Capítulo 07

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Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-1
Estatística
Teoria e Aplicações
5a. Edição
Capítulo 7
Amostragem e Distribuições de 
Amostragem
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-2
Objetivos do Aprendizado
Neste capítulo, você irá aprender:
 Distinguir os diferentes métodos de 
amostragem em pesquisa
 O conceito de distribuição de amostragens
 Calcular probabilidades relacionadas a média
da amostra e a proporção da amostra
 A importância do Teorema do Limite Central 
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-3
Por que se faz Amostragem?
 Selecionar uma amostra é menos demorado do que 
selecionar todos os itens de uma população 
(censo).
 Selecionar uma amostra é menos dispendioso do 
que selecionar todos os itens de uma população.
 Uma análise de uma amostra é menos complicada 
e mais prática do que uma análise de toda a 
população.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-4
Tipos de Amostras
Quota
Amostras
Amostras não-
probabilísticas
Julgamento Bloco
Amostras
Probabilísticas
Aleatória
Simples
Sistemática
Estratificada
Conglomerado
Conveniência
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-5
Tipos de Amostras
 Em uma amostra não-probabilística, os itens 
incluídos são escolhidos sem levar em conta a sua 
probabilidade de ocorrência. 
 Na amostragem por conveniência, os itens são 
selecionados com base apenas no fato de que eles são 
fáceis, baratos ou convenientes para amostragem.
 Na amostragem por julgamento, você coleta as 
opiniões dos especialistas pré-selecionados no assunto.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-6
Tipos de Amostras
 Na amostragem probabilística, os itens da amostra 
são escolhidos com base em probabilidades conhecidas.
Amostras Probabilísticas
Aleatória
Simples Sistemática Estratificada Conglomerado
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-7
Amostragem Aleatória Simples
 Cada indivíduo ou item de uma grade tem uma 
chance igual de ser selecionado
 A seleção pode ser com a substituição (indivíduo 
selecionado retorna à grade para uma possível 
reseleção) ou sem substituição (indivíduo 
selecionado não é devolvido para a grade).
 Amostras podem ser obtidas a partir da tabela de 
números aleatórios ou através da geração de 
números aleatórios gerados pelo computador.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-8
Amostragem Sistemática
 Decida o tamanho da amostra: n
 Divida a grade de N indivíduos em grupos de k 
indivíduos : k=N/n
 Aleatoriamente selecione um indivíduo do primeiro grupo
 Depois disso, selecione cada kiésimo indivíduo
Por exemplo, suponha que você deseja amostrar n = 9 
indivíduos de uma população de N = 72. Assim, a população 
seria dividida em k = 72 / 9 = 8 grupos. Selecione aleatoriamente 
um membro do grupo 1, digamos o indivíduo 3. Em seguida, 
selecione os demais 8 indivíduos (ou seja, 3, 11, 19, 27, 35, 43, 
51, 59, 67)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-9
Amostragem Estratificada
 Divida a população em dois ou mais subgrupos 
(chamados estratos) de acordo com alguma característica 
comum.
 Uma amostra aleatória simples é selecionada a partir de 
cada subgrupo, com tamanhos de amostra proporcionalis 
ao tamanho dos estratos.
 Amostras de subgrupos são combinados em um.
 Esta é uma técnica comum quando se faz a amostragem 
da população de eleitores, estratificando-se através das 
linhas raciais ou sócio-econômicas.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-10
Amostragem por Conglomerados
 A população é dividida em vários "conglomerados", cada um 
representativo da população.
 Uma amostra aleatória simples de conglomerados é 
selecionada.
 Todos os itens nos conglomerados selecionados podem ser 
usados, ou os itens podem ser escolhidos a partir de um 
conglomerado usando uma outra técnica de amostragem 
probabilística.
 Uma aplicação comum de amostragem por conglomerados 
envolve pesquisas eleitorais, onde certos distritos eleitorais 
são selecionados e amostrados.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-11
Comparação dos Métodos de 
Amostragem
 Amostragem aleatória simples e Amostragem sistemática
 Simples de usar
 Pode não ser uma boa representação das características 
subjacentes à população
 Amostragem estratificada
 Assegura a representação de indivíduos de toda a 
população
 Amostragem por conglomerados
 Mais rentável
 Menos eficiente (necessidade de amostra maior para 
adquirir o mesmo nível de precisão)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-12
Avaliando a Validade da
Pesquisa
 Qual é o objetivo da pesquisa?
 Os dados foram coletados por meio de uma 
amostra não-probabilística ou uma amostra 
probabilística?
 Erro de cobertura - estrutura adequada?
 Erro de falta de resposta – dar sequência
 Erro de medição – boas perguntas 
proporcionam boas respostas
 Erros de amostragem – sempre existem
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-13
Tipos de Erros de Pesquisa
 Erro de cobertura ou viés de seleção
 Existe se alguns grupos são excluídos do quadro e não tem 
chance de serem selecionados
 Erro por falta de resposta ou viés
 Pessoas que não respondem podem ser diferentes daquelas 
que respondem
 Erro de amostragem
 Reflete (sorte do sorteio) a variação de amostra para amostra. 
 Erro de medição
 Devido a deficiências no projeto em questão, erro do 
entrevistado ou impacto do entrevistador sobre o entrevistado
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-14
Distribuições de Amostragens
 A distribuição amostral é uma distribuição de todos os 
valores possíveis de uma estatística para uma amostra de 
determinado tamanho selecionada de uma população.
 Por exemplo, suponha que você faça uma amostragem com 50 
estudantes de sua universidade para obter o coeficiente de 
rendimento (CR) médio. Se você obteve muitas amostras
distintas de 50 estudantes, você irá obter uma média diferente
para cada amostra. Estamos interessado na distribuição do CR 
médio, portanto podemos calcular o CR médio para qualquer
amostra com 50 estudantes.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-15
Distribuições de Amostragens: 
A Média da População
 Suponha que a sua população 
(simplificado) foi de quatro pessoas em 
sua instituição.
 Tamanho da população N=4
 Variável aleatória, X, é a idade dos 
indivíduos
 Valores de X: 18, 20, 22, 24 (anos)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-16
Distribuições de Amostragens: 
A Média da População
Medidas resumo para a distribuição da população:
21
4
24222018
N
X
μ i





