:∫
v(t)dt = a0
∫
tdt
A func¸a˜o a ser integrada e´ portanto f(t) = t. Como esta func¸a˜o e´ igual a` derivada
da func¸a˜o g(t) = t2/2, teremos: ∫
v(t)dt =
1
2
a0t
2
Reconhecemos este resultado como a posic¸a˜o de um objeto que se move em MRUA,
com velocidade e posic¸a˜o iniciais iguais a zero:
x(t) =
∫
v(t)dt =
1
2
a0t
2
A integral de uma func¸a˜o entre os pontos a e b e´ numericamente igual a` soma das
a´reas dos trape´zios, como mostrado na figura.
26
Um exemplo de forc¸a extremamente importante em f´ısica e´ aquela
em que F e´ proporcional ao deslocamento do objeto, mas atua em
sentido contra´rio ao movimento, ou seja:
F = −kx
O tipo de movimento que decorre dessa forc¸a aparece em va´rios fenoˆmenos
da Natureza, e da´ı a sua importaˆncia. A soluc¸a˜o formal da equac¸a˜o 1.1
nesse caso e´ consideravelmente complexa para ser apresentada aqui,
mas podemos conhecer o resultado mesmo sem realizarmos formalmente
os ca´lculos.
Na expressa˜o acima, k e´ uma constante positiva chamada de “cons-
tante de forc¸a”, ou “constante ela´stica”. Sua unidade e´ o newton por
metro (N/m), e e´ uma caracter´ıstica intr´ınseca do sistema. Por exem-
plo, esse tipo de forc¸a ocorre em uma mola que e´ deformada se nela
pendurarmos um objeto de massa m (por exemplo, num dinamoˆmetro).
k e´ uma caracter´ıstica intr´ınseca da mola, assim como m e´ uma car-
acter´ıstica intr´ınseca do objeto preso a ela. Quanto mais esticamos a
mola, mais dif´ıcil se torna estica´-la, porque a forc¸a F aumenta com a de-
formac¸a˜o x, e portanto tende a restaurar o estado na˜o deformado. Todo
mundo ja´ viu as oscilac¸o˜es de um objeto preso a uma mola. Se sim-
plesmente pendurarmos o objeto, a mola se deformara´ e ficara´ parada.
Mas se ale´m desse ponto esticarmos a mola e a soltarmos, o objeto
passa a oscilar em torno da posic¸a˜o de equil´ıbrio. Esse movimento de
“vai-vem” e´ descrito pelas func¸o˜es perio´dicas seno e cosseno:
x(t) = xmaxcos(ω0t)
CAPI´TULO 1 - A FI´SICA ATE´ 1905: UMA CASA DE GIGANTES27
ou
x(t) = xmaxsen(ω0t)
onde xmax e´ a deformac¸a˜o ma´xima alcanc¸ada pela mola. A quantidade
ω0, chamada de frequ¨eˆncia angular, e´ uma medida da “rapidez” das
oscilac¸o˜es. Ela e´ dada por:
ω0 =
√
k
m
ω0 e´ medida em radianos por segundo (rad/s). O produto ωt possui
portanto dimensa˜o de aˆngulo, e se mede em radianos. Um ciclo com-
pleto do movimento corresponde a ω0t = 2π rd.
A frequ¨eˆncia do movimento, f0, se relaciona com ω0 atrave´s de:
f0 =
ω0
2π
Portanto a unidade de f0 e´ o s
−1, ou Hertz. Dizer que a frequ¨eˆncia
do movimento e´ de 10 Hz significa dizer que a cada segundo o sistema
realiza 10 oscilac¸o˜es completas.