2,236
N
μ)(X
σ
2
i




0,3
0,2
0,1
0,0
18 20 22 24
A B C D
P(x)
x
Distribuição Uniforme
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-17
Distribuições de Amostragens: 
A Média da População
1a
Obs.
2a Observação
18 20 22 24
18 18,18 18,20 18,22 18,24
20 20,18 29,20 20,22 20,24
22 22,18 22,20 22,22 22,24
24 24,18 24,20 24,22 24,24
Agora, considere todas as possíveis amostras com tamanho n=2
1a
Obs.
2a Observação
18 20 22 24
18 18 19 20 21
20 19 20 21 22
22 20 21 22 23
24 21 22 23 24
16 Médias
Amostrais
16 amostras possíveis
(amostragem com 
reposição)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008LTC Cap 7-18
Distribuições de Amostragens: 
A Média da População
Distribuição de Amostragem para todas as médias amostrais
1a
Obs
2a Observação
18 20 22 24
18 18 19 20 21
20 19 20 21 22
22 20 21 22 23
24 21 22 23 24
16 Médias
Amostrais
18 19 20 21 22 23 24
0,0 
0,1 
0,2 
0,3 
P(X)
X
(não uniforme)
Distribuição das 
Médias
Amostrais
_
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-19
Distribuições de Amostragens: 
A Média da População
21
16
24211918
N
X
μ i
X



 
1,58
16
21)-(2421)-(1921)-(18
N
)μX(
σ
222
2
X
i
X







Medidas resumo para esta distribuição de amostragem:
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-20
Distribuições de Amostragens: 
A Média da População
População
N = 4
1,58σ 21μ
X

X
2,236σ 21μ 
Distribuição de amostragem da
média n = 2
18 20 22 24
A B C D
0,0 
0,1 
0,2 
0,3 
P(X) 
X 18 19 20 21 22 23 24
0,0 
0,1 
0,2 
0,3 
P(X) 
X
_
_
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-21
Distribuição de Amostragem:
Erro Padrão
n
σ
σ
X

 Diferentes amostras do mesmo tamanho da mesma 
população produzirá médias amostrais diferentes.
 A medida da variabilidade na média de amostra para amostra 
é dada pelo Erro Padrão da Média:
 Observe que o erro padrão da média diminui com o aumento 
do tamanho da amostra.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-22
Distribuição de Amostragem
Erro Padrão: População Normal
μμ
X

n
σ
σ
X

 Se uma população é normal com média μ e desvio padrão 
σ, a distribuição amostral da média também é normalmente 
distribuída com
e
(Isso pressupõe que a amostragem é com reposição ou a 
amostragem é sem reposição de uma população infinita)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-23
Distribuição de Amostragem
Valor de Z: População Normal
n
σ
μ)X(
σ
)μX(
Z
X
X 