O inverso da frequ¨eˆncia e´ o per´ıodo, τ , que corresponde a um ciclo
completo do movimento:
τ =
1
f0
=
2π
ω0
A unidade do per´ıodo e´ o segundo (s). Se a frequ¨eˆncia e´ de 10 Hz, o
per´ıodo e´ de 0,1 s, sendo este o tempo gasto pelo sistema para completar
1 volta. Suponha por exemplo que k = 2 N/m, e m = 0, 5 kg. Enta˜o,
ω0 =
√
2
0, 5
= 2
rd
s
28
e consequ¨entemente,
f0 =
1
2πrd
× 2 rd
s
= 0, 32 Hz
e o per´ıodo,
τ = 3, 1 s
Ou seja, a cada segundo o sistema realiza somente 32% de seu ciclo
completo.
E´ importante enfatizarmos o fato de que ω0, e portanto f0 e τ sa˜o
quantidades intr´ınsecas ao sistema. Estas quantidades caracterizam o
movimento do objeto, pois nos dizem o per´ıodo e a frequeˆncia com que
ele oscila. O interessante e´ que o sistema pode estar parado, e mesmo
assim podemos caracterizar o seu movimento. Isso e´ poss´ıvel precisa-
mente porque ω0 depende somente de k, uma propriedade intr´ınseca
da mola, e m, uma propriedade intr´ınseca do objeto. Chamamos ω0 de
frequ¨eˆncia natural do sistema, ou modo normal de oscilac¸a˜o.
Todo sistema mecaˆnico possui modos normais de oscilac¸a˜o (ou seja,
possui frequ¨eˆncias naturais que intrinsecamente determinam como ele
vibrara´ caso seja posto em movimento). Conhecer os modos normais de
um sistema e´ de grande importaˆncia, pela seguinte raza˜o: se uma forc¸a
externa variar com o tempo e atuar sobre um sistema mecaˆnico na sua
frequeˆncia natural [por exemplo, uma forc¸a do tipo F (t) = F0sen(ω0t)
atuando sobre um sistema massa-mola com frequ¨eˆncia natural ω0], a
amplitude do movimento crescera´ tanto que podera´ haver uma ruptura
no sistema. Esse fenoˆmeno e´ chamado de ressonaˆncia. Dizemos que
a forc¸a externaesta´ em ressonaˆncia com o sistema. O caso da ponte
CAPI´TULO 1 - A FI´SICA ATE´ 1905: UMA CASA DE GIGANTES29
Tacoma Narrows nos Estados Unidos e´ um exemplo drama´tico de res-
sonaˆncia em sistemas mecaˆnicos. Ela desabou em 1 de julho de 1940,
pouco tempo apo´s a sua inaugurac¸a˜o devido a ac¸a˜o ressonante do vento
sobre ela4. Da pro´xima vez que o leitor estiver atravessando uma ponte
em uma regia˜o onde venta muito (como na ponte Rio-Nitero´i no Rio
de Janeiro), procure NA˜O pensar sobre o fenoˆmeno da ressonaˆncia!
1.1.3 Gravitac¸a˜o Universal: da Queda da Mac¸a˜ a`
Queda da Lua
No in´ıcio de 1665 eu encontrei o me´todo de aproximac¸a˜o
de se´ries. Em maio do mesmo ano eu encontrei o me´todo
das tangentes, e em novembro eu tinha o me´todo de fluxo˜es,
e em janeiro do ano seguinte a teoria das cores, e em maio
iniciei o me´todo inverso das fluxo˜es. No mesmo ano come-
cei a estender a gravitac¸a˜o a` o´rbita da Lua, e da regra de
Kepler para o per´ıodo dos planetas, deduzi que a forc¸a que
mante´m os planetas em suas o´rbitas deve ser proporcional
ao inverso do quadrado da distaˆncia. Tudo isso aconte-
ceu durante 1665-1666, os anos da Peste. Eu estava no
primor da minha inventividade para matema´tica e filosofia,
mais do que estaria em qualquer outra e´poca da minha vida.
(The Life of Isaac Newton, Richard Westafall, Cam-
bridge 1993)
O maior feito de Isaac Newton, e talvez a maior conquista intelectual
ja´ alcanc¸ada por um so´ homem, foi o de ter sido capaz de explicar o
4Existe, contudo, alguma controve´rsia sobre a raza˜o do desabamento da ponte.
30
movimento de corpos celestes (sate´lites, planetas, cometas, etc.) com
base na equac¸a˜o 1.1, e portanto coloca´-los na mesma “categoria” dos
fenoˆmenos que ocorrem na superf´ıcie da Terra, como a simples queda
de uma mac¸a˜.
Newton postulou que objetos massivos se atraem, sendo a forc¸a de
atrac¸a˜o proporcional ao produto das massas dos objetos envolvidos e
inversamente proporcional ao quadrado da distaˆncia entre eles. Ou
seja, se m1 e m2 forem as massas de dois objetos separados por uma
distaˆncia r, a forc¸a de atrac¸a˜o de m1 sobre m2 sera´:
F = −Gm1m2
r2
er (1.6)
onde er e´ o vetor unita´rio da direc¸a˜o que liga os dois objetos, com
sentido5 de m1 para m2. G e´ a chamada Constante de Gravitac¸a˜o
Universal, e vale G = 6, 67× 10−11 m3/s2kg.
Nos deparamos aqui novamente com um grau de generalizac¸a˜o fan-
ta´stico, t´ıpico das grandes teorias f´ısicas: a expressa˜o da forc¸a em 1.6
vale para quaisquer pares de objetos no Universo6! Reflita um pouco
sobre isso: podemos tanto descrever uma pedra que cai na superf´ıcie
da Terra, quanto o movimento de um planeta desconhecido em torno
de um sol em uma gala´xia jamais vista, usando a mesma equac¸a˜o 1.6!
Que outra Cieˆncia possui esse poder de s´ıntese?! O leitor eventualmente
estara´ interessado em uma aplicac¸a˜o curiosa da equac¸a˜o 1.6, qual seja,
5E´ o´bvio que m2 atraira´ m1 com uma forc¸a de igual mo´dulo. Contudo o seu
sentido sera´ dado por um unita´rio oposto a er.
6De fato, a Gravitac¸a˜o Universal de Newton foi generalizada na Relatividade
Geral de Einstein, a ser vista no cap´ıtulo oito. No entanto, dentro do mundo
cla´ssico, a expressa˜o 1.6 descreve perfeitamente o movimento de objetos celestes.
CAPI´TULO 1 - A FI´SICA ATE´ 1905: UMA CASA DE GIGANTES31
avaliar a forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional entre duas pessoas separadas
por uma distaˆncia de, digamos, 0,5 mm. E´ frustantemente pequena!
Certamente a gravitac¸a˜o na˜o e´ a forc¸a responsa´vel pela “atrac¸a˜o” entre
pessoas!
Newton postulou que massas se atraem com forc¸as radiais, que diminuem com o
quadrado da distaˆncia entre os objetos.
32
A forc¸a dada em 1.6 somente sera´ aprecia´vel se pelo menos um dos
objetos tiver dimenso˜es astronoˆmicas. Por exemplo, seja m1 = 80 kg,
a massa de uma pessoa e m2 a massa da Terra: m2 = M = 5, 98× 1024
kg. Tomemos por r o raio me´dio da Terra: r = R = 6, 37 × 106 m.
Sustituindo esses valores em 1.6 obtemos para o mo´dulo da forc¸a:
F ≈ 6, 67× 10−11 × 80× 5, 98× 10
24
(6, 37× 106)2 ≈ 786 N
Como a Terra na˜o e´ uma esfera perfeita (certa vez uma das “cobras”
de Luiz Fernando Ver´ıssimo definiu brilhantemente a Terra como um
planeta chato nos po´los e nos domingos sem futebol!), esse valor varia
ligeiramente com a posic¸a˜o da pessoa no planeta. Somente para efeitos
de comparac¸a˜o, vamos calcular a forc¸a com que o Sol atrai a Terra. A
massa do Sol e´ igual a 1, 99× 1030 kg, e a distaˆncia me´dia entre o Sol
e a Terra e´ de 1, 50× 1011 m. Substituindo em 1.6 obtemos:
F ≈ 6, 67× 10−11 × 1, 99× 10
30 × 5, 98× 1024
(1, 50× 1011)2 ≈ 35, 3× 10
21 N
ou seja, a forc¸a do Sol sobre a Terra e´ cerca de 40 mil quatrilho˜es (= 40
quintilho˜es) de vezes maior do que aquela da Terra sobre uma pessoa.