 Valor de Z para a distribuição de amostragem da média amostral:
onde: = média amostral
= média populacional
= desvio padrão populacional
n = tamanho da amostra
X
μ
σ
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-24
Distribuição de Amostragem
Propriedades: População Normal
(i.e. é não
viesado )
Distribuição da
População Normal 
Distribuição de 
Amostragem Normal
(tem a mesma média)
μμx 
x
x
x
μ
xμ
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-25
Distribuição de Amostragem
Propriedades: População Normal
 Para amostragem com reposição:
 Quando n aumenta, 
 diminui
xσ
Tamanho da
amostra maior
Tamanho da
amostra menor
xμ
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-26
Distribuição de Amostragem: 
População Não-Normal
 O Teorema do Limite Central estabelece que quando o 
tamanho da amostra (isto é, o número de valores em 
cada amostra) fica grande o suficiente, a distribuição 
amostral da média tem distribuição aproximadamente 
normal. Isto é verdade independentemente da forma da 
distribuição dos valores individuais da população.
 Medidas da distribuição de amostragem:
μμx 
n
σ
σx 
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-27
Distribuição de Amostragem: 
População Não-Normal
Distribuição Populacional
Distribuição Amostral
(torna-se normal quando n aumenta)
x
x
Tamanho da
amostra maiorTamanho da
amostra menor
xμ
μ
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-28
Distribuição de Amostragem: 
População Não-Normal
 Para a maioria das distribuições, n> 30 vai produzir 
uma distribuição amostral que é quase normal
 Para distribuições bastante simétrica, n> 15 vai 
produzir uma distribuição amostral que é quase 
normal
 Para as distribuições da população normal, a 
distribuição amostral da média é sempre 
normalmente distribuída
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-29
Distribuição de Amostragem: 
Exemplo
 Suponha que uma população tem média μ = 8 e desvio 
padrão σ = 3. Suponha que uma amostra aleatória de 
tamanho n = 36 seja selecionada.
 Qual é a probabilidade de que a média amostral fique entre 
7,75 e 8,25?
 Mesmo que a população não for normalmente distribuída, 
o teorema do limite central pode ser utilizado (n> 30).
 Assim, a distribuição da média da amostra é 
aproximadamente normal com
8μx 
0,5
36
3
n
σ
σx 
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-30
Distribuição de Amostragem: 
Exemplo
5,0
36
3
8-8,25
5,0
36
3
8-7,75


Z
Z
Primeiro, calcule os valores de Z para 7,75 e 8,25.
0,38300,5)ZP(-0,5 8,25) μ P(7,75
X

Agora, use a tabela normal padronizada 
acumulada para calcular a probabilidade correta.
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-31
Distribuição de Amostragem: 
Exemplo
= 2(0,5000-0,3085)
= 2(0,1915) 
= 0,3830
Z
-0,5 0,5
Distribuição Normal 
Padronizada
0μz 
7,75 8,25
Distribuição de 
Amostragem
Amostra
8μ
X

x
Distribuição
Populacional
8μ 
X
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-32
Distribuição de Amostragem: 
Proporção
amostra da tamanho
 interesse de ticascaracterís as apresentam que amostra na dnúmero
n
X itense
p 
 A proporção da população com alguma característica é 
designada por π.
 Proporção da amostra (p) produz uma estimativa de π:
 0 ≤ p ≤ 1
 p tem uma distribuição binomial
(assumindo a amostragem com reposição de uma população finita ou sem 
substituição de uma população infinita)
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-33
Distribuição de Amostragem: 
Proporção
 Erro padrão para a proporção:
n
)(1
σp
 

n
)(1σ
Z
p 






pp
 Valor de Z para a proporção:
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-34
Distribuição de Amostragem
Proporção: Exemplo
 Se a verdadeira proporção de eleitores que apoiam 
proposição A é π = 0,4, qual é a probabilidade de que 
uma amostra de tamanho 200 produz uma proporção 
da amostra entre 0,40 e 0,45?
 Em outras palavras, se π = 0,4 e n = 200, qual é a 
P(0,40 ≤ p ≤ 0,45) ?
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-35
Distribuição de Amostragem
Proporção: Exemplo
03464,0
200
4),00,4(1
n
)(1
σ 





p
1,44)ZP(0
0,03464
40,00,45
Z
0,03464
40,00,40
P45),0P(0,40






 


 p
Ache : 
Converta para
distribuição
normal 
padronizada: 
pσ
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-36
Distribuição de Amostragem
Proporção: Exemplo
Use a tabela normal padronizada acumulada: 
P(0 ≤ Z ≤ 1,44) = P(Z ≤ 1,44) – 0,5 = 0,4251
Z
0,45 1,44
0,4251
Padronizando
Distribuição de Amostragem
Distribuição Normal 
Padronizada
0,40 0
p
Estatística Teoria e Aplicações, 5a. edição 2008 LTC Cap 7-37
Sumário do Capítulo
 Descrito diferentes tipos de amostras
 Examinado o mérito da pesquisa e os tipos de erros de 
pesquisa
 Introduzido a idstribuição de amostragem
 Descrito a distribuição de amostragem da média
 Para população normal
 Usado o Teorema do Limite Central
 Descrito a distribuição de amostragem de proporção
 Calculadoprobabilidades usando a distribuição de amostragem
Neste capítulo, temos