Consideremos com mais detalhes o que acontece na superf´ıcie da
Terra. Tomando R como seu raio me´dio, podemos escrever 1.6 na
forma:
F =
(
G
M
R2
)
m
onde M e´ a massa da Terra, e m a de qualquer objeto em sua su-
perf´ıcie. Como forc¸a e´ igual a massa vezes acelerac¸a˜o, a quantidade
entre pareˆnteses na expressa˜o acima possui dimensa˜o de acelerac¸a˜o, e
CAPI´TULO 1 - A FI´SICA ATE´ 1905: UMA CASA DE GIGANTES33
e´ constante, ja´ que G, M e R sa˜o constantes. Essa quantidade nada
mais e´ do que a acelerac¸a˜o da gravidade na superf´ıcie terrestre, que
denotamos por g. Nesse caso a forc¸a gravitacional e´ o que chamamos
de peso, P :
P = mg
onde
g = G
M
R2
Substituindo valores nume´ricos para G, M e R encontra-se g = 9, 8m/s2.
Note que no nosso dia-a-dia misturamos os conceitos de massa e
peso como se fossem sinoˆnimos. Massa esta´ relacionada a` quantidade
de mate´ria, e portanto e´ uma propriedade intr´ınseca do objeto. O peso,
por outro lado, e´ uma propriedade extr´ınseca, pois depende do campo
gravitacional que atua sobre o objeto. Uma pessoa com uma massa de
80 kg pesa na Terra 786 N, mas na Lua, onde a acelerac¸a˜o da gravidade
e´ de apenas 1,6 m/s2, seu peso seria igual a 128 N. Em Netuno, onde
g = 11 m/s2 a mesma pessoa pesaria 882 N. Contudo, isto na˜o significa
que uma pessoa ficara´ mais magra ao viajar de Netuno para a Lua!
1.1.4 O Movimento dos Planetas
Contam que certa vez o eminente f´ısico Edmund Halley (aquele do
cometa), intrigado com o problema das o´rbitas dos planetas, cuja soluc¸a˜o
vinha perseguindo ha´ anos, foi a Cambridge visitar Isaac Newton.
Chegando la´, humildemente expoˆs a sua du´vida: supondo que o Sol
atrai um planeta com uma forc¸a proporcional ao inverso do quadrado
34
da distaˆncia, qual sera´ a trajeto´ria do planeta?, a que Newton teria
respondido instantaneamente: Uma elipse. Este problema eu ja´ resolvi
ha´ muito tempo atra´s. Halley teria ficado ta˜o impressionado (e pos-
sivelmente deprimido) que apo´s verificar a demonstrac¸a˜o de Newton, o
convenceu a escrever o Principia, e ainda teria pago os custos da sua
publicac¸a˜o!
Como mencionamos na sec¸a˜o anterior, o movimento de qualquer
objeto sob a ac¸a˜o do campo gravitacional e´ descrito pela expressa˜o
dada em 1.6. Para objetos que se movem pro´ximos a` superf´ıcie da
Terra a forc¸a e´ dada por mg, onde g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade.
Algo curioso acontece aqui. Substituindo F = mg na Segunda Lei
de Newton, F = ma, obtemos
mg = ma⇒ a = g = constante
donde se conclui que
v = v0 + gt
e
z = z0 + gt +
1
2
gt2
onde z e´ a distaˆncia do objeto ao solo. Antes de irmos adiante o leitor
seria capaz de dizer o que ha´ de ta˜o extraordina´rio neste resultado? Na˜o
parece ser o mesmo ja´ obtido anteriormente, para o caso de acelerac¸a˜o
constante? Sim, parece, mas apenas parece, pois anteriormente a ace-lerac¸a˜o era dada por F0/m, e portanto dependente da massa do objeto.
Ao contra´rio, as expresso˜es para v e para z acima na˜o conte´m a massa
CAPI´TULO 1 - A FI´SICA ATE´ 1905: UMA CASA DE GIGANTES35
do objeto! Isso quer dizer que fixados z0 e v0, desprezados os efeitos
causados pelo atrito com o ar, todos os objetos caira˜o ao mesmo tempo
e alcanc¸ara˜o o solo com a mesma velocidade final! Uma geladeira, um
caminha˜o com sacos de cimento, uma bolinha de papel, uma caneta,
uma pena de galinha, ou um navio! Voceˆ acredita nisso? Va´ em frente
e fac¸a o teste voceˆ mesmo: deixe cair da mesma altura uma bolinha de
papel bem amassada (para minimizar o atrito com o ar) e um tijolo.
Como diz um velho amigo do CBPF, em toda boa teoria no´s temos que
“tirar” mais do que “colocar”. Em outras palavras, se a teoria na˜o te
causa surpresas verifica´veis experimentalmente, jogue ela no lixo!
Forc¸as que so´ dependem do mo´dulo da distaˆncia entre os objetos
e cuja direc¸a˜o esta´ ao longo do raio que os liga, como a dada em 1.6,
sa˜o chamadas de forc¸as centrais. E´ importante mencionar que forc¸as
centrais nem sempre sa˜o atrativas, mas podem tambe´m ser repulsivas,
como e´ o caso da forc¸a ele´trica entre cargas ele´tricas com o mesmo sinal
(Sec¸a˜o 1.2). Quando um objeto se encontra sob a ac¸a˜o de uma forc¸a
central, e descreve uma trajeto´ria circular com velocidade constante,
podemos igualar a expressa˜o 1.6 a` chamada forc¸a centr´ıpeta, dada por:
Fc =
mv2
r
(1.7)
onde m e´ a massa, v a velocidade, e r o raio da trajeto´ria circular.
Igualando 1.6 a 1.7 podemos calcular, por exemplo, a distaˆncia da Terra
ate´ a Lua. Para isso, obviamente temos que supor a trajeto´ria da Lua
como sendo circular, e supor ainda que sua velociade seja constante.
Vamos la´:
36
mv2
r
= G
Mm
r2
⇒ r = GM
v2
onde agora M e´ a massa da Terra e m a da Lua (note que m desaparece
da expressa˜o final). Mas, se r e´ o raio da circunfereˆncia descrita pela
Lua em volta da Terra, a distaˆncia que a Lua percorre em uma revoluc¸a˜o
completa sera´ igual a 2πr. Como a sua velocidade e´ constante e igual
a v, o seu per´ıodo de movimento sera´:
τ =
2πr
v
⇒ v = 2πr
τ
Por outro lado, podemos usar a expressa˜o para g - a acelerac¸a˜o da
gravidade na Terra - e substituir o produto GM (isso obviamente na˜o e´
estritamente necessa´rio, apenas facilita a substituic¸a˜o nume´rica ao final
do ca´lculo):
GM = gR2
Com isso obtemos:
r =
(
gR2τ 2
4π2
)1/3
Substituindo os valores nume´ricos: g = 9, 8 m/s2, R = 6, 37 × 106
m e τ ≈ 27 dias, obtemos r ≈ 383 000 km para a distaˆncia Terra-Lua.
Newton foi o primeiro a fazer este ca´lculo (o bicho era mesmo o “ca˜o
chupando manga”!). O valor atual, medido com te´cnicas modernas e´
de aproximadamente 382 000 km. A tabela abaixo resume algumas das
principais propriedades dos planetas do Sistema Solar.
CAPI´TULO 1 - A FI´SICA ATE´ 1905: UMA CASA DE GIGANTES37
.
Podemos calcular a distaˆncia Terra-Lua supondo que o movimento da Lua e´ circular
e uniforme.
M
er
c¶u
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V
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T
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8)
CAPI´TULO 1 - A FI´SICA ATE´ 1905: UMA CASA DE GIGANTES39
1.1.5 Massa Inercial vs. Massa Gravitacional
Podemos escrever a segunda lei de Newton da seguinte forma:
a =
1
m
F
ou seja, a acelerac¸a˜o que um objeto adquire e´ diretamente proporcional
a` forc¸a a ele aplicada, e inversamente proporcional a` sua massa. Para
uma dada forc¸a, quanto maior a massa, menor sera´ a acelerac¸a˜o. Nesta
expressa˜o, a massa representa a resisteˆncia do objeto ao movimento
(ou contrariamente, se o objeto estiver se movendo, m representa a sua
resisteˆncia a parar). Esta tendeˆncia dos objetos massivos manterem seu
estado de movimento e´ chamada de ine´rcia. Por esta raza˜o, a massa
que aparece na segunda lei de Newton e´ chamada de massa inercial.
Por outro lado, vimos que a forma funcional (ou seja, o lado es-
querdo de 1.1) para a forc¸a de gravitac¸a˜o proposta por Newton de-
pende explicitamente da massa que, neste caso, e´ chamada de massa
gravitacional:
F = G
Mm
R2
Na mecaˆnica cla´ssica na˜o ha´ nada que diga ou prove que a massa
inercial e a massa gravitacional devam ser iguais. No entanto elas sa˜o
rigorosamente ideˆnticas! Este fato, aparentemente trivial, e consider-
ado por Newton como uma “estranha” coincideˆncia, levou Einstein a
um profundo “insight” a respeito da natureza da interac¸a˜o gravita-
cional. Com isso ele formulou seu princ´ıpio de equivaleˆncia a partir
do qual desenvolveu a Teoria da Relatividade Geral, que sera´ tratada
40
no cap´ıtulo oito. O ilustre f´ısico brasileiro, professor Ma´rio Schenberg,
costumava ensinar que em f´ısica nada e´ ta˜o trivial quanto parece. Esta
e´ uma grande lic¸a˜o!
1.1.6 Movimento Relativo
Encerra-te com um amigo dentro do maior camarote sob
o conve´s de um grande navio e leva contigo moscas, bor-
boletas e outros insetos que voam; municia-te tambe´m de
um grande recipiente cheio de a´gua e com peixinhos; pegue
tambe´m um pequeno balde cuja a´gua vaze gota a gota por um
pequeno orif´ıcio em outra vas´ılha colocada abaixo. Quando
o navio estiver parado, observa cuidadosamente como os
pequenos animais que voam va˜o com a mesma velocidade
em todas as direc¸o˜es da cabine; veˆem-se os peixes nadar
insdistintamente por todos os lados, e as gotas que caem
entram todas no recipeinte colocado abaixo; se jogares al-
guma coisa a teu amigo, na˜o tera´s necessidade de atirar
mais forte numa direc¸a˜o que noutra quando as distaˆncias
sa˜o iguais. Quando tiveres observado cuidadosamente tudo
isso faze o navio navegar com a velocidade que desejares;
desde que o movimento seja uniforme, sem balanc¸ar num
sentido ou noutro, na˜o percebera´s a menor mudanc¸a em to-
dos os efeitos que acabamos de apontar; nada permitira´ que
percebas que o navio esta´ em marcha ou parado.
[Galileu Galilei, em 1632. Extra´ıdo de Imposturas Intelectuais, Alan
Sokal e Jean Bricmont, Ed. Record (1999)]
CAPI´TULO 1 - A FI´SICA ATE´ 1905: UMA CASA DE GIGANTES41
Quando afirmamos que um objeto se move com velocidade